Cyklometrické funkce

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Cyklometrické funkce"

Vratislav Prokop
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli graf funkce y = cos x Omez její definiční obor tak, aby bylo možné nalézt inverzní funkci Nakresli do nového obrázku graf funkce y = cos x s omezeným definičním oborem a graf funkce k ní inverzní Omezím definiční obor pouze na D ( f ) 0; - = π

2 Funkce inverzní k funkci y = cos x se nazývá y = arccos x (arkus kosinus) Př: Srovnej v tabulce vlastnosti funkcí y = arccos x y = cos x (s omezeným definičním oborem) a y = cos x y = arccos x D ( f ) = 0; π D ( f ) = ; H ( f ) = ; ( ) = 0; H f π funkce je klesající funkce je klesající

3 Př: Urči hodnoty funkce y = arccos x, pro x ; ;0; ; ; arccos = 0 (protože cos 0 = ) arccos = 4 π (protože cos π = ) 4 π π arccos 0 = (protože cos = 0 ) π π arccos = (protože cos = ) 6 6 arccos = π (protože cosπ = ) ( ) arccos ( ) neexistuje = (protože funkce y = cos x nemá nikdy hodnotu -) Př: Urči pomocí kalkulačky přibližné hodnoty funkce π x 0,; 0,7; ; 6 y = arccos x, pro arccos0, B 78 7 ( ) arccos 0, 7 B 4 6 arccos 48 B π arccos B Př: Najdi všechna x, pro která platí cos x = 0,8 Protože -0,8 nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce hodnotu úhlu x y = cos x, nemůžeme přesně určit arccos 0,8 B 4 8 Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna ( ) Přesně musíme zapisovat požadovaný úhel, pro který platí cos x = 0,8 pomocí funkce arccos jako arccos ( 0,8) Platí tedy x = arccos ( 0,8) Z jednotkové kružnice zjistíme zda existují další taková čísla:

4 T x - x S R T - Z obrázku je vidět, že v intervalu 0;π existují dvě hodnoty x, pro které platí cos x = 0,8: x = ( ) a x π ( ) arccos 0,8 = arccos 0,8 Protože funkce y = cos x je periodická s nejmenší periodou π, platí cos x = 0,8 i pro všechna další čísla vzdálená o π cos x = 0,8 platí pro všechna čísla U = { arccos ( 0,8) + k π; π arccos ( 0,8) + k π } k Z Stejně budeme postupovat u dalších goniometrických funkcí: Př: Nakresli graf funkce y = tg x Omez její definiční obor tak, aby bylo možné nalézt inverzní funkci Nakresli do nového obrázku graf funkce y = tg x s omezeným definičním oborem a graf funkce k ní inverzní 4

5 π π = Omezím definiční obor pouze na ( ) ; D f 5

7 Funkce inverzní k funkci y = tg x se nazývá y = arctg x (arkus tangens) Př: Srovnej v tabulce vlastnosti funkcí y = arctg x y = tg x (s omezeným definičním oborem) a y = tg x y = arctg x π π ( ) = ; D f D ( f ) = R π π funkce je rostoucí funkce je lichá H ( f ) = R H ( f ) = ; funkce je rostoucí funkce je lichá Př: Urči hodnoty funkce y = arctg x, pro x ; ;0; ; 7

8 π π arctg = (protože tg = ) 4 4 π arctg ( ) = (protože tg π = ) arctg 0 = 0 (protože tg 0 = 0 ) π π arctg ( ) = (protože tg = ) 4 4 π π arctg = (protože tg = ) 6 6 Př: Urči pomocí kalkulačky přibližné hodnoty funkce { 0;0, 4; π ;50} x y = arctg x, pro ( ) arctg 0 B 84 7 arctg 0,4 B 48 arctg π B arctg 50 B 89 5 Př: Najdi všechna x, pro která platí tg x = Protože nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce y = tg x, nemůžeme přesně určit hodnotu úhlu x Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna arctg B 6 6 Přesně musíme zapisovat požadovaný úhel, pro který platí tg x = pomocí funkce arctg jako arctg Platí tedy x = arctg π π Funkce y = tg x je v rámci své jedné periody (například v intervalu ; ) prostá (viz graf nahoře) nemusím hledat další hodnoty x, protože všechny další už se vyskytují v jiných periodách tg x = platí pro všechna čísla U = { arctg + k π} k Z Poslední goniometrickou funkcí je funkce y = cotg x Př: Nakresli graf funkce y = cotg x Omez její definiční obor tak, aby bylo možné nalézt inverzní funkci Nakresli do nového obrázku graf funkce y = cotg x s omezeným definičním oborem a graf funkce k ní inverzní 8

9 Omezím definiční obor pouze na D ( f ) ( 0; π ) = 9

11 Funkce inverzní k funkci y = cotg x se nazývá y = arccotg x (arkus kotangens) Př: Srovnej v tabulce vlastnosti funkcí y = arccotg x y = cotg x (s omezeným definičním oborem) a y = cotg x y = arccotg x ( ) = ( 0; π ) D ( f ) = R H ( f ) = R H ( f ) = ( 0; π ) D f funkce je klesající funkce je klesající Př: Urči hodnoty funkce y = arccotg x, pro x ; ;0; arccotg ( ) = 4 π (protože cotg 4 π = ) 4 arccotg = π 4 (protože tg π = )

12 arccotg ( 0) arccotg π π = (protože cotg = 0 ) π = (protože cotg 6 6 π = ) Př: Urči pomocí kalkulačky přibližné hodnoty funkce y = arccotg x, pro x { 0,;5; } Problém: Většina kalkulaček neosahuje tlačítko funkce arccotg x ( cot ), kalkulačky mají pouze tlačítko funkce arctg x ( tan ) použiju vzorec tg x ( cotg x) arccotg 0, 84 7 arccotg 5 9 = z hodnoty cotg x určím hodnotu tg x, z té vypočtu x B ( x x ( ) cotg = 0, tg = 0, = 0, arctg0 B 84 7 ) B ( x x ( ) cotg = 5 tg = 5 = 0,, arctg 0, B 9 ) arccotg ( ) B 5 6 ( cotg x = tg x = ( ) = 0,5, ( ) B funkce y = arccotg x jsou pouze v intervalu ( 0;π ) k hodnotě ( ) přičtu π arccotg ( ) B 5 6 ) arctg 0,5 6 4, hodnoty arctg 0,5 B 6 4 Př: Najdi všechna x, pro která platí cotg x = Protože - nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce hodnotu úhlu x y = cotg x, nemůžeme přesně určit arccotg B 6 4 Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna ( ) x = x = =, arctg B 8 6, hodnoty funkce arccotg arctg B 8 6 přičtu 80 arccotg B 6 4 ) ( cotg tg ( ) pouze v intervalu ( 0;π ) k hodnotě ( ) Přesně musíme zapisovat požadovaný úhel, pro který platí cotg x = pomocí funkce arcoctg jako arccotg ( ) Platí tedy x = arctg ( ) Funkce y = cotg x je v rámci své jedné periody (například v intervalu ( 0;π ) ) prostá (viz graf nahoře) nemusím hledat další hodnoty x, protože všechny další už se vyskytují v jiných periodách cotg x = platí pro všechna čísla U = { arctg ( ) + k π} k Z

Podobné dokumenty

Cyklometrické funkce

4..7 Cyklometrické funkce Předpoklady: 46 Cyklometrické funkce: funkce inverzní k funkcím goniometrickým z minulé hodiny známe první cyklometrickou funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ). Př.