PROBLÉMOVÉ ÚLOHY V MATEMATICE. Mgr. Dana Kořínková Mgr. Kateřina Rumlová Mgr. Martina Sedláčková

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PROBLÉMOVÉ ÚLOHY V MATEMATICE. Mgr. Dana Kořínková Mgr. Kateřina Rumlová Mgr. Martina Sedláčková"

Transkript

1 PROBLÉMOVÉ ÚLOHY V MATEMATICE Mgr. Dana Kořínková Mgr. Kateřina Rumlová Mgr. Martina Sedláčková

2 AUTOŘI Mgr. Dana Kořínková Mgr. Kateřina Rumlová Mgr. Martina Sedláčková NÁZEV DÍLA Problémové úlohy v matematice ZPRACOVALO Vyšší odborná škola a Střední škola slaboproudé elektrotechniky KONTAKTNÍ ADRESA Novovysočanská 48/ Praha 9 POČET STRAN 13 INOVACE VZDĚLÁVACÍCH PROGRAMU STŘEDNÍ ŠKOLY SLABOPROUDÉ ELEKTROTECHNIKY PROSTŘEDNICTVÍM VIZUALIZACE TECHNICKÝCH SITUACÍ V ELEKTROTECHNICE A IT Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

3 VYSVĚTLIVKY E=m c Definice Zajímavost i Poznámka Příklad Shrnutí Výhody Nevýhody

4 ANOTACE Modul je určen studentům maturitních oborů. Je zaměřen na přípravu k maturitní zkoušce a je oproti maturitním požadavkům rozšířen o kapitolu Aplikaci komplexních čísel v elektrotechnice, která je pro studenty důležitá, vzhledem k jejich odbornému zaměření Jeho obsah plně odpovídá požadavkům na úspěšné složení maturitní zkoušky. V rámci modulu si studenti zopakují základní teoretické poučky celkem v sedmi základních oblastech a na příkladech a cvičeních si své znalosti ověří. CÍLE Studenti si osvojí samostatnou práci s textem, pomocí řešených příkladů si probranou látkou upevní a na příkladech potom procvičí. Důležitou součástí je i práce s matematickými tabulkami a kalkulačkou, které jsou nedílnou součástí přípravy. LITERATURA [1] Doc.RNDr. Odvárko Oldřich, Csc., RNDr. Calda Emil, CSc., PaeDr Kolouchová Jana, RNDr. Řepová Jana, Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 6.část, SPN, ISBN XXXXXXX. [] RNDr. Petránek Oldřich, RNDr. Calda Emil, CSc., ing. Petr Hebák, Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 4.část, Prometheus, ISBN [3] PaeDr. Kolouchová Jana, RNDr. Řepová Jana, PaeDr. Šobr Václav, CSc., Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 5.část, SPN, ISBN [4] Doc.RNDr. Odvárko Oldřich, Csc., RNDr. Řepová Jana, RNDr. Skříček Ladislav, Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU,.část, Prometheus, ISBN [5] Doc.RNDr. Calda Emil, Matematika pro gymnázia Komplexní čísla, Prometheus, 1994, 133. ISBN X [6] RNDr. Petránek Oldřich, RNDr. Calda Emil, CSc., RNDr. Řepová Jana, Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 1.část, Prometheus, ISBN [7] Doc.RNDr. Odvárko Oldřich, Csc., RNDr. Řepová Jana, Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 3.část, Prometheus, ISBN [8] RNDr. Hudcová Milada, Kubičíková Libuše, Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, studijní obory SOU a nástavbové studium, Prometheus ISBN

5 Obsah 1 Výrazy Algebraický výraz Hodnota výrazu, nulový bod výrazu Početní operace s mnohočleny Rozklad mnohočlenů na součin Mocniny a odmocniny Lomený výraz určení, kdy má lomený výraz smysl Operace s lomenými výrazy (krácení, rozšiřování, sčítání, odčítání, násobení a dělení) Lineární rovnice a jejich soustavy Lineární rovnice a jejich řešení Vyjádření neznámé z technického vzorce Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Funkce Co je funkce Lineární funkce Konstantní funkce Kvadratická funkce Exponenciální funkce Logaritmická funkce Cvičení ke kapitole funkce Posloupnosti Co je posloupnost Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Cvičení ke kapitole posloupnosti Pravděpodobnost Náhodný pokus a náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost průniku jevů Pravděpodobnost sjednocení jevů Bernoulliho schéma Cvičení ke kapitole pravděpodobnost

6 6 Aplikace komplexních čísel v elektrotechnice Historie komplexních čísel Definice Zobrazení komplexního čísla Absolutní hodnota komplexního čísla Komplexně sdružené číslo Operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru Goniometrický tvar komplexního čísla Exponenciální tvar komplexního čísla Příklady k procvičování Vektorová algebra Definice vektoru Operace s vektory Úhel dvou vektorů Skalární součin dvou vektorů Lineární závislost a nezávislost Příklady k procvičování Analytická geometrie přímky Parametrické vyjádření přímky Obecná rovnice přímky Normálový vektor Směrnicový tvar rovnice přímky Vzájemná poloha dvou přímek v rovině Vzdálenost bodu od přímky v rovině Příklady k procvičování... 1

7 1 Výrazy 1.1 Algebraický výraz E=m c Algebraický výraz je zápis, ve kterém se vyskytují konstanty, které nemění svou hodnotu a které jsou vyjádřeny čísly, dále proměnné a operace sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování prováděné s konstantami a proměnnými. Příklady: a) 3x + 5 je výraz, neboť obsahuje konstanty 3 a 5, proměnnou x a operace násobení a sčítání b) y není výraz, neboť chybí početní operátor c) y 3 není výraz, ale nerovnice, jedná se o srovnání znaků E=m c Číselný výraz je předpis jedné nebo více početních operací pouze s čísly. Příklady: 3 + (9 7) 4 : 4 5 S výrazy se v matematickém textu setkáváme často. Přehledný a snáze srozumitelný výraz totiž nahrazuje zdlouhavý slovní popis. Příklad: Podíl pětinásobku součtu dvou reálných čísel a druhé odmocniny z jejich rozdílu Zapíšeme jako: ( ) 5 x + y x y

8 Příklad: Součin dvojnásobku prvního čísla a čtvrtiny druhé odmocniny druhého čísla Zapíšeme jako: 1 x 4 y Příklad: Petra má 3 sáčky, v každém z nich je m bonbónů. Tyto bonbóny chce rozdělit mezi svých k spolužáků. Pomocí výrazu napiš, o kolik se zmenší počet bonbónů pro každého spolužáka, jestliže Petra chce obdarovat i p kamarádů z vedlejší třídy, a během cesty do školy už 5 % bonbónů snědla. Počet spolužáků a kamarádů z vedlejší třídy k+p Počet bonbonů, které má Petra po příchodu do školy 0,95 3m 0,95 3m Počet bonbonů, které dostane každý spolužák nebo kamarád k+ p Zmenšení počtu bonbonů připadajících na spolužáka 3m 0,95 3m k k+ p Cvičení 1 Příklad 1: Vypočtěte: a) 3 ( 5) ( 7) b) c) : d) ( ) e)

9 a) 18 b) c) d) 30 e) 0 Příklad : K dvojnásobku součtu čísel x a y připočítejte trojnásobný rozdíl těchto čísel. Jaký je výsledek? 5x y Příklad 3: V obchodě smíchali x kg ovocných bonbonů v ceně 50 Kč za 1 kg s ovocnými bonbony jiného druhu v ceně 70 Kč za 1 kg, jejichž množství bylo o kg větší. Jaká je cena 1 kg směsi? 60x + 70 Kč x + 1 Příklad 4: Místnost má délku x, šířku y a výšku z a jsou v ní jedny obdélníkové dveře o rozměrech a a b a dvě čtvercová okna se stranou délky n. Jaký je obsah tapety potřebný k vytapetování stěn místnosti? xz+ yz ab n 9

10 1. Hodnota výrazu, nulový bod výrazu E=m c Hodnotou výrazu pro dané hodnoty proměnných rozumíme výsledek získaný po dosazení daných hodnot z definičního oboru za všechny proměnné a provedení veškerých operací. Příklad: Urči hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných: a + 5 a), pro a = 3 4 a b) 6 p, pro p = 5, q = + q a a) = = 4 a 4 ( 3) 7 b) 6 p = = + q + 0 Pro zvolené hodnoty proměnných výraz nemá smysl. Po dosazení za proměnnou q ve jmenovateli by nastala nepřípustná operace, a to dělení nulou. E=m c Nulový bod je takové x, ve kterém má výraz obsahující toto x nulovou hodnotu. Podle typu výrazu dostáváme různý počet nulových bodů. Výpočet nulových bodů provádíme tak, že daný výraz položíme roven nule a řešíme vzniklou rovnici. Příklad: Pro jakou hodnotu proměnné x je výraz roven nule? a) x 1 b) x + x 1 10

11 a) x 1 = 0 řešení lineární rovnice 1 x = b) x + x + 1 = 0 řešení kvadratické rovnice ± x1, =.1 ± 0 x1, = x 1, = 1 i Výpočet nulového bodu výrazu se využívá při stanovení podmínek u lomených výrazů, kdy ve jmenovateli výrazu nesmí být nula. Příklad: Urči, pro které hodnoty jednotlivých reálných proměnných má daný výraz smysl: ( x )( x+ 1) ( y 3)( y+ ) Výraz má smysl pro. y 3 y. (Ve jmenovateli nesmí být nula!!!). Pro x nejsou kladeny žádné omezující podmínky. (V čitateli může nula být). Příklad: x x 1 y y+ 3 Aby daný výraz měl smysl, musí zároveň platit: 1. x 1 0, tj. x 1 (Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tedy 0).. y 0 3. y + 3 0, tj. y 3 (Výraz pod odmocninou musí být kladný tj. 0, neboť je ve jmenovateli). 11

12 Cvičení Příklad 1: Urči, pro které hodnoty jednotlivých reálných proměnných má daný výraz smysl: 1 a) u 1 u ( )( ) b) c) y x x+ 5 a 3 b 1 a) u 1 u b) x 0 x 5 c) a 3 b 1 Příklad : Součet dvou přirozených čísel je 64. Trojnásobek prvního čísla je roven druhému číslu. Urči tato čísla. 16 a 48 Příklad 3: Urči součet čtyř po sobě jdoucích přirozených čísel takových, že největší je rovno a. 8a 6 Příklad 4: Urči, zda má výraz pro dané hodnoty proměnných smysl: a) x 3, x = 3 x x ( ) x+ y b), x= 4, y = y x c) x 3 y, x 1, y 0 4x + = = 1

13 d) e) x 5, x= 5, y = y + x x x ( + 4), x = 4 a) ano b) ne c) ano d) ne e) ne 13

14 1.3 Početní operace s mnohočleny E=m c Nechť nje přirozené číslo nebo nula, a 0, a 1.,..., a n jsou reálná čísla a x je reálná proměnná. Pak mnohočlen (polynom) n-tého stupně s jednou proměnnou x je n n 1 1 výraz, který můžeme zapsat jako a x + a x a x + a x + a, kde a 0. n n n k Čísla a0, a1.,..., a n se nazývají koeficienty mnohočlenu, sčítanci ax k se nazývají členy mnohočlenu. Pro některé členy mnohočlenu máme speciální pojmenování. 1 Člen a 0 se nazývá absolutní člen mnohočlenu. Člen ax se nazývá lineární člen a člen ax se nazývá kvadratický člen mnohočlenu. Stupeň mnohočlenu odpovídá nejvyššímu exponentu proměnné v mnohočlenu. 1 Mnohočlen 1. stupně (tj. výraz nazývá lineární. ax + a, také lze zapsat jako ax + 1) se Mnohočlen. stupně (tj. výraz ax + bx + c ) se nazývá kvadratický. ax + ax+ a, také lze zapsat jako Mnohočlen nultého stupně je každé reálné číslo různé od nuly. Číslo nula nazýváme nulový mnohočlen, jeho stupeň nedefinujeme. Mnohočlen s jedním členem označujeme jako jednočlen, se dvěma členy jako dvojčlen, se třemi členy jako trojčlen, atd. Příklad: 3x + x 5 Je kvadratický mnohočlen, tj. mnohočlen. stupně, s proměnnou x. Jedná se o trojčlen (má tři sčítance). Koeficient u kvadratického členu je 3, koeficient u lineárního členu je 1 a absolutní člen je -5. E=m c Součet dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že sečteme jednotlivé koeficienty u odpovídajících si členů těchto mnohočlenů (přičemž některé koeficienty můžou být rovny nule). Odpovídající si členy mnohočlenů jsou takové členy, které mají tytéž proměnné i se stejnými mocniteli. 14

15 Příklad: ( 3x 4x) + ( 7x + 6x) ( ) ( ) ( ) = ( 4 ) + 6 = 4 + x x x x x x x x x x E=m c Rozdíl dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že určíme součet prvního mnohočlenu a opačného mnohočlenu k druhému mnohočlenu. Opačný mnohočlen k danému mnohočlenu je mnohočlen, který má tytéž členy, ale s opačnými znaménky (například opačným mnohočlenem k mnohočlenu x x 5 je mnohočlen x + x + 5 ). Příklad: ( 4x 3 + x) ( 7x 3 x) ( ) ( ) = = = x x x x x x x x x x x x x x E=m c Součin dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že každý člen prvního mnohočlenu vynásobíme každým členem druhého mnohočlenu a všechny tyto součiny sečteme. Příklad: ( 3x 5) ( x + x) ( ) ( ) = = x x x x x x x x x x x x x Příklad: ( x xy + 7) ( x y 3 + ) 3 ( x xy + 7) ( x y + ) = 3 3 x x x ( y ) x ( xy) x ( xy) ( y ) ( xy) ( ) = x 7 y 7 x 4x y 4x x y xy xy 7x 14y 14 15

16 E=m c Podíl mnohočlenu a jednočlenu vypočítáme tak, že jednočlenem vydělíme každý člen mnohočlenu a jednotlivé podíly pak sečteme. Příklad: Vypočítej za předpokladu, že x 0 3 ( ) 3x 6x y + 9xy 3x ( ) ( ) ( ) ( ) = = + 3 x x y xy x x x x y x xy x x xy y Postup při dělení mnohočlenu mnohočlenem: 1. Nejdříve si členy obou mnohočlenů uspořádáme sestupně (tj. na prvním místě bude člen s proměnnou s nejvyšším exponentem).. První člen dělence vydělíme prvním členem dělitele, výsledek je prvním členem podílu mnohočlenů. 3. Pak tímto dílčím výsledkem vynásobíme všechny členy dělitele a tento výraz odečteme od dělence. 4. Tím dostaneme nový mnohočlen. Pokud je tento nový mnohočlen vyššího nebo stejného stupně jako dělitel, zopakujeme celý postup. 5. Takto pokračujeme dál, dokud nedostaneme mnohočlen nižšího stupně než je dělitel nebo nulu. Poznámka: Ve výrazu 6 3= je dělencem číslo 6, dělitelem číslo 3 a číslo je jejich podíl. Příklad: ( x 3 + 5x 3 3x ) ( x 1) 1. Nejdříve si členy obou mnohočlenů uspořádáme sestupně x 3 3x + 5x 3 x 1 ( ) ( ). První člen dělence vydělíme prvním členem dělitele 3 x x = x 3. Pak tímto dílčím výsledkem vynásobíme všechny členy dělitele a tento výraz odečteme od dělence. 16

17 3 x ( x 1) = x x ( ) ( ) 3 3 x 3x + 5x 3 x x = x + 5x 3 Tyto kroky se většinou zapisují následovně: 3 x 3x + 5x 3 x 1 = x ( ) ( ) 3 ( x x ) + x 5x 3 4. Tím dostaneme nový mnohočlen. Pokud je tento nový mnohočlen vyššího nebo stejného stupně jako dělitel, zopakujeme celý postup. 3 x 3x + 5x 3 x 1 = x x ( ) ( ) 3 ( x x ) + + 3x 3 x 5x 3 ( x x) 5. Takto pokračujeme dál, dokud nedostaneme mnohočlen nižšího stupně než je dělitel nebo nulu. 3 x 3x + 5x 3 x 1 = x x + 3 ( ) ( ) 3 ( x x ) 5 3 x + x + 3x 3 ( 3x 3) 0 ( x x) Podmínky: x 1 0, tj. x 1 O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit zkouškou: ( ) ( ) 3 3 x x x x x x x x x x x = =

18 E=m c Při umocňování jednočlenu využíváme následující pravidla: ( ) n n n a b = a b n ( a ) m = m n a Při umocňování dvojčlenu využíváme následující vzorce: ( ) a + b = a + ab + b ( ) a b = a ab + b ( ) a + b = a + 3a b + 3ab + b ( ) a b = a 3a b + 3ab b Příklad: 3 ( x y z ) ( ) ( ) ( ) x y z = x y z = x y z Příklad: ( a + b) ( ) ( ) a + b = a + a b + b = a + 4ab + b = 4a + 4ab + b Příklad: ( 5x 3) ( ) 5x 3 = 5x 5x = 5x 30x + 9 Příklad: ( m + n + 1) ( m n ) ( m n) ( m n) ( m n) = = = = m + mn+ n + m+ n+ 1 18

19 Cvičení 3 Příklad 1: Upravte: { } a) ( ) a a + 3a a + a a + 7a a + 3a 4 4 b) ( ) 1x y 4xy 17x y 15xy 8x y + 1xy { } c) ( ) 15x 4x + 5x 8x x x + 9x 3x 1 a) b) c) a 7 a 13x y xy 0x 9x 1 Příklad : Násobte: 4 3 a) ( a + 5a + 4a 3a+ 1)( a 1) b) c) 4 3 (x 3x + x 5x+ 1)( x x+ 1) ( a a b+ a b ab + b )( a+ b) a) b) c) a a a a a a x 7x + 10x 1x + 13x 7x + 1 a + b 5 5 Příklad 3: Dělte: 7 4 6a 8a + 4 a) 3 a b) c) 6n + 5n 6 n a + a 9a+ 1 a 3 19

20 d) e) 3x 4x+ 5 x 1 3 x + 7x + 8x+ 7 x + a) + a 4 3a 4 a, a 0 3 b) c) d) e) 3 3n, n 3a + 5a 7, a 3 4 3x 1 +, x 1 x 1 x 3x+ +, x x + 3 Příklad 4: Umocněte: a) 1 xy b) ( ) 3 x 5y c) ( ) 3b + 5c d) ( ) 3b + 4c e) ( ) a + b + 3 f) ( ) a b + 1 0

21 a) 1 4 x y b) c) d) e) f) x y 9b + 30bc+ 5c 9b 4bc+ 16c a b ab a b a b 4ab+ 4a b+ 1 1

22 1.4 Rozklad mnohočlenů na součin i Existuje několik způsobů rozkladu mnohočlenů 1. Vytknutí společného mnohočlenu před závorku ab bz = b( a z) x 4y + 6z = ( x y + 3z). Rozklad pomocí vzorce x 4x + 4 = ( x ) ( ) ( ) ( )( ) 5 9 = 5 3 = a b a b a b a b Přehled nejčastěji používaných vzorců ( a + b) = a + ab + b = ( a + b) ( a + b) ( a b) = a ab + b = ( a b) ( a b) ( a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 = ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 = ( a b) ( a b) ( a b) ( ) ( ) a b = a+ b a b ( ) ( ) a + b = a + b a ab + b 3 3 ( ) ( ) a b = a b a + ab + b 3 3 Příklad: Rozložte na součin: 7 5 a) s s b) c) 64x 36y 81ab 1 d) ( x + 3) ( x 1) e) f) g) 9 1x + 4x 1x 36xy + 7y 9x 30x 5 +

23 a) s 7 s 5 = s 5 ( s 1) = s 5 ( s + 1) ( s 1) b) 64x 36y = ( 8x) ( 6 y) = ( 8x + 6y) ( 8x 6 y) c) 81a b 1 = ( 9ab) 1 = ( 9ab + 1) ( 9ab 1) ( ) ( ) x 3 x 1 (( x 3 ) ( x 1 )) (( x 3 ) ( x 1 )) d) = ( 3x+ ) ( x+ 3 x+ 1) = ( 3x+ ) ( x+ 4) + = = e) 9 1x + 4x = 3 3 x + ( x) = ( 3 x) = ( 3 x) ( 3 x) f) ( ) 1x 36xy+ 7 y = 3 4x 1xy+ 9y = ( x y) ( x y) ( x y) = 3 3 = g) 9x + 30x 5 = ( 9x 30x + 5) = ( 3x 5) = ( 3x 5) ( 3x 5) Cvičení 4 Příklad 1: Rozdíl druhých mocnin rozložte na součin: a) ( x + y) 16 b) ( ) x + y z c) ( m n) ( m + n) d) ( ) 5a a + b a) ( x + y + 4)( x + y 4) b) ( x + y + z)( x + y z) c) 8mn d) ( 6a + b)( 4a b) 3

24 Příklad : Rozložte na součin: 3 a) 1 + a b) c) d) 3 1 a 3 1 8a 3 a + 8 a) ( 1+ a)( 1 a + a ) b) ( 1 a)( 1+ a + a ) c) ( 1 a)( 1+ a + 4a ) d) ( a + )( a a + 4) Příklad 3: Daný trojčlen zapište jako mocninu dvojčlenu: a) x + x + 1 b) c) d) 9x + 4x x 6xy y y 144x 4xy 4 a) ( x + 1) b) ( 3x + 4) c) ( ) 13x y d) ( ) y 1x 4

25 1.5 Mocniny a odmocniny Pravidlo a n = a a... a (n činitelů) a 1 = a Počítání s mocninami Omezení Příklad n N 5 4 = a 0 = 1 a = 1 a = a 0 a n 1 a = (n činitelů) a 0, a a... a n N ,5 = 14,5 3 5 = = ( ) n n n a b = a b 700 = n a a = b b n n b = 5 5 m n m n a a = a = 10 m 7 a m n 3 5 = a a 0 3 n a 3 = n ( a ) m n m = a ( 7 ) 3 = Zavedení mocnin s celým exponentem umožňuje jednodušší a přehlednější zápisy některých čísel ve tvaru a 10 n, kde 1 a < 10 a n je celé číslo. Tímto způsobem se rovněž usnadní numerické výpočty v praxi. Příklad: Vypočtěte: , ( ) = = = ,

26 Příklad: Převeďte na jednotky uvedené v závorkách: a) 0, kj [J] b) 74,8 MW [W] c) 3 550, μa [A] d) 105,34 mω [Ω] a) 0, kj = 0, J = 3, J = 3,75 J b) 74,8 MW = 74, W =, W =, W c) 3 550, μa = 3 550, 10-6 A = 3, A = 3, A d) 105,34 mω = 105, Ω = 1, Ω = = 1, Ω Příklad: x x x 3 5 ( x ) 4 x x x x x 1 x x x x x = = = xx = x = ( x ) Odmocnina v reálném oboru E=m c Nechť a R, n N. Jestliže a > 0, pak n-tou odmocninou čísla a je takové kladné reálné číslo x, pro které platí x n = a. Toto číslo je právě jedno a značí se n a. Místo n a se píše a. Pro a = 0 se definuje 0 = 0. Jestliže a < 0 a n liché, pak se definuje n a = n a. (např. 3 8= 3 8= ). i Pro n sudé vždy platí n např. ( ) takto: a n = a, nikoli n a n = a, což platí pouze pro a 0. Proto = =, nikoliv. Např. řešení rovnice x = v R vypadá x x x x x = = = = =±. 6

27 Počítání s odmocninami Pravidlo Omezení Příklad n n a = a a 1 1 n 1 n a p q p q = n N, a > 0 n n n n n N, a 0, 3 8= = = a = a a > 0, p Z, q N 4 = 4 = 4 = 4 ab = a b n N, a,b > = = 10 = 0 n 3 a a 8 8 = n N, a,b > 0 3 = = n 3 b b a n k n m n a ( a) k = k Z, N mn = a, N n, a > 0 ( ) = 3 = 3 = 3 = 3 mn, a > = 81 = 81 = 3 = 3 Příklad: Pro všechna reálná čísla x 0, ) je možné výraz k x, kde x. x. x upravit do tvaru k N. Jaká je hodnota k? x. x. x = x x x = x = x = x k = 6 Příklad: Zjednodušte: 3 4 a a a a a a = a a a = a a = a a = a a = = a = a = a = a = a 7

28 Částečné odmocňování a usměrňování zlomků E=m c Částečné odmocňování je úprava odmocnin tak, aby pod odmocninou zůstalo co nejmenší číslo nebo mocnina výrazu. Příklad: = 4 48 = 4 1 = 4 3 = 3 = 3 E=m c Usměrnit zlomek znamená upravit jej tak, aby ve jmenovateli nebyly odmocniny (např. pro účely nalezení společného jmenovatele). V čitateli mohou odmocniny zůstat. Při úpravě využíváme vztah n a n = a a vzorec ( a+ b) ( a b) = a b. Příklad: Usměrněte zlomek: 6 a) b) a) = = = = =. 3 b) ( ) ( 3) ( ) ( ) = = =

29 Cvičení 5 Příklad 1: Zjednodušte: 3 a a) a 3 b) ( x y) ( xy ) c) x x 1 d) 4 ( 4 + x 3 4 ) e) y + 1 y 3 y 3 y + 1 a) b) a 3 6 x y c) = = d) ( ) = = 4 x 1 x x x y e) ( ) ( ) ( ) y + 1 y 3 3 y+ 1 5 y+ 3 7 y = 3 5 Příklad : Usměrněte zlomek: a) 7 5 b) a) 7+ 5 b) 9

30 Příklad 3: Částečně odmocněte a zjednodušte: a) 64a b c b) a) abc bc b) 0 Příklad 4: Vypočtěte: a) ( 1) 3 3 b) , ( ) a) 1 4 b) 54,9 Příklad 5: Zjednodušte: a) a a a a : 3 a a a b) , a) a b) 65,4 30

31 1.6 Lomený výraz určení, kdy má lomený výraz smysl E=m c Lomené výrazy jsou výrazy ve tvaru zlomku, v jehož jmenovateli je proměnná.lomený výraz má smysl tehdy, jestliže je jeho jmenovatel různý od nuly. Musíme tedy vždy určit, pro které hodnoty proměnné je jmenovatel různý od nuly. Příklad: Určete, pro které hodnoty proměnné mají dané výrazy smysl: x 3 a) 8 Ve jmenovateli je 8, což je různé od nuly. Výraz má smysl pro jakékoliv číslo. b) x + 9x 9x 0 x 0 výraz má smysl pro všechna x 0 c) 5x + 1 x + 3 x x 3 výraz má smysl pro všechna x 3 d) x 3 3x 8 3x 8 0 3x x výraz má smysl pro všechna x 3 3 e) + x 4xy 31

32 4xy 0 xy 0 výraz má smysl pro všechna x 0 y 0 x 0 y 0 f) x y xy 0 x x y 0 xy 0 výraz má smysl pro všechna x 0 y 0 g) 5 ( x 1)( x+ ) ( x )( x ) x 1 0 x+ 0 x 1 x Jestliže má být součin dvou výrazů různý od nuly, nesmí se rovnat nule ani jeden z daných výrazů. h) 3 ( x +1) ( x + 1) 0 ( x ) ( x ) ( x + 1) x 1 Jestliže má být libovolná mocnina daného výrazu různá od nuly, nesmí se nule rovnat výraz bez této mocniny. Výraz má smysl pro x 1 x + 4 i) x 5x 3

33 x 5x 0 x ( x 5) 0 x 0 x 5 Výraz má smysl pro x 0 x 5 3 j) x + xy x + xy 0 x ( x+ y) 0 x 0 x+ y 0 x 0 x y Daný výraz nejprve upravíme vhodným vytknutím. Jestliže má být součin dvou výrazů různý od nuly, nesmí se nule rovnat ani jeden z daných výrazů. Výraz má smysl pro x 0 x y x + 1 k) x + 4x+ 4 x + 4x+ 4 0 ( x + ) 0 ( x )( x ) x + 0 x Výraz má smysl pro x 3 l) x 1 x 1 0 ( x+ 1)( x 1) 0 ( x ) ( x ) x 1 x 1 Výraz nejprve upravíme pomocí vzorce a b = (a + b)(a b) 33

34 Jestliže má být součin dvou výrazů různý od nuly, nesmí se nule rovnat ani jeden z daných výrazů. Výraz má smysl pro všechna x ±1 x + 4x 5y m) x y ( x 5y)( x+ 5y) 0 ( x y) ( x y) x y x y Výraz má smysl pro všechna 5 x ± y 34

35 1.7 Operace s lomenými výrazy (krácení, rozšiřování, sčítání, odčítání, násobení a dělení) E=m c Krácení lomených výrazů představuje zjednodušení (úpravu) těchto výrazů, aniž by se změnila hodnota lomeného výrazu. Jedná se o dělení výrazu v čitateli i ve jmenovateli nejvhodnějším společným dělitelem. Příklad: Zjednodušte dané výrazy: 3 8x a) 4x 3 8x 4x x = = x 4x 4x x 0 Čitatele a jmenovatele dělíme společným dělitelem 4x b) 7x yz x yz x yz 1 6 x y z z 6z = = x yz 1 7 x x y z 7x x 0, y 0, z 0 Čitatele a jmenovatele dělíme společným dělitelem 1x y 4 z i Je - li v čitateli i ve jmenovateli více členů ve tvaru sčítání nebo odčítání, nelze provádět krácení! Čitatele popřípadě i jmenovatele je nutno rozložit na součin buď vytýkáním, nebo pomocí vzorců a potom teprve krátit. Příklad: Zjednodušte výraz: 18a 30 a 1a 0 35

36 ( a ) ( ) ( a ) ( ) 18a = = = a a a a a a a a 0, a 3 Společný dělitel je výraz (3a 5) E=m c Rozšiřování lomených výrazů je násobení čitatele i jmenovatele nenulovým výrazem. Příklad: Rozšiřte dané lomené výrazy tak, aby měly stejné jmenovatele: y y ; y 1 y 1 Protože y 1 ( y 1) ( y 1) ( y + 1) = +, stačí rozšířit pouze výraz y, a to dvojčlenem y 1 y y 1 ( y+ 1) ( y 1) y ( y+ 1) y + y = ( y 1) ( y+ 1) ( y 1) ( y+ 1) y ± 1 = y E=m c Lomené výrazy s různými jmenovateli sečteme (odečteme) tak, že je převedeme na společného jmenovatele: a c a d c b ad + bc + = + = b d b d d b bd a c a d c b ad bc = = b d b d d b bd b 0, c 0 36

37 Příklad: a 3 a) a a 7 + a a+ 1 a ( ) a 3 a a 7 + = a a+ a ( ) 1 a 3 a a 7 + = ( a+ ) ( a ) ( a+ ) ( a+ ) ( a ) ( ) ( ) ( ). ( a+ 1 ).( a 1). ( a+ 1 ).( a 1) a+ 3 a. a 1 a 7 a+ 3a 3 a + a a+ 7 = = = = a + a+ a 5 4 podmínky : a ± p 5 b) 3p- + 3p 4 9p 1 4 3p 5 = 3p- + 3p 4 9p 1 4 3p p 5 = = = p p + p ( + p) ( p) + p ( + p) ( p) ( p) ( p) ( p ) p p p ( + 3p) ( 3p) ( + 3p) ( 3p) = = = = 6p 5 ( + 3p) ( 3p) podmínky : p ± 3 c) 3a 5a a 4a 4 3a 5a 3a 5a 3a -5a 6a 5a a = = = = a 4a 4 a 1 4 a 1 4 a 1 4 a 1 4 a 1 podmínky : a 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 37

38 E=m c Součin lomených výrazů provedeme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. a c. b d ac = bd Postup při násobení lomených výrazů: 1. Čitatele i jmenovatele rozložíme na součin (vytýkáním, pomocí vzorců). Čitatele vykrátíme se jmenovateli 3. Součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů 4. Uvedeme podmínky řešitelnosti Příklad: Vypočítej a uveď podmínky řešitelnosti: 3ab 10x y a). 4xy 1ab ab x y ab xy x x x xy ab ab b xy b b = = = podmínka : y, x 0, a,b 0 b) +. r+ s r s r r rs ( + s) r r + rs r r r r+ s r r r = = = r+ s r s r+ s r s r + s r s r s podmínka : r ± s c) + n n n. n 1 3n+ 3 ( + n) n( n 1) n n n = = 5n n 1 3n+ 3 n 1 3n + 3 podmínka : n ± 1 38

39 d). r+ 1 r 3 r 9 r 1 r 9 r 1 ( r+ 3) ( r 3) ( r+ 1) ( r 1) = = ( r+ 3) ( r 1) = r+ 1 r 3 r+ 1 r 3 = r r+ 3r 3= r + r 3 podmínka : r 1, r 3 E=m c Dělení lomených výrazů se převádí na násobení tak, že první výraz necháme v původní podobě, znaménko dělení nahradíme násobením a druhý výraz obrátíme, tj. čitatel se stane jmenovatelem a naopak. i 1. tímto způsobem může přibýt nová podmínka existence. krátit můžeme až po převedení na násobení 3. nezapomeňte, že složený zlomek je jen jiný zápis pro dělení Příklad: Vypočtěte: 1 3z + z+ z z z 1 z+ 1 z+ 1 z z + z+ z z z 1 z+ 1 z+ 1 z podmínky (ze všech jmenovatelů) z ±1 z 0. přepsat do tvaru dělení se závorkami 1 3z z 1 1 : z + + z+ 1 z 1 z 1 z+ 1 z 1 39

40 3. sčítat a odčítat uvnitř závorek 1 3z z 1 z+ 1 + : z 1 z 1 ( z 1 ).( z 1) = + + z+ 1 z 1 1. ( z 1). ( z+ 1) + 3z ( z 1 ).( z 1) ( z+ 1 ).( z+ 1) = : = z+ 1. z 1 z+ 1. z 1 ( ) ( ) ( z+ 1. ) ( z 1) ( z+ 1. ) ( z 1) ( z+ 1. ) ( z 1) ( z+ 1. ) ( z 1) ( ) ( ) z 1 z + 3z z z+ 1 z z 1 = : = z 3 4z = : = 4. převedení na násobení z 3 ( z+ 1. ) ( z 1) =. = z+ 1. z 1 4z ( ) ( ) 5. doplnění podmínek: z 0 6. krácení a násobení z 3 1 z 3 =. = 1 4z 4z Příklad: Upravte výraz a stanovte podmínky existence: x + 1 x 1 x 1 x x + 4 x + 1 x 1 x+ 1 x 1 x+ 1 ( x x+ 1) = = = x 1 x 1 x 4x+ x 1 ( x+ 1) ( x 1) x 4x+ x + 1 = = x 1 x+ 1 x 1 ( x 1)( x 1) ( ) ( ) podmínka: x ±1 40

41 Cvičení 6 Příklad 1: Určete, pro které hodnoty proměnné mají dané výrazy smysl: 3x a) x + 8 b) 3x 1 6x 8 7 c) 4x d) 3x ( x+ 3)( x 1) e) 3x + x + 4x f) x + 3 x + 8x+ 16 x x 5y g) a) x 8 b) 4 x 3 c) x 0 d) x 3 x 1 e) x 0 x f) x 4 g) 5 x ± y 7 41

42 Příklad : Zkraťte a napište podmínky, kdy má výraz smysl: 3 4 1ab c a) 4 18abc b) ( y ) 3y 5 y 10y + 5 c) x 9 x + 3 5c + 10 d) c 8 e) f) g) h) 0a b 4abc 8ab + a b a b z 1 az + a x 5 x + x 5 ab a) b) b, abc,, 0 3a ( y ) 3y + 5,y 5 y 5 c) x 3, x 3 d) e) 5, c ± ( c ) 5,, 0 ab c c f) a b, a b g) z 1, a 0 z 1 a 4

43 x h), x ± 5 x 5 Příklad 3: Vypočítejte a napište podmínky, kdy má výraz smysl: x 3 x + 1 a) + 3 b) c) 3 + a a b x x + x 3 x+ 3 a 3b 4a 5b ab ab d) x y x+ y + a y y a a y e) x x x x 4 f) g) 5 - x- + x-1 x-3 x 9 x n 1 h) + n-3 n n a) 5x 7 6 b) c) d) a + 6 b, ab, 0 ab 9 3x 3 x, x ± 3 x 7ab 4a 3b ab, ab, 0 ax + xy +, a ± y a y e) f) ( x + 1) ( 4) x x, x 0 x ± 43

44 g) x 4x + 37, x ± 3 9 ( x ) 15n h), n ± 4n 9 Příklad 4: Upravte výraz, stanovte podmínky existence. 4x x a) 3 y : 1+ 3y 3y b) c) x y : x y 9x y 3xy 1 1 : x + 1 x+ 1 x b a d) ( a+ b) e) f) g) h) x y xy y x x+ y a b+ 6 b+ 3 3a x x + 4 x x xy 3 p + pq p. q q p q p p 5 5 a) 3y x, y 0 x+ y b), x, y 0 x y 3xy c) d) 3 x, x 1 x + 1 a b ab, ab, 0 e) x y, x, y 0 x y 44

45 f) g) h), 3 3 a b ( x y) x, x 0 x 4 q + pq, p 0, p 1, p ± q 10 p 10 45

46 Lineární rovnice a jejich soustavy.1 Lineární rovnice a jejich řešení E=m c Lineární rovnice jsou všechny rovnice, které můžeme zapsat ve tvaru ax + b = 0 (neznámá x je pouze v první mocnině) Rovnice je vlastně zápisem rovnosti hodnot dvou výrazů a je tedy nutné, abychom při jejím řešení používali pouze takové úpravy, které tuto rovnost zachovávají. Jedná se o ekvivalentní úpravy rovnic. Ekvivalentní úpravy rovnic jsou: 1. přičítání a odečítání reálného čísla. přičítání a odečítání neznámé (nebo výrazu obsahujícího neznámou) 3. násobení reálným číslem kromě nuly 4. násobení neznámou (nebo výrazem obsahujícím neznámou), pokud je různá od nuly (nebo výraz je různý od nuly) 5. dělení reálným číslem kromě nuly 6. dělení neznámou (nebo výrazem obsahujícím neznámou), pokud je různá od nuly (nebo výraz je různý od nuly) 7. výměna pravé a levé strany rovnice Jak řešíme rovnici ax + b = 0? ax + b = 0 / b ax = b / a b x = a Při řešení rovnice postupujeme tak, že se snažíme mít na jedné straně rovnice výraz s proměnnou x a na druhé straně zbytek. Proměnnou osamostatníme tak, že celou rovnici dělíme číslem a (předpoklad: a 0) 46

47 i Je třeba si uvědomit, že při grafickém řešení lineární rovnice vlastně hledáme průsečík přímky (y = ax + b) s osou x (y = 0). Jistě si dovedete představit, že mohou nastat následující situace: 1. přímka osu x protíná v jednom bodě rovnice má jedno řešení. přímka je s osou x rovnoběžná, nemá s ní žádné společné body rovnice nemá řešení 3. přímka splývá s osou x rovnice má nekonečně mnoho řešení Řešte rovnici v R: 1 x + 4 ( x 1) + ( x 1) = 3 1 x + 4 ( x 1) + ( x 1 ) = / = ( x ) ( x ) ( x ) x + 1x 1 = 3x+ 1 14x 14 = 3x+ 1 / x=+ 3x+ 6 / 3x 11 x = 6 / 11 6 x = rovnice má jedno řešení 11 Zkouška: L = = = + = + = P = 11 = 11 = 11 = = = L= P Výsledek zapíšeme: 6 K = 11 (čteme: množina kořenů K obsahuje číslo dvacet šest jedenáctin ) Graficky: Přímka protíná osu x v jednom bodě. 47

48 Řešte rovnici v R: ( x ) ( x) ( x ) = ( x ) ( x) ( x ) = x+ 1+ x = 5x x = 14 rovnice nemá řešení Zkoušku neděláme (nemáme s čím). Výsledek zapíšeme: K = { } nebo K = Graficky: Přímka nemá s osou x žádné společné body, je s ní rovnoběžná. Řešte rovnici v R: ( x ) ( x ) ( x ) = ( x ) ( x ) ( x ) = ( ) ( ) 4 x + 6x+ 9 4x + 4x+ 1 = 0x x + x+ x x = x+ 0x+ 35 = 0x+ 35 0x = 0 řešením rovnice je libovolné reálné číslo Zkoušku neděláme. Výsledek zapíšeme: K = R Graficky: Přímka splývá s osou x. Řešte rovnici v R: ( ) x = 5 3 ( 5+ 3) x = 5 3 / ( 5+ 3) x = x = x = x = 4 15 výsledek necháme v této podobě 48

49 Lineární rovnice lze řešit i v jiných množinách, než je množina reálných čísel R. Takovými množinami mohou být následující množiny: N množina přirozených čísel, Z množina celých čísel, Q množina racionálních čísel atd. V množině Z řešte rovnici: 3x 5 + (1 x ) = (x + ) ( ) ( ) 3x 5+ 1 x = x+ 3x 5+ x = x x 3= x x = 1 1 x = Z Protože výsledek je racionální číslo a nikoliv číslo celé, tak tato rovnice nemá v Z řešení. Množinově zapíšeme: K = nebo K = { } Poznámka: Pokud bychom tentýž příklad řešili v množině R nebo Q, pak by výsledkem byla 1 a množinový zápis by byl 1 K =. V množině N řešte rovnici: x + 4 x x + + = x+ 4 x 1 x+ 4 + = 1 + / ( x+ ) + ( x ) = + ( x+ ) 4x x 6= 1+ 3x+ 1 10x+ 10 = 3x+ 4 7x = 14 / 7 x = N Množinový zápis: K = {} i Řešíme-li rovnice s neznámou ve jmenovateli, pak nesmíme zapomenout na podmínky pro jmenovatele. Řešením rovnice je pak takový výsledek, který těmto podmínkám vyhovuje. Řešte v R rovnici: y 7 = y+ 1 y 1 49

50 5 10 7y 7 = / y+ 1 y 1 ( y ) ( y ) ( y ) ( y) ( y ) = ( 1) y y = y+ y y ( y ) ( y ) 5y 5 7y + 7= 3y y / + 7y 5y+ = 3y+ 10 / 3y y = 8 /: y = 4 Podmínky: y ±1 Výsledek vyhovuje podmínkám, takže můžeme psát K = {4} Zkouška: 5 5 L = 7 = 7 = 1 7 = P = = = = L = P Řešte v R rovnici: ( x 3) x 3 = x x x x 3 3 ( x 3) x 3 = / x 3 x x x x 3 3 ( ) ( ) x x 3 x 3 = x = x x x x 0= 0 ( x ) Podmínky: x 0 x 3 Řešením rovnice je každé reálné číslo, ale vzhledem k podmínkám musíme vyloučit dvě hodnoty 0 a 3. Výsledek tedy zapíšeme: 3 K = R 0, 50

51 Cvičení 1 Příklad 1: Rovnici a) v R 3y+ 6 5y 1 + = y řešte: b) v Z a) 0 K = 3 b) K = { } Příklad : Řešte v N rovnici: (x 1) 3(x ) + 4(x 3) = (x + 5) ŘESENI K = {18} Příklad 3: Řešte v R rovnici: 3 5u + 13 = u+ 3 u+ 3 ŘESENI 10 K = 3 Příklad 4: Řešte v R rovnici: = 3 x x K = { } Příklad 5: Řešte v R rovnici: 1 x 1 x + + 1= + 1 x x K = { } 51

52 . Vyjádření neznámé z technického vzorce i Při vyjadřování neznámé ze vzorce postupujeme obdobně, jako kdybychom řešili rovnici. Neznámá je pro nás veličina, kterou potřebujeme vyjádřit. Základní pravidla: 1. Při převodu členu z jedné strany rovnice na druhou musíme u tohoto členu změnit znaménko.. Jestliže osamostatňujeme proměnnou, která je vázána v součinu, dělíme celou rovnici všemi činiteli, kterými je proměnná v součinu násobena. 3. Je-li proměnná, kterou chceme osamostatnit, zapsána ve druhé (ve třetí) mocnině, provedeme odmocnění (třetí odmocnění) celé rovnice. N U Pro výpočet transformátoru platí vzorec =. Vyjádřete sekundární napětí N1 U1 U : N N 1 1 N U 1 = U N1 U = / U U 1 Abychom osamostatnili na pravé straně rovnice U, musíme celou rovnici vynásobit U 1. Pro efektivní proud platí vzorec I I m =. Vyjádřete z něj amplitudu I m : 5

53 I m I = / I = Im / I = I m I = I m I = I m I = I m Nejprve jsme celou rovnici vynásobili, abychom se zbavili zlomků. Dále jsme potřebovali na pravé straně rovnice osamostatnit neznámou I m, tak jsme celou rovnici dělili. Nakonec jsme museli na levé straně rovnice usměrnit zlomek, abychom odstranili odmocninu ze jmenovatele, což jsme provedli vynásobením čitatele i jmenovatele. Po zkrácení zlomku jsme získali výsledek. Elektrická práce se vypočítá podle vzorce W = R I t. Vyjádřete veličinu I: W R I t / R t = W I = / Rt W = I Rt Nejprve jsme na pravé straně rovnice osamostatnili I tak, že jsme celou rovnici vydělili činiteli, kterými bylo I násobeno. Abychom získali pouze I, museli jsme celou rovnici odmocnit. Doba kmitu (perioda) mechanického oscilátoru se vypočítá podle vzorce m T = π. Vyjádřete veličinu m. k T = π m k / ( ) m T = 4 π k T k = 4 π m / k / 4π T k = m 4π 53

54 Abychom se zbavili odmocniny, museli jsme hned na začátku umocnit celou rovnici na druhou. Přestože jsme provedli neekvivalentní úpravu (umocnění), není třeba provádět zkoušku, protože fyzikální veličiny, které se vyskytují ve vzorci, jsou kladné. Pro výsledný odpor paralelně zapojených rezistorů platí vzorec Vyjádřete veličinu R = +. R R R = + R R1 R / RR1R R1R = RR + RR1 R R = R R + R R + R RR 1 R + R = R ( ) / ( ) Rovnici jsme vynásobili společným jmenovatelem, abychom se zbavili zlomků. Z výrazu na pravé straně rovnice jsme vytkli R a následně jsme celou rovnici vydělili výrazem (R 1 + R ), abychom osamostatnili R na pravé straně rovnice. Cvičení Příklad 1: Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu: s 1 = at. Vyjádřete veličinu t. t = S a Příklad : Newtonův gravitační zákon: F g mm 1 = χ. Vyjádřete veličinu m. r m = Fr g χ m 1 Příklad 3: π ( R+ h) Oběžná doba družice: T =. Vyjádřete veličinu R. v k 54

55 Tv R= k h π Příklad 4: Kalorimetrická rovnice: cm ( t t) cm ( t t ) C ( t t ) t t k = +. Vyjádřete veličinu k ( ) cmt + Ckt c1m1 t1 t = cm + C Příklad 5: Čočková rovnice =. Vyjádřete veličinu ' a a f ' a. ' af a = a f 55

56 .3 Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých i O soustavě dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x a y hovoříme tehdy, když se rovnice dají ekvivalentními úpravami převést na tvar ax+ by= c , = ax by c kde aspoň jedno z čísel a 1, b 1 je různé od nuly a zároveň aspoň jedno z čísel a, b je různé od nuly. Řešíme-li tuto soustavu rovnic pro x R, y R, pak pro množinu K řešení nastane jeden z těchto případů: a) K je jednoprvková množina (přímky mají jeden společný bod průsečík P = [x, y]) b) K je nekonečná množina (přímky splývají) c) K je prázdná množina (přímky jsou rovnoběžné) Soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x a y lze řešit také graficky. Vyšetřujeme vlastně vzájemnou polohu dvou přímek, které jsou určeny příslušnými lineárními rovnicemi. Mohou nastat výše popsané situace. Podstatou řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých je vyloučení jedné neznámé z některé z rovnic soustavy. Podle způsobu, jak to provedeme, rozlišujeme dvě základní metody řešení: a) sčítací metoda rovnice soustavy násobíme čísly zvolenými tak, aby se po sečtení rovnic jedna neznámá vyloučila b) dosazovací metoda - vyjádříme jednu neznámou z jedné rovnice soustavy a dosadíme ji do druhé rovnice, čímž se jedna neznámá z této rovnice vyloučí. Dosazovací metodou řešte soustavu rovnic v R R: 3x+ y = 8 (1) x 5y = 3 () z rovnice () vyjádříme proměnnou x: x = 5y 3 ( ) nyní dosadíme do rovnice (1) a vyřešíme lineární rovnici o jedné proměnné y ( y ) y = 8 56

57 15y 9 + y = 8 17 y = 17 / 17 y = 1 zbývá dopočítat proměnnou x, což provedeme dosazením do rovnice ( ) za y = 1 x = 51 3 x = Množina kořenů K je jednoprvková, kořenem je uspořádaná dvojice [x, y] = [; 1]. Sčítací metodou řešte soustavu rovnic v R R: 3x+ y= 8 (1) x 5y= 3 () Rovnici () dané soustavy vynásobíme číslem -3 a dostaneme tak soustavu rovnic 3x+ y = 8 3x+ 15y = 9 Sečteme postupně proměnné x a y pod sebou na levé straně rovnice a čísla na pravé straně rovnice a dostaneme rovnici o jedné proměnné, kterou již snadno vyřešíme. 17 y = 17 / 17 y = 1 Za y dosadíme číslo 1 do některé z rovnic soustavy, např. do (1) a vypočítáme x: 3x + 1= 8 3x = 6 / 3 x = Výsledek zapíšeme: K = {[; 1]} Zkouška: L1 = 3 + 1= 8 P1 = 8 L1 = P1 L = 5 1= 3 P = 3 L = P 57

58 Řešte v R R soustavu rovnic: x y = 3 4x+ y = 6 x y = 3 / 4x+ y = 6 4x y = 6 4x+ y = 6 0 x+ 0 y = 0 0= 0 Soustava má nekonečně mnoho řešení. Řešte v R R soustavu rovnic: x y = 3 4x+ y = 6 x y = 3 y = x 3 ( x ) 4x+ 3 = 6 4x+ 4x 6 = 6 6 = 6 Soustava nemá řešení. Řešte v R R soustavu rovnic: 3x+ 4y 4x 7y = 1 4 4x 3y 14x 9y = 6 4 3x+ 4y 4x 7y = 1 / 4 4 4x 3y 14x 9y = / ( x y) ( x y) ( x y) ( x y) = = 4 58

59 6x+ 8y 4x+ 7y = 4 8x 6y 4x+ 7y = 4 x+ 15y = 4 / 17 34x+ 1y = 4 34x+ 55y = 68 34x+ 1y = 4 0 x+ 76y = 9 76y = 9 / 76 1 y = x+ 4 4x = 1 / x+ 4x = x+ 4x+ = 4 / x + 8-1x + 7 = 1 6x + 15 = 1 6x = 3 / 6 3 x = 6 1 x = Řešení: 1 1 ; 3 Cvičení 3 Příklad 1: Řešte v R R následující soustavy rovnic: x+ y = 7 a) 3x 4y = 6 b) x+ 3y = 5 x + y = 1 59

60 c) x y = 0 3y 1= 4x d) x y = 5 4x 3y = 8 e) f) 5x y + = 4 5 x y 1 + = ,6x+ 0, y= 1 5x 0,1y= 3 a) x =, y = 3 b) c) 11 x =, y = x =, y = 1 d) x = 3, 5, y = e) x =, y = 5 f) x =, y = Příklad : Řešte v R R následující soustavy rovnic: 5 a) ( y + ) = 3( x 3) + 7 3( y + ) + 3 = 5( x 3) b) 5y 6x 4x = + 3y 13 x+ 3y 5y 6x 1 = x 4 6 a) x = 7, y = 3 b) x = 5, y = 6 60

61 Příklad 3 Řešte v R R následující soustavy rovnic: 1 a) ( x 3y) = 3( 3y + x) 31 3( 3y x) = 73 8( x 3y) b) 5x 3y y 3x = + x x 3y 3y x = + y a) x = 4,8, y = 3 b) x = 3, y = 61

62 3 Funkce 3.1 Co je funkce S funkcemi se setkáváme vždy, když vyjadřujeme závislost nějaké veličiny na jiné. Například závislost obsahu kruhu na jeho poloměru, závislost velikosti odporu na velikosti procházejícího proudu. Můžeme zjednodušeně říci, že obsah kruhu je funkcí jeho poloměru. E=m c Funkce na množině A, která je podmnožinou množiny R, je předpis, který každému číslu z množiny A přiřazuje právě jedno reálné číslo. Množina A se nazývá definiční obor funkce. Jakým způsobem se zapisuje, že se jedná o funkci? Funkce na množině A= 3;4, která každému číslu x A přiřazuje číslo y, které je trojnásobkem x lze zapsat: y= 3, x x 3;4. Označíme li funkci např. písmenem f, rozšíříme zápis na tvar f: y = 3 x, x 3;4, nebo také ( x) f = 3 x, x 3;4, někdy se používá také zápis x 3, x x 3;4. Všechny zápisy nám říkají, jaký je definiční obor funkce a jakým způsobem přiřadíme číslu x z definičního oboru příslušné číslo y. Protože y je závislé na x, nazýváme x nezávisle proměnnou a y závisle proměnnou. Číslo f (x) nazýváme hodnotou funkce f v bodě x, f () = 6, také lze použít termín funkční hodnota. Definiční obor funkce je tedy množina všech x, pro která je daná funkce definována, označujeme ji D(f). Množinu všech y, která přísluší dané funkci, nazýváme obor hodnot a značíme ji H(f). E=m c Obor hodnot funkce f je množina všech y R, ke kterým existuje aspoň jedno x z definičního oboru funkce f tak, že y = f (x). Při studiu funkcí je pro nás také důležité grafické znázornění závislosti jedné proměnné na druhé. Pro znázornění grafu funkce používáme pravoúhlé soustavy 6

63 souřadnic Oxy. Jsou-li na obou osách stejně dlouhé stejné délkové jednotky, říkáme této soustavě souřadnic kartézská. E=m c Graf funkce f ve zvolené soustavě souřadnic Oxy v rovině je množina všech bodů X = [x, f (x)], kde x patří do definičního oboru funkce f. 3 Je dána funkce f: y = x 1. a) Určete její definiční obor. b) Najděte hodnotu funkce v bodě 3. c) Rozhodněte, zda číslo - patří do oboru hodnot. Řešení: a) Definičním oborem je množina všech x R takových, že dělit!). Definičním oborem je tedy R { 1;1}. x 1 0 (0 nelze 3 b) Funkční hodnotu získáme tak, že do výrazu dosadíme za x číslo 3, x 1 f ( 3) = 3 = c) Je třeba zjistit, zda existuje x Df ( ) takové, že [ ] x; f. Má rovnice 3 = x 1 řešení? Výpočtem dojdeme k závěru, že x = 0,5, rovnice tedy nemá v R řešení, a proto nepatří do oboru hodnot. Některé vlastnosti funkcí Dříve než se seznámíme s konkrétními funkcemi, poznejme některé základní vlastnosti funkcí, které má význam zkoumat. Rostoucí a klesající funkce E=m c Funkce f se nazývá rostoucí právě, když pro všechna, D( f) x 1 < x, pak f (x 1 ) < f (x ). x x platí: je-li 1 Funkce f se nazývá klesající právě, když pro všechna, D( f) x 1 < x, pak f (x 1 ) > f (x ). x x platí: je-li 1 63

64 i Na grafu funkce tuto vlastnost poznáme tak, že rostoucí funkce stoupá do kopce, klesající jde s kopce. Některé funkce splňují tuto vlastnost jen na některém intervalu definičního oboru, zkoumáme tedy tuto vlastnost na příslušném intervalu. Pokud je funkce rostoucí na celém definičním oboru, říkáme jí rostoucí, je-li klesající na celém definičním oboru je klesající. Sudá a lichá funkce E=m c Funkce f se nazývá sudá, je-li pro všechna x Df ( ) f( x) f( x) =. Funkce f se nazývá lichá, je-li pro všechna x Df ( ) f( x) f( x) =. i Tato vlastnost je opět čitelná z grafu funkce, graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y a graf liché funkce je středově souměrný podle počátku soustavy souřadnic. Omezená funkce E=m c Funkce f se nazývá omezená v intervalu I (I je podmnožinou definičního oboru), jestliže existuje takové číslo C, že pro všechna x I platí: f (x) C. i Funkce může být na intervalu omezená shora to znamená, že existuje číslo, které hodnota funkce v daném intervalu nepřekročí, nebo zdola tedy zde existuje číslo, pod které hodnota funkce v intervalu neklesne. Samozřejmě, že interval se může rovnat celému definičnímu oboru. Je-li funkce omezená shora i zdola říkáme, že je omezená. 64

65 3. Lineární funkce E=m c Lineární funkce na množině R je funkce daná předpisem y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla, a 0. i Grafem lineární funkce je přímka, která je různoběžná s osami soustavy souřadnic. Platí také obráceně, tedy každá přímka (nebo její část) různoběžná s osami soustavy souřadnic je graf nějaké lineární funkce. Protože přímka je určena dvěma body, stačí k sestrojení grafu znát pouze jeho dva body. Cisterna má objem 500 litrů. Čerpadlo dodává do cisterny 50 litrů kapaliny za minutu. Před začátkem čerpání byla cisterna zcela prázdná. a) Kolik litrů kapaliny bude v cisterně na konci páté, desáté, dvacáté minuty čerpání? b) Za jak dlouho se cisterna zcela zaplní? c) Určete funkci vyjadřující závislost objemu V kapaliny (v litrech) v cisterně na čase t (v minutách) d) Sestrojte graf této funkce 65

66 Řešení: a) Čas (min) Objem kapaliny v cisterně (l) = = = 1000 b) Cisterna se naplní za 50 minut. c) Pro každé t 0;50 je V = 50 t. Označíme závisle proměnnou V za y a nezávisle proměnnou t za x a dostáváme funkci f: y = 50 x; x 0;50 d) Lineární funkce, v jejímž předpisu y = ax + b je b = 0 se nazývá také přímá úměrnost. 66

67 3.3 Konstantní funkce Konstantní funkce někdy bývá uváděna jako speciální případ funkce lineární. E=m c Konstantní funkce na množině R je funkce daná předpisem y = b, kde b je reálné číslo. i Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x. K sestrojení grafu stačí určit jediný bod. Přímka, která není rovnoběžná s osou y, je grafem funkce lineární nebo konstantní. Definičním oborem těchto funkcí, pokud není stanoveno jinak, je množina R. K sestrojení grafu potřebujeme znát dva body. Lineární funkce je rostoucí pro a > 0, klesající pro a < 0. 67

68 3.4 Kvadratická funkce E=m c Kvadratická funkce na množině R je funkce daná předpisem y = ax + bx + c, kde a, b, c jsou reálná čísla, a 0. i Grafem kvadratické funkce je parabola, která je souměrná podle osy rovnoběžné b b s osou y. Vrchol paraboly má souřadnice V = ; c a 4a. Vlastnosti kvadratické funkce v závislosti na koeficientu a Vlastnosti a > 0 a < 0 Obor hodnot b b c ; + ) ( ; c 4a 4a Rostoucí b b ; + ) ( ; a a Klesající b b ( ; ; + ) a a Omezená zdola shora 68

69 Je dán kvádr se čtvercovou podstavou o délce hrany a cm a výšce 4 cm. Zapište funkci, která vyjadřuje a) závislost objemu kvádru na délce hrany podstavy b) závislost povrchu kvádru na délce hrany podstavy a) y= 4 a, a ( 0, ) b) y= a + 16 a, a ( 0, ) 69

70 3.5 Exponenciální funkce E=m c Exponenciální funkce o základu a se nazývá funkce daná rovnicí y = a x, kde a je kladné reálné číslo různé od 1. i Definičním oborem této funkce je množina R všech reálných čísel. Obor hodnot je (0; ), funkce je zdola omezená, funkční hodnota v bodě 0 je rovna 1. Pro a > 1 je a 0;1 klesající. rostoucí a pro ( ) Grafem exponenciální funkce je exponenciální křivka exponenciála. 70

71 Na základě vlastností exponenciální funkce rozhodněte, zda jsou pravdivá tvrzení: a),8,7 5 5 < 7 7 b) c) d) 7 0,7 < 1 1,6 1,5 5 5 < , < 1 Řešení: a) Základ mocniny je číslo 5, které je menší než 1. Proto se jedná o klesající 7 funkci, tedy pro větší x je menší y. Tvrzení je pravdivé. b) Základ mocniny je číslo, které je menší než 1. Jedná se o klesající funkci. 7 Tvrzení je pravdivé. c) Základ mocniny je číslo 5, které je větší než 1. Proto se jedná o rostoucí 4 funkci, tedy pro větší x je větší y. Tvrzení není pravdivé. 71

72 d) Základ mocniny je číslo 8, které je větší než 1. Jedná se o rostoucí funkci. 7 Tvrzení není pravdivé. Doporučení: načrtněte si graf rostoucí a klesající exponenciální funkce a dané hodnoty na něj umístěte. 7

73 3.6 Logaritmická funkce E=m c Logaritmická funkce o základu a je funkce inverzní k exponenciální funkci y = a x, kde a je kladné reálné číslo různé od 1. Zapisujeme y = log a x, čteme y se rovná logaritmus x při základu a. i Grafy inverzních funkcí jsou souměrné podle přímky y = x. Definičním oborem logaritmické funkce je interval (0; ), obor hodnot je množina R. Není shora ani zdola omezená, funkční hodnota v bodě 1 je rovna 0. a 0;1 klesající. Pro a > 1 je rostoucí a pro ( ) 73

74 E=m c Pravidla pro počítání s logaritmy Pro každé a > 0, a 1 a pro všechna kladná reálná čísla r, s platí: log a (r s) = log a r + log a s r log log r log s = a a a s Pro každé a > 0, a 1 a pro všechna kladná reálná čísla r a pro všechna s R : log a r s = s log a r. Podle pravidel pro počítání s logaritmy určete, jaký výraz byl logaritmován: log log 3 6 0,5 log 3 0,5 Řešení: log 4 + log 6 0, 5 log 0,5 = log = log 3 40, ,5 Logaritmován byl výraz

75 3.7 Cvičení ke kapitole funkce Pro lineární funkci y = ax + b platí: b = 3, funkční hodnota v bodě je rovna 5. Je tato funkce rostoucí nebo klesající? Určete a. Rostoucí, a = 4. Pro která c je funkce c y = c + 1 rostoucí? x c ( ; 1) ( 3; ) Najděte všechna x R, pro něž platí: a) log x > log 4 b) log 0,5 x log 0,5 c) log x 3 < log x 11 a) x > 4 b) x c) x > 1 75

76 4 Posloupnosti 4.1 Co je posloupnost Kapitola o posloupnostech by mohla být součástí učiva o funkcích, protože posloupnost je funkce, která je výjimečná svým definičním oborem. Proto je dobré nyní pro zopakování vyhledat co je funkce a co je definiční obor funkce. Hotovo? Pokračujme! E=m c Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina N všech přirozených čísel, se nazývá nekonečná posloupnost. Každá funkce, jejíž definiční obor je množina všech přirozených čísel n n 0, kde n 0 je dané číslo z množiny N, se nazývá konečná posloupnost. Definičním oborem posloupnosti jsou tedy přirozená čísla, obor hodnot tvoří n-té členy posloupnosti, tedy pro n=1 je to 1. člen posloupnosti, pro n=. člen posloupnosti atd. ( 1 n ) n= 1 Funkční předpis tedy zapíšeme: ( ) + a čteme posloupnost + ( 1) n od n rovno 1 do nekonečna. První člen této posloupnosti pak má hodnotu 3, druhý 1, třetí 3 atd. 3 Konečná posloupnost např. ( ) 5 0,5n n= 1, jejíž členy jsou 0,5; 4; 13,5; 3; 6,5. Takto zadané posloupnosti jsou posloupnosti určené vzorcem pro n-tý člen. Další možností vyjádření posloupnosti je posloupnost určená rekurentně. i Název je z latinského recurrere, tedy vraceti se, jít zpět. Pro posloupnost ( n ) 1 a platí a = 1 = 1, a = 1, a n+ = a n+1 a n pro každé n N. n Pak 3. člen získáme a 3 = a a 1, tedy a 3 = 1 1 = 3. i Nevýhoda rekurentního určení posloupnosti spočívá v nutnosti znát předcházející členy pro určení libovolného členu. 76

77 Některé vlastnosti posloupností Rostoucí a klesající posloupnost E=m c Posloupnost ( n ) 1 pak a r < a s. a je rostoucí, právě když pro všechna rs, N platí: Je-li r < s, = n Posloupnost ( n ) 1 pak a r > a s. a n= je klesající, právě když pro všechna rs, N platí: Je-li r < s, Pro zjištění, zda je posloupnost rostoucí nebo klesající nejprve určíme několik prvních členů. Pokud se dá předpokládat, že posloupnost má některou ze zmíněných vlastností, použijeme k důkazu následující věty. E=m c Posloupnost ( n ) 1 a n= Posloupnost ( n ) 1 a n= je rostoucí, právě když pro všechna n N je a n < a n+1. je klesající, právě když pro všechna n N je a n > a n+1. Omezená posloupnost E=m c Posloupnost ( an ) n= 1 se nazývá shora omezená, právě když existuje reálné číslo h takové, že pro všechna n N je a n h. Posloupnost ( n ) 1 a se nazývá zdola omezená, právě když existuje reálné číslo d n= takové, že pro všechna n N je a n d. Rozhodněte, zda následující posloupnosti jsou rostoucí či klesající, omezené shora či zdola. a, a = n = ( ) n a) ( n ) 1 n b) ( n ) 1 n b, b n= n = n + 1 Řešení: a) a 1 = ; a = 4; a 3 = 8; a 4 = 16 tedy a 1 < a a zároveň a > a 3 atd. Z toho vyplývá, že posloupnost ( an ) n= 1 není ani rostoucí ano klesající, také není ani shora ani zdola omezená. 77

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)

VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C) VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Algebraické výrazy-ii

Algebraické výrazy-ii Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu dovoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV..1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. Algebraické výrazy Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. 1. Upravte výrazy: a) 6a + 3b + 2a + c b b) 3m + s

Více

CVIČNÝ TEST 19. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 19. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 19 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete, kolikrát je rozdíl čísel 289 a 255 větší než jejich součet.

Více

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo. Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY

1. ČÍSELNÉ OBORY ČÍSELNÉ OBORY 1. ČÍSELNÉ OBORY Číselným oborem rozumíme číselnou množinu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení, tj. číselný obor je vzhledem k těmto operacím uzavřený.

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x. Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme

Více

M - Algebraické výrazy

M - Algebraické výrazy M - Algebraické výrazy Určeno jako studijní text pro studenty dálkového studia a jako shrnující textpro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 14 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 7x 11 1 Určete hodnotu výrazu pro x = 27. 11 7x 32 2 Aritmetický průměr

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 1. Elementární funkce 1.2. Přehled elementárních funkcí 2 Lineární funkce - je každá funkce na množině R, která je dána ve tvaru y = a.x + b, kde a,b R. Pokud

Více

Rozklad na součin vytýkáním

Rozklad na součin vytýkáním Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz

Více

M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK

M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV..1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK

M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 3 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = ( ; 2), B = 1; 3, C = 0;

Více

Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková

Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více