Zápočtová písemka Řešení

Transkript

1 Zápočtová písemka Řešení 0. května 0. Spočítejte derivaci následujicí funkce podle x a podle ln x: y ln ln ln x )) + ln ln ln 598 )).. Řešení: Tento člen ln ln ln 598 )) sloužil samozřejmě jen k zmatení nepřítele jakákoliv derivace tedy i podle ln x) konstanty je 0, ale tím většinu z vás už nemůžu nachytat. y ln ln x ) ln ln x ) ln x ln x x 6 x ln x ln ln x ). Derivace podle ln x můžete dělat dvěma způsoby: Buď si zavedete substituci ln x t a derivujete funkci ln ln t )) + ln ln ln 598 )) podle t, přičemž nakonec vezmete tuto substituci zpátky nebo postupujete úplně stejně jako při derivaci podle x, jenom v poslední kroku derivace ln x už nebude /x, ale. Čili: dy d ln x 6 ln x ln ln x ) ) tan sin ax tan cos ax +. x 0 tan sin bx tan cos bx Řešení: Jedná se o itu součtu dvou zlomků, můžete tedy počítat zvlášť itu jednoho a zvlášť druhého. V prvním zlomku po dosazení x 0 vyjde patologický výraz 0 0 tan sin 0 tan 0 0), který nemá jednoznačný význam rozhodně například neplatí alespoň ne obecně 0 0, jak se někteří z vás pokoušeli do písemky propašovat), nicméně tento případ je jedním ze dvou další je ), za kterých je povoleno použít tzv. L Hospitalovo pravidlo, které spočívá v tom, že derivujete zvlášť vrch a zvlášť spodek zlomku nikoliv tedy celý výraz): tan sin ax x 0 tan sin bx x 0 cos sin ax) cosax)a cos sin bx) cosbx)b

2 díky této úpravě se výpočet stává triviálním, protože po dosazení, žádný patologický případ nenastane a ita snadno vyjde: cos sin 0) cos0)a cos sin 0) cos0)b a b. V itě druhého zlomku, žádný problém není což, jak se ukázalo, některé lidi zmátlo zřejmě ode mne takovou podlost neočekávali). Výpočet se provede pustým dosazením a není tedy potřeba a ani to není povoleno) použít L Hospitalovo pravidlo. Naopak jedná se o chybu, která vám změní výsledek. Dosazením výjde: tan cos ax tan cos 0 x 0 tan cos bx tan cos 0, ale L Hospitalovým pravidlem by vám vyšlo a b. Celkové řešení příkladu je: x 0 tan sin ax tan cos ax + tan sin bx tan cos bx ) a b +.. Rozviňte funkci fx) do Taylorovy řady v okolí počátku: Hint: e x fx) +x ) + sin x + cos x + e x. x k k!.) Řešení: Tento příklad má v podstatě tři části. Za prvé bylo třeba si uvědomit, že sin x + cos x a nebylo tedy nutné se pokoušet rozvíjet tento člen v Taylorovu řadu byl to malý chytáček). Za druhé výraz +x ) se dá rozložit pomocí binomické věty, jak ji znáte ze střední školy: +x ) + x +x 4 + x 6, nebo jak si mnozí z vás vzpoměli) ve tvaru: ) +x ) x n0 n n jen doufám, že ti, co to takto napsali, si uvědomují, ) že řada není nekonečná, ve skutečnosti má pouze 4 členy, protože 0pro k>. k A výpočet posledního členu se zakládal na nečem, čemu já říkám Univerzální zákon substituce normálně se nevyučuje a nikde v literatuře na něj nenatrefíte, protože se považuje za tak samozřejmý a základní, že nikdo by neplýtval papírem především v naší ekologicky pohnuté době) ale já nemohu dostatečně zdůraznit jeho důležitost, protože řekl bych) jeho pochopení či nepochopení představuje rozdíl mezi tím, jestli rozumíte matematice či ne. Říká zhruba toto: Objeví-li se v jakékoliv rovnici, kdekoliv ji uvidíte, kýmkoliv napsanou, na levé i na pravé straně x nebo nějaké jiné písmenko) na které se nevztahuje žádné omezení jako například občas se po něm chce, aby šlo o celé číslo nebo že x představuje jenom označení nějakého předem definované konstanty, podobně jako třeba e a π), tak

3 pokud za toto x dosadíte libovolný jiný výraz například y, obrázek, vaši fotku, smajlík nebo i nové výrazy od x: cos x, arctan x + π) platnost této rovnice se nezmění. Čili jestli jsem vám řekl, že e x x k k!, mělo by pro vás být dílem okamžiku si uvědomit, že e x ) x k. k! Abyste k tomuto došli, ani nepotřebujete vědět, co nějaká Tleyrolova řada je, nebo co klikyháky typu vůbec znamenají. Prostě x vyměníte za x. Řešením příkladu je tedy: +x ) + sin x + cos x + e x + x +x 4 + x x k k!. 4. Najděte extrémy následující funkce a určete jejich typ tj. maximum, minimum, inflexní bod) fx) x )e x. Řešení: S tímto příkladem pokud byly problémy, tak jenom při derivování, tak jen připomenu princip: Hledání extrému nějaké funkce spočívá v tom, že její derivaci položíte nule: e x xx 4) 0. Všechna řešení této rovnice x 0,, ) jsou body podezřelé z extrému, o jejichž pravé povaze se dozvíte až když je dosadíte do druhé derivace: f x) 8 x +4x 4 )e x a pokud vyjde číslo kladné jako v případě f 0) 8 > 0 tak se jedná o lok. minimum, kdežto když vyjde záporně f ±) )e )e 4 < 0 je to lok. maximum. Kdyby vyšla 0, museli byste zkusit. derivaci - pokud by ta vyšla nenulová, jednalo by se o tzv. inflexní bod, pokud by ale vyšla zase 0, znamínko 4. derivace by rozhodovalo stejně jako znamínko druhé derivace atd.). Řešení: x 0minimum, x ± maximum. 5. Určete intervaly konkávnosti a konvexnosti funkce: fx) x + + x +5x +6. Řešení: Tady bylo nutné si jen uvědomit, že konkávnost a konvexnost se může měnit pouze v bodech, kdy f x) 0a v bodech nespojitosti, čili v bodech: f x) x + ) + 0 x + ) x

4 a x. Reálná osa se tím rozpadne na tři části, ),, ),, ), ve kterých se konkávnost a konvexnost nemění. Stačí tedy tuto vlastnost zjistit v jednom bodě a znáte ji okamžitě pro celý interval. f 0) 4 > 0 na, ) konvexnost f /) 4 < 0 na, ) f ) 7 > 0 na, ) 4 konvexnost konkávnost 6. + x ) arctan x + x x + dx Řešení: Spočítáme postupně oba integrály: + x ) arctan x dx arctan x t +x dx dt dt ln t ln arctan x, t x x + dx x + t x dx dt t t dt x +. Tedy: + x ) arctan x + x x + dx ln arctan x + x + + c. 7. x ln5x)dx. Řešení: Tohle měli skoro všichni dobře, akorát pár z vás si včas neuvědomilo, že ln 5x) 5x ale ln 5x) 5x 5 x. x ln5x)dx x x ln5x) x dx x x 4 + c. 8. x 4 x + x dx Řešení: Tady jsem vás chtěl nachytat na tom, že bezpřemýšlení použijete rozklad na parciální zlomky, aniž byste si uvědomili, že v tomto případě jej takhle hned od boku použít nemůžete... a taky se mi to zhusta povedlo. Řád polynomu nahoře není totiž menší než řád polynomu dole, nejdřív musíte dělit: x 4 : x + x ) Teprve teď můžete s úspěchem tvrdit, že: x x + x 4 A x + x x + x. B x +,

5 přičemž A, B 4. Výsledek: x 4 x + x dx x lnx ) 4 lnx + ) + c ln x + x ln x ln x + )dx Řešení: Toto byl zákeřný příklad, přiznávám. Proto mě potěšilo jak mnoho z vás se tak neohroženě pustilo do komplexních čísel. Sice jste po cestě nasekali spoustu chyb, ale to se občas stane i těm nejlepším. Nejdříve se musela udělat substituce: ln x t. V tom nebyl žádný problém. 5 ln x + x ln x ln x + )dx 5t + t t + dt Původně mi připadalo, že toto není příklad na parciální zlomky, protože po vyšetření kořenů t t +, zjistíte, že jsou oba komplexní a standartně se tedy tento zlomek nerozkládá. Postupuje se takto: 5t + 5t 5 t t + dt t dt t + 5 t t dt + t + 5t 5 t t + dt+ t t + dt ) t + 4 V prvním integrálu máte nahoře derivaci spodku, čili integrál je logaritmus spodku. A ve druhém využijete vzoreček: x + a) + b dx ) x + a b arctan. b Čili: 5t + t t + dt 5 ln t t + ) + ) arctan t /) + c, a řešení původního problému získáte tak, že za t dosadíte ln x. Pokud chcete použít rozklad na parciální zlomky, zjistíte, že řešením rovnice t t + 0 je komplexní číslo z +i a jeho komplexně sdružené z i. 5t + t t + A t z + t z 5z + Az z) A dt. B 5t + At z)+bt z). t z 5z + z z 5 i. 5 z + t z 5 z + B z z) B z z 5 + i. 5

6 A+B Fakt, že B Ā není náhoda, ani fatk, že 5 Řešení této úlohy v celé její obludné kráse je tedy: 5 i ) ln ln x ) 5 i + + i ) ln 0. Vypočtěte obsah rovinné oblasti, vymezené křivkami: y x, y, x 0. a ia B). ln x + i Řešení: V posledním příkladě stačilo správně poznat oblast, jejíž plocha se má vypočítat a sestavit integrál: 0 x )dx } {x x ln 0 ln. ) +c. 6