1.1. Úvodní opakování. Definice racionální mocniny Mocnina a logaritmus

1 Matematická analýza 1...1. Úvodní opakování...1.1. Mocnina a logaritmus...1.1.1. Goniometrické funkce...1.1.2. Zobrazení a jeho základní vlastnosti...1.2. O množině $\mathbb{r}$...1.3. O množině komplexních čísel...1.4. Okolí bodu (v $\mathbb{r}$ a v $\mathbb{c}$)...1.5. Číselné posloupnosti...1.6. Základní vlastnosti...1.6.1. Limita posloupnosti...1.6.2. Aritmetika limit...1.6.2.1. Věty o nerovnostech...1.6.2.2. Eulerovo číslo $e$...1.6.2.3. Limes superior a inferior reálné posloupnosti...1.6.3. Stolzův a Cauchyův vzorec...1.6.4. Bolzanova-Cauchyova podmínka pro konvergenci číselných posloupností...1.6.5. Definice obecné mocniny...1.7. Reálné funkce reálné proměnné...1.8. Limita funkce...1.8.1. Výpočet limity funkce...1.8.1.1. Bolzanova-Cauchyova podmínka pro existenci konečné limity funkce...1.8.1.2. Spojitost funkce...1.8.2. Věty o spojitosti...1.8.2.1. Derivace funkce...1.8.3. Výpočet derivace...1.8.3.1. Lokální extrémy...1.8.3.2. Věty o přírůstku funkce...1.8.3.3. Monotonie funkce...1.8.3.4. Derivace vyšších řádů...1.8.3.5. Postačující podmínky pro lokální extrém...1.8.3.6. Darbouxova věta...1.8.3.7. Tečny...1.8.3.8. Konvexnost a konkávnost...1.8.3.9. Inflexní body...1.8.3.9.1. Asymptoty...1.8.3.10. Vyšetřování funkcí...1.8.4. Goniometrické funkce...1.9. 1.1. Úvodní opakování 1.1.1. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro, klademe Pro, klademe á Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O existenci -té odmocniny). Buď a,. 1. Pro a sudé existuje jediné takové, že. 2. Pro liché existuje jediné takové, že. Definice ( -tá odmocnina). Číslo z předchozího tvrzení se nazývá -tá odmocnina čísla. Značíme ho. Definice racionální mocniny Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. Je-li a sudé, (nebo) 2. Je-li liché, klademe

2 Takto definovaná racionální mocnina má následující vlastnosti: Věta (Vlastnosti racionální mocniny). Pro každé a každé platí 1. a), b), 2. a), b), 3., 4. a) pro a,b) pro a, 5. a) pro a,b) pro. Důkaz. Důkaz je jednoduchým důsledkem definice. Později se dozvíme, že pro každé a každé existuje právě jedno reálné číslo (označíme ho a nazveme obecná mocnina) takové, že je-li, odpovídá definici racionální mocniny, a má všechny vlastnosti 1-5 z předchozího odstavce. Exponenciála V ZS se dozvíme, že mezi exponenciálními funkcemi má význačné postavení exp. funkce se základem (Eulerovo číslo, konstanta). je iracionální a platí. 7 6 5 4 3 2 1-2 - 1 1 2 Exponenciální funkce Je-li základ exponenciální funkce větší než, je exp. funkce ostře rostoucí. Je-li, je funkce ostře klesající. Pouze pro je konstantní. Funkce, kde,, je prostá na celém. Proto můžeme sestrojit funkci inverzní. Definice (Logaritmus). Buď,. Funkce inverzní k se jmenuje logaritmus při základu, značíme. Je-li, index vynecháváme. Je-li, místo píšeme a logaritmu říkáme přirozený logaritmus. Je tedy pro všechna,,, Je-li základ logaritmu větší než, je logaritmus ostře rostoucí. Je-li základ, je logaritmus ostře klesající. Z pravidel pro počítání s obecnou mocninou plynou pravidla pro počítání s logaritmy. Věta (Vlastnosti logaritmu). Pro všechna,,,, pro všechna a platí 1., 2., 3., 4.. 5. Pro platí, 6. Pro platí. 1.1.2. Goniometrické funkce

3 sin α z 1 α 0,0 cos α Středoškolské zavedení goniometrických funkcí je obvykle uskutečněno pomocí jednotkové kružnice, na kterou je vynesen orientovaný oblouk o délce (viz obrázek). Oblouk začíná v bodě, končí v bodě. Hodnotu funkce kosinus v bodě pak definujeme jako hodnotu, hodnotu funkce sinus v bodě jako. Toto zavedení není korektní proto, že je v něm užito předtím nedefinovaných pojmů (především pojmu oblouk a délka oblouku). Z obrázku pomocí Pythagorovy věty dostaneme okamžitě pro všechna vztah Rovněž z něj plyne, že funkce a jsou periodické (délku oblouku, který obkrouží kružnici právě jednou, definujeme jako hodnotu ) a platí vztahy Je také zřejmé, že funkce je lichá, sudá, takže platí Složitější je už z obrázku odvodit tzv. součtové vzorce: pro všechna, platí Z obrázku je zřejmé, že řešení rovnice jsou všechna čísla. Řešení rovnice jsou všechna čísla. Proto lze na množinách resp. pomocí funkcí, definovat funkce tangens resp. kotangens: Dosazením do vzorců resp. dostaneme vzorce pro dvojnásobný úhel: Napišme pod sebe vztahy a : Sečtěme-li a odečteme-li tyto dvě rovnosti, dostaneme vztahy Substituujeme-li do těchto vztahů místo výraz, dostaneme Protože obě pravé strany jsou nezáporné, odmocněním obdržíme vztahy pro poloviční úhel: Ze součtových vzorců a dosazením za dostaneme dvojici vztahů

4 Vynásobíme-li vztahy a, dostaneme Odtud pak plyne záměnou za a za vzorec pro součet dvou sinů: Podobným způsobem odvodíme další tři podobné vztahy: Ze vztahu získáme snadno vyjádření funkcí pomocí a naopak: platí Podělením a a rozšířením získáme pro, splňující podmínku součtový vzorec pro funkci tangens: Podobně získáme pro, splňující podmínku součtový vzorec pro kotangens: Ze vztahu získáme podělením resp. důležité vztahy mezi funkcemi a resp. mezi a : platí Konečně, podělíme-li rovnosti a, dostaneme odkud lze vyjádřit kosinus pomocí funkce, který je důležitý v integrálním počtu: Podobný vzorec pro sinus lze dostat pomocí vzorce a podělením : 1.2. Zobrazení a jeho základní vlastnosti Definice zobrazení Základním pojmem v matematice je pojem zobrazení (neboli funkce). Definice (Zobrazení). Nechť. Řekneme, že je zobrazení (funkce), je-li splněna podmínka

5 Často vylučujeme degenerovaný případ, prázdné množině obvykle zobrazení neříkáme. Úmluva. Místo píšeme často. Nechť Pak je zobrazení, ale zobrazení není (jedničce přiřazuje dva různé prvky a ). Definiční obor, obor hodnot Definice (Definiční obor). Nechť je zobrazení. Množinu nazýváme definiční obor zobrazení. Značíme nebo. Definice (Obor hodnot). Nechť je zobrazení. Množinu nazýváme obor hodnot zobrazení. Značíme nebo. Nechť. Pak definiční obor je tříprvková množina (jsou to první složky uspořádaných dvojic patřících do ). Obor hodnot je (druhé složky dvojic patřících do ). Definice (Zápis definičního oboru). Fakt, že a značíme Nechť opět. Pak jsou pravdivé výroky ale zápis je nepravdivý výrok, neboť definiční obor není celá množina reálných čísel. Zúžení zobrazení Definice (Zúžení definičního oboru). Nechť je zobrazení. Zobrazení zúžené na množinu značíme a definujeme vztahy Nechť,. Pak. Je dobré si povšimnout, že nemusí být. Konstantní zobrazení Zobrazení, které přirazuje všem prvkům definičního oboru tutéž hodnotu, se nazývá konstantní. Definice (Konstantní zobrazení). Nechť je zobrazení, pro které platí Pak nazýváme konstantní. Obraz a vzor Definice (Obraz a vzor množiny). Nechť je zobrazení. Obrazem množiny při zobrazení nazýváme množinu

6 Vzorem množiny při zobrazení nazýváme množinu Nechť. Buď,. Pak,. Složené zobrazení Definice (Složené zobrazení). Nechť,. Složeným zobrazením nazveme zobrazení definované vztahy Nechť,. Pak, jeho definiční obor je tedy. Skládání zobrazení je asociativní, platí proto v zápisu nemusíme psát závorky. Skládání však není komutativní, obecně se nemusí rovnat. Injektivní, surjektivní, bijektivní zobrazení Definice (Injektivní zobrazení). Zobrazení se nazývá injektivní (prosté) právě tehdy, když platí Buď. Pak je prosté (libovolným dvěma různým prvkům definičního oboru přiřazuje různé hodnoty). Definice (Surjektivní zobrazení). Zobrazení se nazývá -surjektivní (na ) právě tehdy, když platí Buď. Pak je na, není prosté. Definice (Bijektivní zobrazení). Zobrazení se nazývá -bijektivní ( jednojednoznačné) právě tehdy, když je současně injektivní a -surjektivní. Identické zobrazení Definice (Identické zobrazení). Zobrazení se nazývá identické (identita) právě tehdy, když Inverzní zobrazení Definice (Inverzní zobrazení). Buď prosté zobrazení. Zobrazení se nazývá inverzní zobrazení k zobrazení. Buď. Pak. Je-li prosté, pak platí Graf zobrazení Pojem graf používáme tehdy, pokud uspořádané dvojice zobrazení zakreslujeme do souřadnic (na vodorovnou osu prvky definičního oboru, na svislou osu prvky oboru hodnot).

7 Buď. Pak graf vypadá takto (plnou tečkou vyjadřujeme, že bod do grafu patří). 3 2 1 1 2 3-1 -2-3 1.3. O množině Základní vlastnosti reálných čísel Množina reálných čísel má následující důležité vlastnosti (říkáme také, že je tzv. uspořádaným tělesem): Věta (Vlastnosti množiny ). Pro všechna platí 1., (komutativní zákon), 2., (asociativní zákon), 3. (distributivní zákon), dále platí 4. (existence nuly), 5. (existence opačného prvku k ), 6. (existence jedničky), 7. (existence inverzního prvku k ), 8., 9., 10. (vlastnosti uspořádání), 11. je tzv. úplná (viz dále). Z těchto vlastností jdou odvodit všechny další vlastnosti reálných čísel. (Proto se jim také někdy říká základní axiomy reálných čísel.) Omezenost Definice (Omezenost shora, horní závora). Podmnožinu nazýváme omezená shora, pokud Každé číslo vyhovující uvedené podmínce nazýváme horní závora množiny. Definice (Omezenost zdola, dolní závora). Podmnožinu nazýváme omezená zdola, pokud Každé číslo vyhovující uvedené podmínce nazýváme dolní závora množiny. Množina přirozených čísel je omezená zdola a není omezená shora. Čísla, a jsou příklady dolních závor. Definice (Omezená podmnožina ). Podmnožina se nazývá omezená, pokud je omezená současně shora i zdola. Podmnožina je omezená právě tehdy, když

8 Maximum a minimum Definice (Maximum). Nechť. Číslo nazýváme maximem množiny, pokud Značíme. Definice (Minimum). Nechť. Číslo nazýváme minimem množiny, pokud Značíme. Maximum a minimum nemusí pro danou existovat. Buď například, pak, ale maximum neexistuje. Rozšíření množiny reálných čísel Definice (Rozšířená množina reálných čísel). Množinu rozšíříme o dva nové prvky, které označíme a (nazýváme je plus nekonečno a mínus nekonečno). Označíme toto rozšíření Prvky a nejsou reálná čísla, platí tedy,. Uspořádání na rozšíříme pro všechna vztahem Lze zavést i některé aritmetické operace na. Znaménko resp. je pevnou součástí značky, nejedná se o unární plus či mínus; tzn. psát místo je chyba. Supremum a infimum podmnožin Ne každá podmnožina má minimum či maximum. Tyto dva pojmy lze však zobecnit na každou podmnožinu díky úplnosti. Platí totiž následující věty: Věta (Věta o supremu a infimu). Nechť. Pak existuje právě jedno číslo tak, že platí 1., 2.. Nechť. Pak existuje právě jedno číslo tak, že platí 1., 2.. Definice (Supremum a infimum). Číslo z předchozí věty nazýváme supremem množiny, značíme ; číslo infimem množiny, značíme. Má-li množina maximum, pak. Podobně, má-li minimum, je. Je

9 Ukažme, že je Je třeba ověřit, že číslo splňuje 1. a 2. podmínku z věty o supremu. První podmínka platí, neboť nerovnost v ní lze přepsat na tvar poslední nerovnost je zřejmě pravdivá. Druhá podmínka lze ekvivalentně zformulovat takto (nahradíme výrazem, kde ): Zvolme tedy libovolné a hledejme k němu tak, aby platilo. Nerovnost, kterou chceme splnit, lze ekvivalentně přepsat takto: Z poslední nerovnosti je zřejmé, že budeme-li volit k danému za například číslo pak je nerovnost splněna. Druhá podmínka tedy platí. Hustota racionálních čísel Z úplnosti plynou další důležité vlastnosti. Věta (Neomezenost shora). Množina není shora omezená. Důkaz. Sporem. Pokud by existovala horní závora množiny, pak. Z druhé vlastnosti suprema existuje tak, že. Odtud. je ale přirozené číslo, spor. Věta (O hustotě rac. čísel). Mezi každými dvěma různými reálnými čísly leží nějaké racionální číslo. Důkaz. Nechť,. Chceme ukázat, že existuje racionální číslo tak, že. Důkaz stačí provést pro případ, další případy pak z tohoto snadno plynou. Protože je neomezená shora, existuje jistě tak, že neboli. Odtud plyne, že. Nechť je maximální takové přirozené číslo, že ještě. (Takové jistě existuje, je větší než a menší než.) Pak a tedy. Současně tedy platí a, což jsme chtěli dokázat. -tá odmocnina Věta (O existenci -té odmocniny). Buď a,. 1. Pro a sudé existuje jediné takové, že. 2. Pro liché existuje jediné takové, že. Důkaz. Je-li, je nutně. Předpokládejme, že (pro je důkaz obdobný). Jednoznačnost: předpokládejme, že existují dvě taková, že. Pak ale

10 odkud plyne, že (neboť poslední suma je kladné číslo), spor. Existence: uvažujme nejprve, že. Označme. Tato množina je neprázdná (obsahuje ) a má horní závoru (neboť ), to znamená, že. Ukážeme, že. Kdyby, pak z binomické věty pro libovolné dostaneme kde. Za zvolme tak velké přirozené číslo, aby To ale znamená, že, spor s první vlastností suprema. Kdyby, podobně ukážeme, že pro vhodně velké, spor s druhou vlastností suprema. Proto. Případ je jednoduchý. Pro případ využijeme předchozí postup na číslo a nalezneme tak, že. Pak. Pomocí předchozí věty definujeme -tou odmocninu. 1.4. O množině komplexních čísel Množina komplexních čísel je množina uspořádaných dvojic, na které je definováno sčítání a násobení. Im z z arg z Re z Každé komplexní číslo lze zapsat ve tvaru, kde a je komplexní jednotka. Platí. Číslo nazýváme reálnou částí, imaginární částí ; značíme,. (Reálná čísla považujeme za speciální případ komplexních s nulovou imaginární částí, tj..) Číslo nazýváme komplexně sdružené k. Pro libovolná platí Číslo nazýváme velikostí (neboli absolutní hodnotou) komplexního čísla, kde. Značíme ho. Platí pro ni trojúhelníková nerovnost, tj. pro každá dvě je Každé komplexní číslo lze vyjádřit v tzv. goniometrickém tvaru: kde je úhel komplexního čísla, zvaný též argument. Důležitou identitou platící pro každé komplexní číslo je Moivrova věta: Buď,. Geometrický význam absolutní hodnoty jakožto vzdálenosti dvou bodů je příčinou pojmenování množiny názvem otevřený kruh resp. množiny názvem uzavřený kruh se středem v bodě a poloměrem. Čárkováním vyznačujeme, že body ke kruhu nepatří.

11 a R a Omezené podmnožiny komplexních čísel Definice (Omezenost podmnožiny ). Řekneme, že množina je omezená právě tehdy, když Vlastně to znamená, že se schová do uzavřeného kruhu se středem v počátku a poloměrem. Rozšíření množiny komplexních čísel Podobně jako množinu reálných čísel rozšíříme o jeden prvek označený (nazývaný nekonečno). Definice (Rozšířená množina komplexních čísel). Rozšířenou množinu značíme. Na rozdíl od zde žádné znaménko není součástí značky. Jedná se tedy o tři různá nekonečna, mezi nimiž je potřeba rozlišovat: je, tedy. 1.5. Okolí bodu (v a v ) Definice (Okolí bodu v resp. v ). 1. Buď,. Interval nazýváme -okolí bodu. Značíme. Buď. Interval nazýváme -okolím bodu, značíme. Interval nazýváme -okolím bodu, značíme. Množinu resp. nazýváme pravé, resp. levé -okolí bodu. Pravému a levému okolí se říká též jednostranné okolí. 2. Buď,. Otevřený kruh nazýváme -okolím bodu, značíme. Množinu nazýváme -okolím bodu, značíme. Pokud nezáleží na tom, jak je okolí velké, užíváme běžně jen značku bez parametru. Pokud napíšeme značku, je třeba dát pozor, neboť značka je stejná u komplexního i u reálného okolí, ačkoliv jde o jinou množinu (reálné okolí je jen otevřený interval na reálné ose, komplexní zahrnuje naproti tomu celý otevřený kruh v komplexní rovině); většinou je zřejmé z kontextu, jaký typ okolí má dotyčný na mysli. V literatuře se používají všechny možné značky pro okolí, např.,,,, apod. 1.6. Číselné posloupnosti 1.6.1. Základní vlastnosti Definice (Posloupnost). Každé zobrazení, jehož definičním oborem je, nazýváme posloupnost. Posloupnost, pro kterou platí,,,... atd., značíme nebo nebo jen. Je-li obor hodnot posloupnosti podmnožinou, pak mluvíme o číselné nebo komplexní posloupnosti. Jsou-li v oboru hodnot pouze reálná čísla, mluvíme o reálné posloupnosti. K značení posloupnosti neužíváme složené závorky, podstatný fakt, že záleží na pořadí členů posloupnosti. je množina sudých čísel, ne posloupnost. Kulatými závorkami vyjadřujeme Protože je posloupnost zobrazení, váží se na ní samozřejmě všechny definice uvedené v kapitole Zobrazení, takže je jasné, co znamená výrok posloupnost je konstantní, prostá,.... Např. posloupnost je konstantní. Posloupnost přirozených čísel je prostá. Omezenost, monotonie Definice (Omezenost u komplexních posloupností).

12 Číselnou posloupnost nazýváme omezená, pokud je její obor hodnot množina omezená. Definice (Omezenost a monotonie u reálných posloupností). Reálnou posloupnost nazýváme omezená shora, pokud je její obor hodnot množina omezená shora, omezená zdola, pokud je její obor hodnot množina omezená zdola, rostoucí, pokud, klesající, pokud, ostře rostoucí, pokud, ostře klesající, pokud, monotónní, pokud je klesající nebo rostoucí, ryze monotónní, pokud je ostře klesající nebo ostře rostoucí. Vybraná posloupnost Definice (Vybraná posloupnost). Posloupnost nazveme vybranou posloupností z (nebo také podposloupností posloupnosti ), jestliže existuje ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel tak, že Konstantní posloupnost jedniček je vybraná posloupnost z posloupnosti za pomoci. 1.6.2. Limita posloupnosti Definice (Limita posloupnosti). Buď reálná posloupnost,. Říkáme, že má limitu v, pokud kde pod znakem uvažujeme reálné okolí bodu, tj.. Komplexní posloupnost má limitu v, pokud platí podmínka, pouze s tím rozdílem, že uvažujeme komplexní okolí. Skutečnost, že posloupnost má limitu, zapisujeme takto: Často se používá též tradiční zápis Slovy se dá fakt vyjádřit například takto: v každém okolí bodu leží všechny členy posloupnosti až na konečný počet výjimek. Vidíme, že definice limity posloupnosti v a v jsou formálně úplně stejné, liší se pouze tím, v které množině se pohybujeme (v které uvažujeme limitní body a dotyčná okolí). Při počítání limit reálných posloupností musíme dávat pozor, zda je v zadání napsáno počítejte v nebo počítejte v. Výsledek na tom může totiž záviset: v je např. ale v ta samá limita neexistuje. Věta (O jednoznačnosti limity). Číselná posloupnost může mít nejvýš jednu limitu. Důkaz. Sporem. Nechť posloupnost má za limitu dvě různá čísla,. Pak platí Protože, existují a tak, že okolí a jsou disjunktní. Z předchozích dvou předpokladů najdeme k těmto a příslušná,. Pak pro všechna přirozená splňující podmínku bude, což je spor, neboť průnik těchto dvou okolí je prázdná množina. Všimněme si, že teprve toto tvrzení opravňuje naše značení. Kdyby posloupnost mohla mít dvě nebo více hodnot limit, nevěděli bychom, kterou z nich symbolem vlastně míníme.

13 Ukážeme, že 3 2 1-1 2 4 6 8-2 -3 Je třeba dokázat, že Graf posloupnosti Pro každé tedy potřebujeme najít tak, aby platila uvedená vlastnost Přepišme podmínku ekvivalentně do vhodnějšího tvaru: platí Je tedy zřejmé, že pro dané stačí volit například. Tím je důkaz hotov. Konstantní posloupnost má za limitu číslo. Je totiž zřejmé, že k danému lze volit jakkoliv. Limita vybrané posloupnosti Abychom nemuseli dokazovat hodnoty limit z definice, což v mnoha případech může být velmi obtížné, seznámíme se s některými větami, které výpočet limit usnadňují. Věta (O limitě vybrané posloupnosti). Nechť posloupnost má za limitu číslo. Pak i každá z ní vybraná ma za limitu číslo. Důkaz. Předpokládejme tedy, že Nechť posloupnost je vybraná z. Máme ukázat, že Protože je ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel, je Zvolme libovolné. Hledáme k němu příslušné. Položme. Z předpokladu k němu najdeme. Nyní stačí volit. Například je zřejmé (dokážeme lehce z definice limity), že Odtud pomocí předchozí věty dostaneme ihned, že například i neboť posloupnost je vybraná z posloupnosti. Velmi často se používá důsledek této věty pro důkaz neexistence limity posloupnosti: Důsledek (O neexistenci limity).

14 Lze-li vybrat z posloupnosti dvě posloupnosti mající různé limity, pak posloupnost limitu nemá. Posloupnost, kde, nemá limitu, neboť obsahuje 2 posloupnosti s různými limitami. Označme,. Pak Podle věty o limitě vybrané posloupnosti limita původní posloupnosti neexistuje. Často lze s úspěchem použít následující mírnou modifikaci věty o limitě vybrané posloupnosti: Věta (O limitě skorovybrané posloupnosti). Nechť má za limitu číslo a je posloupnost přirozených čísel s limitou. Pak posloupnost (nazýváme ji skorovybraná z posloupnosti ) má také limitu. Důkaz. Podle předpokladu Máme ukázat, že Zvolme libovolně. Hledejme k němu příslušné. Zvolme. Z předpokladu k němu najdeme příslušné. Nyní položme a z předpokladu k němu najděme příslušné. Pro dokončení důkazu stačí zvolit. Např. posloupnost má za limitu číslo. Tedy i skorovybraná posloupnost má za limitu číslo. Vidíme, že nejde o vybranou posloupnost, neboť není ostře rostoucí. Limita a omezenost posloupnosti Existence limity má vliv i na omezenost posloupnosti. Platí: Věta (O souvislosti limity a omezenosti posloupnosti). 1. Má-li posloupnost konečnou limitu, je omezená. 2. Má-li reálná posloupnost limitu, je omezená zdola a neomezená shora. 3. Má-li reálná posloupnost limitu, je omezená shora a neomezená zdola. Důkaz. Ukažme první tvrzení, druhá dvě se dokazují podobně. Nechť posloupnost má konečnou limitu, tj. Máme ukázat, že existuje tak, že pro všechna bude platit. Položme v podmínce a najděme k němu příslušné. Pak pro všechna dostaneme podmínku, neboť pro všechna reálná čísla,, platí vztah Označíme-li, platí pro všechna přirozená což jsme chtěli ukázat. Co na omezenost a limitu vliv nemá, je mírná modifikace posloupnosti: Věta (O modifikaci/přidání/ubrání konečně mnoha členů posloupnosti). Přidáním, ubráním či modifikací konečně (!) mnoha členů posloupnosti se nezmění její omezenost (celková, shora, zdola) ani existence/neexistence její limity ani hodnota její limity (pokud limita existuje). Důkaz. Je zřejmé, že uvedené tvrzení plyne z následujícího speciálnějšího tvrzení (neboť např. modifikaci konečně mnoha členů posloupnosti lze dosáhnout tak, že konečně-krát ubereme resp. přidáme vhodné členy posloupnosti na její začátek): pro každé a každou posloupnost platí ekvivalence á á Ekvivalenci dokážeme jako dvě implikace. : Buď nejprve omezená, tedy nechť je takové číslo, že

15 Protože, je i což jsme chtěli ukázat. (Případ omezenosti pouze shora (zdola) by se ukázal obdobně.) Nechť. Posloupnost je posloupností vybranou z, proto musí platit i. : Buď nyní omezená, tedy nechť je takové číslo, že Položme,. Pak což jsme chtěli ukázat. Konečně nechť, tedy Máme ukázat, že, tedy Zvolme libovolně. Hledáme příslušné. V předpokladu položme. Pak stačí klást. Předchozí věty využíváme často automaticky bez toho, že bychom se nad jejím použitím příliš pozastavovali: představme si, že by nám někdo zadal počítat limitu Správná odpověď na tento příklad zní Zadání nemá smysl, neboť třetí člen posloupnosti (pro ) není definován (nulou nelze dělit). Ovšem představíme-li si, že je třetí člen posloupnosti dodefinován třeba hodnotou, lze již psát, co autor příkladu chce slyšet, tj. Situace jako v tomto příkladě se mohou čas od času objevit. Proto učiníme úmluvu, že bude-li třeba počítat limitu posloupnosti, jejíž konečně mnoho členů není definováno, představíme si vzhledem k předchozí větě, že jsou dodefinovány jakkoliv. Limita a monotonie posloupnosti V praxi při zkoumání neznáme posloupnosti často není jasné, zda její limita vůbec existuje. Dobrou vynucovací podmínkou pro existenci limity je monotónnost dané posloupnosti: Věta (O limitě monotónní posloupnosti). Každá monotónní posloupnost má limitu. Důkaz. Nechť je monotónní reálná posloupnost. Předpokládejme, že je rostoucí, pro případ klesající posloupnosti bychom postupovali obdobně. Rozlišme nyní dva případy podle toho, zda je či není shora omezená. 1. Předpokládejme, že není shora omezená. Ukážeme, že v tomto případě nutně Předpoklad znamená, že Protože je rostoucí, podmínka pro -tý člen posloupnosti znamená, že tatáž nerovnost bude platit i pro všechny členy, kde. Proto platí To je však přímo z definice limity zapsaný výrok.

16 2. Předpokládejme, že je shora omezená. Z toho plyne, že označíme-li, pak. Dokážeme, že platí, tj. Nerovnost je ekvivalentní soustavě nerovností Druhá nerovnost je zřejmá z první vlastnosti suprema, platí totiž První nerovnost dokážeme z druhé vlastnosti suprema. Víme, že Zvolme v libovolně a hledejme příslušné. Položme v a najděme příslušné. Pak stačí zvolit. Příklad (Harmonická posloupnost). Pro limitu tzv. harmonické posloupnosti platí Tato posloupnost je zřejmě ostře rostoucí, tedy monotónní. Podle předchozí věty proto limita existuje. Uvažme vybranou posloupnost. Tato posloupnost je shora neomezená, neboť platí zřejmé odhady... atd., obecně Vybraná posloupnost je tedy neomezená a má za limitu nutně číslo. Proto i O limitě komplexní posloupnosti Další věta říká, že problém výpočtu limity komplexní posloupnosti lze převést na zkoumání limit její reálné a imaginární části. Věta (O limitě komplexní posloupnosti). Komplexní posloupnost, kde a, je konvergentní právě tehdy, pokud jsou konvergentní reálné posloupnosti a. Pokud je tato podmínka splněna, platí Důkaz. : Nechť,, kde a jsou reálná čísla. To znamená, že Ukažme, že odtud plyne, že, tedy že To je však důsledek obecné vlastnosti komplexních čísel, neboť pro každé platí. U nás konkrétně. Stačí tedy klást a vhodné najít z předpokladu. Analogicky dokážeme, že platí i, tedy že Obě dvě posloupnosti a jsou tedy konvergentní. Současně je i jasné, že platí vztah. : Nechť platí předpoklady a. Protože pro každé komplexní platí

17 je i. Stačí proto volit, a vhodné najít z předpokladů a. Např. limita neexistuje, neboť neexistuje limita reálné části 1.6.2.1. Aritmetika limit Ačkoliv rozšířená množina reálných čísel není tělesem, pro pohodlí se vyplatí zavést některé aritmetické operace též pro. Klademe pro všechna pro, pro, pro, pro,,,,,, pokud je def. pravá strana,,. Všimněme si, že zůstaly nedefinovány pro zejména následující výrazy (jak uvidíme hned v další větě, má to dobrý důvod): Věta o limitě součtu, rozdílu, součinu, podílu limit Věta (Aritmetika limit posloupností). Pokud výrazy na pravé straně mají smysl (!), platí vzorce 1., 2., 3., 4.. Důkaz. 1. Ukažme platnost prvního vztahu. Předpokládejme, že výraz na pravé straně má smysl. To znamená, že limity posloupností, existují, a dále to, že na pravé straně se neobjevuje nedefinovaný součet, např. kombinace a podobně. Nyní je třeba rozlišit několik případů v závislosti na tom, zda limity napravo jsou obě konečné, nebo jedna z nich (nebo obě) jsou nekonečné. Uvažme nejprve případ, kdy obě limity vpravo jsou konečné, tzn.,, tedy že platí Máme ukázat, že, tedy že Zvolme libovolné. Hledejme k němu příslušné. Položme, a z předpokladů, najděme příslušná,. Položme. Pak pomocí trojúhelníkové nerovnosti dostaneme, že pro je což jsme chtěli ukázat. Uvažme nyní případ, kdy jedna z posloupností vpravo je konečná a druhá rovna, tj. nechť,, tedy že Protože podle definice, máme ukázat, že, tedy že Zvolme. Hledejme k němu příslušné. V předpokladech a položme a a nalezněme k nim příslušná a

. Položme. Pak pro všechna bude, což jsme chtěli ukázat. 2. Druhý vztah se dokazuje podobně jako první. 3. Ve třetím vztahu opět nejprve předpokládejme, že obě limity vpravo existují a jsou konečné, tj.,. Tzn. platí Máme ukázat, že, tedy že Zvolme libovolně. Hledejme k němu příslušné. Protože má konečnou limitu, je omezená, proto existuje tak, že pro všechna je. Označme. V předpokladech a volme, a najděme příslušná,. Položme. Pak pro všechna bude platit což jsme chtěli ukázat. Tvrzení pro další možnosti pravých stran (např. jedna konečná, druhá nekonečná atd.) se dokazují podobně. 4. Předpokládejme nejprve opět, že platí a, kde. Chceme ukázat, že, tedy že Zvolme libovolně. Hledejme k němu příslušné. Nejprve v předpokladu položme a označme příslušné jako. Pro všechna odtud dostaneme, že V předpokladech a volme a najděme příslušná,. Položme. Pak pro všechna bude platit což jsme chtěli ukázat. Ostatní varianty se dokazují podobně. Tak například Je totiž nejprve podle věty o limitě rozdílu z definice limity dostaneme dále podle věty o limitě součinu proto celkem Větu o aritmetice limit nesmíme používat bezmyšlenkovitě, aniž ověříme (podstatný) předpoklad, že výraz na pravé straně má smysl. Toto je špatně: Toto je správně: 18

19 Toto je špatně: Toto je správně: kde jsme využili, neboť. Limita z -té odmocniny Věta (O limitě z -té odmocniny). Buď, nechť pro všechna, nechť. Pak platí Důkaz. Je-li, je tvrzení zřejmé. Je-li, je tvrzení také jednoduché. Předpokládejme, že,. Z předpokladu plyne, že Chceme ukázat, že platí Zvolme libovolné. Hledáme příslušné. Důkaz je založen na vzorečku platném pro všechna čísla, a pro každé : Položíme-li za,, dostaneme, že V sumě ve jmenovateli jsou všechny sčítance nezáporné, proto lze zlomek odhadnout shora tak, že vynecháme všechny až na první. Dostaneme Ve jmenovateli posledního zlomku stojí kladné číslo. V předpokladu položme a najděme příslušné. Položme. Pak pro všechna je což jsme chtěli ukázat. Tvrzení věty pro liché odmocniny platí i v případě, že. Limita z absolutní hodnoty Věta (O limitě z absolutní hodnoty). Pro každou posloupnost a každé číslo platí Pokud nebo, platí zde dokonce ekvivalence, tj. i směr.

20 Důkaz. Uvažme nejprve případ, resp.. Nechť, tj. Chceme ukázat, že Zvolme libovolně a hledejme k němu. Položme v předpokladu a najděme k němu. Položme. Pak pro všechna je což jsme chtěli ukázat. Pokud je, pak musejí být od jistého členy posloupnosti kladná čísla, proto podmínka je ekvivalentní s podmínkou, tvrzení věty je proto triviální. Pokud jsou naopak od jistého členu členy posloupnosti záporné, takže podmínka je ekvivalentní s, z čehož plyne dokazované tvrzení. Konečně pokud je a posloupnost je komplexní, vztah plyne přímo z definice limity. Dokázat směr v případě nebo je jednoduché, neboť v těchto případech jsou výroky zřejmě ekvivalentní. Podle věty o limitě z abs. hodnoty posloupnosti platí v neboť 1.6.2.2. Věty o nerovnostech Platí-li mezi posloupnostmi nerovnosti, má to vliv i na nerovnosti mezi jejich limitami a naopak: Věta (O nerovnostech mezi limitami). Pro každé dvě reálné posloupnosti a platí Důkaz. Označme,. Protože, existují a tak, že a jsou disjunktní. Z definice limity najděme pro tato a příslušná, tak, aby pro všechna bylo a. Pak ale bude pro platit i, což jsme chtěli ukázat. Užitečná je i formulace, kde implikace směřuje opačným směrem: Věta (O nerovnostech mezi limitami opačná implikace). Nechť existují limity reálných posloupností a. Pak platí Důkaz. Sporem. Pokud by platila opačná nerovnost, tj., z předchozí věty bychom dostali, že, spor. Protože modifikace konečně mnoha členů posloupnosti nemá vliv na její limitu, stačí v předchozí větě předpokládat nerovnost jistého indexu dál, tvrzení zůstane v platnosti. Nejdůležitější z vět o nerovnostech je tzv. věta o limitě sevřené posloupnosti: až od Věta (O limitě sevřené posloupnosti). Mají-li reálné posloupnosti, obě limitu rovnu a platí-li pak limita posloupnosti existuje a je rovna. Důkaz. Nechť nejprve. Z předpokladu plyne Protože, plyne z nerovnosti nerovnost. Proto z definice limity a důkaz je hotov. Pro Pokud je je postup důkazu obdobný., dostaneme z předpokladů, že

21 Chceme ukázat, že Zvolme libovolně. Hledejme k němu. Položme, a najděme k nim a. Položme. Pak pro platí odkud plyne, což jsme chtěli ukázat. Platí Je totiž, proto označíme-li, pak. Dále, tedy. Odtud dostaneme podle binomické věty, že odkud Protože limity krajních posloupností jsou a, je podle věty o limitě sevřené posloupnosti i, tedy podle věty o limitě součtu Buď. Pak. Uvažme tři případy. Pokud je, je jistě od jistého indexu. Protože limity posloupností i jsou rovny, podle věty o limitě sevřené posloupnosti je i. Pokud je, je samozřejmě. Pokud je, pak. Podle prvního případu podle věty o limitě podílu. Příklad (Limita posloupnosti ). Platí. Pro každé je. To snadno ukážeme např. matematickou indukcí podle. Pro je to jistě pravda. Předpokládejme platnost pro. Chceme ukázat. Pro nerovnost platí, pro je z indukčního předpokladu Z právě dokázané nerovnosti odvodíme, že Odtud ovšem A protože, je i. Buď. Pak v platí

22 Buď nejprve. Posloupnost je v tomto případě zřejmě ostře rostoucí, proto má jistě limitu. Označme. Pak ze vztahu plyne, že, tedy že. Odtud ale nutně nebo. Protože možnost je vyloučena, je nutně. Případ je triviální, posloupnost je konstantní. Buď. Pak a tedy. Odtud plyne, že, takže podle věty o limitě absolutní hodnoty je. Buď. Pak, ale. Proto posloupnost mít limitu nemůže. Buď. Pak v platí Buď. Pak podle předchozího příkladu, proto podle věty o limitě absolutní hodnoty je. Buď. Pak opět podle předchozího příkladu je, takže podle věty o limitě absolutní hodnoty je. Pro je příklad triviální. Pro,, limita neexistuje. Kdyby totiž existovala (označme-ji ), pak díky vztahu bude platit i, tedy ( lze vykrátit, neboť nutně ), spor. Mějme posloupnost zadanou rekurentně vztahem Pak Ze zadání je jasné, že posloupnost je kladná. Nakreslíme-li obrázek, můžeme lehce učinit následující hypotézu: Dokažme ji matematickou indukcí: pro je ; předpokládejme, že, pak Z obrázku se také zdá, že posloupnost je rostoucí. A skutečně, je totiž Tedy posloupnost musí mít vlastní limitu, která je z intervalu. Označme ji. Protože pro každé přirozené je musí také platit což podle věty o limitě vybrané posloupnosti, podle věty o limitě odmocniny a o limitě součtu dává Protože, musí být. Tedy. 1.6.2.3. Eulerovo číslo Pro další potřebu nejprve označme pro všechna přirozená Lemma. Posloupnost je ostře rostoucí, posloupnost je ostře klesající. Důkaz. Je Podobně dostaneme

23 V uvedených dvou sumách je stejně závorek a přitom mezi odpovídajícími si závorkami platí vztah Navíc poslední suma obsahuje sčítanců, tedy o jeden více, než suma ve vyjádření. Proto musí být pro všechna. Co se týče posloupnosti, nerovnost je ekvivalentní s nerovnostmi Poslední nerovnost je pravdivá, neboť podle binomické věty Lemma. Obě posloupnosti, i, mají stejnou limitu. Důkaz. Protože jsou obě posloupnosti monotónní, jejich limity musí existovat. Přitom platí. Proto. Definice (Eulerovo číslo ). Společnou hodnotu limit posloupností a nazýváme Eulerovým číslem (konstantou) a značíme. Pro další účely označme Lemma. Pro všechna platí a. Důkaz. Podobně jako v prvním lemmatu je Co se týče druhé nerovnosti, je pro libovolné neboť na pravé straně je úplně stejný výraz jako na levé straně s tím rozdílem, že sčítáme pouze do. Proto musí platit i odkud obdržíme. Protože je ostře rostoucí posloupnost, musí platit pro všechna ostře, neboť kdyby nastalo pro nějaké, bylo by, což je spor s právě dokázanou nerovností. Lemma. Platí Důkaz. Vztah plyne z dokázaných nerovností pomocí věty o limitě sevřené posloupnosti. Následující lemma říká, že posloupnost konverguje k velice rychle: Lemma. Pro každé je

24 Důkaz. Zvolme libovolně. Pak Odtud plyne, že tedy Je,. Je tedy. Věta (O iracionalitě ). Číslo je iracionální. Důkaz. Sporem. Buď, kde,. Protože, je. Z předchozího lemmatu máme odkud násobením dostaneme Protože mezi nerovnostmi stojí uprostřed celé číslo, dostáváme spor (žádné celé číslo nesplňuje podmínku ). Díky předchozí větě je možno v předchozím lemmatu psát ostrou nerovnost: pro každé je. 1.6.3. Limes superior a inferior reálné posloupnosti Pojmy limes inferior a limes superior jsou zobecněním pojmu limity posloupnosti. Zatímco limitu každá posloupnost nemá, limes inferior a superior existují pro každou reálnou posloupnost. Definice (Hromadná hodnota reálné posloupnosti). Hromadnou hodnotou reálné posloupnosti nazveme každé, pro které existuje z ní vybraná posloupnost tak, že. Počet hromadných hodnot, které posloupnost může mít, může být různý, od jedné až po nekonečno: Posloupnost, která má limitu, má jedinou hromadnou hodnotu: svoji limitu. Posloupnost má dvě hromadné hodnoty: a. Posloupnost má za hromadné hodnoty všechna přirozená čísla včetně. Posloupnost má za hromadné hodnoty dokonce všechna čísla z intervalu. Věta (O hromadných hodnotách reálné posloupnosti). Každá reálná posloupnost má alespoň jednu hromadnou hodnotu. Množina všech hromadných hodnot má maximum a minimum (mohou to být i hodnoty ). Největší hromadnou hodnotu nazýváme limes superior, značíme, nejmenší limes inferior, značíme. Důkaz. Ukážeme, že množina hromadných hodnot posloupnosti má maximum (tím bude rovněž dokázáno, že je neprázdná). Případ existence minima by se ukázal obdobně. Uvážíme dva případy, podle toho, zda je shora omezená či nikoliv. 1. Nechť není shora omezená. Ukážeme, že v takovém případě je prvkem množiny hromadných hodnot posloupnosti (a je tedy současně i největší hromadnou hodnotou). Protože není shora omezená, existuje tak, že. Ze stejného důvodu existuje i, tak, že. Tímto způsobem lze zkonstruovat celá ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel tak, že platí pro všechna přirozená. Odtud, pomocí věty o limitě sevřené posloupnosti, dostaneme, že, což jsme chtěli ukázat. 2. Nechť je shora omezená. Označme Protože pro platí

25 je mezi suprémy vztah, tj. posloupnost je klesající. Proto má limitu (která je rovna buď nebo nějakému reálnému číslu), označme ji. Nyní mohou nastat dvě možnosti. a) Pokud je, pak ukážeme, že, tj. existuje pouze jediná hromadná hodnota posloupnosti a tou je. Zvolme libovolné. Pak z definice limity existuje, že pro všechna je. Pak ale také pro všechna je, což jsme chtěli ukázat. b) Pokud je, ukážeme, že je největší hromadnou hodnotou posloupnosti. Zvolme libovolně. Pak existuje tak, že pro všechna je Z druhé vlastnosti suprema dostaneme, že existuje tak, že. Celkem tedy Podobně pro nalezeneme tak, že takto sestrojíme vybranou posloupnost, pro kterou podle věty o limitě sevřené posloupnosti platí je tedy hromadnou hodnotou. Je současně největší hromadnou hodnotou: pokud by byla hromadná hodnota, zvolme tak, že. Pak existuje takové, že pro všechna je, a tedy i. V malém okolí, ve kterém není, se tak nemůže nacházet více než konečně mnoho členů posloupnosti, to je však spor s tím, že je hromadná hodnota. Věta (Charakterizace a ). Buď reálná posloupnost. Pak platí tyto ekvivalence: 1., 1., 2.. 2. Důkaz. Plyne přímo z důkazu předcházející věty. Důsledek. Z výše uvedených ekvivalencí plyne, že posloupnost má limitu právě tehdy, jsou-li obě hodnoty limes superior i inferior této posloupnosti rovny, tj. Pro praktické určování a posloupnosti může posloužit následující věta: Věta (Pokrývací věta pro posloupnosti). Nechť vybrané posloupnosti,,..., s limitami,..., pokrývají reálnou posloupnost (to znamená, že sjednocení (případně až na konečně mnoho výjimek)). Pak platí Důkaz. Tvrzení jednoduše plyne z faktu, že množina je množinou všech hromadných hodnot posloupnosti (žádná jiná hromadná hodnota nemůže, neboť by existovalo nekonečně mnoho členů mimo sjednocení disjunktních dostatečně malých okolí bodů,..., ). 1.6.4. Stolzův a Cauchyův vzorec Následující dva vzorce leckdy zjednoduší počítání limit posloupností dvou speciálních typů: Věta (Stolzův vzorec). Nechť je ostře rostoucí, a existuje limita. Pak platí tzv. Stolzův vzorec: Důkaz. Stačí ukázat, že platí soustava nerovností Hodnoty na levé a pravé straně jsou totiž obě stejné, rovnají se limitě, která podle předpokladu existuje. Ze soustavy pak bude

26 plynout i rovnost, která implikuje existenci limity a její rovnost limitě. Dokažme pouze nerovnost (nerovnost na levé straně by se dokazovala obdobným způsobem), a to sporem. Přepokládejme, že existuje tak, že Pak existuje tak, že pro všechna je i Odtud násobením jmenovatelem (je kladný) dostaneme Zvolme přirozená čísla a tak, že a sečtěme nerovnosti pro,,...,. Dostaneme podělením získáme Aplikujeme-li na obě strany nerovnosti, získáme nerovnost což je spor s. Tím je věta dokázána. Podle Stolzova vzorce je např. Věta (Cauchyův vzorec). Nechť je posloupnost kladných čísel, nechť existuje limita. Pak platí tzv. Cauchyův vzorec: Důkaz. Podobně jako při důkazu Stolzova vzorce stačí ukázat, že Dokážeme opět pouze pravou nerovnost, levá by se dokazovala obdobně. Předpokládejme pro spor, že existuje tak, že by Pak existuje tak, že pro všechna je Vynásobme tyto nerovnosti pro,,...,, kde. Pak odkud Aplikujeme-li na obě strany nerovnosti, získáme nerovnost

27 což je spor. Podle Cauchyova vzorce je např. 1.6.5. Bolzanova-Cauchyova podmínka pro konvergenci číselných posloupností Lemma (O konvergentní podposloupnosti omezené posloupnosti). Z každé (reálné či komplexní) omezené posloupnosti lze vybrat podposloupnost, která konverguje. Důkaz. Buď nejprve reálná. Označme. Protože je omezená, je, proto existuje konvergentní vybraná posloupnost tak, že. Nechť je komplexní. Z omezenosti plyne, že posloupnost reálných částí je také omezená, proto z ní lze podle předchozího odstavce vybrat konvergentní podposloupnost. Posloupnost imaginárních částí této podposloupnosti, tj., je také omezená, proto opět podle předchozího odstavce existuje její konvergentní podposloupnost. Protože konverguje i, konverguje i komplexní posloupnost, tím je důkaz hotov. Někdy se může hodit rozhodnout otázku existence vlastní limity posloupnosti, i když její hodnotu neumíme vypočítat. Platí následující věta (tzv. Bolzano-Cauchyova podmínka pro konvergenci číselné posloupnosti): Věta (Bolzano-Cauchyova podmínka pro konvergenci posloupnosti). Číselná posloupnost je konvergentní právě tehdy, když je tzv. cauchyovská, tj. pokud platí podmínka Důkaz. : Předpokládejme nejprve, že je konvergentní, tzn. pro nějaké platí Chceme ukázat, že platí podmínka. Zvolme libovolné. Hledáme k němu příslušné. Položme, nalezněme k němu z předpokladu a položme. Pak skutečně pro všechna a platí což jsme chtěli ukázat. : Nechť platí podmínka. Ukážeme, že existuje tak, že platí. Zvolme nejprve, najděme k němu a zvolme libovolně. Pak pro všechna je, odkud plyne To znamená, že je omezená. Podle předchozího lemmatu existuje konvergentní podposloupnost. Označme, tzn. platí Dokážeme, že, tj. že platí. Zvolme. Hledáme k němu příslušné. Položme a najděme k němu z předpokladu. Podobně položme a najděme k němu. Položme. Pak pro všechna bude což jsme chtěli ukázat. Představme si, že někdo nám dal za úkol spočítat limitu. Tuto limitu neumíme přesně spočítat. Pokud ale dokážeme, že existuje a je vlastní, je zřejmé, že jako její přibližnou numerickou aproximaci pak můžeme použít hodnotu uvedené sumy pro velké. (Pokud bychom nevěděli, že limita existuje, nedávalo by sčítání libovolně mnoha členů sumy žádný smysl; nasčítáme-li např. 1000. člen posloupnosti, dostaneme přibližně číslo, které nevypovídá nic o její limitě.) Dokázat, že vlastní limita existuje, lze např. pomocí BCP. 1.7. Definice obecné mocniny Zavedení obecné mocniny pomocí limity číselné posloupnosti lze provést několika způsoby. Níže uvedený způsob využívá k definici exponenciální

28 funkce limitu. V dalším budeme potřebovat následující dvě nerovnosti: Lemma (Bernoulliova nerovnost). Nechť,. Pak Důkaz. Buď nejprve. Pro vztah platí, předpokládejme platnost pro pevné. Pak Pro a pro libovolné je Lemma (AG nerovnost). Nechť,. Pak platí Důkaz. Předpokládejme, že jsou všechna kladná (pokud je některé z nich rovno nule, vztah platí triviálně). Pro vztah platí. Dokažme ho pro : poslední nerovnost je zřejmá, neboť čtverec reálného čísla je vždy nezáporný. Předpokládejme nyní platnost pro a dokažme platnost pro : Nyní na vnitřek závorky na pravé straně použijeme opět pro : Pro splňující dokážeme nerovnost takto: označme Pak z nerovnosti pro plyne č ů Dělením obou stran číslem dostaneme Lemma. Nechť. Pak existuje konečná kladná limita posloupnosti. Důkaz. Označme. Ukážeme, že je omezená a od jistého členu rostoucí posloupnost kladných čísel. Zvolme libovolně. Nechť,,. Pak z AG nerovnosti dostaneme posloupnost je tedy od -tého členu rostoucí. Dále užitím Bernoulliovy nerovnosti dostaneme

29 odkud umocněním na -tou dostaneme Na pravé straně stojí konstanta. Vybraná posloupnost je tedy shora omezená. Díky monotonii je shora omezená i. Omezenost spolu s monotonií zaručují existenci konečné limity. Tato limita je kladné číslo, neboť posloupnost je od -tého členu rostoucí posloupností kladných čísel. Věta (O zavedení exponenciální funkce). Existuje právě jedna funkce taková, že pro všechna platí Důkaz. Dokažme nejprve, že funkce je uvedenými podmínkami dána jednoznačně. Přepokládejme, že pak dostaneme dosazením rovnici s uvedenými vlastnostmi existuje. Z odkud nebo, z plyne, že nutně. Dosazením do dostaneme odkud plyne pro všechna a dále Protože z podmínky plyne, že pro kladná je kladné číslo, díky máme, že je kladná na celém. Indukcí z dostaneme podmínku pro všechna. Z a z plyne a podobně užitím též takže spojením těchto dvou nerovností dostaneme Vydělením levou stranou dostaneme Pro posloupnost ve jmenovateli na pravé straně platí neboť z Bernoulliovy nerovnosti plyne sevření a stačí použít větu o limitě sevřené posloupnosti.

30 Použitím té samé věty pak ze sevření dostaneme, že Protože z předchozího lemmatu plyne, že limita jmenovatele existuje, je konečná a kladná, podle věty o limitě podílu dostaneme Funkce je tedy dána jednoznačně. Nyní dokažme, že funkce s uvedenými dvěma vlastnostmi existuje. Označme funkci definovanou vztahem. Ukážeme, že tato funkce splňuje oba dva vztahy a. Z AG nerovnosti pro všechna a taková, že, a, dostaneme z které limitním přechodem dostaneme Podobně platí pro taková, že,, že odkud limitním přechodem Z a celkem dostaneme Z Bernoulliovy nerovnosti pak pro dostaneme odkud limitním přechodem Tím je existence dokázána. Definice (Exponenciála). Funkci z předchozí věty značíme a nazýváme exponenciála (nebo exponenciální funkce). Lemma (Základní vlastnosti exponenciály). Základní vlastnosti exponenciály jsou tyto: 1., kde je Eulerova konstanta. 2. je ostře rostoucí na. 3. Pro obor hodnot exponenciály platí. 4. Pro libovolnou konvergentní posloupnost platí 5. Pro libovolné racionální číslo, kde,,, platí Důkaz. 1. Plyne přímo z definice Eulerova čísla. 2. Pro dostaneme odkud. 3. Zvolme libovolně. Množina je neprázdná, neboť díky nerovnosti platí

31 a též Dále je shora omezená, neboť je ostře rostoucí. Tedy je shora omezený a zdola neomezený interval. Označme. Je. Ukážeme, že platí : Kdyby totiž, pak by existovalo tak, že neboť. Z této nerovnosti by vyplývalo, že, což je ale spor s faktem, že (spor s první vlastností suprema). Podobně, kdyby bylo, pak by existovalo tak, že což znamená, že a to je opět spor, tentokrát s druhou vlastností suprema. 4. Z nerovností a plyne pro každé vztah Nechť nejprve. Pak od jistého indexu platí a je tedy Použitím věty o limitě sevřené posloupnosti dostaneme Pokud obecně, pak a tedy. Odtud podle věty o limitě součinu 5. Pro libovolné přirozené a libovolné platí (viz ) Odtud ihned plyne (z věty o existenci a jednoznačnosti přirozené odmocniny z kladného reálného čísla), že neboť podle Kombinací vztahů a dostaneme dokazované tvrzení. Z dokázaného lemmatu plyne, že je prostá ostře rostoucí funkce na s oborem hodnot. Existuje k ní tedy funkce inverzní. Definice (Logaritmus). Funkci inverzní k nazýváme přirozený logaritmus a značíme. Lemma. Funkce má definiční obor a obor hodnot. Je prostá a ostře rostoucí. Pro všechna platí Důkaz. Prostota a monotonie plyne přímo z definice. Označme,. Pak a. Je odkud Definice (Obecná mocnina). Buď a. Pak obecnou mocninu definujeme vztahem

32 Je nutné ověřit, že výše uvedená definice je v souladu s definicí mocniny čísla s racionálním exponentem vztahem Skutečně, máme podle bodu 5 lemmatu Proto je možné pro obecnou mocninu používat značení. Základní vlastnosti obecné mocniny shrnuje následující lemma. Jsou stejné jako vlastnosti racionální mocniny. Lemma. Pro a je 1), 2), 3), 4) pro, 5) pro, 6) pro, 7) pro. Důkaz. 1) Je 2) Podle je 3) Je 4) Pro je (neboť je ostře rostoucí a ), tedy 5) Pro je a platí tedy opačné nerovnosti než v bodě 3). 6) Je 7) Díky se nerovnosti v 5) otočí. 1.8. Reálné funkce reálné proměnné Reálná funkce je každé zobrazení, jehož obor hodnot je podmnožina reálných čísel. Funkce (jedné) reálné proměnné je každé zobrazení, jehož definiční obor je podmnožina reálných čísel. Reálná funkce reálné proměnné je tedy každé zobrazení z do. Definice (Omezenost, monotonie, sudost/lichost a periodicita). Reálnou funkci reálné proměnné nazýváme omezená shora, pokud je její obor hodnot množina omezená shora, omezená zdola, pokud je množina omezená zdola, omezená, pokud je množina omezená, rostoucí, pokud, klesající, pokud, ostře rostoucí, pokud, ostře klesající, pokud, monotónní, pokud je klesající nebo rostoucí, ryze monotónní, pokud je ostře klesající nebo ostře rostoucí. sudá, pokud, lichá, pokud, periodická s periodou, pokud. Definice (Vlastnost funkce na množině). Někdy potřebujeme popsat vlastnost funkce jen na části definičního oboru. Říkáme, že má určitou vlastnost na množině, pokud a zúžení má tuto vlastnost. Definice (Supremum, infimum, maximum, minimum funkce). Pojmy supremum, infimum, maximum, minimum funkce jsou definovány jako daný pojem aplikovaný na obor hodnot. Tj. atd. Pojmy typu maximum na množině se definují pomocí zúžení, např., atd.

33 Funkce není podle naší definice ostře klesající na svém definičním oboru, protože např.. Příklad (Dirichletova funkce). Dirichletova funkce je periodická a periodou je každé racionální číslo. 1.8.1. Limita funkce Definice (Hromadný bod). Číslo nazveme hromadným bodem množiny, pokud v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny. Body z, které nepatří mezi hromadné body, se nazývají izolované. Množinu všech hromadných bodů množiny značíme. Alternativně lze říci, že je hromadný bod množiny právě tehdy, když existuje posloupnost čísel z množiny mající za limitu bod. 1. Množina nemá žádný hromadný bod. 2. Jakákoliv konečná množina nemá žádný hromadný bod. 3. Množina má jediný hromadný bod:. Tedy. 4. Množina má dva hromadné body:. Tedy. 5. Intervaly, i mají za hromadné body všechny prvky z. 6. Množina má nespočetně mnoho hromadných bodů: tvoří celou množinu. 7. Také množina má za hromadné body všechny prvky. Definice (Limita funkce). Buď hromadným bodem definičního oboru funkce, tj.. Řekneme, že funkce má v bodě limitu, pokud Zapisujeme nebo tradičním způsobem. Podobně jako u limity poslouponosti daná funkce může mít v daném bodě nejvýš jednu limitu, což se snadno ukáže sporem a opravňuje to zavedené značení. Podle toho, zda a jsou reálná čísla nebo nekonečna, lze definici přepsat různými ekvivalentními způsoby bez použití značky pro okolí. Nejdůležitější případ je, pokud. Pak Reálná posloupnost je speciální případ reálné funkce s definičním oborem. Definice limity posloupnosti se shoduje s definicí výše, neboť (jiné hromadné body definiční obor posloupnosti nemá) a pro nějaké. Přímo z definice limity plyne, že limita funkce vůbec nezávisí na tom, zda funkce je či není v bodě definovaná, ani na hodnotě. Ukažme z definice, že platí Chceme tedy dokázat, že