ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Katedra hydrauliky a hydrologie MAGNUSŮV EFEKT. Semestrální práce

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Katedra hydrauliky a hydrologie MAGNUSŮV EFEKT Semestrální práce Zpracoval: Petr Šplíchal Datum: 1. května 2017 Obor: Vodní hospodářství a vodní stavby Předmět: Říční inženýrství a morfologie a Hydraulika technologických procesů

Obsah 1 ÚVOD... 3 2 MAGNUSŮV EFEKT... 4 2.1 Princip Magnusova efektu... 4 2.2 Síly působící na obtékané rotační těleso... 5 3 MODEL POTENCIÁLNÍHO PROUDĚNÍ... 6 3.1 Základy potenciálního proudění... 6 3.2 Vztlakové proudění podél rotujícího válce... 6 3.3 Vyhodnocení modelu potenciálního proudění... 8 3.3.1 Model potenciálního proudění - válec... 8 3.3.2 Model potenciálního proudění - koule... 11 4 PROUDĚNÍ REÁLNÉ TEKUTINY PODÉL ROTUJÍCÍHO VÁLCE... 12 4.1 Základní předpoklady a nastavení délky časového kroku... 12 4.2 Popis modelu... 13 4.2.1 Testování kvality výpočetní sítě a nastavení modelu... 14 4.3 Vyhodnocení 2D modelu Magnusova efektu... 15 5 PROUDĚNÍ REÁLNÉ TEKUTINY PODÉL ROTUJÍCÍ KOULE... 18 6 VYHODNOCENÍ... 20 7 ZDROJE... 21 2

1 ÚVOD Předložená práce se zabývá popisem Magnusova efektu pro případ 2D proudění (válec) a 3D proudění (koule). Na úvod je uveden popis Magnusova efektu pro případ válce na základě teorie potenciální proudění. Pro ověření výsledků potenciálního proudění byl sestaven i numerický model založený na metodě konečných objemů (MKO), jak pro případ válce, tak i pro případ koule. Na závěr jsou uvedeny velikosti hydrodynamických odporových a vztlakových sil určených pomocí jednotlivých přístupů. Pro veškeré vyšetřované případy byla uplatněna velikost válce/koule o průměru d = 0,05 m, rychlost okolní tekutiny v = V = 0,5 m. s 1, hustota tekutiny (vody) ρ w = 998,2 kg. m 3 a dynamické vazkosti μ = 0,001003 Pa. s. Rotace válce/koule byla uvažovaná hodnotou s = π [rad. s 1 ]. 3

2 MAGNUSŮV EFEKT Magnusův efekt (též Magnusův jev) může popisovat jako vznik síly kolmo na směr proudění při proudění tekutiny kolem rotujícího tělesa. Tento jev byl poprvé podrobně a popsán Gustavem Heinrichem Magnusem v roce 1852, avšak první zmínka o tomto efektu pochází již z roku 1652 od Issaca Newtona. Obr. 2.1 Magnusova síla 2.1 Princip Magnusova efektu Magnusův efekt je jev, při kterém těleso (válec, koule) pohybující se tekutinou rotuje a vytváří kolem sebe vír, přičemž na těleso působí síla kolmá na směr proudění okolní tekutiny. Magnusův efekt se uplatňuje zejména v míčových sportech, kdy dochází ke zakřivení dráhy rotujícího míče a je prakticky využíván v rotoru lodí (Flettnerův rotor) a ve Flettnerových letadlech. Obr. 2.2 Flettnerovo letadlo 4

Při rotaci tělesa (válce, koule) ve vazké tekutině, dochází ke vzniku mezní vrstvy, která způsobuje jednodušší šíření kruhového pohybu tekutiny. Pohybuje-li se těleso v tekutině rychlostí v, rychlost tenké vrstvy tekutiny přiléhající k povrchu tělesa je na pohybující se přední straně menší, nežli rychlost v a na pohybující se straně zadní je o něco větší. Důvodem je, že rychlost, vzhledem k mezní vrstvě tekutiny obklopující rotující těleso, se odečítá od rychlosti na přední straně tělesa a přičítá se k rychlosti na zadní straně tělesa. 2.2 Síly působící na obtékané rotační těleso Při proudění reálné tekutiny kolem rotujícího tělesa vzniká hydrodynamická odporová síla (Drag) a hydrodynamická vztlaková síla (Lift). Hydrodynamická odporová síla Jedná se o sílu, která působí ve směru relativní rychlosti. Její velikost je závisí na relativní rychlosti (tekutiny/tělesa), hustotě tekutiny, tvaru a velikosti obtékaného tělesa. Hydrodynamickou odporovou sílu je možné určit pomocí výrazu F D = 1 2. C D. A. ρ w. v 2, (2.1) kde je C D odporový součinitel, A čelní plocha tělesa (účinná plocha), ρ w hustota tekutiny (pro náš případ vody) a v je relativní rychlost tělesa vůči kapalině v oblasti před nátokem. Celková hydrodynamická odporová síly se skládá z odporu tvarového F T (daném změnou směru proudění) a odporu povrchového F τ (daném třením) např. vliv drsnosti povrchu. Pro celkovou odporovou síly tedy platí F D = F T + F τ. (2.2) Hydrodynamická vztlaková síla Vzniká v případě nesymetrického obtékání tělesa v tekutině nebo v případě rotace symetrického tělesa. Tato síla se kolmá na odporovou sílu, a tedy na směr proudění (relativní směr rychlosti). Velikost této síly opět závisí na rychlosti, hustotě tekutiny, tvaru a velikosti obtékaného tělesa. Hydrodynamickou vztlakovou sílu (Lift) je možné vypočíst jako F L = 1 2. C L. A. ρ w. v 2, (2.3) kde je C L vztlakový součinitel, A čelní plocha tělesa (účinná plocha), ρ w hustota tekutiny (pro náš případ vody) a v je relativní rychlost tělesa vůči kapalině v oblasti před nátokem. 5

3 MODEL POTENCIÁLNÍHO PROUDĚNÍ 3.1 Základy potenciálního proudění Potenciální proudění je případ proudění, kdy považujeme proudící tekutinu za nestlačitelnou a nevazkou potenciální proudění je nevířivé proudění. V podstatě se jedná o rovnici V = φ, (3.1) kde V je rychlost tekutiny je operátor nabla a φ je potenciální funkce. Základními podmínkami pro vznik potenciálního proudění je, že se jedná o nevířivé proudění nestlačitelné tekutiny a φ splňuje rovnici kontinuity. Pro nevířivé proudění platí, že rotace rychlostního pole je nulová, tj. V = φ, (3.2) V = φ, (3.3) V = 0. (3.4) Z rovnice kontinuity pro nestlačitelné prodění vyplývá Substitucí rovnice (3.1) do rovnice (3.5) obdržíme tzv. Laplaceho rovnici. V = 0. (3.5) 2 V = 0. (3.6) Tato rovnice je velice důležitá z hlediska proudění, jelikož umožňuje princip superpozice. Odtud vyplývá, že může jednoduché případy potenciální proudění spojit v jeden (např. pro případ válce umožňuje spojení zdroje a propadu do jednoho bodu, čímž můžeme ve spojení s uniformním rozdělením rychlosti modelovat potenciální proudění kolem válce). 3.2 Vztlakové proudění podél rotujícího válce Spojením uniformního proudění, kombinace zdroje a propadu (doublet) a víru obdržíme proudovou funkci ve tvaru ψ = V r sin θ (1 R2 r 2 ) + Γ ln r, (3.7) 2π která reprezentuje proudění kolem kruhového válce o poloměru R s rozšířením o vliv víru rotace válce. 6

Radiální a tangenciální složky rychlostí můžeme odvodit derivací proudové funkce, jak je uvedeno níže V r = 1 ψ r θ = V cos θ (1 R2 r2 ), (3.8) V θ = ψ r = V sin θ (1 + R2 r 2 ) Γ ln r. (3.9) 2π Rychlost na povrchu válce obdržíme dosazením r = R do výše uvedených výrazů rov. (3.8) a (3.9) Tlakový koeficient získaný pomocí rovnic (3.10) a (3.11) nabývá tvaru V r = 0, (3.10) V θ = 2V sin θ Γ 2π ln R. (3.11) C p = 1 V2 2 V2 = 1 4 Γ sin2 θ ( 2πV R ) ( 2Γ πv R ) sin θ. (3.12) POZN.: Při uvažování nerotačního proudění člen Γ vychází nulový Γ = 0 a talkový koeficient se zjednoduší do podoby C p = 1 4 sin 2 θ. (3.13) Tlakové poměry je možné určit na základě Bernoulliho rovnice pro nevazké nestlačitelné proudění p = 1 2 ρ(v 2 V 2 ) + p, (3.14) kde V lze určit pomocí výrazu V 2 = V 2 r + V 2 θ. (3.15) Výsledné síly působící na válce o jisté délce je možné získat integrací tlakové síly podél povrchu válce F = F D i + F L j = p. n. da = (p p ). n. da. (3.16) Jednoduchými úpravami rov. (3.16) při využití poznatků z matematiky pro integraci podél uzavřené křivky a s využitím rov. (3.12) můžeme získat vztahy pro výpočet odporového a vztlakového koeficientu, pro které platí C D = 0, (3.17) C L = Γ V R. (3.18) Výsledné velikosti odporové a vztlakové síly pomocí teorie potenciálního proudění nabývají tvaru 7

F D = 0, (3.19) F L = ρv Γ. (3.20) Nulová velikost odporové síly je známá jako d Alembertův paradox, jelikož je v přímém rozporu s experimentálními měřeními odporové síly (F D > 0). Důvodem nulové velikosti odporové síly je zanedbání viskozity. Rov. (3.19) je označována jako Kutta-Žukovského teorém, který je platný pro jakákoliv 2D tělesa různých tvarů a ne jen pro válec. V rov. (3.20) vystupuje veličina Γ označovaná jako vortex strength a její velikost se odvíjí od zvolené hodnoty rotace válce s, poloměru válce r a postup jejího určení je následující: Nejprve je nutné stanovit velikost úhlové rychlosti Vr(r) Ze znalosti úhlové rychlosti V r je možné určit charakteristiku Γ jako V r = 2πrs. (3.21) Γ = 2πrV r. (3.22) 3.3 Vyhodnocení modelu potenciálního proudění 3.3.1 Model potenciálního proudění - válec Výše uvedené poznatky o potenciálním proudění kolem rotujícího válce byly implementovány do programu MATLAB, ve kterém byl sestaven kód pro výpočet proudové funkce, vektorového pole, tlakového pole a průběhu tlakového koeficientu s vyčíslením velikosti vztlakové síly podle rov. (3.19). Vypočtená velikost vztlakové síly pro navrženou hustotu tekutiny a průměr válce F L = ρv Γ = 998,2. 0,5. 0,08 = 38,69 [N]. (3.23) POZN.: Pro zvolenou hodnotu rotace s = π[ras. s 1 ] vychází velikost úhlové rychlosti Odpovídající velikost charakteristiky Γ V r = 2πrs = 2π. 0,025. π = 0,49 [m. s 1 ]. (3.24) Γ = 2πrV r = 2π. 0,025. 0,5 = 0,08 [m 2. s 1 ]. (3.25) 8

Ukázka proudové funkce pro jednotlivé hodnoty potenciálu je uvedena níže (obr. 3.1) Obr. 3.1 Ukázka proudové funkce Ukázka vektorového pole doplněného proudovou funkcí je uvedena níže (obr. 3.2) Obr. 3.2 Ukázka vektorového pole 9

Ukázka průběhu tlakových poměrů je uvedena níže (obr. 3.3) Obr. 3.3 Ukázka tlakových poměrů. Průběh tlakového koeficientu je uveden níže (obr. 3.4) Obr. 3.4 Tlakový koeficient podél povrchu válce. 10

3.3.2 Model potenciálního proudění - koule Velikost vztlakové síly určená pomocí teorie potenciálního proudění vychází z Kutta-Žukovského teorému, který lze upravit pro válec do tvaru F L = 4π 2 r 2 s ρ V [N]. (3.26) Integrací podél osy rotace koule můžeme získat výsledný tvar vztlakové síly pomocí teorie potenciálního proudění r F L = 4π 2 r 2 sρv dl (3.27) r r = r sin φ (3.28) l = r cos φ (3.29) dl = r sin φ (3.30) Výsledná velikost vztlakové síly pomocí 3D teorie potenciálního proudění F L = 4 3 (4π2 r 3 s ρ V ) = 4 3 (4π3. 0,025 3. 998,2. 0,5) = 1,29 [N]. (3.31) Ukázka velikosti vztlakové síly pro různě volené hodnoty rotace s [rad. s 1 ] pro kouli a válec je uvedena níže (obr. 3.5). Obr. 3.5 Závislost velikosti vztlakové síly na velikosti rotace podle teorie potenciálního proudění kolem koule 11

4 PROUDĚNÍ REÁLNÉ TEKUTINY PODÉL ROTUJÍCÍHO VÁLCE Za účelem ověření výsledků modelu potenciálního proudění byl sestaven 2D model obtékání kruhového válce reálnou tekutinou (uvažuje vliv vazkosti tekutiny) vypočítá odporovou sílu. 4.1 Základní předpoklady a nastavení délky časového kroku Pro sestavení modelu byla použita dvě bezrozměrná čísla Reynoldsovo a Strouhalovo číslo. Strouhalovo číslo popisuje oscilující proudové mechanismy. Pomocí těchto dvou bezrozměrných čísel bude proveden výpočet potřebné délky časového kroku za předpokladu, že se délka časového kroku nerotujícího a rotujícího válce se příliš neliší nebo, že je menší než délka časového kroku rotujícího válce. Reynoldsovo číslo Strouhalovo číslo Re = ρ v d μ = 998,2.0,5.0,05 0,001003 = 24 880 [1]. (4.1) St = fd v, (4.2) kde je f frekvence odtrhávání vírů, d průměr válce/koule a v rychlost proudu tekutiny. Průběh Strouhalova čísla je uveden níže (obr. 4.1). Ze závislosti Strouhalova čísla na Reynoldsově čísle je možné pozorovat, že pro námi zvolenou velikost Reynoldsova čísla lze Strouhalovo číslo považovat za zhruba rovné 0,2, což potvrzuje i rov. (4.3). Obr. 4.1 Závislost velikost Strouhalova a Reynoldsova čísla 12

Alternativní tvar Strouhalova čísla (platný pro 250 < Re < 2.10 5 ) St = 0,198 (1 19,7 Re ) (4.3) Vypočtením Strouhalova čísla pomocí rov. (4.3) můžeme určit frekvenci odtrhávání vírů, která pro zvolené počáteční podmínky poskytuje velikost f = 1,98 s 1. Ze znalosti frekvence odtrhávání vírů je možné určit časový krok (periodu odtrhávání vírů) jako T = 1 f = 1 = 0,53 s. (4.4) 1,98 Nyní známe dobu jednotlivých časových krků odtrhávání víru a můžeme stanovit délku výpočetního kroku simulace jako n-násobek periody odtrhávání, tj. 4.2 Popis modelu t s = T n = 0,53 25 0,02 s. (4.5) Použitá výpočetní síť respektovala základní požadavky na návrh a tvorbu výpočetní sítě v blízkosti pevných stěn. V blízkosti válce byla realizována inflace výpočetní sítě za účelem modelování mezní vrstvy. Výpočetní síť byla nastavena jako čtyřúhelníková výpočetní síť. Počet elementů (buněk) výpočetní sítě dosahoval 28 800 a počet uzlů výpočetní sítě dosahoval 29 040. Obr. 4.2 Ukázka výpočetní sítě použité pro vypočet proudění vody podél válce 13

Za výpočetní model byl použit model k-omega SST, který využívá standardní model k-omega pro řešení proudění v oblasti blízko stěny a standartní model k-epsilon ve volném proudu. Řešič byl zvolen jako Pressure-based a výpočet probíhal na 2D geometrii (výpočetní síti). Výpočtový případ proudění byl zvolen jako transientní, který by měl lépe zachytit rozpad vírů, a proto je vhodné použit metodu PISO, která neovlivňuje stabilitu řešení neustálených případů proudění. Hladina intenzity turbulence byla zvolena hodnotou 1% a doplňující podmínkou pro zadání okrajové podmínka byl charakteristický rozměr průměr válce. Celková doba simulace (simulovaný čas) byla 10 sekund, které odpovídá 500 iterací (počet iterací v jednom kroku 50). Velikost rotace koule kolem osy z byla stanovena hodnotou π [rad.s -1 ]. 4.2.1 Testování kvality výpočetní sítě a nastavení modelu V CFD procesu hraje významnou roli kvalita výpočetní sítě a volba nastavení turbulentního modelu, proto je vhodné otestovat výsledek proběhlé simulace s dostupnými experimentálními výsledky. Nicméně experimentální výsledky vztlakového součinitele nejsou snadno dostupné, a proto bude provedeno posouzení výpočetní sítě na modelu nerotujícího válce. Experimentální hodnoty odporového součinitele C D lze získat z grafického zpracování experimentálních výsledků (obr. 4.3). Obr. 4.3 Experimentální zpracování velikosti odporového součinitele pro kouli, válec a disk Výsledná hodnota odporového součinitele získaného ze 2D simulace nerotujícího válce je rovna C D,válec (Re = 24 880) = 1,19 [1/l]. (4.6) 14

Výsledná hodnota odporového součinitele získaného ze 3D simulace nerotující koule je uveden níže C D,koule (Re = 24 880) = 0,34 [1]. (4.7) Srovnáním spočtených hodnot pomocí turbulentního modelu SST na dané výpočetní síti bylo pozorováno, že použitá výpočetní síť a zvolené nastavení modelu je ve shodě s experimentálními výsledky pro válec a kouli za předpokladu nerotačního proudění. Experimentálně stanovené hodnoty odporového součinitele pro nerotující kouli jsou uvedeny na obrázku níže (obr. 4.4). Obr. 4.4 Závislost velikosti odporového součinitele pro hladkou kouli na Reynoldsově čísle 4.3 Vyhodnocení 2D modelu Magnusova efektu Výsledná velikost hydrodynamické odporové síly a vztlakové síly určené pomocí turbulentního modelu SST jsou uvedeny níže Výpočet odporového součinitele (řešeno na jednotku délky) C D = F D = 21,86 [N/l], (4.8) F L = 4,22[N/l]. (4.9) F D 0,5. ρ. D. v 2 = 21,86 = 3,50 [1/l]. (4.10) 0,5.998,2.0,05.0,52 Výpočet odporového součinitele (řešeno na jednotku délky) C L = F L 0,5. ρ. D. v 2 = 4,22 = 0,68 [1/l]. (4.11) 0,5.998,2.0,05.0,52 15

Vypočtený průběh odporové síly v jednotlivých časových krocích simulace je uveden níže (obr. 4.5). Počáteční průběh velikosti odporové síly do časového intervalu (0 až 1,5s) je poměrně rozkolísaný v důsledku trvání doby, ve které musí tekutina (vody) dotéci ze zvolené okrajové podmínky (oblast Velocity_Inlet) k tělesu válce (řešič byl nastaven tak aby k výpočtu docházelo od okrajové podmínky Velocity_Inlet). V tomto časovém intervalu se válec pohybuje konstantní velikosti rotace kolem své osy s = π [rad. s 1 ]. Obr. 4.5 Průběh odporové síly pro rotující válce Obr. 4.6 Průběh vztlakové síly pro rotující válec V časovém intervalu (cca 1,5s až 10s) se začíná na povrchu koule uplatňovat vliv proudící tekutiny kolem válce a dochází k významnému snížení rozptylu velikosti odporové síly. Nicméně odporová síla 16

není konstantní, dochází k mírné oscilaci, která je způsobena odtrháváním vírů za tělesem válce. Pro odporovou sílu v případě konstantní velikosti rotace s = π [rad. s 1 ] lze pozorovat, že oproti nerotačnímu pohybu dochází k významnému zvýšení velikosti odporového koeficientu z hodnoty C D = 1,19 [1/l] na hodnotu C D (s) = 3,50 [1/l], což je přibližně trojnásobné navýšení odporové síly. Průběh vztlakové síly působící na těleso válce je uveden výše (obr. 4.6). U průběhu vztlakové síly je možné opět pozorovat, že je poměrně značně rozkolísaný, dokud se k tělesu válce nedostane proud vody (pro zpracování výsledků simulace je nutné tento počáteční jev odfiltrovat). Na rozdíl od nerotačního proudění kolem válce dochází ke vzniku vztlakové síly (dochází k poklesu sinusového průběhu vztlakové síly při finální integraci vychází nenulová složka vztlakové síly). 17

5 PROUDĚNÍ REÁLNÉ TEKUTINY PODÉL ROTUJÍCÍ KOULE Výpočetní model sestavený pro modelování rotující koule využívá shodné rozměry koule, parametry tekutiny a nastavení řešiče, které byly použity v předchozích kapitolách. Výjimku tvoří pouze výpočetní síť, která byla pro tento případ vytvořena ve 3D a skládala se z 223 360 elementů. Výsledná velikost hydrodynamické odporové síly a vztlakové síly určené pomocí turbulentního modelu SST jsou uvedeny níže Výpočet odporového součinitele C D = Výpočet odporového součinitele C L = F D = 0,104 [N], (5.1) F L = 0,061 [N]. (5.2) F D 0,5. ρ. A. v 2 = 0,104 0,5.998,2.0,25. π. 0.05 2 = 0,42 [1]. (5.3). 0,52 F L 0,5. ρ. A. v 2 = 0,61 0,5.998,2.0,25. π. 0.05 2 = 0,25 [1]. (5.4). 0,52 Průběh velikosti odporové a vztlakové hydrodynamické síly je uveden níže (obr. 5.1 a obr. 5.2). Odporová síla (drag) vesměs konstantní hodnotu s drobnými oscilacemi, které jsou vázané na odtrhávání tekutiny za koulí, které se ke konci výpočetního času simulace zvětšují. Ze srovnání s průběhem odporové síly pro rotující válec lze vypozorovat, že obě odporové síly vykazují obdobný průběh a výsledné odporové hodnoty nabývají konstantní, avšak rozdílné hodnoty. Vztlaková síla (lift) vykazuje po dosažení koule proudící tekutinou oscilaci hodnot vztlakové síly kolem střední hodnoty, která odpovídá výsledné velikosti vztlakové síly. Hodnoty amplitudy vztlakové síly se od počátku kmitavého průběhu vztlakové síly postupně zvyšují a jejich přítomnost lze pozorovat i při průběhu odporové síly. Důsledek periodického průběhu vztlakové síly je periodické odtrhávání po stranách koule. Perioda odtrhávání víru dosahuje velikosti T~ 0,5s, což odpovídá předpokladu použitému při obtékání válce, a proto lze považovat časový krok za dostatečný (v prvotním návrhu obtékání válce byla délka časového kroku zvolena poměrně konzervativně). 18

Obr. 5.1 Průběh odporové síly pro rotující kouli Obr. 5.2 Průběh vztlakové síly pro rotující kouli 19

6 VYHODNOCENÍ Na základě teorie potenciálního proudění není možné, z důvodu předpokladu nevířivého proudění stanovit velikost odporové síly, působící na těleso válce/koule. Nicméně je možné určit velikost vztlakové síly pomocí Kutta-Žukovského teorému na základě znalosti charakteristiky Γ (vortex strength), hustoty tekutiny a rychlosti tekutiny/tělesa. Velikosti vztlakové síly určené pomocí této teorie má lineární průběh (obr. 3.5) a pro zvolené rozměry koule/válce, rychlost a hustou tekutiny a velikost rotace s = π[rad. s 1 ] obdržíme velikost vztlakové síly pro těleso válce L válec = 38,69 [N/l] a pro těleso koule L koule = 1,29 [N]. Tyto hodnoty převyšují hodnoty vztlakové síly získané z numerické simulace pomocí turbulentního modelu k-omega SST. Při řešení obtékání rotujícího válce byla nejprve výpočetní síť a nastavení modelu řešena pro případ nulové velikosti rotace a výsledky byly konfrontována s experimentálními hodnotami odporového součinitele C D,válec, kde bylo zjištěno, spočtené hodnoty odporového součinitele a experimentálních výsledků jsou v dobré shodě. Následně byla použita velikost rotace (spin) s = π[rad. s 1 ], při které došlo k navýšení odporového součinitele C D = 1,17 [1] na hodnotu C D = 3,50 [1], tedy téměř třikrát větší (odporová síla F D = 21,86 [N/l]). Dále došlo ke vzniku odporové síly, která je pro případ nerotujícího válce nulová na hodnotu vztlakové síly F L = 4,22 [N/l], které odpovídá vztlakový koeficient C L = 0,68 [1]. Pro případ koule byly hodnoty koeficientu odporu C D = 0,34 [1] pro dané nastavení modelu a výpočetní sítě opět v dobré shodě s experimentálními pozorováními (obr. 4.4). Výsledné hodnoty odporového součinitele pro velikost rotace (spin) s = π[rad. s 1 ] se pro případ rotující koule příliš nelišily od nerotujícího případu C D = 0,42 [1], kde je možné opět pozorovat nárůst odporového součinitele/síly (odpovídající odporová síla F D = 0,10 [N]). Velikost vztlakové síly pro případ koule podle výsledků numerického modelu vazké tekutiny je opět nižší, než lze vypočíst z teorie potenciálního proudění F L = 0,06 [N]. Následně by bylo vhodné výsledky modelu k-omega SST porovnat se skutečně naměřenými hodnotami a turbulentní model případně poupravit, pokud dojde k významnému odchýlení. 20

7 ZDROJE https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/78/flettner_rotor_aircraft.jpg http://marian.fsik.cvut.cz/~furst/pmt/pmtch3.xml https://cs.wikipedia.org/wiki/magnus%c5%afv_jev#/media/file:magnus_effect.svg http://web.mit.edu/16.unified/www/fall/fluids/lectures/f16.pdf https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/15/sketch_of_magnus_effect_with_str eamlines_and_turbulent_wake.svg/220px- Sketch_of_Magnus_effect_with_streamlines_and_turbulent_wake.svg.png http://www.thiiink.com/wp-content/uploads/2010/11/postbilag.jpeg https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/images/beach.gif https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/cyl.html https://forum.nasaspaceflight.com/index.php?action=dlattach;topic=38109.0;attach=1049302;image 21