Šíření elektomagnetických vln 2 Šíření elektomagnetických vln V předchozí kapitole jsme si zopakovali základní teminologii elektomagnetismu a připomněli jsme si základní zákonitosti. Nyní si připomeneme Mawellovy ovnice, a pak se budeme věnovat šíření elektomagnetické vlny volným postoem. U všech studovaných jevů budeme předpokládat jejich hamonický půběh. Všechny časově závislé veličiny tedy můžeme epezentovat fázoy. Vzhledem k fázoovému chaakteu veličin není zapotřebí tuto skutečnost zdůazňovat, a poto přestáváme používat stříšky nad jejich symboly. 2.1 Mawellovy ovnice Pvní dvě Mawellovy ovnice popisují postupné přelévání enegie elektického pole do pole magnetického a naopak. Tímto postupným přeléváním se elektomagnetická enegie šíří postoem daleko od zdojů. Přelévání enegie elektického pole do pole magnetického popisuje Ampéův zákon celkového poudu. Teče-li tenkým dátem vodivý poud i (elektony v pohybu) a posuvný poud d/dt (hamonická změna polaizace dielektika kondenzátou po přiložení hamonického napětí na elektody), vzniknou kolem pstencové siločáy magnetického pole d H dl i (2.1) l d t Ve (2.1) značí H vekto intenzity magnetického pole [A/m] a dl je elementání úsek; smě elementáního úseku je tečný ke křivce, po níž integujeme. Vodivý poud i [A] je pohybem (časovou změnou) náboje q [C] dq it (2.2) d t Posuvný poud je časovou změnou elektického indukčního toku [C] t D ds (2.3) S Ve (2.3) značí D [C/m 2 ] vekto elektické indukce a S [m 2 ] je plocha, kteou elektický indukční tok počítáme. Smě vektou plochy S je k ploše kolmý. Velikost elektické indukce D a velikost intenzity elektického pole E jsou svázány mateiálovým vztahem D 0 E (2.4) kde 0 = 8,85 10-12 F/m je pemitivita vakua a značí elativní pemitivitu postředí. Přelévání enegie magnetického pole do pole elektického popisuje Faadayův indukční zákon. Díky časové změně magnetického indukčního toku d/dt je na svokách vodivé smyčky indukováno napětí d E dl (2.5) l d t - 1 -
Šíření elektomagnetických vln Intenzitu elektického pole E [V/m] na elementáních úsecích smyčky násobíme délkami elementáních úseků dl, takže dostáváme elementání napětí na těchto dílčích segmentech. Křivkový integál podél smyčky tato elementání napětí sečte, takže výsledkem je napětí na vstupních svokách smyčky. Magnetický indukční tok [Vs = Wb, webe] Φ t S B ds (2.6) vypočteme integováním vektou magnetické indukce B [Vs/m 2 = T, tesla] po ploše S [m 2 ], kteou magnetický indukční tok potéká. Velikost magnetické indukce B a velikost intenzity magnetického pole H jsou svázány mateiálovým vztahem B 0 H (2.7) kde 0 = 4 10-7 H/m je pemeabilita vakua a značí elativní pemeabilitu postředí. Třetí a čtvtá Mawellova ovnice popisují zdoje elektomagnetických polí. Zdojem elektického pole je elektický náboj Q [C] S D ds Q (2.8) Velikost zdojového náboje vypočteme postupným sčítáním (integováním) elementáních elektických indukčních toků D ds po povchu koule, kteá zdojový náboj obklopuje. Magnetické pole je vytvářeno pohybujícími se elektickými náboji; statický zdoj magnetické pole nemá. Odpovídající čtvtá Mawellova ovnice říká S B ds 0 (2.9) že součet (integál) elementáních magnetických indukčních toků B ds, kteé vtékají do uzavřené koule, je oven součtu (integálu) magnetických indukčních toků, kteé ze stejné uzavřené koule vytékají. Integální fomulace Mawellových ovnic nám umožňuje názoně vysvětlit podstatu základních elektomagnetických jevů, avšak jejich využití k paktickým výpočtům je elativně komplikované. Poto je vhodné Mawellovy ovnice přefomulovat do tvau difeenciálního: D H J t (2.10) B E t (2.11) D (2.12) B 0 (2.13) Ve výše uvedených vztazích značí H [A/m] vekto intenzity magnetického pole, J [A/m 2 ] je plošná hustota poudu vodivého a D/t odpovídá plošné hustotě poudu posuvného. Symbol E [V/m] značí vekto intenzity elektického pole a B/t odpovídá časové změně vektou magnetické indukce. Symbol [C/m 3 ] epezentuje objemovou hustotu náboje, kteý je volně ozpostřen v analyzované oblasti. - 2 -
Šíření elektomagnetických vln Symbol značí difeenciální opeáto, kteý je v katézském souřadném systému epezentován vektoem y z (2.14) Dosazení opeátou (2.14) do duhé Mawellovy ovnice (2.11) nám umožní tuto ovnici ozepsat na jednotlivé souřadné složky: 0 y 0 z 0 H E H y (2.15) y z t E E E H z y S uvážením, že symboly 0, y 0, a z 0 označují jednotkové vektoy ve směu souřadných os, lze (2.15) ozepsat do tří skaláních ovnic Ez y E z E y E y z Ez E y z H (2.16a) t H y (2.16b) t H z (2.16c) t Rovnice (2.16c) nám říká, že složka intenzity magnetického pole H z je úměná změně svislé složky intenzity elektického pole E y ve vodoovném směu a změně vodoovné složky intenzity elektického pole E ve svislém směu y. Vyjádříme-li tuto skutečnost gaficky (ob. 2.1), dostaneme v ovině y elementání smyčku intenzity elektického pole. Podle Faadayova indukčního zákona je tato smyčka svázána se složkou intenzity magnetického pole H z, kteá je na tuto smyčku kolmá. Obdobně lze intepetovat ovnice (2.16a) a (2.16b). Tuto intepetaci publikoval koncem 60. let Pof. Yee ve své páci o metodě konečných difeencí [2.1]. Ob. 2.1 Buňka Yee: gafická intepetace duhé Mawellovy ovnice v difeenciálním tvau. - 3 -
Šíření elektomagnetických vln Jelikož difeenciální fomulace Mawellových ovnic obsahuje na levých stanách postoové deivace složek intenzit elektického a magnetického pole, musíme při výpočtu hledané veličiny integovat v oblasti, v níž hledáme řešení. Při vyčíslování hodnoty učitého integálu tak musíme znát hodnoty, kteých hledaná veličina nabývá na okajích (hovoříme o okajových podmínkách): Diichletova okajová podmínka vyjadřuje skutečnost, že složka intenzity elektického pole, kteá je tečná k dokonale elekticky vodivému povchu (PEC, pefect electic conducto), je nulová E t 0 na PEC (2.17) Na intenzitu elektického pole E [V/m] můžeme nahlížet jako na měné napětí vztažené k metu délky. A napětí na dokonalém vodiči je nulové. Obdobná podmínka platí po složku intenzity magnetického pole, kteá je tečná k dokonalému magnetickému vodiči (PMC, pefect magnetic conducto) H t 0 na PMC (2.18) Neumannova okajová podmínka vyjadřuje skutečnost, že složka intenzity magnetického pole H t, kteá je tečná k dokonale elekticky vodivému povchu (PEC), se ve směu nomály k povchu nemění: H t H n t n 0 na PEC (2.19) Deivace H t podle nomály je tedy nulová. Deivaci podle nomály můžeme ozepsat jako skalání součin gadientu H t a nomály k vodivému povchu n. Neumannovu okajovou podmínku nám umožní lépe pochopit ob. 2.2. Na něm jsou šedou bavou vykesleny zadní a pavá stěna obdélníkového vlnovodu. Stěny vlnovodu jsou dokonale elekticky vodivé a vlna se šíří ve směu z (zespoda nahou). Baevný půběh znázoňuje postoové ozložení podélné složky intenzity magnetického pole H z. Tato složka pole je ke všem čtyřem stěnám vlnovodu tečná. Posouváme-li se kolmo k zadní stěně (tj. ve směu y), velikost intenzity magnetického pole H t se nemění. Deivace H t ve směu nomály ke stěně z je tedy nulová. Posouváme-li se kolmo k pavé stěně (tj. ve směu ), jsme na vcholu hamonické funkce. Tečna k vcholu je ovnoběžná ve směu. Při nekonečně malém koku ve směu se tedy velikost H t nemění, a ovněž i na pavé stěně je tedy deivace funkce ve směu nomály nulová. Na stěnách vlnovodu je tedy splněna Neumannova okajová podmínka. Obdobná podmínka platí po složku intenzity elektického pole E t, kteá je tečná k dokonalému magnetickému vodiči (PMC) E t E t n n 0 na PMC (2.20) Neumannovu okajovou podmínku nazýváme podmínkou přiozenou. Při numeickém řešení Mawellových ovnic bývá Neumannova podmínka splněna automaticky, aniž bychom jí při psaní výpočetního algoitmu věnovali pozonost. - 4 -
Šíření elektomagnetických vln Ob. 2.2 Rozložení podélné složky intenzity magnetického pole H z při šíření v obdélníkovém vlnovodu (stěny PEC v ovinách z a yz). Ještě poznamenejme, že opeáto (tzv. nabla) je vekto, jehož složky jsou úměné paciálním deivacím ve směech souřadných os. Vynásobíme-li opeátoem nabla skalání funkci (2.21) y z dostáváme gadient funkce v katézském souřadném systému. Složky gadientu odpovídají velikosti změny funkce v souřadných směech. Funkce H z z ob. 2.2 mění svou hodnotu uvnitř vlnovodu (nikoli na stěnách) pouze ve směu. Gadient uvnitř vlnovou bude mít tedy nenulovou pouze složku. Gadient nám učuje smě nejstmější změny funkce. Skalání součin vektou nabla a vektoové funkce B (vekto magnetické indukce) lze v katézském souřadném systému vyjádřit vztahem B B y Bz B (2.22) y z kteý vyjadřuje divegenci vektoové funkce B v katézském souřadném systému. Velikost divegence je dána součtem změny -ové složky funkce ve směu, změny y-ové složky funkce ve směu y a změny z-ové složky funkce ve směu z. Vektoový součin opeátou nabla a vektoové funkce E vyjadřuje otaci vektou. Výpočet otace v katézském souřadném systému jsme uvedli ve vztahu (2.16) a její intepetaci v následném tetu. 2.2 Vlnová ovnice Pokud se elektomagnetické veličiny hamonicky mění, můžeme jejich časovou změnu popsat otáčením fázoů E() a H() v komplení ovině, t E ep jt E (2.23a), t Hep jt H (2.23b) - 5 -
Šíření elektomagnetických vln Fázoy E() a H() nesou infomaci o amplitudě intenzit v bodě = (, y, z) a počáteční fázi intenzit v čase t = t 0. Časovou změnu intenzit polí epezentuje člen ep( jt). Tento člen je komplení funkcí, jejíž velikost je jednotková a jejíž fáze t = (2/T) t se změní během peiody T o 2 adiánů. Nejpve se zaměřme na šíření ovinné elektomagnetické vlny volným postoem: Rovinná vlna má planání vlnoplochu (plochu se stejnou fází). Vlnoplocha je kolmá ke směu šíření vlny. Vekto intenzity elektického pole E a vekto intenzity magnetického pole H jsou kolmé ke směu šíření vlny, a současně jsou na sebe kolmé navzájem. Rovinná vlna mění ve směu šíření pouze svou fázi; amplituda je v bezeztátovém volném postou ve směu šíření konstantní. Předpokládejme, že vlnoplocha leží v ovině y a vlna se šíří ve směu osy z katézského souřadného systému. Uvažujeme-li hamonický zdoj pole, kteý geneuje vlnu s úhlovým kmitočtem, budou okamžité hodnoty intenzit polí E(, y, z, t) a H(, y, z, t) hamonickými funkcemi času ep( jt) a hamonickými funkcemi postoové souřadnice ve směu šíření ep( jkz). Zatímco úhlový kmitočet vyjadřuje změnu fáze za jednotku času = 2 / T, vlnové číslo je změnou fáze na jednotce délky k = 2 / : Symbol T je časová peioda hamonického signálu. Za peiodu se fáze signálu změní o 2 adiánu. Symbol značí vlnovou délku (postoovou peiodu signálu). Na vlnové délce se fáze signálu opět změní o 2 adiánu. Okamžitou hodnotu intenzity pole lze tedy vyjádřit vztahem, y, z, t E, yep jt kz E (2.24) Při numeickém modelování šíření vlny předpokládáme, že jsme ve velké vzdálenosti od zdojů vlnění. Při šíření vlny je časová změna elektické složky pole svázána s postoovou změnou pole magnetického H E j E (2.25) a časová změna magnetické složky pole je svázána s postoovou změnou pole elektického E j H (2.26) Potože pole analyzujeme v oblasti mimo vliv zdojů, třetí a čtvtou Mawellovi ovnici (2.12) a (2.13) nemusíme do řešení poblému zahnovat. Fázoová povaha vektoů E a H umožňuje v (2.25) a (2.26) nahadit časovou deivaci násobením členem j, kde značí úhlový kmitočet. Za vektoy elektické indukce a magnetické indukce jsme dosadili z mateiálových vztahů D = E a B = H. Za plošnou hustotu vodivého poudu J jsme dosadili z Ohmova zákona v difeenciálním tvau kde [S/m] značí měnou vodivost postředí. J E (2.27) Vektoové ovnice (2.25) a (2.26) můžeme ozepsat do šesti skaláních ovnic po šest neznámých E, E y, E z, H, H y a H z. Abychom počet ovnic a počet neznámých edukovali, aplikujeme na obě stany ovnice (2.25) opeáto otace - 6 -
Šíření elektomagnetických vln a tento vztah postupnými koky upavíme na tva kde je vlnové číslo. H E k 2 j (2.28) 2 2 H k H 0 (2.29a) j j (2.30) Vlnová ovnice (2.29) je vektoovou ovnicí, kteou můžeme přepsat na soustavu tří skaláních ovnic po tři neznámé H, H y a H z. Pokud bychom opeáto otace aplikovali na obě stany ovnice (2.26), dospěli bychom obdobným postupem k vlnové ovnici po intenzitu elektického pole 2 2 E k E 0 (2.29b) Pokud elektomagnetické pole vyhovuje ovnicím (2.29), má chaakte šířící se elektomagnetické vlny. 2.3 Šíření ovinné vlny V celé kapitole budeme předpokládat, že se pohybujeme v neomezeném homogenním postředí s pemitivitou = 0, pemeabilitou = 0 a měnou vodivostí. Navíc se omezíme na případ, kdy v postředí netečou poudy J, a objemová hustota náboje je nulová. Uvažovat budeme pouze přítomnost hamonického elektomagnetického pole o úhlovém kmitočtu. U analyzovaných vln budeme předpokládat, že jsou unifomní tzn. amplituda elektické a magnetické intenzity je na vlnoploše konstantní. Vlnoplochou ozumíme plochu, na kteé má intenzita elektického a magnetického pole konstantní fázi. Elektomagnetické pole, kteé vznikne v učitém místě postou, nezaplní tento posto okamžitě, ale šíří se v něm konečnou ychlostí, jež závisí na vlastnostech postředí. Chceme-li toto šíření pole analyzovat, musíme nalézt řešení vlnových ovnic (2.29), jež popisují časové a postoové závislosti vektoů intenzity pole E a H. Vlnové ovnice vděčí za své jméno své podobě s ovnicemi, popisujícími šíření akustických a mechanických vln. Vyřešením ovnic (2.29) nalezneme intenzitu elektického a magnetického pole elektomagnetické vlny, šířící se postoem. Předpokládejme, že zdojem vlny je všesměový bodový zářič. Udělejme si v učitém časovém okamžiku t 0 snímek vyzářené elektomagnetické vlny. Potom zjistíme, že místa se stejnou fází elektické nebo magnetické intenzity (tzv. vlnoplochy) jsou soustřednými kulovými povchy se středem v bodovém zářiči. Postoem se šíří kulová vlna s fázovým středem, kteý odpovídá společnému středu kulových vlnoploch. Bude-li zdojem vlny hamonický poud tekoucí nekonečně dlouhým přímým vodičem, budou mít vlnoplochy válcový tva a hovořit budeme o šíření válcové vlny. Budeme-li kulovou nebo válcovou vlnu pozoovat z místa téměř nekonečně vzdáleného od zdoje, bude zakřivení vlnoploch tak malé, že budeme moci považovat vlnoplochu za ovinnou. Z našeho hlediska se tedy bude postoem šířit ovinná vlna. - 7 -
Šíření elektomagnetických vln Vlnovou ovnici (2.29) po ovinnou vlnu budeme řešit v katézské souřadné soustavě. Osa z bude oientována do směu šíření vlny a vekto intenzity elektického pole E bude ležet v ose (vekto E tedy bude mít jedinou nenulovou složku E ). Amplituda složky E intenzity elektického pole se bude měnit pouze ve směu šíření z; v důsledku útlumu se bude zmenšovat. Ve směech a y (na vlnoploše) bude amplituda E konstantní. To znamená, že všechny paciální deivace podle a podle y budou nulové a vektoová ovnice (2.29b) přejde na ovnici skalání 2 d E 2 dz 2 k E 0 (2.31) Obecné řešení ovnice (2.31) může být vyjádřeno dvěma eponenciálami E nebo dvěma goniometickými funkcemi kde symboly A, B, A a B jsou integační konstanty. jkz B ep jkz Aep (2.32a) E A sin kz B cos kz (2.32b) Zápisu (2.32b) dáváme přednost v případě, kdy očekáváme vznik stojatého vlnění. Pimání vlna, kteá se šíří od zdoje (pvní sčítanec ve vztahu 2.32a), se skládá se sekundání vlnou, jež vznikla např. odazem pimání vlny od nějaké překážky. Sekundání vlna se šíří ve směu (z). Pimání vlnu nazýváme přímou postupnou vlnou, sekundání vlnu vlnou zpětnou. Pokud se chceme soustředit na šíření vlny, je vhodné pacovat se zápisem (2.32a). V řešení (2.32a) haje důležitou oli vlnové číslo (konstanta šíření) k. Nejpve přepišme vztah (2.30) do tvau k 2 j j j (2.33) Výaz uvnitř závoky budeme nazývat komplení pemitivitou postředí ~. Díky tomuto označení se vztah po vlnové číslo zjednoduší k 2 2 ~ (2.34) Nyní vlnové číslo (2.34) odmocněme a omezme se přitom pouze na kladný kořen. Zatímco 2 a jsou kladná eálná čísla, a tudíž i jejich odmocnina bude kladné eálné číslo, ~ je komplení číslo se záponým agumentem, jehož odmocnina je ovněž komplení číslo se záponým agumentem. Kladný kořen k můžeme zapsat ve tvau k k jk (2.35) Výsledek (2.35) dosadíme zvlášť do pvního a zvlášť do duhého sčítance v (2.32a). Lépe tak totiž vynikne jejich fyzikální význam: E jk jk z A ep k z ep jkz ( z) A ep (2.33) Uvědomme si, že pacujeme s fázoy. Vyšetřovaná intenzita elektického pole má tedy i svůj časový ozmě E z t Aep k zep jt kz, (2.34) Jak bylo zmíněno v pvní kapitole, eálný signál je eálnou částí fázoové funkce: E z t A ep k z cos t kz, (2.35) - 8 -
Šíření elektomagnetických vln Ze získaného vztahu nyní vyplývá fyzikální význam konstant: Symbol A značí amplitudu -ové složky vektou elektické intenzity v počátku souřadného systému A = E (z=0). Symbol k [m -1 ] je tzv. měný útlum. Popisuje zmenšování amplitudy vlny ve směu osy z, tedy ve směu šíření. V důsledku nenulové vodivosti postředí v něm vlna indukuje poudy, kteé toto postředí ohřívají. Vše se děje na úko enegie naší vlny. Symbol k [ad.m -1 ] je tzv. měná fáze. Udává nám, o kolik adiánů se na fotogafii vlny 1 změní její fáze na dáze z = 1 m. Vztah (2.35) ovněž ilustuje časopostoový chaakte vlny. Stojí-li pozoovatel v místě z = z 0, bude se mu vlnění jevit jako hamonická funkce v čase. Pokud pozoovatel vyfotogafuje vlnu v čase t = t 0, uvidí na snímku vlnu jako hamonickou funkci v postou. Z agumentu kosinu v (2.35) vidíme, že časový člen t se od členu postoového kz liší znaménkem. Je věcí dohody, považujeme-li časový člen za kladný a postoový člen za záponý či naopak. My budeme používat znaménka tak, jak jsou uvedena v (2.35). Vlnění popisujeme fázovou ychlostí a délkou vlny. Vlnová délka [m] je definována jako nejkatší vzdálenost dvou míst, v nichž má vlna stejnou fázi. Pokud se vlna šíří volným postoem s paamety vakua, uazí vlna vzdálenost za jednu časovou peiodu T [s]. Časová peioda T je nejkatší časová vzdálenost dvou okamžiků, v nichž vlna nabývá stejné fáze. Po délku vlny tedy můžeme psát kde f [Hz] je kmitočet hamonické vlny. Nyní se ještě vaťme k vlnovému číslu c ct (2.36) f k 2 j j j (2.33) A zaměřme se na jeho eálnou část. Uvážíme-li, že (j)(+j) = 1, a kvadát ychlosti světla c 2 = 1 / ( 0 0 ), po eálnou část konstanty šíření dostáváme vztah k (2.37) c Duhý člen na pavé staně vztahu (2.37) popisuje, jaký vliv mají na ychlost šíření vlny paamety postředí, epezentované jeho pemeabilitou 0 a pemitivitou 0. Pokud se vlna šíří postředím, kteé je elekticky hustější než vakuum > 1 nebo magneticky hustější než vakuum > 1, ychlost šíření je vůči vakuu nižší v f c (2.38) Ze vztahu po vlnovou délku (2.36) vyplývá, že vlnová délka bude v hustším postředí katší 1 Představit si pole záoveň v postou i čase je velmi obtížné. Zajímá-li nás tedy pouze postoové ozložení vlny, čas si zastavíme (pole vyfotogafujeme, vypočteme jeho závislost na postoových souřadnicích v jediném časovém okamžiku t = t 0 ). - 9 -
Šíření elektomagnetických vln kde 0 je délka vlny ve vakuu. c 0 T (2.39) Vztah po fázovou konstantu (2.37) můžeme s uvážením (2.38) přepsat do tvau f 2 k 2 (2.40) v f Vlnové číslo má vektoový chaakte. Velikost vlnového vektou je dána vztahem (2.33), jeho smě je totožný se směem šíření vlny. Pokud se vlna šíří ve směu osy z, bude vlnový vekto k = kz. Pootočíme-li souřadný systém o úhel (viz ob. 2.3), bude mít vlnový vekto vedle z-ové složky nenulovou i složku y-ovou. Složky počítáme klasickým způsobem. Po eálné části k platí: k z k cos (2.41a) y k ksin (2.41b) Fázové ychlosti ve směech souřadných os spočítáme následujícím způsobem: v fy k y k sin v sin f Obdobně postupujeme při výpočtu vlnové délky ve směech souřadných os: y 2 2 k sin k y sin (2.42) (2.43) Skutečnost, že vlnová délka oste se vzůstem úhlu mezi směem šíření a směem, v němž počítáme vlnovou délku, je ilustována na ob. 2.4. Pokud v učitém směu vzoste vlnová délka, musí v něm vzůst i fázová ychlost, jelikož fáze musí během peiody T nyní uazit větší vzdálenost. Ob. 2.3 Šíření ovinné vlny v obecném směu. Ob. 2.4 Pohled shoa na ovinnou vlnu (maimální intenzity čeně, minimální bíle). Dále zaměřme pozonost na vekto intenzity magnetického pole H vlny. Dospějeme k němu buď řešením vlnové ovnice (2.29a) nebo dosazením vypočtené intenzity elektického pole E do duhé Mawellovy ovnice: - 10 -
Šíření elektomagnetických vln j H E (2.44) Jednotlivé složky vektou intenzity magnetického pole jsou pak dány vztahy H H 0 (2.45a) z H y j E j (2.45b) Konstanta úměnosti mezi intenzitou elektického a magnetického pole se nazývá vlnová impedance postředí Z 0 []. j Z0 (2.46) j Všimněme si, že vektoy intenzity elektického a magnetického pole jsou vzájemně kolmé. Oba vektoy jsou navíc kolmé ke směu šíření. Můžeme tedy říci, že ovinná vlna ve volném postou je příčně (tansvesálně) elektomagnetická (TEM). Tedy, vektoy intenzity elektického a magnetického pole nemají podélné (longitudinální) složky neboli jejich složky, ovnoběžné se směem šíření, jsou nulové (viz ob. 2.5). Ob. 2.5 Šíření ovinné vlny ve volném postou. Na ob. 2.5 je znázoněna okamžitá velikost vektoů E a H v nějakém časovém okamžiku t 0 na ose z. Ob. 2.5 je nakeslen po bezeztátové postředí; poto jsou elektická a magnetická intenzita ve fázi, a poto jejich amplituda ve směu šíření neklesá. Dále se ještě zmiňme o Poyntingově vektou * EH (2.47) Smě Poyntingova vektou je totožný se směem šíření vlny a jeho velikost má význam plošné hustoty kompleního výkonu, neseného elektomagnetickou vlnou. Ve vztahu (2.47) značí symbol vektoový součin a * komplení sduženost složek vektou H 2. 2 Při výpočtu kompleního výkonu kompleně sdužujeme poud P=UI * : fáze kompleního výkonu je dána fázovým posuvem mezi napětím a poudem, a tudíž musíme od fáze napětí fázi poudu odečíst. Kdybychom nepoužili po výpočet kompleního výkonu kompleně sduženého poudu, fáze napětí a poudu bychom při násobení sčítali. - 11 -
Šíření elektomagnetických vln 2.4 Šíření válcové vlny Jak jsme již řekli, zdojem hamonické válcové vlny je nekonečně dlouhý přímý vodič, potékaný hamonickým poudem. Poblém budeme řešit ve válcové souřadné soustavě; osa z soustavy je totožná s vodičem, potékaným zdojovým poudem (ob. 2.6). Potom je ovnice vlnoplochy = konst. Ob. 2.6 Válcová souřadná soustava Ob. 2.7 Sféická souřadná soustava. Vekto poudové hustoty J má stejný smě jako vodič, kteým potéká poud. V našem případě má J pouze z-ovou složku. Relativně komplikovaným výpočtem vypočteme ze složky J z velikost z-ové složky intenzity elektického pole ve velké vzdálenosti od vodiče (k >> 1) E z C 1 ep k kde k je vlnové číslo, je adiální vzdálenost od osy vodiče a C je zdojová konstanta. jk (2.48) Vidíme, že fáze válcové vlny se mění se vzdáleností stejně jako fáze vlny ovinné. Amplituda válcové vlny se však i v postředí beze ztát (vlnové číslo k je eálné) zmenšuje ve směu šíření, a to nepřímo úměně s odmocninou vzdálenosti. Ostatně fakt, že dospějeme k takovému výsledku, jsme mohli očekávat: Člen ep(jk) popisuje postupnou vlnu šířící se adiálně od osy vodiče. Velikost amplitudy intenzity elektického pole E musí být taková, aby výkon pocházející libovolnou válcovou plochou S, jejíž podélná osa je totožná se zdojovým vodičem, byl vždy oven výkonu vyzařovanému zdojem vlnění P (v bezeztátovém postředí se nemá enegie vlny kam ztatit). Po vlnu šířící se ve směu je tento výkon ve velké vzdálenosti od zdoje 3 dán vztahem: P E.S 1 2 2 z konst (2.49) 2 Z 0 Aby byla zaučena platnost vztahu (2.49), musí být velikost intenzity elektického pole nepřímo úměná duhé odmocnině adiální vzdálenosti od osy vodiče E 2 1/. 3 Ve velké vzdálenosti od zdoje se vlastnosti válcové vlny se začínají blížit vlastnostem vlny ovinné: vektoy E a H jsou na sebe kolmé a po jejich velikosti platí E/H=Z 0. - 12 -
Šíření elektomagnetických vln 2.5 Šíření kulové vlny Obecný ozbo šíření kulové vlny je matematicky ještě náočnější, nežli tomu bylo u vlny válcové. Poto uveďme jen výsledek: po intenzitu elektického pole vlny ve velké vzdálenosti od zdoje (k >> 1) platí E Cep jk (2.50) kde C je zdojová konstanta. V bezeztátovém postředí, v němž je vlnové číslo k eálné: Fáze kulové vlny se mění stejně jako u vlny ovinné a vlny válcové. Amplituda kulové vlny klesá ve směu šíření nepřímo úměně s pvní mocninou vzdálenosti. Výkon pocházející libovolnou kulovou plochou se středem ve zdoji musí být v bezeztátovém postředí totiž konstantní: P 2 1 E 2. S 4 konst (2.51) 2 Z 0 Aby byla zaučena platnost vztahu (2.51), musí být velikost intenzity elektického pole nepřímo úměná adiální vzdálenosti od osy vodiče E 2 1/ 2. Jelikož kulová vlna je důležitá po naše další studium, učíme hodnotu zdojové konstanty C vystupující ve vztahu (2.50). Budeme přitom předpokládat, že kulovou vlnu vyzařuje všesměový (izotopní) bodový zdoj a že výkon pocházející libovolnou kulovou plochou se středem ve zdoji je oven vyzařovanému výkonu (viz vztah 2.51). Známe-li výkon vyzařovaný zdojem P, můžeme po dosazení (2.50) do (2.51) vypočíst zdojovou konstantu C P Z (2.52) 2 2 0 Jelikož v bezeztátovém postředí platí po vlnovou impedanci vztah přejde (2.52) na tva Z0 120 (2.53) C 60P 4 (2.54) Na základě (2.50) a (2.54) můžeme napsat vztah po efektivní hodnotu elektické intenzity kulové vlny ve vzdálenosti od zdoje E ef P 30 4 (2.55) Skutečné zdoje nejsou pakticky nikdy izotopní. To však nemění nic na podstatě kulové vlny. Jen intenzity pole v ůzných směech mají ůznou velikost, tzn. vlna není unifomní. Tato skutečnost se často espektuje směově závislým činitelem D(,), kteý připisujeme pod odmocninu ve vzoci (2.55) E ef P D 30, 4 (2.56) - 13 -
Šíření elektomagnetických vln Veličinu D(,) nazýváme činitelem směovosti zdoje. Činitel směovosti D je větší než jedna v těch směech, do nichž zdoj záření soustřeďuje, a menší než jednička v těch směech, kam je záření potlačováno. Činitel směovosti všesměového zdoje je po všechny směy oven jedné. 2.6 Příklady 1. Unifomní ovinná vlna o kmitočtu f = 50 MHz se šíří ve směu, odchýleném od osy o úhel = 60. Vlna se šíří postředím s elativní pemitivitou = 9, elativní pemeabilitou = 1 a měnou vodivostí = 0,01 S/m. V bodě A (4 m, 1 m) byla naměřena intenzita elektického pole E (A) = 1 mv/m s efeenční (nulovou) fází. Následující veličiny vypočtěte nejpve při zanedbání ztát v postředí, a poté je sovnejte s přesným výsledkem: a) Vlnovou délku ve směu šíření a vlnové délky ve směech souřadných os, y ; b) Fázovou ychlost ve směu šíření v f, fázovou ychlost ve směu souřadné osy v f, a fázovou ychlost ve směu = 45 v f ; c) Vlnové číslo ve směu šíření k a vlnová čísla ve směech souřadných os k, k y ; d) Intenzitu magnetického pole v bodě A a fázový posuv mezi elektickou a magnetickou intenzitou v daném bodě; e) Činný výkon plochou S = 0,2 m 2, kteá se nachází v bodě A a je (1) kolmá na smě šíření, (2) leží v ovině z; f) Intenzitu elektického pole v bodě B ( 2 m, 2 m); g) Vzdálenost dvou bodů na ovnoběžce s osou, v nichž je ozdíl fází intenzity pole = 135; h) Vzdálenost dvou bodů na ose, v nichž je pomě amplitud intenzity pole q = 3. [ a) = 2,0 m; = 4,0 m; y = 2,3 m; b) v f = 10 8 m/s; v f = 210 8 m/s; v f = 1,0410 8 m/s; c) k = 3,14 ad/m; k = 1,57 ad/m; k y = 2,72 ad/m; d) H (A) = 7,96 A/m; = 0; e) P č1 = 1,59 nw; P č2 = 1,38 nw; f) E (B) = 1 ep( j 1,26) mv/m; g) = 1,50 m; h) v beze ztátovém postředí je amplituda vlny všude stejná ] [ a) = 1,96 m; = 3,92 m; y = 2,26 m; b) v f = 0,9810 8 m/s; v f = 1,9610 8 m/s; v f = 1,0110 8 m/s; c) k' = 3,20 ad/m; k ' = 1,60 ad/m; k y ' = 2,77 ad/m; k" = 0,62 m -1 ; k " = 0,31 m -1 ; k y " = 0,54 m -1 ; d) H (A) = 8,25 A/m; = 10,9; e) P č1 = 1,62 nw; P č2 = 1,40 nw; f) E (B) = 1,27 ep( j 1,29) mv/m; g) = 1,47 m; h) = 3,54 m] 2. Rovinná unifomní vlna o kmitočtu f = 3 MHz se šíří postředím s elativní pemitivitou = 1, elativní pemeabilitou = 9 a zanedbatelnou měnou vodivostí ve směu, odchýleném od osy o úhel = 30. V bodě A ( = 3 m, = 10) má vlna intenzitu E (A) = 20,0 mv/m. Vypočtěte: a) Intenzitu elektického a magnetického pole v bodě B( = 10 m, = 150); b) Fázovou ychlost a vlnovou délku ve směu osy y; - 14 -
Šíření elektomagnetických vln c) Výkon, pocházející plochou S = 1 cm 2, jež leží v ovině z; d) Tři body na ose ležící nejblíže počátku P (0, 0), v nichž má vlna nulovou fázi. [ a) E (B) = 20,0 ep(+j133) mv/m; H (B) = 17,7 ep(+j133) A/m; b) v f,y = 210 8 m/s; y = 66,7 m; c) P = 17,7 pw; d) = 35,8 m, 2,65 m, 41,1 m ] 3. Rovinná unifomní vlna o kmitočtu f = 30 MHz se šíří postředím s elativní pemitivitou = 4, elativní pemeabilitou = 4 a zanedbatelnou měnou vodivostí ve směu odchýleném od osy o úhel = 210. V bodě A (10 m, 5 m) má vlna intenzitu H (A) = 10 A/m. Vypočtěte: a) Intenzitu elektického pole v bodě B (15 m, 12 m); b) Fázovou ychlost a vlnovou délku ve směu = 30; c) Výkon, pocházející plochou S = 10 dm 2, kteá je kolmá na smě = 30; d) Výkon všesměového zdoje záření, kteý ze vzdálenosti = 1 km vytvoří v počátku souřadné soustavy P (0, 0) stejně velkou intenzitu pole, jakou má naše ovinná unifomní vlna. [ a) E (B) = 3,77 ep(+j47,5) mv/m; b) v f = 7510 6 m/s; = 2,5 m; c) P = 3,77 nw; d) P = 0,474 W ] 4. Rovinná unifomní vlna o kmitočtu f = 50 MHz se šíří ve směu osy postředím s paamety = 2, = 4 a = 0,01 S/m. V bodě A (1 m, 0,5 m) má vlna intenzitu H (A) = 100 A/m. Učete: a) Intenzitu elektického pole v počátku souřadné soustavy P (0,0); b) Fázovou ychlost a vlnovou délku ve směu, odchýleném od osy o úhel = 30; c) Velikost výkonu, pocházejícího v počátku P (0, 0) plochou S = 100 cm 2, jež leží v ovině yz; d) Souřadnice bodu B (, y), ležícího na přímce y = 0,5, ve kteém má vlna intenzitu elektického pole E (B) = 1 V/m. [ a) E (P) = 321 ep(+j240) mv/m; b) v f = 9910 6 m/s; = 1,98 m; c) P = (2,39 j1,40) W; d) = 0,528 m; y = +0,264 m ] 5. Rovinná unifomní vlna o kmitočtu f = 90 MHz se šíří ve směu, odchýleném od osy o úhel = 45, postředím s paamety = 8, = 1 a = 0,01 S/m. Intenzita magnetického pole vlny v počátku P (0,0) je H (P) = 5 ma/m. Vypočtěte: a) Intenzitu elektického pole vlny v bodě A ( 2 m, 0); b) Změnu amplitudy a fáze na dáze d = 5 m ve směu osy ; c) Fázový posuv mezi intenzitou elektického a intenzitou magnetického pole v bodě B ( 5 m, 5 m); d) Činný výkon, pocházející plochou S = 0,5 m 2, umístěnou v bodě A a kolmou na smě. [ a) E (A) = 1,67 ep(+j82,3) V/m; b) q = 0,096; = 19 ad; c) = 7; d) P = 7,48 mw ] - 15 -
Šíření elektomagnetických vln 2.7 Liteatua [2.1] YEE, K. Numeical solution of initial bounday value poblems involving Mawell's equations in isotopic media, IEEE Tansactions on Antennas and Popagation, 1966, vol. 14, no. 3, 302 307. [2.2] STRATTON, J. A. Electomagnetic Theoy: A Classic Reissue, Hoboken: John Wiley and Sons, 2007. ISBN: 0-4701-3153-5 [2.3] COLLIN, R. E. Field Theoy of Guided Waves, 2/E, Hoboken: John Wiley and Sons, 1991. ISBN: 0-8794-2237-8 [2.4] TAFLOVE, A., HAGNESS, S. C. Computational Electodynamics: The Finite- Diffeence Time-Domain Method, 2/E, Nowood: Atech House, 2000. ISBN: 1-5805-3076-1 - 16 -