Pavel Cejnar Ústav částcové a jaderné fyzky MFF UK Přednáška 0 Fázové přechody od klasckého varu ke kvantové supraradac Fyzka jako dobrodružství poznání MFF UK v Praze, letní semestr 05
Fázové přechody kolem nás Krtcké jevy náhlé kvaltatvní změny způsobené malým změnam řídcích parametrů jsou Geofyzkální pozorovány v mnoha oblastech změny žvé nežvé přírody: Epdeme Bofyzka Kolektvní chování Doprava & nternet Socální kolapsy R.V. Solé, Phase Transtons Prnceton Unv. Press 0
Termální fázové přechody a jejch důsledky Kvantové fázové přechody
Jules Verne: Na kometě Hector Sarvedac 877 Překlad Václav Netušl Moře přes značný pokles teploty dosud nezamrzlo. Byl to důsledek naprosté nehybnost hladny, protože její povrch nečeřl an nejslabší vánek. A je známo, že za takových okolností může mít voda několk stupňů pod nulou, anž by zamrzla. Stačí však prostý náraz a voda náhle ztuhne. Malá Nna a její přítel Pablo nesměl u toho pochoptelně chybět. Tak co, malčká, zeptal se kaptán Servadac Nny, dokázala bys hodt do moře kus ledu? Ano, odpovědělo děvče, ale Pablo by ho hodl mnohem dál. Jen se o to pokus, pokračoval Hector Servadac a podal Nně kus ledu. Pak dodal: Dívej se dobře, Pablo! Uvdíš, jaká je naše malá Nna kouzelnce! Nna se dvakrát, třkrát rozmáchla a hodla led do kldné vody... Okamžtě zazněl slný praskot, který se nesl až k obzoru. Gallcké moře na celém povrchu zamrzlo.
Makroskopcké teore fázových Klascká termodynamka 870s Landauova teore 930s Teore katastrof 960s přechodů Matematcké základy rovnovážné termodynamky: ntenzvní a etenzvní stavové velčny, vztahy mez fázovým velčnam = stavové rovnce, pojem fáze, fázová rozhraní, fázové přechody Fenomenologcký pops vycházející z rovnovážné termodynamky: mnmalzace termodynamckého potencálu volné energe VΦ,T jako funkce vhodně zvoleného parametru uspořádání Φ order parameter, např. nějaká hustota nebo kvantová komplení ampltuda pro danou sadu hodnot řídících parametrů teplota T, tlak p, vnější pole Popsuje systémy, v nchž spojté příčny mohou vést k nespojtým důsledkům. Vychází V z pojmu strukturální nestablty V funkce potencálu : přčtení malé poruchy změní kvaltatvní vlastnost funkce počet mnm a mam. Pro nejnžší počty proměnných a řídících parametrů je podána klasfkace všech strukturálně nestablních potencálů => typů katastrof V F J. Wllard Gbbs 839-903 Lev Landau 908-68 René Thom 93-00
Fázové přechody.. druhu Př.: katastrofa typu nespojté spojté V Vychází ze strukturálně nestablní funkce Porucha V a 4 a 3/ 4 3/ v ntervalu b[ 4 a, a ] => tvar cusp 3 6 cusp 3 6 V germ pro a<0 generuje mnma b = čstý kvartcký osclátor a b a 0,0 b
Fázové přechody.. druhu Př.: katastrofa typu nespojté spojté V Vychází ze strukturálně nestablní funkce Porucha V a 4 a 3/ 4 3/ v ntervalu b[ 4 a, a ] => tvar cusp 3 6 cusp pro a<0 generuje mnma Spojtý fázový přechod.druh d vždy jen mnmum, pro b=0 nespojtost.dervace db mn Nespojtý fázový přechod.druh koestence mnm fází, b=0 nespojtost.dervace V db mn 3 6 V germ Crossover analytcký přechod mez >0 a <0 mnmy d b = čstý kvartcký osclátor V a b 0,0 a b V
Fáze vody krtcký bod za ním neestuje fázový přechod mez kapalnou a párou zdroj: Wkpeda
Fáze vody Crossover Spojtý fázový přechod Nespojtý fázový přechod zdroj: Wkpeda
Fáze vody Spojtý fázový přechod generuje velm zajímavé fyzkální jevy, např. tzv. krtckou opalescenc ztráta průhlednost kapalny vlvem fluktuací o velkost vlnové délky světla; v krtckém bodě se fluktuace stávají škálově nezávslé, tj. nabývají všech rozměrů od nejmenších po největší zdroj: Wkpeda
Isngův model D mřížka částc se spnem ½ Spn σ v každém uzlu může mířt nahoru: σ =+ nebo dolů: σ = Hamltonán H N L J N j jn parametr j suma přes nejblžší sousedy Na hrancích mřížky předpokládáme např. perodcké okrajové podmínky Lars Onsager 903 76 Model, který ovlvnl mnoho oborů Isngův model navrhl Wlhelm Lenz v roce 90 a zadal jej jako téma doktorské práce svému studentov E.Isngov. Ten v roce 94 našel analytcké řešení jeho D verze. V roce 944 nalezl Lars Onsager analytcké řešení D verze. Analytcké řešení 3D verze není známo. Ernst Isng 900 98
Isngův model D mřížka částc se spnem ½ Spn σ v každém uzlu může mířt nahoru: σ =+ nebo dolů: σ = Hamltonán H N L J N j jn parametr j suma přes nejblžší sousedy Základní stav T=0 je degenerovaný: L=8 Nenulová teplota T > 0 : Fluktuace spnů lze modelovat tzv. Metropolsovým algortmem: Nastav I= a vygeneruj náhodný počáteční stav mřížky I N terace #I Pro každý uzel k proveď: I I vypočt energ podmřížky pro k a k I I a jejch rozdíl E E k E k vygeneruj rovnoměrně rozdělené náhodné číslo [0,] E I I pokud ep, zapš: k k I I kt jnak: k k Nastav I=I+ a vrať se do
Isngův model D mřížka částc se spnem ½ Spn σ v každém uzlu může mířt nahoru: σ =+ nebo dolů: σ = Hamltonán H J j parametr j Nenulová teplota T > 0 : Momentka př vysoké teplotě L=4000 N L N jn suma přes nejblžší sousedy Základní stav T=0 je degenerovaný: L=8
Isngův model D mřížka částc se spnem ½ Spn σ v každém uzlu může mířt nahoru: σ =+ nebo dolů: σ = Hamltonán N jn parametr suma přes nejblžší sousedy Každá konfgurace mřížky je charakterzována magnetzací: M H N L J N N j Střední hodnota j [, ] M lm M t 0 M dt Nenulová teplota T > 0 : Num. smulace střední magnetzace pro L=00. Krtcká teplota je pro N určena vztahem: kt c.7 J ln FeroMagnetcká fáze FM ParaMagnetcká fáze krtcký bod PM kt/j R.V. Solé, Phase Transtons Prnceton Unv. Press 0
Spontánní narušení symetre Isngův Hamltonán H J j j je symetrcký vůč současné nverz všech spnů σ σ. Nad krtckou teplotou pro M 0 tato symetre platí, ale pod krtckou teplotou v zákl. stavu pro M 0 nebo M 0 je narušena a b Analoge v modelu cusp katastrofy V bfurkace typu vdle ptchfork nesymetrcký stav M parametr uspořádání symetrcký stav a 0,0 b M FeroMagnetcká fáze FM ParaMagnetcká fáze krtcký bod PM kt/j R.V. Solé, Phase Transtons Prnceton Unv. Press 0
Spontánní narušení symetre mravenc Bfurkace a narušení symetre jsou obecné jevy pozorované v nežvé žvé přírodě a v socálních systémech d dt d dt q K K q K K K K pravděpodobnost výběru větve nebo bfurkace typu vdle ptchfork rychlost vypařování feromonu vz např. R.V.Solé, Phase Transtons Prnceton Unv. Press, 0 četnost vstupu mravenců na můstek rychlost depozce feromonu Staconární řešení a μ c = Kν/q a = koncentrace feromonu ve větv a
Renormalzace Kenneth Wlson 936-03 Fázový přechod v Isngově modelu lze pochopt z analýzy chování systému na různých škálách. Přechody mez škálam mohou být realzovány např. postupným sdružováním spnů do bloků: blokové spny určeny pravdlem většny posloupnost blokových transformací: [původní mřížka] [bloky.řádu] [bloky.řádu] [bloky n-tého řádu] Mřížku na každé škálové úrovn chceme popsat pomocí efektvní teploty T ef Toto je specální případ procedury zvané renormalzace K. Wlson: Problems n Physcs wth Many Length Scales, Scentfc Amercan Vol. 4 979 58 H.J. Mars, L.P. Kadanoff: Teachng the renormalzaton group, Am. J. Phys. 46 978 65
Renormalzace Kenneth Wlson 936-03 Fázový přechod v Isngově modelu lze pochopt z analýzy chování systému na různých škálách. Přechody mez škálam mohou být realzovány např. postupným sdružováním spnů do bloků T 0.99Tc T.Tc T Tc Blokové spny vykazují stejné korelace jako původní mřížka => Tef Tc pevný bod škálové transformace K. Wlson: Problems n Physcs wth Many Length Scales, Scentfc Amercan Vol. 4 979 58 H.J. Mars, L.P. Kadanoff: Teachng the renormalzaton group, Am. J. Phys. 46 978 65
T Renormalzace ef 0 T ef T c Kenneth Wlson 936-03 0 l Sekvence efektvních teplot T Tef Tef Tef Tef odpovídající škálovým transformacím spojuje systémy, které jsou ve statstckém smyslu ekvvalentní defnuje fáze! Škálové transformace nemohou propojt teploty náležející různým fázím, protože krtcká teplota je jejch pevným bodem nvarance systému vůč změnám škály => krtcká opalescence je přrozenou vlastností krtckých bodů. řádu T Tc T M.E. Fsher, Rev. Mod. Phys. 70 998 653 T ef
Renormalzace Mt. Everest Foto Full HD Wallpapers
Renormalzace důsledky a zobecnění Spn-spnové korelace v Isngově modelu C j T ~ t j T T j j T 4 e T j korelační délka jen velm pomalý pokles korelací se vzdáleností systém je jeden celek Renormalzace v teor pole Nutnost umravnt regularzovat dvergující poruchové rozvoje pro ampltudy přechodů Představa běžících vazbových konstant slabá Unversalta fázových přechodů.druhu T T T Chování v okolí krtckého bodu dáno jen geometrí renormalzační plochy stejné krtcké vlastnost jsou proto pozorovány u nejrůznějších typů systémů c c t elmg. slná souvsí s prostorovou škálou energetcké škála Velké Sjednocení všech nterakcí GUT
Komplení teplota Chen-Nng Frankln Yang *9, Tsung-Dao Lee *96 Pravděpodobnost obsazení stavu s energí E př teplotě T E P T ep kde Z T kt ep Z T Z kt E kt partční funkce zajšťuje normalzac a obsahuje úplnou termodynamckou nformac o systému: Např. střední energe př teplotě T d E T ln Z nebo měrné teplo: d d d C T E ln Z dt T k d Pro Isngův model: Z ep J { } j 957 nezachování party Nobelova cena 95 fázové přechody + Mchael Fsher *93 Pokud partční funkc rozšíříme do komplení rovny, nulové hodnoty nejsou problém. Jejch přblížení k reálné ose ndkuje fázový přechod. Partční funkce nesmí v žádném bodě T nabývat nulové hodnoty!
Komplení teplota Chen-Nng Frankln Yang *9, Tsung-Dao Lee *96 Pravděpodobnost obsazení stavu s energí E př teplotě T E P T ep kde Z T kt ep Z T Z kt E kt partční funkce zajšťuje normalzac a obsahuje úplnou termodynamckou nformac o systému: Např. střední energe př teplotě T d E T ln Z nebo měrné teplo: d d d C T E ln Z dt T k d Pro Isngův model: Z ep J { } j Im u T 0 957 nezachování party Nobelova cena 95 fázové přechody u ep 4J J 0 krtcký bod T J + Mchael Fsher *93 0 mřížka 7 8 T 0 V.Matveev, R.Shrock, Phys.Rev.E 53 996 54 Re u
Hustota nul Komplení teplota Rozdělení nul partční funkce v komplení rovně určuje chování systému př reálných teplotách. Z hustoty nul v blízkost Re osy lze usuzovat na typ fázového přechodu Grossmann, Rosenhauer, Lehmann 967-9 Rocha et al., Phys.Rev.E 90, 060 04 Coarse-graned polymer model Zvýrazněné body jsou zárodky různých fázových přechodů v lmtě nekonečné velkost e
Termální fázové přechody a jejch důsledky Kvantové fázové přechody
Isngův model v příčném magnetckém pol uvažujene kvantový hamltonán j z j z B J H y y operátory měnící z-projekc spnu: 0 0 Systém př nulové teplotě T=0 a nulovém pol B=0 v základním stavu nebo N 3 N 3 Po zapnutí pole B 0 začnou z-projekce všech spnů fluktuovat => efekt podobný zvyšování teploty. Estuje krtcká hodnota pole, pro níž dojde k fázovému přechodu z FeroMag. do ParaMag. stavu z z S S ½ħ -½ħ B T 0 kvantový fázový přechod důsledek kvantových fluktuací v analog k termálním fluktuacím pro termální fázové přechody Projekce spnu do různých směrů nejsou kompatblní jejch operátory nekomutují a platí pro ně relace neurčtost. Kvantové efekty proto hrají podstatnou rol Fázový přechod př nulové teplotě Termální fázový přechod
LHoF 4 PM FM Isngův model v příčném magnetckém pol uvažujene kvantový hamltonán j z j z B J H y y Projekce spnu do různých směrů nejsou kompatblní jejch operátory nekomutují a platí pro ně relace neurčtost. Kvantové efekty proto hrají podstatnou rol operátory měnící z-projekc spnu: 0 0 Systém př nulové teplotě T=0 a nulovém pol B=0 v základním stavu nebo N 3 N 3 Po zapnutí pole B 0 začnou z-projekce všech spnů fluktuovat => efekt podobný zvyšování teploty. Estuje krtcká hodnota pole, pro níž dojde k fázovému přechodu z FeroMag. do ParaMag. stavu B [koe] Fázový přechod př nulové teplotě Termální fázový přechod Chen, Lu, Scentfc Reports 4 04 4695 T [K]
Fázový přechod př nulové teplotě Další příklady fázových přechodů př T 0 zdroj: Wkpeda 4 He 3 He Saena et al. Nature 000 Banch et al. Scence 008
Kvantový fázový přechod supraradace Dckeho model: schematcký pops nterakce fotonů s látkou v dutně Robert Dcke 96-97 Elmg. rezonátor N atomů se hladnam H N fot b b N N N N a a a a energe samotných atomů a fotonů N + počet atomů na hladně + N počet atomů na hladně N fot počet fotonů E E E lb.počet fotonů Pozorujeme kvantový fázový přechod z normální fáze do supraradační fáze a a b b nterakce fotonů s atomy kreuje anhluje kreuje anhluje atom na hladně ± foton síla nterakce: klíčový parametr modelu E N 80 N N N fot 0 N 0 Mchal Kloc: dpl.práce 03 QPT c N N N fot / 0 N 0
Kvantový fázový přechod supraradace Dckeho model: schematcký pops nterakce fotonů s látkou v dutně Robert Dcke 96-97 S H N fot b b N N N N a a a a energe samotných atomů a fotonů N + počet atomů na hladně + N počet atomů na hladně N fot počet fotonů Kvantová provázanost mez atomy a polem: základní stav sngularta v krtckém bodě Mchal Kloc: dpl.práce 03 a a b b nterakce fotonů s atomy kreuje anhluje kreuje anhluje atom na hladně ± foton síla nterakce: klíčový parametr modelu Entrope t p t q t S [ t] p tln p t Q e t atomy pole q t q t e t e t vypočtená ze Schmdtova rozkladu základního stavu stav s nejnžší energí měří kvantovou provázanost atomů a pole. V krtckém bodě je provázanost anomálně slná analoge korelací v klasckých mřížových systémech j j j
Kvantový fázový přechod supraradace Dckeho model: schematcký pops nterakce fotonů s látkou v dutně Robert Dcke 96-97 H N fot b b N N N N a a a a energe samotných atomů a fotonů N + počet atomů na hladně + N počet atomů na hladně N fot počet fotonů Dckeho fázový přechod jeho analog byl poprvé realzován v roce 00 pomocí Bose-Enstenova kondenzátu uvntř optcké dutny: prostorové přerozdělení BEC vede ke konstruktvní nterferenc odražených vln v dutně podkrtcké budící pole a a b b nterakce fotonů s atomy kreuje anhluje kreuje anhluje atom na hladně ± foton síla nterakce: klíčový parametr modelu budící pole o nadkrtckém výkonu Baumann et al., Nature 464 00 30
Kosmcké fázové přechody Fázové přechody pravděpodobně proběhly v rané evoluc vesmíru: QCD fázový přechod od kvark- gluonového plazmatu k hadronové hmotě možná jen crossover t ~ 0 6-0 5 s Relatvstcké srážky těžkých ontů 0 7 kg/m 3
Kosmcké fázové přechody Fázové přechody pravděpodobně proběhly v rané evoluc vesmíru: Fundamentální fázový přechod sekvence fázových přechodů: postupné narušování symetrí prvotního vakua oddělení slné, elektromagnetcké a slabé nterakce Př vysokých teplotách dochází k deformac efektvního Hggsova potencálu oddělení slabé a elmag. nterakce může mít charakter fázového přechodu. nebo. druhu: hadrony Zdroj: Mchal Malnský rozdělení nterakcí http://www.ctc.cam.ac.uk/outreach /orgns_of_the_unverse.php
Kosmcké fázové přechody Fázové přechody pravděpodobně proběhly v rané evoluc vesmíru: Fundamentální fázový přechod sekvence fázových přechodů: postupné narušování symetrí prvotního vakua oddělení slné, elektromagnetcké a slabé nterakce hadrony Pro m H >5 GeV/c dnešní hodnota m H =5,09±0,4 GeV/c : naše mělké vakuum??? eotcké hlubší vakuum rozdělení nterakcí Další čtení: Zdroj: Mchal Malnský Boyanovsky, de Vega, Schwarz, Phase transtons n the early and present Unverse, Ann.Rev.Nucl.Part.Sc. 56,44006; arxv:hep-ph/06000 Gorbunov, Rubakov, Introducton to the Theory of the Early Unverse World Scentfc, 0