Analýza stavebních konstrukcí

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Analýza stavebních konstrukcí Příklady Petr Konvalinka prof. Ing. Petr Konvalinka, CSc. a kolektiv 2009

prof. Ing. Petr Konvalinka, CSc. Ing. Dagmar Jandeková Ing. Radoslav Sovják Ing. Jindřich Fornůsek Ing. Karel Mach, Ph.D. Bc. Petr Máca Michal Hlobil editor: Bc. Petr Máca

Obsah Předmluva... 5 1 Příčinkové čáry... 6 1.1 Příčinkové čáry na staticky určitých konstrukcích... 7 1.1.1 Příčinkové čáry na prostém nosníku... 7 1.1.2 Winklerovo kritérium... 8 1.2 Řešené příklady... 10 1.2.1 Příčinkové čáry na spojitém nosníku... 10 1.3 Příčinkové čáry na staticky neurčitých konstrukcích... 13 1.3.1 Určení pořadnic příčínkové čáry... 13 1.3.2 Příklady příčinkových čar na spojitém nosníku... 13 2 Princip virtuálních prací... 16 2.1 Shrnutí problematiky... 16 2.2 Řešené příklady... 18 2.2.1 Vzorový příklad, silové zatížení... 18 2.2.2 Vzájemné pootočení desek na Gerberově nosníku, silové zatížení... 20 2.2.3 Šikmý prut, silové zatížení a pokles podpory... 21 2.2.4 Poddajnost kyvného prutu, silové zatížení a rovnoměrná změna teploty... 23 2.2.5 Pootočení průřezu, zatížení nerovnoměrnou změnou teploty... 25 2.2.6 Příhradová konstrukce, kombinace silového zatížení, změny teploty a poklesu podpory... 27 2.2.7 Redukční věta... 29 3 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda... 32 3.1 Úvod... 32 3.1.1 Rozbor konstrukce... 32 3.1.2 Vzorový příklad... 33 3.1.3 Vliv poddajnosti kyvného prutu... 39 3.1.4 Kombinace silového zatížení a změny teploty... 42 3.1.5 Kombinace silového zatížení a poklesu podpory... 47 3.1.6 Příhradová konstrukce... 51 4 Plošné konstrukce... 54 4.1 Desky metoda sítí... 54 4.1.1 Základní pojmy a vztahy... 54

4.1.2 Metoda sítí... 55 4.2 Řešené příklady... 58 4.2.1 Příklad 1... 58 4.2.2 Příklad 2... 62 4.2.3 Příklad 3... 65 4.2.4 Příklad 4... 66 4.3 Stěny metoda sítí... 67 4.3.1 Základní pojmy a vztahy... 67 4.3.2 Metoda sítí... 68 4.4 Řešené příklady... 70 4.4.1 Příklad 1... 70 4.4.2 Příklad 2... 74 4.4.3 Příklad 3... 78 4.4.4 Příklad 4... 79 5 Kroucení tenkostěnných otevřených průřezů... 80 5.1 Průřezové charakteristiky... 80 5.2 Příklad výpočtu výsečových charakteristik... 81 5.3 Napjatost průřezu... 84 5.3.1 Normálové napětí... 84 5.3.2 Smyková napětí... 84 5.4 Příklad: stanovení průběhu napětí... 85 5.4.1 Příklad: Normálové napětí... 90 5.4.2 Příklad: Smykové napětí... 92

5 Předmluva Předmluva Příkladové skriptum Analýza stavebních konstrukcí je určeno jako pomůcka studentům ke stejnojmennému předmětu ANKC, který je vyučován ve 3. ročníku bakalářského studia na oborech KD, C a M. Spolu s přednáškami a cvičením tvoří komplexní podklad pro přípravu k testům během semestru a ke zkoušce. Příkladové skriptum pokrývá všechny hlavní kapitoly vyučované v předmětu ANKC příčinkové čary na staticky určitých i neurčitých nosnících, řešení desek a stěn metodou sítí a kroucení tenkostěnných otevřených průřezů. Dále jsou součástí skript i příklady na silovou metodu. Skripta, která právě držíte v ruce, jsou tzv. BETA verzí. Přes veškerou péči, kterou jsme přípravě skript věnovali, se v nich pravděpodobně objevují drobné chyby nebo nejasnosti jak v textu, tak v příkladech. Proto vám budeme moc vděčni, když všechny chyby, které ve skriptu objevíte, ohlásíte editorovi emailem. Do předmětu zprávy uveďte Skriptum (bez uvozovek) a email s popisem chyby zašlete na adresu petr.maca@fsv.cvut.cz. Za tuto vaši pomoc při odladění skript vám je poskytujeme zdarma ke stažení na internetu. Skriptum je připraveno pro oboustranný tisk a svázání. Tomu jsou také přizpůsobeny okraje na lichých a sudých stránkách. Tištěná skripta budou příští rok rozšířena o další dvě až tři kapitoly. První z nich se bude věnovat maticovému řešení konstrukcí obecnou deformační metodou. Druhá kapitola se bude zabývat problémy lokální a globální stability prutů a třetí kapitola bude podrobně popisovat řešení nosníku na pružném podloží, které je součástí přednášek pouze okrajově. V neposlední řadě bude každá kapitola skript ještě rozšířena o jeden až dva příklady.

6 Příčinkové čáry 1 Příčinkové čáry Dosud jsme předpokládali, že na konstrukci působí stálé zatížení poloha a velikost zatížení byla konstantní. U inženýrských konstrukcí (mosty, jeřábové dráhy atd.) hraje významnou roli pohyblivé zatížení (pohyblivá soustava sil), které je zpravidla svislé. Mění se pouze poloha soustavy (velikost a vzájemná vzdálenost sil jsou neměnné stálé veličiny). V každém průřezu tedy vzniká nekonečné množství hodnot M, V, N (pro každý z nekonečného množství zatěžovacích stavů jedna hodnota M, V, N). Příčinkové čáry jsou tedy grafickým znázorněním funkční závislosti polohy zatížení na velikosti příslušné statické veličiny. Určují se: a) z definice postupujeme tak, že pro každou polohu jednotkové zatěžovací síly vypočteme příslušnou statickou veličinu z podmínek rovnováhy konstrukce, b) kinematicky do místa, ve kterém určujeme příčinkovou čáru statické veličiny vložíme vazbu umožnující příslušný deformační impuls. Deformace konstrukce určuje tvar příčinkové čáry. Vkládané nebo uvolňované vazby vazby jsou: vložený klub příčinková čára M, vložené posuvné vetknutí příčinková čára V, uvolnění vazby v místě a směru dané zjišťované reakce příčinková čára R. Definice příčinkové čáry: Obr. 1.1: Vložené a uvolňované vazby Příčinková čára statické veličiny (M, V, N, R, ) je čára, jejíž pořadnice η udávají velikost statické veličiny ve vyšetřovaném průřezu při pohybu osamělé síly F = 1 [-] po nosníku.

Analýza stavebních konstrukcí příklady 7 1.1 Příčinkové čáry na staticky určitých konstrukcích Příčinková čára na staticky určitých konstrukcích je vždy lineární. Ve vnějších podporách původního nosníku má příčinková čára nulové pořadnice, ve vnitřních kloubech má zlomy. 1.1.1 Příčinkové čáry na prostém nosníku Obr. 1.2: Příčinková čára reakce R Obr. 1.3: Příčinková čára posouvající síly V

8 Příčinkové čáry 1.1.2 Winklerovo kritérium Obr. 1.4: Příčinková čára ohybového momentu M Winklerovo kritérium je kritérium pro výpočet maximálního momentu v daném průřezu x od dané soustavy sil. Otázka tedy zní: Za jaké polohy soustavy sil vzniká v daném průřezu maximální moment (max M)? Do průřezu x umístíme břemeno F r (F r je jedno břemeno ze zadané soustavy sil, avšak my nevíme které), které určíme podle Winklerova kriteria (platí za předpokladu, že celá soustava sil působí nad polygonem a-b-c) Winklerovo kriterium: Břemeno F r v nejúčinnější poloze mění znamení nerovnosti!. (1.1) Pomocí Winklerova kritéria určete polohu soustavy sil na nosníku, která vyvodí extrémní účinek momentu v průřezu x. Max M v bodě x vyčíslete. Obr. 1.5: Prostý nosník s převislým koncem

Analýza stavebních konstrukcí příklady 9 Obr. 1.6: Příčinková čára momentu v bodě x Jako první stanovíme velikost výslednice sil pohyblivého zatížení. Za druhé spočítáme pravou stranu Winklerova kritéria; = = 40 + 20 + 20 = 80 (1.2) = 80 3 5 = 48 (1.3) "x" je vzdálenost vlevo od myšleného řezu na nosníku, pokud soustava sil najíždí na nosník zprava.. 40 < 48 40 + 20 > 48 Druhá síla F 2 nám změnila znaménko nerovnosti a právě protu tuto sílu umístíme do průřezu "x". (1.4) Obr. 1.7: Vyčíslení maximálního momentu = 0,4 + 1,2 + 0,6 = 40 0,4 + 20 1,2 + 20 0,6 =52 knm (1.5)

10 Příčinkové čáry 1.2 Řešené příklady 1.2.1 Příčinkové čáry na spojitém nosníku Velikost výsledného maximálního momentu v průřezu x spočítáme dle vykreslené příčínkové čáry. Příčinková čára na spojitém nosníku se dá řešit dvěma způsoby: a) z definice příčinkové čáry: rozkreslíme nosník na části nesoucí a nesené, vyřešíme příčinkovou čáru na tom nosníku, kde je zadán průřez, příčinková čára pokračuje na všech nosnících vyšší úrovně (nesených). Ve vnějších podporách původního nosníku má příčinková čára nulové pořadnice, ve vnitřních kloubech má zlomy. Je vždy lineární (platí pro staticky určité konstrukce). b) kinematicky uvolníme nebo do konstrukce vložíme vazbu, která odpovídá uvažované statické veličině, zavedeme příslušnou jednotkovou deformaci, tvar deformace konstrukce odpovídá hledané příčinkové čáře (předpokládáme lineární průběh deformací), určíme jednu pořadnici příčinkové čáry, ostatní dopočítáme z podobnosti trojúhelníků.

Analýza stavebních konstrukcí příklady 11 Příklad 1: Vypočtěte a do obrázku zakreslete příčinkové čáry spojitého nosníku. Rozměry jsou udávány v [m], zatížení v [kn]. Vyčíslete Q p x2 pro zadané stálé zatížení a dále určete max M x1 pro pohyblivou soustavu sil. Obr. 1.8: Příčinkové čáry na staticky určitém nosníku Vyčíslení posouvající síly Q x2 zprava: Q x2 = 0,75 10 6 0,5 4 0,25 = 7,5 3 = 10,5 kn Vyčíslení maximálního momentu max M x1 : max M x1 = 5 1,25 + 10 1,5 + 10 0,5 + 5 0,25 = 27,5 knm

12 Příčinkové čáry Příklad 2: Vypočtěte a do obrázku zakreslete příčinkové čáry spojitého nosníku. Rozměry jsou udávány v [m], zatížení v [kn]. Vyčíslete M g pro zadané stálé zatížení a dále určete max M x2 pro pohyblivou soustavu sil. Obr. 1.9: Příčínkové čáry na staticky určitém nosníku Vyčíslení momentu M g : M g = 15 3 0,5 1 1,5 10 + 0,5 2 3 10 + 0,5 2 3 10 = 7,5 knm Vyčíslení momentu max M x2 : M x2 = 4 0,27 + 8 0,42 = 4,44 knm

Analýza stavebních konstrukcí příklady 13 1.3 Příčinkové čáry na staticky neurčitých konstrukcích 1) Tvar určíme kinematicky: uvolníme nebo přidáme vazbu, vyřešíme příčinkovou čáru jako tvar deformace nosníku od jednotkového deformačního impulsu. Ve vnějších podporách má příčinková čára nulové pořadnice, ve vnitřních kloubech má zlomy. Je nelineární na staticky neurčitých částech konstrukce, na staticky určitých částech pak lineární. 2) Pořadnice určíme SM nebo ZDM. 1.3.1 Určení pořadnic příčínkové čáry Stanovíme body, ve kterých budeme zjišťovat hodnoty pořadnic příčinkové čáry o všech. Do těchto bodů umístíme postupně zatěžovací sílu o jednotkové velikosti a každý případ řešíme jako samostatný zatěžovací stav. K řešení použijeme metody pro řešení staticky neurčitých konstrukcí ZDM, SM. Vypočtené pořadnice pak vynášíme do místa působiště příslušné zatěžovací síly 1.3.2 Příklady příčinkových čar na spojitém nosníku

14 Příčinkové čáry Obr. 1.10: Průběh příčinkových čar na spojitém nosníku Chceme li zjistit pořadnice příčinkové čáry na staticky neurčité konstrukci, musíme na konstrukci vyvodit takový zatěžovací stav, který odpovídá dané pořadnici. V našem příkladu chceme vyčíslit pořadnice všech příčinkových čar v průřezu 1. Vložíme tedy do průřezu 1 sílu od velikosti F=1kN. Daný zatěžovací stav spočítáme (ZDM, SM) a dané pořadnice příčinkových čar doplníme. Obr. 1.11: Průběh vnitřních sil na spojitém nosníku

Analýza stavebních konstrukcí příklady 15 Případné chyby a nejasnosti prosím zašlete na email petr.maca@fsv.cvut.cz a do předmětu zprávy uveďte Skriptum (bez uvozovek).

16 Princip virtuálních prací 2 Princip virtuálních prací 2.1 Shrnutí problematiky Virtuální znamená myšlený, fiktivní, virtuální posun je tedy myšlený, fiktivní posun, který nemusí vůbec nastat, a který neporušuje vazby soustavy. Virtuální síla je myšlená, fiktivní síla, která neporušuje rovnováhu soustavy. Princip virtuálních prací lze použít buď jako princip virtuálních posunutí (PVP), kdy na soustavě působí skutečné síly a posunutí jsou virtuální, nebo jako princip virtuálních sil (PVS), kdy posuny jsou skutečné a síly virtuální. Pokud máme řešit přetvoření konstrukcí principem virtuálních prací, musíme použít variantu PVs. Při výpočtu přetvoření principem virtuálních prací vycházíme z podmínky, že součet virtuálních prací sil vnějších a vnitřních je roven nule Virtuální práce vnějších sil L ext je dána vztahem + = 0. (2.1) = +, (2.2) kde jsou vnější virtuální síly, reakce od virtuálních sil, posuny ve směru virtuálních sil, vnesené (zadané) posuny podpor ve směru reakcí. Pro výpočet virtuální práce vnitřních sil použijeme vztah = + +, (2.3) kde, a jsou vnitřní síly od virtuálních sil. Výrazy, a vyjadřují přetvoření diferenciálního elementu prutu: = + (2.4) h = (2.5) = +. (2.6),, jsou vnitřní síly od reálného zatížení konstrukce, je Youngův modul pružnosti, modul pružnosti ve smyku, průřezová plocha, moment setrvačnosti průřezu, součinitel teplotní délkové roztažnosti, t je rozdíl přírůstků teplot při spodních a horních vláknech průřezu, změna teploty na střednici průřezu a součinitel vyjadřující vliv tvaru průřezu na deformaci elementu.

Analýza stavebních konstrukcí příklady 17 Dosazením výrazů (2.2) až (2.6) do rovnice (2.1) a nahrazením hodnotou 1 dostaneme po malé úpravě výraz pro výpočet přetvoření 1 = + + + h +. (2.7) Vliv posouvajících a normálových sil od reálného stavu většinou zanedbáváme. Výjimku tvoří části konstrukcí, které jsou v reálném stavu namáhané pouze normálovou silou jako jedinou z vnitřních sil. Patří k nim všechny vzpěry a táhla, které nemají příčné silové zatížení. Zvláštní skupinu tvoří příhradové konstrukce. Pro výpočet jejich přetvoření přejde vzorec (2.7) na tvar 1 = +. (2.8) Na závěr je ještě třeba se zmínit o výpočtu přetvoření staticky neurčitých konstrukcí. Uplatníme-li redukční větu, řešíme virtuální stav na libovolné (staticky přípustné) staticky určité základní soustavě. Vzorce a princip výpočtu se nemění.

18 Princip virtuálních prací 2.2 Řešené příklady 2.2.1 Vzorový příklad, silové zatížení PVP určete pootočení průřezu (a). Při výpočtu uvažujte pouze vliv ohybových momentů. = 4000 Řešte: a) přímou integrací, b) pomocí tabulky pro slučování ploch, c) Vereščaginovým pravidlem. Obr. 2.1: Schéma konstrukce a zatížení, průběh M od reálného stavu Analytické vyjádření ohybových momentů od zadaného zatížení: ; = 4,2 ; 2 = 4,2 4 2 2 = + 4,2 + 4 2 Virtuální = jednotkový stav: do místa a směru hledaného přetvoření umístíme virtuální jednotkové zatížení. Pro výpočet pootočení je to jednotkový moment. Obr. 2.2: Virtuální stav, průběh od virtuálního stavu

Analýza stavebních konstrukcí příklady 19 Analytické vyjádření ohybových momentů od jednotkového (virtuálního) stavu: ; = 1 0,2 ; = 1 0,2 a) Řešení přímou integrací 1 = = 1 4,2 = 6,16 + 6,39 2 = 9,355 1 0,2 + 1 + 4,2 + 4 1 0,2 2 Po dosazení = 4000 vyjde pootočení : = 2,339 10 = 0,134 b) Řešení integrace pomocí tabulky pro slučování ploch Momentovou plochu vykreslenou pro reálný stav na intervalu ; v tabulce přímo nenajdeme. Je třeba ji vhodně rozdělit. Obr. 2.3: Rozdělení momentové plochy V tabulce budeme tedy vyhledávat slučování následujících ploch: 1 = 8,4 = + 8,4 + 2 3 = 1 1 1 8,41 + 2 0,6 2 + 1 6 3 8,4 0,6 3 + 1 2,25 0,6 3 3 = 9,355 = 2,339 10 = 0,134 1 2 0,6 0,6 3 2,25 0,6 3 3

20 Princip virtuálních prací c) Integrace pomocí Vereščaginova pravidla Ponecháme rozdělení momentové plochy od reálného stavu na intervalu ; jako při slučování pomocí tabulky. Navíc rozdělíme momentovou plochu od virtuálního stavu na intervalu ; na obdélník 2 0,6 a trojúhelník 0,4. 1 = = 1 1 2 2 8,4 0,6 + 1 2 2 8,4 1 3 0,4 + + 1 1 2 2 3 8,4 2 3 0,6 + 2 3 3 2,25 1 9,355 0,6 = 2 2 = 2,339 10 = 0,134 Pootočení průřezu nad podporou (a) je 2,339 10, to je 0,134. Pootočení vyšlo kladné, je tedy shodně se zavedenou 1. 2 2.2.2 Vzájemné pootočení desek na Gerberově nosníku, silové zatížení PVP určete vzájemné pootočení desek v kloubu (k 2 ). Při výpočtu uvažujte pouze vliv ohybových momentů. = 5000 Obr. 2.4: Schéma konstrukce s reálným zatížením, jednotkový stav a průběhy a

Analýza stavebních konstrukcí příklady 21 = 0,2510 2 16 2 + 16 0,25 1 + 241 + 3 2 4 = 10-16 2-0,25-16 1-0,25 1 4-24 1 4 2 = 1,833 + 1,333 56 = 52,833 = 52,833 5000 = 0,01056 = 0,61. Vzájemné pootočení desek v kloubu (k 2 ) je -0,61 o, to je proti smyslu zavedených jednotkových momentů. 2.2.3 Šikmý prut, silové zatížení a pokles podpory PVP určete svislé posunutí průřezu (c) w c. Nosník je zatížen spojitým rovnoměrným zatížením a poklesem podpory (b) o 0,05 m. =. = 2,8 10 Vypočtěte: a) svislé posunutí průřezu (c) od silového zatížení (uvažujte pouze vliv ohybových momentů), b) svislé posunutí průřezu (c) od poklesu podpory (b), c) výsledné svislé posunutí průřezu (c) od obou vlivů. Obr. 2.5: Schéma konstrukce s reálným zatížením a průběh

22 Princip virtuálních prací Obr. 2.6: Jednotkový stav a průběh a) w od silového zatížení 1 = = 6,858 5 + 6,858 4 + 4 4 5 6,858 = 44,413 2,8 10 = 1,586 10 5 12 7 6,858 3 12 7 3 4 4 12 7 3 b) w od poklesu podpory (b) 1 = = = 3 7 0,05 = 21,429 10 c) Výsledný svislý posun w od obou vlivů = + = 1,586 10 + 21,429 10 = 23,015 10 = 2,3 Výsledné svislé posunutí je 2,3 cm a je směrem dolů (ve smyslu zavedené 1 ). Poznámka: V případě přímého řešení integrálu je možné vyjádřit a na šikmém prutu v závislosti na vodorovné proměnné (viz. Obr. 2.7). Integrovat je však nutné podle proměnné ve směru střednice prutu.

Analýza stavebních konstrukcí příklady 23 Vztah mezi a : ds α dx = cos = (z rozměrů konstrukce) Obr. 2.7: Zavedení proměnných na prutech < ; > = 2,286 = 4 7 < ; > = 5,714 = 3 7 1 = = 1 0,4354 cos = 1,586 10 2,286 = 4 7 + 1 0,8163 0,1071 + 5,714 3 7 cos 2.2.4 Poddajnost kyvného prutu, silové zatížení a rovnoměrná změna teploty Betonový nosník s převislým koncem je podepřen pevným kloubem a ocelovým kyvným prutem. PVP vypočtěte svislý posun volného konce nosníku. Určete: a) svislý posun od silového zatížení (při výpočtu uvažujte vliv ohybových momentů a vliv poddajnosti kyvného prutu), b) svislý posun od rovnoměrného ochlazení kyvného prutu, c) celkový svislý posun od obou vlivů. beton: = 2,1 10 ocel: = 2,1 10 y 0,4 y 0,12 = 12 10 0,2 z [m] z 0,1 [m]

24 Princip virtuálních prací Obr. 2.8: Schéma konstrukce s reálným zatížením a reakcemi beton:, = 1 12 0,2 0,4 = ocel: = 4 0,12 0,1 = = 1,066 10 = 345,575 10, = 22400 725708 Obr. 2.9: Průběhy a od reálného zatížení Obr. 2.10: Jednotkový (virtuální) stav a průběhy a

Analýza stavebních konstrukcí příklady 25 d) od silového zatížení Vliv poddajnosti kyvného prutu započítáme pomocí členu. 1 = + = 1, 1 3 8 2 3 + 1 3 4,5 2 3 + 1 4 50 3 2 5 3 + 1 50 3 5 3 2 3-8 2 = 15 22400 + 55,555 725708 = 7,462 10 3-2 3 4,5-2 -8 2 o -2 3 2 8 2 2 + 2 e) od rovnoměrného ochlazení kyvného prutu 1 = = = 12 10 10 2 = +4 10 plocha včetně znaménka (na intervalu, který je ochlazený) f) Výsledný posun od obou vlivů = + = 7,462 10 + 4 10 = 11,462 10 = 1 Průřez (c) se posune směrem dolů (ve smyslu zavedené 1 ) o 11,462 10. 2.2.5 Pootočení průřezu, zatížení nerovnoměrnou změnou teploty PVP určete pootočení průřezu (a) nad levou podporou od nerovnoměrné změny teploty. = 12 10 schéma průřezu: = 12 h =0,4 m = 4 = 20 - změna teploty na střednici - změna teploty při dolních vláknech - změna teploty při horních vláknech

26 Princip virtuálních prací = = 20 12 = 32 = = = 4 1 = h + Obr. 2.11: Schéma konstrukce a zatížení 1 = h + Obr. 2.12: Jednotkový stav a průběhy a plocha včetně znaménka plocha včetně znaménka = 12 10 32 0,4 1 4 + 1 2 1 5 + 12 10 4 1 5 4 1 5 2 = 6,259 10 = 0,36 Průřez (a) se pootočí o 0,36 po směru hodinových ručiček (shodně se zavedeným jednotkovým momentem).

Analýza stavebních konstrukcí příklady 27 2.2.6 Příhradová konstrukce, kombinace silového zatížení, změny teploty a poklesu podpory Příhradová konstrukce je zatížena silou = 20, rovnoměrným ohřátím prutů 2 a 6 a poklesem podpory (a). Určete: a) vodorovné posunutí styčníku (c) od zatížení břemenem, b) vodorovné posunutí styčníku (c) od rovnoměrné změny teploty, c) vodorovné posunutí styčníku (c) od poklesu podpory, d) výsledné vodorovné posunutí od kombinace všech tří vlivů. Průřezová plocha prutů = 3,6 10,Youngův modul pružnosti = 2,1 10, = 12 10. Obr. 2.13: Schéma příhradové konstrukce a zatížení Výsledné vodorovné posunutí od kombinace všech tří vlivů vypočteme jako součet přetvoření od jednotlivých vlivů: = + + = = =, kde je reakce od jednotkového stavu, ve směru zadaného poklesu.

28 Princip virtuálních prací a) Normálové síly v jednotlivých prutech je možné vyřešit například zjednodušenou metodou styčných bodů. Vypočtené hodnoty jsou na obrázku 2.14. Obr. 2.14: Normálové síly N od reálného zatížení Jednotkový stav a normálové síly jsou zobrazeny na Obr. 2.15. Vyřešíme i reakci, kterou budeme potřebovat při řešení. Reakci zavedeme shodně s orientací poklesu podpory. Obr. 2.15: Normálové síly od virtuálního zatížení a reakce

Analýza stavebních konstrukcí příklady 29 = = 1 = 2,1 10 3,6 10 33,33 1,66 2,5 + 53,33 1,33 2 = 3,718 10 b) Vodorovné posunutí vypočteme ze vzorce: =. Osové síly jsou patrné z Obr. 2.15. = 1,33 12 10 30 2 = 0,96 10 c) Vodorovné posunutí od poklesu podpory (a) vypočteme podle: = Reakce je znázorněna na Obr. 2.15. = 1,33 0,015 = 20 10 d) Výsledné posunutí : = + + = 3,718 0,96 20 10 = 17,242 10 = 1,7 Průřez (c) se posune o 1,7 proti smyslu zavedené 1. 2.2.7 Redukční věta Pomocí redukční věty určete průhyb uprostřed oboustranně vetknutého nosníku. Při výpočtu uvažujte pouze vliv ohybových momentů. =. 1 = Průběh momentů najdeme např. v tabulce momentů v dokonalém vetknutí pro deformační metodu. Jednotkový stav a průběh vyřešíme na libovolné, staticky přípustné základní soustavě (ZS).

30 Princip virtuálních prací Obr. 2.16: Schéma konstrukce s reálným zatížením, průběh, jednotkový stav a průběh 1 = 2 24 + 2 = = 2 1 6 4 12 + 2 24 2 + 1 3 4 1 8 2 2 = 384 12 /2 /4 /2 1 8 2 /2 /4 Průhyb uprostřed oboustranně vetknutého nosníku o délce, zatíženém po celé délce spojitým rovnoměrným zatížením, je = jako vzorec.. Tuto hodnotu lze nalézt v literatuře

Analýza stavebních konstrukcí příklady 31 Případné chyby a nejasnosti prosím zašlete na email petr.maca@fsv.cvut.cz a do předmětu zprávy uveďte Skriptum (bez uvozovek).

32 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda 3 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda 3.1 Úvod Silová metoda je jednou z metod řešení staticky neurčitých konstrukcí. U těchto konstrukcí je počet reakcí (vnějších a vnitřních) vyšší než počet podmínek rovnováhy pro jejich výpočet. Počet chybějících rovnic udává stupeň statické neurčitosti konstrukce. Princip výpočtu: 1. Určíme stupeň statické neurčitosti konstrukce s. 2. Ze staticky neurčité konstrukce vytvoříme konstrukci staticky určitou = základní soustavu (ZS); počet odebraných vazeb se rovná stupni statické neurčitosti (vazby smíme odebírat, nikde nesmíme přidávat, ZS musí být staticky i přetvárně určitá a nesmí být výjimkovým případem podepření). 3. Odebrané vazby nahradíme staticky neurčitými veličinami X i. 4. Pokud mají být reakce a vnitřní síly na ZS stejné jako na původní konstrukci, musí být stejné i přetvoření obou konstrukcí; sestavujeme tedy přetvárné = deformační podmínky, z nichž vypočteme neznámé silové veličiny X i. 3.1.1 Rozbor konstrukce Určete stupeň statické neurčitosti konstrukce, zvolte základní soustavu, vyznačte na ní působící zatížení a staticky neurčité veličiny X i a sestavte v symbolickém tvaru přetvárné podmínky pro jejich výpočet. Obr. 3.1: Schéma konstrukce se zatížením Nejprve určíme stupeň statické neurčitosti konstrukce s: = 2 3 2 3 + 2 + 1 = 3. 2 desky 2 vetknutí o 3 stupních volnosti 1 vnitřní kloub 1 kyvný prut

Analýza stavebních konstrukcí příklady 33 Pokud budeme kyvný prut považovat za další desku, změní se výpočet s, ale výsledek zůstane stejný: = 3 3 2 3 + 3 2 = 3. 3 desky 2 vetknutí o 3 stupních volnosti 3 vnitřní klouby Obvykle existuje více možností, jak vytvořit základní soustavu. V našem případě by mohla vypadat třeba takto Obr. 3.2: Základní soustava. Pro výpočet staticky neurčitých veličin X 1, X 2 a X 3 budeme psát celkem tři přetvárné podmínky: = 0 (1) = 0 (2) = 0 (3) kde je relativní vodorovné posunutí průřezů ve smyslu veličiny X 1 v místě přerušení táhla, relativní svislé posunutí v místě a směru X 2 a relativní vodorovné posunutí v místě a směru veličiny X 3. 3.1.2 Vzorový příklad Silovou metodou vyřešte průběhy vnitřních sil na konstrukci. Při výpočtu koeficientů a uvažujte pouze vliv ohybových momentů. =. Obr. 3.3: Schéma konstrukce se zatížením

34 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Stupeň statické neurčitosti konstrukce: = 2 3 2 3 + 2 = 2 2 desky 2 vetknutí o 3 stupních volnosti 1 vnitřní kloub Konstrukce je 2x staticky neurčitá, ZS vytvoříme např. odstraněním vnitřního kloubu. Odebereme tak právě 2 vnitřní vazby. Obr. 3.4: Základní soustava je relativní vodorovné posunutí desek I a II v průřezu (c), je relativní svislé posunutí desek I a II, rovněž v průřezu (c). Desky jsou v původní konstrukci spojeny vnitřním kloubem, k žádnému relativnímu posunutí v průřezu (c) tedy dojít nemůže. Přetvárné podmínky proto zapíšeme ve tvaru: = 0 1 [i] = 0 2. Přetvoření a získáme superpozicí přetvoření od = 1, = 1 a od zadaného zatížení: : + + = 0 1 [ii] : + + = 0 2. Dílčí přetvoření, =,, a jsou naznačena na následujících obrázcích. Základní soustavu budeme postupně zatěžovat veličinami, a zadaným zatížením a vypočteme potřebná přetvoření. Hodnotu veličin a neznáme. Nahradíme je proto = 1 a = 1. Výsledná přetvoření od veličin a budou podle principu proporcionality krát větší, respektive krát větší než přetvoření od 1 (viz. [ii]).

Analýza stavebních konstrukcí příklady 35 Obr. 3.5: Průběhy M1 od = 1 a M2 od = 1 relativní vodorovné posunutí v místě a směru veličiny od = 1 na ZS, relativní vodorovné posunutí v místě a směru veličiny od = 1 na ZS, relativní svislé posunutí v místě a směru veličiny od = 1 na ZS, relativní svislé posunutí v místě a směru veličiny od = 1 na ZS. Obr. 3.6: Průběh M0 od zadaného zatížení relativní vodorovné posunutí v místě a směru veličiny od zadaného zatížení na ZS, relativní svislé posunutí v místě a směru veličiny od zadaného zatížení na ZS. Tato přetvoření vypočteme pomocí principu virtuálních prací podle vzorce (2.7). Při zanedbání vlivu ohybových momentů dostaneme pro jejich výpočet po mírné úpravě výrazy: = (3.1) = (3.2)

36 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Tuhost =. na celé konstrukci. Můžeme ji proto vytknout před integrály a počítat -násobky přetvoření. Pro výpočet integrálů použijeme tabulku na slučování ploch. = = 2 2 2 + 2 2 3 = 14, 66 2 2 2 2-2 3-2 3 = = 2 3 3 = 9-2 3-3 3 = = = = 3 3 3 + = = 2 8 3 = 48-3 3-3 3 4 4 4 4 = 30, 33 4 4 4-2 3 3 8 = = 3 8 3 + 4 64 4 = 292. -3 3 3 8 4 4 4-64 Dosadíme vypočtené hodnoty do přetvárných podmínek a po vykrácení dostaneme: 14, 66 + 9 48 = 0 9 + 30, 33 292 = 0 1 2 = 3,221 = 10,582 Z podmínek rovnováhy na konstrukci lze dopočítat všechny reakce a následně vykreslit průběhy vnitřních sil.

Analýza stavebních konstrukcí příklady 37 Obr. 3.7: Zatížení a reakce kn, knm Obr. 3.8: Výsledné ohybové momenty M knm Obr. 3.9: Výsledné posouvající síly V kn Obr. 3.10: Výsledné normálové síly N kn

38 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Na závěr je třeba provést kontrolu správnosti výsledků. Nejprve zkontrolujeme rovnováhu ve styčnících. Obr. 3.11: Vnitřní síly ve styčnících, 0,779 4 + 3,221 = 0 3,221 + 3,221 = 0 10,582 + 0 10,582 = 0 10,582 10,582 = 0 14,442 + 8 + 6,442 = 0 Kontrola správnosti výpočtu redukční větou: Principem virtuálních prací budeme kontrolovat přetvoření, jehož hodnotu předem známe (je nulová). Jednotkový stav vyřešíme na libovolné ZS. Je vhodné zvolit ZS jinou než tu, která byla použita ve výpočtu. Vyvarujeme se tak opakování stejných chyb. Obr. 3.12: Jednotkový stav na základní soustavě a průběh Chceme ověřit, zda vodorovné posunutí v podpoře (b), tj. v místě uvolněné vazby, je nulové ( = 0?). Pokud máme správně vyřešené vnitřní síly, musí být přetvoření na základní soustavě stejné jako na soustavě původní. Podpora (b) je na původní konstrukci vetknutím, k vodorovnému posunutí zde tedy nemůže dojít. Při výpočtu dosaď = 12000. 1 = = 17,304 + 14,442 2 3 + 6,442 2 2-17,304 14,442 3 2 2-6,442 2-2

Analýza stavebních konstrukcí příklady 39 = 8,586 + 8,589 12000 = 0 Vodorovné posunutí = 0, výpočet silovou metodou je správně. 3.1.3 Vliv poddajnosti kyvného prutu Silovou metodou vyřešte průběhy vnitřních sil. Uvažujte vliv poddajnosti kyvného prutu. Na zbylé části konstrukce uvažujte při výpočtu koeficientů a pouze vliv ohybových momentů. = 2,1 10. Obr. 3.13: Schéma konstrukce a zatížení = 10500 = 10,5 10 = 1050000 = 10,5 10 Stupeň statické neurčitosti: = 1 3 2 + 1 + 1 = 1 nebo = 2 3 2 + 1 + 2 2 = 1 Základní soustavu vytvoříme přerušením kyvného prutu. Obr. 3.14: Základní soustava Nejprve vykreslíme na základní soustavě průběhy momentů od jednotkového stavu i od skutečného zatížení. Kromě toho je třeba určit hodnotu normálové síly v kyvném prutu.

40 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Obr. 3.15: Průběhy a Přetvárná podmínka: = 0 + = 0 Obr. 3.16: Průběhy a Na kyvném prutu vzniká pouze normálová síla, ohybový moment i posouvající síla jsou nulové. Vliv poddajnosti kyvného prutu na výsledné vnitřní síly, tj. jeho zkrácení či prodloužení, zahrneme do výpočtu prostřednictvím členů = = + = á 2 2 2 + 2 3 + = 1,6537 10 = + = á 1 3 = a : + = = 1 10500 1 373, 33 2 2 40 20 2 2 + 2 40 3 = 6 10500 = 0,0355555 1,6537 10 + 35,5555 10 = 0 = 21,5

Analýza stavebních konstrukcí příklady 41 Nyní můžeme dopočítat a vykreslit výsledné vnitřní síly. Obr. 3.17: Výsledné vnitřní síly Kontrola správnosti výpočtu pomocí redukční věty: Zvolíme, pokud je to možné, jinou ZS než tu, kterou jsme použili pro řešení vnitřních sil. Obr. 3.18: ZS s jednotkovým stavem, průběhy a Budeme kontrolovat, zda je vzájemné pootočení desek v průřezu (c) rovno nule ( = 0?). 1 = +, á kde, jsou výsledné vnitřní síly,, vnitřní síly od jednotkového stavu. 1 = 1 2 3 20 2 + 1 2 3 + 20 2 + 3 1 3 + + 21,5 3 = 1-20 1 10 = 0-21,5 3 3 -½ 3 2-3 20-1 vyšlo rovné nule, výsledné vnitřní síly jsou tedy vypočteny správně. 2 3 3 3 1

42 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda 3.1.4 Kombinace silového zatížení a změny teploty Silovou metodou vyřešte průběhy vnitřních sil na rámu zatíženém kombinací silového zatížení a změny teploty. Při výpočtu koeficientu a uvažujte pouze vliv ohybových momentů. =. = 5000, = 12 10, výška obdélníkového průřezu h = 0,2. Obr. 3.19: Schéma konstrukce se zatížením Stupeň statické neurčitosti: = 1 3 3 + 2 = 2 Konstrukce je 2x staticky neurčitá. Rozdíly teplot při spodních a horních vláknech a ohřátí střednice na intervalech: ;, ;, ; = = 30 8 = 22 = + 2 ; = 30 + 8 2 = 19 = 0 = 30

Analýza stavebních konstrukcí příklady 43 Přetvárné podmínky: Obr. 3.20: Základní soustava = 0: + + = 0 1 = 0: + + = 0 2. = + = kde +, a jsou přetvoření od zadaného silového zatížení, a přetvoření způsobená změnou teploty. K výpočtu přetvoření použijeme vzorec (3.2), při výpočtu přetvoření vyjdeme z výrazu (2.7) a dostaneme: = h + (3.3) Obr. 3.21: Momenty, a

44 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Obr. 3.22: Normálové síly a ( k výpočtu nepotřebujeme). Výpočet koeficientů, : = = = = = 1 5000 1 1 4 + 1 3 1 1 3 = 5 5000 = 10 10 1 = 1 5000 1 2 1 4 4 + 1 12 1 4 3 = 3 5000 = 24 10 1 = 1 5000 1 3 4 4 4 + 1 4 4 3 = 74,666 10 3 = = 1 5000 1 2 1 12 2 + 1 12 2 + 1 1 21 3 = 3 = 114 10 = h + = h + = = 12 10 22 0,2 1 4 + 12 10 19 1 3 4 = 55,84 10 = + = 58,16 10 = = 1 5000 1 3 2 12 2 + 1 2 2 + 4 12 2 + 1 4 21 3 3 = 344 10 = h + = h + = = 12 10 22 0,2 1 2 4 4 + 12 10 19 4 3 4 + 12 10 30 1 3 = = 128,56 10 = + = 215,44 10

Analýza stavebních konstrukcí příklady 45 Dosazení do přetvárných podmínek: (rovnice jsou vynásobeny 1 10 ) 10 + 24 = 58,16 1 24 + 74,666 = 215,44 2. = 4,852 = 4,445 Výsledné reakce a vnitřní síly: Obr. 3.23: Silové zatížení konstrukce a výsledné reakce v, Obr. 3.24: Výsledné vnitřní síly

46 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Nyní zkontrolujeme rovnováhu vnitřních sil ve styčníku (d). Obr. 3.25: Vnitřní síly ve styčníku (d), 4,445 4,445 = 0 2,691 2,691 = 0 9 8,073 0,927 = 0 Kontrola správnosti výpočtu pomocí redukční věty: Obr. 3.26: ZS s jednotkovým stavem, průběhy a 1 = + h + = 1 5000 1 2 4,852 7,962 3 2 + 1 2 7,962 + 0,927 3 2 + 1 8,073 3 3 + 3 +12 10 22 0,2 3 4 + 12 10 19 1 4 = 0,016753 + 0,016752 = 0 Svislé posunutí v podpoře (b) je rovné nule, výpočet je tedy správně.

Analýza stavebních konstrukcí příklady 47 3.1.5 Kombinace silového zatížení a poklesu podpory Silovou metodou vyřešte průběhy vnitřních sil na konstrukci. Při výpočtu koeficientů a uvažujte pouze vliv ohybových momentů. =. = 10 000. Stupeň statické neurčitosti: = 2 3 2 1 + 2 + 3 = 1 Konstrukce je 1x staticky neurčitá. Obr. 3.27: Schéma konstrukce se zatížením Při zatížení konstrukce přemístěním podpor může volba základní soustavy ovlivnit tvar přetvárných podmínek. Ukážeme si proto dvě různá řešení. a) ZS vytvoříme odstraněním podpory (a) Obr. 3.28: Základní soustava V místě a směru odstraněné vazby nebylo předepsané posunutí. Přetvárnou podmínku zapíšeme tedy ve tvaru: = 0: + = 0, kde = +.

48 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Koeficient vypočteme podle rovnice (3.2). Při výpočtu vyjdeme z rovnice (2.7) a dostaneme výraz =. (3.4) V našem případě pak vychází =,, kde a, jsou reakce od = 1, jak je patrné z obrázku (3.29). Obr. 3.29: Průběhy a Reakce B 1 a C x,1 je třeba zavést shodně se zadanými posuny podpor. Výpočet koeficientů, : = = = 0,0356 = 1 10000 1 3 3 3 + 1 3 3 4 = 0,0021 = 1 10000 1 2 3 40 3 + 1 3 3 40 4 + 1 3 3 1 8 2 4 4 = =, = 0,75 0,024 0 0,018 = 0,018 = + = 0,0176. Dosazení do přetvárné podmínky: = 0: 0,0021 + 0,0176 = 0 = 8,381

Analýza stavebních konstrukcí příklady 49 Výsledné reakce a průběhy vnitřních sil: Obr. 3.30: Reakce a zatížení Obr. 3.31: Výsledné vnitřní síly Kontrola rovnováhy ve styčníku (d): Obr. 3.32: Vnitřní síly ve styčníku (d) v,

50 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda 12 12 = 0 8,667 8,381 0,286 = 0 14,857 14,857 = 0 b) ZS vytvoříme odstraněním podpory (b) Obr. 3.33: Základní soustava V místě a směru odstraněné vazby byl předepsán posun = 0,024. Přetvárnou podmínku píšeme tedy ve tvaru: = 0,024: + = 0,024, kde = + = =, (obr. 3.34). Obr. 3.34: Průběhy a

Analýza stavebních konstrukcí příklady 51 Výpočet koeficientů, : = = = 1 10000 1 3 4 3 + 1 3 4 4 = 0,00373 = 1 10000 1 6 40 2 16 4 3 + 1 4 16 4 = 0,0048 4 =, = 0 0,018 = 0 = + = 0,0048 Dosazení do přetvárné podmínky: = 0,024: 0,00373 0,0048 = 0,024 = 7,714 Veličina odpovídá svislé reakci v podpoře (b), vyšel nám tedy stejný výsledek jako v řešení a). Stejně vyjdou i vnitřní síly. 3.1.6 Příhradová konstrukce Silovou metodou vyřešte normálové síly na příhradové konstrukci zatížené kombinací silového zatížení a rovnoměrného ohřátí. Všechny pruty mají stejnou průřezovou plochu = 3 10, Youngův modul pružnosti je = 2,1 10. Obr. 3.35: Schéma konstrukce se zatížením Pozn.: Pruty (3) a (4) se volně kříží a nevytvářejí další styčník. Stupeň statické neurčitosti: = 4 2 2 + 1 + 6 = 1 Konstrukce je 1x staticky neurčitá, přičemž se jedná o vnitřní statickou neurčitost. Základní soustavu vytvoříme přerušením prutu (4).

52 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Obr. 3.36: Základní soustava Přetvárná podmínka: = 0: + = 0. Při uvážení výrazu (2.8) dostáváme pro výpočet koeficientů, = = + = =. a vztahy: Nejprve vyřešíme normálové síly v jednotlivých prutech od = 1 a od daného zatížení konstrukce. Obr. 3.37: Hodnoty normálových sil a

Analýza stavebních konstrukcí příklady 53 Pro větší přehlednost uspořádáme výpočet do tabulky: Tab. 3.1: Výpočet normálových sil na příhradové konstrukci silovou metodou. prut Výsledné vnitřní síly = + 1 3-0,6 0 1,08 0 0,864 10-4,14 2 4-0,8 0 2,56 0 0-5,52 3 5 1 10 5 50 0 16,9 4 5 1 0 5 0 0 6,9 5 4-0,8-8 2,56 25,6 1,536 10-13,52 6 3-0,6-6 1,08 10,8 0,864 10-10,14 = 17,28 = 86,4 = 3,264 10 Dosazení do přetvárné podmínky: = 0: 17,28 2,1 10 3 10 86,4 + 2,1 10 3 10 3,264 10 = 0 Výsledné normálové síly určíme superpozicí: = +. Jejich hodnoty jsou v tab. 3.1 a v Obr. 3.38. 0,274 1,893 = 0 = 6,9 Obr. 3.38: Výsledné normálové síly

54 Plošné konstrukce 4 Plošné konstrukce 4.1 Desky metoda sítí 4.1.1 Základní pojmy a vztahy Desky jsou rovinné konstrukce zatížené kolmo na svoji střednicovou plochu. Poměr tloušťky h ku délce l (resp. šířce) by se měl pohybovat v rozmezí: 1 100 h 1 10 (5.1) Při tomto rozmezí lze desku považovat za tenkou a je možné jí řešit pomocí tzv. Kirchhoffovy teorie (tzn. zanedbání vlivu posouvajících sil). Primární neznámou je v teorii desek průhyb w(x,y), který získáme řešením deskové rovnice: kde: w(x,y) je Laplaceův operátor Δ = je funkce průhybu [m] p je intenzita zatížení [N/m 2 ] D kde: E ΔΔ, =, (5.2) + je desková tuhost [Nm], která se určí pomocí rovnice: je modul pružnosti [Pa] ν je Poissonovo číslo [-] h je tloušťka desky [m] = h 121, (5.3) Obr. 4.1: Zavedení souřadného systému

Analýza stavebních konstrukcí příklady 55 4.1.2 Metoda sítí Principem metody sítí je diskrétní rozdělení konstrukce na uzly a převod diferenciální rovnice (4.2) s neznámou w(x,y) na systém lineárních algebraických rovnic pouze pro uzlové hodnoty tzv. redukovaného průhybu:, =,, (5.4) kde W i,j D a w i,j je redukovaný průhyb [N] je desková tuhost (4.3) [Nm] je diferenční krok [m] je skutečný průhyb [m]. Diferenční náhrada za rovnici (4.2) má tvar lineární rovnice (obr. 4.2): 20, 8, +, +, +, + 2, +, +, +, +, +, +, +, =,, (5.5) kde W i,j P i,j je hodnota redukovaného průhybu v jednotlivých uzlech sítě [N] je hodnota uzlového zatížení [N]:, =, +,, (5.6) kde p i,j je hodnota plošného zatížení na konstrukci [N/m 2 ] a je diferenční krok [m] F i,j je osamělé břemeno v uzlovém bodě [N].

56 Plošné konstrukce Obr. 4.2: Schéma zavedení diferenčních náhrad Pro výpočet je nutné rovnici (4.5) doplnit o okrajové podmínky. Tyto podmínky závisí na způsobu podepření desky. Pro běžné výpočty postačí uvést tři základní vetknutí, kloubové podepření a volný okraj (obr. 4.3) Obr. 4.3: Schéma zavedení okrajových podmínek Pro redukované průhyby ve vetknutí platí tyto okrajové podmínky: = 0, = (5.7) pro kloubové podepření platí: = 0, = (5.8)

Analýza stavebních konstrukcí příklady 57 a pro volný okraj platí: = 0 2 + + 2 + = 0 (5.9) = 0 2 + 2 + 2 2 + 4+25 6=0 (5.10) Měrné momenty [Nm/m] na desce se pak vypočítají podle rovnic:, =, 2, +, +, 2, +, (5.11), =, 2, +, +, 2, +, (5.12), = 1 4, +,, +, (5.13)

58 Plošné konstrukce 4.2 Řešené příklady 4.2.1 Příklad 1 Metodou sítí vyřešte průběh funkce průhybů a všech měrných momentů na zadané betonové stropní desce (obr. 4.4). Deska je zatížena rovnoměrným zatížením p = 5 kn/m 2 a dále pak silami F = 10 kn v bodech 4, 5 a 6. Tloušťka desky h = 0,12 m, modul pružnosti E = 30 GPa a Poissonův součinitel ν = 0,2. Obr. 4.4: Příklad 1 - zadání Řešení: Nejprve je třeba si desku vhodně rozdělit a zvážit, zda je možné pro výpočet využít symetrie. V tomto příkladě desku rozdělíme dle (obr. 4.5). Z podepření desky a rozmístění osamělých břemen vyplývá, že deska je symetrická jak podle osy x (úsečka 4-6), tak podle osy y (úsečka 2-8). Pro kompletní výpočet bude tedy zapotřebí vyřešit pouze 4 neznámé redukované průhyby v libovolném kvadrantu desky místo všech devíti. V tomto příkladě byly vybrány redukované průhyby W 1, W 2, W 4, W 5 (obr 4.5).

Analýza stavebních konstrukcí příklady 59 Obr. 4.5: Schéma rozložení redukovaných průhybů a symetrie Dle okrajových podmínek jsou všechny redukované průhyby W A, W B, W C a W D v místě uložení rovny nule (jedná se o vetknutí a kloubové uložení): = = = = 0 Redukované průhyby mimo desku v místě kloubového uložení W b a W a jsou rovny záporným hodnotám W 1 a W 2 : = ; = V místě vetknutí jsou redukované průhyby vně desky W c a W d rovny hodnotám W 1 a W 4 : = ; = Nyní pro čtyři neznámé W 1, W 2, W 4 a W 5 sestavíme soustavu čtyř lineárních rovnic (diferenčních náhrad) pro každou neznámou jednu rovnici (4.5): 20 80 + + + 0 + 20 + + 0 + 0 + + + = 20 80 + + + + 20 + + + 0 + 0 + + 0 = 20 8 + + + 0 + 2 + + 0 + 0 + 0 + + 0 + 0 = 20 8 + + + + 2 + + + + 0 + 0 + 0 + 0 = Dále je třeba zjistit hodnoty uzlových břemen P v jednotlivých uzlech dle rovnice (4.6) = + = 5 1 + 0 = 5 = + = 5 1 + 0 = 5 = + = 5 1 + 10 = 15 = + = 5 1 + 10 = 15

60 Plošné konstrukce V tuto chvíli je již možné vypočítat jednotlivé redukované průhyby W 1, W 2, W 4 a W 5. Soustava rovnic má tvar: tedy: 22 8 8 + 2 = 16 + 20 + 4 8 = 16 + 4 + 21 8 = 8 16 16 + 20 = 22 8 8 2 16 20 4 8 = 16 4 21 8 8 16 16 20 Ze soustavy rovnic vypočteme hodnoty W 1, W 2, W 4 a W 5 (možností je mnoho, např. Gaussova eliminace, inzerze matice 4x4 a následné přenásobení pravé strany atd.). = 2,91; = 4,37; = 4,71; = 6,85 Skutečné průhyby lze vypočítat pomocí vzorce (4.4), k tomu je třeba znát deskovou tuhost ze vzorce (4.3) = Skutečné průhyby pak jsou: h 121 = 30 10 0,12 121 0,2 = 4500,00 = 2,91 1 = 4500,0 = 6,46 10 = 4,37 1 = 4500,0 = 9,72 10 = 4,71 1 = 4500,0 = 10,46 10 = 6,85 1 = 4500,0 = 15,22 10 Nyní už zbývá dopočítat pouze měrné momenty (4.11), (4.12), (4.13), pro jejichž výpočet již jsou všechny hodnoty známé. Nesmíme zapomenout, že měrné momenty se mohou vyskytovat v místě uložení desky. Měrné momenty m x a m y budou zpravidla nabývat nenulových hodnot ve vetknutí (m xy bude 0) a moment m xy bude zpravidla nabývat nenulových hodnot v kloubovém uložení (m x a m y budou 0)., = 4,71 2 0 + 4,71 + 0,20 2 0 + 0 = 9,42 /, = 0 2 4,71 + 6,85 + 0,22,91 2 4,71 + 2,91 = 3,29 /, = 4,71 2 6,85 + 4,71 + 0,24,37 2 6,85 + 4,37 = 5,27 /, = 0 2 0 + 0 + 0,24,71 2 0 + 4,71 = 1,88 /, = 2,91 2 4,71 + 2,91 + 0,20 2 4,71 + 6,85 = 4,11 /, = 4,37 2 6,85 + 4,37 + 0,24,71 2 6,85 + 4,71 = 5,81 /

Analýza stavebních konstrukcí příklady 61, = 1 0,2 4,37 + 4,37 0 + 0 = 1,75 / 4, = 1 0,2 0 + 6,85 0 + 0 = 1,37 / 4, = 1 0,2 4,37 + 4,37 0 + 0 = 0 / 4 Ostatní měrné momenty je možné snadno dopočítat obdobným způsobem čímž lze také ověřit předchozí tvrzení o měrných momentech v místě uložení. Vykreslené a dopočtené měrné momenty a skutečné průhyby jsou uvedeny na (obr. 4.6). Obr. 4.6: Měrné momenty m x, m y, m xy a skutečný průhyb w(x,y)

62 Plošné konstrukce 4.2.2 Příklad 2 Metodou sítí vyřešte průběh funkce průhybů a všech měrných momentů na zadané betonové stropní desce s jedním volným okrajem (obr. 4.7). Deska je zatížena rovnoměrným zatížením p = 6 kn/m 2. Tloušťka desky h = 0,1 m, modul pružnosti E = 25 GPa a Poissonův součinitel ν = 0,25. Diferenční krok a = 1,0 m. Řešení: Obr. 4.7: Příklad 2 - zadání Na tomto příkladu můžeme opět využít symetrie (obr. 4.8). Budeme tedy řešit úlohu pro neznámé W D, W 1 a W 3. Obr. 4.8: Schéma redukovaných průhybů a symetrie

Analýza stavebních konstrukcí příklady 63 Z okrajových podmínek pro vetknutí a kloubové uložení je zřejmé, že: = = = = 0 Redukovaný průhyb mimo desku v místě kloubového uložení W j je rovnen záporné hodnotě W 3 : = V místě vetknutí jsou redukované průhyby vně desky W g, W h a W i rovny hodnotám W D, W 1 a W 3 : = ; = ; = Na volném okraji pak platí podmínky (4.9) a (4.10): = 0 2 + + 0 2 + = 0 = 0 2 + 2 + 2 2 + 0 + 2 = 0 Z těchto okrajových podmínek pak vyplývá: = 0 2 0 + 0 + 2 0 + = 0 = 2 = 0,5 = 2 + = 2,25 = 4,5 2 2 + 2 0,5 + 2,25 0 4,5 + 2 + 2 = 4,5 4 + 2 1,75 + 2 = 7,5625 7,5 + Nyní můžeme přistoupit k sestavení lineárních rovnic dle (4.5): 20 8 + + + 0 + 2 + + 0 + 0 + 2,25 + 0 + 0 + = 20 8 + + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0 + + 0 + = 20 82,25 + + + 0 + 22,25 + + 0 + 0,5 + 7,5625 7,5 + + 0 + + = Uzlová břemena P v jednotlivých uzlech dle rovnice (4.6). Nesmíme zapomenout, že v uzlu D působí zatížení pouze na poloviční ploše. = = 6 1 = 6 = = 6 1 = 6 = 2 = 6 1 2 = 3 Z čehož vyplyne soustava rovnic: 12 6 3,75 6 12 1 = 7,5 2 8,0625 Nyní již snadno dopočteme redukované průhyby W 1, W 3 a W D = 1,55; = 1,15; = 1,53;

64 Plošné konstrukce Desková tuhost (4.3): = Skutečné průhyby pak jsou (4.4): h 121 = 25 10 0,1 121 0,25 = 2222,22 = 1,55 1 = 2222,22 = 6,99 10 ; = 5,17 10 ; = 6,89 10 Výpočet měrných momentu se provede naprosto totožně, jako tomu bylo v příkladu č. 1 (4.11), (4.12), (4.13). = 1,53 2 0 + 1,53 + 0,20,77 2 0 + 0 = 3,26 / = 0,77 2 0 + 0 + 0,21,53 2 0 + 1,53 = 1,53 /, = 1 0,25 1,15 + 1,15 0 + 0 = 0,43 / 4 Kompletní výsledky měrných momentů jsou vykresleny na následujícím obrázku (obr. 4.9). Obr. 4.9: Měrné momenty m x, m y, m xy a skutečný průhyb w(x,y)

Analýza stavebních konstrukcí příklady 65 4.2.3 Příklad 3 Metodou sítí vyřešte průběh funkcí průhybu a všech měrných momentů na zadané betonové stropní desce s uložení viz (obr. 4.10). Deska je zatížena rovnoměrným zatížením p = 4 kn/m 2 a osamělými břemeny F = 16 kn v bodech 1 až 4. Tloušťka desky h = 0,2 m, modul pružnosti E = 28 GPa a Poissonův součinitel ν = 0,2. Diferenční krok a = 2,0 m. Obr. 4.10: Příklad 3 - zadání Výsledky: Redukované průhyby = = 6,85; = = 6,09 Desková tuhost = 19444,44 Skutečné průhyby = = 1,41 10 ; = = 1,25 10 Vybrané měrné momenty = 8,38 / ; = 7,16 / = 8,99 / ; = 6,55 / = 1,22 / ; = 1,37 /

66 Plošné konstrukce 4.2.4 Příklad 4 Metodou sítí vyřešte průběh funkcí průhybu a všech měrných momentů na zadané betonové stropní desce s uložením viz (obr. 4.11). Deska je zatížena rovnoměrným zatížením p = 3 kn/m 2 a silami F = 12 kn v bodech 2 a 3. Tloušťka desky h = 0,15 m, modul pružnosti E = 30 GPa a Poissonův součinitel ν = 0,2. Diferenční krok a = 2,0 m. Návod: Obr. 4.11: Příklad 4 - zadání Využijte diagonální symetrii a řešte soustavu rovnic pro 3 neznámé redukované průhyby. Výsledky: Redukované průhyby Desková tuhost Skutečné průhyby = 3,23; = = 3,20; = 2,58 = 8789,06 = 1,47 10 ; = = 1,46 10 ; = 1,18 10 Vybrané měrné momenty, = 3,90 / ;, = 3,94 / ;, = 6,41 /, = 3,90 ;, = 4,46 ;, = 1,28 /, = 2,58 ;, = 1,28 ;, = 1,29 /

Analýza stavebních konstrukcí příklady 67 4.3 Stěny metoda sítí 4.3.1 Základní pojmy a vztahy Za stěnu lze považovat rovinnou tenkostěnou konstrukci, která je zatížená ve střednicové rovině. Aby bylo možné konstrukci považovat za stěnu musí splňovat tyto rozměrové podmínky (obr. 4.12): 1 5 ž 1 (5.14) 4 h 1 10 min, (5.15) Obr. 4.12: Zavedení souřadného systému a označení Pouze v těchto případech lze považovat napjatost ve stěně za rovinou pole napětí {σ} = {σ x, σ y, σ z, τ yz, τ zx, τ xy } bude obsahovat poze tyto nenulové složky napětí {σ} = {σ x, σ y, τ xy }. Složky napětí jsou v teorii desek vyjádřeny tzv. Airyho funkcí napětí F, pro kterou, ve speciálním případě zatížení stěny pouze na okrajích, platí: kde: ΔΔ = 0, (5.16) F je Laplaceův operátor Δ = je Airyho funkce napětí [N] +

68 Plošné konstrukce 4.3.2 Metoda sítí Metoda sítí převádí diferenciální rovnici (4.16) na soustavu lineárnich algebraických rovnic s neznámou F (Airyho funkcí nikoliv síly!), tak, jako tomu bylo u výpočtu desek metodou sítí. Schéma rovnice je patrné z (obr. 4.13): 20, 8, +, +, +, + 2, +, +, +, +, +, +, +, = 0, (5.17) kde F je hodnota Airyho funkce [N] Je zcela zřejmé, že rovnice (4.17) má naprosto totožnou strukturu jako rovnice (4.5) v předchozí kapitole o deskách s jediným rozdílem, pravá strana se rovná nule. Obr. 4.13: Schéma zavedení diferenčních náhrad Ještě před tím, než přistoupíme k výpočtu Airyho funkce je nutné převézt liniové zatížení stěny f i,j na plošné σ i,j a bodové zatížení P i,j na liniové p i,j, což se provede dle následujicích rovnic:, =, h,, =, h, (5.18) kde σ i,j je napětí na hraně stěny [N/m 2 ] f i,j p i,j P i,j h je původní liniové zatížení na hraně stěny [N/m] je liniové zatížení na hraně stěny [N/m] je původní bodové zatížení na hraně stěny [N] je tloušťka desky [m]

Analýza stavebních konstrukcí příklady 69 Pro výpočet Airyho funkce F je pořeba rovnici (4.17) doplnit o okrajové podmínky. Okrajové podmínky jsou definovány tzv L Hermiteovou analogií, která spočívá ve vytvoření fiktivního rámu, který tvoří hranice (obrys) stěny, a který je možné přetnout v libovolném místě (je vhodné volit místo výhodné symetrie apod.) (obr. 4.14). Pro L Hermiteovu analogii platí tyto vztahy: kde F i,j, =,, = 2, ;, =,, = 2,, (5.19) je Airyho funkce napětí [N] x, y jsou směry vnější normály N i,j je normálová síla na fiktivním rámu [N] F, =,, (5.20) kde F i,j M i,j je Airyho funkce napětí [N] je moment na fiktivním rámu [Nm] Obr. 4.14: L Hermiteova analogie Po dosazení do okrajových podmínek (4.19), (4.20) a vyřešení soustavy rovnic (4.17), se napětí na stěně spočítají dle následujících rovnic:, = 1, 2, +, (5.21), = 1, 2, +, (5.22), = 1 4,+,, +, (5.23)

70 Plošné konstrukce 4.4 Řešené příklady 4.4.1 Příklad 1 Metodou sítí vyřešte průběh funkcí napětí na zadané nosné stěně s uložením viz. (obr. 4.15). Stěna je zatížena rovnoměrným zatížením f 1 = 1000 kn/m, f 2 = 800 kn/m a silami P = 100 kn v bodech K a E. Tloušťka stěny h = 0,2 m a diferenční krok a = 1,0 m. Obr. 4.15: Příklad 1 - zadání Řešení: V první fázi příkladu je potřeba přepočítat liniové, resp. bodové zatížení na plošné, resp. liniové (4.18). To se provede následovně:,1 = 1 h = 1000 = 5000 = 5,0, 0,2,2 = 2 h = 800 = 4000 = 4,0, 0,2 = h = 100 = 500 / = 0,5 / 0,2 Na tomto příkladu je možné využít symetrie, budeme tedy řešit soustavu šesti rovnic o šesti neznámých na místo devíti (obr. 4.16). Nejprve je dle L Hermiteovy analogie potřeba vytvořt fiktivní rámovou konstrukci a ve vhodném místě ji přetnout. K přetnutí je vhodné volit místo symetrie (obr 4.16). Na nově vzniklé rámové konstrukci se vypočítají ohybové momenty a normálové síly (už s novým přepočteným zatížením σ y,1, σ y,2 a p x ). Výpočet ohybových momentů a normálových sil zde nebude podrobně rozebírán.

Analýza stavebních konstrukcí příklady 71 Obr. 4.16: Schéma zavedení náhrad Airyho funkce a symetrie Výsledné hodnoty ohybových momentů M a normálových sil N jsou uvedeny na (obr. 4.17) Obr. 4.17: Průběhy momentů a normálových sil na fiktivním rámu Ve chvíli, kdy už jsou známé průběhy ohybových momentů a normálových sil na fiktivním rámu je snadné doplnit okrajové podmínky na hraně stěny (4.20): = 1; = 1,5; = 8,5; = 8,0; = 8,0; = 2,0; = 0,0

72 Plošné konstrukce Dále pak okrajové podmínky mimo stěnu (4.19): = 0,5 = 2 = 0,5 = 2 = 10,0 = 2 = 10,0 = 2 = 10,0 = 2 = 0,0 = 2 = 1 = 1 = 20 = 20 = 20 = = 0,0 = 2 = Nyní můžeme přejít k sestavení rovnic (4.17) pro jednotlivé uzly F 2, F 3, F 5, F 6, F 8, F 9, čímž získáme soustavu rovnic o šesti neznámých: 20 81 + + + + 2 1,5 + + 1,5 + 1 8,5 + 8,5 = 0 20 8 1,5 8,5+ + + 2 9 8 + + 1 + 1 + 20 + + = 0 tedy: 20 8 + + + + 2 + + + + 1 8 + 0 8 = 0 20 8 8 + + + 2 8,5 8 + + 1,5 + 20 2 + = 0 20 8 + + 0+ + 2 2 2 + + 8 + 8 = 0 20 8 8 2+ + 2 8 8 + 0 + + + 20 + + = 0 21 16 8 4 1 0 8 23 2 8 0 1 8 4 20 16 8 4 2 8 8 22 2 8 1 0 8 4 21 16 0 1 2 8 8 23 Po vyřešení této soustavy rovnic dostáváme: = 32 27 15 7,5 24 28 = 1,24; = 1,20; = 1,23; = 1,01; = 0,69; = 1,38 V tuto chvíli zbývá pouze dopočítat napětí σ x, σ y, τ xy v jednotlivých bodech dle rovnic (4.21), (4.22) a (4.23). Výpočet je uveden pouze ve vybraných bodech. Kompletní výsledky jsou vykresleny na (obr. 4.18)., = 1 1,23 2 1,24 + 1 = 0,24 1, = 1 0,69 2 1,23 + 1,24 = 0,54 1, = 1 0 2 0,69 + 1,23 = 0,15 1