M - Příprava na pololetní písemku Určeno pro třídy 2SA, 2SB VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
Opakování 1. ročníku - Procenta Procenta U příkladů, kde se vyskytují procenta, rozlišujeme tři základní veličiny: - základ (100%)... z - procentovou část... č - počet procent... p První dvě z uvedených veličin mají vždy stejnou jednotku (tzn. obě jsou například v kilogramech), zbývající třetí je vždy uvedena v procentech. Zpravidla vždy dvě z uvedených veličin známe, třetí počítáme. Úlohy na procenta můžeme řešit několika postupy: 1. Řešení přes jedno procento (někdy též říkáme přes procentový trojřádek) Příklad 1: Vypočtěte, kolik je 64 % z 12,6 kilogramů mouky. 100 %... 12,6 kg mouky 1 %... 12,6 : 100 kg = 0,126 kg mouky 64 %... 64. 0,126 kg = 8,064 kg Závěr: 64 % z 12,6 kg mouky představuje asi 8 kg mouky. 2. Řešení trojčlenkou Příklad 2: Vypočtěte, kolik procent představuje 6 minut ze 2,5 hodiny 100 %... 2,5 h x %... 6 min = 0,1 h ------------------------------------------ U procent se vždy jedná o přímou úměrnost, proto "šipky by vždy vedly obě nahoru". Sestavíme výpočet: x = 100. 0,1/2,5 x = 4 % Závěr: Šest minut ze 2,5 hodiny představuje 4 %. 3. Řešení podle vzorce Příklad 3: Vypočtěte, z kolika kilometrů představuje 8 metrů 20 %. č = 8 m p = 20 % z =? -------------------------------- z = 100č/p z = 100. 8/20 z = 40 m = 0,04 km Závěr: Osm metrů představuje 20 % z 0,04 kilometru. Pozn.: Přehled všech tří vzorců: z = 100č/p č = zp/100 p = 100č/z 4. Řešení na kalkulačce (myšleno na takové, která má klávesu s označením procent) 1 z 35
Klávesa s označením procent má takovou vlastnost, že po jejím stisku se předchozí výpočet automaticky vynásobí stem, předcházelo-li dělení a naopak vydělí stem, předcházelo-li násobení. Jedná se tedy o zrychlení práce, nic víc. Procvičovací příklady: Na konci zimní sezóny byla slevněna bunda z 2 100 Kč na 1 800 Kč. O kolik % byla bunda slevněna? Za vykonanou práci si vydělali 3 pracovníci celkem 80 400 Kč. Rozdělili se tak, že první dostal o 20% více než druhý a třetí o 15% více než druhý. Kolik Kč dostal každý z nich? Turisté ušli první den výletu 35% cesty, druhý den 41%. Na poslední, třetí den, jim zbývá ujít 15,6 km. Jak dlouhá byla celá cesta? Zvětšíme-li neznámé číslo o 4%, dostaneme 780. Určete neznámé číslo. Kolik procent je 1 minuta a 48 sekund ze 3 hodin? Vypočítejte jednu sedminu z 15% z čísla 63. Pětina žáků třídy je nemocná, 40% žáků šlo na soutěž a ve třídě zůstalo 10 žáků. Kolik žáků má tato třída? Zboží, jehož původní cena byla 2 400 Kč, bylo dvakrát zlevněno. Nejprve o 15%, později o 10% z nové ceny. Určete konečnou cenu zboží a počet procent, o kolik bylo zboží celkem zlevněno. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15%, později ještě o 5% z nové ceny. Po tomto dvojím snížení cen se lednička prodávala za 2 584 korun. Jaká byla původní cena? Zmenšením neznámého čísla o 427 dostaneme 35% jeho původní hodnoty. Které je to číslo? (Udejte s přesností na jedno desetinné místo.) Jaká musí být prodejní cena výrobku, jestliže náklady na jeho výrobu jsou 300 Kč a chci ho prodat se ziskem 20% z prodejní ceny? Obchodník prodal čtvrtinu zboží se ziskem 20% a utržil za ni 1 680 Kč. Druhou čtvrtinu prodal se ziskem 10%, další čtvrtinu za nákupní cenu a poslední čtvrtinu se ztrátou 5%. Určete nákupní cenu zboží a obchodníkův zisk. V závodě je zaměstnáno 344 žen. Zbývajících 57% zaměstnanců jsou muži. Kolik zaměstnanců má závod? Kolik procent je 21 ze 105? a) Ze 700 výrobků bylo 20% vadných. Kolik výrobků bylo bez vady? b) Z 800 výrobků bylo 16 vadných. Kolik procent výrobků bylo bez vady? c) Z vyrobených výrobků bylo 21 vadných, to je 1,4%. Kolik výrobků je bez vady? Ze 700 výrobků bylo 20% vadných. Kolik výrobků bylo bez vady? Z 800 výrobků bylo 16 vadných. Kolik procent výrobků bylo bez vady? 2 z 35
Z vyrobených výrobků bylo 21 vadných, to je 1,4%. Kolik výrobků je bez vady? Kolik stála původně halenka, jestliže po slevě o 15% stála 459 Kč? Z 1 600 součástek bylo 44 vadných. Kolik procent součástek bylo bez vady? Na výměře 5 ha bylo sklizeno v určitém roce 19 tun obilí. V následujícím roce byla výměra pro osev obilí snížena o 12%, ale hektarový výnos se proti předchozímu roku zvýšil o 12%. Kolik tun obilí se v tomto roce sklidilo? Sedlák vzal do města tři pětiny svých úspor a z této částky utratil 18%. Kolik procent všech uspořených peněz mu zbylo? Jirka spořil na prázdninový výlet. V lednu uspořil dvě pětiny celé částky, v únoru polovinu toho co v lednu a v březnu 15% celkové sumy. Do celé částky mu chybí ještě 150 Kč. Kolik bude stát celý výlet a kolik Kč naspořil v jednotlivých měsících? Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 10%, později ještě o 10% z nové ceny. Po tomto dvojitém snížení cen se lednička prodala za 4455 Kč. Vypočítejte její původní cenu. Obchodník koupil dodávku materiálu a při prodeji vydělal 2 500 Kč následujícím způsobem. Třetinu dodávky prodal o 18% dráž, čvrtinu o 11% dráž a zbytek o 5% levněji než nakoupil. Kolik zaplatil dadavateli? Proveďte zkoušku. Kolik procent činí 40,8 ze 120? Množství krve v lidském těle je přibližně 7,6% hmotnosti těla. Kolik kg krve je v těle dospělého člověka o hmotnosti 75 kg? V roce 1990 byla cena za 1 litr benzínu special 16 Kč. Nyní stojí 19,20 Kč. O kolik procent se cena zvýšila? V nově založeném sadu se ujalo 1 470 stromků, což je 98% všech sazenic. Kolik stromků vysadili? Rozhlasový přijímač, jehož původní cena byla 2 200 Kč, byl po technickém zdokonalení zdražen o 20%. Později byl o 15% z nové ceny zlevněn. Jaká byla jeho konečná cena? Co je méně? 8% z 500g nebo 6% z 1 kg. Odpověď zdůvodněte výpočtem. Zboží v hodnotě 400 Kč bylo nejprve zdraženo o 10% a pak zlevněno o 10% z nové ceny. Určete jeho konečnou hodnotu. Dva společníci si rozdělili zisk 66 000 Kč tak, že druhý dostal o 20% více než první. Kolik dostal každý? Zmenšíme-li neznámé číslo o 427 dostaneme 65% jeho hodnoty. Určete neznámé číslo. Kolika procentům původní ceny se rovná cena zboží, které bylo nejprve 3 z 35
o 20% zdraženo a potom byla jeho nová cena o 20% snížena? Pro nově budovanou cestu musel být delší rozměr obdélníkového pozemku zkrácen o 7% a kratší o 8%. Jaké jsou nové rozměry pozemku a o kolik procent se zmenšila jeho plošná výměra? Původní rozměry pozemku byly 60 m a 30 m. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15%, později o 5% z nové ceny. Po tomto dvojím snížení ceny se lednička prodávala za 9 690 Kč. Vypočtěte její původní cenu. Číslo 72 zvětšete o 25%. O kolik procent budete muset číslo, které vám vyšlo, zmenšit, abyste opět dostal číslo 72? Podnik přispívá zaměstnancům na stravenky 3,30 Kč na jeden oběd a zaměstnanci platí 78% hodnoty oběda. Jaká je cena oběda? Kolik korun platí za oběd zaměstnanci? a) Vypočtěte, kolik % je 18,5 ze 400. b) Z jakého čísla je číslo 8 20%? Vypočtěte, kolik % je 18,5 ze 400. Z jakého čísla je číslo 8 20%? 19% z neznámého čísla je o 12 méně než 23% z téhož čísla. Určete neznámé číslo. Opakování učiva 1. ročníku - Racionální a reálná čísla Číselné obory Přirozená čísla - označujeme N Potřebujeme-li přidat nulu, pak označujeme N 0. - jedná se o čísla 1, 2, 3, 4,... Nejmenší přirozené číslo je 1. Celá čísla - označujeme Z (Opět můžeme vytvářet např. Z +, Z -, či Z 0 +. - tento číselný obor dostaneme, když k přirozeným číslům přidáme čísla opačná a nulu Racionální čísla - označujeme Q - jsou to všechna čísla, která můžeme vyjádřit zlomkem s celočíselným čitatelem i jmenovatelem. Iracionální čísla - nemají své označení, protože ho vlastně nepotřebujeme - patří sem např. čísla π, 2, 3, apod. Reálná čísla - označujeme je R - jsou to všechna čísla, která můžeme zobrazit na číselné ose ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Operace s racionálními čísly sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel sčítání a odčítání, násobení a dělení zlomků řešení složených zlomků pravidlo komutativnosti, asociativnosti a distributivnosti druhá a třetí mocnina - práce s MFCHT tabulkami, určení na kalkulačce druhá a třetí odmocnina - práce s MFCHT tabulkami, určení na kalkulačce 4 z 35
Opakování učiva 1. ročníku - Poměr, trojčlenka Poměr Poměr je matematický zápis ve tvaru zlomku, případně ve tvaru dělení. Např.: 7 : 5 (čteme sedm ku pěti) Jednotlivá čísla nazýváme členy poměru. Poměr může mít dva, ale i více členů. Má-li poměr více než dva členy, nazýváme ho poměr postupný. Poměr můžeme rozšiřovat a krátit, podobně jako zlomky. Platí zde i stejná pravidla, protože vlastně každý poměr můžeme napsat i ve tvaru zlomku. Poměr je v základním tvaru, jso-li jeho členy čísla navzájem nesoudělná. Příklad 1: Poměr 2,4 : 7,2 uveďte do základního tvaru. 2,4 : 7,2 /* 10 24 : 72 /: 8 3 : 9 / : 3 1 : 3 Příklad 2: Následující poměr uveďte do základního tvaru: 2 1 : 3 8 2 3 1 : 8 /* 24 (společný násobek jmenovatelů) 16 : 3 --------------------------------------------------------- Změna čísla v poměru: Změnit dané číslo v poměru, znamená vynásobit toto číslo poměrem ve tvaru zlomku. Příklad 3: Číslo 25 změňte v poměru 7 : 2 5 z 35
7 175 25. = = 87,5 2 2 Výsledné číslo je 87,5. Je-li první člen poměru větší než druhý, jedná se o zvětšení. Je-li první člen poměru menší než druhý, jedná se o zmenšení. ---------------------------------------------------------- Rozdělení čísla v poměru: Pokud máme dané číslo rozdělit v poměru, musíme nejprve jednotlivé členy poměru sečíst. Následně určíme hodnotu jednoho dílu, a to tak že původní číslo dělíme získaným součtem. Na závěr spočteme hodnoty jednotlivých dílů, které vyjadřuje poměr. Příklad 4: Číslo 81 rozdělte v poměru 2 : 7 2 + 7 = 9... počet dílů 81 : 9 = 9... hodnota jednoho dílu 2. 9 = 18... hodnota odpovídající prvnímu členu poměru 7. 9 = 63... hodnota odpovídající druhému členu poměru Dané číslo jsme tedy rozdělili na dvě čísla, a to 18 a 63. Jsou v poměru 2 : 7. ------------------------------------------------------------ Změna postupného poměru na jednoduché poměry: Z každého postupného poměru můžeme vytvořit jeden nebo více poměrů jednoduchých. Příklad 5: Je dán postupný poměr 2 : 5 : 7. Vytvořte z něj alespoň dva poměry jednoduché. Vybereme kterékoliv dva členy poměru - tedy např. 2 : 5 a 2 : 7 Změna jednoduchých poměrů na postupný: Máme-li dva nebo více poměrů jednoduchých, můžeme z nich vždy vytvořit poměr postupný. Příklad 6: Jsou dány jednoduché poměry 2 : 7 a 3 : 8. Vytvořte z nich jeden poměr postupný. 6 z 35
Jednoduché poměry musíme nejprve upravit rozšířením nebo krácením tak, aby jeden z členů měly společný. Tedy např. 2 : 7 /*4 8 : 28 Nyní máme v obou poměrech člen 8 a toho využijeme: 8 : 28 3 : 8 Závěr: Hledaný postupný poměr může být 3 : 8 : 28 ------------------------------------------------------------ Trojčlenka Jak už sám název napovídá, jedná se o výpočet, kde figurují tři členy; přesněji řečeno tři členy známe a čtvrtý budeme počítat. Jedná se o postup, který má obrovské praktické využití, proto ho musí každý bezpečně ovládat. Pokud řešíme příklad pomocí trojčlenky, vždy nejprve sestavíme zápis, a to tak, že stejné veličiny musí být pod sebou a neznámou doporučuji vždy ponechat ve druhém řádku. V dalším kroku rozhodneme, zda jsou veličiny ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zobrazíme si pomocné šipky. Bez jakéhokoliv dlouhého uvažování tam, kde máme neznámou (ve druhém řádku), uděláme šipku směrem nahoru. Jedná-li se o úměrnost přímou, pak na druhé straně bude šipka stejným směrem (tedy též nahoru) a jedná-li se o úměrnost nepřímou, bude na druhé straně šipka opačným směrem (tedy dolů). Na základě šipek se stavíme výpočet, po jehož vyřešení obdržíme výsledek. Příklad 7: Tři kilogramy pomerančů stojí 66,- Kč. Kolik korun bude stát pět kilogramů pomerančů? 3 kg pomerančů... 66,- Kč 5 kg pomerančů... x Kč (šipky by v tomto případě vedly obě vzhůru) -------------------------------------------------- 5 x = 66. = 110 3 x = 110,- Kč Pět kilogramů pomerančů bude stát 110,- Kč. Příklad 8: Pět zaměstnanců postaví přístřešek za 7 dní. Kolik zaměstnanců musíme na práci přibrat, má-li stavba být hotova už za 4 dny? 5 zaměstnanců... 7 dní x zaměstnanců... 4 dny (šipky by v tomto případě vedly vlevo vzhůru a vpravo dolů) ------------------------------------------------- 7 x = 5. 4 = 8,75 7 z 35
x = 8,75 zaměstnance 8,75-5 = 3,75 Přibrat bychom tedy měli 3,75 zaměstnance, což znamená z praktických důvodů, že musíme přibrat ještě 4 zaměstnance. ------------------------------------------------------------ Složená trojčlenka Jedná se vlastně o dva nebo více výpočtů spojených do jednoho. Místo použití složené trojčlenky můžeme většinou bez problémů použít dvakrát nebo vícekrát za sebou trojčlenku obyčejnou. Příklad 9: Šest dělníků opracuje za 5 směn 1020 součástek. Za jak dlouho opracuje 10 dělníků 2000 součástek při stejném výkonu? 6 dělníků... 5 směn... 1020 součástek 10 dělníků... x směn... 2000 součástek ------------------------------------------------------------------------------ Střední šipka - bez uvažování směrem vzhůru. Pak musíme rozhodnout, zda okrajové veličiny jsou s veličinou střední postupně ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zde vychází u levé veličiny šipka dolů a u pravé šipka vzhůru. 6 2000 x = 5.. = 5,9 10 1020 x = 5,9 směny (přibližně) Deset dělníků opracuje 2000 součástek zhruba za 5,9 směny. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Procvičovací příklady: Otázka č.: 1 6 dělníků by vykonalo práci za 30 dnů. Práce má být hotová za 20 dnů. Kolik dělníků se musí na práci přibrat? Otázka č.: 2 K upečení bábovky ze 4 vajec je potřeba 16 dkg tuku, 24 dkg mouky, 20 dkg cukru. Kolik dkg tuku, mouky a cukru je potřeba na upečení bábovky ze 3 vajec? Otázka č.: 3 Tři stejně výkonní sklenáři opravili okna školní budovy za 32 hodin. Za kolik hodin by tuto opravu provedli čtyři stejně výkonní sklenáři? Otázka č.: 4 120 kg pomerančů se má rozdělit na dvě části tak, aby byly v poměru 12,6:9. Určete hmotnosti obou částí. Otázka č.: 5 Dva stroje vyrobí za 50 hodin 2 000 výrobků. Kolik strojů potřebujeme přikoupit, abychom za 30 hodin vyrobili 15 000 výrobků? Otázka č.: 6 Tři stejně výkonná čerpadla naplní nádrž za 72 minut. Za kolik minut se naplní nádrž osmi stejně výkonnými čerpadly? Otázka č.: 7 8 z 35
Počet žáků, kteří do školy dojíždějí, k počtu žáků, kteří docházejí pěšky, je dán poměrem 2:7. a) kolik žáků má škola, když dojíždějících je 96 b) kolik procent žáků školy dojíždí (zaokrouhlete na jedno desetinné místo). Otázka č.: 8 Na záhonu kvetou bílé a žluté narcisy. Bílých je o 12 více než žlutých. Poměr počtu bílých a počtu žlutých je 7:4. Kolik kvete na záhonu narcisů celkem? Otázka č.: 9 4,5 kg jablek stojí 81 Kč. Kolik stojí 2,5 kg? Otázka č.: 10 Jestliže píce vystačí 300 kusům dobytka na dva týdny, kolika kusům vystačí na tři týdny? Otázka č.: 11 Šest strojů zpracuje zásobu materiálu za 15 směn. Za kolik směn zpracuje tuto zásobu materiálu osm stejných strojů? Otázka č.: 12 Za 0,75 hodiny se vyfrézuje 36 zubů. Kolik minut trvá vyfrézování 50 zubů? Otázka č.: 13 Číslo 40 rozdělte v poměru 3:5. Otázka č.: 14 Na plánu v měřítku 1 : 2 500 je zanesen pozemek tvaru obdélníka o rozměrech 2 cm, 4 cm. Vypočtěte, kolik hektarů je výměra pole. Otázka č.: 15 Na plánu města zhotoveném v měřítku 1 : 1 500 má parcela tvaru lichoběžníku délku základen 40 mm a 56 mm a výšku 30 mm. Vypočtěte skutečnou výměru této parcely. Otázka č.: 16 Jaká je výměra obdélníkové zahrady, když plot kolem celé zahrady měří 160 m a sousední strany jsou v poměru 3 : 2? Otázka č.: 17 Rodina Novákova měla roční spotřebu cukru 60 kg. Rozhodla se ji v následujícím roce snížit v poměru 5:8. Skutečná spotřeba však činila 45 kg. O kolik procent byla plánovaná spotřeba překročena? Otázka č.: 18 Barva se míchá s ředidlem v poměru 5:2. Kolik bude potřeba barvy a kolik ředidla, má-li být výsledné směsi 1,4 litru? Otázka č.: 19 Počet odpracovaných hodin dvou dělníků při stejné hodinové mzdě byl v poměru 5:7. Vypočtěte, kolik každý z nich dostal po 15% srážce daně, jestliže hrubá mzda pro oba dělníky činí 6 960 Kč. Otázka č.: 20 Na těleso působí dvě navzájem kolmé síly F 1, F 2, které jsou v poměru 3:4. Menší síla (F 1) má velikost 12 N. Najděte výslednici F početně i graficky. Otázka č.: 21 Směs s bodem tuhnutí -32 C můžeme připravit smísením vody, lihu a glycerínu v poměru objemů 4,3 : 4,2 : 1,5. Kolik vody a lihu je třeba přidat ke 4,5 litrům glycerínu, aby vznikla směs s daným bodem tuhnutí? Otázka č.: 22 9 z 35
Šest lidí splní určitý úkol za 12 hodin. Kolik času by potřebovalo na tuto práci 9 lidí? Otázka č.: 23 Jestliže la'b'l :l ABl = 2:3 a délka úsečky AB je 24 cm, pak velikost úsečky A'B' bude a) 12 cm b) 36 cm c) 16 cm d) 18 cm Otázka č.: 24 Číslo 6 zvětšete tak, aby bylo s hledaným číslem v poměru 3 : 7. Otázka č.: 25 Čtyři dělníci vyhloubí příkop za 18 dní. Kolik dělníků musíme přidat do pracovní skupiny, aby byl příkop hotov už za 12 dní? Otázka č.: 26 Zemědělské družstvo zaselo na 192 ha oves, ječmen, žito a pšenici v poměru 1 : 1,4 : 1,8 : 2,2. Kolik hektarů každého druhu obilí zaseli? Otázka č.: 27 Plán má měřítko 1 : 2 500. Jakými rozměry bude na plánu zakreslena ovocná zahrada, má-li ve skutečnosti délku 425 m a šířku 240 m? Opakování učiva 1. ročníku - Úpravy celistvých výrazů Mezi zápisy s číselnými proměnnými patří: výrazy výrokové formy výroky s kvantifikátory Po dosazení přípustných proměnných hodnot do: výrazu... dostaneme číslo výrokové formy... dostaneme výrok do výroků s kvantifikátory... nemá smysl dosazovat číselné hodnoty Rovnost a úpravy výrazů Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací. Ke každému výrazu obsahujícím proměnné přísluší zápis, jaký je obor jednotlivých proměnných - tzv. definiční obor výrazů. O dvou výrazech s týmiž proměnnými říkáme, že jsou si rovny v dané množině, platí-li: a) do obou výrazů lze na místo proměnných dosadit symboly všech prvků množiny M b) oba výrazy dávají pro stejné hodnoty proměnných stejné výsledky Přehled důležitých vzorců: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A - B) 2 = A 2-2AB + B 2 (A - B).(A + B) = A 2 - B 2 10 z 35
(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3-3A 2 B + 3AB 2 - B 3 A 3 - B 3 = (A - B).(A 2 + AB + B 2 ) A 3 + B 3 = (A + B).(A 2 - AB + B 2 ) Celistvé výrazy - procvičovací příklady 1. Umocněte: (10-2a) 2 388 2. Vypočtěte: (4a 2 b + 5a 3 b 2 ) 2 = 381 3. Výraz (3k - 2) 2-4k(2k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením k = 3 397 4. Rozložte v součin výraz: 9s 2 v 2-4r 2 v 2-9u 2 s 2 + 4u 2 r 2 Správnost ověřte dosazením u=-1, v=2, s=1, r=0 398 5. Upravte: (2x - 0,2y). (2x + 0,2y) 395 6. Rozložte na součin: x 2-2xy + y 2 - x + y 399 7. Vypočtěte: 406 15,1 ( 2) 3 + 6,3 : ( 0,7) [(2,5 3,7) : 4 625 + 15,1] 8. Doplňte: (? - 3) 2 = 16x 2 -? +? 400 9. Zjednodušte výraz 2x - [5x - 2(x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtu ověřte dosazením za x = -3 380 10. Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+2 a x-1 386 11 z 35
11. Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost (... + 3y) 2 = 4x 2 +... +... 384 12. Rozložte na součin: a 2 + 2ab + b 2 c 2 409 13. Výraz -(-2x + 1) 2 se po úpravě rovná čemu? 405 14. Upravte: (2x-5) 2 - (2x-3).(5x+2) 401 15. Upravte daný výraz 3x 2 y-{xyz-(2yz-x 2 z)-4x 2 z+[3x 2 y-(4xyz-5x 2 z)]}. Výsledek ověřte dosazením pro x=1, y=-1, z=0 402 16. Rozložte na součin výraz: 18xy 2-21x 2 y 383 17. Výraz K = 16a 2 a 4 x 2 rozložte na součin aspoň tří činitelů 408 18. Rozložte na součin: (2m - 1).5x 8.(2m - 1) 390 19. Rozložte na součin: 4x 2 (y 2 z 2 ) + 25v 2 (z 2 y 2 ) 382 20. Výraz 4k 2 - (2k + 1) 2-4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením za k = 3 385 21. Upravte: (1,2x 2-0,3y) 2 394 22. Vypočtěte součin výrazů x+2 a x-1 392 23. Upravte: a 2. 3b 2ȧb.2b2 a 3. 4b 4 396 24. Vypočtěte rozdíl výrazů x+2 a x-1 391 12 z 35
25. Vypočtěte bez použití kalkulátoru: 14 22 ( 3) 2 + 6,4 : ( 0,8) 1 4 : 1 2 (1,8 2,9) 410 26. Zjednodušte výraz: (2h - 5s)(2h + 5s) - (2h + 5s) 2 387 27. Zjednodušte a ověřte dosazením za x = -2 8x - [2x 6.(x - 1) 2 + 2] - (3x 2-5x).2 407 28. Rozložte na součin: 4 x 2 389 29. Upravte: [(a 2 b 3 ) 3 ] 2 393 30. Rozložte na součin výrazy: a) 2x 2-4xy+2y 2 b) 5t-2tm-10m+25 404 31. Vypočítejte: (3 - x) 2-3(x 2-3) + (-2x) 2 403 Opakování učiva 1. ročníku - Úpravy lomených výrazů Lomený algebraický výraz je takový výraz, který má ve jmenovateli proměnnou. U každého lomeného výrazu musíme stanovit jeho definiční obor, neboli určit tzv. podmínku řešitelnosti (tj. podmínku, při jejímž splnění má výraz smysl). Př.: ax + b cx + d Jedná se o lomený výraz, který je definován pro všechna reálná čísla, s výjimkou x = -d/c (v tom případě by totiž byl jmenovatel roven nule a nulou nemůžeme dělit). Zapisujeme tedy: x -d/c Lomené výrazy můžeme rozšiřovat nebo krátit. Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Lomené výrazy též můžeme pomocí rozšíření nebo krácení upravit tak, aby měly zadaného jmenovatele, příp. výjimečně používáme i takovou úpravu, aby měly zadaného čitatele. 13 z 35
Lomený výraz je v základním tvaru, jestliže už ho dále nelze krátit. Lomený výraz je roven nule, jestliže je roven nule jeho čitatel. Lomené výrazy sčítáme tak, že je převedeme na společného jmenovatele a součet čitatelů takto vzniklých lomených výrazů lomíme společným jmenovatelem. Pozn.: Analogické je odčítání lomených výrazů Lomené výrazy násobíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. Výsledek uvedeme do základního tvaru. Pozn.: Krátit můžeme i před vynásobením zadaných výrazů, a to tak, že krátíme kteréhokoliv čitatele proti kterémukoliv jmenovateli. Lomený výraz násobíme celistvým výrazem tak, že násobíme tímto celistvým výrazem čitatele výrazu lomeného. Lomený výraz dělíme lomeným výrazem tak, že první lomený výraz násobíme převrácenou hodnotou lomeného výrazu druhého. Pozn.: Převrácenou hodnotu lomeného výrazu vytvoříme tak, že zaměníme jeho čitatele se jmenovatelem. Pozn.: Opačný výraz k lomenému výrazu vytvoříme tak, že před zlomkem změníme znaménko. Složený lomený výraz je takový výraz, kde základní lomený výraz má v čitateli nebo ve jmenovateli nebo i v čitateli i ve jmenovateli další lomený výraz. Složený lomený výraz řešíme tak, že součin vnějších členů lomíme součinem členů vnitřních. Pozn.: Vnitřní členy jsou ty, které jsou blíže k hlavní zlomkové čáře; vnější členy jsou od ní naopak dále. Pozn.: Složený lomený výraz můžeme řešit i tak, že hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a celý příklad poté řešíme jako podíl dvou lomených výrazů. Lomené výrazy - procvičovací příklady 1. 418-1,7 14 z 35
2. 422 3. 421 4. 425 5. 424 15 z 35
6. 419 7. 423 8. 420 9. 416 10. 417 16 z 35
Opakování učiva 1. ročníku - Rovinné útvary Rovinné útvary - procvičovací příklady Otázka č.: 1 Úhlopříčky kosočtverce měří 8 cm a 6 cm. Vypočítejte stranu kosočtverce. Otázka č.: 2 Pozemek kolem domu má tvar obdélníka. Jeho délka je čtyřikrát větší než jeho šířka, šířka měří 8,5 m. Kolik Kč stála barva na plot kolem celého pozemku, vystačí-li 1 kg barvy po 56 Kč na natření 17 m plotu? Otázka č.: 3 V trojúhelníku je â:ß = 1:2, ß:ę = 10:3. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníka. Výpočet ověřte zkouškou. Otázka č.: 4 Kosočtverec má výšku v = 48 cm a kratší úhlopříčku u = 60 cm. Určete jeho obsah. Otázka č.: 5 Drát délky 1,2 m ohneme do tvaru obdélníka tak, aby jeho strany byly v poměru 1:2. Vypočtěte délky stran obdélníka a určete obsah obdélníka a) v m~ b) v cm~. Otázka č.: 6 Drát délky 1,2 m ohneme do tvaru obdélníka tak, aby jeho strany byly v poměru 1:2. Vypočtěte délku delší strany obdélníka v metrech. Otázka č.: 7 Uprostřed čtvercového pozemku se stranou délky 30 m je kruhový květinový záhon o průměru 200 dm, na zbytku pozemku je trávník. Vypočítejte, kolik procent z celkové plochy zabírá květinový záhon. Otázka č.: 8 Záhonek tvaru obdélníka má rozměry 6 m a 10 m. Kolik kusů dlaždic o straně 50 cm je třeba na chodník šířky 1 m, který vede těsně kolem okraje celého záhonu? Otázka č.: 9 Obvod obdélníka je 56 m. Určete délky jeho stran, jsou-li v poměru 3:7 Proveďte zkoušku. Otázka č.: 10 Určete obsah kosočtverce, je-li jeho obvod 21,6 cm a jeho výška je 4,5 cm. Otázka č.: 11 Určete velikost úhlu ASD v kosočtverci ABCD, jehož obvod je 21,6 cm a výška je 4,5 cm. S je průsečík úhlopříček kosočtverce. Otázka č.: 12 Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny 6 cm a 8 cm. Vypočítejte velikost nejmenší výšky v trojúhelníku. 17 z 35
Otázka č.: 13 Vypočítejte velikost vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC, jestliže platí: ß : â : ę = 6 : 11 : 3 Otázka č.: 14 Určete obsah kruhu vepsaného čtverci o straně 2 cm. Otázka č.: 15 Kolo automobilu má průměr 62 cm. Kolikrát se kolo otočí na dráze 8 km? Otázka č.: 16 Vypočtěte obsah rovnoramenného trojúhelníka, jehož základna má délku 10 cm a rameno je o 3 cm delší než základna. Otázka č.: 17 Rovnostranný trojúhelník KLM má výšku 10 cm. Vypočítejte jeho obsah. Otázka č.: 18 Kosočtverec má úhlopříčky e = 96 cm, f = 40 cm. Určete velikost strany kosočtverce. Otázka č.: 19 Který útvar má větší obvod - čtverec o straně 2 m nebo obdélník o stranách 3 m a 1 m? Zdůvodněte. Mají oba útvary stejný obsah? Otázka č.: 20 Čtvercové hřiště má obvod 125 m. Jaký má obsah? Otázka č.: 21 Jeden z vnitřních úhlů rovnoramenného trojúhelníka je dvakrát větší než druhý. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníka. Otázka č.: 22 Určete výpočtem zda trojúhelník ABC je ostroúhlý nebo tupoúhlý, je-li úhel â = 42 37', ß = 35 28'. Otázka č.: 23 Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, żbad = żadc = R, AB =13 cm, CD =5 cm, AD =6 cm. Vypočítejte délku strany BC a obsah lichoběžníka ABCD. Otázka č.: 24 Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, żbad = żadc = R, AB =13 cm, CD =5 cm, AD =6 cm. Vypočítejte obsah lichoběžníka ABCD. Otázka č.: 25 Je dán obdélník ABCD, v němž je BC = 12 cm a úhlopříčka měří 15 cm. Na straně AB vyznačte bod R tak, že RC = 13 cm. Určete, o kolik procent je obsah trojúhelníka ARC menší, než obsah obdélníka ABCD. Otázka č.: 26 Narýsujte čtverec, který má obvod 30 cm. Vypočtěte jeho obsah. Otázka č.: 27 Obvod obdélníka je 28 cm, délka je o 2 cm větší než jeho šířka. Určete délku 18 z 35
úhlopříčky tohoto obdélníku. Otázka č.: 28 Určete obvod zahrady obdélníkového tvaru, jejíž úhlopříčka má délku 50 m a jedna strana délku 30 m. Otázka č.: 29 Jestliže délku strany zvětšíme o jednu třetinu, zvětší se obvod čtverce o 18 cm. Vypočtěte délku strany čtverce. Otázka č.: 30 Obvod trojúhelníka je 90 cm. Strana b je o 3 cm delší než strana a a strana c je o 24 cm kratší než strana b. Určete délky stran trojúhelníka. Jako výsledek napište délku strany c. Otázka č.: 31 Obvod obdélníka je 12,4 cm, délka obdélníka je 37 mm. Vypočítejte jeho šířku. Otázka č.: 32 Obvod čtvercové parcely v zahrádkářské kolonii je 112,8 m. Vypočítejte její obsah. Otázka č.: 33 Vypočítejte obsah rovnostranného trojúhelníka, jehož obvod je 72 cm. Opakování učiva 1. ročníku - Goniometrické funkce Goniometrické funkce - procvičovací příklady, slovní úlohy Příklad 1: V pravoúhlém trojúhelníku s pravým úhlem při vrcholu C je strana c = 8 cm, a = 5 cm. Vypočti velikosti ostrých úhlů trojúhelníka. Příklad 2: V pravoúhlém trojúhelníku OPQ s pravým úhlem při vrcholu Q je strana p = 5 cm, velikost úhlu QOP rovna 35 10. Vypočti délku odvěsny o. Příklad 3: V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je dáno: b = 30 cm, vnitřní úhel při vrcholu B je 67. Vypočti délku odvěsny a. Příklad 4: Nejvyšší přípustné stoupání silnic je dáno poměrem 1:18. Pod jakým největším úhlem může silnice stoupat? Příklad 5: Přímá železniční trať stoupla na vzdálenost 100 m (měřeno ve vodorovné poloze) o 1,4 m. Vypočítej velikost úhlu stoupání. Příklad 6: 19 z 35
Stavební materiál byl na stavbu dopravován transportérem dlouhým 10 m pod úhlem 20. Do jaké výšky byl stavební materiál dopravován? Příklad 7: Tělesová úhlopříčka kvádru je dlouhá 9,7 m a s podstavnou úhlopříčkou svírá úhel 42. Vypočti výšku kvádru. Příklad 8: Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB, platí-li: a = 24 cm, c = 30 cm. Příklad 9: Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB, platí-li: Vnitřní úhel při vrcholu A je 48 30, starana c = 3,2 m. Příklad 10: Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB, platí-li: Vnitřní úhel při vrcholu A je 63 10, starana a = 6,7 m. Příklad 11: V pravoúhlém trojúhelníku ABC je dána délka přepony c = 6,9 m a velikost vnitřního úhlu při vrcholu A je 34. Vypočti délky obou odvěsen. Příklad 12: V pravoúhlém trojúhelníku EFG jsou dány délky odvěsen e = 10,4 cm a f = 6,8 cm. Vypočti velikosti vnitřních ostrých úhlů tohoto trojúhelníku. Příklad 13: Délka a šířka obdélníku jsou v poměru 8:5. Jak velké úhly svírá úhlopříčka tohoto obdélníku s jeho stranami? Příklad 14: Úhlopříčka obdélníkového půdorysu chyta je dlouhá 10 m a skratší stranou půdorysu svírá úhel 60. Vypočti obsah půdorysu chaty. Příklad 15: Vypočti obsah kosočtverce ABCD, je-li tangens úhlu ABD roven 15 a délka úhlopříčky e = 4 cm. Příklad 16: Profil příkopu je rovnoramenný lichoběžník se základnami o délce 80 cm a 60 cm. Sklon boční stěny příkopu je 80. Vypočti hloubku příkopu. Příklad 17: Průměr podstavy válce je 36 cm. Velikost úhlu, který svírá úhlopříčka osového řezu s výškou válce, je 30. Vypočti povrch válce. Příklad 18: V rovnoramenném trojúhelníku XYZ je dána délka jeho základny z = 9 cm a velikost úhlu XYZ je 50 10. Vypočti obsah tohoto trojúhelníka. Příklad 19: V kosočtverci ABCD je úhlopříčka e = 24 cm a velikost úhlu SAB je 28, kde S je průsečík úhlopříček. Vypočtěte obvod kosočtverce. 20 z 35
Stereometrie - vzájemné polohy prostorových útvarů Stereometrie Stereometrie je prostorová geometrie; zabývá se prostorovými útvary - tělesy. Vzájemná poloha přímek v prostoru Přímky v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů) různoběžné (mají právě jeden společný bod); zvláštním případem různoběžných přímek jsou přímky, které jsou na sebe kolmé. mimoběžné (nemají žádný společný bod, ale nejsou rovnoběžné) Vzájemná poloha rovin v prostoru Roviny v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod a vzdálenost obou rovin v kterémkoliv místě je vždy stejná) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů a kterákoliv z obou rovin je vždy podmnožinou roviny druhé) různoběžné (mají nekonečně mnoho společných bodů, které vytvářejí přímku, zvanou průsečnice rovin); zvláštním případem různoběžných rovin jsou dvě roviny, které jsou na sebe kolmé. Stereometrie - kvádr, krychle, hranol Krychle Krychle je prostorové těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami a dvanácti hranami. Důležité vzorce: S = 6.a 2... S je povrch krychle, a je hrana krychle V = a 3... V je objem krychle, a je hrana krychle u s = a. 2... u s je stěnová úhlopříčka, a je hrana krychle u t = a. 3... u t je tělesová úhlopříčka, a je hrana krychle Kvádr Kvádr je těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami, z nichž každé dvě protější jsou shodné a dvanácti hranami, z nichž zpravidla čtyři jsou vždy shodné. Důležité vzorce: 21 z 35
Použité veličiny: a, b, c... délky hran kvádru S... povrch tělesa V... objem tělesa u s... stěnová úhlopříčka u t... tělesová úhlopříčka Zkratka CZ značí tzv. cyklickou záměnu, což představuje záměnu hran v odpovídajícím pořadí. S = 2.(ab + ac + bc) V = a.b.c u s = (a 2 +b 2 )... CZ u t = (a 2 +b 2 +c 2 ) Pozn.: Zvláštním případem je kvádr se čtvercovou podstavou Pokud budeme uvažovat a = b, pak vzorce budou v následující podobě: S = 2a 2 + 4ac V = a 2.c u s = a. 2 (pro podstavu) nebo u s = (a 2 +c 2 ) (pro boční stěnu) u t = (2a 2 +c 2 ) Hranol Hranol je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými podstavami, které mohou mít tvar libovolného n-úhelníku, a pláštěm, který tvoří n obecně různých obdélníků. Pozn.: Pokud n-úhelník tvořící podstavu má všechny strany stejně dlouhé, pak nazýváme hranol pravidelný. V tomto případě plášť tvoří shodné obdélníky. Pozn.: Pokud má hranol kteroukoliv boční hranu kolmou k rovině podstavy, nazýváme ho hranol kolmý. Budeme se zabývat v dalších výpočtech pouze komými hranoly. Důležité vzorce: S = 2.S p + S Q V = S P. v... S P je obsah podstavy, S Q je obsah pláště... S P je obsah podstavy, v je výška tělesa Uvedené vzorce musíme vždy konkretizovat pro konkrétní zadané těleso. Kvádr, krychle, hranol - ukázkové příklady 22 z 35
1. Je dána krychle o hraně 5,4 cm. Vypočtěte její tělesovou úhlopříčku. Návod: a = 5,4 cm u t =? -------------------------------- u t = a. 3 u t = 5,4. 3 u t = 9,4 cm (přibližně) Tělesová úhlopříčka krychle má délku asi 9,4 cm. 2. V akváriu tvaru kvádru o rozměrech dna 25 cm a 30 cm je 13,5 litru vody. Vypočtěte, do jaké výšky voda sahá. Návod: a = 25 cm = 2,5 dm b = 30 cm = 3,0 dm V = 13,5 l = 13,5 dm 3 c =? --------------------------------- V = a.b.c 452 453 c = V a. b c = 13,5 2,5.3,0 c = 1,8 dm = 18 cm Voda v akváriu sahá do výšky 18 cm. 3. Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,25 m. Vypočtěte jeho objem. Návod: a = 3 cm b = 4 cm v = 0,25 m = 25 cm V =? ---------------------------------- 454 V = S p.v a. b V =. v 2 V = 150 cm 3 Objem hranolu je 150 cm 3. Kvádr, krychle, hranol - procvičovací příklady 23 z 35
1. Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou6 cm. Obsah největší stěny pláště je 120 cm 2 a výška hranolu je 12 cm. Vypočítejte objem tělesa. 288 cm 3 464 2. Povrch kvádru je 1 008 cm 2. Šířka kvádru je o 20% menší než jeho délka, výška kvádru je o 50% větší než jeho délka. Vypočtěte rozměry kvádru a objem kvádru. 2 074 cm 3 3. Hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníka. Přepona tohoto trojúhelníka měří 15 cm, jedna odvěsna 12 cm. Objem hranolu je 1,512 dm 3. Vypočítejte výšku hranolu a jeho povrch. Výška 28 cm, povrch 1 116 cm 2 467 457 4. Z dřevěné válcové klády poloměru 15 cm a délky 5 m o hustotě 750 kg/m 3 byl otesán trám o tloušťce 18 cm s největším možným obdélníkovým průřezem. Vypočítejte hmotnost trámu a počet % odpadlého materiálu. 162 kg, 39 % 5. Kolik tun slámy lze v prostoru pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého, kde výška trojúhelníkového štítu je 350 cm, uskladnit, je-li hmotnost 1 m 3 lisované slámy 100 kg a prostor je možno zaplnit pouze na 75%? 15,75 t 6. Kvádr má rozměry a = 3 cm, b = 6 cm, c = 8 cm. Vypočtěte velikost největší stěnové úhlopříčky. 10 cm 7. Objem trojbokého kolmého hranolu je 1 248 cm 3. Jeho podstavou je rovnoramenný trojúhelník, který má rameno délky 13 cm a výšku na základnu 5 cm. Vypočtěte tělesovou výšku hranolu. 20,8 cm 8. Nádrž má obdélníkové dno. Délka strany a = 30 dm a úhlopříčky u = 5 m. Za jak dlouho se naplní do výšky 200 cm, je-li přítok 2 l za sekundu? Čas vyjádřete v hodinách a minutách. 3 h 20 min 9. Hranol s kosočtverečnou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm a hranu podstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2:3. Vypočítejte objem hranolu. 18 720 cm 3 10. Nádoba tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou 56 cm byla naplněna po okraj vodou. Do nádoby bylo ponořeno těleso a přitom z nádoby vyteklo 7,5 litru vody. Po vyjmutí tělesa z nádoby poklesla hladina vody v nádobě o 12 cm. Vypočtěte, kolik litrů vody zbylo v nádobě. 27,5 l 463 474 461 471 459 465 456 24 z 35
11. Hranol s kosočtvercovou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm a hranu podstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2:3. Vypočítejte objem a povrch hranolu. Objem 18 720 cm 3 ; povrch 5 016 cm 2 472 12. Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,25 m. Vypočítejte jeho povrch. 312 cm 2 13. Jaký objem má prostor pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého, je-li výška trojúhelníkového štítu v = 350 cm? 210 m 3 14. Bazén má tvar kvádru, jeho dno je čtvercové. Délka strany čtverce je 25 m. V bazénu je 937 500 litrů vody. Do jaké výšky sahá voda? 1,5 m 15. Kolikrát se zvětší objem krychle s hranou 2 dm, jestliže bude hrana 3-krát větší? 27 krát 16. Určete objem a povrch sloupu, který má podstavu tvaru kosočtverce s úhlopříčkami 60 cm a 144 cm. Výška sloupu je 2,5 m. Objem 1,08 m 3 ; povrch 8,7 m 2 17. Rozměry kvádru jsou v poměru 2:3:6. Jeho tělesová úhlopříčka má délku 14 cm. Určete jeho povrch a objem. 288 cm 3 18. Těleso tvaru kvádru s podstavou obdélníka (24 cm, 12 cm) bylo naplněno vodou do výšky 20 cm. Vypočítejte objem tělesa ponořeného do vody, jestliže voda stoupne o 3 cm. 864 cm 3 458 473 469 468 470 460 455 19. Na obdélníkové zahradě o rozměrech 30 m a 16 m napršely 4 mm vody. Kolika desetilitrovým konvím toto množství odpovídá? 192 20. Silniční násep má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníka o základně 16 m a 10 m, ramena délky 5 m. Kolik tun zeminy o hustotě 2 000 kg/m 3 je v náspu o délce 1 km? 104 000 t 466 462 Stereometrie - válec Válec 25 z 35
Válec je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými kruhovými podstavami a pláštěm. Důležité vzorce: S = 2π.r 2 + 2π.r.v S = π d 2 /2+ π.d.v V = π.r 2.v V = π.d 2 /4.v S... povrch tělesa; r... poloměr podstavy, v... výška tělesa d... průměr podstavy V... objem tělesa Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. rotačním válcem, což je takový válec, který může rotovat kolem své osy, která prochází středy obou podstav. Síť válce tvoří obdélník (rozvinutý plášť) a dva kruhy. Válec - ukázkové příklady 1. Na nátěr otevřeného sudu o průměru 60 cm a výšce 85 cm bylo spotřebováno 0,72 l barvy. Kolik barvy je potřeba na 1 m 2, jestliže se sud natíral zvenku i zevnitř? Návod: d = 60 cm = 6 dm v = 85 cm = 8,5 dm V 0 = 0,72 l = 0,72 dm 3 V =? ---------------------------------- 475 Počítáme povrch válce bez jedné podstavy a výsledek musíme vzít dvakrát (dva nátěry): S = πd 2 /2 + 2π.d.v S = 3,14.6 2 /2 + 2.3,14.6.8,5 = 376,8 S = 376,8 dm 2 = 3,77 m 2 (přibližně) V = V 0/S V = 0,72 / 3,77 V = 0,191 l (přibližně) Na nátěr jednoho metru čtverečného sudu se spotřebuje přibližně 0,191 l barvy. 2. Vypočtěte obsah podstavy válce o objemu 62,8 l a výšce 0,5 m. Návod: V = 62,8 l = 62,8 dm 3 v = 0,5 m = 5 dm S p =? ---------------------------------------- 476 V = S p. v S p = V / v S p = 62,8 / 5 S p = 12,56 dm 2 Obsah podstavy válce je 12,56 dm 2. 26 z 35
Válec - procvičovací příklady 1. Kolik litrů vody za sekundu může maximálně odvádět koryto, které má průřez půlkruh o poloměru 0,5 m, je-li rychlost proudu 80 cm za sekundu? Koryto může odvádět maximálně 314 litrů vody za sekundu. 2. Kolik kilogramových plechovek ekologické barvy je třeba koupit k nátěru padesáti dvousetlitrových otevřených sudů na vodu, jejichž průměr je 60 cm? Výrobce udává, že 1 kg barvy vystačí na plochu o obsahu 5 m 2. Je zapotřebí 33 plechovek. 3. V nádrži tvaru válce o průměru 6 m je 942 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaká je hloubka nádrže? Hloubka nádrže je 5 m. 4. Kanystr tvaru válce s průměrem 28,22 cm a výškou 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do jiného kanystru tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou jako má válec. Jaký je obsah podstavy kvádru, je-li po přelití vody také plný? Obsah podstavy kvádru je 625 cm 2. 5. Při nátěru otevřeného sudu zvenku i zevnitř se spotřebuje 0,191 litru barvy na 1 m 2. Sud má poloměr 30 cm a výšku 85 cm. Kolik barvy se na nátěr sudu spotřebuje? Na nátěr sudu se spotřebuje 0,72 litru barvy. 6. Vypočtěte výšku válce o objemu 62,8 litru, je-li obsah podstavy 12,56 dm 2. Výška válce je 5 dm. 7. V nádrži tvaru válce o poloměru 3 m je 942 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaký je objem celé nádrže? 1 413 hl 8. Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Do jaké výše naplníme nádobu vodou, chceme-li ji zaplnit ze 30%? Nádobu naplníme do výše asi 0,6 dm. 9. Kanystr tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu o délce podstavné hrany 25 cm a výšce 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do válce o stejné výšce. Jaký průměr má válec, jestliže je také plný? Válec má průměr 28,2 cm. 10. Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Kolik celých litrů vody můžeme nejvýše nalít do nádoby? Do nádoby můžeme nalít maximálně 100 litrů vody. 478 477 482 497 495 496 498 480 481 479 27 z 35
Stereometrie - jehlan Jehlan Jehlan je prostorové těleso, které je tvořeno podstavou tvaru libovolného n-úhelníka a dále navíc jedním vrcholem, který nazýváme hlavní. U jehlanu, podobně jako u dalších prostorových těles, počítáme povrch a objem. V = S p.v/3 S = S p + S Q Podstava je tvořena n-úhelníkem, plášť několika trojúhelníky, které mohou být i shodné. Shodné jsou tehdy, jestliže podstava je tvořena pravidelným n-úhelníkem. V tomto případě pak jehlan nazýváme pravidelný. Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. kolmými jehlany, což jsou takové, které mají výšku kolmou k podstavě. Jehlan, který má za podstavu trojúhelník, nazýváme čtyřstěn. Význam má hlavně pravidelný čtyřstěn, který má podstavu i všechny stěny pláště shodné. Jehlan - ukázkové příklady 28 z 35
1. Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu o hraně podstavy 8,4 m a výšce tělesa 6,5 m, stojí-li 1 kg barvy 63 Kč a z jednoho kilogramu natřeme 12 m 2. Zaokrouhlete na stovky. Návod: 484 a = 8,4 m v = 6,5 m m 0 = 1 kg c 0 = 63 Kč S 0 = 12 m 2 c =? -------------------------------------------- Je zapotřebí spočítat obsah pláště, proto musíme nejprve spočítat stěnovou výšku po dosazení dostáváme v a = 7,74 m (přibližně) S = 4. a.va/2 = 2a.va S = 2. 8,4.7,74 S = 130 m 2 (přibližně) c = S/S0.c0 c = 130/12.63 c = 682,5 Kč, což je přibližně 700 Kč Natření stříšky bude stát přibližně 700 Kč. 29 z 35
2. Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je 72,0 cm 3. Výška jehlanu se rovná délce podstavné hrany. Vypočítejte délku podstavné hrany a povrch jehlanu. Návod: V = 72,0 cm 3 v = a =? S =? --------------------------------------------- V = S p.v/3 V = a 3 /3 483 Po dosazení: a = 6 cm Stěnová výška v a: Po dosazení: v a = 6,71 cm (přibližně) Obsah jedné stěny: S 1 = a.v a/2 Obsah pláště: S Q = 4.S 1 = 2.a.v a Povrch jehlanu: S = S P + S Q = a 2 + 2.a.v a Po dosazení: S = 6 2 + 2.6.6,71 S = 116,5 cm 2 (přibližně) Hrana jehlanu má délku 6 cm a povrch tělesa je 116,5 cm 2. Jehlan - procvičovací příklady 1. Pobočné hrany o délce 1 dm čtyřbokého jehlanu mají od obdélníkové podstavy odchylku 58 34. Obsah podstavy je 20 cm 2. Jak velká je tělesová výška jehlanu? Tělesová výška jehlanu je asi 8,53 cm. 488 2. Plášť pravidelného čtyřbokého jehlanu je čtyřikrát větší než podstava. Podstavná hrana má délku 1 dm. Určete tělesovou výšku jehlanu. Tělesová výška jehlanu je asi 1,94 dm. 487 3. Vypočtěte povrch a objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má všechny hrany stejně dlouhé, je-li poloměr kružnice opsané podstavě 4 cm. Objem jehlanu je asi 42,7 cm 3, povrch asi 87,5 cm 2. 485 4. Ve čtyřbokém kolmém jehlanu jsou dány podstavné hrany a1 = 20 cm, a2 = 8 cm a tělesová výška v = 17 cm. Vypočtěte velikost pobočné hrany. Délka pobočné hrany je asi 20,1 cm. 486 30 z 35
5. Vypočtěte objem čtyřbokého jehlanu s lichoběžníkovou podstavou, je-li a = 7 cm, c = 4 cm, va = 3 cm, v = 12 cm. Objem jehlanu s lichoběžníkovou podstavou je 66 cm 3. 490 6. Vypočtěte objem pravidelného šestibokého jehlanu, který má hranu podstavy dlouhou 6 cm a výšku tělesa dlouhou 8 cm. Objem jehlanu je asi 374,4 cm 3. 7. Vypočtěte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má boční hranu dvakrát delší než je hrana podstavy, je-li poloměr kružnice opsané podstavě 6 cm. Objem čtyřbokého jehlanu je asi 381,5 cm 3. 8. Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřstěnu s podstavou o obsahu 20 m 2, stojí-li natření jednoho metru čtverečního 5,25 Kč? Natření střechy bude stát 315 Kč. 535 532 533 9. Vypočtěte objem pravidelného trojbokého jehlanu, je-li a = 17 cm, v = 35 cm. Objem pravidelného trojbokého jehlanu je asi 1 460 cm 3. 491 10. Vypočti povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, má-li hranu podstavy 4 cm a pobočnou hranu dlouhou 15 cm. Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu je asi 135 cm 2. 493 11. Žulový obelisk o výšce 18 m a stranou čtvercové podstavy 0,8 m se má ustavit na místo jeřábem. Jakou minimální nosnost musí jeřáb mít? Hustota žuly se počítá 2 800 kg/m 3. Jeřáb musí mít minimální nosnost 11 tun. 492 12. Vypočti povrch jehlanu s obdélníkovou podstavou, je-li a = 10 cm, b = 8 cm a tělesová výška je 15 cm. Povrch jehlanu je 362 cm 2. 534 13. Vypočtěte objem pravidelného osmibokého jehlanu, jestliže hrana podstavy má délku 3 cm a výška tělesa je 9 cm. Objem pravidelného osmibokého jehlanu je asi 130,3 cm 3. 489 14. Vypočti povrch jehlanu s obdélníkovou podstavou, je-li a = 16 cm, b = 12 cm, h = 20 cm, kde a, b jsou hrany podstavy a h je pobočná hrana. Povrch jehlanu je asi 714 cm 2. 494 Stereometrie - kužel Kužel je prostorové těleso, které je tvořeno jednou podstavou a pláštěm. Podstava má tvar kruhu, plášť, kdybychom ho rozvinuli do roviny, bude mít tvar kruhové výseče. 31 z 35
r... poloměr podstavy v... výška kužele V... hlavní vrchol s... strana kužele Vzhledem k tomu, že výše zobrazený kužel může rotovat kolem své výšky, nazýváme tento typ kužele rotační kužel. Budeme se zabývat právě takovými kuželi. U kužele počítáme, podobně jako u dalších těles, povrch a objem. Pozn.: Někdy se také kužel definuje jako těleso, které vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníka kolem jedné z jeho odvěsen. Důležité vzorce: 1 2 1 2 V = π. r. v V = π. d. v 3 12 S = π. r 2 + π. r. s 1 S = 1 π. d 2 + π. d. s 4 2 S... povrch tělesa V... objem tělesa d... průměr podstavy Kužel ukázkové příklady 32 z 35
1. Jak velký objem by měl kužel, který by vznikl rotací rovnoramenného trojúhelníku s úhlem při základně 25 a ramenem délky 0,75 m? Návod: 500 Obrázek je jen ilustrační Výška tělesa je tedy zároveň výškou trojúhelníka. α = 25 s = 0,75 m V =? [m 3 ] ---------------------------------------------- sin α = v/s v = s. sin α v = 0,75. sin 25 v = 0,75. 0,4226 v = 0,316 95 m = 0,32 m (po zaokrouhlení) cos α = r/s r = s. cos α r = 0,75. cos 25 r = 0,75. 0,9063 r = 0,679 725 m = 0,68 (po zaokrouhlení) V = π r 2 v/3 V = 3,14.0,68 2.0,32/3 V = 0,155 m 3 (po zaokrouhlení) V = 155 dm 3 Objem kužele je 155 dm 3. 2. Objem kužele je 12 cm 3, jeho výška je 4 cm. Jaký je obsah podstavy kužele? Návod: V = 12 cm 3 v = 4 cm S p =? [cm 2 ] ---------------------------------------- 1 V = Sp. v 3 S p=3v/v S p = 3.12/4 S p= 9 cm 2 Obsah podstavy kužele je 9 cm 2. 499 33 z 35
3. Plechová stříška tvaru kužele má průměr podstavy 80 cm a výšku 60 cm. Vypočtěte spotřebu barvy na natření této stříšky, spotřebuje-li se 1 kg barvy na 6 m 2 plechu. Návod: d = 80 cm v = 60 cm m 0 = 1 kg S 0 = 6 m 2 m =? [kg] --------------------------------------------------------- Natíráme pouze plášť kužele, proto S = π d.s/2 (1) Neznáme s, proto ho spočítáme pomocí Pythagorovy věty: s s = = v 2 + d 2 2 2 60 + 80 2 s = 72,11 (po zaokrouhlení) Dosadíme do (1): S = 3,14. 80. 72,11/2 S = 9057 cm 2 = 0,91 m 2 (po zaokrouhlení) 2 501 1 kg... 6 m 2 m [kg]... 0,91 m 2 --------------------------------------- Jedná se o přímou úměrnost, proto m = 1. 0,91/6 m = 0,152 kg (o zaokrouhlení) Na natření stříšky je zapotřebí asi 0,152 kg barvy. Kužel - procvičovací příklady 1. Nádobka tvaru kužele o poloměru podstavy 20 cm a výšce 36 cm byla zcela naplněna vodou. Voda byla přelita do nádoby tvaru válce o poloměru podstavy 12 cm. Jak vysoko byla voda v nádobě tvaru válce? Voda v nádobě tvaru válce sahala do výšky asi 33,3 cm. 2. Rotační kužel má obsah podstavy 28,26 cm 2 a objem celého tělesa je 131,88 cm 3. Určete jeho výšku. Výška kužele je 14 cm. 515 508 34 z 35
3. Vypočti objem kužele s průměrem podstavy 32 cm a výškou tělesa 0,5 m. Objem kužele je 13 397 cm 3. 4. Vypočti objem kužele, který má průměr podstavy roven výšce tělesa. Poloměr podstavy kužele je 7 cm. Objem kužele je 718 cm 3. 5. Vypočti povrch kužele, je-li jeho výška 15 cm a strana 17 cm. Povrch kužele je 628 cm 2. 6. Vypočti povrch kužele, jehož strana je 10 cm a průměr podstavy je 10 cm. Povrch kužele je 235,5 cm 2. 7. Kužel má objem 83,7 cm 3 a průměr podstavy 8 cm. Vypočti výšku tělesa. Výška kužele je 5 cm. 8. Nálevka na 1 litr má tvar kužele s poloměrem podstavy 10 cm. Jaká je výška nálevky? Výška nálevky je asi 9,6 cm. 9. V závodě na výrobu nápojového skla vyrábějí dva typy skleniček ve tvaru kužele. První typ o průměru 9 cm s výškou 6,5 cm a druhý typ o průměru 6 cm s výškou 14,5 cm. Která sklenička má větší objem? Vejdou se do některé z nich 2 dl nápoje? Větší objem má sklenička 1. typu; 2 dl nápoje se ale nevejdou do žádné skleničky. 10. Kolik metrů krychlových je uloženo na hromadě tvaru kužele, je-li výška hromady 2,6 m a největší šířka hromady 7 m? Na hromadě je uloženo asi 33,3 m 3 písku. 11. Vypočti povrch kužele, který má výšku 16 cm a poloměr podstavy 0,3 m. Povrch kužele je 6 029 cm 2. 12. Nádoba tvaru kužele s průměrem dna 60 cm a stranou délky 50 cm je zcela naplněna vodou. Vodu přelijeme do nádoby, která má tvar válce o poloměru dna 30 cm a výšce 20 cm. Kolik litrů vody je třeba do nádoby tvaru válce dolít, aby byla zcela naplněna? Do nádoby musíme dolít asi 18,8 litru vody. 13. Kužel má objem 1 441 cm 3 a výšku 17 cm. Vypočti poloměr podstavy tohoto kužele. Poloměr podstavy kužele je 9 cm. 14. Vypočti objem kužele o poloměru podstavy 35 cm, je-li výška tělesa rovna 19 cm. Objem kužele je 24 361 cm 3. 505 503 513 511 507 502 510 509 512 514 506 504 35 z 35
Obsah Opakování 1. ročníku - Procenta 1 Opakování učiva 1. ročníku - Racionální a reálná čísla 4 Opakování učiva 1. ročníku - Poměr, trojčlenka 5 Opakování učiva 1. ročníku - Úpravy celistvých výrazů 10 Celistvé výrazy - procvičovací příklady 11 Opakování učiva 1. ročníku - Úpravy lomených výrazů 13 Lomené výrazy - procvičovací příklady 14 Opakování učiva 1. ročníku - Rovinné útvary 17 Opakování učiva 1. ročníku - Goniometrické funkce 19 Stereometrie - vzájemné polohy prostorových útvarů 21 Stereometrie - kvádr, krychle, hranol 21 Kvádr, krychle, hranol - ukázkové příklady 22 Kvádr, krychle, hranol - procvičovací příklady 23 Stereometrie - válec 25 Válec - ukázkové příklady 26 Válec - procvičovací příklady 27 Stereometrie - jehlan 28 Jehlan - ukázkové příklady 28 Jehlan - procvičovací příklady 30 Stereometrie - kužel 31 Kužel ukázkové příklady 32 Kužel - procvičovací příklady 34 12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)