I. MECHNIK 6. Ky a vlnění I
Obsah Haroncé y význačná fora pohybu, přílady, výchyla, peroda, frevence, ruhová frevence. Haroncý oscláor. Neluené haroncé y aeacý pops, oplení noace, fázor. Tluené y, aperodcý pohyb, ezní aperodcý pohyb, slabé luení. Vynucené y, rezonance. Prncp superpozce. Sládání ů sejného sěru, haroncá analýza. Sládání navzáje olých ů, Lssajousovy obrazce. Vázané oscláory.
Perodcý děj perodcý průběh sledované velčny echancá výchyla, elercá velčna X T X T... peroda f T... frevence f T... ruhová úhlová frevence Přílady: závaží na pružně yvadlo y eleenů sruny osclační LC obvod vbrace aoů v oleule nebo rysalu 3
Lneární haroncý oscláor uvažujee echancý oscláor příočarý pohyb v oolí bodu nerace charaerzovaná parabolcý průběhe poencální energe E p de vazební onsana vraná síla působící do počáu de p F d vraná síla je úěrná výchylce a působí ve sěru pro ní pohybová rovnce d d závaží na pružně př zanedbaelné vlasní honos pružny yvadlo jen alé y sn... apluda... počáeční fáze ja se aové rovnce řeší?... výchozí poloha 4 obecné řešení
Hoogenní lneární dferencální rovnce. řádu s onsanní oefceny rovnce ypu a y a y a y řešení ají var proože y e y a e y e á pla a a a e charaerscá rovnce a a a ořeny char. rovnce a fundaenální sysé řešení báze: a jednoduché ořeny dvojný ořen pro reálné oefceny ořeny opleně sdruženy pa lze použí báz e e e a a e e e a e cos a e sn vznlo na záladě obecnějších pravdel pro hoogenní lneární dferencální rovnce n. řádu s onsanní oefceny 5
Neluené haroncé y - řešení d řešíe pohybovou rovnc d případná subsuce pohybová rovnce výše popsaného ypu charaerscá rovnce fundaenální sysé a jednoduché případně obecné řešení víe e cos sn e a e cos a sn Ce Ce D cos D sn D C C a D C C hodnoy onsan se určí podle počáečních podíne 6
Haroncé y různé zápsy sn B sn B cos, de B S cos S * Ce C e, de Re De, de C B C sn C e B Re C S B IC C D cos sn Re e, de je reálné číslo běžně píšee De nebo De a fyzální sysl á jen jedna složa užl jse sn sn cos cos sn e C e je oplení číslo časový veor - fázor 7 cos sn
Energe haroncých ů haroncé y sn cos necá energe cos v E poencální energe p d W E sn celová energe E E E p onzervavní síly celová energe nezávsí na čase 8
Tluené haroncé y do pohybové rovnce doplníe dspavní sílu ření, luení, elercý odpor,... b, de b b označení... vlasní frevence b... součnel luení hoogenní lneární dferencální rovnce. řádu s onsanní oefceny charaerscá rovnce řešení charaerscé rovnce, 9
Tluené h. y nadrcý úlu řešení charaerscé rovnce aperodcý pohyb velé luení,, reálné, fundaenální sysé obecné řešení e, e C e Ce, de, C ons. počáeční podíny:, M C C Ce Ce C C C C M C C C určeno poč. podína M M C M M e e... vrací se do rovnovážné polohy neonečně dlouho
Tluené h. y rcý úlu řešení charaerscé rovnce ezní aperodcý pohyb ezní luení, dvojnásobný reálný ořen, fundaenální sysé obecné řešení e, e B e, de, B ons. počáeční podíny:, M B e, B B M M určeno poč. podína B M e... ůže projí rovnovážnou polohou obecně pro do rovnovážné polohy spěje neonečně dlouho onverguje rychlej než v aperodcé případě B
Tluené h. y slabé luení řešení charaerscé rovnce luené haroncé ání, ;,, de fundaenální sysé e, e ; ořeny ch.r. oplení, de C, C ons. určeno poč. podína obecné řešení C e C e e C e C e jný záps e sn, de, ons. určeno poč. podína rychlos e cos sn peroda T apluda eponencálně lesá e.5
.5 e Tluené y charaersy luení luené osclace sn e úlu podíl výchyle lšících se o jednu perodu T e T logarcý dereen úluu přrozený logarus úluu T ln relaační doba doba, za níž se obála zenší e -rá čnel jaos -násobe poěru energe oscláoru u úbyu energe za perodu T e W T W T W W W Q 3
Vynucené haroncé y do pohybové rovnce doplníe perodcou budcí sílu b F cos, de je úhlová frevence budcí síly b F cos označení... vlasní frevence b... součnel luení v další předpoládáe slabé uení F S... apluda buzení Se... oplení sybola naonec využjee jen Re čás nehoogenní s nenulovou pravou sranou lneární dferencální rovnce. řádu obecné řešení = obecné řešení hoogenní rce + jedno parulární řešení 4
Vynucené haroncé y 5 rovnce s nenulovou pravou sranou Se hledáe parulární řešení ve varu p e dosazení do rovnce áe oplení apludu e S odsranění opleního výrazu ze jenovaele 4 S fázové zpoždění výchyly vůč působící síle an apluda usálených ů 4 S obecné oplení řešení e e C C e e Re čás obecného řešení cos sn e
Výchyla [] Vynucené haroncé y e sn přechodové řešení. S cos arcan 4 usálené řešení.5. -.5 -. luené y přechodový sav nucené y usálený sav celová výchyla zaávání vyzí 5 5 Čas [s] 6
Rezonance apluda ů d hledáe eré d S závsí na budcí frevenc 4 rezonanční frevence apluda v rezonanc r r a S rezonance sav, dy alá budcí velčna vyvolá ání velou odezvu pro slabé luení dosanee r a ; vždy ale plaí r fázový úhel určuje zpoždění výchyly za budcí slou an... y ve fáz s buzení LIŠÍ SE!... y v profáz s buzení... zěna př průchodu vlasní frevencí r 7
Rezonanční řvy r / pro neá rovnce pro rezonanční frevenc reálný ořen rezonance r neá vrchol v oblas reálných frevencí 8
Fázový posuv v oolí rezonance 9
pludová a výonová rezonance dspac energe lze ěř výone brzdcí síly dw d d P F v b d d d energe rozpýlená po dobu jedné perody T W b b T d d cos d b T T b průěrný výon dodaný budcí slou P W T T d d d b sn T d F dosazeno za apludu budcí síly P 4 dp d rp F rezonance absorbovaného výonu nezávsí na úluu 4
Pracé důsledy rezonance všechny echancé syséy ají aspoň jednu vlasní frevenc ůže docháze rezonanc očvá zařízení oory, urbíny, zvuová zařízení hudební násroje, reproduory, sluchové orgány, sacé onsruce budovy, osy, sožáry vanová analoge echancého oscláoru aoy v rysalu, elerony v aou vysoý čnel jaos poěr celového výonu u výonový zráá vede úzéu rezonančníu vrcholu D ~ /Q alé síly způsobí velé výchyly Tacoa Narrows Brdge v roce 94 se zříl v důsledu orzních ů, eré vznly rezonancí osu s nárazy věru
Pracé důsledy rezonance Tacoa Narrows Brdge v roce 94 se zříl v důsledu orzních ů, eré vznly rezonancí osu s nárazy věru Tacoa Narrows Brdge Collapse Sound Verson Sandard 4:3 94
Sládání řešení lneárních rovnc Rovnce pro vynucený haroncý b F b F rovnce jsou lneární, proo řešení pro souče vynucujících sl je souče řešení pro jednolvé síly d d b F F d d Levou sranu lneární dferencální rovnce b F lze chápa jao onréní případ obecného lneárního operáoru. Pro obecný lneární operáor plaí: : a jsou řešení a b je aé řešení F : p je řešení p je aé řešení F p p F F F F 3 F, F je řešení pro 3
Sládání ů sejného sěru sládáe y sejného sěru obecně různých frevencí sn pro perody dílčích ů plaí sn T sn apluda složených ů sn sn označe perodu složených ů T peroda T usí pro všechna splňova sn T sn o je splněno pro T n, n celé číslo proože T, bude peroda složených ů T T n Tn 4
Sládání ů sejného sěru a frevence sn sn výslede je pohyb perodcý se sejnou frevencí sn sn cos cos sn plaí ož apluda fázové posunuí sn cos cos cos cos sn sn sn sn cos sn sn cos cos sn sn cos cos cos sn an cos sn cos sn cos 5
Sládání ů blízých frevencí zjednodušení, předpoládáe sn sn užjee sn sn sn cos sn sn cos sn proěnná apluda haroncé ání pro se apluda ění poalu vznají rázy ání á sálou úhlovou frevenc obála apludy se ění s frevencí, rázy ají frevenc 6
Sládání ů blízých frevencí T obála T rázy 7
sn sn y pro sn cos sn sn cos cos sn cos cos sn cos sn cos sn cos cos sn sn cos cos sn sn y y y y y y y y výslede - obecná rovnce elpsy Sládání vzájeně olých ů 8
Sládání vzájeně olých ů 9
Haroncá Fourerova analýza aždou perodcou func s perodou T / f složy s frevence f, f,3 f, lze rozlož na haroncé rozlad lze napsa napřílad y cos frevence f se nazývá. haroncá frevence nf se nazývá n-á haroncá 3
Haroncá analýza ja o funguje 3
Prncp haroncé analýzy uážee analog s veorový poče: vyjádření veoru X jao lneární obnace veorů orogonální nolv oronorální báze e v N-denzonální prosoru N X e nora veoru dána salární součne X X X pro určení oefcenu naleznee průě veoru X do sěru e N N X e e e e e e e oefcen lneární obnace X e e 3
Haroncá analýza rgonoercé fce orogonální báze vořená cos pro,, a sn pro,, salární součn funcí f g se defnuje f g f g d a lze ověř orogonalu funce usí bý vadracy negrablní f f f d nora funce dána salární součne f f f plaí cos cos d pro,, T / T / T / T / T / T plaí sn sn d pro,, T / T / T záps reálné funce poocí báze Fourerův rozvoj y cos B oefceny rozvoje e X e B T / sn / T f cos cos f cos d T T / / T f sn B sn f sn d T T / 33
Haroncá analýza oplení forulace orogonální báze vořená e pro,,,, plaí pro noru e e e d d T T / T / Fourerův rozvoj funce y C e e T / T / / T oefceny rozvoje C f e C e T T / f e d pro reálnou func plaí C C * IC přepoče z rgonoercé báze C C C B pro,, B pro,, 34
Vázané oscláory oscláory yvadla, pružny ez n elascá vazba velos v působí o síly úěrné výchylce íhové, elascé F E v o vazebná síla F pohybové rce souče a rozdíl v v v zavedee poo pro a V v v v v dosanee cos a cos v v, cos cos v v blízé vznají rázy vz sládání blízých frevencí pa řešení pro v jsou a v 35
Vázané oscláory [ ] [s] [ ] [s] čí slnější vazba ez oscláory í rychlejší výěna energe ez n í věší frevence rázů 36