Kinematika hmotného bodu

KINEMATIKA

Obsah Kinematika hmotného bodu... 3 Mechanický pohyb... 3 Poloha hmotného bodu... 4 Trajektorie a dráha polohového vektoru... 5 Rychlost hmotného bodu... 6 Okamžitá rychlost... 7 Průměrná rychlost... 7 Rovnoměrný pohyb... 8 Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb... 9 Zrychlení... 9 Složky zrychlení... 10 Rovnoměrně zrychlený a rovnoměrně zpomalený přímočarý pohyb... 10 Volný pád... 12 Skládání pohybů a rychlostí... 12 Rovnoměrný pohyb po kružnici... 14 Zrychlení při pohybu po kružnici... 15 Literatura... 16 2

Kinematika hmotného bodu Klíčová slova: Hmotný bod; polohový vektor; trajektorie; dráha; rychlost; zrychlení; pohyby HB Žáci by se měli dozvědět o: Zákonitostech pohybu HB Klasifikaci pohybů z hlediska trajektorie Klasifikaci pohybů z hlediska zrychlení Žáci by měli být poté schopni: Rozlišovat a popsat jednotlivé druhy pohybů Řešit jednoduché úlohy Kinematika hmotného bodu Kinematika se zabývá popisem pohybu těles, aniž by zkoumala, proč pohyb nastává. Neuvažuje síly, které tento pohyb způsobují nebo ovlivňují. Pro zjednodušení popisů pohybů těles si zavedeme tzv. fyzikální model, kdy tělesa nahradíme hmotnými body. Hmotným bodem nahrazujeme těleso, jehož rozměry jsou velmi malé např. vzhledem k dráze, kterou urazí. HB je většinou totožný s těžištěm tělesa. Veškeré hmotnost bude příslušet HB. Hmotný bod, kterým nahradíme těleso, má hmotnost rovnou hmotnosti tělesa. Mechanický pohyb Abychom mohli pohyb HB v prostoru popsat, je nejprve nutné zvolit si, vzhledem k čemu budeme popis provádět. Musíme si tedy zvolit vztažnou soustavu, které je pevně spojená se souřadnicovou soustavou a vztažným tělesem, popř. se soustavou těles. Je patrné, že v situaci, kdy chceme popsat sedící osobu v jedoucím vlaku, bude popis této osoby různý, když si za vztažnou soustavu zvolíme stěny a podlahu vlaku osoba bude v klidu, a když ji budeme popisovat vůči povrchu Země bude se pohybovat. V tuto chvíli si musíme také uvědomit, že klid a pohyb je relativní. O tom, zda je těleso v klidu nebo se pohybuje, popř. jak se pohybuje rozhoduje volba vztažné soustavy. V předchozím případě jsme se o tom přesvědčili, osoba ve vlaku je v klidu a zároveň o ní můžeme říci, že se 3

pohybuje. Rozdíl je pouze ve vztažné soustavě. Při popisu musíme tedy vždy uvést vůči čemu dané těleso popisujeme. Absolutní klid neexistuje. Popis klidu a pohybu tělesa závisí na volbě vztažného tělesa. Poloha hmotného bodu Chceme-li popsat mechanický pohyb HB vzhledem ke vztažné soustavě, musíme znát polohu HB v libovolném okamžiku. Tuto polohu určíme nejčastěji pomocí kartézské souřadnicové soustavy, která je, jak už bylo řečeno, pevně spojena se vztažnou soustavou. Spojením vztažného tělesa se soustavou souřadnic a určením měření času dostáváme vztažnou soustavu. Kartézskou souřadnicovou soustavu tvoří tři navzájem kolmé souřadnicové osy x, y, z a počátek O. Každému bodu prostoru tedy přísluší tři souřadnice, které jednoznačně určí polohu daného bodu v prostoru vzhledem k dané vztažné soustavě. Pro popis v rovině nám stačí pouze dvě souřadnicové osy x, y a počátek O. Při zapisování souřadnic nesmíme zapomínat jednotky. Je-li bod A určen souřadnicemi jej., zapíšeme 1 poloha HB v prostoru Další způsob, jak určit polohu HB, je pomocí polohového vektoru. Polohový vektor znázorňuje orientovaná úsečka, jejíž počáteční bod je počátek souřadnic O a koncový bod je dán bodem A. Souřadnice polohového vektoru jsou totožné se souřadnicovými HB. Velikost polohového vektoru se rovná vzdálenosti HB od počátku O. Máme li polohový vektor, pak pro jeho velikost platí 2 Polohový vektor v prostoru Směr polohového vektoru polohový vektor svírá se souřadnicovými osami. určují úhly, které 4

Úlohy: (1) Kolika souřadnicemi popíšeme a) polohu letadla při letecké akrobacii, b) polohu motocyklu při jízdě po vodorovné cvičné dráze, c) polohu vlaku při jízdě po vodorovné přímé trati? (2) Zapište polohový vektor bodu a vypočtěte vzdálenost HB od počátku souřadnic. Trajektorie a dráha polohového vektoru Při mechanickém pohybu prochází HB postupně různými polohami. Souhrn těchto poloh se nazývá trajektorie HB. Obecně je to libovolná prostorová či rovinná křivka. Geometrická čára, kterou HB při pohybu opisuje, nenazývá trajektorie HB. Tvar trajektorie závisí na volbě vztažné soustavy. Vezměme si za příklad kolo jedoucího auta a budeme chtít popsat dráhu ventilku. Za vztažnou soustavu budeme nejprve považovat auto ventilek se bude pohybovat po kružnici. Když budeme za vztažnou soustavu považovat povrch Země, ventilek 3 Pohyb ventilku vzhledem se bude pohybovat po půlkružnicích. k povrchu Země Podle tvaru trajektorie dělíme pohyby na přímočaré a křivočaré. Při sledování pohybu HB nás zajímá nejen její tvar, ale také její délka. Délka trajektorie, kterou HB opíše za určitou dobu, se nazývá dráha HB a značí se. Dráha je skalární fyzikální veličina, má tedy pouze velikost. Jednotkou dráhy je metr,. Uvažujme pohyb HB mezi body A, B. Dráhu HB měříme podél trajektorie, u přímočarého pohybu je tedy rovna vzdálenosti bodů A, B. Pohybuje-li se HB po křivočaré trajektorii, je jeho dráha větší než vzdálenost bodů A, B. Dráha závisí na čase, říkáme, že dráha je funkcí času;. Závislost dráhy načase můžeme znázornit graficky v kartézských souřadnicích. Čas znázorňujeme na vodorovné ose, dráhu (jako závislou proměnnou) na ose svislé. 4 Pohyb HB po křivočaré trajektorii 5

Jestliže se HB bude pohybovat po trajektorii, která je znázorněna na obrázku 4, graf závislosti dráhy HB na čase (stručně graf dráhy) bude vypadat následovně: Graf závislosti dráhy na čase s / m 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 t/s 5 Graf závislosti dráhy na čase Úlohy: (1) Hmotný bod se pohybuje po ose x tak, že v čase má souřadnici, v čase má souřadnici. Jaký pohyb koná HB a jakou dráhu urazí za dobu? (2) Hmotný bod koná křivočarý pohyb. Může být grafem závislosti dráhy na čase část přímky? Odpověď zdůvodněte. Rychlost hmotného bodu Mějme HB, jehož poloha je učena polohovým vektorem. Počáteční polohou HB bude bod A. Následně se dostane do bodu B, C, D. Jak je z obrázku 7 vidět, ve zvolené vztažné soustavě se měnila nejen poloha HB, ale také směr a velikost polohového vektoru. 6 Polohový vektor podél 6

trajektorie 7 Změna polohového Mějme HB, jehož poloha je v čase určena polohovým vektorem. Tento HB se pohybuje po křivočaré trajektorii a v čase se přesune do bodu A. Změna polohového vektoru je dána rozdílem. Tento úsek dráhy může vždy určit tak malý, abychom ho mohli nahradit úsečkou. Spojnice bodů A, A je tečnou k trajektorii v bodě A. vektoru HB Pomocí takto dané změny polohového vektoru, můžeme definovat okamžitou rychlost HB. Okamžitá rychlost Okamžitá rychlost HB směr. je vektorová veličina, tedy může se měnit její velikost a také její Jednotkou rychlosti je metr za sekundu,., často se také používá jednotka kilometr za hodinu,. Mezi těmito dvěma jednotkami platí jednoduchý převod: a naopak. Okamžitá rychlost má vždy směr tečny k trajektorii hmotného bodu v daném bodě trajektorie, je orientována ve směru změny polohového vektoru. Průměrná rychlost Velikost okamžité rychlosti v daném bodě trajektorie a v daném čase je definována jako průměrná rychlost ve velmi malém časovém intervalu na velmi malém úseku trajektorie. Podle rychlosti můžeme rozdělit pohyb na rovnoměrný a nerovnoměrný. Rovnoměrný pohyb: velikost rychlosti je konstantní Rovnoměrný přímočarý pohyb: nemění se velikost ani směr rychlosti Rovnoměrný křivočarý pohyb: nemění se velikost rychlosti, ale mění se její směr Nerovnoměrný pohyb: velikost rychlosti není konstantní Nerovnoměrný přímočarý pohyb: mění se velikost rychlosti, nemění se její směr Nerovnoměrný křivočarý pohyb: mění se velikost i směr rychlosti 7

Úlohy: (1) Vyjádřete rychlosti, a v kilometrech za hodinu a naopak rychlosti, a v metrech za sekundu. (2) Jakou průměrnou rychlostí se pohyboval běžec, který urazil dráhu za, a cyklista, který urazil dráhu za? Rychlost vyjádřete v. Rovnoměrný pohyb Mějme vozík, který se pohybuje rovnoměrně přímočarým pohybem. Z hodnot dráhy a času sestavíme následující tabulku: 0 1 2 3 0 0,4 0,8 1,2 Nyní sest rojíme graf závislosti dráhy na čase: s /m Závislost dráhy rovnoměrného pohybu na čase 1, 4 1, 2 1 0, 8 0, 6 0, 4 0, 2 0 0 1 2 3 4 t /s 0, 5 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1 Závislost rychlosti rovnoměrného pohybu na čase 0 s/ m 0 1 2 3 4 5 t /s 9 Závislost rychlosti rovnoměrnéh o pohybu na čase 8 Závislost dráhy na čase pro rovnoměrný pohyb Koná-li HB rovnoměrný pohyb, je jeho průměrná rychlost v libovolných úsecích stejná. Velikost okamžité rychlosti se rovná průměrné rychlosti. Označíme dráhu, kterou HB urazil v čase, a dráhu, kterou urazil v čase. Velikost okamžité rychlosti vypočteme ze vztahu: V případě vozíku dostaneme v libovolných časech a vždy tutéž rychlost, jak je graficky znázorněno na obrázku. Obsah plochy pod křivkou je úměrný dráze. 8

Často se také setkáme s případem, že v čase je HB ve vzdálenosti. V tomto případě platí pro dráhu vztah Grafem dráhy je polopřímka procházející bodem,. Došlo k posunutí celého grafu podél osy y. V případě, že budeme uvažovat situaci, že, dojde k posunutí celého grafu podél osy x. Dráha bude určena vztahem. 10 Dráha rovnoměrného pohybu při počáteční dráze s0 Úlohy: (1) Chlapec jede ze školy rychlostí. V okamžiku, kdy je ve vzdálenosti 100 m od školy, vyjede za ním spolužák na jízdním kole rychlostí. Za jakou dobu a v jaké vzdálenosti od školy chlapce dohoní? Řešte výpočtem i graficky. (2) Dva HB konají rovnoměrný pohyb po téže přímce týmž směrem. První bod se pohybuje rychlostí, druhý rychlostí.počáteční vzdálenost obou bodů je 12 m, oba body se začnou pohybovat současně. Za jakou dobu a v jaké vzdálenosti se oba body setkají? (3) Automobil projel první třetinu dráhy stálou rychlostí o velikosti, další dvě třetiny dráhy projel stálou rychlostí o velikosti ; jeho průměrná rychlost byla. Určete velikost rychlosti. Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Zrychlení Rovnoměrně zrychlený pohyb je pohyb nerovnoměrný, kdy se rychlost pohybu mění. Tuto změnu vektoru rychlosti charakterizuje vektorová veličina zrychlení. Směr zrychlení se rovnoběžný se směrem změny rychlosti. Jednotkou zrychlení je metr za sekundu na druhou,. 9

Složky zrychlení Zrychlení jako vektorovou veličinu můžeme rozložit do dvou libovolných složek, nejvýhodnější je rozložit jej na složku tečnou, která je rovnoběžná s vektorem rychlosti, a na složku normálovou, která je kolmá k tečné složce a tedy i k rychlosti. Rozklad zrychlení na tečnou a normálovou složku Tečné zrychlení Je- ovlivňuje změnu velikosti rychlosti, nemění se rychlost jedná se o rovnoměrný pohyb Normálové zrychlení Je- ovlivňuje směr rychlosti, nemění se směr pohybu jedná se o přímočarý pohyb Pomocí zrychlení můžeme nerovnoměrný pohyb rozdělit na dva případy : rovnoměrně zrychlený pohyb zrychlení má stejný směr jako rychlost; rovnoměrně zpomalený pohyb zrychlení má opačný směr jako rychlost. Rovnoměrně zrychlený a rovnoměrně zpomalený přímočarý pohyb Při pohybu rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem se velikost zrychlení nemění. Mění se pouze jeho orientace. Velikost okamžité rychlosti HB je při nulové počáteční 12 Rychlost a zrychlení rovnoměrného rychlosti přímo úměrná času, tedy platí zrychleného (zpomaleného) přímočarého pohybu V každém čase je rychlost HB o počáteční rychlosti větší vzhledem k rychlosti HB, který má stejné zrychlení, ale nulovou počáteční rychlost. rovnoměrně zmenšuje s časem. Při rovnoměrně zpomaleném pohybu se rychlost HB 10

Při rovnoměrně zrychleném (zpomaleném) pohybu je rychlost HB lineární funkcí času. V takovémto případě je průměrná rychlost pohybu rovná aritmetickému průměru okamžitých rychlostí na začátku a na konci pohybu. Předpokládejme, že. Pro průměrnou rychlost tedy platí Touto průměrnou rychlostí urazil HB za dobu dráhu, pro kterou platí vztah 14 Dráha rovnoměrně zpomaleného pohybu zrychleného pohybu 15 Dráha rovnoměrně V případě, kdy má HB nenulovou počáteční rychlost Pro průměrnou rychlost platí, je odvození obdobné. Dráha, kterou HB urazí je tedy. Úlohy: (1) Co mají společného a čím se navzájem liší rovnoměrný přímočarý pohyb a a) rovnoměrný křivočarý pohyb, b) rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb? (2) Rychlost vlaku se při jeho brzdění změnila za z hodnoty na. Určete velikost zrychlení vlaku a brzdnou dráhu vlaku, za předpokladu, že jeho pohyb byl rovnoměrně zpomalený. (3) Raketa dosáhla za dobu z klidu rychlosti. Její pohyb byl rovnoměrně zrychlený. Vypočtěte velikost zrychlení rakety dráhu, kterou za danou dobu urazila. (4) Vlak se pohybuje se stálým zrychlením o velikosti, jeho počáteční rychlost byla nulová. a) Vypočítejte dráhy, které vozík urazil za,,, a. Sestavte 11

uspořádané dvojice dráhy a času do tabulky. b) Z tabulky určete dráhy,které urazí vlak v jednotlivých po sobě jdoucích sekundách. V jakém poměru jsou tyto dráhy? Volný pád Volný pád je zvláštní případ rovnoměrně zrychleného pohybu s nulovou počáteční rychlostí. Je to pohyb tělesa volně padajícího ve vakuu v blízkosti povrchu Země. To, že volný pád je rovnoměrně zrychlený pohyb, prokázal svými pokusy již Galileo Galilei. Další měření to potvrdila a umožnila stanovit velikost zrychlení takto padajících těles. Toto zrychlení se nazývá tíhové zrychlení a označuje se. Tíhové zrychlení je pro všechna tělesa ve vakuu stejné (můžeme se přesvědčit pomocí Newtonovy trubice). Směřuje vždy svisle dolů na zemský povrch. Velikost tíhového zrychlení se poněkud mění se zeměpisnou šířkou a nadmořskou výškou. V naší zeměpisné šířce je přibližně.. Dohodou bylo stanoveno tzv. normální tíhové zrychlení. Při řešení úloh však budeme tíhové zrychlení zaokrouhlovat na Velikost rychlosti volného pádu závisí na čase vztahem Trajektorie volného pádu je část přímky. Dráha volného pádu se pak vypočte ze vztahu V reálném prostředí hraje roli také tvar a hmotnost tělesa, musíme počítat s odporem vzduchu. Úlohy: Ve všech úlohách budeme dosazovat tíhové zrychlení (1) Jak dlouho padá kámen volným pádem do propasti hloubky? Jak velkou rychlostí dopadne? (2) Za jakou dobu se rychlost volně padajícího tělesa zvětší z na? Jakou dráhu těleso za tuto dobu urazilo? (3) Volně padající těleso má v bodě A rychlost o velikosti, v níže položeném bodě B má rychlost o velikosti. Za jakou dobu projde těleso trajektorií AB? Jaká je vzdálenost bodů A,B? Skládání pohybů a rychlostí Často se stává, že HB koná dva nebo i více pohybů současně. Např. předmět ve vagonu jedoucího vlaku se může pohybovat vzhledem k vagonu a spolu s vagonem k povrchu Země. Představme si loďku, která pluje po hladině řeky. Loďka koná dva pohyby současně: je unášena proudem řeky a je poháněna motorem. Označme rychlost proudu vzhledem k břehům, 12

rychlost loďky vzhledem k vodě. Výsledná rychlost loďky vzhledem k břehům řeky je vektorovým součtem rychlostí, tedy. Výslednou rychlost sestrojíme jako úhlopříčku rovnoběžníku, jehož stranami jsou obě skládané rychlosti. 18 Skládání vektorů pomocí 17při skládání vektorů Zjednodušený postup rovnoběřníku Velikost výsledné rychlosti snadno určíme, leží-li obě skládané rychlosti v téže přímce. Při stejném směru rychlostí (loďka pluje po proudu) je velikost výsledné rychlosti. Při navzájem opačném směru rychlostí je velikost výsledné rychlosti nebo podle toho, které rychlost má větší velikost. Princip nezávislosti pohybů: Koná-li HB současně dva nebo více pohybů, je jeho výsledná poloha taková, jako kdyby konal tyto pohyby po sobě, a to v libovolném pořadí. Jestliže jsou skládané pohyby rovnoměrné a přímočaré, je také výsledný pohyb rovnoměrný přímočarý. HB se pohybuje po přímce, jejíž směr je určen směrem výsledné rychlosti. Obecně je však trajektorií složeného pohybu křivka, např. při střelbě je kulka vystřelena vodorovně a její rychlost se skládá s rychlostí volného pádu, výsledná trajektorie je parabola. Úlohy: (1) Plavec, jehož rychlost je vzhledem k vodě, plave v řece, která teče rychlostí. Určete dobu, za kterou plavec doplave do vzdálenosti, směřuje-li a) po proudu, b) proti proudu, c) kolmo k proudu. (2) Jeřáb zvedá břemeno rovnoměrným přímočarým pohybem do výšky a současně popojede vodorovným směrem do vzdálenosti. Určete dráhu břemena a úhel, který svírá jeho trajektorie s vodorovným směrem. 13

Rovnoměrný pohyb po kružnici S pohybem HB po kružnici se setkáváme v praxi velmi často. Rovnoměrný pohyb po kružnici je nejjednodušší křivočarý pohyb. Trajektorie HB je kružnice, velikost rychlosti je konstantní, její směr se neustále mění je tečnou ke kružnici. Pro popis rovnoměrného pohybu HB po kružnici volíme vztažnou soustavu tak, že počátek souřadnicové soustavy bude splývat se středem kružnice. Nejvýhodnější je používat polární souřadnice. Spojnice středu kružnice a pohybujícího se HB se nazývá průvodič HB. Délka průvodiče je rovna poloměru kružnice. V čase je HB v poloze A. Průvodič svírá se souřadnicovou osou úhel, tento úhel se nazývá úhlová dráha. Velikost úhlu v radiánech je určena poloměrem délky oblouku kružnice a poloměru této kružnice 19 HB při pohybu po kružnici,.. U pohybu HB po kružnici je užitečné zavést pojem úhlová rychlost. Úhlová rychlost je podíl úhlové dráhy, kterou opíše průvodič za dobu, a této doby. Platí tedy vztah Pro převod mezi r adiány a úhlovými stupni platí převodní vztahy: Jednotkou úhlové rychlosti je radián za sekundu,. Rovnoměrný pohyb po kružnici je pohyb periodický. Průvodič opíše plný úhel vždy za stejnou dobu. Doba se nazývá oběžná doba, neboli perioda. Počet oběhů HB za jednotku času je frekvence pohybu. Při dané úhlové rychlosti je velikost rychlosti HB přímo úměrná poloměru kružnice, po které se HB pohybuje. Při otáčení kola je úhlová rychlost pro všechny body kola stejná, velikost okamžité rychlosti však závisí na vzdálenosti bodů os osy otáčení. Největší rychlost mají body na obvodu kola, body na ose otáčení jsou v klidu. Úlohy: (1) Určete úhlovou rychlost hřídele, který koná 120 otáček za minutu. (2) Jak velkou rychlostí se pohybují body na zemském rovníku? Poloměr Země je, úhlová rychlost otáčení Země je. 14

Zrychlení při pohybu po kružnici Při rovnoměrném pohybu po kružnici se velikost jeho rychlosti nemění, mění se ale jeho směr. To znamená, že vektor rychlosti není konstantní HB má zrychlení. 20a Změna rychlosti HB 20b Změna rychlosti HB Na obrázku je nakreslena část trajektorie HB při pohybu po kružnici. Za dobu se HB přemístil z bodu A do bodu A, to odpovídá úhlu a změně rychlosti, přičemž velikost rychlosti nestále stejná. Zrychlení je podle definice podíl změny rychlosti, která nastala za dobu, a této doby: Předpokládejme, že doba je velmi malá a také že úhel je velmi malý. Pak pro úhel platí. Velikost změny rychlosti tedy můžeme vyjádřit vztahem. Pro velikost zrychlení tedy platí Použijeme-li vztah, a dále vztah, dostaneme pro úhlové zrychlení vztah Pro velmi malý úhel je zřejmé, že změna rychlosti je kolmá k rychlosti. Jelikož zrychlení má směr změny rychlosti, pak také toto zrychlení je kolmé k rychlosti. U rovnoměrného pohybu po kružnici směřuje toto zrychlení do středu kružnice a nazýváme jej dostředivé zrychlení. 21 Zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici Úlohy: (1) Kolo o poloměru se rovnoměrné otáčí s frekvencí. Vypočtěte úhlovou rychlost kola, velikost rychlosti bodů na jeho obvodu a velikost jejich zrychlení. (2) Automobil projíždí zatáčkou o poloměru stálou rychlostí. Jaké je jeho zrychlení? (3) Brusný kotouč poloměru se otáčí kolem vodorovné osy rovnoměrným pohybem a koná čtyři otáčky za sekundu.na počátku měření času byl bod A umístěný na obvodu 15

kotouče v nejvyšší poloze nad podlahou.určete: a) polohu bodu A (úhel otočení kotouče) za, b) velikost okamžité rychlosti bodu A a jeho úhlovou rychlost, c) velikost dostředivého zrychlení pohybu. Literatura BEDNAŘÍK, Milan; ŠIROKÁ, Miroslava. Fyzika pro gymnázia : Mechanika. Dotisk 3. vydání. [s.l.] : Prometheus, spol. s r. o., 2003. Kinematika hmotného bodu, s. 24-60. ISBN 80-7196-176-0. TOMANOVÁ, Eva, et al. Sbírka úloh z fyziky pro gymnázia, 1.díl. 1.vydání. [s.l.] : Státní pedagogické nakladatelství, n. p., 1988. Kinematika hmotného bodu, s. 19-32. ISBN 14-624-88. JANDORA, Radek. Radek Jandora [online]. 2000 [cit. 2011-03-02]. Maturitní otázky do fyziky. Dostupné z WWW: <http://radek.jandora.sweb.cz/fyzika.htm>. 16