Další Charles University in Prague, Faculty of Mathematics and Physics Oct 19th 2009
Influence Function Pracujeme s parametrickým modelem {F θ } θ Θ, kde Θ R je otevřená konvexní množina. Definice Influence Function Další IF (x; T, F) = lim h 0 T [(1 h)f + h x ] T [F] h ve všech x X, pro které tato limita existuje. Za podmínek regularity platí: IF (x; T, F)dF(x) = 0.
Další Za platnosti dalších předpokladů T asymptoticky normální s asymptotickou varianční maticí: V (T, F) = IF (x; T, F) 2 df(x). Další Označme pomocí f θ (x) hustoty {F θ } Θ a definujme skóry s(x, θ) = θ ln f θ(x), potom J(θ) = s(x, θ) 2 df θ (x) je Fisherova informace.
Definice Mějme nějaký výběr X 1, X 2,,X n. Necht ρ : X Θ R je nějaká funkce, potom M-odhadem příslušným ρ nazveme odhad T n = argmin t n ρ(x i, t). (1) i=1 Alternativně, necht ψ : X Θ R je nějaká funkce, potom M-odhadem příslušným ψ nazveme odhad splňující následující rovnici v proměnné t: Další n ψ(x i, t) = 0. (2) i=1
Poznámky jde o zobecnění metody maximální věrohodnosti (MLE odpovídá ρ = log f θ ) funkce ψ odpovídá θ ρ(x, θ) druhá definice definuje širší třídu odhadů preferovaná Další
Vzorec pro IF I. Funkcionální tvar odhadu T n = T (G n ) vzorec (2) přejde do tvaru ψ(y, T (G))dG(y) = 0. (3) Další Dosazením F t,x = (1 t)f + t x za G a derivováním podle t dostáváme 0 = ψ(y, T (F))d( x F)(y) + θ [ψ(y, θ)] θ=t (F )df (y) [ t T (F t,x) ] t=0, z čehož ihned dostáváme IF (x; ψ, F) = ψ(x, T (F)) θ [ψ(y, θ)] θ=t (F )df(y).
Vzorec pfo IF II. Za předpokladu Fisherovské konzistence odhadu T (T (F θ ) = θ) přejde vzorec (3) do tvaru ψ(y, θ)df θ (y) = 0. (4) Další Derivováním (4) podle θ v nějakém θ (prohození integrálu a derivace) θ [ψ(y, θ)] θ=θ df θ (y)+ ψ(y, θ ) θ [f θ(y)] θ=θ dλ(y) = 0. Z toho hned dostáváme IF (x; ψ, F θ ) = ψ(x, θ ) ψ(y, θ )s(y, θ )df θ (y). (Využití df (x) = f (x)dλ(x).)
Location M-estimator Necht F θ (x) = F(x θ) je symetrická volíme ψ pro odhad θ ve tvaru ψ(x, θ) = ψ(x θ) přirozené. Dostáváme: Další IF (x; ψ, G) = ψ(x T (G)) ψ (y T (G))dG(y). S Fisherovskou konzistencí v F 0 IF (x; ψ, 0) = ψ(x) ψ df 0. IF úměrná ψ.
Poznámka I. Je-li F symetrické rozdělení a ψ lichá, pak pro všechny příslušné ψ platí: 1. Je-li ψ omezená, potom je příslušný M-odhad B-robustní, kvalitativně robustní a má breakdown point ε = 1/2. 2. Není-li naopak ψ omezená, potom příslušný M-odhad není B-robustní ani kvalitativně robustní a má breakdown point ε = 0. Další
Poznámka II. ψ nemusí být monotónní rovnice (2) nemusí mít jediné řešení, můžeme zvolit jako řešení 1. globální minimum (1); 2. takový odhad, jenž je nejblíže medianu; 3. odhad získaný Newtonovou metodou, kde za počáteční přiblížení volíme median. V bodech 2. a 3. dědí odhady od medianu breakdown point ε = 1/2. Další
Příklad M-odhad parametru polohy: b, x b, ψ b (x) = x, x < b, b, x b, Další
Poznámka III. V mnoha případech nutno s polohou odhadovat i měřítko obtězující parametr (= nuisance parameter). Doporučení v takových případech: 1. Použít nějaký hodně robustní odhad k přibližnému odhadu měřítka (scale parameter). 2. Následně použít M-odhad k odhadnutí polohy. Další
Další Děkuji za pozornost.