Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2017/18 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ

Transkript

1 Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 7/8 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te podrobný, přiměřeně okomentovaný postup. Řešení podtrhněte. Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby. Zadání Je dána funkce f : x y = x +. Určete definiční obor, obor hodnot a derivaci funkce. Určete rovnici tečny funkce v bodě T = [,?]. Načrtněte graf funkce a vypočtené tečny. Vypočtěte integrál f(x) dx, kde f(x) = x x +. Určete základní vlastnosti (definiční obor D(f), paritu, průsečíky s osami, limity v krajních bodech D(f)) a načrtněte její graf. Nalezněte množinu S všech (reálných) řešení (x, y, z) soustavy x y =, y z =, x + z = +, v závislosti na parametru R. Jaký objekt představuje množina S geometricky? Uvažujte množinu zbytkových tříd Z = {,,..., 9} spolu s operacemi sčítání a násobení (modulo deset). Množina invertibilních (tj. inverzi majících) prvků Z tvoří spolu s násobením abelovskou grupu. Rozhodněte zda je tato grupa izomorfní s C, nebo C C, přičemž C k značí cyklickou grupu řádu k. Izomorfizmus napište. 5 Přímka p je dána rovnicí x + y 9 =. Určete obecnou rovnici i parametrické rovnice přímky, která je kolmá k přímce p a prochází průsečíkem P dané přímky p s osou x. Načrtněte graf. tel.: kmd.fp.tul.cz IČ: DIČ: CZ

2 Řešení Příklad Musí platit x +, tedy D(f) = [, ) ( body), H(f) = R + je = [, ) ( body). Derivace f (x) = x + = x + ( body). Bod dotyku T = [x, f(x)] = [, ], směrnice tečny je hodnota derivace pro x =, tj. f () =. Tečnu hledáme ve směrnicovém tvaru y = kx + q = f (x)x + q = x + q. Dosazením bodu dotyku = f(x) = f (x)x + q = + q získáme q = 5. Rovnice tečny je tedy y = x + 5, po úpravě x y + 5 = ( body). Grafem funkce je část paraboly, viz obrázek. 5 f(x)=(x+) / x y+5= T=[,] 5 Obrázek : Graf funkce f ( body) a její tečny ( body) v bodě T = [, ] z příkladu. tel.: kmd.fp.tul.cz IČ: DIČ: CZ

3 Příklad Integrujeme pomocí substituce Substituce : x x + dx = = x dx dt = xdx t = x (6 bodů) + dt = t dt = ln( t ) + Const. = ln(x (6 bodů) + ) + Const. Pro integrand f(x) = x zřejmě platí: D(f) = R, f(x) = f( x) (lichá funkce, tj. její x + graf je symetrický podle počátku), speciálně f() = ; dále f(x) > pro x > (a f(x) < pro x < ), navíc lim x ± f(x) = ±( body). Graf funkce viz obrázek. f(x)=x(x +) Obrázek : Graf funkce f ( body) z příkladu. Příklad (5 bodů) Gaussovou eliminací získáme horní trojúhelníkový tvar + (. ř.) (. ř.) +. tel.: kmd.fp.tul.cz IČ: DIČ: CZ

4 Začneme poslední rovnicí ( +)z = a provedeme diskuzi; zřejmě + = (+)(+): Pro = dostaneme z = a soustava tak nemá řešení. Množina řešení je prázdná, S = (5 bodů). Pro = dostaneme z =, soustava se redukuje na dvě rovnice o třech neznámých. Proměnnou z, jíž odpovídající rovnice vypadla, si zvoĺıme, tj. z = τ, τ R. Z druhé rovnice dopočítáme y = τ. Z první rovnice dopočítáme x =. Množinou řešení je přímka S = Pro & dostaneme z = rovnice dopočítáme x = + Příklad τ τ ; = ++ + S R\{, } = + τ R (5 bodů).. Z druhé rovnice dopočítáme y =. Z první + +. Množina řešení je jednobodová (5 bodů). Invertibilní prvky jsou nesoudělné s modulem, tj. Z = {,, 7, 9} ( body) (případně je získáme z tabulky násobení), zřejmě (6 bodů) : Z , C a b c d a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c, C C (a, a) (a, b) (b, a) (b, b) (a, a) (a, a) (a, b) (b, a) (b, b) (a, b) (a, b) (a, a) (b, b) (b, a) (b, a) (b, a) (b, b) (a, a) (a, b) (b, b) (b, b) (b, a) (a, b) (a, a). Porovnáním řádů všech prvků (řád prvku s je ord(s) = {s k ; (6 bodů) k Z} ) jednotlivých grup Z : ord() =, ord() =, ord(7) =, ord(9) = C : ord(a) =, ord(b) =, ord(c) =, ord(d) = C C : ord((a, a)) =, ord((a, b)) =, ord((b, a)) =, ord((b, b)) = vidíme, že Z (C C ) (izomorfizmus na sebe zobrazuje prvky stejných řádů a C C neobsahuje prvky řádu (generátory), které v Z ( jsou), musí tedy být izomorfní s C body). Zbývá najít některý ze dvou možných izomrfismů ϕ : Z ( body) C. Zřejmě ϕ() = a a ϕ(9) = c, zvoĺıme-li například ϕ() = b, pak ϕ(7) = d. tel.: kmd.fp.tul.cz IČ: DIČ: CZ

5 Příklad 5 Normálový vektor n = (, ) přímky p je směrovým vektorem kolmice ( body). Směrový vektor s = (, ) přímky p je normálovým vektorem kolmice ( body). Průsečík P přímky p s osou x: y = = x 9 = = x = 9 [ ] 9 = P =, ( bod). Náčrt viz obrázek. Obecná rovnice kolmice: Vyjdeme například z obecného tvaru přímky ax + by + c =, ze znalosti normálového vektoru kolmice dostaneme x y + c =. Dosadíme souřadnice bodu P a vyjádříme c = ax by = x + y = 9 + = 7 ( body). Dostáváme tedy x y 7 =, po úpravě 6x y 7 = ( body). Parametrická rovnice kolmice: Parametrický popis kolmice k získáme například ze směrového vektoru kolmice. Je dán vztahy x = x + t, y = y + t, t R ( body). Dosazením bodu P dostáváme x = 9 + t, y = t, t R ( body). 5 y k P=[9/,] x p Obrázek : Náčrt situace (5 bodů) z příkladu 5. tel.: kmd.fp.tul.cz IČ: DIČ: CZ