TEORETICKÁ MECHANIKA INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY Záladní pojmy z mechaniy Mechanicý systém: jaáoli soustava částic nebo těles teré se rozhodneme popisovat (eletron atom Zeměoule planetární systém ). Kartézsé souřadnice: pro souřadnice a síly používáme označení: x r (x 1 x x 3 ) (x y z) resp. F (F 1 F F 3 ) (F x F y F z ). Pohybová rovnice hmotného bodu má tvar m d x / = F. Zobecněné souřadnice: jaéoli parametry popisující pohyb (úhly vzdálenosti plochy). Označujeme je q = (q 1 q ). Přílad 1: Pohyb planety olem Slunce q 1 = r( vzdálenost od Slunce; q = φ ( úhel průvodiče a zadané polopřímy; q 3 = S( plocha opsaná průvodičem. Zobecněné rychlosti: časové změny zobecněných souřadnic Přílad : v r = dr/ radiální rychlost v φ = dφ/ úhlová rychlost v S = ds/ plošná rychlost v x = dx / x-ová složa rychlosti. Vazby: těleso nebo něteré jeho části se nemusí pohybovat zcela libovolně. Pa říáme že v systému jsou vazby. Přílad vazeb je na následujícím obrázu: Těleso na naloněné rovině Dvě tělesa spojená tyčí Kyvadlo Stupeň volnosti: počet nezávislých údajů (parametrů) terými lze zcela popsat pohyb systému (značíme f ). Přílad 3: volný hmotný bod f = 3 N volných hmotných bodů f = 3N hmotný bod na naloněné rovině f = hmotné body spojené tyčí f = 5 prostorové yvadlo f = rovinné yvadlo f = 1. Pro systém N hmotných bodů s R vazbami platí f = 3N R. Zobecněné souřadnice volíme vždy jao množinu nezávislých parametrů teré zcela popisují systém tj. je jich právě f : q (q 1 q...q f ).
Konfigurační prostor: f rozměrný prostor do terého zobrazujeme hodnoty zobecněných souřadnic. Bod onfiguračního prostoru nazýváme onfigurací. Časový vývoj onfigurace systému q( nazýváme trajetorie. Stav systému: v lasicé mechanice je v daném čase t 0 stav systému zcela určen onfigurací q (q 1 q... q f ) a tendencí (zobecněnými rychlostmi) v (v 1 v... v f ). Reálná a virtuální trajetorie: q 1 t 1 reálná trajetorie trajetorie sutečně realizovaná v přírodě trajetorie virtuální (nerealizovaná) - proč? t 0 Integrální principy Přílad 4: Představme si že v rybníu se topí člově. Mezi zachráncem a rybníem je bažinatý pás ve terém se velmi těžo pohybuje pás oraniště a pole. Zachránce musí volit optimální cestu aby se tonoucímu dostal co nejrychleji (taovou cestou nemusí být nejratší spojnice mezi tonoucím a zachráncem): q Celový čas po terý se bude pohybovat zachránce určíme tato: dl dl v v xb dl dx dy 1 y T v v( xy ) v( xy ) ta ta xa Předpoládáme že známe prostorovou závislost rychlosti v (x y). Ta je dána typem terénu (pole oraniště bažina). Nyní hledáme taovou řivu y (x ) aby předchozí integrál měl minimální hodnotu. Řešením úloh tohoto typu se zabývá variační počet. d x.
Hamiltonův princip nejmenší ace Oba dva úvodní přílady vedly na optimalizaci integrálu typu xb T( x x ) F x y( x) y( x) dx. (1.1) A B x A Integrand je funcí nezávislé proměnné x hledané funce y(x) a její první derivace y'(x). Výsledem optimalizace by měla být hledaná trajetorie či řiva y(x). V úvodním příladu zachránce volil trajetorii ta aby celový čas byl nejratší. Všechny ostatní trajetorie (tzv. virtuální nerealizované) jsou sice v principu možné ale zachránce se po nich bude pohybovat delší dobu. Obdobně je tomu v příladu s louzajícím tělesem. Integrály výše uvedeného typu se nazývají funcionály. Funcionál je zobrazení při terém funci přiřadíme číslo (v našem případě celový čas). Záladní myšlena integrálních principů mechaniy je velmi podobná. Ze všech možných trajetorií systému se realizovala jen ta terá je nějaým způsobem výhodnější než ostatní. Hlediso výhodnosti se uvažuje obdobné úvodnímu příladu jen je ale nezávislou proměnnou čas protože hledáme řivu q(: Hamiltonův princip: Budeme předpoládat že existuje funce času t zobecněných souřadnic a jejich prvních derivací (tj. stavu) L t q q q q ) ( 1 f 1 f taová že ze všech možných závislostí q (t ) = f (t ) se v přírodě realizuje ta pro terou má integrál A B 1 f 1 f St ( t ) Ltq ( q q q ) (1.) extrém (minimum). Funci L(t q dq/) nazýváme Lagrangeova funce (lagranžián) a integrál S ( t B ) integrál ace. Lagrangeovy rovnice Zaveďme virtuální posunutí q q () t q () t resp. virt real qq () t q () t virt real (1.3) jao infinitezimální rozdíl virtuální (myšlené) trajetorie a reálné (usutečněné) trajetorie. Body na obou trajetoriích si odpovídají ve stejném čase (tzv. isochronní variace). Uveďme záladní vlastnosti virtuálních posunutí: 1) q( t ) q ( t ) 0 (1.4) A d ) q q. (1.5) První vlastnost vyjadřuje že virtuální i reálné trajetorie začínají a ončí ve stejném bodě onfiguračního prostoru. Druhá vlastnost vyjadřuje záměnnost operací derivace d/ a variace δ. B
Poznáma: Vazby jsou v daném systému zahrnuty volbou zobecněných souřadnic jejich celový počet je roven počtu stupňů volnosti. Virtuální posunutí jsou posunutí ve shodě s vazbami v daném čase. Odvoďme nyní nutné podmíny extremálnosti integrálu ace: Lt ( qq ) 0 Lt ( qq ) 0 L L q q 0 q q de jsme z důvodu isochronnosti vynechali diferenciaci podle času. Druhý člen nyní za pomoci (1.5) integrujeme per partes: t B L d L L q q q 0. q q q Poslední člen je vzhledem (1.4) nulový a proto L d L q q q 0. Tato rovnost musí platit pro aždé dva časy t B a pro aždé virtuální posunutí δq. Vzhledem tomu že δq jsou nezávislá (počet zobecněných souřadnic je roven počtu stupňů volnosti systému) musí být závora v předchozím vztahu pro aždé nutně nulová tj. d L L 0 ; 1 f. t q q d (1.6) Tyto rovnice představují nutné podmíny extremálnosti integrálu ace a nazývají se Lagrangeovy rovnice. Z matematicého hledisa jde o obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu pro extremální trajetorii q (t ); = 1... f terá je realizována v přírodě. Poznámy: 1) Lagrangeovy rovnice jsou pohybovými rovnicemi našeho systému v zobecněných souřadnicích. Jejich tvar nezávisí na volbě souřadnicové soustavy. Newtonovy rovnice musí být speciálním případem v artézsém souřadnicovém systému. ) Rovnice je třeba doplnit o počáteční podmíny
q ( t ) q 0 0 q ( t ) q 0 0 (1.7) tj. zadat stav v nějaém počátečním čase t 0. 3) Lagrangeova funce není jednoznačně určitelná liší-li se napřílad dvě Lagrangeovy funce o úplnou časovou derivaci libovolné funce potom pro obě Lagrangeovy funce vyjdou stejné rovnice a tedy i stejné fyziální řešení: 4) Hamiltonův princip v uvedené podobě platí jen pro nedisipativní systémy tj. systémy ve terých nedochází tepelným ztrátám. 5) Lagrangeovy rovnice jsou jen nutnými podmínami extremálnosti integrálu ace nioli postačujícími. 6) V případě dy nejde o hledání časové závislosti trajetorie ale obecné řešení extremálnosti funcionálu (1.1) jsou nutnými podmínami Eulerovy rovnice d F F 0. dx y y 7) V matematice se nutné podmíny minima funcionálu nazývají Eulerovy rovnice ve fyzice nutné podmíny extremálnosti integrálu ace Lagrangeovy rovnice. Nědy se těmto rovnicím jednoduše říá Eulerovy-Lagrangeovy rovnice. Nejdůležitější úlohou daného vědního oboru je volba správné Lagrangeovy funce. Zvolímeli určitý tvar Lagrangeovy funce můžeme řešit příslušné Lagrangeovy rovnice a tato řešení porovnat s experimentálním průběhem trajetorií. Nesouhlasí-li je vybraná Lagrangeova funce špatná. Volba Lagrangeovy funce patří mezi záladní axiomy budované teorie. Zpravidla se za L vybírá vhodná salární funce (její hodnota nezávisí na volbě souřadnic). Pro jednoduché mechanicé problémy známe dvě důležité salární funce: ineticou a potenciální energii. V nejjednodušším případě by Lagrangeova funce mohla být jejich lineární ombinací L = αt + βv. Sutečně lze uázat že pro volbu α = 1 β = 1 dostáváme správné pohybové rovnice v artézsém souřadnicovém systému rovnice Newtonovy viz přílad 6. v následující apitole. Proto L( t q q ) T ( q q ) V ( t q). (1.8) Potenciální energie závisí na poloze (potence poloha). Pro ompliovanější systémy je rozdělení Lagrangeovy funce na ineticou a potenciální energii značně obtížné a navíc zbytečné. Jedinou úlohou mechaniy je volba správné Lagrangeovy funce pro daný systém ta aby řešení příslušných Lagrangeových rovnic odpovídalo pozorovaným trajetoriím. Naopa ja uvidíme později na záladě různých symetrií systému lze za pomoci Lagrangeovy funce definovat taové veličiny jao je energie hybnost moment hybnosti systému atd. Vhodnou Lagrangeovu funci lze nalézt i pro relativisticou mechaniu pohyby nabitých částic v eletricých a magneticých polích pro teorii eletromagneticého pole pro obecnou teorii relativity i pro další fyziální obory. Vždy z ní potom plynou rovnice popisující daný problém např. v teorii eletromagneticého pole Maxwellovy rovnice Jednoduché přílady Přílad 5: Hmotný bod v potenciálním poli V(x y z ) Hmotný bod má tři stupně volnosti za zobecněné souřadnice zvolíme q 1 = x ; q = y ; q 3 = z potom
1 T( x y z) m x y z ; V( x y z) daná funce ; 1 L( xx ) T V m x y z V( x y z). Příslušné Lagrangeovy rovnice mají tvar d L L d V V 0 ( mx) 0 m x ; x x x x d L L d V V 0 ( my) 0 m y ; y y y y d L L d V V 0 ( mz) 0 m z. z z z z Všechny tři pohybové rovnice můžeme přepsat do běžného tvaru m x F; F V. Přílad 6: Rovinné yvadlo y l m d x Rovinné yvadlo má jediný stupeň volnosti. Za zobecněnou souřadnici zvolíme úhel φ. Potom x( l sin( x l cos ; 1 1 T m( x y ) ml V mgy mgl cos L T V 1 ; y( l cos( y l sin ml mgl cos Odpovídající Lagrangeova rovnice je L L g 0 sin 0. l Pro malé úhly je sin φ φ a rovnice přechází v běžnou rovnici pro matematicé yvadlo. Přílad 7: Pohyb po naloněné rovině z s x x y L( s x s ) T V 1 m( x Pohyb po naloněné rovině má dva stupně volnosti. Za zobecněné souřadnice budeme volit vzdálenosti od hran naloněné roviny x (t ) a s (t ). Standardním postupem máme: xt () xt (); yt () st ()cos ; zt () st ()sin ; 1 1 T m( x y z ) m( x s ); V mgz mgssin s ) mgs sin.
a pohybové rovnice jsou Přílad 8: LC obvod d L L 0 x 0 x x d L L 0 s gsin. s s Za zobecněnou souřadnici budeme volit náboj Q (t ) oelý z ondenzátorové baterie. Příslušnou zobecněnou rychlostí je eletricý proud I = dq/. L C Označíme-li indučnost L a apacitu C potom Lagrangeova funce posytne správnou rovnici LC obvodu: 1 Q L( Q Q ) L Q C d L L 1 0 Q Q 0. Q Q LC Povšimněte si že první člen v Lagrangeově funci je energie vázaná v magneticém poli cívy a druhý člen energie ondenzátorové baterie.