7 Optická difrakce jako přenos lineárním systémem

Transkript

1 113 7 Opticá difrace jao přenos lineárním systémem 7.1 Impulsová odezva pro Fresnelovu difraci 7. Přenosová funce pro Fresnelovu difraci jao Fourierova transformace impulsové odezvy 7.3 Fourierovsý rozlad vlnové funce a její úhlové spetrum 7.4 Difrační integrál a impulsová odezva pro Fraunhoferovu difraci 7.5 Fresnelova difrace vyjádřená superpozicí rovinných vln 7.6 Přenosová funce pro Fresnelovu difraci zísaná z podílu úhlového spetra výstupní a vstupní vlnové funce Přistupme nyní opticé difraci z hledisa teorie lineárních systémů. Záladní pojmy a vlastnosti lineárních systémů jsou shrnuty v dodatu D. Z fyziálních důvodů je zřejmé, že na Fresnelovu difraci v homogenním izotropním prostředí chápanou ta, že jde o nalezení vlnové funce v rovině rovnoběžné s difračním stínítem, můžeme pohlížet jao na přenos lineárním prostorově invariantním systémem: Vstupní funcí je známá vlnová funce v rovině z =, terou značíme ψx, y, ψ x M, y M, a výstupní funcí je Fresnelova difrace ψx, y, z v rovině z = onst. >. Že jde o přenos lineárním systémem je zřejmé: Lineární ombinaci vstupních funcí odpovídá táž lineární ombinace příslušných výstupních funcí. Že jde o přenos prostorově invariantním izoplanaticým systémem, je rovněž zřejmé: Posuneme-li vstupní funci ψ x M, y M v rovině z =, posune se stejným způsobem Fresnelova difrace v rovině z = onst. >. Taé v případě Fraunhoferovy difrace je vstupní funcí známá vlnová funce ψ x M, y M ψx, y,, výstupní funcí je vša její Fourierova transformace A n x, n y. Fraunhoferovu difraci v homogenním izotropním prostředí lze jistě považovat za přenos lineárním systémem, nioliv vša systémem prostorově invariantním. Posunutí vstupní funce ψx, y, v rovině z = o nějaý vetor r x, y má totiž za následe násobení původní výstupní funce fázorem in x x + n y y ] srov. např. 1], odst V případě Fresnelovy difrace má tedy smysl si ujasnit, co je impulsovou odezvou a co přenosovou funcí. V případě Fraunhoferovy difrace má smysl mluvit pouze o impulsové odezvě, nioli vša o přenosové funci, neboť ta je definováná jen pro prostorově invariantní systémy. Je pozoruhodné, že z hledisa teorie systémů se v tomto smyslu Fraunhoferova difrace jeví být obecnější než Fresnelova. 7.1 Impulsová odezva pro Fresnelovu difraci Rayleighův Sommerfeldův difrační integrál představuje matematicy rigorózní řešení problému Fresnelovy difrace: známé vlnové funci ψ v rovině z = přiřazuje vlnovou funci v rovině z > obr. 1. Označíme-li, ja je naším zvyem, proměnné v rovině z = symboly x M, y M a vlnovou funci v této rovině symbolem ψ x M, y M ψx, y,, uvážíme-li, že s M = x M x ı+y M y j z a n =, je y x Px,y,z Mx,y, s z Obráze 1: Soustava souřadnic používaná popisu přenosu vlnové funce z roviny z = do roviny z = onst. >.

2 114 7 OPTICKÁ DIFRAKCE JAKO PŘENOS LINEÁRNÍM SYSTÉMEM a integrál lze přepsat do tvaru ψx, y, z = iz s M z n = s M x xm + y y M + z ψ x M, y M Tento integrál 1 má zřetelně tvar onvoluce de h z x, y = iz x x M + y y M + z x x M + y y M + z ] i 1 + dx M dy M. 1 x x M + y y M + z ψx, y, z = ψ x, y h z x, y, i V terminologii teorie systémů je ovšem difrační integrál 1 superpozičním integrálem a funce h z 3 impulsovou odezvou. Poznáma: Taé různá aproximativní vyjádření integrálu 1, jichž jsme používali v ap. 3 a 5, mají tvar onvoluce a jsou superpozičními integrály. Příslušné impulsové odezvy jsou aproximacemi impulsové odezvy 3. Připomeneme tři tato aproximativní vyjádření: i V případě opticé difrace bývá 1, taže impulsovou odezvu 3 lze aproximovat výrazem h z x, y i z x + y + z x + y + z. 4 To odpovídá impulsové odezvě v integrálu 3.6 vyjadřujícím Huygensův Fresnelův princip apliovaný na náš problém přenosu vlnění z roviny z = do roviny z = onst. >. ii Položíme-li dále z x +y +z. = 1, je impulsová odezva aproximována rozbíhavou ulovou vlnou což odpovídá impulsové odezvě v integrálu h z x, y i, 5 x + y + z iii Konečně, použijeme-li Fresnelovy aproximace ulové vlny 1.16 iz i x + y ], x + y + z z z dostáváme z 5 h z x, y i iz z i z x + y ] = P z x, y, 6 což odpovídá impulsové odezvě v difračním integrálu.3, jenž byl východisem při výpočtech onrétních Fresnelových difračních jevů v apitole 5. Tento tvar impulsové odezvy se v literatuře nědy nazývá Fresnelovým propagátorem P z x, y.

3 7. Přenosová funce pro Fresnelovu difraci jao Fourierova transformace impulsové odezvy Přenosová funce pro Fresnelovu difraci jao Fourierova transformace impulsové odezvy Zabývejme se nyní otázou, co je přenosovou funcí při Fresnelově difraci. Odpověď na tuto otázu zísáme dvěma způsoby. Jedna výpočtem Fourierovy transformace impulsové odezvy 7.13 v další části tohoto odstavce, jedna z Fourierovy transformace vlnové funce charaterizující Fresnelovu difraci v odst Je samozřejmé, že odpověď bude v obou případech stejná. Počítejme tedy Fourierovu transformaci impulsové odezvy h z x, y Parametry A, B ve Fourierově transformaci viz dodate D, resp. 1], odst..1 zvolíme ve tvaru A = /, B = 1. Důvodem pro tuto volbu parametrů A, B je, aby Fourierova transformace vlnové funce představovala amplitudu rozladu vlnové funce do rovinných vln viz odst. 7.3 až 7.5 v dalším textu. Přenosová funce H z n x, n y je definována Fourierovým integrálem H z n x, n y = FT {h z x, y} = h z x, y i n x x + n y y] dx dy, 1 de n x, n y jsou reálné proměnné nabývající hodnot z intervalu, a h z x, y je impulsovou odezvou ve tvaru Vzhledem e ompliovanému tvaru impulsové odezvy lze očeávat, že výpočet integrálu 1 bude poměrně obtížný. Zvolíme tento postup. Využijeme toho, že impulsová odezva h z, a tedy i přenosová funce H z, je rotačně symetricou funcí. Vyjádříme impulsovou odezvu v polárních souřadnicích a Fourierovu transformaci 1 vyjádříme prostřednictvím Hanelovy transformace nultého řádu. Impulsovou odezvu h z vyjádříme prostřednictvím Hanelovy funce H 1 3/ integrálů Besselových funcí a integrál 1 vypočteme. Zavedeme tedy polární souřadnice a využijeme bohaté zásobnice x = r cos ϕ, n x = R cos Φ, r, R,, y = r sin ϕ, n y = R sin Φ, ϕ, Φ,. Je zřejmé, že impulsová odezva 7.13 má v polárních souřadnicích tvar h z r = iz i r + z r + z 1 + i r + z. 3 Uvážíme-li, že Hanelovu funci H 1 3/ y lze vyjádřit elementárními funcemi viz např. 1], B.71 H 1 3/ y = πy iy 1 + i, y můžeme upravit impulsovou odezvu 3 do tvaru h z r = i3/ z Jádro Fourierovy transformace 1 vyjádříme v polárních souřadnicích a tím převedeme Fourierův integrál 1 do tvaru H z R = H 1 3/ r + z. 4 r + z 3/4 in x x + n y y] = irr cosϕ Φ ], h z r r jenž po použití integrální reprezentace Besselovy funce J x = 1 α+ α irr cosϕ Φ ] dϕ dr, 5 ±ix cos ϕ dϕ srov. 1], B.136 vyjadřuje přenosovou funci H z Hanelovou transformací nultého řádu:

4 116 7 OPTICKÁ DIFRAKCE JAKO PŘENOS LINEÁRNÍM SYSTÉMEM Dosadíme-li 4 do 6, dostáváme H z R = H z R = Integrál v 7 najdeme v tabulách. Podle ], je h z r J Rrr dr. 6 i7/ z H 1 3/ r + z J 3/ r + z 3/4 Rr r dr. 7 H 1 3/ r + z J r + z 3/4 Rr r dr = 1 R 1/4 z ir 1 1/4 π z H 1 1/ z 1 R, dyž R < 1, K 1/ z R 1, dyž R > 1. 8 Hanelovu funci H 1 1/ y i Macdonaldovu funci K 1/y lze vyjádřit elementárními funcemi viz např. 3], a H 1 π 1/ y = i πy iy, K 1/y = y S použitím 9 je integrál 8 pro všechny hodnoty R vyjádřen funcí H 1 3/ r + z J r + z 3/4 Rr r dr = i π Dosazením 1 do 7 dostáváme výsledný tvar přenosové funce tj. v artézsých souřadnicích H z R = H z n x, n y = y / z iz 1 R. 1 iz 1 R, 11 iz 1 n x n y. 1 Impulsová odezva h z x, y ve tvaru 7.13 a přenosová funce H z n x, n y ve tvaru 1 jsou dvojicí funcí, teré spolu souvisejí Fourierovou transformací. Poznáma: Není samozřejmé, a tím je zajímavé, že existují taé přibližná vyjádření přenosové funce H z a impulsové odezvy h z, terá jsou dvojicí funcí, jež spolu souvisejí Fourierovou transformací. Konrétně, omezíme-li se na obor n x + n y 1, můžeme přenosovou funci 1 aproximovat výrazem H z n x, n y iz iz n x + n ] y. 13 Uážeme, že toto aproximativní vyjádření je Fourierovou transformací Fresnelova propagátoru Vzhledem tomu, že obě funce jsou rotačně symetricé, bylo by opět možné počítat Fourierův integrál v polárních souřadnicích a s pomocí Besselovy funce J. Avša vzhledem tomu, že dvojný Fourierův integrál lze v těchto aproximativních výrazech funcí H z a h z fatorizovat, zůstaneme u artézsých souřadnic. Budeme počítat inverzní Fourierovu transformaci funce 13, označíme ji gx, y = iz iz n x + n ] y i n x x + n y y ] dn x dn y 14 a uážeme, že platí gx, y = P z x, y. Dvojný integrál Ix, y v 14 lze fatorizovat, Ix, y = I 1 xi y, de

5 7.3 Fourierovsý rozlad vlnové funce a její úhlové spetrum 117 I 1 x = iz n x ] x n x dn x, I y = z iz n y n y y z ] dn y. Tyto integrály vypočteme pomocí Fresnelových integrálů jao vždy, dyž integrandem je omplexní onenciální funce, jejímž argumentem je lineární ombinace první a druhé mocniny integrační proměnné viz např. 5.15: I 1 x = = π z iz n x x ] i dn x z z x i z x i π v dv = = 1 i π i z z x. = Integrál I x je obdobný, taže Ix, y = I 1 xi y = i π i z x + y ]. z Dosadíme-li tento výraz za integrál v 14, dostáváme gx, y = i iz z srov. 7.16, což jsme chtěli v této poznámce uázat. i x + y ] = P z x, y 15 z * * * Shrneme v jednom souvětí, co jsme zatím v této apitole udělali: Interpretací Rayleighova Sommerfeldova difračního integrálu jao superpozičního integrálu jsme nalezli impulsovou odezvu 7.13 a její Fourierovou transformací jsme vypočetli přenosovou funci 7.1 pro Fresnelovu difraci. Nyní budeme postupovat v jistém smyslu opačně. Touž přenosovou funci odvodíme nezávisle na výsledcích odst. 7., a to podílem Fourierových transformací výstupní a vstupní vlnové funce odst Inverzní Fourierovou transformací tato zísané přenosové funce je ovšem impulsová odezva 7.13, taže inverzní Fourierovu transformaci ani nemusíme počítat. Tento postup představuje nové a nezávislé odvození Rayleighova Sommerfeldova difračního integrálu 6.513, tj Kromě toho dává nový pohled na vlnovou funci jao superpozici rovinných a evanescentních vln a na Fraunhoferovu difraci odst. 7.4 a Fourierovsý rozlad vlnové funce a její úhlové spetrum Vyjádříme vlnovou funci ψx, y, z představující Fresnelovu difraci v rovině z = onst. Fourierovým integrálem, a to poněud zvláštním způsobem. Nioli trojným integrálem, ja by se mohlo očeávat u funce tří proměnných, ale pouze dvojným: V aždé rovině z = onst. lze považovat vlnovou funci ψx, y, z za funci dvou proměnných x, y a tuto funci vyjádřit dvojným Fourierovým integrálem ψx, y, z = An x, n y ; z in x x + n y y] dn x dn y. 1 V tomto integrálu jsou n x, n y fourierovsé proměnné, jejichž povahu nemusíme nyní specifiovat. V teorii difrace bývá = λ, taže nepřevapí, dyž se uáže, že n x a n y souvisejí se směrovými osiny. Integrál 1 má tvar inverzní Fourierovy transformace. Funce An x, n y ; z je tedy Fourierovou transformací vlnové funce ψ:

6 118 7 OPTICKÁ DIFRAKCE JAKO PŘENOS LINEÁRNÍM SYSTÉMEM An x, n y ; z = ψx, y, z in x x + n y y] dx dy. Funce An x, n y ; z se nepříliš výstižně nazývá úhlové spetrum funce ψx, y, z viz např. 4], 3.7, 5], 3.1. Usilujeme o alternativní odvození difračního integrálu. Vztahy 1 a jsou zatím formální, neboť funci ψx, y, z pro z > dosud neznáme, a neznáme tedy ani licitní výraz pro její úhlové spetrum An x, n y ; z. Funci ψ vša známe v rovině z =, de ji značíme ψx, y, ψ x M, y M. Dosadíme-li ji do rovnice, dostaneme její úhlové spetrum A n x, n y An x, n y ; : An x, n y ; = ψ x M, y M in x x M + n y y M ] dx M dy M. 3 Nalezneme-li licitní tvar úhlového spetra pro z >, zísáme podílem An x, n y ; z An x, n y ; = H z n x, n y přenosovou funci H z n x, n y pro Fresnelovu difraci srov. D.37. Inverzní Fourierovou transformací přenosové funce H z n x, n y pa můžeme vypočítat impulsovou odezvu h z x, y a onvolucí vstupní funce ψ x M, y M a impulsové odezvy h z x, y pa můžeme zísat nezávisle odvozený difrační integrál. Nebudeme to vša muset dělat, neboť uvidíme v odst. 7.5, že tato nezávisle odvozená přenosová funce H z n x, n y má tvar 7.1, taže impulsová odezva h z x, y má tvar Hledejme tedy licitní tvar funce An x, n y ; z pro všechna z 4], 3.7, 5], V poloprostoru z nejsou žádné zdroje vlnění, taže funce ψx, y, z vyhovuje Helmholtzově rovnici Dosadíme tedy integrál 1 do Helmholtzovy rovnice. Za tím účelem vypočteme derivace integrálu 1 ψ x = ψ y = ψ z = n xan x, n y ; z in x x + n y y] dn x dn y, 4 n yan x, n y ; z in x x + n y y] dn x dn x, 5 An x, n y ; z z in x x + n y y] dn x dn y 6 a dosadíme je do Helmholtzovy rovnice ψ+ ψ =. Zaměníme pořadí sčítání a integrace a dostaneme ] 1 n x n y Anx, n y ; z + An x, n y, z z in x x + n y y] dn x dn y =. 7 Rovnice 7 platí pro všechny body x, y, z. Musí tedy být An x, n y, z z + 1 n x n y Anx, n y, z =. 8 To je obyčejná lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s onstantními oeficienty. Její řešení splňující orajovou podmínu 3 je An x, n y ; z = An x, n y ; iz 1 n x n y. 9 Toto je velmi důležitý výslede, jejž využijeme v odst. 7.6 alternativnímu, tj. nezávislému na odst. 7., nalezení přenosové funce popisující šíření vlny homogenním izotropním prostředím. Dosadíme-li pravou stranu výrazu 9 do integrálu 1, dostaneme vlnovou funci v obecné rovině z = onst. ve tvaru

7 7.4 Difrační integrál a impulsová odezva pro Fraunhoferovu difraci 119 ψx, y, z = ] An x, n y ; i n x x + n y y + z 1 n x n y dn x dn y. 1 Věnujme se nyní interpretaci tohoto výrazu. Je zřejmé, že poud je n x + n y 1, představuje fázor ] i n x x + n y y + z 1 n x n y rovinnou vlnu šířící se ve směru nn x, n y, 1 n x n y. Je-li vša n x + n y > 1, upravíme výraz 11 do tvaru 11 z n x + n y 1 in x x + n y y]. 1 Tento výraz představuje rovněž vlnu, neboť je řešením Helmholtzovy rovnice ψ + ψ =, nioli vša rovinnou vlnu. Plochy onstantní amplitudy jsou roviny z = onst. a amplituda vlny 1 onenciálně lesá s rostoucí vzdáleností z od difračního stíníta v rovině z =. Už při n x + n y = 1, 1 se ve vzdálenosti z = 1λ zmenší modul z n x + n y 1 vlny 1 na 1 3 jeho hodnoty při z =. Plochy onstantní fáze jsou roviny n x x + n y y = onst., tj. y = n x n y x + onst. n y, tedy roviny s normálou Nn x / n x + n y, n y / n x + n y,. Výraz 1 je nehomogenní vlnou, neboť plochy onstantní amplitudy nejsou totožné s plochami onstantní fáze jsou na sebe olmé. Vzhledem onenciálnímu polesu amplitudy v závislosti na souřadnici z nazývají se vlny 1 evanescentními vlnami z latinsého evanescere vymizet, zaninout. O evanescentních vlnách pojednává stať 6] a monografie 7]. 7.4 Difrační integrál a impulsová odezva pro Fraunhoferovu difraci Úhlové spetrum A n x, n y 7.33 vstupní funce ψ x M, y M A n x, n y = ψ x M, y M in x x M + n y y M ] dx M dy M. 1 představuje tedy amplitudy rovinných a evanescentních vln, do nichž lze vstupní funci ψ rozložit. Inverzní Fourierova transformace 1, ψ x M, y M = A n x, n y in x x M + n y y M ] dn x dn y, je pa vyjádřením vstupní funce superpozicí rovinných a evanescentních vln. Připomeneme-li si fyziální definici Fraunhoferovy difrace jao směrového rozložení difratovaného vlnění srov. odst. a nebereme-li v úvahu evanescentní vlny, zaniající v nepatrné vzdálenosti za difračním stínítem, je zřejmé, že integrál 1 je difračním integrálem pro Fraunhoferovu difraci. Je pozoruhodné, ja jednoduše jsme tento difrační integrál zísali: Právě jen Fourierovou transformací vstupní vlnové funce ψ x M, y M. Naproti tomu zísat tento výslede z Huygensova Fresnelova principu bylo dosti pracné a vyžadovalo použití problematicé aproximace srov. odst Pro mezní případ Fraunhoferovy difrace nerušené šíření vlnění, dy funce ψ x M, y M = 1, dává integrál 1 očeávaný výslede: A n x, n y = in x x M + n y y M ] dx M dy M = δn x δn y. 3 Tj. vlnění postupuje v primárním směru n,, 1. Pohlížíme-li na integrál 1 jao na superpoziční integrál D. lineárního systému, je funce

8 1 REFERENCE hn x, n y ; x M, y M = impulsovou odezvou D.1 pro Fraunhoferovu difraci. in x x M + n y y M ] Fresnelova difrace vyjádřená superpozicí rovinných vln Integrál 7.31 vyjadřuje vlnovou funci ψx, y, z charaterizující Fresnelovu difraci jao superpozici rovinných a evanescentních vln, z nichž aždá je tvaru ] A n x, n y i n x x + n y y + z 1 n x n y. 1 Amplituda těchto vln A n x, n y jsouc Fourierovou transformací 7.33 vstupní aperturní funce ψ x M, y M nezávisí ovšem na z. Taže rozmanité difrační obrazce pozorované v různých rovinách z = onst. > se vytvářejí součtem 7.31 týchž rovinných a evanescentních vln 1. Ja bylo řečeno, evanescentní vlny zaniají již ve vzdálenosti něolia vlnových déle od vstupní roviny. Můžeme proto považovat integrál 7.31 za superpozici rovinných vln. 7.6 Přenosová funce pro Fresnelovu difraci zísaná z podílu úhlového spetra výstupní a vstupní vlnové funce Přenosová funce lineárního prostorově invariantního systému je úměrná podílu Fourierových transformací výstupní a vstupní funce viz dodate D.37. Fourierovsý rozlad vlnové funce, jenž nás přivedl e vztahu 7.39, ta nezávisel na výsledcích odst. 7., a tedy nezávisel na teorii Rayleighova Sommerfeldova difračního integrálu, dává výraz pro přenosovou funci H z n x, n y = An x, n y ; z An y, n y ; = iz 1 n x n y. 1 Tento výslede možná nepříliš podstatný pro výpočty onrétních difračních jevů je pro nás pozoruhodný tím, že představuje rigorózní odvození Rayleighova Sommerfeldova difračního integrálu 6.513, alternativní odvození v odst Inverzní Fourierova transformace přenosové funce 1 je totiž impulsová odezva 7.13, a tím se dostává Rayleighův Sommerfeldův difrační integrál 7.11, tj Inverzní Fourierovu transformaci přenosové funce 1 není ovšem vůbec třeba počítat. Výslede totiž známe. V odst. 7. jsme vypočetli, že přenosová funce 1 tj je Fourierovou transformací impulsové odezvy Je tudíž samozřejmé, že inverzní Fourierovou transformací přenosové funce 1 je impulsová odezva Poznáma: Konrétní tvar Fourierovy transformace nějaé funce závisí na volbě onstant A, B, v definici Fourierovy transformace. Ta je tomu i s přenosovou funcí. Výraz 7.1, tj. 1, platí pro volbu A = /, B = 1, = /λ, v níž fourierovsé proměnné n x, n y představují směrové osiny. Pracujeme-li s prostorovými frevencemi X f = n x /λ, Y f = n y /λ, volíme onstanty A = 1, B = 1, = a přenosová funce pro Fresnelovu difraci má tvar H z X f, Y f = i z 1 ] λx f λyf, λ ve shodě s D.37 f. Reference 1] Komrsa J.: Fourierovsé metody v teorii difrace a ve struturní analýze. VUTIUM, Brno 1. ] Bateman H., Erdélyi A.: Higher Transcendental Functions. Volume. McGraw Hill Boo Co., Inc., New Yor, Toronto, London ] Gradshteyn I. S., Ryzhi I. M.: Table of Integrals, Series, and Products. 5th Edition. Academic Press, San Diego 1994.

9 REFERENCE 11 4] Goodman J. W.: Introduction to Fourier Optics. McGraw Hill Boo Co., Inc., New Yor, Toronto, London ] Goodman J. W.: Introduction to Fourier Optics. Second Edition. McGraw Hill Boo Co., Inc., New Yor, Toronto, London ] Bryngdahl O.: Evanescent Waves in Optical Imaging. In Progress in Optics XI. E. Wolf, ed., North Holland Publ. Co., Amsterdam 1973, ] Fornel F. de: Evanescent Waves. From Newtonian Optics to Atomic Optics. Springer, Berlin 1.