Funkcionální rovnice. Franta Konopecký. Úvod

Podobné dokumenty
4. série. Funkcionální rovnice. Téma: Datumodeslání: Najdětevšechnyfunkce f: R Rtakové,žeprovšechnydvojicereálnýchčísel xayplatí:

Funkcionální rovnice. Vít Musil. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Funkcionální rovnice

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

MATEMATIKA. který byl zveřejněn v našem časopise v roce V tomto navazujícím

Diferenciální rovnice 1

Funkce - pro třídu 1EB

Funkcionální rovnice

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Funkce pro studijní obory

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

----- Studijní obory. z matematiky. z matematiky. * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Extrémy funkce dvou proměnných

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

[ 0,2 ] b = 2 y = ax + 2, [ 1;0 ] dosadíme do předpisu Soustavy lineárních nerovnic. Předpoklady: 2206

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019

8 Střední hodnota a rozptyl

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je:

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce

Q(y) dy = P(x) dx + C.

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály,

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce

Že tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad Definiční obor (množina A)

Algebraické výrazy - řešené úlohy

) je definovaná pro libovolné kladné reálné číslo x a nabývá všech hodnot ( H f

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Bakalářská matematika I

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou

1 Polynomiální interpolace

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

Cyklické soustavy rovnic

Posloupnosti a jejich konvergence

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

Limita a spojitost LDF MENDELU

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

VI. Derivace složené funkce.

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

( ) ( ) Lineární nerovnice II. Předpoklady: Jak je to s problémem z minulé hodiny? Získali jsme dvě řešení nerovnice x < 3 :

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?

Matematická analýza III.

Zápis zadání však nelze úplně oddělit od ostatních částí řešení úlohy. Někdy např. až při rozboru úlohy zjistíme, které veličiny je třeba vypočítat, a

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

Základy matematiky pracovní listy

3. ledna list a odevzdejte tento zvláštní list (listy) i všechny ostatní listy, které jste při řešení

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

CVIČNÝ TEST 17. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

Vybrané kapitoly z matematiky

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Logaritmická rovnice

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

Limita a spojitost funkce

2.3.7 Lineární rovnice s více neznámými I

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Lineární rovnice

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

Soustavy rovnic a nerovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

Transkript:

Funkcionální rovnice Franta Konopecký Úvod Na této přednášce si osvojíte práci s funkcionálními rovnicemi, jejich řešeními a možnostmi postupu. Systematicky jsou tu probrány jednotlivé zajímavé vlastnosti funkcí a jak se dají z funkcionální rovnice vyčíst. Příspěvek ve sborníčku by měl sloužit jako ucelený manuál, jak funkcionální rovnice řešit. Co je funkcionální rovnice, co vyjadřuje? Zadání funkcionální rovnice může vypadat například následovně: Úloha1. Najdětevšechnyfunkce f: Q Qsplňující f(x+y)=f(x)+f(y) provšechna x, y Q. Úloha 2. Hledejte všechny spojité funkce f: R R vyhovující rovnici pro x, y R. f(x+y)=f(x)+f(y) Úloha 3. Najděte všechny funkce definované na celé reálné ose splňující funkcionální rovnici f(x+y)+2f(x y) 4f(x)+xf(y)=3y 2 x 2 2xy+ xy 2 ; x, y R. Úloha 4. Najděte všechny funkce splňující rovnici (f(x)+f(y))(f(u)+f(v))=f(xu yv)+f(xv+ yu); x, y, u, v R. ad 1. Funkcionální rovnice(1) nám říká: najděte všechny funkce, které splňují rovnici f(x+y)=f(x)+f(y)provšechnyhodnotyracionálníchčísel xay. Dodatbychomještěměli:... aověřte,ževáminalezenéfunkcevyhovují. Pro představu prozradím, že například funkce f(x) = 2x této rovnici vyhovuje, protože f(x+y)=2(x+y)af(x)+f(y)=2x+2y=2(x+y),takžejerovnice f(x+ +y)=f(x)+f(y)splněnaprovšechnapožadovaná x, y Q.Funkce f(x)=x+1 naopaknevyhovuje,protože f(x+y)=x+y+1 x+1+y+1=f(x)+f(y). ad2. Funkcionálnírovnice(2)mástejnýtvar,alesedvěmazměnami.Prvníje, žejedefinovanánacelém Rafunkčníhodnotymohounabývatnarozdílodtěch v(1) také reálných hodnot. Druhou je, že máme dodanou pomocnou podmínku, žejefunkcespojitá.beztétopodmínkylzerovnicivrtakévyřešit,aleřešení 17

Rapotín 07 jeošklivějšínežnechutné.důležitéjesituuvědomit,žeřešenínalezenáv(1)by mohlabezvětšíchobtížífungovativ(2)(přisprávnémrozšířenízqna R). ad 3. Tatorovnicejepříklademtěch,kdenámvedlejšívýrazy vylézají na povrch.kroměfunkčníchvýrazůtypu f(něco)sevnítotižobjevujíivýrazytypu x 2, xy,atd.rovnicetohototypujsouvětšinoujednodušší,protožeřešenívhodně případechpřímo vypadne nějakýmspeciálnímdosazenímza xnebo y,viztzv. substituční metoda řešení. ad4. Totojejednaznejtěžšíchfunkcionálníchrovnic,sjakoujsemsesetkal.Je vnídůležitémítpřehledovětšinětriků,kterésevtomtopříspěvkunaučíte.na přednášce si ji vyřešíme, těšte se! Základní metody řešení Základními metodami řešení funkcionálních rovnic jsou substituční metoda a Cauchyho metoda. Substituční metoda Substituční metoda spočívá, řečeno co nejobecněji, v následujícím postupu: Předpokládáme, že už máme řešení funkcionální rovnice a vhodným dosazením za proměnné se snažíme ukázat, co by mělo toho řešení splňovat. Někdy nám vyjde užitečnávlastnostfunkce(f(x)jesudá,prostá,... ),jindypřímotvar,jakmusí vypadat. Pokud dostaneme tvar funkce(nebo si ho odvodíme z nalezených vlastností), je nutné ho dosadit do zadání a zkouškou ověřit, že je skutečně řešením. Osvětlímesitonaúloze(3): Úloha. Najděte všechny funkce definované na celé reálné ose splňující funkcionální rovnici f(x+y)+2f(x y) 4f(x)+xf(y)=3y 2 x 2 2xy+ xy 2. Řešení. Předpokládejme,ženějaká f(x)jeřešenímaoznačme f(0)=c.funkcionálnírovnicejesplněnaprovšechnydvojicečísel x, y,jetedysplněnaipro dvojicičísel 13 x=x, y=0,dosazenímzatutodvojicidostaneme: neboli f(x)+cx= x 2 f(x)=x 2 + cx. Dosadíme-livzískanémvztahu x=0,dostanemenavíc f(0)=0,tedy c=0a jedinýmtvarem,jakýmůžemítnašefunkce f(x),zůstal f(x)=x 2.Zpředpokladu, 13 dosazujeme speciální hodnoty za proměnné, abychom dostali nějakou vlastnost funkce, nebo konkrétní tvar 18

Franta Konopecký: Funkcionální rovnice žefunkce f(x)řešínaširovnicijsmeodvodili,ženutněmusíplatitvztah f(x)= = x 2.Teďužstačíjenzískanývztahdosaditdozadanérovniceaověřit,žefunkce f(x)=x 2 jeřešenímnašírovnice. Vztah, který by určoval, jak musí nutně vypadat funkce splňující zadanou rovnici, nemusí jít z funkcionální rovnice přímo získat. Proto je tu Cauchyova metoda. Cauchyho metoda Cauchyho metoda se zakládá na postupném odvození chování funkce pro přirozená čísla, poté pro celá, posléze pro racionální a s trochou štěstí(pokud to zadání požaduje) nakonec pro všechna reálná čísla. Cauchyho metodu ozřejmíme na úloze(2). Úloha. Najděte všechny spojité funkce f: R R vyhovující rovnici f(x+y)=f(x)+f(y); x, y R. Řešení. Předpokládejme,žemámejednotakovéřešení 14 f(x).dosazením x=0 a y =0zjistíme,ženutně 15 platí f(0)=0.dosazením 16 y = xdostáváme f( x)= f(x).matematickouindukcísnadno 17 dokážemevztah f(x 1 +x 2 + + + x n )=f(x 1 )+f(x 2 )+ +f(x n ),speciálněpakpro x 1 = x 2 = =x n = x vztah f(nx)=nf(x)prokaždéreálnéčíslo xapřirozené(!)číslo n.označmesi f(1)=c.pak f(n)=nf(1)=cnprokaždépřirozenéčíslo n.volbou x=m/n vevztahu nf(x)=f(nx)dostáváme nf(m/n)=f(n m/n)=f(m)=cm,neboli f(m/n)=c m/n.vztah f(x)=cxtedyplatíprokaždékladné(!)racionálníčíslo x.díkyvztahu f(0)=0af( x)= f(x)mámeplatnostvztahu f(x)=cxpro každé(!)racionálníčíslo x.protožejemnožinaracionálníchčísel Qhustá 18 v R aprotožejefunkce f(x)spojitá,musí f(x)splňovatvzorec f(x)=cxnavšech reálných číslech. Zkouškou 19 provedenoudosazenímdorovnicevzadáníúlohysnadnoověříme, žefunkce f(x)=cx,kde c R,jeopravduřešením. Ne vždy je ale řešení takto přímočaré a v jistém smyslu jednoduché. Mnohdy je potřeba postupně, navzájem na sebe navazujícími kroky, odvodit celou řadu skutečností(vlastností), z nichž konečně poskládáme, jak může funkce vypadat. 14 Vůbecnemusímevědětjakéřešení.Důležitéjesiříci: Kdybychomřešeníměli,takbypro nějplatilynásledujícívěci... 15 funkcionálnírovnicemábýtprofunkci f(x)splněnaprovšechnydvojice x, y R,proto musíbýtsplněnaiprokonkrétnídvojicihodnot x=0, y=0. 16 rovnicejesplněnaprovšechnydvojice x, y,takžemusíplatitiprospeciálnívolbu y= x 17 nazačátkudáváme f((x 1 + x 2 )+x 3 )=f(x 1 + x 2 )+f(x 3 )=f(x 1 )+f(x 2 )+f(x 3 ),atd. 18 že Qjehustáv Rznamená,želibovolněblízkokteréhokolireálnéhočíslanajdemenějaké racionální číslo 19 Aspoňsezmínitozkoušcejevelicepotřebné,protožejsmezjistili,cobymuselafunkce splňovat, kdyby existovala, ale nevíme ještě, jestli když funkce splňuje f(x) = cx, tak vyhovuje. Můžesestát,žebudevyhovovatjenprourčitá cneboprožádné. 19

Rapotín 07 Základní vlastnosti funkcí Funkce mohou mít tyto vlastnosti důvěrně známé ze střední školy: (a) sudá,resp.lichá:platí f(x)=f( x),resp. f(x)= f( x)provšechna x R (b) rostoucí,resp.klesající:prolibovolná x < yje f(x) < f(y),resp. f(x) > f(y) (c) nezáporná(nebokladná): f(x) 0(nebo f(x) >0) (d) prostá:funkcenenabývážádnéhodnotyvícnežjednou(x y f(x) f(y)) (e) na: funkce nabývá všech hodnot aspoň jednou (f) bijekce: funkce nabývá všech hodnot právě jednou(každému x z definičního oborunáležíprávějedno f(x)zoboruhodnot) (g) spojitá: zjednodušeně řečeno ji jde nakreslit jedním tahem Tyto vlastnosti ve složitějších úlohách velmi pomáhají, nebo jsou dokonce nutným krokem k řešení. Rozeberme postupně jejich užitečnost. ad(a). Sudost nebo lichost ulehčuje práci na polovinu, pokud je potřeba řešit rovnici zvlášť pro kladná a záporná čísla. Pomáhá též, pokud nám různým dosazováním vyjde soustava rovnic je další pomocnou rovnicí. ad(b). Je velice důležitá, protože může v úlohách řešených pomocí Cauchyovy metodynahraditspojitost.takézníplyne,žejefunkceprostá.významnájei jejíslabšívarianta x < y f(x) f(y),resp. f(x) f(y),kterátaktéžmůže nahrazovat spojitost, ale už neříká, že je funkce prostá. ad(c). Tatovlastnostsezkrátkamůžehodit:) ad(d). Velicedůležitávlastnost,kterádává f(a)=f(b) a=b,přičemž aa bmůžoubýtivýrazy.pokudjefunkcezároveňna 20,dostáváme,žejebijekcí. ad(e). V naprosté většině případů zajišťuje, že pro každé x existuje y takové, že f(y)=x.pokudjefunkcezároveňprostá,jetobijekce. ad(f). Shrnujevsoběvlastnostifunkceprosté anaazároveňdodávásilnou implikacijestliže f(x)=y,tak f(y)=x. ad(g). Jak bylo vidět v příkladu(2), řešeném pomocí Cauchyovy metody, hodí se spojitost při rozšíření z nějaké husté číselné množiny na R. Touto hustou číselnou množinou mohou být všechna racionální čísla, všechna iracionální čísla, zlomky ve tvaru a/2 b,kde a Z, b N,atd. 20 naoborhodnot 20

Franta Konopecký: Funkcionální rovnice Cvičení na vlastnosti funkcí Nyní následuje několik cvičení na předchozí užitečné vlastnosti. Cvičení. Ukažte,že (i) z f(x+y)=f(x)+f(y), x, y Rvyplývá,žeje f(x)lichá. (ii) z(f(x)+f(y))(f(u)+f(v))=f(xu yv)+f(xv+ yu)pro x, y, u, v R, plyne,že f(x)jesudá.nápovědak(ii): x=0, u=1, v=1 Cvičení. Ukažte, že z každého z následujících bodů plyne, že je funkce f(x) rostoucí, a tedy prostá(u(iii) jen neklesající): (i) R + R + : f(xf(y))=f(xy)+x. (ii) Q + Q + : f(x+ f(x)y)=f(x)f(y)af(x) >1 (iii) R + R:f(x 2 + y 2 )=f(x 2 )+f 2 (y) Cvičení. Ukažte, že z každého z následujících bodů plyne, že je funkce f(x) prostá,u(ii)a(iii)žejebijekcí: (i) R + R:f(x 2 + y 2 )=f(x 2 )+f 2 (y) (ii) R R:f(x 2 + f(y))=y+(f(x)) 2 (iii) Q + Q + : f(xf(y))=f(x)/y Cvičení. Vyřeštena Rfunkcionálnírovnici f(x+y)=f(x)+f(y),kdyžvíte, že: (i) f(x)jeneklesající (ii) f(x)jeomezenánanějakémintervalu(a, b) Cvičení. Vyřeštena Rfunkcionálnírovnici f(x+y)=f(x)f(y),kdyžvíte,že: (i) f(x)jeneklesající (ii) f(x)jespojitánanějakémintervalu(a, b) Dalšítipyatriky Tipč.1:Nenechtesevázattím,žejsou xayreálnéproměnné.například f(x)je hodnotafunkcevčísle x,takžejetotakéčíslo,amůžetehobezproblémuza x nebo y dosadit. Tip č.2: Pokuste se na některé straně vhodným dosazením dostat symetrický výraz 21.SymetrickývýrazVámpomůženásledovně:vpříkladusfunkcíf: R + R + arovnicí f(xf(y))=f(xy)+xvezměme x=f(t)adostaneme f(f(t)f(y))=f(f(t)y)+f(t)=f(ty)+y+ f(t); t, y R. 21 symetrickýjetakovývýraz,ževněmmůžemeprohoditnázvyproměnných,anižbysevýraz změnil. Příkladem jsou f(x) + f(y) nebo f(f(x)f(y)). 21

Rapotín 07 Výraz na levé straně je symetrický, proto lze proměnné prohodit i na pravé straně: f(ty)+y+ f(t)=f(yt)+t+f(y). Odtudužsnadnodostaneme f(t) t=f(y) y,výraz f(t) tnezávisína ta protomusíplatit f(t)=t+const. Těžké příklady V následujících příkladech hledejte všechna řešení funkcionálních rovnic na zadaných oborech. Rovnice jsou splněny pro všechny hodnoty z oboru, není-li řečeno jinak. Příklad. R + R + : x 2 (f(x)+f(y)=(x+y)f(f(x)y)).(celostátníkolomo 2004) Příklad. R + R + : f(xf(y))=f(xy)+x.(celostátníkolomo2002) Příklad. Q + Q + : f(xf(y))=f(x)/y.(imo1990) Příklad. Q + Q + : f(x+f(x)y)=f(x)f(y)(golab-schinzelovarovnice) Příklad. R R:f(x 2 + f(y))=y+(f(x)) 2.(IMO1992) Příklad. R R:(f(x)+f(y))(f(u)+f(v))=f(xu yv)+f(xv+ yu).(imo 2002) Příklad. R R:(f(x f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x) 1.(IMO1999) Literatura K příspěvku byly použity znalosti z textu Pavla Podbrdského, který najdete na http://mks.mff.cuni.cz/library/funkcionalni rovnice2/ funkcionalni rovnice2.ps Dále jsem použil informace ze stránek Johna Scholese, kde najdete nespočetné množství olympijských příkladů všech typů.(je jich tam kolem 4000, z nich asi polovina s řešením) Nachází se na adrese http://www.kalva.demon.co.uk/ Posledním zdrojem byla knížečka Školy Mladých Matematiků Funkcionální rovnice. 22