Pavel Seidl 1, Ivan Taufer 2

UMĚLÉ NEURONOVÉ SÍTĚ JAKO PROSTŘEDEK PRO MODELOVÁNÍ DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ HYDRAULICKO-PNEUMATICKÉ SOUSTAVY USING OF ARTIFICIAL NEURAL NETWORK FOR THE IDENTIFICATION OF DYNAMIC PROPERTIES OF HYDRAULIC-PNEUMATIC SYSTEM Pavel Seidl 1, Ivan Taufer 2 Anotace: Cílem uvedeného příspěvu je demonstrovat použití umělých neuronových sítí řešení praticých úloh identifiace dynamicého chování složitých nelineárních soustav. Byl zoumán matematico-fyziální model hydraulico-pneumaticé soustavy za účelem vytvoření alternativy tohoto modelu, a to ve tvaru umělé neuronové sítě (UNS). Model představuje obecně nelineární vícerozměrnou soustavu se dvěma vstupy a dvěma výstupy. Přičemž vstupními veličinami jsou průtoy čerpadly a výstupními veličinami jsou výšy hladin v dolních nádržích soustavy. Vstupy i výstupy soustavy jsou reprezentovány unifiovanými napěťovými signály. Řešení úlohy spočívalo v popisu jednotlivých závislostí mezi onrétními vstupními a výstupními veličinami pomocí UNS. K řešení úlohy byl použit Neural Networ Toolbox výpočetního systému MATLAB/SIMULNK. Klíčová slova: Dynamicý systém, umělá neuronová síť Summary: The aim of the paper is to demonstrate using of artificial neural networs for the solution of practical problems of the identification of the complex non-linear systems' dynamic behavior. The mathematical model of the hydraulic-pneumatic system was investigated in order to build an alternative of this model, namely in the form of the artificial neural networ (ANN). The model presents generally nonlinear multi-dimensional system with two inputs and two outputs. Input variables are flows through controlled pumps and output variables are water levels in the bottom tans of the system. Both inputs and outputs of the system are represented as unified voltage signals. Solution of the problem consisted in the description of selected single dependences between particular input and output variables by means of ANN. For the problem solution Neural Networ Toolbox was used a toolbox of the computing system MATLAB/SIMULINK. Key words: dynamic system, artificial neural networ 1 Ing. Pavel Seidl, Univerzita Pardubice, Faulta eletrotechniy a informatiy, Studentsá 95, 532 10 Pardubice, tel.: +420 495 580 038, fax +420 495 585 077, e-mail: seidl.p@email.cz 2 Prof. Ing. Ivan Taufer, DrSc., Univerzita Pardubice, Faulta eletrotechniy a informatiy, Studentsá 95, 532 10 Pardubice, tel.: +420 4 037 123, fax +420 4 037 08, e-mail: ivan.taufer@upce.cz chování hydraulico-pneumaticé soustavy 251

1 ÚVOD Umělé neuronové sítě (UNS) jsou podsupinou relativně nového vědního oboru umělé inteligence. Jejich podstata spočívá v modelování strutury a činnosti biologicých neuronových systémů a jejich apliací na řešení technicých problémů. Jejich použití má opodstatnění v případech, dy při řešení daného problému buď není možné matematicy popsat všechny vztahy a souvislosti, teré ovlivňují sledovaný proces, nebo se nám podaří sice exatní matematicý model sestavit, ale je ta složitý, že jeho případná algoritmizace řešení je buď časově a programově velmi náročná nebo doonce nemožná. V příspěvu použití UNS demonstrováno na modelování hydraulico-pneumaticé soustavy. 2 POPIS HYDRAULICKO-PNEUMATICKÉ SOUSTAVY Hydraulico-pneumaticá soustava (HPS) [1], [2] představuje soustavu tvořenou ombinací hydraulicých a pneumaticých prvů, obr. 1. Záladní část soustavy tvoří čtyři hydraulicé nádrže, přičemž vždy dvě jsou umístěny nad sebou ve dvou rovnoběžných secích. Přičemž výša všech nádob je shodná, průřezy levých a pravých nádrží jsou různé (průřez levých nádob je větší než pravých). Pneumaticé objemy nad hladinami nádrží jsou uzavřeny a odděleny od atmosféry a vždy v sousedních dvou nádrží propojeny. Navíc pro zvýšení apacity pneumaticých objemů jsou ještě tyto objemy spojeny přes ručně ovládané ventily s přídavnými vzdušníy. Ve dnech vzdušníů jsou clony, teré slouží jao omezené propojení s atmosférou. Další častí soustavy je zásobní nádrž vody. Z této zásobní nádrže je apalina pomocí čerpadel čerpána do horních nádrží. Následně apalina vlivem vlastní tíhy a vlivem tlaového gradientu odtéá malým otvorem ve dně nádrže nejprve do spodních nádrží a následně zpět do zásobní nádrže. Nastavením různých ombinací poloh ventilů a veliostí clone lze dosáhnout různého chování soustavy. Výstupní (regulovanou) veličinu soustavy představují výšy hladiny v dolních nádržích, teré jsou měřeny eletricými diferenčními tlaovými čidly. Výstupy z těchto tlaových čidel y 1 a y 2 jsou napěťové signály v rozsahu 0 až 10V. K regulaci průtou čerpadly dochází změnou napájecího napětí čerpadel. Tato změna napětí představuje zároveň vstupní veličiny soustavy u 1 a u 2. Uvedená soustava je propojena s PC pomocí aviziční arty. 3 CÍL ŘEŠENÍ Obr. 1 Hydraulico-pneumaticá soustava Uvedený systém představuje z hledisa modelování vícerozměrnou (dva vstupy a dva výstupy) soustavu, terou můžeme zobrazit bloovým schématem, teré je uvedeno na obr. 2. chování hydraulico-pneumaticé soustavy 252

u 1 u 2 f u 1.. průto levým dávovacím čerpadlem u 2.. průto pravým dávovacím čerpadlem y 1.. výša hladiny v levé nádrži y 2.. výša hladiny v pravé nádrži Obr. 2 Bloové schéma HPS y 1 y 2 Cílem řešení uvedené úlohy je sestavit dynamicé modely vybraných závislostí (podle obr. 2) mezi vstupními a výstupními veličinami ve tvaru UNS tzn. určit neznámé funční závislosti f. Byly modelovány tyto závislosti: y 1 = f(u 1 ), y 1 = f(u 2 ), y 1 = f(u 1,u 2 ). Přechodové charateristiy uvedených závislostí jaožto odezvy výstupních veličin na soovou změnu veličin vstupních jsou uvedeny na obr. 3. Z tvaru, resp. průběhu uvedených přechodových charateristi lze přibližně stanovit řád dynamicého chování onrétní dílčí závislosti [3] (tab. 1). 7,5 a b 7 y 1 () y 1 () u(), y(),5 u 1 () u(), y() 5 4,5 u 2 () 5 4 4,5 0 200 400 00 800 1000 3,5 0 200 400 00 800 1000 u(), y() 7,5 7,5 5 4,5 4 3,5 c y 1 () u 1 () u 2 () 0 200 400 00 800 1000 Obr. 3 Vybrané dílčí přechodové charateristiy HPS a) y 1 = f (u 1 ) b) y1 = f (u 2 ) c) y1 = f (u 1, u 2 ) Tab. 1 Řád dílčí závislosti HPS určený na záladě analýzy onrétní přechodové charateristiy Dílčí závislost Řád soustavy y 1 = f (u 1 ) 1. y 1 = f (u 2 ) 2. y 1 = f (u 1, u 2 ) 2. chování hydraulico-pneumaticé soustavy 253

4 ŘEŠENÍ ÚLOHY Uvedená úloha byla ompletně řešena s využitím programového produtu Neural Networ Toolbox ve výpočetním sytému MATLAB/SIMULINK [4], přičemž cílem bylo navrhnout taové modely výše vybraných vstupně-výstupních závislostí soustavy ve formě UNS, aby měly stejné vstupně-výstupní vlastnosti jao výchozí soustava, resp. její matematicý model, terý byl sestaven pomocí lasicé matematico-fyziální analýzy. 4.1 Popis dynamicého chování soustavy ve tvaru UNS Použití umělé neuronové sítě jao prostředu pro modelování dynamicých vlastností vychází z předpoladu, že model lze popsat v disrétním tvaru pomocí nelineární diferenční rovnice []. To podmiňuje, resp. předurčuje sestavení strutury neuronové sítě, trénovací a testovací množiny. K učení taové UNS lze využít u() známy BPG algoritmus učení, případně něterou jeho. y() SOUSTAVA Pro případ jednorozměrné (SISO singl input, singl output - jeden vstup a jeden výstup) disrétní soustavy (obr. 4), můžeme její dynamicé chování Obr. 4 Schéma SISO soustavy vyjádřit diferenčním vztahem y S [ y ( ),, y ( n + 1), u( ),, u( m + 1 ] m n ( + 1) = f K K ) (1) S S de y S pořadnice odezvy na výstupu soustavy u pořadnice vstupního signálu disrétní pořadnice času n řád diferenčního vztahu f sbol závislosti mezi vstupem a výstupem soustavy. Model ve tvaru dopředné neuronové sítě (DNS), ja bylo na příladu dvouvrstvé DNS uvedeno v [7], je dán matematicým vyjádřením tj. rovnicemi vstupních potenciálů a rovnicemi ativačních funcí jednotlivých neuronů. Dále budeme hovořit o nelineárním modelu ve tvaru umělé neuronové sítě, terý lze vzhledem vztahu (1) vyjádřit ve tvaru y M [ y ( ),, y ( n + 1), u( ),, u( m + 1 ] m n ( + 1) = fˆ K K ) (2) M de fˆ je aproximace funce f rovnice (1) M y M výstupní hodnoty z neuronového modelu. Vnitřní strutura modelu taovéto soustavy je pa na obr. 5, u() z -i y S = f[.] y S (+1) z -j+1 i = 1,..., n j = 1,..., m Obr. 5 Schéma strutury disrétní soustavy chování hydraulico-pneumaticé soustavy 254

de bloy z i, resp. z j+1 představují posun příslušných pořadnic proměnných y S a u o i nebo j intervalů vzorování vlevo. 4.2 Volba topologie a záladních parametrů umělé neuronové sítě Volba topologie UNS je líčovou etapou celého procesu identifiace. V této fázi je třeba na záladě dostupných informací o soustavě stanovit struturu vstupních a výstupních proměnných navrhovaného modelu. Konrétní počty vstupních terminálů a výstupních neuronů uvažované DNS je dán jedna počtem sutečných vstupních, resp. výstupních fyziálních veličin soustavy a dále pa řádem diferenčního vztahu (2) (pravá strana této rovnice představuje vstupy a levá strana rovnice výstup UNS). Následně se pa navrhne strutura vlastní sítě, počet srytých vrstev a počet neuronů v těchto vrstvách. I dyž výstavba UNS předurčuje úspěšnost celé identifiace, není žel dispozici žádné jednotné pravidlo ja UNS jednoznačně sestavit. Řada doporučení uváděna v literatuře a shrnuta v [] mají spíše orientační charater. Za záladní topologii umělé neuronové sítě byla pro řešení dané úlohy vybrána x 0 = 1 X 0 z 0 = 1 Z 0 x 1 () x 2 () X 1 X 2 v 0,2 Z 1 w 0 v 1,1 w 1 v 2,1 v 2,2 Z 2 w 2 v 1,p v 1,2 v 0,1 Y y M () v 2,p v n,1 w p x n () X n v n,2 v n,p Z p topologie dvouvrstvé dopřední sítě s vrstvou vstupních terminálů (zdrojových uzlů), s jednou vrstvou srytých neuronů a s jedním výstupním neuronem (obr. ). Ativační funce neuronů ve sryté vrstvě byly zvoleny ve tvaru bipolární sigmoidy (hyperbolicý tangens) s onstantními strmostmi rovnými 1, ativační funce výstupního neuronu byla zvolena lineární, rovněž s jednotovou a onstantní strmostí. Apliací výše popsané teorie a s využitím závěrů uvedených tab.1 přechází obecný diferenční vztah (2) pro jednotlivé závislosti do následujících podob: a) pro y 1 = f(u 1 ) y [ y ( ), u ( )] + 1) fˆ (3) 1M ( = 1M 1 b) pro y 1 = f(u 2 ) Obr. Dvouvrstvá dopředná neuronová síť chování hydraulico-pneumaticé soustavy 255

[ y ( ), y ( 1), u ( ), u ( 1) ] y ( 1) ˆ 1M + = f 1M 1M 1 1 (4) c) pro y 1 = f(u 1, u 2 ) [ y ( ), y ( 1), u ( ), u ( 1), u ( ), u ( 1) ] y ( 1) ˆ 1M + = f 1M 1M 1 1 2 2 (5) Na záladě rovnic (3), (4) a (5) lze tedy stanovit počty vstupních terminálů jednotlivých závislostí následovně 2 pro závislost a), 4 pro závislost b) a pro závislost c). Co se týče počtů neuronů ve sryté vrstvě, ta simulačními výpočty byly provedeny a tabulově vyhodnoceny pro různé jejich počty. Nicméně pro následný proces validace UNS, včetně graficé prezentace jejích výsledů, byly použity UNS s doporučeným minimálním počtem neuronů ve sryté vrstvě, terý je dán vztahem podle [5] p n + m () de n počet vstupních terminálů m počet výstupních neuronů. 4.3.1 Sestavení trénovací množiny Trénovací množina se v daném případě zísala měřením časového průběhu odezvy soustavy na zadaný vstupní signál. Konrétní trénovací signál představoval náhodný signál s rovnoměrným rozdělením pravděpodobností, terý byl přiváděn na vstup soustavy s intervalem vzorování 30s. Déla simulace byla volena ta, aby po sončení vlastní simulace bylo dispozici 700 vzorů trénovací množiny. Tímto experimentem byla zísána struturu dat, terá je uvedena v tab. 2. Tab. 2 Strutura dat zísaných experimentem u() y S () 0 u(0) y S (0) 1 u(1) y S (1)......... 98 u(98) y S (98) 99 u(99) y S (99) Připomeňme si nyní, že úolem identifiace je najít taové parametry neuronové sítě (váhy spojení, případně strmosti ativačních funcí), aby došlo maximální shodě vlastností DNS a identifiované soustavy, tj aby platilo y M y S. Zmíněné shody lze dosáhnout tehdy, budeli neuronová síť v průběhu trénování buzena stejnými signály jao identifiovaná soustava.. Tab. 3 pa představuje jao přílad onrétní tvar trénovací množiny pro závislost pro y 1 = f(u 2 ), terá je dána vztahem (4). Trénovací množiny ostatních zoumaných závislostí se zísají analogicy. Tab. 3 Trénovací množina závislosti y 1 = f(u 2 ) Vstupní vzory Výstupní vzory u(-1) u() y S (-1) y S () y S (+1) 0 u(-1) u(0) y S (-1) y S (0) y S (1) 1 u(0) u(1) y S (0) y S (1) y S (2).................. 97 u(9) u(97) y S (9) y S (97) y S (98) 98 u(97) u(98) y S (97) y S (98) y S (99) chování hydraulico-pneumaticé soustavy 25

4.3.2 Proces trénování (učení) DNS Proces učení probíhá ta, že se vstupní vzory opaovaně v jednotlivých epochách přiládají na vstup neuronové sítě a výstupní vzory se porovnávají s výstupem z neuronové sítě. Cílem učení je pa postupnou změnou vah spojení mezi jednotlivými neurony, případně strmostí ativačních funcí, docílit po určitém počtu epoch trénování, minimálního rozdílu mezi výstupem ze soustavy y S () a výstupem z neuronové sítě y M (). Tento rozdíl je vyjádřen známou riteriální funcí (nědy taé nazývaná chyba řešení) [5] ve tvaru E tr ( p e 1 ) = υ N 1 N 1 2 [ e( pe, + 1) ] = [ ys ( + 1) ym ( pe, + 1) ] = 0 1 υ = 0 2 (7) de p e pořadové číslo epochy trénování N počet vzorů trénovací množiny pořadové číslo vzoru trénovací množiny υ = N pp 1 počet stupňů volnosti (8) pp celový počet určovaných parametrů γ (vah spojení a případně i strmostí ativačních funcí), terý vychází ze zvolené topologie. Pro trénování neuronové sítě byl použit modifiovaný BPG algoritmus tzv. Levenbergův-Marquardtův algoritmus[4], [8]. Uvedený algoritmus je vyjádřen následujícím vztahem T 1 T [ J J I] J e w + 1 = w + μ (9) de w je množina všech vah v -té epoše trénování; J Jaobián derivací chyb v závislosti na vahách; μ definovaná salární hodnota; e chybový vetor. 4.3.3 Výsledy trénování (učení) DNS Výsledy procesu učení, vyjádřené hodnotou chyby E tr (viz. rovnice (7)) na onci procesu trénování v závislosti na různém počtu neuronů ve sryté vrstvě, jsou souhrnně uvedeny v tab. 4. Přičemž vešeré uvedené experimenty byly provedeny pro 1000 trénovacích epoch [5]. Topologie UNS Tab. 4 Výsledy učení UNS hodnota chyby E tr (1000) a) y 1 = f(u 1 ) Topologie UNS b) y 1 = f(u 2 ) Topologie UNS c) y 1 = f(u 1, u 2 ) 2 2 1,02.10-4 4 3 1 1,82.10-4 1 4,433.10-4 2 3 1 5,981.10-4 4 4 1 1,98.10-4 7 1 4,257.10-4 2 4 1 5,953.10-4 4 5 1 1,57.10-4 8 1 4,178.10-4 2 5 1 5,910.10-4 4 1 1,597.10-4 9 1 3,940.10-4 2 1 5,804.10-4 4 7 1 1,591.10-4 10 1 3,938.10-4 2 20 1 5,083.10-4 4 20 1 1,30.10-4 20 1 2,84.10-4 chování hydraulico-pneumaticé soustavy 257

4.3.4 Proces validace DNS Adevátnost modelu a identifiované soustavy lze ověřit její validací pomocí testovací množiny. K validaci byly použity dva testovací signály stejný jao trénovací tzn. náhodný signál a dále pa signál ve tvaru stupňové funce. V tabulce (5) jsou shrnuty výsledy validačního procesu vyjádřené hodnotou maximální, minimální a průměrné absolutní chyby, teré se určovaly pomocí rovnic (10) a (11). e( ) = y ( ) y ( ) (10) S M de y S () hodnota změřena na experimentálním zařízení matematicém modelu y M () hodnota vypočítaná z umělé neuronové sítě e = 1 N N i= 1 e( ) (11) Tab. 5 Výsledy validace UNS Validační signál Náhodný signál Stupňová funce Validační riterium a) y 1 = f(u 1 ) Topologie UNS 2 4 1 b) y 1 = f(u 2 ) Topologie UNS 4 1 c) y 1 = f(u 1, u 2 ) Topologie UNS 8 1 e max.,370.10-2 1,207.10-2,930.10-2 e min. 7,743.10-5 2,32.10-5 4,083.10-5 e stř. 2,00.10-2 1,040.10-2 1,740.10-2 e max.,70.10-2 1,221.10-2 2,095.10-1 e min. 5,904.10-5 2,427.10-4 1,077.10-5 e stř. 1,840.10-2 3,790.10-2 3,980.10-2 Graficé znázornění odezvy příslušných UNS na testovací množiny jsou uvedeny na obr. 7, 8 a 9. chování hydraulico-pneumaticé soustavy 258

,8,,8,,4,2,4,2 5,8 5,8 0 100 200 300 400 500 00 700 Validační množina: Trénovací množina 5, 0 50 100 150 Validační množina: Stupňová funce Obr. 7 Odezva závislosti y 1 = f (u 1 ) na validační množinu 5,9 5,8 5,8 5,7 5,7 5, 5, 5,4 5,4 0 100 200 300 400 500 00 700 Validační množina: Trénovací množina 5,3 0 50 100 150 Validační množina: Stupňová funce Obr. 8 Odezva závislosti y 1 = f (u 2 ) na validační množinu,8,,4,2 5,8 0 100 200 300 400 500 00 700 Validační množina: Trénovací množina,9,7,5,3,1 5,9 5,7 0 50 100 150 Validační množina: Stupňová funce Obr. 9 Odezva závislosti y 1 = f (u 1, u 2 ) na validační množinu 5 ZÁVĚR Na záladě provedených experimentů lze onstatovat, model soustavy ve tvaru umělé neuronové sítě dobře aproximuje dynamicé vlastnosti složité nelineární soustavy, terou v této práci představovala hydraulico-pneumaticá soustava, resp. její vybrané dílčí řížové závislosti. Příspěve taé doládá vhodnost a relativní jednoduchost identifiace dynamicých vlastností uvedené soustavy s použitím umělé neuronové sítě oproti metodám identifiace lasicé, teré se v daném případě mohou jevit jao velmi složité a často i nespolehlivé. chování hydraulico-pneumaticé soustavy 259

Problematia je řešena v rámci výzumného záměru MŠM 002127505 Řízení, optimalizace a diagnostia složitých systémů. LITERATURA [1] HONC, D., DUŠEK, F. Laboratory Plant for Control Experiments. In Proceedings 7 th International Scientific-Technical Conference Process Control 200, Kouty nad Desnou, Czech Republic, June 13-1 200. Pardubice : University of Pardubice, 200, pp. 219 + CD ROM. ISBN 80-7194-80-8 [2] HONC, D., HAVLÍČEK, L., DUŠEK, F. Modelling and TITO predictive control of laboratory system. Sci. Pap. Univ. Pardubice, Faculty of Chemical Technology, 2007, Series A, Vol. 13, pp. 139-14. ISBN 978-80-7395-044- [3] OLEHLA, M.; NĚMEČEK, S. Zálady apliované ybernetiy. Liberec : Technicá univerzita Liberec, 2005. 128 s. [4] DEMUTH, H.; BEALE, M. Neural Networ Toolbox for Use with MATLAB. Natic (USA) : MathWors, Inc., 1994. [5] TAUFER, I.; DRÁBEK, O.; SEIDL, P. Umělé neuronové sítě zálady teorie a apliace (5). CHEMagazín, XVI, 200, č. 4., s. 29 31. ISSN 1210 7409. [] TAUFER, I.; DRÁBEK, O.; SEIDL, P. Umělé neuronové sítě zálady teorie a apliace (8). CHEMagazín, XVII, 2007, č. 4., s. 28 30. ISSN 1210 7409. [7] TAUFER, I.; DRÁBEK, O.; SEIDL, P. Umělé neuronové sítě zálady teorie a apliace (). CHEMagazín, XVI, 200, č. 5., s. 8. ISSN 1210 7409. [8] TUČKOVÁ, J. Úvod do teorie a apliací umělých neuronových sítí. Praha: Vydavatelství ČVUT, 2003. 103 s. ISBN 80-01-02800-3. Recenzent: doc. Ing. Františe Duše, CSc. Univerzita Pardubice, FEI, Katedra řízení procesů chování hydraulico-pneumaticé soustavy 20