< (h(x i ) ε) + ϕ k (t i ) ϕ k (t i 1 ) + ε m.

Podobné dokumenty
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý

5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32

Integrování jako opak derivování

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Limity funkcí v nevlastních bodech. Obsah

Pr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.

nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci

Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými

Skalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu

2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4

1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =

1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost

Rovnice a nerovnice. Posloupnosti.

e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody

Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

Vektory. Vektorové veli iny

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Jméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.

Derivování sloºené funkce

Dolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

Binární operace. Úvod. Pomocný text

T i hlavní v ty pravd podobnosti

P íklad 1 (Náhodná veli ina)

Post ehy a materiály k výuce celku Funkce

10 Funkce více proměnných

Aplikovaná matematika 1

Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015:

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

Obsah. Pouºité zna ení 1

e²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org

22 Základní vlastnosti distribucí

ízení Tvorba kritéria 2. prosince 2014

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2

1 Množiny, výroky a číselné obory

Ergodické Markovské et zce

1.7. Mechanické kmitání

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

Denice integrálu: Od Newtona k Bendové

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY

Úvodní informace. 17. února 2018

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Relace. Základní pojmy.

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a.

Pravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:

Matematika V. Dynamická optimalizace

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

IX. Vyšetřování průběhu funkce

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky. Matematika 2. pro technické obory. Petr Gurka, Stanislava Dvořáková

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Reálná čísla

2. přednáška 8. října 2007

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Derivace a monotónnost funkce

Matematická analýza III. Jan Malý

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE

Limita a spojitost funkce

na za átku se denuje náhodná veli ina

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD10C0T01 e²ené p íklady

e²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a

Záznam o ústní zkou²ce z p edm tu 01RMF (akademický ²kolní rok 2015/2016) P íjmení a jméno Datum Hodnocení Písemka Celkové hodnocení Podpis studenta

( x ) 2 ( ) Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502

Jevy, nezávislost, Bayesova v ta

Kótování na strojnických výkresech 1.část

Co je to tensor... Vektorový prostor

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce

Základní praktikum laserové techniky

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash Vibrio

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

Vzorové e²ení 4. série

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

Základní pojmy teorie mnoºin.

6. Matice. Algebraické vlastnosti

10 je 0,1; nebo taky, že 256

Řešení: 20. ročník, 2. série

3. Polynomy Verze 338.

Transkript:

KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU JAN MALÝ 1. Obecná úloha 1.1. Formulace úlohy. N které klasické úlohy varia ního po tu lze vyjád it ve tvaru J () = h(x) ds, kde h : R n [, + ] je nezáporná zdola polospojitá funkce. Hledáme minimum tohoto funkcionálu ve t íd X lipschitzovských k ivek : [, 1] R n, které spl ují okrajovou podmínku (1) () = A, (1) = B, Délku k ivky ozna me l(). Ozna me X L = { X : Lip L}. 1.2. V ta. Nech h, J, X jsou jako vý²e. Nech ( k ) k je posloupnost k ivek z X, která konverguje stejnom rn k X. Potom J () lim inf J ( k). k Funkcionál J je tedy zdola polospojitý na (X, ). D kaz. Víme, ºe existuje posloupnost (h j ) j spojitých nezáporných funkcí s s kompaktním nosi em tak, ºe h j h. Je-li J j () = h j (x) ds, pak J j J a z polospojitosti J j dostaneme polospojitost J. M ºeme tedy BÚNO p edpokládat, ºe h je spojitá a má kompaktní nosi. Funkce h je stejnom rn spojitá. Najd me δ > tak, ºe x x 3δ = h(x ) h(x) < ε. Ozna me L lispchitzovskou konstantu k ivky. Dále najd me riemannovský sou- et m S(h,, D) = h(x i ) x i x i 1, kde = t t 1 t m = 1, x i = (t i ), max i t i t i 1 < δ L a h ds S(h,, D) + ε. i=1 Potom pro v²echna i = 1,..., m a t [t i 1, t i ] je (t) x i < δ. Nech k je tak velké, ºe k < δ a pro v²echna i = 1,..., m je (h(x i ) ε) + x i x i 1 = (h(x i ) ε) + (t i ) (t i 1 ) < (h(x i ) ε) + k (t i ) k (t i 1 ) + ε m. 1

2 JAN MALÝ Potom k (t) x i < 2δ na [t i 1, t i ] a tudíº pro v²echna i = 1,..., m máme h(x i ) x i x i 1 ε x i x i 1 + (h(x i ) ε) + x i x i 1 ε x i x i 1 + (h(x i ) ε) + k (t i ) k (t i 1 ) + ε m ti ε x i x i 1 + (h(x i ) ε) + k(t) dt + ε t i 1 m ti ε x i x i 1 + (h( k (t))) k(t) dt + ε t i 1 m. Se teme p es i a dostaneme h ds S(h,, D) + ε 1 ε(2 + L) + (h( k (t))) k(t) dt = (2 + L)ε + h ds. k 1.3. V ta. Nech h, J, X jsou jako vý²e a X L je neprázdná. Potom J nabývá minima na X L. D kaz. Nech k je minimizující posloupnost. Potom k jsou stejn spojité a stejn omezené, tedy podle Arzela-Ascoliho v ty m ºeme vybrat stejnom rn konvergentní podposloupnost. P ezna me tak, aby uº posloupnost k byla stejnom rn konvergentní a její limitu ozna me. Podle v ty 1.2 je K ivka je tedy minimizér. J () lim inf J ( k). k 1.4. V ta o regularit. Nech je minimizér J na X parametrizovaný tak, ºe je konstanta a < h < na ([, 1]). Nech h je t ídy C 2. Potom je W 3,. D kaz. Samoz ejm, = l := l(). Nech ψ W 1, ((, 1), R n ) je testovací funkce. Potom 1 ( h((t)) (t) ψ(t) + h((t)) (t) ) (t) ψ (t) dt =, tedy s p ihlédnutím k identit = l máme (2) ((h ) ) = l 2 h ve smyslu distribucí. Funkce h je lipschitzovská, tedy (h ) je W 2,, odtud je lipschitzovská. Tím pádem ov²em h je W 2, a je W 2,. 2. Úlohy monotonní v druhé prom nné 2.1. Formulace úlohy. Tentokrát uvaºujeme interval I R a spojitá neklesající funkce h: I [, ] bude záviset jen na y. P edpokládejme, ºe < h < uvnit I. Nech A, B R I. Budeme vy²et ovat minimizéry funkcionálu J () = h(y) ds,

KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU 3 na mnoºin X = { : [, 1] R 2 : lipschitzovská, () = A = (x A, y A ), (1) = B = (x B, y B ), ([, 1]) R I}. Tentokrát bude mít sou adnice x, y. Jestliºe levý krajní bod I je, p edpokládejme (3) ya h(y) dy =. Jestliºe levý krajní bod je c R, p edpokládejme c I. Z d vodu symetrie m ºeme p edpokládat, ºe x A x B. 2.2. Denice. ekneme, ºe k ivka je konvexního typu, jestliºe (K1) x je neklesající; (K2) pro kaºdý lineární polynom p a pro kaºdý uzav ený podinterval [α, β] [, 1] platí [ y (α) = p(x (α)), y (β) = p(x (β)) ] = y p x na [α, β]. 2.3. V ta. Nech h > na I, L > a je minimizér J na X L. Potom je konvexního typu. D kaz. Nech x není neklesající. Potom existuje podinterval [α, β] [, 1] tak, ºe α < β, x (α) = x (β) a x není konstantní na [α, β]. Poloºme { x (α), t [α, β], y ψ = y, x ψ (t) = x (t), t / [α, β]. Potom je z ejmé, ºe J (ψ) < J (), protoºe h ψ = h >, ale je del²í, to je spor. Nech nyní není spln ná podmínka (K2). Potom existuje lineární polynom p a nedegenerovaný interval [α, β] [, 1] (obecn men²í, neº p ímo ten, o n mº se zmi uje formulace podmínky) tak, ºe y (α) = p(x (α)), y (β) = p(x (β)), ale (4) y > p x na (α, β). Nech π je ortogonální projekce R 2 na graf funkce p a { π((t)), t [α, β], ψ(t) = (t), t / [α, β]. Potom π 1 a tudíº ψ, navíc ψ je krat²í, tedy takºe β α ψ (t) dt < β α (t) dt, (5) ψ < na mnoºin kladné míry. Z vlastnosti (4) plyne (6) y > y ψ na (α, β). Nech t (α, β), chceme dokázat, ºe y ψ (t) I. P edpokládejme, ºe p je neklesající, p ípad nerostoucí p je analogický. Potom z (K1) plyne, ºe x (t) x (α) a y (t) > p(x (t)) p(x (α)) = y (α). Potom π(x (t), y (t)) leºí také v kvadrantu {x

4 JAN MALÝ x (α), y y (α)}, tedy (s pomocí (6)) y ψ (t) [y (α), y (t)] I. Z vlastností (6) a (5) dostaneme β α h(y ψ (t)) ψ (t) dt < tedy J (ψ) < J (), spor. β α h(y ψ (t)) (t) dt β α h(y (t)) (t) dt, 2.4. V ta. Funkcionál J má minimizér na X. Mezi minimizéry J na X existuje k ivka konvexního typu. D kaz. Rozli²íme dva p ípady. Nech I je zdola omezený interval, c je jeho levý krajní bod. Ozna me J δ () = (h + δ) ds, δ >. Bu s = inf X J. Zvolme ε > a najd me ψ X tak, ºe J (ψ) s + ε. Bu M délka ψ a zvolme δ > tak, ºe Mδ < ε. Podle v ty (1.3) existuje minimizér γ funkcionálu J δ v X M. Potom z v ty 2.3 dostaneme, ºe γ je konvexního typu, tedy délka γ je maximáln L := y A c+y B c+x B x A. tj. po p ípadné reparametrizaci γ X L. Máme J (γ) J δ (γ) J δ (ψ) J (ψ) + Mδ s + 2ε. Tedy inf XL J inf X J + 2ε, p i emº ε m ºeme poslat k nule. Uvaºujme posloupnost ( k ) k minimizér J 1/k v X L. Potom v²echny k jsou konvexního typu a mají délku odhadnutou konstantou L. Podobn jako v d kazu v ty 1.3 m ºeme vybrat stejnom rn konvergentní posloupnost a její limita je minimizér J v X L, tedy i v X, nebo vý²e jsme dokázali inf XL J = inf X J. Z ejm je konvexního typu. Nyní nech I je zdola neomezený a s = inf J. Najd me c < y A tak, ºe Zvolme ψ X tak, ºe ya c h dy > s + 1. J (ψ) s + 1. Potom hodnoty ψ musí leºet v pásu {y c}. Bu M délka ψ. Podle v ty (1.3) existuje minimizér γ funkcionálu J v X M. Potom z v ty 2.3 dostaneme, ºe γ je konvexního typu, tedy délka γ je maximáln L := y A c + y B c + x B x A, tj. po p ípadné reparametrizaci γ X L. Máme J (γ) J (ψ), tedy inf XL J inf X J. Podle v ty 1.3 existuje minimizér funkcionálu J v J L. Jelikoº h h(c) > na [c, ) I, podle v ty 2.3 je konvexního typu. 2.5. V ta. Nech X je minimizér J na X a [α, β] [, 1] Nech existuje spojitá funkce w na [a, b] := [x (α), y (β)] tak, ºe y = w x na [α, β]. Nech < h w < na (a, b) a h je t ídy C 2. Potom w je dvakrát spojit diferencovatelná na (a, b) a spl uje ( 1 + (w ) 2 ) =. h w

KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU 5 D kaz. Nech p je lineární polynom, jehoº graf spojuje (α) a (β). Funkce w minimizuje na p + W 1,1 ((a, b)) funkcionál F(w) = b a h(w(x)) 1 + (w (x)) 2 dx a tudíº je slabé e²ení Euler-Lagrangeovy rovnice ( (h w)w ) (7) + (h w) 1 + (w ) 2 =. 1 + (w ) 2 Podle v ty 1.4 je w dvakrát spojit diferencovatelná na (a, b) a rovnici si m ºeme upravit (h w) = (1 + (w ) 2 ) 3/2 w (h w)(w ) 2 1 + (w ) + 2 (h w) 1 + (w ) 2 (h w) = (1 + (w ) 2 ) 3/2 w + (h w) 1 + (w ). 2 Derivováním zlomku ze zn ní v ty dostaneme ( 1 + (w ) 2 ) ( = (h w) 2 (h w) w h w 1 + (w ) 2 w 1 + (w ) 2 (h w)w ) =. 3. Úloha o brachistochron e²íme úlohu o brachistochron : Najd te k ivku (σ) = (x(σ), y(σ)), σ [, 1], tak, aby, hmotný bod, který se p sobením gravitace proti sm ru osy y pohybuje po této k ivce, se dostal v nejkrat²ím ase z bodu (x A, y A ) do bodu (x B, y B ). P edpokládejme y B y A (jinak úloha nem ºe mít e²ení) a x A < x B (p ípad x A > x B je analogický a x A = x B vede triviáln na volný pád po svislé úse ce). V této kapitole budeme zna it parametr symbolem σ, abychom si prom nnou t uvolnili pro as. Fyzikální zákony udávají (8) v = 2g(y A y), kde g je gravita ní konstanta a v = ẋ 2 + ẏ 2 je rychlost. Máme ds = v dt. Pro celkový as T dostaneme T T v T = dt = 2g(yA y) dt = 1 ds 2g ya y. Minimizujeme tedy funkcionál J pro h(y) = (y A y) 1/2, h(y A ) =. Na²ím intervalem I bude (, y A ]. Funkce h závisí jen na y a je rostoucí. 3.1. e²ení. Podmínka (3) je spln na, existuje tedy podle v ty 2.4 minimizér X parametrizovaný násobkem dráhy. Podle v ty 2.3 je konvexního typu. Existuje tedy spojitá konvexní funkce w : [x A, x B ] R a [α, β] [, 1] tak, ºe y = w x na [α, β], x = x A na [, α] a x = x B na [β, 1]. Podle v ty 1.4 je dvakrát spojit diferencovatelná. Podle v ty 2.5 existuje k R tak, ºe w spl uje na (x A, x B ) diferenciální rovnici ( (9) ya w 1 + (w ) 2) =

6 JAN MALÝ Existuje tedy k R tak, ºe (y A w)(1 + (w ) 2 ) = 2k. Zvolme do asn soustavu sou adnic tak, aby bylo y A = k, tedy místo y A w pí²eme k w, pak z (9) vyjád íme (1) (w ) 2 = k + w k w. Jelikoº ze zadání je k w >, z (1) vyjde téº k + w >. Hledejme nyní ve tvaru = ψ τ, kde (11) y ψ = k cos τ. Potom tedy (1) m ºeme p epsat y ψ = (w x ψ )x ψ, (x ψ) 2 = k y ψ (y k + y ψ) 2 = 1 cos τ ψ 1 + cos τ = k 2 (1 cos τ) 2. (k sin τ)2 Na obou stranách máme nezáporné výrazy, tedy m ºeme odmocnit a dostaneme odtud x ψ = k(1 cos τ), x ψ = k(τ sin τ) + c. Volbu y A = k musíme te vzít zp t, tedy nové y je staré y plus y A k, neboli (11) p epí²eme na (12) y ψ = y A + k(cos τ 1). Nech deni ní obor k ivky ψ je [τ A, τ B ], p i emº x ψ (τ A ) = x A a x ψ (τ B ) = x B. S p ihlédnutím k pr b hu funkce y ψ, k ivka m ºe být konvexního typu pouze pro [τ A, τ B ] [, 2π] aº na posunutí o periodu. Pokud by bylo τ A > τ, dostali bychom y ψ (τ A ) < y A a museli bychom ψ doplnit svislým úsekem z [x A, y A ] do [x A, y ψ (τ A )]. Av²ak x ψ by pak m lo v τ A skok z nuly do kladného ísla a dostali bychom spor s v tou 1.4. Tedy τ A = a y(τ A ) = y A. s p ihlédnutím k po áte ní podmínce dostaneme (13) x ψ = x A + k(τ sin τ), y ψ = y A + k(cos τ 1), τ [, τ B ]. Jako kuriozitu si m ºeme ov it, ºe τ je konstantní násobek asu. Totiº derivace dráhy podle τ je (x ψ )2 + (y ψ )2 = k (1 cos τ) 2 + (sin τ) 2 = k 2(1 cos τ) = 2k(y A y), zatímco derivace dráhy podle asu je v = 2g(y A y). K ivka daná rovnicí (13) se nazýva cykloida, je to zrcadlový obraz k ivky, kterou opisuje bod hrani ní kruºnice, kdyº se kruh kutálí po vodorovné ose.

KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU 7 3.2. e²ení okrajové úlohy. M ºeme p edpokládat, ºe A je po átek. Máme ( yψ ) ( cos τ 1 ) sin τ(τ sin τ) + (1 cos τ) 2 2(1 cos τ) τ sin τ = = x ψ τ sin τ (τ sin τ) 2 = (τ sin τ) 2. Jelikoº funkce τ < 2 tan τ 2 = 2 2 cos τ, sin τ y ψ = cos τ 1 x ψ τ sin τ je rostoucí na [, 2π] a existuje tedy práv jedno ξ [, 2π] tak, ºe Poloºme (14) pak vyjde tedy p i volb (14) je cykloida je jediným e²ením úlohy. y ψ (ξ) x ψ (ξ) = y B x B. τ B = ξ, x B k = ξ sin ξ, x ψ (τ B ) = x B, y ψ (τ B ) = y B, x ψ = k(τ sin τ), y ψ = k(cos τ 1), τ [, τ B ] 3.3. Poznámka. V literatu e najdeme p ístup spo ívající v hledání minimizéru mezi k ivkami, které se dají popsat funk ní závislostí x na y. V tom p ípad je funkcionál konvexní a kritický bod funkcionálu je minimizér p eformulace úlohy. Tento p ístup selºe zjevn, kdyº p íslu²ný úsek cykloidy grafem funkce prom nné y není, ale ve skute nosti není korektní, ani kdyº p íslu²ný úsek cykloidy grafem funkce prom nné y je. Nevede totiº k srovnání hodnoty funkcionálu s k ivkami, které grafem funkce prom nné y nejsou, tedy v ºádném p ípad není z ejmé, ºe p eformulovaná úloha je ekvivalentní s p vodní. 4. Rota ní k ivka s nejmen²ím povrchem M jme dánu k ivku = (x, y ) : [, 1] R 2, y. Necháme-li ji rotovat kolem osy x, dostaneme plochu {(x (t), y (t) cos γ, y (t) sin γ) : t [, 1], γ π }. P i daných okrajových podmínkách () = A, (1) = B nás zajímá, pro jakou k ivku je plocha nejmen²í. Funkcionál je J () = 2π y ds. Podle v t 2.4 a 2.3 existuje minimizér X, který je konvexního typu. Existuje tedy spojitá konvexní funkce w : [x A, x B ] R a [α, β] [, 1] tak, ºe y = w x na [α, β], x = x A na [, α] a x = x B na [β, 1]. Uvaºujme interval [a, b] takový, ºe

8 JAN MALÝ w > na (a, b). Podle v ty 1.4 je pak dvakrát spojit diferencovatelná a podle v ty 2.5 existuje k R tak, ºe w spl uje na (a, b) diferenciální rovnici ( 1 + (w ) 2 ) (15) = w Existuje tedy k R tak, ºe (16) w = k 1 + (w ) 2 na [a, b]. Jelikoº w > na (a, b), je k >. Hledejme w ve tvaru (17) w(x) = ku ( x k ). Potom u spl uje na [a/k, b/k] diferenciální rovnici (18) u = 1 + (u ) 2. Jejím zderivováním dostaneme neboli u = u 1 + (u ) 2 u, (19) u = 1 + (u ) 2. Porovnáním rovnic (18) a (19) dostaneme u = u. Odtud u(z) musí být lineární kombinace e z a e z. Dosazením u = λ 1 e z + λ 2 e z do rovnice (18) zjistíme λ 2 1e 2z + 2λ 1 λ 2 + λ 2 2e 2z = u 2 = 1 + (u ) 2 = 1 + λ 2 1e 2z 2λ 1 λ 2 + λ 2 2e 2z. Odtud 4λ 1 λ 2 = 1. Protoºe u >, λ 1 a λ 2 nemohou být ob záporná a proto jsou ob kladná. Najdeme c R tak, ºe a dostaneme λ 1 = 1 2 e c k, λ2 = 1 2 e c k, (2) u(z) = cosh(z c k ). Vrátíme se zp t k w, podle (17) existují c R a k > tak, ºe w(x) = k cosh x c k. Tedy jakmile w je n kde kladné, pak je to tzv. et zovka tvaru (2) na maximálním intervalu, kde w >. Protoºe funkci (2) nelze spojit navázat do nuly, je w bu funkce tvaru (2) nebo identická nula. 4.1. e²ení okrajové úlohy. Nyní máme dost informací o pr b hu funkce w na intervalu [x a, x b ]. M ºe to být identická nula nebo et zovka tvaru (2). Jiná moºnost není. Pokud by minimizující k ivka n kde v kladných hodnotách y nebyla grafem funkce, po jakémkoli vychýlení ze svislého sm ru by se okamºit stala úsekem et zovky, takové napojení v²ak není moºné. M ºe být tedy jedin identicky svislá. Dal²í moºnost je identická nula, tu také nelze napojit na et zovku tvaru (2). M ºe v²ak existovat e²ení, které je sloºeno ze svislého úseku z A do (x A, ), pak následuje vodorovný úsek z (x A, ) do (x B, ) a nakonec svislý úsek z (x B, ) do B. Zlomy

KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU 9 v bodech (x A, ) a (x B, ) nejsou ve sporu s v tou o regularit 1.4, nebo v nich není spln n p edpoklad h >. P edpokládejme, ºe e²ení w má tvar (2) a spl uje okrajové podmínky. Otázkou je, kolik je takových et zovek. Je-li w et zovka ve tvaru w = k cosh x c k, provedeme substituci Φ = (ξ, η), ξ = x c k, η = y k. V nových sou adnicích k ivka p ejdou na et zovku v základním tvaru (kanonickou) η = cosh ξ, zatímco body A, B se zobrazí na ( Φ(A) = A xa c :=, y ) A, k k ( Φ(B) = B xb c :=, y ) B. k k Uvaºujme bod (ξ, η) na et zovce η = cosh ξ a zkonstruujme bod (21) f(ξ) = ξ cosh ξ sinh ξ. Bodem (f(ξ), ) prochází te na ke kanonické et zovce z bodu (ξ, cosh ξ). Derivováním se p esv d íme, ºe funkce f je rostoucí na (, ) a na (, + ) a zobrazuje oba intervaly na R. Ke kaºdému r R najdeme tedy body µ(r) < < ν(r) tak, ºe Funkce (µ, ν) f(µ(r)) = f(ν(r)) = t. cosh ν cosh µ, µ < < ν ν µ je vzhledem ke konvexit funkce cosh rostoucí v obou prom nných. Funkce r cosh ν(r) cosh µ(r) ν(r) µ(r) je rostoucí a zobrazuje R na R. Existuje tedy práv jedno R R tak, ºe Ozna me cosh ν(r) cosh µ(r) ν(r) µ(r) a = µ(r), Pom r b a cosh a je kritický. Je-li x B x A y A < b a cosh a, pak zadanými body prochází dv e- = b a cosh a, pak zadanými body prochází práv jedna et zovka a t zovky, je-li x B x A y A je-li x B x A y A > b a následující: Nech nap. x B x A y A = y B y A x B x A. b = ν(r). cosh a, pak zadanými body neprochází ºádná et zovka. Argument je < b a cosh a. Nech p je p ímka spojující (a, cosh a ) s (b, cosh b ). Uvaºujme systém p ímek q rovnob ºných s p uspo ádaných podle velikosti pr se íku s osou y. Na kaºdé takové p ímce q najdeme body A q = (a q, cosh a q ) a B q = (b q, cosh b q ) jako pr se íky s grafem funkce y = cosh x. Je-li q > p, úhel mezi A q, (R, ) a B q se s rostoucím q svírá (to plyne z konvexity cosh a denice p) a pom r bq aq cosh a q se zmen²uje. Existuje tedy práv jedna q > p tak, ºe bq aq cosh a q Podobn existuje práv jedna q < p tak, ºe bq aq cosh a q p ímku q tak, ºe bq aq cosh a q = x B x A y A. = x B x A cosh a. Máme-li nalezenou = x B x A y A, ur íme stejnolehlost Φ se st edem na ose x (nebo

1 JAN MALÝ posunutí) tak, aby Φ(x A, y A ) = (a q, b q ) a Φ(x B, y B ) = (b q, cosh b q ). P íslu²nou et zovku spojující (x A, y A ) a (x B, y B ) najdeme jako vzor kanonické et zovky p i zobrazení Φ. Ke kaºdému okrajové podmínce jsme na²ly nejvý²e t i funkce podez elé z minimizace funkcionálu F, sice nulu a nejvý²e dv et zovky. Mezi nimi m ºeme ur it minimizér porovnáním funk ních hodnot. Prove me následující úvahu: nech okrajová úloha je volena na grafu kanonické et zovky, tedy y A = cosh x A, y B = cosh x B. Posouváme-li bod x B doprava nebo x A doleva, F () roste pomaleji neº F (cosh), nebo je-li ψ parametrizace rozdílu graf, F (cosh) vzroste o y ds, kdeºto F () ψ jen o y dy. ekneme, ºe cosh je minimizér na [a, b], pokud je minimizér pro okrajovou úlohu A = (a, cosh a) a B = (b, cosh b). Pro malou vzdálenost a a b je cosh ψ minimizér na [a, b]. Pokud [a, b ] [a, b] a cosh je minimizér na [a, b], pak je téº minimizér na [a, b ]. Pro kritickou polohu a < < b, f(a) = f(b), uº v²ak cosh není minimizér na [a, b]. Pokud totiº a < < b a f(a) f(b), neboli (22) a cosh a sinh a b cosh b sinh b, porovnáme et zovku mezi a a b s nulovým kandidátem a s pouºitím (22) a zna ením dostaneme F (u) = b a F (cosh) = 2u 1 + (u ) 2 dx + (cosh 2 a u 2 (a)) + (cosh 2 (b) u 2 (b)) b a 2 cosh 2 x dx = b a + cosh b sinh b cosh a sinh a > cosh b sinh b cosh a + cosh b sinh b cosh a sinh a sinh a = cosh b sinh b (1 + sinh2 b) cosh a sinh a (1 + sinh2 b) = cosh b sinh b cosh2 b + cosh a sinh a > cosh 2 a + cosh 2 b = F (). cosh 2 a Odtud plyne, ºe et zovka, která je jednozna ná, minimizér není a procházejí-li danými body dv et zovky, men²í z nich také není minimizér. Otázka, zda pro danou volbu okrajových podmínek je minimizérem v t²í et zovka nebo nula, se dá e²it pouze kvantitativním porovnáním. 5. Úloha o zav ²eném et zu 5.1. Zadání úlohy. Tato úloha je úloha s vazební podmínkou. Mezi k ivkami spojujícími body A a B o dané délce l máme najít k ivku s nejníºe poloºeným t ºi²t m. T ºi²t takové k ivky je T () = 1 y ds. l Vazební podmínka je ds = l.

KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU 11 Jelikoº kaºdou k ivku lze parametrizovat tak, aby bylo ds = ldt, m ºeme úlohu p eformulovat jako hledání minima funkcionálu (23) F() = na mnoºin k ivek 1 y dt (24) Y l = { X : = l s.v. na (, 1)}. V dal²ím p edpokládejme x A x B. 5.2. Upravená úloha. U úlohy (23), (24) je problém s kompaktností, proto uva- ºujme upravenou úlohu minimizovat F na mnoºin X l. Uv domme si vztah mezi prostory X l a Y l, totiº X l = { X : l s.v. na (, 1)}. Bez újmy na obecnosti m ºeme p edpokládat, ºe y A, y B [l, ), pak y m ºe nabývat jen kladných hodnot. Problém je, ºe na mnoºin X l m ºe nastat 1 y ds < l y dt, nová úloha tedy není ekvivalentní minimizaci integrálu podle dráhy a nelze uºít p ímo v ty 1.3 a 2.3. 5.3. V ta o existenci. Existuje minimizér F na X l. D kaz. X l je kompaktní v C([, 1]) a F je spojitý vzhledem ke stejnom rné konvergenci. 5.4. Pozorování. Nech je minimizér F na X l a [α, β] [, 1]. Je-li x (α) = x (β), pak x (t) = x (α), y (t) = max{y (α) l(t α), y (β) + l(t β)}, D kaz p enecháváme tená i. t [α, β]. 5.5. Pozorování. Nech je minimizér F na X l. Pak funkce x je neklesající. D kaz. Kdyby tomu tak nebylo, na²li bychom [α, β] [, 1] tak, ºe by bylo x (α) = x (β), ale x by nebylo konstantní na [α, β]. To by vedlo ke sporu s chováním popsaným v pozorování 5.4. 5.6. V ta o konvexit. Nech je minimizér F na X l. Pak je konvexního typu. D kaz. Argument d kazy v ty 2.3 lze p evést i na nový p ípad. 5.7. V ta (Ekvivalence úloh). Nech je minimizér F v X l. Pak Y l. D kaz. Nech C je bod na k ivce, který má nejniº²í y-ovou sou adnici. P edpokládejme pro spor, ºe délka je men²í neº l. P eparametrizujme si na novou k ivku ψ tak, ºe pro [α, β] [, 1] bude ψ = l na [, α] [β, 1] a ψ = C na [α, β]. Potom ψ X l, a F(ψ) F(), tedy ψ je minimizér, ale jeho chování je ve sporu s pozorováním 5.4.

12 JAN MALÝ 5.8. V ta o Lagrangeových multiplikátorech. Nech X je Banach v prostor, F, G 1,..., G m : X R jsou spojit diferencovatelné funkcionály. Nech F nabývá v bod u minima vzhledem k mnoºin {v X : G 1 (v) = = G m (v) = }. Nech G 1(u),..., G m(u) jsou lineární nezávislé. Potom existují λ 1,..., λ m tak, ºe m F (u) = λ j G j(u). D kaz. Viz. [1], Theorem 6.3.2. j=1 5.9. Okrajová podmínka. Problém s okrajovou podmínkou je v tom, ºe prostor v²ech lipschitzovských k ivek, které ji spl ují, není lineární. Proto formáln pracujeme s prostorem W 1, ([, 1]). Zvolíme spl ující okrajovou podmínku a napí²eme si ve tvaru + η, η W 1, ([, 1]). Poloºme F() = 1 G() = F(η) = F( + η), 1 y (x ) 2 + (y ) 2 dt, (x ) 2 + (y ) 2 dt, G(η) = G( + η). Nech nyní je minimizér a η =. Podle v ty o Lagrangeových multiplikátorech je bu to G (η) =, nebo existuje λ reálné tak, ºe η je stacionární bod funkcionálu F(η) λ G(η). To ale vyjde nastejno, jako kdyº je stacionární bod funkcionálu F() λ G(). 5.1. P evedení na rovnici. Nyní m ºeme pracovat s minimizérem p vodního problému. P edpokládejme, ºe se nám poda í ov it v n jakém prostoru p edpoklady v ty o Lagrangeových multiplikátorech. Pokud není G () =, existuje pak reálné λ tak, ºe je stacionární bod funkcionálu 1 F() λg() = (y λ) (x ) 2 + (y ) 2 dt, tedy spl uje soustavu rovnic ( (y λ)x ) =, (x ) 2 + (y ) 2 ( (y λ)y ) = (x ) 2 + (y ) 2. (x ) 2 + (y ) 2 S p ihlédnutím k tomu, ºe minimizér spl uje = l s.v., soustava se redukuje na (25) P ípad G () = vede na úse ku. ((y λ)x ) =, ((y λ)y ) = l 2.

KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU 13 5.11. Diferencovatelnost funkcionálu. Aby pouºití v ty (5.8) bylo dob e od - vodn né, musíme ov it, ºe výraz 1 ) (26) ψ ((y λ) ψ + y ψ dt je skute n derivací F λg (sta í v Gâteauxov smyslu) a ºe spojit závisí na. První vlastnost je v po ádku. Co se tý e druhé vlastnosti, jde o to, aby pro pevné spl ující okrajovou podmínku byly operátory (y λ) : + W 1, (L ) a : + W 1, (W 1, ) Spojitost druhého operátoru ned lá problém, jde o spojitost prvého operátoru, která je v po ádku na okolí na²eho minimizéru, vzhledem k tomu, ºe {: > l/2} je jeho okolí ve W 1,. Toto by nebyla pravda pro W 1,p, p <. 5.12. Tvrzení (Regularita). e²ení (25) je t ídy C 2 na mnoºin {t: y (t) λ}. Pokud je nehladké e²ení, x je konstantní. D kaz. D kaz hladkosti je analogický d kazu v ty 1.4. Zkoumejme p ípad, kdy y nabývá hodnoty λ. Z druhé rovnice soustavy 25 dostaneme, ºe výraz (y λ)y je rostoucí lineární polynom, který m ºe nabývat hodnoty nejvý²e v jednom bod. Tedy y = λ nejvý²e v jednom bod. Z první rovnice soustavy 25 dostaneme, ºe výraz (y λ)x je konstanta, tedy pokud y = λ v n jakém bod, z omezenosti x dostaneme, ºe x je na [, 1]. 5.13. P evedení na varia ní problém ve funkcích. Jelikoº minimizér je hladký a konvexního typu, existuje [α, β] [, 1] a spojitá funkce u: [x A, x B ] R tak, ºe x (α) = x A, x (β) = x B a y = u x na [α, β]. Potom existuje konstanta m tak, ºe u je minimizér funkcionálu na mnoºin (27) F (v) = xb x A v 1 + (v ) 2 dx { v W 1,1 ((x A, x B )) : v(x A ) = y (α), v(x B ) = y (β),, G(v) := b a 1 + (v ) 2 dx = m}. Podobn jako vý²e pak m ºeme pouºít v tu o Lagrangeových multiplikátorech a funkce u pak spl uje rovnici ( u ) (u λ) = 1 + (u ) 2. 1 + (u ) 2 Z vy²et ování úlohy o rota ní plo²e s nejmen²ím povrchem víme, ºe e²ení této úlohy mají tvar (28) u(x) = λ + k cosh x c k. Dal²í podez elé funkce jsou takové, ºe G (u) =, tedy lineární polynomy.

14 JAN MALÝ 5.14. Lemma. Nech v je ryze konvexní funkce na R a p je op rná anní funkce. Kaºdému y (, ) p i a me A = (a, v(a)) a B = (b, v(b)) na pr niku grafu v a grafu p + y tak, ºe a < b. Nech f(y) je délka oblouku grafu v mezi A a B a g(y) = B A. Potom funkce f/g je rostoucí na (, ). D kaz. Uvaºujme < y 1 < y 2, nech A i = (a i, v(a i )) a B i = (b i, v(b i )) jsou body na pr niku grafu v a grafu p + y i, i = 1, 2. Ozna me s i délku oblouku grafu v mezi A i a B i, dále s A délku oblouku grafu v mezi A 2 a A 1 a s B délku oblouku grafu v mezi B 1 a B 2. Nech p A je p ímka vedoucí A 1 a A 2, podobn p B je p ímka vedoucí B 1 a B 2 a C je jejich pr se ík. Najd me bod P na grafu v nejbliº²í k C. Bez újmy na obecnosti p edpokládejme, ºe C je po átek. Po p ípadném oto ení leºí P na kladné poloose y a oblouk grafu v mezi A 1 a B 1 z stává grafem konvexní funkce. Pro tento oblouk dokáºeme, ºe jeho délka s 1 je men²í neº A 1 + B 1. P ímka A 1 C je grafem lineární funkce y = v (a 1 )x a p ímka CB 1 je grafem lineární funkce y = v (b 1 )x. Funkce v nabývá minima v a je konvexní, tedy v je klesající na [a 1, ] a rostoucí na [, b 1 ]. Potom s = b1 a 1 (1 + (v ) 2 ) dx < a 1 (1 + (v (a 1 ) 2 ) dx + Z podobných trojúhelník dostaneme Po ítejme s 2 B 2 A 2 = s A + s 1 + s B B 2 A 2 A 1 + B 1 B 1 A 1 b1 = A 2 + B 2 B 2 A 2. > A 2 A 1 + s 1 + B 2 B 1 B 2 A 2 = A 2 A 1 + s 1 + B 2 B 1 B 2 A 2 = A 1 + B 1 + s 1 A 1 B 1 B 1 A 1 B 2 A 2 = (1 + (v (b 1 ) 2 ) dx = A 1 + B 1. = A 2 + B 2 B 2 A 2 > A 1 + B 1 B 1 A 1 + s 1 A 1 B 1 B 2 A 2 + s 1 A 1 B 1 B 1 A 1 s 1 B 1 A 1. 5.15. e²ení okrajové úlohy. Vra me se nyní k okrajové podmínce. Pokud l < B A, minimizér neexistuje. Pro l = B A je Y l jednobodová mnoºina a lineární polynom spojující A a B je minimizér. V dal²ím p edpokládejme l > B A. P ípad x A = x B je jasný, p edpokládejme x A < x B. Pak dostaneme existenci minimizéru z v t 1.3 a 5.7. Minimizér je k ivka konvexního typu sloºená z úse ek a et zovky. Z v ty o regularit plyne, ºe je to et zovka: lineární spojnice je p íli² krátká a úseky r zného typu se nedají hladce navázat. Protoºe parametry λ, k, c v 28 se nejspí² nedají explicitn spo ítat, m ºeme se nejvý²e ujistit v tom, ºe úloha má práv jedno e²ení. Kaºdé e²ení se dá stejnolehle nebo posunutím zobrazit na grafu kanonické et zovky y = cosh x, p i emº jsou zachovány pom ry y B y A x B x A a pom r délky oblouku grafu mezi A a B ku B A. Z lemmatu 5.14 dostaneme, ºe tyto dva pom ry jednozna n ur ují polohu bod A a B na grafu kanonické

KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU 15 et zovky. Tedy pro práv jednu et zovku tvaru (28) spl ující okrajovou podmínku je délka grafu l a tato et zovka je jediným e²ením úlohy. 6. Izoperimetrická úloha 6.1. Zadání úlohy. Tato úloha je téº s vazební podmínkou. Mezi kladn orientovanými k ivkami = (x, y ) : [, 1] R 2 o dané délce l spojujícími body A a B, y A = y B, máme najít k ivku, která ve spojení s úse kou B + t(a B) : t [, 1] ohrani uje nejv t²í obsah. Tento obsah je pomocí Greenovy v ty p eveden na funkcionál F() = x dy. (Podobná úloha je pevný obsah a minimální délka). Poznamenejme, ºe je²t bychom m li integrovat p es spojovací úse ku, ta nám ale nic k integrálu x dy nep inese. Úlohu budeme vy²et ovat na X l, orientace se vy e²í sama tvarem funkcionálu F. Nech ( j ) j je posloupnost k ivek z X l maximizující F na X l. Podle Arzela-Áscoliho v ty m ºeme vybrat podposloupnost (BÚNO je to celá ( j ) j ), která konverguje stejnom rn k limitní k ivce. 6.2. Tvrzení. F() = lim F( j ). D kaz. Máme F( j ) F() = 1 (x j y j x y ) dt = 1 První integrál je jasný, druhý p evedeme per partes na a potom je také jasný. 6.3. Tvrzení. Délka je l. 1 x (y j y ) dt (x j x )y j dt + 1 x (y j y ) dt D kaz. ur it maximizuje obsah v X l. Kdyby délka byla l < l, u²et ená délka by se dala vyuºít k získání dodate ného obsahu p idáním kruºni ky o délce l l (p ípadné protínání nevadí, funkcionál F zapo ítá p ír stek tak jako tak). Tím by vznikl spor s maximalitou. 6.4. e²ení úlohy. Poloºme (t) = (a+t(b a), ), t [, 1]. Nech je maximizér F ve + W 1, s vazební podmínkou G() := ds = l. Podle v ty o Lagrangeových multiplikátorech (viz téº 5.9) je stacionární bod G, nebo existuje λ reálné tak, ºe je stacionární bod F λg. Stacionární body G lze parametrizovat ann, to m ºe nastat jedin tehdy, je-li úse ka z a do b. Pokud

16 JAN MALÝ je stacionární bod F λg, po integrování per partes zjistíme, ºe spl uje soustavu diferenciálních rovnic ( y x ) = λ (x ) 2 + (y ) 2 ( x y ). = λ (x ) 2 + (y ) 2 Parametrizujeme-li 1/l-násobkem dráhy, dosp jeme k soustav y = λ l x x = λ l y. e²ením je oblouk kruºnice, existují R >, x, y, c R tak, ºe ( l ) x = R cos λ (c t) + x, ( l ) y = R sin λ (c t) + y. Konstanty R, x, y a c a parametr λ (m ºe být záporný!) pak m ºeme dopo ítat z okrajových dat a p edepsané délky. Reference [1] Drábek, P.; Milota, J.: Methods of nonlinear analysis. Applications to dierential equations. Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher. Birkhäuser Verlag, Basel, 27