4.2. Orientovaný úhel Definice úhlu ze základní školy: Úhel je část roviny ohraničená dvojicí polopřímek se společným počátečním bodem (konvexní a nekonvexní úhel). Nevýhody této definice: Nevím jaký úhel mám namysli ( konvexní - růžový nebo nekonvexní - žlutý?) Když chci pomocí úhlu popsat otáčení nevím co popisuji (točí se nahoru nebo dolu?) budeme používat orientovaný úhel - uspořádaná dvojice polopřímek (V,V ) se společným počátkem V. Píšeme: V (V - počáteční rameno, V - koncové rameno, V = vrchol) Úhel vznikne otočením polopřímky Dále budu vždy značit počáteční rameno modře, konečné červeně. Směr otáčení bude vyznačen šipkou. Pokud mám jednoznačně nakreslit V = 0 o musím vědět, co je kladný a co záporný směr otáčení Za kladné považuji otáčení proti směru hodinových ručiček. 1
Za záporné považuji otáčení po směru hodinových ručiček. Př: Na obrázku je nakreslen trojúhelník. Urči velikost orientovaných úhlů: a) b) c) d) 0 a) 0 po směru hodinových ručiček = b) 0 proti směru hodinových ručiček = 0 c) 0 po směru hodinových ručiček = 90 d) 0 proti směru hodinových ručiček = Existují i jiné způsoby jak otočit polopřímku do polopřímky : 2
0 0 0 = = 90 = 750 Takových možností je evidentně nekonečně mnoho zdá se, že jsem přešel z bláta do louže, zkusím najít systém v získaných hodnotách Postřeh: z obrázku je vidět, že kladné hodnoty se liší vždy o jednu otáčku ( ). Seřadím hodnoty podle velikosti: = 90 750 +... + + + + + -90-90 750... - - - - - - Všechna ta čísla jsou správně! Liší se o násobky, tedy o násobky otáček, po kterých se počáteční rameno dostalo do koncové pozice. Nejhezčí hodnota 0 o (nejmenší kladné číslo) = základní velikost orientovaného úhlu. Základní velikostí úhlu nazýváme velikost α, pro kterou platí α 0; ) Př: Zformuluj větu o základní velikosti úhlu V v obloukové míře. Převedu krajní body intervalu: = 2π rad. Základní velikostí úhlu nazýváme velikost α, pro kterou platí α 0;2π )
Úhel se dá zapsat nekonečně mnoho čísly (velikostmi úhlu). Všechny velikosti úhlů se navzájem liší o násobek 0 o Velikostí orientovaného úhlu V, jehož základní velikostí je α o, se nazývá každé čísloα + k, kde k Z Př: Zformuluj větu o všech velikostech orientovaného úhlu V v obloukové míře. K základní velikosti přidávám násobky jedné otáčky = 2π rad. Velikostí orientovaného úhlu V, jehož základní velikostí je α o, se nazývá každé čísloα + k 2π, kde k Z Př: Napiš základní a tři další velikosti úhlu v trojúhelníku. 0 = 0 0 o není základní velikostí (je záporná) připočtu o 0 + = 00 - základní velikost 00 0; ) další hodnoty získám připočtením nebo odečtením : o 00 + = 0 o 0 = 420 Př: Napiš základní a tři další velikosti úhlu v trojúhelníku. Vše vyjádři v obloukové míře. 0 π = 90 = 2 π není základní velikostí (je záporná) připočtu 2π 2 π 4 2 π + π + π = = π - základní velikost 0;2 ) 2 2 2 2 π π další hodnoty získám připočtením nebo odečtením 2π : π 5 2π = π 2 2 7 π + 2π = π 2 2 4
Př: Napiš základní a tři další velikosti úhlu v trojúhelníku. Vše vyjádři v obloukové míře. 0 o π = 0 = π není základní velikostí (je záporná) připočtu 2π π 12 11 2 π + π 11 + π = = π - základní velikost 0;2 ) π π další hodnoty získám připočtením nebo odečtením 2π : π 1 2π = π 11 2 π + 2π = π Př: Rozhodni, které z následujících čísel jsou velikosti úhlu. a) 90 b) 1740 c) 2490 d) 1500 Základní velikost úhlu je 11 0 π =. a) Pokud je úhel 90 velikostí úhlu musí platit: 90 = + k Upravíme: 90 = k rozdíl 90 by měl být násobek 0. 90 = 90 je velikost úhlu. b) Má platit 1740 = + k rozdíl 1740 by měl být násobek 0 1740 = 1410 1410 =,9... 1740 není velikost úhlu. c) Má platit 2490 = + k rozdíl 2490 by měl být násobek 0 2490 = 210 210 = 2490 je velikost úhlu. d) Má platit 1500 = + k rozdíl 1500 by měl být násobek 0 1500 = 18 5
18 = 5,08... 1500 není velikost úhlu. Př: Rozhodni, které z následujících čísel jsou velikosti úhlu α = 150. a) 29 11 257 π b) π c) π d) 175 π 5 Základní velikost úhlu α je 150 = π. a) Pokud je úhel 29 π základní velikostí úhlu α musí platit: 29 5 π = π + k 2π Upravíme: 29 π 5 π = k 2π rozdíl 29 π 5 π by měl být násobek 2π. 29 5 24 π π = π = 4π = 2 2π 29 π je velikost úhlu α. b) Má platit 11 π = 5 π + k 2π rozdíl 11 π 5 π by měl být násobek 2π. 11 5 12 π π = π = 21π k 2π 11 π není velikost úhlu α. c) Má platit 257 π = 5 π + k 2π rozdíl 257 π 5 π by měl být násobek 2π. 257 5 252 π π = π = 42π = 21 2π 257 π je velikost úhlu α. d) 175 5 175 5 Má platit π = π + k 2π rozdíl π π by měl být násobek 2π. 175 5 180 175 π π = π = 0π = 15 2π π je velikost úhlu α. Př: Urči základní velikost úhlu 1220. pro základní velikost musí platit 1220 = α + k α = 1220 k stačilo by od 1200 odečítat 0 dokud se nedostanu do intervalu 0;0 ), moc zdlouhavé zjistím kolik je k: 1220 =,8... k =. 0 Teď dosadím: α = 1220 k = 1220 = 140.
Poznámka: Nejlepší je pokud si každý najde svůj vlastní postup, jak najít základní velikost úhlu. Uvedená cesta se osvědčuje u slabších studentů. Lepší dokáží počítat i rychleji, třeba když si uvědomí, že zbytek po dělení velikosti úhlu 0 vzniká dělením základní velikosti úhlu. Stačí tedy, když zbytek po dělení vynásobí 0 a získají základní velikost. 1220 =,8 α = 0, 8 = 140 0 Př: Urči základní velikost úhlu 1527. pro základní velikost musí platit 1527 = α + k α = 1527 k zjistím kolik je k: 1527 = 42,575... k = 42. 0 Teď dosadím: α = 1527 k = 1527 42 = 207. Př: Urči základní velikost úhlu 2. pro základní velikost musí platit 2 = α + k α = 2 k zjistím kolik je k: 2 = 1840,78... k = 1840. 0 Teď dosadím: α = 2 k = 2 1840 = 2. Př: Urči základní velikost úhlu 28. pro základní velikost musí platit 28 = α + k α = 28 k zjistím kolik je k: 28 =, 49... k =. 0 α = 28 k = 28 = 178. Teď dosadím: ( ) 178 není základní velikost musím ještě přičíst. α = 178 + = 182 Postřeh: Prostým zopakováním postupu pro kladnou velikost jsem u záporné nezjistil základní velikost, ale největší zápornou velikost (neboli zápornou velikost s nejmenší absolutní hodnotou). Musel jsem pak ještě jednou připočítat. Připočítávání jsem si mohl ušetřit, kdybych použil hodnotu k = 7 (o jednu menší neboli s absolutní hodnotou o jednu větší, abych přičítal větší počet násobků ). Př: Urči základní velikost úhlu 5892. pro základní velikost musí platit 5892 = α + k α = 5892 k zjistím kolik je k: 5892 = 1,85 k = 17. 0 7
Teď dosadím: k ( ) α = 54 α = 5892 = 5892 17 = 54. Př: Urči základní velikost úhlu 17 π. pro základní velikost musí platit 17 17 π = α + k 2π α = π k 2π stačilo by od 17 odečítat 2 dokud se nedostanu do intervalu 0;2 ), moc zdlouhavé 17 α = π k π, přepsal jsem si 2π na třetiny, abych mohl snadno odečítat ze zlomku zjišťuji k - kolikrát se do 17 vejde, tedy kolikrát se do 17 vejde zjistím kolik je k: 17 = 52,8... k = 52. 17 17 5 Teď dosadím: α = π k π = π 52 π = π. Základní velikost úhlu 17 π je 5 π. Př: Urči základní velikost úhlu 7777 4 π. pro základní velikost musí platit 7777 π = α + k 2π 4 7777 7777 8 α = π k 2π = π k π - jiný zlomek než v předchozím příkladě 4 4 4 zjistím kolik je k: 7777 = 972,125 k = 972. 8 7777 8 7777 8 1 Teď dosadím: α = π k π = π 972 π = π. 4 4 4 4 4 Základní velikost úhlu 7777 4 π je 1 4 π. Poznámka: Předchozí příklad je třeba zadat, co nejstejněji jako předchozí a neupozorňovat na fakt, že máme jiný jmenovatel zlomku a tudíž se při zjišťování k bude muset dělit jiným číslem. Př: Urči základní velikost úhlu 9147 π. 8
pro základní velikost musí platit 9147 π = α + k 2π 9147 9147 12 α = π k 2π = π k π - jiný zlomek než v předchozím příkladě zjistím kolik je k: 9147 = 712, 25 k = 712. 12 9147 12 9147 12 1 Teď dosadím: α = π k π = π 712 π = π = π. 2 Základní velikost úhlu 9147 π je 1 2 π. Př: Urči základní velikost úhlu 221 π. 221 pro základní velikost musí platit π = α + k 2π 221 221 α = π k 2π = π k π zjistím kolik je k: 221 =,8... k =. Teď dosadím: α = 221 π k π = 221 π ( ) π = 5 π. 5 π není základní velikost musím ještě přičíst 2π. 5 1 α = π + 2π = π 221 Základní velikost úhlu π je 1 π. Postřeh: Stejně jako u výpočtu ve stupňové míře je jednodušší použít hodnotu k = 7 (o jednu menší neboli s absolutní hodnotou o jednu větší, abych přičítal větší počet násobků 2π ). Př: Urči základní velikost úhlu 521 π. 521 pro základní velikost musí platit π = α + k 2π 521 521 12 α = π k 2π = k π zjistím kolik je k: 521 = 484, 41... k = 49. 12 Teď dosadím: α = 521 π k 12 π = 521 π ( 49) 12 π = 7 π. 9
Základní velikost úhlu 521 π je 7 π. Př: Urči základní velikost úhlu 521 4 π. 521 pro základní velikost musí platit π = α + k 2π 4 521 521 8 α = π k 2π = π k π 4 4 4 zjistím kolik je k: 521 = 702,25 k = 70. 8 Teď dosadím: α = 521 π k 8 π = 521 π ( 70) 8 π = π. 4 4 4 4 4 521 Základní velikost úhlu 4 π je 4 π. 10