Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich chování společně příklad: vztah hmotnosti a výšk člověka, šířka a délka výrobku, teplota, tlak a vlhkost vzduchu, pohlaví a plat náhodně vbraného člověka... obecně můžeme sledovat n náhodných veličin, pro jednoduchost se ale omezíme na dvě veličin a Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (, T = (. Rozdělení náhodného vektoru sdružená distribuční funkce F (, = P[, ], která je funkcí z R [, 1] spojité rozdělení popíšeme tzv. sdruženou hustotou je teď funkcí R [, hodnota f (, udává, jak často náhodný vektor padá kolem bodu (, má vlastnosti analogické hustotě náhodné veličin diskrétní rozdělení popíšeme tzv. sdruženými pravděpodobnostmi p ij = P( = i, = j pro všechna možná i a j (tabulka pravděpodobností Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 1/ 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika / 3 Hustota náhodného vektoru Příklad hustot spojitého rozdělení: Hustota náhodného vektoru Hustota z předchozího obrázku nakreslená pomocí vrstevnic. 3.6 1.1.1.18 f(,.16 1.8.1.. Platí f (, a f (, dd = 1. Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 3/ 3 3 3 1 1 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika / 3
Příklad diskrétního rozdělení Sdružené a marginální rozdělení Příklad: Na základě historických zkušeností lze předpokládat, že známk z matematik a fzik v prvním ročníku mají rozdělení uvedené v následující tabulce Platí i,j=1 p ij = 1 Fzika Matematika 1 3 1.1.1..1.8.1.6.1 3.5.8.1..1..1.1 Rozdělení náhodného vektoru ( obsahuje něco navíc, než kdbchom znali jen rozdělení samotné náhodné veličin a samotné náhodné veličin. To, co je tam navíc, je informace o vzájemném vztahu obou veličin. Rozdělení náhodného vektoru ( nazýváme sdružené rozdělení náhodných veličin a. Rozdělení samotného a samotného nazýváme marginální rozdělení náhodných veličin a. Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 5/ 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 6/ 3 Sdružené a marginální rozdělení Příklad známk Interpretace: sdružené rozdělení nám říká, jak se chová (, společně (jakožto dvojice marginální rozdělení popisuje chování jedné veličin bez ohledu na hodnot druhé Vztah sdruženého a marginálního rozdělení: ze sdruženého rozdělení lze vžd určit marginální opačně to obecně není možné, tj. z marginálního nelze jednoznačně určit rozdělení sdružené (k dané dvojici marginálních rozdělení dokonce eistuje nekonečně mnoho odpovídajících sdružených rozdělení Fzika ( Matematika ( 1 3 1.1.1..1.3.8.1.6.1.7 3.5.8.1..7.1..1.1.3..3.3.1 1 Z tabulk umíme spočítat rozdělení samotného a samotného (tj. marginální rozdělení. Např. P[ = 1] = P[ = 1, = 1] + + P[ = 1, = ] =.3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 7/ 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 8/ 3
Sdružené a marginální rozdělení Sdružené a marginální rozdělení Nechť ( je diskrétní náhodný vektor s rozdělením určeným pravděpodobnostmi p ij = P[ = i, = j ]. Marginální rozdělení veličin a pak jsou P[ = i ] = P[ = j ] = j=1 i=1 ] P [ = i, = j = ] P [ = i, = j = p ij, j=1 p ij. i=1 Pro spojité rozdělení platí analogie předchozího tvrzení: Nechť = ( je náhodný vektor se spojitým rozdělením se sdruženou hustotou f (,. Marginální hustot veličin a pak jsou f ( = f ( = f (, d, f (, d. Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 9/ 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 1/ 3 Nezávislost náhodných veličin Příklad v prai nás často zajímá, zda je mezi veličinami a nějaký vztah spec. se můžeme ptát, zda jsou nezávislé hodnot jedné veličin nezávisí na hodnotách druhé Nechť je známka z Matematické statistik a je počet navštívených přednášek náhodně vbraného studenta. Jsou tto dvě veličin nezávislé? nezávislost známka nezávisí na počtu navštívených přednášek P( = i = j nezávisí na hodnotách j, tj. P( = i = j = P( = i už víme, že toto odpovídá podmínce P( = i, = j = P( = ip( = j pro všechna i, j Nezávislost náhodných veličin Definice Náhodné veličin a nazveme nezávislé, pokud pro každé dvě množin A, B R platí Nezávislé veličin: P[ A, B] = P[ A] P[ B]. P[ A B] = P[ A] tj. hodnot jedné náhodné veličin nejsou ovlivněn hodnotami druhé. ze znalosti hodnot jedné veličin nic nevíme o druhé veličině Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 11/ 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 1/ 3
Charakterizace nezávislosti Příklad známk 1 Diskrétní náhodné veličin a jsou nezávislé právě tehd, kdž platí P[ = i, = j ] = P[ = i ] P[ = j ] pro každé i, j, kterých a nabývají. Spojité náhodné veličin a jsou nezávislé právě tehd, kdž platí f (, = f ( f ( pro každé, R. Fzika ( Matematika ( 1 3 1.1.1..1.3.8.1.6.1.7 3.5.8.1..7.1..1.1.3..3.3.1 1 Součinová podmínka neplatí veličin jsou závislé. Např. P[ = 1, = 1] =.1.3.. Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 13/ 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 1/ 3 Nezávislost poznámka Střední hodnota součtu a součinu definici nezávislosti lze snadno rozšířit na více než dvě náhodné veličin platí obdobné charakterizace nezávislosti (sdružená hustota je součinem marginálních hustot apod. Nechť, jsou libovolné náhodné veličin. 1 Platí E( + = E + E. Pokud jsou a nezávislé, pak platí E = (E (E. střední hodnota součtu dvou (nebo více náhodných veličin je rovna součtu jejich středních hodnot pro nezávislé náhodné veličin je střední hodnota jejich součinu je rovna součinu jejich středních hodnot pro závislé veličin tomu tak může, ale nemusí být Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 15/ 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 16/ 3
Kovariance Jsou-li veličin a závislé budeme chtít popsat jejich závislost Definice Uvažujme náhodný vektor (. Kovariancí náhodných veličin a rozumíme hodnotu cov (, = E[( E ( E ] kovariance vjadřuje vzájemný vztah a evidentně platí cov (, = cov (, a cov (, = var. Vlastnosti kovariance 1 Kovariance může nabývat jakýchkoli reálných hodnot, ale pro dvě konkrétní veličin musí platit Platí cov (, var var. cov (, = E E E. 3 Pokud jsou a nezávislé, pak cov (, =. pozor, tvrzení 3 neplatí opačně (tj. z nulové kovariance nelze obecně nic usuzovat o nezávislosti 3 plne z, neboť pro nezávislé veličin E = E E. Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 17/ 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 18/ 3 Interpretace kovariance Výpočet kovariance cov (, > náhodné veličin a jsou závislé v pozitivním smslu všší hodnot jsou svázán s vššími hodnotami (a nižší hodnot s nižšími hodnotami příklad: výška a váha člověka. cov (, < náhodné veličin a jsou závislé v negativním smslu všší hodnot jsou svázán s nižšími hodnotami (a nižší hodnot s vššími hodnotami příklad: výše IQ a průměrná známka na ZŠ cov (, = neznamená, že b mezi a nebl nutně žádný vztah (ještě se o tom zmíníme později K výpočtu se používá vzorec cov (, = E E E člen E počítáme ze sdruženého rozdělení i,j i j P[ = i, = j ], pro diskrétní rozdělení, E = f (, dd pro spojité rozdělení. člen E a E počítáme z marginálního rozdělení (střední hodnota náhodné veličin Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 19/ 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika / 3
Příklad známk Korelace Fzika ( Matematika ( 1 3 1.1.1..1.3.8.1.6.1.7 3.5.8.1..7.1..1.1.3..3.3.1 1 E = 1 1.1 + 1.1 + +.1 = 6.3, E = 1.3 +.7 + +.3 =.5, E = 1. + +.1 =.3, cov (, = 6.3.5.3 =.58. hodnot kovariance se špatně interpretují z hodnot cov (, poznáme, že a jsou závislé a jakým směrem, ale nepoznáme, jak silně jsou závislé Definice Uvažujme náhodný vektor (. Korelací náhodných veličin a rozumíme hodnotu cor (, = cov (, var var. korelace se někd značí ρ někd mluvíme o korelačním koeficientu. Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 1/ 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika / 3 Vlastnosti korelace Interpretace korelace 1 Korelace ρ vžd leží mezi 1 a 1 a ρ = cov (, =. Pokud jsou a nezávislé, pak cor (, =. 3 Platí ρ = 1 právě kdž = a + b pro nějaké a R a b >. ρ = 1 právě kdž = a + b pro nějaké a R a b <. korelace měří sílu lineární závislosti mezi a znaménko korelace udává směr závislosti jsou-li a silně lineárně závislé (tj. hodnot této dvojice padají nejčastěji někde kolem přímk v R s nenulovou směrnicí, pak je korelace blízko 1 nebo 1. nezávislé veličin mají vžd nulovou korelaci je-li korelace nulová, neznamená to, že a jsou nutně nezávislé (korelace je mírou pouze lineární závislosti Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 3/ 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika / 3
Interpretace korelace Hustota rozdělení s různými korelacemi cor =. cor =.5 cor(, = cor(, =.3 1 1 1 1 3 f(, f(, 3 1 1 3 3 1 1 cor =.9 cor =.7 cor(, =.7 cor(, =.9 1 1 1 1 f(, f(, 1 1 1 1 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 5/ 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 6/ 3 Hustota rozdělení s různými korelacemi Hustota rozdělení s různými korelacemi cor(, = 3 1 1 3 cor(, =.3 3 1 1 3 3 1 1 3.8.6... 3 1 1 3.1.8.6... cor(, =.7 cor(, =.9 3 1 1 3 3 1 1 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 7/ 3.1..1.15.8.6.1..5... 3 1 1 3 3 1 1 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 8/ 3
Příklad známk Vlastnosti střední hodnot a rozptlu Fzika ( Matematika ( 1 3 1.1.1..1.3.8.1.6.1.7 3.5.8.1..7.1..1.1.3..3.3.1 1 Už víme cov (, =.58. Z marginálních rozdělení spočítáme var = E (E = = 7..5 = 1.17 var = E (E = = 6.6.3 =.98.58 cor (, = =.5. 1.17.98 Nechť, jsou náhodné veličin, a, b R. Pak 1 E(a + b = a + be, E( + = E + E, 3 var (a + b = b var, var ( + = var + var + cov (, 5 pro nezávislé veličin var ( + = var + var Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 9/ 3 Univerzita Karlova v Praze Matematická statistika 3/ 3