Matematika 1. Jiří Fišer. 21. září Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53

Matematika 1 Jiří Fišer 21. září 2010 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 1/ 53

Zimní semestr KMA MAT1, MT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky. 3 Základy lineární algebry: Vektory, matice, determinanty a řešení soustav lineárních rovnic(věta Frobeniova a Cramerova). 4 Posloupnosti a jejich limity, řady. 5 Funkce: Inverzní funkce, skládání funkcí, grafy. 6 Elementární funkce: Mocninné, logaritmické, exponenciální, goniometrické a cyklometrické. 7 Limita a spojitost funkce. 8 Základy diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné: Derivace a její geometrický a fyzikální význam, diferenciál, užití při vyšetřování průběhu funkce. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 2/ 53

Letní semestr KMA MAT2, MT2 1 Základy integrálního počtu funkce jedné reálné proměnné: Neurčitýintegrál, určitýriemannůvintegrál, užitíripřiurčování délky křivky, obsahu plochy, povrchu a objemu rotačního tělesa. 2 Funkce dvou proměnných: Parciálníderivace,diferenciál. 3 Úvod do diferenciálních rovnic: Obyčejnédiferenciálnírovnice1.řádu. 4 Aplikace diferenciálního a integrálního počtu v chemii. 5 Základy numerické matematiky: Numerickéřešenírovnicojednéneznámé. Iteračnímetoda,interpolace,diference, numerickáderivaceaintegrace. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 3/ 53

Studijní materiály Stránky předmětu: http://aix-slx.upol.cz/~fiser. J. Kuben, P. Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, www.studopory.vsb.cz. V. MÁDROVÁ: Matematická analýza I. VUP, Olomouc, 2004. J. BRABEC, F. MARTAN, Z. ROZENSKÝ: Matematická analýza I. SNTL, Praha, 1989. J. KŘENEK, J. OSTRAVSKÝ: Diferenciální a integrální počet funkce jedné proměnné Zlín, 2001. J. KOPÁČEK: Matematická analýza pro fyziky I., SPN, Praha (skripta MFF UK). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 4/ 53

Studijní materiály V. MÁDROVÁ, J. MAREK Řešené příklady a cvičení z matematické analýzy I. VUP Olomouc, 2004. J. KOJECKÁ, M. ZÁVODNÝ: Příklady z matematické analýzy I., II., VUP Olomouc. B. P. DĚMIDOVIČ: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment, Praha, 2003. Rozšiřující literatura: K. REKTORYS a kol.: Přehled užité matematiky SNTL, Praha, 1988. H. J. BARTSCH: Matematické vzorce, SNTL, Praha, 1983. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 5/ 53

1. Číselné obory. Úprava algebraických výrazů. 1.1. Základní číselné množiny 1.2. Vlastnosti číselných množin 1.3. Supremum a infimum 1.4. Rozšířená reálná osa Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 6/ 53

Základní číselné množiny N={1,2,3,...,n,... }jemnožinavšechpřirozenýchčísel. N 0 = {0,1,2,3,...,n,...}=N {0}. Z={..., 2, 1,0,1,2,... }jemnožinavšechcelýchčísel. Q množinavšechzlomků { k n,kdek Zan N} jemnožinou všech čísel racionálních. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 7/ 53

Racionální čísla Úloha Čísloa=1,572převeďtenaobyčejnýzlomek. První způsob řešení Periodická část desetinného rozvoje čísla a je vlastně geometrická řada, tedy: a=1,5+ 72 72 72 72 1 103+ 105+ 107+ =1,5+ 10 3 1 1 100 = = 173 110. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 8/ 53

Racionální čísla Úloha Čísloa=1,572převeďtenaobyčejnýzlomek. Druhý způsob řešení Využijeme nekonečného periodického opakování: a = 1,572, 100a = 157,272, odkud po odečtení je 100a a=99a=157,272 1,572=155,7, tedy a= 1557 990 =173 110. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 9/ 53

Množina reálných čísel R Základní číselná množina. Reálná čísla zobrazujeme na číselné(reálné) ose. Přirozšiřovánípojmučísloz Qna Rvznikajídvěotázky: zda existuje potřeba iracionálních čísel(a jak je zavést), zdazobrazenímnožiny Rnačíselnouosujebijekce, tj. zda i každý bod číselné osy je obrazem nějakého reálného čísla. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 10/ 53

Potřebujeme iracionální čísla? Věta Neexistuje racionální číslo, jehož druhá mocnina by byla rovna 2. Důkaz(sporem) r Q:r 2 =2. r Q r= p q zlomekvzákladnímtvaru,rq=p. rq=p r 2 q 2 =p 2,tj.2q 2 =p 2 p 2 jesudé pjesudé pjesudé p=2k 2q 2 =4k 2 q 2 =2k 2 q 2 jesudé qjesudé paqjesudé zlomek p q lzekrátitdvěma,atojespor s předpokladem, že tento zlomek je v základním tvaru. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 11/ 53

Iracionálníčísla Q Bez iracionálních čísel bychom např. nedovedli změřit úhlopříčku jednotkového čtverce. Platí: Q Q = a R=Q Q. Dekadický rozvoj iracionálních čísel: neukončený a neperiodický (pro iracionální čísla často známe jen konečný počet míst jejich dekadického rozvoje(např. pro číslo π)). Mohutnost množin N, Z,aQjsouspočetné(prvkytěchtomnožinlzeuspořádatdo posloupnosti), R(atedyiQ )spočetnánení;říkáme,že Rmámohutnostkontinua. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 12/ 53

Komplexní čísla C Komplexní čísla zobrazujeme v Gaussově rovině. Zapisujemebuďvalgebraickémtvaru:z=a+ib, nebovgoniometrickémtvaru:z= z (cos ϕ+isinϕ). Pro číselné množiny platí: N N 0 Z Q R C. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 13/ 53

Vlastnosti číselných množin Definice MnožinaMsenazýváshoraomezená L Rtak,že x Mplatí x L.TotočísloLsenazýváhorníodhad(resp.hornízávora). MnožinaMsenazývázdolaomezená K Rtak,že x Mplatí x K.TotočísloKsenazývádolníodhad(resp.dolnízávora). MnožinaMsenazýváomezená jeomezenáshoraizdola. Největší a nejmenší prvek množiny PokudněkterýhorníodhadmnožinyMpatřídomnožinyM,pakjej nazýváme největší prvek množiny M a označujeme jej max M. Podobně nejmenší prvek množiny M(definujte) označujeme min M. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 14/ 53

Úloha Určete největší a nejmenší prvek množiny M 1 = {1, 12 },14,18,..., M 2 = M 3 = { 1 2, 1 2,2 3, 2 3,3 4, 3 4,... {0,1, 12,13,14,... }. }, Řešení MnožinaM 1 mánejvětšíanemánejmenšíprvek,m 2 nemánejvětšíani nejmenšíprvek,m 3 máprveknejvětšíinejmenší. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 15/ 53

Intervaly Definice a,b R,a <b,definujeme uzavřenýinterval a,b ={x R;a x b}, otevřenýinterval(a,b)={x R;a <x <b}, apodobně a,b)a(a,b. Všechnytytointervalymajídélkub a. Definice Množinu a,+ )={x R;x a}nazývámeneomezenýinterval. Podobně(a,+ ),(,b,(,b). Množinu R zapisujeme též jako(, + ). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 16/ 53

Absolutní hodnota Definice Absolutníhodnotačíslaa Rseoznačuje a ajedefinovánatakto: { a proa 0, a R: a = a proa <0. Věta(vlastnosti absolutní hodnoty) a,b Rplatí 1 a 0,přičemž a =0 a=0, 2 a = a, 3 a+b a + b (trojúhelníkovounerovnost), 4 a b a b, 5 ab = a b, 6 prob 0je a = a b b. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 17/ 53

Zobecněná trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnotu Vlastnost 3 můžeme zobecnit(důkaz matematickou indukcí): (3 ) n N a i R: a 1 +a 2 + +a n a 1 + a 2 + + a n,nebo zkráceně n n a i a i. i=1 i=1 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 18/ 53

Absolutní hodnota Geometrický význam absolutní hodnoty Úloha a značí vzdálenost obrazu čísla a od počátku číselné osy, a b (= b a )vzdálenostobrazůčísela,bnačíselnéose. Řešte nerovnice a rovnici: a) x 3 <2, b)2 x+2 3 x 2x 4, c) 3 5 4 x+3 2 x+1 3 x 2 =0. 4 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 19/ 53

Supremum a infimum Definice NechťM R,M.Číslo β RnazývámesupremummnožinyMa píšeme β=supm,právěkdyžmátytodvěvlastnosti: (1) x M:x β, (2) β < β x M:x > β. Definice NechťM R,M.Číslo α RnazývámeinfimummnožinyMa píšeme α=infm,právěkdyžmátytodvěvlastnosti: (1) x M:x α, (2) α > α x M:x < α. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 20/ 53

Supremum a infimum Úloha UrčetesupMainfMpromnožinuM= { } 1 2,2 3,3 4,.... Řešení PlatísupM=1,neboťvšechnyprvkymnožinyMjsoupravézlomkya jsoutedymenšínež1;jestliževšakvezmemelibovolnéčíslor <1,existuje vždyvmprvek n n+1,kterýjevětšínežr. DáleinfM= 1 2,neboťžádnýprvekMnenímenšínež 1 2,akdyžzvolíme libovolnéčíslos> 1 2,pakvždyprávěproprvek 1 2 platí 1 2 <s.přitom supmneníainfmjeprvkemzadanémnožinym. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 21/ 53

Supremum a infimum Věta(o existenci suprema a infima) 1) Každá neprázdná shora omezená množina reálných čísel má supremum. 2) Každá neprázdná zdola omezená množina reálných čísel má infimum. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 22/ 53

Věta o aritmetickém a geometrickém průměru Věta(slovně) Jsou-li a, b libovolná reálná nezáporná čísla, pak jejich aritmetický průměr ( a+b 2 )jevětšíneborovenjejichprůměrugeometrickému( ab),přičemž rovnost průměrů nastává právě při rovnosti obou čísel a, b. Věta(symbolicky) a,b R,a,b 0: a+b 2 ab, ( a+b 2 = ) ab a=b. Princip důkazu přímého(syntetického). nechťa b, vyjdesezplatnénerovnosti a b 0, její úpravou dostaneme tvrzení. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 23/ 53

Okolí bodu Definice(Topologická definice) Okolím bodu a nazveme každý otevřený interval(c, d) konečné délky, kterýobsahujeboda(tj.kdea (c,d));označeníokolíbodua:u(a). Definice(Metrická definice) ε-okolímbodua,kde ε R, ε >0,nazývámeinterval(a ε,a+ε); označení: U(a, ε) nebo též U(a). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 24/ 53

Rozšířená reálná osa Číselnouosurozšířímeodvěnevlastníčísla:+ a. Označenírozšířenéreálnéosy: R = R {,+ }. Zavedení nevlastních čísel nám umožňuje hlouběji, lépe a jednodušeji formulovat mnohé poznatky matematické analýzy. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 25/ 53

Rozšířená reálná osa Vlastnosti nevlastních čísel Na rozšířené reálné ose definujeme přirozené uspořádání a početní operace tak, že rozšíříme příslušná pravidla platná na R. Uspořádání: zvláště x R: <x <+, <+, ( )=+, (+ )=, + = =+. Supremum a infimum: Pro množinu M, která není shora omezená, je supm=+,promnožinum,kteránenízdolaomezená,je infm=. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 26/ 53

Rozšířená reálná osa Početní operace s nevlastními čísly Sčítáníaodčítání: x Rdefinujeme ±x+(+ )=(+ ) ±x= ±x ( )=(+ )+(+ )= =(+ ) ( )=+, ±x+( )=( ) ±x= ±x (+ )=( )+( )= =( ) (+ )=. Nedefinujeme (+ ) (+ ), (+ )+( ), ( )+(+ ), ( ) ( ). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 27/ 53

Rozšířená reálná osa Početní operace s nevlastními čísly Násobení: x R,x >0definujeme x (+ )=(+ ) x=(+ ) (+ )=( ) ( )=+, x ( )=( ) x=(+ ) ( )=( ) (+ )=. Podobněprox <0. Nedefinujeme 0 (+ ), (+ ) 0, 0 ( ), ( ) 0. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 28/ 53

Rozšířená reálná osa Početní operace s nevlastními čísly Dělení: x Rdefinujeme x (+ ) = x ( ) =0. Prox >0je prox <0je Nedefinujeme + x + x =+, =, x x =, =+. + +, +,atd., x 0 prožádnéx R,tj.ani 0 0 nebo ± 0. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 29/ 53

Rozšířená reálná osa Početní operace s nevlastními čísly Mocniny: n Ndefinujeme (+ ) n =+, (+ ) n =0, ( ) n =( 1) n (+ ). Nedefinujeme (+ ) 0, ( ) 0, 0 0, 1 +, 1. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 30/ 53

Rozšířená reálná osa Poznámka Zpraktickýchdůvodůseněkdypíšemísto+ jen,takženapř.místo výrazu(+ )+(+ )lzenapsatjen +.Jestliževšakpracujemev komplexním oboru, kde se zavádí jediné komplexní nekonečno označované,musímedátpozornajehoodlišeníod+ zrozšířenéreálnéosy R. Úloha Vypočtěte a=+ 5 ( ) 3 +( ) 3 (100 ) 1200! +. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 31/ 53