Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012 Robert Mařík 23. ledna 2015
2
Obsah 1 Přednášky 2012 5 2 Písemky 2012 9 3
4 OBSAH
Kapitola 1 Přednášky 2012 1. prednaska, 16.2.2012 ----------------------- * kresleni bodu v R^2 * metricke prostory - euklidovska metrika, zakladni pojmy * funkce vice promennych a vektorove funkce (funkce dvou promennych /graf, vrstevnice/, parametricka krivka, vektorove pole v rovine /kresleni vektoru v R^2/) * derivace funkce jedne promenne - definice, pouziti (rychlost zmeny, linearni aproximace) * parcialni derivace funkce dvou a vice promennych * geometricky vyznam 2. prednaska, 23.2.2012 ----------------------- * rektorske volno 3. prednaska, 1.3.2012 ---------------------- * Derivace slozene funkce (derivace na prednasce oznacujeme \partial/\partial x...) * Schwarova veta * gradient a poznatek, ze je kolmy k vrstevnicim - za to tak je a proc to tak je * totalni diferencial a kriterium existence kmenove funkce pro dve promenne * zakon sireni chyb (nemusi se cvicit) * tecna rovina * linearni aproximace funkce 5
6 KAPITOLA 1. PŘEDNÁŠKY 2012 * divergence a rotace ve 3D - jenom definice a naznaceny vyznam 4. prednaska, 8.3.2012 ---------------------- * f(x,y)=g(x)h(y) * tecna k vrstevnicim a implicitne zadana funkce * lokalni extremy * moment setrvacnosti vzhledem k ose * Riemannuv integral a krivkovy integral 5. prednaska, 15.3.2012 ----------------------- * prace * krivkovy integral druheho druhu * nezavislost krivkoveho integralu na integracni ceste * dvojny integral v kartezskych souradnicich * linearni moment, teziste, priklad na teziste trojuhelnika * integralni stredni hodnota funkce dvou promennych 6. prednaska 22.3.2012 ---------------------- * shrnuti integralniho poctu 7. prednaska 29.3.2012 ---------------------- * dvojny integral v polarnich souradnicich * greenova veta * krivkovy integral druheho druhu - tok vektoroveho pole krivkou * diveregence a rotace - fyzikalni vyznam 8. prednaska ------------ * DR se separovanymi promennymi * linearita a jeji vyuziti pri reseni LDR prvniho a druheho radu
7 9. prednaska ------------ * Obecna teorie diferencialnich rovnic - uvod * pocatecni uloha, numericke reseni 10. prednaska ------------- * Laplaceuv operator * vybrane rovnice matematicke fyziky * separace promennych v parcialnich diferencialnich rovnicich 11. prednaska ------------- * okrajova uloha pro diferencialni rovnice druheho radu * Fourieruv rozvoj periodicke funkce 12. prednaska ------------- * krivocare souradnice * diferencialni operatory a vybrane rovnice matematicke fyziky v krivocarych souradnicich 13. prednaska ------------- * trojny integral, plosny integral * fyzikalni aplikace I 14. prednaska ------------- * fyzikalni aplikace II
8 KAPITOLA 1. PŘEDNÁŠKY 2012
Kapitola 2 Písemky 2012 9
Písemná část zkoušky z Aplikované matematiky, 22.5.2012 (90 minut) Body Jméno:................................... 1 2 3 4 5 6 1. [6 bodů] Vypočtěte integrál xds po křivce C dané parametrickými rovnicemi x = 2 cos(t), [ C y = 2 sin(t), t 0, π ] 2 2. [10 bodů] Vypočtěte rotaci vektorové funkce F (x, y, z) = z 2 i + x 2 j + y 2 k. Na základě tohoto výpočtu rozhodněte, zda existuje funkce ϕ(x, y, z) s vlastností grad ϕ = F (tj. ϕ = F ). Svou odpověď stručně zdůvodněte, funkci ϕ hledat nemusíte (pokud existuje). 3. [14 bodů] Napište obecný tvar lineárního diferenciálního operátoru prvního řádu a dokažte, že zachovává lineární kombinaci funkcí. Jak je možné tuto vlastnost využít při řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu? (Stačí jedno z možných využití.) 4. [10 bodů] Vyřešte diferenciální rovnici y + y + 2y = x 2. 5. [4 body] Zapište dvojný integrál ydxdy přes množinu M, která M je čtvrtinou jednotkového kruhu v prvním kvadrantu jako dvojnásobný pomocí kartézských souřadnic a pomocí polárních souřadnic. Pro kartézské i polární souřadnice si zvolte jedno libovolné pořadí integrace a ani jeden z integrálů už dál nepočítejte. 1 y M 1 x 6. [6 bodů] Napište, jak je definován Laplaceův operátor a jak vypadá vlnová rovnice. (Pojmy použité v této definici a rovnici vysvětlovat nemusíte. Odpověď zapište buď obecně v libovolné dimenzi nebo ve 3D.) Požadavek: po vynásobení koeficientem za aktivitu je požadováno alespoň 16 bodů z 50 možných. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu (chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce (derivace, integrály) a kalkulačky jsou povoleny.
Písemná část zkoušky z Aplikované matematiky, 5.6.2012 (90 minut) Body Jméno:................................... 1 2 3 4 5 6 1. [7 bodů] Vypočtěte integrál (x y)dx + (x + y)dy po křivce C dané parametrickými rovnicemi C x = t, y = t 2, t [0, 1] 2. [7 bodů] Najděte rovnici tečny v bodě [1, 2] ke křivce dané v okolí tohoto bodu rovnicí x 3 y xy 2 + 2 = 0 3. [12 bodů] Uvažujme diferenciální rovnici y = ϕ(x, y) a) Kdy říkáme, že rovnice je rovnicí se separovanými proměnnými. b) Napište nutnou a postačující podmínku na funkci ϕ, pomocí které je možno efektivně určit, zda rovnice je nebo není rovnicí se separovanými proměnnými. c) Ukažte na jednoduchém (avšak dostatečně ilustrativním) příkladě, jak tyto rovnice rešíme. 4. [7 bodů] Vyřešte diferenciální rovnici y + 2y = e x. 5. [7 bodů] V polárních souřadnicích vypočtěte dvojný integrál M přes množinu M, která je horní polovinou jednotkového kruhu. ydxdy 1 y M 1 x 6. [10 bodů] Vysvětlete hlavní myšlenku řešení paricální diferenciální rovnice separací a ukažte tento postup na na difuzní rovnici u t = 2 u. Obyčejné diferenciální rovnice, ke kterým se dostanete, již řešit x2 nemusíte. Požadavek: po vynásobení koeficientem za aktivitu je požadováno alespoň 16 bodů z 50 možných. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu (chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce (derivace, integrály) a kalkulačky jsou povoleny.
Písemná část zkoušky z Aplikované matematiky, 12.6.2012 (90 minut) Body Jméno:................................... 1 2 3 4 5 6 1. [8 bodů] Vypočtěte integrál (2x y)ds po křivce C dané parametrickými rovnicemi [ C x = cos(t), y = sin(t), t 0, π ] 2 2. [5 bodů] Vypočtěte divergenci funkce F (x, y) = x 2 x + y i + xy 2 j. 3. [10 bodů] Napište dvě aplikace křivkového integrálu prvního druhu. Vždy napište, jakou funkci je nutno integrovat a jakou fyzikální veličinu obdržíme. 4. [7 bodů] Zformulujte Greenovu větu pro převod toku vektorového pole P (x, y) i + Q(x, y) j uzavřenou křivkou, tj. napište, jak je možno převést integrál Q(x, y)dx + P (x, y)dy po vhodné uzavřené křivce na dvojný integrál. Napište i jak jsou svázány obory integrace v obou integrálech (křivka u křivkového integrálu a množina v R 2 u dvojného integrálu). Podmínky na regularitu a hladkost funkcí a křivek vypisovat nemusíte. Předpokládejte, že všechny objekty jsou dostatečně hladké a regulární. 5. [10 bodů] Vyřešte rovnici y 4y + 5y = x 6. [10 bodů] Napište rovnici kontinuity v diferenciálním tvaru a napište stručnou interpretaci jednotlivých členů. Požadavek: po vynásobení koeficientem za aktivitu je požadováno alespoň 16 bodů z 50 možných. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu (chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce (derivace, integrály) a kalkulačky jsou povoleny.