ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

Transkript

1 PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1

2 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná na ϕ(m) a D ϕ (x) jakobián zobrazení ϕ. Pak platí f(y) dy 1... dy n = f ( ϕ(x) ) Dϕ (x) dx1... dx n, (9.1) ϕ(m) pokud oba integrály v (??) existují. M Jak je vidět z věty??, substituce nemění pouze integrovanou funkci, ale také podstatně oblast M, přes kterou integrujeme. Proto se na rozdíl od jednorozměrných integrálů pomocí substituce nesnažíme pouze zjednodušit integrovanou funkci, ale také integrační oblast. To je při výpočtu vícerozměrných integrálů velmi podstatné. Například jestliže se nám podaří transformovat oblast M na interval, stačí podle Fubiniovy věty najít n jednorozměrných integrálů, i když většinou poměrně složitých. 2

3 9.2. Integrace pomocí substituce Polární souřadnice Polární souřadnice jsou definovány jako zobrazení h : R 2 R 2 : h(ϱ, ϕ) = (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) (9.2) roviny ϱϕ do roviny xy, které bodu (ϱ, ϕ) přiřazuje bod roviny xy o souřadnicích x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ. 3

4 Rovnice kružnice v polárních souřadnicích: x 2 + y 2 = R 2 ρ 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = R 2 ρ 2 = R 2, tj. ρ = R, ϕ, 2π) Kruh x 2 + y 2 R 2 v polárních souřadnicích: ρ, R, ϕ, 2π) Jakobián: J h = D(x, y) (ϱ, ϕ) = D(ϱ, ϕ) x ϱ, y ϱ, x ϕ y ϕ = cos ϕ, sin ϕ, ϱ sin ϕ ϱ cos ϕ = ϱ > Využití polárních souřadnic: hranice integrační oblasti obsahuje části kružnice se středem v počátku. 4

5 Příklad 1. Nalezněte hodnotu integrálu (2x 2 + 3y) dx dy, kde N = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 9}. N Řešení. Integrand je spojitá funkce na omezeném a uzavřeném integračním oboru, a tedy integrál existuje. Integrační obor je kruh x 2 + y 2 9, takže použijeme polární souřadnice. Dosadíme nové proměnné do integrandu, provedeme transformaci integračního oboru tím, že jej zapíšeme pomocí integračních mezí a využijeme poznatku, že jakobián polárních souřadnic je ϱ. Dvojný integrál tak převedeme již rovnou na dvojnásobný integrál. (2x 2 + 3y) dx dy = x = ϱ cos ϕ, ϱ 3 y = ϱ sin ϕ, ϕ < 2π = N = 3 = 3 2π (2ϱ 2 cos 2 ϕ + 3ϱ sin ϕ)ϱdϕdϱ = 2π ϱ 3 dϱ 2 cos 2 ϕdϕ + 3 3ϱ 2 dϱ 2π sin ϕdϕ = 81 2 π. 5

6 Příklad 2. Nalezněte hodnotu integrálu (x 2 + y 2 ) dx dy, (9.3) N kde N = {(x, y) R 2 (1/2 x 2 + y 2 1) (x < y) ( x < y)}. Řešení. Integrand je spojitá nezáporná funkce na omezeném integračním oboru, takže integrál existuje. Integrační obor je část mezikruží, použijeme proto opět polární souřadnice: N (x 2 + y 2 ) dx dy = x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, 2 2 ϱ 1 π 4 ϕ 3π 4 = π 4 π 4 ϱ 2 ϱ dϕdϱ = 3π 32. 6

7 Zobecněné polární souřadnice = 1, použí- Jsou-li hranicí integračního oboru části elipsy x2 a 2 váme zobecněné polární souřadnice: + y2 b 2 x = aϱ cos ϕ, y = bϱ sin ϕ, (9.4) ϱ >, ϕ (, 2π), a, b R, a >, b > Rovnice elipsy v zobecněných sférických souřadnicích: ρ = 1 Jakobián: J h = D(x, y) (ϱ, ϕ) = D(ϱ, ϕ) a cos ϕ, b sin ϕ, aϱ sin ϕ bϱ cos ϕ = abϱ > (9.5) Obsahuje-li hranice integračního oboru části elipsy se středem v bodě (x, y ) (, ) a s poloosami a >, b >, používáme zobecněné polární souřadnice: x = x + aϱ cos ϕ, y = y + bϱ sin ϕ, ϱ >, ϕ (, 2π) (9.6) 7

8 Příklad 3. Nalezněte hodnotu integrálu 1 x2 a 2 y2 dx dy, (9.7) b2 N kde N = {(x, y) R 2 x2 a + y2 2 b 1. 2 Řešení. Použijeme proto zobecněné polární souřadnice: 1 x2 a 2 y2 dx dy = x = aϱ cos ϕ, ϱ 1 b2 y = bϱ sin ϕ, ϕ < 2π = N 1 2π 1 ϱ2 abϱ dϕdϱ = 2abπ 3. 8

9 Další souřadnice Příklad 4. Nalezněte hodnotu integrálu y dx dy, kde integrační obor N x N je ohraničen křivkami xy = 1, xy = 3, y = x, y = 2x, x >. Řešení. Integrační obor je ohraničen větvemi hyperbol xy = 1, xy = 3, polopřímkami y = x, y = 2x a požadavkem x >. Integrační obor musí být omezená množina. Snadno zjistíme, že tento požadavek je splněn pouze pro nerovnosti 1 xy 3, 1 y x 2, Uvažujme nové proměnné dané zobrazením ϕ 1 : u = xy, v = y x. 9

10 Pro jakobián tohoto zobrazení platí y, x J ϕ 1 = y = 2 y x 2, 1 x = 2v. x Odtud pro jakobián potřebného zobrazení (x, y) = ϕ(u, v) plyne J ϕ = 1 J ϕ = 1 2v. Bude tedy N y dx dy = x v 1 dv du = 1. 2v 1

11 Totéž v R Válcové souřadnice h : x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, z = z (9.8) ϱ (, R), ϕ (, 2π), z (z, z 1 ) Jakobián: J h = cos ϕ, ϱ sin ϕ, sin ϕ, ϱ cos ϕ,,, 1 = ϱ >. (9.9) Rovnice válce v kartézských souřadnicích (osou válce je osa z): x 2 + y 2 R 2 Rovnice válce ve válcových souřadnicích: ϱ 2 R 2, tj. ϱ, R, ϕ, 2π) 11

12 Příklad 5. Nalezněte hodnotu integrálu M x2 y dx dy dz, kde integrační obor M je zadán nerovnostmi z, y + z 3, x 2 + y 2 1, x 2 + y 2 4. Řešení. Integrační obor je ohraničen dvěma souosými válcovými plochami a dvěma rovinami. Je to omezená množina, integrand je na ní spojitý, takže zadaný trojný integrál existuje. K výpočtu použijeme válcové souřadnice x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, z = z. Nerovností pro M vyjádříme ve válcových souřadnicích: z, ϱ sin ϕ + z 3, 1 ϱ 2 4; dostáváme meze pro integrační proměnné: 1 < ϱ < 2, < ϕ < 2π, < z < 3 ϱ sin ϕ. M 2 2π 3 ϱ sin ϕ x 2 y dx dy dz = ϱ 2 cos 2 ϕϱ sin ϕϱ dxdϕdϱ = 1 2 2π = ϱ 4 cos 2 ϕ sin ϕ(3 ϱ sin ϕ)dϕdϱ = 21 8 π. 1 12

13 Zobecněné válcové souřadnice h : x = aϱ cos ϕ, y = bϱ sin ϕ, z = z (9.1) ϱ (, R), ϕ (, 2π), z (z, z 1 ) Jakobián: J h = a cos ϕ, aϱ sin ϕ, b sin ϕ, bϱ cos ϕ,,, 1 = abϱ >. (9.11) 13

14 Sférické souřadnice x = ϱ cos ϑ cos ϕ, y = ϱ cos ϑ sin ϕ, z = ϱ sin ϑ, (9.12) ϕ 2π, π 2 ϑ π 2, ϱ 14

15 Jakobián: cos ϑ cos ϕ, ϱ cos ϑ sin ϕ, ϱ sin ϑ cos ϕ J h = cos ϑ sin ϕ, ϱ cos ϑ cos ϕ, ϱ sin ϑ sin ϕ = sin ϑ,, ϱ cos ϑ = ϱ 2 cos ϑ cos ϑ cos ϕ, sin ϕ, sin ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϕ, cos ϕ, sin ϑ sin ϕ sin ϑ,, cos ϑ = ϱ 2 cos ϑ. (9.13) Rovnice koule x 2 + y 2 + z 2 R 2 ve sférických souřadnicích: (ϱ cos ϑ cos ϕ) 2 + (ϱ sin ϑ cos ϕ) 2 + (ϱ sin ϑ) 2 = R 2 ] ϱ [cos 2 2 ϑ (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) }{{} + sin2 ϑ = R 2 ϱ 2 = R 2 ϱ = R 15

16 Příklad 6. Nalezněte hodnotu integrálu 1 M x 2 + y 2 dx dy dz, kde + z2 integrační obor M je zadán nerovnostmi a 2 x 2 +y 2 +z 2 b 2, x 2 + y 2 z. Řešení. Integrační obor M je ohraničen dvěma sférami se středem v počátku a kuželovou plochou. Je to omezená množina, integrand je na ní spojitý, takže zadaný trojný integrál existuje. K jeho výpočtu použijeme sférické souřadnice x = ϱ cos ϑ cos ϕ, y = ϱ cos ϑ sin ϕ, z = ϱ sin ϑ, kde ϕ 2π, π 2 ϑ π 2, ϱ. Nerovnosti pro M vyjádříme ve sférických souřadnicích a zúžíme meze: a 2 ϱ 2 b 2, ρ2 cos 2 ϑ ϱ sin ϑ; pro ϑ π 2, π 2 je cos ϑ, proto lze psát a ϱ b, ϱ cos ϑ ϱ sin ϑ, tedy π 4 ϑ π 2. Pro ϕ se neobjevila žádná omezující podmínka, budeme jej proto brát z celého intervalu, 2π). Celkem tak dostáváme meze integračních proměnných a < ϱ < b, < ϕ < 2π, π/4 < ϑ. M 1 x 2 + y 2 dx dy dz = + z2 2π b π/2 a π/4 1 ϱ 2 ϱ2 cos ϑdϑdϱdϕ = 2π(b a) ( ). 16

17 Zobecněné sférické souřadnice Hranice integračního oboru je tvořena částmi elipsoidu se středem v počátku a s poloosami a, b, c >, pak je výhodné použít zobecněné sférické souřadnice: x = aϱ cos ϑ cos ϕ, y = bϱ cos ϑ sin ϕ, z = cϱ sin ϑ, (9.14) ϕ 2π, π 2 ϑ π 2, ϱ < R, Jakobián: J h = abcϱ 2 cos ϑ. (9.15) Rovnice elipsoidu x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1 v zobecněných sférických souřadnicích: a 2 ϱ 2 cos 2 ϑ cos 2 ϕ a 2 + b2 ϱ 2 cos 2 ϑ sin 2 ϕ b 2 + c2 ϱ 2 sin 2 ϑ c 2 1 ϱ 2 [ cos 2 ϑ(cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) + sin 2 ϑ ] = R 2 ϱ 2 1, tj. ρ 1. 17

18 Příklad 7. Máme vypočítat objem elipsoidu se středem v počátku a poloosami a, b, c. Řešení. K výpočtu použijeme zobecněné sférické souřadnice, kde pro integrační proměnné platí nerovnosti < ϱ < 1, < ϕ < 2π, π 2 < ϑ < π 2. M dx dy dz = 2π π/2 π/2 1 abcϱ 2 cos ϑdϱdϑdϕ = 4 3 abcπ. 18