.3.0 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + = = 5 + = 1 + 3 = 9 = 3 Dosadíme do první rovnice: + = 3 + = = 1 K = [ 3;1] V nadpisu je ale grafické řešení. Jak grafick? Každá rovnice nekonečně mnoho řešení (uspořádaných dvojic čísel, kreslili jsme je jako graf funkcí). Řešení soustav = řešení (dvojice), které je společné. Řešení první rovnice : + = = - nakreslíme funkci = Řešení druhé rovnice : = 5 = 5 - nakreslíme funkci = 5 - - - - Společné řešení = místo, kde se přímk protínají. 1
- - 1-3 - Řešením soustav jsou souřadnice průsečíku obou přímek (bod [ 3;1 ] ) K {[ 3;1] } =. Pedagogická poznámka: Grafické řešení není součástí předchozího příkladu schválně. Jen málokd někdo objeví tento postup v únosné formě. Přesto se vplatí nechat rchlejším alespoň chvíli na to, ab se o grafické řešení pokusili. Každopádně se musí provést pro celou třídu na tabuli. Př. : + = Vřeš soustavu rovnic. Soustavu nejdříve vřeš početně, poté odhadni + = jaké bude grafické řešení a nakonec svůj odhad ověř sestrojením grafického řešení. + = + = / : + = + = nemá řešení podmínk v obou rovnicích si odporují, nemusíme dál pokračovat, soustava Soustava nemá řešení na obrázku b neměl být žádný průsečík oba graf budou zřejmě rovnoběžné přímk Řešení první rovnice : + = 1 = - nakreslím funkci = Řešení druhé rovnice : + = = 1 - nakreslím funkci = 1
- - - - Přímk se neprotínají soustava nemá řešení. K = Př. 3: Vřeš soustavu rovnic = 1. Soustavu nejdříve vřeš početně, poté odhadni = jaké bude grafické řešení a nakonec svůj odhad ověř sestrojením grafického řešení. = 1 = / : = 1 podmínk jsou v obou rovnicích stejné faktick jde o jedinou rovnici se = 1 dvěma neznámými nekonečně mnoho řešení volíme, dopočítáváme : = 1 {[ ; 1 ], } K = R na obrázku budou dvě totožné přímk Řešení první rovnice : = 1 = 1 - nakreslíme funkci = 1 Řešení druhé rovnice : = = 1 - nakreslíme funkci = 1 - - - - Přímk jsou totožné řešením soustav je každý jejich bod. K = ; 1 ; R {[ ] } 3
Př. : Vřeš grafick soustavu nerovnic + 6 + <. Stejně jako u rovnic, zobrazíme každou zvlášť, řešením jsou společné bod. Řešení první nerovnice : + 6 6 - použijeme funkci = 6 Řešení druhé nerovnice : + < < - použijeme funkci = - - - - - - - - Pedagogická poznámka: Největším problémem při řešení příkladu není ani tak příklad sám, jako fakt, že plocha průniku je poměrně malá a graf funkcí se od sebe příliš neliší. Pokud pak studenti nekreslí příliš pečlivě nebo mají příliš malý obrázek, stává se, že se nedokáží zorientovat. Pro mě je to záměr a chci, ab obrázek, kdž mají problém, předělali do stavu, ze kterého je možné něco zjistit. Př. 5: Vřeš grafick soustavu rovnice a nerovnice + = 5 0. Úplně stejný postup jako předtím. Řešení první rovnice : + = 5 = 5 - použijeme funkci = 5 Řešení druhé nerovnice : - použijeme funkci = - - - - - - - - Pedagogická poznámka: Předchozí příklad testuje, zda se studenti drží více pravidla o průniku, nebo pravidla, že se vždck musí všrafovat nějaká plocha.
Hodina se zvrhává v kreslení obrázků: Př. 6: Vřeš grafick soustavu nerovnic 0. Řešení první nerovnice : nejde o lineární funkci musíme jinak, 0 hledáme bod, jejichž souřadnice nemají stejná znaménka (ab součin souřadnic bl záporný) vbarvíme druhý a čtvrtý kvadrant včetně os. Řešení druhé nerovnice : + - použiju funkci = + - - - - - - - - Př. 7: Napiš soustavu nerovnic, jejíž grafickým řešením je trojúhelník na obrázku. B A - - - - C Obrácený postup než předtím. Každá ze stran trojúhelníka se dá vjádřit pomocí lineární funkce. Z nich určíme odpovídající lineární nerovnice se dvěma neznámými. Strana AB 5; B 1;5. Souřadnice A[ ], [ ] Dosadíme do předpisu lineární funkce: = a + b Bod [ 5;] A a( 5) Bod [ 1;5] = + b B 5 = a 1+ b 5
Řeším soustavu: 5a + b = 1 6a = 3 1 a = 1 9 Vpočteme b: + b = 5 b = 1 9 Získáváme funkci: = + = + 9 Rovnice přímk AB: = + 9 Do trojúhelníku patří i bod pod touto přímkou: + 9 Po úpravě + 9 0. Strana BC 1;5 C ; 5. Souřadnice B [ ], [ ] Dosadíme do předpisu lineární funkce: = a + b Bod [ 1;5] B 5 = a 1+ b Bod [ ; 5] C 5 = a + b Řešíme soustavu: a + b = 5 1 a = 10 a = 10 Vpočteme b: 10 + b = 5 b = 15 Získáváme funkci: = 10 + 15 Rovnice přímk BC: = 10 + 15 Do trojúhelníku patří i bod pod touto přímkou: 10 + 15 Po úpravě 10 + 15 0. Strana AC 5; C ; 5. Souřadnice A[ ], [ ] Dosadíme do předpisu lineární funkce: = a + b Bod [ 5;] A a( 5) Bod [ ; 5] = + b C 5 = a + b Řešíme soustavu: 5a + b = Vpočteme b: ( ) a + b = 5 5a + b = 1 7a = 7 a = 1 5a + b = 5 1 + b = b = 3 Získáváme funkci: = 3 Rovnice přímk AC: = 3 Do trojúhelníku patří i bod nad touto přímkou: 3 Po úpravě + + 3 0. 6
Trojúhelník na obrázku je grafickým řešení soustav tří nerovnic: + 9 0 10 + 15 0 + + 3 0 Př. 8: Petáková: strana 18/cvičení 7 b) d) e) f) Shrnutí: 7