Konečné prvk pro řešení 3D úloh Prostorové konstrukce neznámé parametr: u, v w volba různého počtu uzlů a neznámých v uzlech možnost zakřivených hran prvků (prvk se středostranovými uzl)
Opakování: Geometrické vztah ve 3D Maticově (ε = ε u): ε x ε ε z γ z γ zx γ x = x 0 0 0 0 0 0 z 0 z z 0 x x 0 u v w, () 2
Fzikální vztah ve 3D Maticově (σ = D ε) pro lineárně pružný materiál: σ x σ σ z τ z τ zx τ x = A µ µ µ µ 0 0 0 µ µ µ 0 0 0 µ µ 0 0 0 0 0 0 0 0 µ µ µ 2 µ 2( µ) 0 0 0 0 2 µ 2( µ) 0 0 0 0 0 0 2 µ 2( µ) ε x ε ε z γ z γ zx γ x, A = E( µ) ( + µ) ( 2 µ) (2) 3
Odvození konečného prvku pro 3D úloh () 4 z x 3 Neznámé parametr deformace: u, v, w v každém uzlu. 2 Tj. celkem dvanáct, neznámých uzlových parametrů: {u, v, w, u 2, v 2, w 2, u 3, v 3, w 3, u 4, v 4, w 4 } T. 4
Odvození konečného prvku pro 3D úloh (2) Aproximace neznámých uzlových posunutí: u(x, ) = a x + a 2 + a 3 z + a 4 (3) v(x, ) = a 5 x + a 6 + a 7 z + a 8 (4) w(x, ) = a 9 x + a 0 + a z + a 2 (5) 5
Odvození konečného prvku pro 3D úloh (3) Maticově (u = U a): u v w = x z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x z a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 a a 2 (6) 6
Odvození k. p. pro 3D úloh (4) Aproximace neznámých uzlových posunutí v uzlech, 2, 3 (r = S a): u v w u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 u 4 v 4 w 4 = x z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x z x 2 2 z 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 2 2 z 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 2 2 z 2 x 3 3 z 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 3 3 z 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 3 3 z 3 x 4 4 z 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 4 4 z 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 4 4 z 4 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 a a 2 7 (7)
Odvození k. p. pro 3D úloh (5) Kombinací vztahů ε = u a u = U a vznikne ε = B a, kde B = T U: ε x ε ε z γ z γ zx γ x = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 a a 2 (8) 8
Odvození k. p. pro 3D úloh (6) Z r = S a plne: a = S r. Pak: ε = B S r. Potenciální energie vnitřních sil: Π i = 2 V εt σ d V = 2 V εt D ε d V. (9) Potenciální energie vnějších sil: Π e = V XT r d V S pt r d S. (0) 9
Odvození k. p. pro 3D úloh (7) Potenciální energie soustav: Π = 2 V εt D ε d V V XT r d V S pt r d S. () Po dosazení za ε a vtknutí r: Π = 2 rt V S T B T DB S d V r T V XT d V r S pt d S r. (2) Stručně: Π = 2 rt K r F T r. (3) 0
Odvození k. p. pro 3D úloh (8) Aplikací Lagrangeova variačního principu ( Π = min.) na (3): kde K... matice tuhosti konečného prvku: K r = F, (4) K = V S T B T D B S d V, (5) F... zatěžovací vektor konečného prvku: F = V XT d V S pt d S. (6)
Odvození k. p. pro 3D úloh (9) Pro studovaný konečný prvek (B, D, S obsahují jen konstant): K = S T B T D B S V dv, (7) K = V S T B T D B S. (8) F = X. (9) 2
Analýza konstrukce Z K e a r e a F e jednotlivých prvků (e je číslo prvku) sestavíme K a r a F celé konstrukce a neznámé určíme řešením soustav rovnic: K r = F. (20) 3
Výpočet výsledků (napětí a deformací) na konečných prvcích. z vektoru r celé konstrukce sestavíme vektor r e jednotliných konečných prvků 2. pro každý prvek stanovíme poměrné deformace: ε e = B S r e 3. pro každý prvek stanovíme napětí: σ e = D ε e nebo σ e = D B S r e 4
Příklad velmi krátká konzola () ufem 0.2.25 CS: CART Time:.25 kn 0.4 m 0.4 m 0.8 m z x 02. 2. 2007 E = 27MP a, µ = 0,2 5
Příklad velmi krátká konzola (2) ufem 0.2.25 Result: s_x Time:.0000 7.24838e+00 6.32983e+00 5.429e+00 4.509274e+00 3.60749e+00 2.705564e+00.80370e+00 9.08548e-0 0.000000e+00-9.08548e-0 -.80370e+00-2.705564e+00-3.60749e+00-4.509274e+00-5.429e+00-6.32983e+00-7.24838e+00 ufem 0.2.25 Result: s_x Time:.0000 7.24838e+00 6.32983e+00 5.429e+00 4.509274e+00 3.60749e+00 2.705564e+00.80370e+00 9.08548e-0 0.000000e+00-9.08548e-0 -.80370e+00-2.705564e+00-3.60749e+00-4.509274e+00-5.429e+00-6.32983e+00-7.24838e+00 z x z x 02. 2. 2007 02. 2. 2007 6
Příklad velmi krátká konzola (3) ufem 0.2.25 Result: s_ Time:.0000.66957e+00.45422e+00.246468e+00.038723e+00 8.309785e-0 6.232339e-0 4.54892e-0 2.077446e-0 0.000000e+00-2.077446e-0-4.54893e-0-6.232339e-0-8.309785e-0 -.038723e+00 -.246468e+00 -.45422e+00 -.66957e+00 z x 02. 2. 2007 7
Příklad 2 krchle () Je dána krchle o rozměrech m, E = 0 GP a, ν = 0.2. q = 4 MN/m2 Rozdělte na nejmenší možný počet konečných prvků. 8
Příklad 2 krchle (2) Model (kolik obsahuje prvků?): 4 3 7 ufem 0.2.53d CS: CART Time: ETps: 2 RSets: Mats : KPs : 0 GEnts: 0 Nodes: 8 Elems: 5 Disps: 2 Loads: 4 2 8 3 5 2 4 6 5 x z tetrapack 09. 03. 20 9
Příklad 2 krchle (3) Konečný prvek : 8 4 3 ufem 0.2.53d CS: CART Time: ETps: 2 RSets: Mats : KPs : 0 GEnts: 0 Nodes: 8 Elems: 5 Disps: 2 Loads: 4 7 2 5 6 z x tetrapack 09. 03. 20 20
Příklad 2 krchle (4) Konečný prvek 2: ufem 0.2.53d CS: CART Time: 4 ETps: 2 RSets: Mats : 3 KPs : 0 GEnts: 0 8 2 7 Nodes: 8 Elems: 5 Disps: 2 Loads: 4 2 5 6 z x tetrapack 09. 03. 20 2
Příklad 2 krchle (5) Konečný prvek 3: 8 4 3 ufem 0.2.53d CS: CART Time: ETps: 2 RSets: Mats : KPs : 0 GEnts: 0 Nodes: 8 Elems: 5 Disps: 2 Loads: 4 7 3 2 5 6 z x tetrapack 09. 03. 20 22
Příklad 2 krchle (6) Konečný prvek 4: 4 3 ufem 0.2.53d CS: CART Time: ETps: 2 RSets: Mats : KPs : 0 GEnts: 0 Nodes: 8 Elems: 5 Disps: 2 Loads: 4 8 7 4 2 5 6 z x tetrapack 09. 03. 20 23
Příklad 2 krchle (7) Konečný prvek 5: 4 3 ufem 0.2.53d CS: CART Time: ETps: 2 RSets: Mats : KPs : 0 GEnts: 0 Nodes: 8 Elems: 5 Disps: 2 Loads: 4 8 7 5 2 tetrapack 5 6 x z 09. 03. 20 24
Příklad 2 krchle (8) Napětí σ x : 4 3 ufem 0.2.53d Result: s_x Set: :.000 8.6033e+08 7.5267e+08 6.4500e+08 7 5.37583e+08 4.30067e+08 8 3.22550e+08 2.5033e+08.0757e+08 0.00000e+00 -.0757e+08-2.5033e+08 2-3.22550e+08-4.30067e+08-5.37583e+08-6.4500e+08 6-7.5267e+08-8.6033e+08 5 x z tetrapack 09. 03. 20 25
Příklad 2 krchle (9) Napětí σ : 3 ufem 0.2.53d CS: CART Set: :.000.63099e+09 3 ufem 0.2.53d Result: s_ Set: :.000.74646e+09.4272e+09.5285e+09 4.22324e+09 4.30984e+09 7.0937e+09 7.0954e+09 8.5495e+08 8.73230e+08 2 8 6.622e+08 4.07748e+08 8 6.54922e+08 4.3665e+08 2.03874e+08 2.8307e+08 3 0.00000e+00 0.00000e+00 5 2 2 4 6 6 5 x z 5 x z tetrapack 09. 03. 20 tetrapack 09. 03. 20 σ =.63 MP a (všechn) a.75mp a (jen 4 prvk) 26
Příklad 2 krchle (0) Napětí σ : ufem 0.2.53d Result: s_ Set: :.000.63099e+09.4272e+09.22324e+09.0937e+09 8.5495e+08 6.622e+08 4.07748e+08 2.03874e+08 0.00000e+00 ufem 0.2.53d Results Set: :.000 5.94926e+06 5.20560e+06 4.4694e+06 3.7829e+06 2.97463e+06 2.23097e+06.4873e+06 7.43657e+05 0.00000e+00-9.3756e+04 -.8275e+05-2.7427e+05-3.65502e+05-4.56878e+05-5.48254e+05-6.39629e+05 z x 09. 03. 20-7.3005e+05 z x 09. 03. 20 σ =.63 GP a (5 prvků) a 5.94MP a (podrobný model) 27
Příklad 2 krchle () Napětí σ x : ufem 0.2.53d Result: s_x Set: :.000 6.62240e+06 5.79460e+06 4.96680e+06 4.3900e+06 3.320e+06 2.48340e+06.65560e+06 8.27800e+05 0.00000e+00-8.27800e+05 -.65560e+06-2.48340e+06-3.320e+06-4.3900e+06-4.96680e+06-5.79460e+06-6.62240e+06 z x 09. 03. 20 28