Neparametrické metody

Neparametrické metody EuroMISE Cetrum Kotakt: Literatura: Obecé iformace Zvárová, J.: Základy statistiky pro biomedicískéobory I. Vydavatelství Karolium, UK Praha 00 Zvára, K.: Roser, B.: EuroMISE cetrum Doc. Zdeěk Valeta, Ph.D. Tel.: 05 0 (sekretariát) Fax: 5 5 http://www.euromise.cz valeta@euromise.cz Biostatistika. Vydavatelství Karolium, UK Praha 00 Fudametals of Biostatistics, th Editio I. ÚVOD v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Dataemusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických testů (apř. ormalita rozdílů v párovém t-testu) v Neparametrické metody mohou zahrovat požadavky a určité vlastosti rozděleí (apř. symetrie ebo spojitost) v Jsou mohdy jediou alterativou aalýzy ordiálích dat ebo dat ve formě četostí či pořadí

ÚVOD (pokr.) v TŘÍD NEPARAMETRICKÝCH TESTŮ: JEDNOVÝBĚROVÉ: Kvatilový test DVOUVÝBĚROVÉ PÁROVÉ: Zamékový test, Wilcoxoův párový test (siged-rak test). Oba testy jsou eparametrickou alterativou párového t-testu. DVOUVÝBĚROVÉ PRO NEZÁVISLÉ VÝBĚR: Mediáový test, Wilcoxoův dvouvýběrový test (Maův-WhiteyůvU test, Wilcoxo Rak-Sum test), Robustí dvouvýběrový test, Kolmogorovův-Smirovův dvouvýběrový test, případě Waldův-Wolfowitzův rus test. Tyto testy jsou eparametrickou alterativou dvouvýběrového t-testu. VÍCEVÝBĚROVÉ: Kruskalova-Wallisovaaalýza pořadových skórů jedoduchého tříděí, Friedmaova aalýza pořadových skórů opakovaých měřeí v jedoduchém tříděí. Tyto aalýzy odpovídají aalýze rozptylu (ANOVA - aalysis of variace, MANOVA - multivariateanova) jedoduchého tříděí. ÚVOD (pokr.) v Výše uvedeé testy jsou aalogií zámých parametrických testů, tj. jedovýběrového t-testu, dvouvýběrového t-testu pro ezávislé výběry a aalýzy rozptylu v Neparametrické testy emusí vyžadovat splěí všech požadavků zámých z parametrických metod, jakými jsou apříklad ormalita rozděleí, případě ai shodost rozptylů u dvouvýběrových testů (apř. robustí dvouvýběrový test) v V případě, že jsou ovšem požadavky a použití parametrických metod splěy, je vhodé je upředostit před metodami eparametrickými, eboť testy založeé a parametrických metodách mají zpravidla větší sílu (využívají více iformace) II. USPOŘÁDÁNÍ A POŘADÍ v Pozorovaá data: -,,,, 0, 0,, v Vzestupě uspořádaá data: -, 0,,,,,, 0 v Pořadí R i pozorovaých dat (Raks R i ):, 5,,,,, 7,

POŘADÍ SHODNÝCH POZOROVÁNÍ (ties) v V případě shodých pozorováí (ties) přiřazujeme tzv. průměrá pořadí (averageraks). v Vzestupě uspořádaá dataa jejich průměrápořadí: Uspořádaá Data - Průměrá pořadí 0,5,5 5 7 7 7 0 0 0,5,5 III. VÝBĚROVÉ KVANTIL SPOJITÝCH ROZDĚLENÍ v Vzestupě uspořádaá data: -, 0,,,,,, 0 v Výběrové kvatily: -. 0% kvatil (mi) 0. /7 =,% kvatil. /7 =,% kvatil... 5/7 = 7,5% kvatil 0. 00% kvatil (max) ODHAD KVANTILŮ SPOJITÝCH ROZDĚLENÍ v Vzestupě uspořádaá data: -, 0,,,,,, 0 v Odhady kvatilů (lieáríiterpolace): 0% kvatil (mi) =-,00 0% kvatil =- + (0- -)*(0/.) = -0,0 5% (.kvartil, Q) = 0 + (-0)*(0.7/.)= 0,75 50% (mediá): =,50 75% (. kvartil, Q) = 5,00 0% kvatil =,0 00% kvatil (max) =0,00

IV. KVANTILOVÝ TEST (-výběrový) v Nulováhypotéza: H 0 : x q = c (H 0 :00*q% kvatil x q cílové populaceje rove c) v Alterativí hypotéza: H : x q c v Hladia výzamosti: α (apř. 0,05) v Postup: Záhodého výběru vyřadíme čley, u kterých je hodota zaku x rova kostatě c. Ve výsledém souboru o rozsahu pak zjistíme počet čleů m, u kterých je x < c. v Testová statistika: Z = m q ~ N(0,) q( q) má za platosti H 0 stadardíormálí rozděleí N(0,). v Testové kritérium: Zamítáme H 0, jestliže Z z α / v Předpoklady: > 5, 0,0 < q < 0,0 a spojitost rozděleí (aprox. biomického rozděleí ormálím rozděleím N(0,)) KVANTILOVÝ TEST příklad: v ZADÁNÍ: Na základě dat o itervečí léčbě 00 pacietů sezávažou formou hyperlipoproteiemie(sérum CHOL 0 mmol/l a více) testujte a hladiě výzamosti α = 0,05 hypotézu, že u alespoň 0% pacietů s touto závažou formou hyperlipoproteiémiedocílí itervečí léčba poklesu hladiy CHOL v séru většího ež mmol/l. v H 0 :(y -x) 0.0 = d 0.0 = v H : d 0.0 > (léčba edosahuje staoveého poklesu u alespoň 0% pacietů) (pokles u alespoň 0%pacietů) v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α =0,05 KVANTILOVÝ TEST pokr. př.: v ŘEŠENÍ: Předpokládejme, že data ukazují, že ve 00 případech ze 00 byla hodota d >a ai v jedom případě ebylo d =. Tedy: = 00 (počet případů kde d ) m = 00 (počet případů kde d > ) q = 0,0. m q 00 00 *0, v TESTOVÁ STATISTIKA: Z = = =,5 q( q) 00 *0,*0, v VÝSLEDEK: Kritická hodota ormálího rozděleí pro jedostraý test a hladiě výzamosti α = 5% má hodotu,5. Protože hodota testové statistiky Z =,5 přesahuje kritickou hodotu, zamítáme ulovou hypotézu H 0 a hladiě výzamosti 5%. v ZÁVĚR: Na hladiěα= 0,05 zamítáme ulovou hypotézu H 0, že itervečí léčba edosahuje staoveého poklesu hladiy CHOL o více ež mmol/l u alespoň 0% pacietů.

V. ZNAMÉNKOVÝ TEST (párový) v NULOVÁ HPOTÉZA: H 0 : (x y) 0,5 = d 0,5 = 0 (H 0 :Mediá párových rozdílů d 0,5 je rove 0) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : d 0,5 0 v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř. 0,05) v POZNÁMKA: Zamékový test je speciálím případem kvatilového testu pro mediá (tj. q = 0,5) aplikovaého a párové rozdíly hodot mezi dvěma výběry. v POSTUP: Zezákladího souboru párových rozdílů vyřadíme čley, u kterých je hodota zaku d = x - yrova 0. Ve výsledém souboru o rozsahu (počet párů) pak zjistíme počet čleů C, u kterých je d > 0. V. ZNAMÉNKOVÝ TEST (párový, pokr.) v TEST H 0 (aproximace biomického rozděleí ormálím): Zamíteme H 0, jestliže: C > + + z α / ebo C < z α / v PŘEDPOKLAD: Počet dvojic 0 a spojitost rozděleí v TEST H 0 (exaktí staoveí hladiy výzamosti p a základě biomickéhorozděleí): (a) Je - li C > p = * j= C j C (b) Je - li C < p = * j = 0 j ZNAMÉNKOVÝ TEST příklad v DERMATOLOGIE: Byla realizováa studie zaměřeá a porováí účiosti pleťových krémů typu A, B a C s ochraým faktorem proti egativím účikům sluečího zářeí při dlouhodobé expozici. Krémy byly aplikováy účastíkům studie a odpovídající místa s podobou kvalitou pokožky a levé a pravé části těla a každý z účastíků byl ásledě vystave itezivímu sluečímu zářeí po dobu hod. Poté bylo dermatologem porováo zrudutí pokožky a ošetřeých místech. 5

ZNAMÉNKOVÝ TEST příklad v Orgaizace dat: 5 7 0 Krém A Krém B Krém C 5 5 5 7 5 5 5 5 Původí data hodotila zrudutí pokožky koeficietem 0 až 5. v DATA: Box & Whisker Plot ZNAMÉNKOVÝ TEST příklad Box & Whisker Plot 0 0 0 Krém A Krém B Krém C Media 5%-75% Mi-Max ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) v Soustřeďme se yí pouze a porováí účiosti jedotlivých dvojic krémů typu A, B a C. Navíc předpokládejme, že dermatolog byl schope rozlišit pouze ásledující případy (zde porováváme apř. krémy typu A a B):. Místo A je lépe ochráěé ež místo B (meší zrudutí při aplikaci krému A). Místo B je lépe ochráěé ež místo A (meší zrudutí při aplikaci krému B). Obě místa vykazují podobý stupeň zrudutí pokožky v Tato situace je vhodá pro využití zamékového testu, eboť původí hodoty koeficietů zrudutí pokožky v tomto případě ejsou dostupé, pouze počty případů, kdy pro d = x y platí: d < 0, d=0 a d >0.

STATISTICA.0: ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) Sig Test (sig-test-small.sta) Marked tests are sigificat at p <,05000 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém C 00,0000,7 0,007 Sig Test (sig-test-small.sta) Marked tests are sigificat at p <,05000 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém B,,000000 0,05500 Sig Test (sig-test-small.sta) Marked tests are sigificat at p <,05000 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém B & Krém C,,000000 0,05500 ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) v Rozsah áhodého výběru byl však v každé skupiě (tj, pro každý typ ochraého krému) pouze 0, což esplňuje požadavek a aproximaci biomického rozděleí stadardím ormálím rozděleím. V takovém případě je uté použít exaktí test biomický test. v Buď C AB počet subjektů, u ichžje d = x y > 0 při porováváí účiku krémů A a B. Je-li C AB velké číslo blízké, pak krém B chráí pokožku většiy studovaých subjektů lépe ež krém A, zatímco je-li C AB malé, pak krém typu A vykazuje a souboru studovaých subjektů lepší výsledky ež krém typu B. ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) v Za platosti ulové hypotézy H 0 (tj. předpokladu stejé efektivity krémů A a B) lze předpokládat, že Pr(d > 0) = Pr(d < 0) je u subjektů s eulovou hodotou d stejá, tedy ½. Jiými slovy, jsou-li oba krémy stejě efektiví, potom frekvece případů, kdy A je lepší ež B a případů, kdy A je horší ež B by měly být zhruba stejé. v Ke staoveí DOSAŽENÉ HLADIN VÝZNAMNOSTI p zamékového testu tedy můžeme využít přímo formule biomického rozděleí: p = * j = C AB j 7

ZNAMÉNKOVÝ TEST (dokočeí) v EAKTNÍ ZNAMÉNKOVÝ TEST: Připoměňme si, že při porováváíúčiosti krému A a B jsme měli 0 pozorováí, shodu ( tie ), C AB =, =. Pro exaktí výpočet dosažeé hladiy výzamosti oboustraého testu tedy platí: p = * j= 0 j v ZÁVĚR: = *( + )* = 0* = 0,00 Na hladiě výzamosti α = 5% zamítáme ulovou hypotézu H 0 o shodosti účiku ochraých krémů typu A a B. VI. WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (siged-rak test) v NULOVÁ HPOTÉZA: H 0 : (x y) 0,5 = d 0,5 = 0 (H 0 :Mediá párových rozdílů d 0,5 = 0) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : d 0,5 0 v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř. 0,05) v POSTUP: Z áhodého výběru s počtem párových pozorováí vyřadíme čley, u ichž je hodota zaku d = x - yrova0. Staovíme pořadí hodot d a zjistíme součet pořadí T +,která odpovídají kladým hodotám d. VI. WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (siged-rak test, pokr.) + T ( + ) / v TESTOVÁ STATISTIKA: Z = ~ N (0,) ( + )( + ) / má za platosti H 0 stadardíormálí rozděleí v POZNÁMKA: Wilcoxoův párový test má větší statistickou sílu ež zamékový test, eboť využívá jak iformaci o směru rozdílů, tak o jejich velikosti ve formě pořadí. To se projevuje také v ižším požadovaém miimálím rozsahu áhodého výběru. v TESTOVÉ KRITÉRIUM: ZamítámeH 0,jestliže Z z α / v PŘEDPOKLAD:počet párů > 5 a spojitost rozděleí

WILCOONŮV PÁROVÝ TEST-příklad v Pokračujme aším příkladem z dermatologie: připoměňme, že Wilcoxoův siged-rak test pracuje s aktuálí velikostí rozdílů d = x y, ikoliv pouze s iformací, zda x je větší či meší ež y. Můžeme tedy očekávat, že reálě existující rozdíly mezi efektivostí krémů bude sazší detekovat a základě Wilcoxoova párového testu ež jedoduššího testu zamékového. WILCOONŮV PÁROVÝ TEST-příklad v Orgaizace dat: v Box ad Whisker plot: Krém A Krém B Krém C 5 5 5 7 5 5 7 5 5 5 0 0 5 5 5 5 7 5 7 0 5 0 0 0 0 Box & Whisker Plo Krém A Krém B Krém C Media 5%-75% Mi-Max WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (pokr. př.): Krém A vs B: Wilcoxo Matched Pairs Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,05000 Valid T Z p-level Pair of Variables N Kr ém A & Krém B 0 0,00000,05 0,0000 Srovej: Sig Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,05000 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém B,,0 0,00

WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (pokr. př.): Krém A vs C: Wilcoxo Matched Pairs Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,05000 Valid T Z p-level Pair of Variables N Kr ém A & Krém C 0,500000,50 0,0005 Srovej: Sig Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,05000 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém C,,555 0,00007 WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (pokr. př.): Krém B vs C: Wilcoxo Matched Pairs Test (sig-test.sta Marked tests are sigificat at p <,05000 Valid T Z p-level Pair of Variables N Krém B & Krém C 0,500000,0 0,0005 Srovej: Sig Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,05000 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém B & Krém C 7,75,5 0,0005 VII. MEDIÁNOVÝ TEST (dvouvýběrový) v NULOVÁ HPOTÉZA: v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H 0 : Θ = Θ (H 0 :Mediáy Θ a Θ jsou shodé) v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř. 0,05) H : Θ > Θ (mediá Θ je apravo od Θ ) v POSTUP: Klasifikacehodot vobou souborech podle společého mediáu Θ : Klasifikace Soubor Počet hodot > Θ a Počet hodot < Θ c Celkem a+c Soubor b d b+d Celkem a+b c+d 0

v MEDIÁNOVÝ TEST (dvouvýběrový, pokr.) VARIANT TESTU: - exaktí a základě hypergeometrickéhorozděleí: (Fisherův test, 0) a + c b + d a b P [ a, b] = a + b - Chí-kvadrát aproximace(>0): ( ad bc / ) () = ( a + b)( a + c)( b + d)( c + d) v PŘEDPOKLAD: spojitost a shodý tvar rozděleí a. VIII. WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (Ma-Whitey U test, Rak-Sum test) v NULOVÁ HPOTÉZA: H 0 : Dva ezávislé výběry pocházejí z populací se shodými mediáy (Θ = Θ ) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: od (mediá Θ > Θ ) H : Populace je apravo v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř. 0,05) v POSTUP: Staovímepořadí hodot vsouboru vziklém spojeím výběrů a azjistímesoučty pořadí W aw ( raked sums ) odpovídající výběrům,. Za platosti H 0 by statistikyw aw y měly mít přibližě stejou hodotu. WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (pokr.) v TESTOVÁ STATISTIKA: W + 0.5 m( m + + ) / Z = ~ N(0,) m( m + + ) / má za platosti H 0 stadardíormálí rozděleí N(0,), přičemž m a jsou rozsahy jedotlivých výběrů. v POZNÁMKA: V případě, že H mátvar Θ < Θ má hodota 0,5 v čitateli záporé zaméko.wilcoxoův dvouvýběrový test má větší statistickou sílu ež mediáový test, eboť využívá jak iformaci o poloze skórů vůči společému mediáu, tak také součty pořadí.

WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (dok.) v TESTOVÉ KRITÉIUM: ZamítámeH 0, jestliže Z z α v PŘEDPOKLAD: m> 0, > 0 a spojitost a shodý tvar rozděleí v obou populacích WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST - příklad v v Pokračujme opět aším příkladem z dermatologie; pouze yí předpokládejme, že data evzikla párovým porováváím a týchž subjektech, ýbrž že každému z účastíků studie byl apliková právě jediý z ochraých krémů typu A, B, C. Z tohoto důvodu budou mít data amísto 0 zázamů (records) se třemi proměými A, B, C mít zázamů 0 a pouze dvě proměé, přičemž prví proměá udává hodotu zjištěého koeficietu a druháje idikátorem, udávajícím typ použitého krému u daého subjektu. WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST - příklad v Orgaizace dat v programu Statistica v tomto případě vypadá ásledově: 5 7 0 5 7 0 5 7 0 Krém Group 5 5 5 5 7 5 5

WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST - pokr. př. Ma-Whitey U Test (Wilcoxo Rak Sum Test.sta) By variable Group Marked tests are sigificat at p <,05000 Rak Sum Rak Sum U Z p-level Z p-level Valid N Valid N *sided variable Group Group adjusted Group Group exact p Krém 5,5000,5000 5,5000 -,05 0,0 -,00 0,05 0 0 0,05 DALŠÍ DVOUVÝBĚROVÉ TEST: v KOLMOGOROVŮV-SMIRNOVŮV test: Kolmogorov-Smirov Test (Wilcoxo Rak Sum Test.sta) By variable Group Marked tests are sigificat at p <,05000 Max Neg Max Pos p-level Mea Mea Std.Dev. Std.Dev. Valid N Valid N variable Differc Differc Group Group Group Group Group Group Kr ém -0,00000 0,00 p >.0,00000,050000,750,70 0 0 v WALDŮV-WOLFOWITZŮV rus test Wald-Wolfowitz Rus Test (Wilcoxo Rak Sum Test.sta) By variable Group Marked tests are sigificat at p <,05000 Valid N Valid N Mea Mea Z p-level Z adjstd p-level No. of No. of Variable Group Group Group Group Rus ties Kr ém 0 0,00000,050000 0,05 0,50 0,000 0, 7 Pozámky k dvouvýběrovým testům: v Ukázka výpočtu rus ve WALDOVĚ-WOLFOWITZOVĚ testu a příkladě: pořadí... data MMMZZZMMMMZZMMMZZZZZZZMMZMMZZZZ ru 555 77 0000

Pozámky k dvouvýběrovým testům: v WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (Maův- Whiteyův U-test, Wilcoxoův Rak-Sum test) má ejvětší statistickou sílu z uvedeých testů a je vhodý zejméa v případě, že počet ties (shodých pozorováí) je malý. Je vhodý zejméa v situacích, kdy se průměré hodoty pořadí v jedotlivých skupiách (apř. muži a žey) podstatě liší. v WALDŮV-WOLFOWITZŮV RUNS TEST má meší statistickou sílu, ale je vhodý v případě, že průměré hodoty pořadí se ve skupiách (muži a žey) zásadě eliší, ale apříklad u mužů abývají buď vysokých ebo aopak ízkých hodot, zatímco u že abývají středích hodot. v KOLMOGOROVŮV-SMIRNOVŮV test je vhodý v případě, že počet shodých pozorováí ( ties ) je vyšší. I. KRUSKALOVA-WALLISOVA ANOVA v Nulováhypotéza: H 0 : k ezávislých výběrů pochází z populací se shodými mediáy (Θ = Θ =...= Θ k ) v Alterativí hypotéza: H : Mediáy se alespoň ve dvou populacích vzájemě liší v Hladia výzamosti: α (apř. 0,05) v Postup:. Do tabulky o k sloupcích, ve které j-tý sloupec odpovídá výběru z j-té populace (j=,...,k), zapíšeme amísto pozorovaých hodot pořadí, která odpovídají pozorovaým hodotám v souboru vziklém spojeím k podsouborů.. V každé z k skupi spočteme průměrépořadí R j, (j=,...,k) KRUSKALOVA-WALLISOVA ANOVA (pokr.) v Testová statistika: má za platosti H 0 rozděleí v Testové kritérium: Zamítáme H 0, jestliže KW v Předpoklady: k KW = j R j ( N + ) N( N + ) j = χ k > χ k ( α) - Rozsahy výběru j (j=,...,k) musí být v jedotlivých skupiách alespoň 5 - Spojitost - Shodý tvar rozděleí v jedotlivých populacích.

KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza příklad: Opthalmologie: v Kyselia arachodiová je zámá tím, že ovlivňuje metabolismus oka. Kotakt oka s malým možstvím této kyseliy má za ásledek zavřeí víčka, svěděí a v ěkterých případech poruchy viděí. Studie, z íž pocházejí data pro áš příklad, porovávala protizáětlivé účiky zkoumaých látek, které byly aplikováy laboratorím zvířatům (bílí králíci) do jedoho oka a roztok salia do druhého oka. v Po 0 miutách bylo králíkům aplikováo malé možství kyseliy arachodiové a obě bulvy. Po dalších 5 miutách byli králíci kotrolovái, zda došlo k uzavřeí víčka a bylo zazameáo skóre, které představovalo hodotu rozdílu mezi stupěm otevřeí víčka (0-otevřeé, - polouzavřeé a uzavřeé) a začátku pokusu a po aplikaci kyseliy arachodiové. KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př.: Opthalmologie: v Data pro statistickou aalýzu udávají míru efektivosti protizáětlivého přípravku a jsou dáa rozdíly mezi hodotou skóre a oku ošetřeém aktiví látkou a oku ošetřeém saliou (eutrálí izotoický 0,% roztok soli). v Vyšší hodoty skórů (rozdíly rozdílů) azačují efektivější účiek protizáětlivé látky. KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př. v Opthalmologie-data: 5 7 0 5 7 0 Sk ore Lecba Idometaci Idometaci Idometaci Idometaci Idometaci 0 Idometaci Aspiri Aspiri Aspiri Aspiri Aspiri Aspiri Piroxicam Piroxicam Piroxicam Piroxicam Piroxicam Piroxicam BW755C 0 BW755C 0 BW755C 0 BW755C 0 BW755C - BW755C 5

KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př. v Box & Whisker Plot:,5 Boxplot by Group Variable: Skore,0,5,0,5 Skore,0 0,5 0,0-0,5 -,0 -,5 Idometaci Aspiri Piroxicam BW755C Lecba Media 5%-75% Mi-Max KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př. v K-W aalýza pořadových skórů: Deped.: Sk ore Idometaci Aspiri Piroxicam BW755C v Mediáový test: Depedet: Sk ore <= Media: observed expected obs.-exp. > Media: observed expected obs.-exp. Total: observed Kruskal-Wallis ANOVA by Raks; Idepedet (groupig) variable: Lecba Kruskal-Wallis test: H (, N= ) =,05 p =,00 Code Valid Sum of N Raks 0 7,50000 0 5,00000 0,50000 0,00000 Media Test, Overall Media =,00000; Sk ore (Kruskal-Wallis Ophtalmologie.sta) Idepedet (groupig) variable: Lecba Chi-Square =,, df =, p =,0 Idometaci Aspiri Piroxicam BW755C Total,00000,000000,000000,00000 5,00000,75000,750000,750000,75000 -,75000 0,50000-0,750000,5000,00000,000000,000000 0,00000,00000,5000,50000,50000,5000,75000-0,50000 0,750000 -,5000,00000,000000,000000,00000,00000. ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST v NULOVÁ HPOTÉZA: H 0 : Dva ezávislé výběry pocházejí z populací se shodými mediáy (Θ = Θ ) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : Mediá Θ > Θ v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř. 0,05) v POSTUP (a příkladě):. Vzestupě uspořádejme pozorovaá data a ozačme příslušost ke skupiám a : Data Skupia 0 5

ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST (pokr.) Data Skupia 0 5. Defiujeme: U( i ) počet meších ež i U( j ) počet meších ež j i U( i ) 5 j U( j ) 0 0 0. Vypočteme středí hodoty U() a U(): ( ) (+ + ( ) = m U i U = i= m ( ) (0+ 0+ + ( ) = U i U = i= ) ) = = 0,75 ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST - pokr. Středí hodoty: U() = U() = 0,75.. Vypočteme ukazatelevariability V a V : V i U( i ) m = [ U ( i) U ( )] i= = ( ) + ( ) + ( ) = + 0+ = 5 V j U( j ) = = j= 0 [ U( ) U( ) ] j 0 0 = (0 0,75) + (0 0,75) + ( 0,75) + ( 0,75) =,75 = ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST - pokr. v Středí hodoty: U() = U() = 0,75. v Ukazatele variability: V = V =,75. 5. TESTOVÁ STATISTIKA U má za platosti H 0 rozděleí N(0,): mu( ) U( ) () (0,75) U = = =, V + V + U ( ) U ( ) +,75+ (0,75)(). TESTOVÉ KRITÉRIUM: Zamítáme H 0, jestližeplatí U z. 7. ZÁVĚR: V ašem příkladě H 0 ezamítáme. α. PŘEDPOKLAD: m >, > a spojitost rozděleí (rozptyly se mohou lišit, jde o tzv. Behresův-Fisherův problém). Pro m, je rozděleí U tabelováo. 7