VaR analýza citlivosti, korekce

Transkript

1 VŠB-TU Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra fiací.-. září 008 VaR aalýza citlivosti, korekce Fratišek Vávra, Pavel Nový Abstrakt Práce se zabývá rozbory citlivosti ěkterých postupů, zahrutých pod zkratkou VaR. Aalyzuje možý vliv vstupích eurčitostí a eurčitostí v určeí pravděpodobostího modelu. Klíčová slova Value at risk, riziko, citlivost, eurčitost, korekce pravděpodobostích modelů.. Motivace a pojmy Metodikami souhrě azývaými zkratkou VaR dostala oblast hodoceí rizik efektiví prostředek. Jako u všech postupů, které přiesly daé oblasti podětý impuls k dalšímu rozvoji, objevují se zde ěkteré ekritické přístupy a aplikace. Naším cílem je a ěkteré upozorit. Podstatou VaR je vzájemé přiřazeí kvatilu a hodoty realizující teto kvatil. Existují růzé formalizace. Jedou z možých je []: VaRα = if{ x R : P( > x) α } = if{ x R : F α }, () kde: R je reálá osa, možia reálých čísel, α je hladia výzamosti, přijatelá pravděpodobost překročeí určeé hladiy VaR α, P ( > x) je pravděpodobost toho, že áhodá proměá, měřící riziko, překročí hodotu x, F je distribučí fukce áhodé proměé v bodě x. Pro jedoduchost a přehledost se omezíme a klasické kvatilové vyjádřeí. Dále a spojité áhodé proměé s ryze rostoucími a spojitými distribučími fukcemi a s existující hustotou. Také se omezíme a jedorozměré áhodé proměé měřící riziko. Aalyzovat budeme statické úlohy. Používaý formalismus proto bude: F ( x α ) = α ebo ( x( α )) = α F. () Z této formulace lze ostatí úlohy za uvedeých předpokladů sado odvodit. Doc. Ig. Fratišek VÁVRA, CSc., Západočeská uiverzita v Plzi, Fakulta aplikovaých věd, Katedra matematiky, Uiverzití, Plzeň. vavra@kma.zcu.cz. Ig. Pavel NOVÝ, Ph.D., Západočeská uiverzita v Plzi, Fakulta aplikovaých věd, Katedra iformatiky a výpočetí techiky, Uiverzití, Plzeň. ovyp@kiv.zcu.cz.

2 VŠB-TU Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra fiací.-. září 008. Předpoklad spolehlivě zámé distribučí fukce. Základí přístupy V užívaých metodikách existují dva základí (elemetárí) přístupy []: VaR to Risk vstupem je hodota áhodé proměé měřící riziko, výstupem je hladia výzamosti; řešíme tedy vztah F = α vůči α, při daém x, [ α ]. Risk to VaR vstupem je hladia výzamosti, výstupem je jí odpovídající prahová hodota áhodé proměé měřící riziko; řešíme tedy vztah F = α vůči, při daém x α. x α, [ ]. Citlivost postupu VaR to Risk Aalýza citlivosti se obvykle zabývá řešeím otázky, jak se změí výstup, když se vstup změí málo. V této kokrétí úloze to zameá: α ( x + ) = F ( x + ) F + f = α + f, (3) kde: f x je hustota pravděpodobosti áhodé proměé měřící riziko. V této elemetárí úloze je změa hladiy výzamosti úměrá hodotě hustoty v daém bodě. K vysvětleí efektu tohoto výsledku musíme zavést pojem defiičí obor áhodé proměé: D = { x : ( x R ) ( 0 < F ( x ) < )}. (4) Protože s metodikou VaR obvykle pracujeme v krajích defiičího oboru, tj. tam, kde jsou odpovídající pravděpodobosti (hladiy výzamosti) dost malé ebo aopak dost velké, je z pohledu citlivosti a pro tuto úlohu důležité zjistit, jak se v těchto krajích chová hustota. K tomu bude užitečé zavést pojem podstatý defiičí obor. Podstatým defiičím oborem (ε -řezem) a hladiě ε ; ε > 0 budeme rozumět možiu: D { : ( ε ) ( ε ε = x x R F x > F x < )}. (5) () Je zřejmé, že D 0 = D. ε -řez je vlastě možia hodot, mezi kterými se s dostatečě velkou pravděpodobostí ε vyskytují hodoty áhodé proměé měřící riziko. ε -řezy by šlo zavést esymetricky. Jsou úlohy, kdy je takové zavedeí užitečé, ale v tomto textu o teto typ epůjde. Diskutovaý postup staoveí hladiy výzamosti α ebude citlivý a volbu x, pokud bude hodota hustoty f a možiě D D ( ε ) dostatečě malá pro malé ε. To je apř. splěo pro ormálí-gaussovo rozděleí a aopak eí splěo pro eposuuté expoeciálí rozděleí v okolí uly..3 Citlivost postupu Risk to VaR V této kokrétí úloze problém citlivosti zameá: d x( α + δ ) = F ( α + δ ) F ( α ) + F ( α ) δ = x( α ) + dα f kde: ( α ) α F je iverzí (kvatilová) fukce k fukci distribučí. ( ( α )) δ F, (6)

3 VŠB-TU Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra fiací.-. září 008 V této elemetárí úloze je změa hodoty VaR úměrá součiit eli f F ( α ). To už bude čiit v ěkterých i zcela reálých úlohách problémy. To reprezetují ásledující obrázky, a kterých je zobraze průběh tohoto součiitele pro ormálí a expoeciálí rozděleí pravděpodobosti. Obrázek č. : Hodota citlivostí fukce f ( α ) pro rozděleí N (0,). F Obrázek č. : Hodota citlivostí fukce f ( α ) pro rozděleí E (). F Z obou obrázků je zřejmé, že v této úloze a u uvedeých rozděleí je staoveí ( α ) citlivé a volbu α. x velice

4 VŠB-TU Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra fiací.-. září Odhadovaý pravděpodobostí popis Předchozí případ, kdy je zámý pravděpodobostí popis, je spíše výjimkou ež realitou. Ve skutečosti je většia předpokládaých úloh svázáa s ěkterým typickým modelem (ormálí rozděleí, expoeciálí rozděleí, ). Te však e vždy dává i při dobré statistické parametrické ifereci přijatelé výsledky. Proto jsou uté korekce. Zde prezetovaý případ vychází z prací [3] a [4]. Jeda z možostí testu přijatelosti zvoleého modelu je založea a triviálím tvrzeí: Má-li x, pak má áhodá proměá áhodá proměá ξ rozděleí s distribučí fukcí F ξ η = F ( ξ ) rovoměré rozděleí a itervalu ( 0,). ξ Toto tvrzeí pak může sloužit jako test shody zvoleého modelu s realitou. Testujeme shodu empirické distribučí fukce (EDF) áhodé proměé η s modelovou distribučí fukcí rovoměrého rozděleí a itervalu ( 0,). Metodika takového testováí je podložea [5], str Pokud test vede k přijmutí hypotézy shody, evziká žádý problém. Situace zamítutí bude adále sledováa. Reálý příklad je a obrázku č. 3.,00 0,5 0,0 0,5 0,0 Obrázek č. 3: Příklad empirické distribučí fukce trasformovaých hodot. Jedá se o logaritmus poměru současého a předchozího kurzu, modelová distribučí fukce je ormálí. Zdroj dat: kurzy CZK za EUR ,0 0,5 0,0 0,5,00 Rovoměré Trasformace modelovou distribučí fukcí Údaj CZK za EUR - lg(k(t)/k(t-) Trasformace modelovou distribučí fukcí N(průměr, StD ) Miimum - 0 Průměr 0 4 Výběrový mediá 0 0,58 Maximum 0,03,000 Odhad StD 3 0,73 Počet Tabulka č. : Výběrové parametry k distribučí fukci a obrázku č. 3.

5 VŠB-TU Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra fiací.-. září Distorzí korekce Výše demostrovaý edostatek zvoleého modelového popisu lze v ěkterých případech korigovat pomocí pojmu distorze. Ta vychází z jedoduchého tvrzeí: Je-li F x libovolá distribučí fukce ěkteré áhodé proměé F : S 0,, R a G x je distribučí fukce G : 0, 0,, pak složeá fukce G ( F ) je také distribučí fukcí F o G : S 0,. G bývá azýváa korekčí distribucí ebo distorzí. Pro detaily S odkazujeme a aše práce [3] a [4]. V literatuře lze alézt moho distorzí, použitelých pro růzé situace, apř.: a G x = x ; a > mociá distorze, 0 G Φ Φ x z ( + ); λ R ; Φ = e dz; Φ = π λ iverze mocié distorze, tzv. Wagova distorze (Wagova trasformace), G x = + λ x λx ; λ, Giiho distorze (Giiho trasformace),, 0 G = B( x; α, β ) == x z α ( z) β dz ; α, β > 0 B( α, β ) Beta distorze. V této práci bude pro korekce modelových popisů využita Beta distorze (Beta distribuce, Beta rozděleí), pro svou poměrě širokou flexibilitu. 3. Využití Beta distorze Mějme áhodý výběr ( x, x,..., x ) z áhodé proměé ξ. O ěm budeme předpokládat, F ξ x. že se jedotlivá pozorováí řídí distribučí fukcí Náhodý výběr trasformujeme modelovou distribučí fukcí F ξ, y F ( x ); i =. Výběr y y,..., y otestujeme a rovoměrost. Pokud lze i = ξ i,..., (, přijmout hypotézu rovoměrého rozděleí, pak je ) F ξ přijatelým modelem pro další práci (apř. VaR aalýzu). Pokud e, pokračujeme dalším krokem. Staovíme základí statistické parametry: y = yi; s = ( yi y). Z ich i= i= α =, s y ( y) β = y. s Výběr ( y, y,..., y ) trasformujeme z i = B( y i ; α, β ). Trasformovaý otestujeme a rovoměrost. y( y) mometovou metodou odhademe parametry Beta rozděleí y Na obrázku č. 4 je příklad, jak dopade korekce beta distorzí.

6 VŠB-TU Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra fiací.-. září 008 Obrázek č. 4: Příklad změy distribučí fukce trasformovaé áhodé proměé po korekci beta-distorzí. Jedá se o pokračováí příkladu zobrazeého a obrázku č. 3.,00 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,5 0,0 0,5,00 Rovoměré Trasformace modelovou distribučí fukcí BETA korekce Následuje obrázek kompletích distribučích fukcí ad původí osou. Obrázek č. 5: Modelová a korigovaá distribučí fukce. Navazuje a předchozí obrázek č. 4. Modelová distribučí fukce je ormálí s parametry uvedeými v tabulce č.. Beta korekce G(y) má parametry α =,9; β =,73., logaritmus poměru současého a předchozího kurzu CZK za EUR 0,0 0, ,0 0,0 F(x) G(F(x))

7 VŠB-TU Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra fiací.-. září Měřeí e-kvality modelů Pojetí distorze lze použít i pro měřeí kvality použitých modelů. Použijeme ásledující ozačeí: F e je empirická distribučí fukce daého áhodého výběru, F m je modelová distribučí fukce dle zvoleého pravděpodobostího modelu, G ( y) je distorze popisující odchýleí modelu a odhaduté skutečosti, x, x,..., x je zpracovávaý áhodý výběr, y, y,..., y je áhodý výběr trasformovaý modelovou distribučí fukcí yi = Fm ( xi ); i =,...,. Pro vztah mezi empirickou a modelovou distribučí fukcí můžeme předpokládat ásledující vztah: Fe = G( Fm ). (7) Vzhledem k uvedeým předpokladům existuje k modelové distribučí fukci její iverze F m ( y). Proto můžeme použít substituci y = F m x x = Fm ( y). Jejím dosazeím do vztahu (7) dostáváme vztah pro vyjádřeí distorze: G( y) = Fe ( Fm ( y)); y ( 0,). (8) Vzdáleostí distorze od idetity a (,) 0 můžeme pak poměřovat kvalitu či ekvalitu použitého modelu. Takové měřeí či test by měl být součástí každé VaR studie. Vztah (8) sám o sobě eí dokoalý, jsou zapotřebí jeho statistické vlastosti. Jejich rozbor, přes svou velkou zajímavost, však podstatě překračuje rozsah a určeí této práce. Summary VaR sesitivity aalysis ad correctio Some sesitivity aalyses VaR methodology are preseted. Ucertaity ad probability model ucertaity are aalyzed. Correctio procedures ad some way to measurig imperfectio are proposed too. Literatura [] VOJTÍŠKOVÁ, M.: Models ad methods for measurig the fiacial risk. Disertačí práce, ZČU FAV Plzeň, Katedra iformatiky a výpočetí techiky, Plzeň, 007. [] MORGAN, J. P. ad REUTERS: RiskMetrics TM Techical Documet. Fourth Editio, 996. New York. December 7, 996. [3] VÁVRA, F., NOVÝ, P., MAŠKOVÁ, H., NETRVALOVÁ, A.: Distortio of probability models. 4th Iteratioal Coferece APLIMAT 005, Slovak Uiversity of Techology, Bratislava, 005. [4] VÁVRA, F., NOVÝ, P., NETRVALOVÁ, A., NEUMANOVÁ, M., VOKÁČOVÁ, K.: Trasformatio ad probability models. 5th Iteratioal Coferece APLIMAT 006, Slovak Uiversity of Techology, Bratislava, 006. [5] RÉNYI, A.: Teorie pravděpodobosti. ACADEMIA, Praha, 97.