Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Transkript

1 Popisá statistika Zdeěk Jaák 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46 m (mag/vzdušou hmotu): 0,8 ± 0,07 0,39 ± 0,03 0,54 ± 0,05 0,57 ± 0,03 0,4 ± 0,04 0,39 ± 0,07 0,69 ± 0,05 0,8 ± 0,05 0,33 ± 0,05 0,4 ± 0,04 0, ± 0,07 0,3 ± 0,04 0,39 ± 0,04 0,43 ± 0,04 0,97 ± 0,03 0,6 ± 0,05 0,47 ± 0,04 0,4 ± 0,05 0,5 ± 0,04 0,45 ± 0,03 Istrumetářem popisé statistiky charakterizujte teto soubor, speciálě pak uved te: Počet měřeí a jejich charakter Staovte váhy jedotlivých měřeí a diskutujte, zda je v tomto případě případé tyto váhy použít. Bez ohledu a výsledek úvahy počítejte všechy další úlohy ve dvou variatách s vahami a bez ich Odhad aritmetického průměru a jeho ejistotu za předpokladu ormálího rozděleí, harmoický, geometrický, kvadratický průměr a mediá, ořezaý průměr pro 0 % a 0 % (je pro případ bez vah) Miimálí a maximálí hodotu extikce a celkové rozpětí Rozptyl s, směrodatou odchylku s, odhad rozptylu σ odh, středí velikost odchylky s cetrem v aritmetickém průměru a v mediáu Graf kumulativí distribučí fukce a pomocí í staovte hodoty kvartilů a mezikvartilího rozpětí Porovejte odhady µ a σ pro ormálí rozděleí získaé růzými metodami Vypočtete šikmost a špičatost rozdělovací fukce a porovejte s ormálím rozděleím. Jaký je to typ souboru? Sestrojte graf ormálího rozděleí a diskutujte (řešte bez vah) Pomocí Sturgesova pravidla staovte optimálí počet sloupců v histogramu a sestrojte jej. Doporučuji sloupce v histogramu cetrovat a ásobku 0, Odhaděte modus rozděleí

2 Zdeěk Jaák Diskutujte tvar rozdělovací fukce s vědomím, že kostatí složka extikčího koeficietu ve 46 m způsobeá Rayleighovým rozptylem a áhodých shlucích molekul vzduchu čií 0,6 mag/vzdušou hmotu Počet měřeí a jejich charakter Počet měřeí je charakterem jde o spojité hodoty. = 0 Staovte váhy jedotlivých měřeí a diskutujte, zda je v tomto případě případé tyto váhy použít. Bez ohledu a výsledek úvahy počítejte všechy další úlohy ve dvou variatách s vahami a bez ich w i (δx i ) () S w = w i () x w x w 0,8 04,08 0,39 65,00 0,39 04,08 0,4 400,00 0, 04,08 0,57, 0,6 400,00 0,33 400,00 0,39, 0,43 65,00 0,69 400,00 0,5 65,00 0,3 65,00 0,4 65,00 0,47 65,00 0,4 65,00 0,54 400,00 0,97, 0,8 400,00 0,45, Protože stadardí odchylka měřeí σ = 0, je o řád větší ež chyba jedotlivých měřeí, eí třeba počítat s vahami jedotlivých měřeí. Dále budou veličiy počítaé se zohleděím vah jedotlivých měřeí ozačey idexem»w«. Odhad aritmetického průměru a jeho ejistotu za předpokladu ormálího rozděleí, harmoický, geometrický, kvadratický průměr a mediá, ořezaý průměr pro 0 % a 0 % (je pro případ bez vah) x = Aritmetický průměr x i, x w = S w x = 0,48 ± 0,047, x w = 0,50 ± 0,046 x i w i (3)

3 Zdeěk Jaák Harmoický průměr x H = x i, x Hw = S w x i w i (4) x H = 0,38, x Hw = 0,44 Geometrický průměr x G = x x... x, x Gw = Sw x w x w... x w (5) x G = 0,435, x Gw = 0 x K = Kvadratický průměr xi, x K w = S w x K = 0,5, x Kw = 0,540 xi w i (6) Mediá x = 0,45 Ořezaý průměr x T (0) = 0,474 x T (0) = 0,468 Miimálí a maximálí hodotu extikce a celkové rozpětí mi x = 0, max x = 0,97 max x mi x = 0,86 Rozptyl s, směrodatou odchylku s, odhad rozptylu σ odh, středí velikost odchylky s cetrem v aritmetickém průměru a v mediáu s = (x i x) = x x, s w = S w s = 0,047, s w = 0,0405 s = 0,04, s w = 0,0 (x i x) w i = x x (7) σ odh = (x i x) = (x x ) (x, σ odhw = i x) w i w s ( ) = (x x ) (8) 3

4 Zdeěk Jaák mad(a) = σ odh = 0,09, σ odhw = 0,06 x i a, wmad(a) = S w mad( x) = 0,56, wmad( x) = 0,5 mad( x) = 0,47, wmad( x) = 0,39 x i a w i (9) Graf kumulativí distribučí fukce a pomocí í staovte hodoty kvartilů a mezikvartilího rozpětí p Graf : Kumulativí distribučí fukce Z grafu kumulativí distribučí fukce a za pomocí lieárí iterpolace mezi sousedími body vyšly hodoty prvího a třetího kvartilu mezikvartilí rozpětí jako jejich rozdíl pak x q = 0,390 q 3 = 0,555 q 3 q = 0,65 4

5 Zdeěk Jaák Porovejte odhady µ a σ pro ormálí rozděleí získaé růzými metodami Pro odhad σ lze využít odhad rozptylu σ odh = 0,09, ebo středí velikost odchylky s cetrem v aritmetickém průměru mad( x) = 0,56 ebo mediáu mad( x) = 0,47. Pro odhad µ poslouží aritmetický průměr x = 0,48 ± 0,047 ebo mediá x = 0,45. Vypočtete šikmost a špičatost rozdělovací fukce a porovejte s ormálím rozděleím. Jaký je to typ souboru? Sestrojte graf ormálího rozděleí a diskutujte (řešte bez vah) m k = (x i a) k (0) a k = m k s k () Náš soubor měřeí charakterizuje asymetrická šikmost a 3 = 0,697 a mírá špičatost a 4 = 3, f(x) x Graf : Normálí rozděleí 5

6 Zdeěk Jaák Pomocí Sturgesova pravidla staovte optimálí počet sloupců v histogramu a sestrojte jej. Doporučuji sloupce v histogramu cetrovat a ásobku 0, h = + 3,3 log () h = x Graf 3: Histogram Odhaděte modus rozděleí Z histogramu vyplývá, že ejpočetější hodota se achází v itervalu 0,3 0,5. Jak je vidět i z grafu kumulativí distribučí fukce, jedá se o hodotu 0,39. Diskutujte tvar rozdělovací fukce s vědomím, že kostatí složka extikčího koeficietu ve 46 m způsobeá Rayleighovým rozptylem a áhodých shlucích molekul vzduchu čií 0,6 mag/vzdušou hmotu Z polohy maxima rozdělovací fukce vyplývá, že aměřeá hodota extikčího koeficietu je téměř dvojásobá proti očekávaé hodotě. 6