Entrance test from mathematics for PhD (with answers) 0 0 3 0 Problem 3x dx x + 5x +. 3 ln 3 ln 4. (4x + 9) dx x 5x 3. 3 ln 4 ln 3. (5 x) dx 3x + 5x. 7 ln. 3 (x 4) dx 6x + x. ln 4 ln 3 ln 5. 3 (x 3) dx 6x x. ln ln 3 ln 5. 3 6 (x + 6) dx 4x x 3. 3 ln 3 ln. (x 7) dx 4x + 5x 6. ln ln 3 ln 5. dx 4x 8x + 3. ln 3. dx 6x + 7x +. ln 3 ln. 7 dx 6 + x x. ln 5. (3 6x) dx 3 7x 6x. ln 6. x dx (x + 3).. 3 4 (x + ) dx (x ) 3. (4x 3 + 3) dx ( x). 4 ln. 5 3 3 4 ln 3.
(4x + 7) dx. 0 (x + ) 3 0 9 + ln 3.
Problem x + 4x + 5x = 0, x(0) =, x (0) = 3. x(t) = (cos t + 5 sin t) e t. x + x + 5x = 0, x(0) =, x (0) = 0. x(t) = ( cos t + sin t) e t. x + 6x + 0x = 0, x(0) =, x (0) =. x(t) = (cos t + sin t) e 3t. x + x + 0x = 0, x(0) =, x (0) = 4. x(t) = (sin 3t cos 3t) e t. x + 4x + 8x = 0, x(0) =, x (0) = 4. x(t) = (cos t + 3 sin t) e t. x + 8x + 7x = 0, x(0) =, x (0) =. x(t) = (cos t + sin t) e 4t. x + 6x + 3x = 0, x(0) =, x (0) = 4. x(t) = ( cos t + sin t) e 3t. 3
x + 4x + 4x = 0, x(0) =, x (0) = 0. x(t) = ( + t) e t. x 6x + 9x = 0, x(0) =, x (0) = 4. x(t) = ( t) e 3t. x + 6x + 9x = 0, x(0) =, x (0) =. x(t) = ( + t) e 3t. x = x + x, x = 3x 4x, x (0) = 3, x (0) = 5. x (t) = 4e t e 5t, x (t) = e t + 3e 5t. x = 3x x, x = x x, x (0) = 0, x (0) =. x (t) = te t, x (t) = ( t) e t. x = 3x x, x = 4x x, x (0) =, x (0) =. x (t) = ( cos t + sin t) e t, x (t) = (cos t + 3 sin t) e t. x = x 5x, x = x 5x, x (0) =, x (0) =. x (t) = (cos t 7 sin t) e t, x (t) = (cos t sin t)e t. x = 3x 5x, x = x + x, x (0) = 0, x (0) =. x (t) = 5 sin t e t, x (t) = ( cos t sin t) e t. 4
Problem 3 Find the right triangle, for which the sum of the lengths of one adjacent and the hypotenuse is equal to 3 m, and which has the largest area. (Najděte pravoúhlý trojúhelník, které má součet délek přepony a jedné odvěsny roven 3 m a který má největší obsah.) The lengths of the legs are m and 3 m and the length of the hypotenuse is equal to m. For which radius r and height v will the surface area of a closed cylinder with a volume V = 6π m 3 be the smallest? (Pro jaký poloměr r a výšku v bude povrch uzavřené válcové nádoby s objemem V = 6π m 3 nejmenší?) r = m, v = 4 m. Inscribe a rectangle with the largest possible area into the ellipse 9x + 5y = 450. The rectangle s sides are parallel with the ellipse s axis. (Do elipsy 9x + 5y = 450 vepište obdélník, který má strany rovnoběžné s jejími osami a který má největší obsah.) The sides of the rectangle have lengths 6 m and 0 m. Inscribe a cylinder with the greatest possible volume into a sphere with radium R. (Do koule s poloměrem R vepište válec, který má největší objem.) radius of the cylinder is r = R and its height v = 3 3 R. A triangle has base b and height to this base is equal to h. Inscribe a rectangle into it, whose one side lies on the base and which has the the greatest possible area. (Trojúhelník má základnu b a výška na tuto základnu je h. Vepište do něj obdélník, jehož jedna strana leží na základně a který má největší obsah.) sides of the rectangle are b and h. What is the maximum volume of a cone with a slant height equal to l. (Jaký je maximální objem kužele, který má délku strany pláště l?) radius of the base is r = l, height is v = 3 3 l and volume V = 9 3 πl3. Find the longest possible secant of an ellipse x + 3y = that passes through the point 0;. (Najděte nejdelší sečnu elipsy x + 3y =, která prochází bodem 0;.) 5
The secant passes through point 3; or point 3;. Find the point on the ellipse x + y = 4 for which the ellipse s tangent at that point, together with the axes, charts a triangle with the smallest possible area. (Na elipse x + y = 4 najděte bod, pro který tečna elipsy sestrojená v tomto bodě spolu s osami souřadnic vymezuje trojúhelník s nejmenším obsahem.) The point in the first quadrant is ;. A factory is 0 km away from a railroad the runs from south to north and goes through a town that is 40 km north of the factory. At which angle φ (relative to the railroad) should a railroad siding be constructed to achieve minimal costs of transportation of goods between the factory and the town? The transportation of ton over km is CZK by the railroad and CZK by the railroad siding. (Továrna je vzdálena 0 km vzdušnou čarou od železnice, která vede z jihu na sever a prochází městem, které se nachází 40 km severně od továrny. Pod jakým úhlem φ k železnici je třeba sestrojit vlečku tak, aby náklady na přepravu z továrny do města byly nejmenší, jestliže přeprava tuny zboží na vzdálenost km po železnici stojí Kč a po vlečce Kč.) φ = 3 π. A water channel of width m is perpendicular to a river that is 8 m wide. What is the largest possible length of a log which could float from the river into the canal? (Kolmo k řece šířky 8 m je přiveden kanál o šířce m. Jakou maximální délku může mít kláda, kterou lze splavit z řeky do kanálu?) 5 5 m. Hourly transportation costs consist of two parts. The first, which is fixed, equals a CZK and the second grows proportionally with the third power of velocity v, i.e. it is equal to kv 3, where k is a constant. For what velocity will transportation be the most efficient? (Hodinové náklady na přepravu se skládají ze dvou částí. První, konstantní, je rovna a Kč a druhá roste úměrně třetí mocnině rychlosti v, tj. je rovna kv 3, kde k je konstantní. Pro jakou rychlost bude přeprava nejekonomičtější?) v = 3 a. k At which dimensions will an open rectangular container with the volume 3 liters have the smallest possible surface area? (Při jakých rozměrech bude mít otevřená nádoba tvaru kvádru objemu 3 litrů minimální povrch?) The bottom of the container is a square with a side length of 4 dm and height is dm. At which dimensions will an open bathtub with a semicircular cross-section have the largest possible volume? The bathtub has surface area of 3π m. 6
(Při jakých rozměrech bude mít otevřená vana s půlkruhovým průřezem, která má daný povrch 3π m, největší objem?) The radius of the wall is r = m and the length of bathtub is d = m. Find a rectangle with a perimeter of cm, which creates a cylinder of largest possible volume by rotating around one of its side. (Najděte obdélník s obvodem cm, který vytvoří rotací kolem jedné své strany válec s největším objemem.) The rectangle rotates around the side with a length cm, the second side is 4 cm. Find the plane P, which passes through the point ; 5; 3 so that the volume of the tetrahedron, whose vertices are the origin and intersections of the plane P and the axes, is the smallest possible. (Bodem ; 5; 3 ved te rovinu P tak, aby byl objem čtyřstěnu, jehož vrcholy jsou počátek a průsečíky roviny P se souřadnicovými osami, co nejmenší.) Equation of the plane is x + 5 y + 3 z = 3. 7