WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017"

Transkript

1 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7

2 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno l Hôpitalovo pravidlo povoleno Spojitost Derivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptoty. Derivace Derivace vyšších řádů Průběh funkce, tečny, normály, asymptoty, monotonie, inverze, etrémy 4. Aplikace derivace Tečny a normály Asymptoty Monotonie, inverze, lokální etrémy Etremální úlohy, konvenost, konkávnost, inflee 4. Konvenost, konkávnost a inflee Etremální úlohy Neurčité integrály a primitivní funkce 4 6 Určité Integrály 7 Aplikace integrálů 4 7. Výpočet plochy Výpočet těžiště Výpočet délky grafu funkce Výpočet objemu rotačního tělesa Výpočet povrchu rotačního tělesa Předmluva Tato sbírka je složena z příkladů (viz [], [], []), ze kterých se sestavují zkouškové písemné práce k předmětu Matematika I (. ročník bakalářského studia na FJFI ČVUT v Praze). Příklady jsou uspořádány do 7 kapitol, přičemž do zkouškové písemky je vybrán právě jeden příklad z každé kapitoly. Každý příklad v této sbírce by měl jít spočítat pomocí znalostí získaných z přednášky a ze cvičení. Proto nebudete-li si vědět rady i jen s jediným příkladem, neváhejte požádat svého cvičícího o konzultaci! Tato sbírka není zdaleka hotová, další příklady mohou přibýt. Bezchybnému počítání zdar!. července Ing. Radek Fučík, Ph.D.

3 Limity a spojitost Rozcvička V této krátké části jsou příklady, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. + lim [] + + sin lim π π lim cot ln lim lim lim lim lim tan lim cot lim sin 5 lim lim lim lim cos [-] lim + 5 [ 5 ] 4 lim 4 [ ] 6 8 lim + lim a sin sin a a [-] [ ] [ ] [] [ 4 ] [ 4 ] [] [] [5] [] [5] [ 4 ] [ 5 ] [cos a]

4 Zkouškové příklady. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno. lim + 9. lim cos [ ]. lim lim 8 [ 6 ] 5. lim sin + sin 8 sin sin 5 + cos + sin 7 [ 7 ] [ 8 ] [] 6. lim sin + cos lim lim ( + 6) sin [] [ 4 ] [ 5 6 ] 9. + tg + sin lim. + sin sin lim. lim lim sin cos lim lim + 5. lim 6. lim tg ( π ) [ 4 ] [] [ ] [nee] [-5] [ 4 ] [ 6 ] [] 7. lim + sin cos 4 8. lim [ 4 ] [ 8 ] 4

5 9. lim cos( ) sinh. lim + cosh + sinh sinh. lim cosh + sinh. lim cos [ 4 ]. lim 4. lim 4 cos + sin 8 cos sin 5 + cos + sin 7 + [ 8 ] [ ] [ ] [ ] [ 4 ] 5. lim lim + sin cos 7. tg sin lim sin 8. ( lim 4 )( ) lim tg. lim ( )tg ( π ). lim π sin ( π ) cos π. lim π sin cos. lim π tg sin cos 4. lim + 5. lim cos + tg sin 6. lim [-] [ 4 ] [ ] [ 6 ] [-] [ π ] [ ] [] [] [] [] [] lim [ 4 ] lim [ + 4 ] 5

6 9. lim ( + ) 5 ( + 5) + 5 [] 4. lim sin sin + 4. lim + [] [4] 4. lim π 4 cos sin tg [ ] lim [-5] 44. lim + sin cos 45. lim cos 46. lim lim ( sin + sin ) 48. lim lim lim + 5. lim cos tg lim lim 54. lim 55. lim sin + sin lim + cos 57. lim ( + cos ) [ 4 ] [ ] [ 5 ] [ ] [4] [] [6] [] [-5] [ 8 ] [ ] [ 4 ] [8] [] 6

7 9 58. lim 59. lim π 4 6. lim π sin cos cos tg + tg sin 6. lim a sin sin a a ) 6. ( lim sin tg 6. ( sin ) lim π cos tg 64. lim 65. lim 66. lim lim sin tg 68. lim sin 69. lim 7. lim 8 7. lim [-] [ ] [ ] [ cos a a ] [] [ ] [ ] [ ] [4] [] [ ] [] [-] [ ] 7. lim + 7. ( + )( + )( + ) lim 74. cos( ) lim cos 75. lim [ ] [] [6] [ ] 7

8 . l Hôpitalovo pravidlo povoleno ln cos 76. lim ln cos(π) 77. lim cosh cos 78. lim sinh() sin e e 79. lim + 8. lim ( )tg ln(4e ) 8. lim + ( π ) [ π ] [ ] [] [+ ] [ π ] [-] 8. lim + 8. lim [] [-] 84. lim lim + + ( 86. lim ) cos cos 87. lim 88. lim cos cos 89. lim tg () ln (tg ) π 4 ln cos 9. lim ln cos () e e 9. lim 9. lim + 9. lim lim ( 95. lim ) [ ] [+ ] [nee] [ ] [ ] [ ] [ 4 ] [-] [ ] [] [nee] [-] 8

9 ( )( )( )( 4)( 5) 96. lim + ( ) 5 [ 5!] ( ) lim + + ( ) lim lim (ln( + ) ln ) +. lim + arctg. lim arctg. lim arctg + +. lim arcsin + + [] [ 9 4 ] [] [ π 4 ] [ π 4 ] [ π ] [ π ]. Spojitost 4. Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce f() = arctg [v skoková nespojitost] 5. Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce f() = arctg [v odstranitelná nespojitost] 6. Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce f() = sin 7. Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce f() = arccotg [v odstranitelná nespojitost] [v podstatná nespojitost] 9

10 Derivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptoty Rozcvička V této úvodní části jsou příklady na derivace, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. f() = ( + + 5); f () =? [ +9+5 ] f() = ; f () =? [ ( ) ] f() = cos sin ; f () =? [ +cos ] f() = ; f () =? [ ( ) ] f() = sin ( ); f () =? [ cos ( )] f() = ( + ); f () =? [ (4 +) ] f() = + ; f () =? [ ] f() = + cos cos ; f () =? [ sin ( cos ) ] f() = sin ; f () =? f() = ; f () =? [ + cos [ ] sin ] (+ ) f() = sin ; f () =? [ cos ] f() = ; f () =? [ ] f() = ( ) ; f () =? [ ] f() = (ln ); f () =? [ ln ] f() = + ( ) ; f () =? [ (+) ( ) ] f() = + ; f () =? [ + + ] f() = cos f() = sin 4 cos 4 ; f () =? cos sin ; f () =? [sin ] [ sin ()] f() = tg 4 tg 4 ln cos ; f () =? [4tg 5 ] f() = sin cos + tg ; f () =? [ cos sin + sin + cos ]

11 f() = ; f () =? [ 6 ( 4) + 5 ] f() = (a ) ; f () =? [( ) + (a ) ] f() = ; f () =? [ ( ) ] f() = ln ( ); f () =? f() = ln ; f () =? f() = ln tg ; f () =? f() = ln sin ; f () =? [ ] [ ln ] [ sin ] [cot ] f() = sin + cos ; f () =? [ +cos ] f() = arctg + ; f () =? [ ] f() = ln sin ( + ); f () =? [( ) cot ( + )] f() = ln (e + e ); f () =? [ e e e +e ] f() = a ; f () =? f() = cos + cos ; f () =? [ f() = ln ; f () =? f() = + a ; f () =? [ [ ln a a ] sin (+cos ) ] [ln + ] a ] ( +a) / Nalezněte n. derivaci funkce e [e ] Zkouškové příklady. Derivace. Necht je dána funkce f() = +. (a) Nalezněte definiční obor funkce f, rozhodněte o spojitosti a nalezněte derivaci funkce f v každém bodě D f kromě bodu =. (b) Rozhodněte o eistenci derivace funkce f v bodě =.. Necht je dána funkce f() = ln(ln ). (a) Nalezněte definiční obor D f, první derivaci f a její definiční obor D f. [spojitá na D f = R, f ( ) nee] (b) Je tato funkce prostá na svém definičním oboru? Pokud ano, nalezněte inverzní funkci f a její první derivaci (f ). [D f = (, + ). f () = ln, f () = ep(ep()), (f ) () = ep(ep())(ep())]

12 cos( ) pro >. Necht je dána funkce f() = pro = cos( ) pro <. (a) Je funkce f spojitá v bodě =? Své rozhodnutí zdůvodněte. (b) Z definice jednostranné derivace nalezněte f () a f +() a rozhodněte o eistenci derivace f (). [Spojitá na R, f + () = /, f () = /, f () nee] 4. Funkci f() = cos dodefinujte v bodě = tak, aby byla spojitá a pro takto sin dodefinovanou funkci nalezněte z definice derivaci f (). 5. Nalezněte derivaci funkce f() = arccos [, ] +. [± + ] 6. Nalezněte derivaci funkce f() = arcsin ( ). [± ] 7. Nalezněte derivaci funkce f() = 8. Nalezněte derivaci funkce f() = + a +. [ a ( + ) + (. [ (+) ln + a + (+ a ] + ) ) ( ) + + ] 9. Nalezněte derivaci funkce f() = /. [ / ( ln )]. Nalezněte derivaci funkce f() = sin. [ sin (cos ln + sin )]. Nalezněte derivaci funkce f() = arctg ( ). [ ]. Nalezněte derivaci funkce f() = ln tg cos sin. [ sin ]. Nalezněte derivaci funkce f() = arcsin ( + ). [ + ( ) / ] 4. Nalezněte derivaci funkce f() = arcsin tg. [ Nalezněte derivaci funkce f() = ( + + 5) [ 6. Nalezněte D f a derivaci funkce f() = + +. [D f = [, + ), 7. Nalezněte D f a derivaci funkce f() = 8. Nalezněte derivaci funkce f() = + sin. [D f = (, π ), ( pro. [/ + (+ ) ( ) 9. Nalezněte D f a derivaci funkce f() = ln ln ln. [D f = (e, + ), (. Nalezněte derivaci funkce f() = ln + ln cos ] cos ( ++5) ] ] cos 4 sin ] ) ( + ) /] ln ln ln ] ). [ + +ln ]

13 sin. Nalezněte derivaci funkce f() = ln + sin. [ cos ]. Nalezněte derivaci funkce f() = (sin ln cos ln ). [ sin ln ]. Nalezněte derivaci funkce f() = arctg ( ) ] ). [ + (+ 4. Nalezněte derivaci funkce f() = + arccos. [ arccos ] 5. Nalezněte derivaci funkce f() = arcsin pro. [ sign + + ] 6. Nalezněte D f a derivaci funkce f() = arctg + pro <. [D f = { }, f () = ] 7. Nalezněte derivaci funkce f() = arccotg pro (, ). [ ] 8. Nalezněte derivaci funkce f() = ln (e + ) + e. [ e ] +e 9. Nalezněte derivaci funkce f() = cosh sinh ln cotgh. [ sinh ]. Nalezněte derivaci funkce f() = ln ( cos 4 ( + tg + tg 4 )). []. Derivace vyšších řádů. Nalezněte derivaci řádu n N funkce f() = a, kde a >. [f (n) () = ln n (a) a ]. Nalezněte derivaci řádu n N funkce f() = cos.. Nalezněte derivaci řádu n N funkce f() = sin. [f (k) () = ( ) k cos, f (k+) () = ( ) k+ sin()] [f (k) () = ( ) k sin, f (k+) () = ( ) k cos()] 4. Nalezněte derivaci řádu n N funkce f() = n. [f (n) = n!] 5. Nalezněte derivaci. řádu funkce f() = tg. [f = sin cos ] 6. Nalezněte derivaci. řádu funkce f() = ln. [f = ] 7. Nalezněte derivaci. řádu funkce f() = ( + )arctg. [f = arctg + + ] 8. Nalezněte derivaci 4. řádu funkce f() =. [f (4) = ]

14 Průběh funkce, tečny, normály, asymptoty, monotonie, inverze, etrémy Rozcvička V této části jsou příklady na procvičení vyšetřování průběhu funkce (D f, limity, horizontální či vertikální tečny, asymptoty, lokální etrémy, náčrtek grafu funkce), které nejsou zahrnuty ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. f() = + f() = f() = f() = 4 f() = ( ) ( + 4) f() = ln f() = + f() = + + f() = + cos f() = 6 f() = + f() = + arctan f() = ( + ) f() = + f() = f() = + f() = ( ) [ - ] f() = ln f() = cos π f() = + sin 4

15 Zkouškové příklady. Aplikace derivace. Ukažte, že funkce f() = arctg + arcsin nezávisí na. [f = ]. Ukažte, že funkce f() = arctg + arctg nezávisí na. [f = ]. Ukažte, že funkce f() = arcsin + arccos + arcsin ( ) nezávisí na při <. 4. Ukažte, že funkce f() = arctg arcsin 5. Ukažte, že funkce f() = arccotg arcsin [f = ] + nezávisí na. [f = ] + nezávisí na při. [f = ] 6. Ukažte, že funkce f() = arccos arccos( 4 ) nezávisí na při. [f = ]. Tečny a normály 7. Určete čísla a a b tak, aby přímka y = + b byla tečnou funkce f() = ln( + a) v bodě =. [a=, b=-] ( ) 8. Necht je dána funkce f() = sin() cos na intervalu [ π, π]. Nalezněte rovnici tečny v bodě = π. 9. Necht je dána funkce f() = (e + 5). Nalezněte rovnici tečny v bodě =.. Necht je dána funkce f() = ln [y = 4 + ( + π 4 )] [( ) ]. Nalezněte rovnici tečny v bodě =. +. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = v bodě. [y = 6] [y = ] [tečna: y = 7 +, normála: y = ]. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = v bodě. [tečna: y = 5, normála: y = + ]. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = + 4 v bodě. [tečna: y = 5, normála: = ] 4. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = + 4 v bodě. [tečna: y = 7, normála: = ] 5. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = v bodě =. [tečna: =, normála: y = ] 5

16 6. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = ln v bodě. [tečna: y =, normála: y = ] 7. Ve kterých bodech je tečna ke grafu funkce f() = + rovnoběžná s osou a s přímkou y =? 8. Pod jakým úhlem protíná graf funkce y = ln osu? 9. Pod jakým úhlem protíná graf funkce f() = e přímku =? [s osou :, s přímkou y = : ] [úhel tg α =, tj. π 4 ]. Nalezněte rovnici normály ke křivce y = + v jejím průsečíku s přímkou y =.. Určete rovnice tečen ke křivce y = + v průsečících křivky s osou. [arctg e ] [y = ] [6 y + = ; + y = ; y = ]. Ve kterém bodě má graf funkce y = sin tečnu svírající s osou úhel π 4?. Ve kterém bodě má graf funkce y = e tečnu rovnoběžnou s osou? [(π/4 + kπ, /); k Z] [(, e )]. Asymptoty 4. Nalezněte všechny asymptoty funkce f() = (včetně vertikálních asymptot). [y= v ±, =] 5. Necht je dána funkce f() = (e +5). Určete definiční obor D f a rozhodněte o eistenci asymptot v + a v a v kladném případě napište jejich rovnice. [D f = R. Pouze v + : y = 5] 6. Necht je dána funkce f() = 6. Určete definiční obor D f a nalezněte rovnice asymptot v + a v. [D f = (, ) (, + ), y =, y = + ] [( ) ] 7. Necht je dána funkce f() = ln. Určete definiční obor D f a rozhodněte o + eistenci asymptot a v kladném případě napište jejich rovnice. 8. Ve kterém bodě má parabola y = + tečnu se směrovým úhlem π 4? rovnoběžnou s přímkou 5 y + = kolmou na přímku y + = [D f = (, ) (, + ). V ± : y = ln 4/] 6

17 9. Určete rovnice tečen ke křivce y = + 6 v průsečících s osou.. Je dána parabola y = 4 + [( /, ), (/, ), ( /, )] [5 y + 45 =, 6 + y =, y = ] určete dotykový bod a rovnici tečny paraboly, která směrový úhel π 4 pomocí derivace určete vrchol paraboly [(5/, /4), y /4 =, (, )]. Je dána parabola y = / + + určete rovnici tečny paraboly v bodě ve kterém bodě má parabola tečnu se směrovým úhlem π? ve kterém bodě má parabola tečnu rovnoběžnou s přímkou 5 y =? [ y =, (, ), (, 9)].4 Monotonie, inverze, lokální etrémy. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = arcsin ( ). Nalezněte D f a intervaly monotonie funkce f() = ln [D f = [, ], - ] [D f = (, ) (, + ), e ] 4. Nalezněte D f a intervaly monotonie funkce f() = [D f = R \ {}, ostře roste na D f ] 5. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = + 4 [D f = [, 4], 4] 6. Nalezněte D f a intervaly monotonie funkce f() = 8 4 [D f = (, ) (, ), - ] 7. Nalezněte D f a intervaly monotonie funkce f() = ln [Df = (, + ), e + ] 8. Nalezněte intervaly monotonie funkce f() = e sin [roste na ( π + kπ, π + kπ), klesá na ( π + kπ, π + kπ)] 9. Nalezněte intervaly monotonie funkce f() = + [ + ] 4. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = [ - + ]

18 4. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ( ) 5 4. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln 4. Nalezněte D f, intervaly monotonie funkce f() = e 44. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = [ ] e [D f = (, ), - ] [D f = R \ {}, - + ] Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = cosh + [D f = R, - + ] 46. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = + [D f = R \ {, }, [ + ] ] 47. Rozhodněte, kde je funkce f() = intervalech nalezněte její inverzní funkci. prostá (tj. intervaly monotonie) a na těchto 48. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = [ f = y± y +4 ] [ - + ] 49. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = [ 5 + ] 5. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = [ + ] 5. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = [ - + ] 5. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ( 4) 4 ( + ) 5. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = e 54. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln 55. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln 56. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln [ ] [ + ] [D f = (, + ), e + ] [D f = (, + ), e + ] [D f = (, + ), e + ] 8

19 57. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln arctg [D f = (, + ), + ] 58. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln [ma -, min 7] [D f = (, + ), e + ] 9

20 4 Etremální úlohy, konvenost, konkávnost, inflee Rozcvička V této části jsou příklady na procvičení hledání lokálních etrémů, které pro svou nižší náročnost nejsou zahrnuty ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. Úsečku rozdělte na dvě části tak, aby součet obsahů čtverců sestrojených nad oběma částmi byl minimální. Ze všech obdélníků s daným obsahem určete ten, který má nejmenší obvod. [v polovině] [a = b = S, kde S je obsah] Jak volit rozměry pozemku pravoúhlého tvaru, máme-li jej oplotit pletivem délky 6m a chceme aby obsah byl co největší? [5 5 = 5] Zkouškové příklady 4. Konvenost, konkávnost a inflee. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = 4 [konvení na (, ) a (, 4), konkávní na (, ) a (4, + ), infle =, = 4]. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = +. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = [TODO] [TODO] 4. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = + [TODO] 5. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = + [konvení na R] 6. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = [TODO] 7. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = ln( + ) [TODO] 8. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = ln + [TODO]

21 4. Etremální úlohy 9. Z desky tvaru trojúhelníku, jehož základna je a a výška v a úhly při základně jsou ostré, má být vyříznuta obdélníková deska; přičemž jedna strana obdélníku je částí základny. Pomocí techniky hledání etrémů určete rozměry obdélníku tak, aby jeho obsah byl maimální. [ = a, y = v ]. Určete rozměry parního kotle tvaru válce tak, aby při daném objemu V bylo ochlazování páry nejmenší - tj. aby povrch válce (včetně podstav) byl minimální. [ r = V π, v =. Ze všech pravoúhlých trojúhelníků s daným součtem délek přepony a odvěsny k určete ten jehož obsah je největší. V πr ] [y = k/, = /k, α = π/6]. Chceme oplotit výběh pro slépky, který má mít tvar pravoúhelníku. Přitom máme k dispozici m pletiva a víme, že část plotu budou tvořit celé stěny drůbežárny, jejíž obdélníkový půdorys má rozměry a = 6m a b = m. Jaké rozměry musí mít výběh, aby měl co největší obsah? [čtverec 56, 5m]. Pomocí techniky hledáni etrémů určete rozměry obsahově maimálního obdélníka vepsaného elipse /a + y /b = [a, b ] 4. Pomocí techniky hledání etrémů určete rozměry objemově maimálního válce vepsaného do koule o poloměru R. [v = R/, r = R /] 5. Jaké rozměry musí mít bazén se čtvercovým dnem a objemem V = m, má-li se na jeho vyzdění spotřebovat co nejméně matriálu? [4, 4, ] 6. Pomocí techniky hledání etrémů vepište do půlkruhu o poloměru r obdélník maimální plochy. 7. Dolní část okna má tvar obdélníka, horní tvar půlkruhu. Délka rámu celého okna je P. Při jakých rozměrech bude okno propouštět nejvíce světla? 8. Necht je dána funkce f() = sin() cos () na intervalu [ π, π]. (a) Rozhodněte, zda eistuje první derivace funkce f v bodě =. [r, r ] [ P π+4, P 4+π ] (b) Nalezněte všechny lokální etrémy a intervaly monotonie funkce f() na intervalu ( π, π). Jsou tyto lokální etrémy též globálními etrémy na uvažovaném intervalu [ π, π]? [TODO]

22 9. Necht je dána funkce f() = + cos (). (a) Rozhodněte, zda eistuje první derivace funkce f v bodě =. (b) Nalezněte všechny lokální etrémy a intervaly monotonie funkce f() na intervalu ( π, π). Jsou tyto lokální etrémy též globálními etrémy na uvažovaném intervalu [ π, π]? [(a) nee.; (b) π π π π, glob. ma v π ] (. Nalezněte definiční obor, lokální etrémy a intervaly monotonie funkce f() = +. Necht součet dvou čísel je, určete tato čísla tak, aby (a) součet třetích mocnin byl minimální (b) součin jednoho s třetí mocninou druhého byl maimální ) 4 [D f = (, + ), + ] (c) obě byla kladná a součin jednoho s druhou mocninou druhého byla maimální. [TODO]. Ukažte, že pro všechna > je funkce ln vždy menší než. (Návod: zkoumejte etrémy rozdílu těchto funkcí.) [maimum ln je ln < ]. Ukažte, že pro všechna R je funkce + vždy menší než e. (Návod: zkoumejte etrémy rozdílu těchto funkcí.) [minimum e je v = ] 4. Ukažte, že pro všechna > je funkce ln( + ) vždy menší než. (Návod: zkoumejte etrémy rozdílu těchto funkcí.) [ln( + ) je pro > ostře klesající a záporná] 5. Ukažte, že pro všechna > je funkce arctg vždy menší než. (Návod: zkoumejte etrémy rozdílu těchto funkcí.) [arctg je pro > ostře klesající a záporná] 6. Určete kladný parametr A > tak, aby objem tělesa, které vznikne rotací funkce f() = A + okolo osy na intervalu [, ] byl minimální! A( + ) [A 7. Je-li rozdíl dvou čísel rovný, je jejich součin větší než? = 4 /] 8. Nit délky l se má rozstřihnout na dvě části, z jedné části se udělá kružnice a ze druhé čtverec. Určete délky jednotlivých částí tak, aby součet ploch čtverce a kruhu byl minimální. [ano] [l = lπ 4+π, l = 4l 4+π ]

23 9. Nit délky l se má rozstřihnout na dvě části. Z jedné části se udělá kružnice a ze druhé rovnostranný trojúhelník. Určete délky jednotlivých částí tak, aby součet ploch trojúhelníku a kruhu byl minimální.. Do koule o poloměru R vepište válec s maimálním objemem.. Do koule o poloměru R vepište válec s maimálním povrchem.. Jaký je maimální objem kužele s danou stranou s? [TODO] [r = R, v = R ] [r = R + 5, v = R 5 ] [ π 9 s ]. Při jakých rozměrech má válec daného objemu V nejmenší povrch? [v = V π, r = v ] 4. Z papíru tvaru obdélníka se stranami a a b vyrobíme krabičku tak, že vystřihneme ze všech čtyř rohů stejné čtverce. Krabička bude mít výšku rovnou straně tohoto čtverce. Pomocí techniky hledání etrémů nalezněte délku strany čtverce, při níž bude objem krabičky největší. [ 6 (a + b a ab + b ) ]

24 5 Neurčité integrály a primitivní funkce Rozcvička V této úvodní části jsou příklady na integrály, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. sin() d sin + cos() d (4 ) d [6 + 6 / + C] e d [ e + C] Zkouškové příklady ( 4 + ) d [ C] cos(π ) d ( + ) π d cos 4 sin d sin 4 cos d [ sin(π ) π + C] [ (+)( +)( +) π π+ + C] [ 5 (cos )5 + C] [ 5 (sin )5 + C] 6. cos d [ sin ( ) + C] 7. + d [ arctg + C] d [ C] ( + ) d ma{, 4 } d (Pozor na spojitost primitivní funkce!) min{, } d (Pozor na spojitost primitivní funkce!) [ ln()+ ln() ln() ln() + C] [TODO] [TODO]. sin d (Pozor na spojitost primitivní funkce!) [TODO] 4

25 ma{, } d (Pozor na spojitost primitivní funkce!) tgh d cotgh d cotg d ( ) 6 d sin 5 cos d [ + C, + D, C = + D] [ tgh + C] [ cotgh + C] [ cotg () + π + C] [ 4 ( ) 7 + C] [ 6 (sin ())6 + C] d 9. e + e [arctg e + C] d. [ln (ln () + ) + C] (ln + ) arctg. + d [ (arctg ()) + C]. cos 4 d [ 4 (cos ()) sin () + 8 cos () sin () C]. 4. cos d [ (cos ()) sin () + sin () + C] sin 6 d [ 6 (sin ())5 cos () 5 4 (sin ()) cos () 5 6 cos () sin () C] ln d [ / ln () 4 9 / + C] arctg d [ arctg ln ( + ) + C] arctg d [ arctg + e ( + ) d d d 7 + arctg + C] [ e + + C] ( [ ) arcsin + C] ( [arcsin 9 ( ) ) 9 + C] 5 + d [ 5 + arcsin ( ) + C]. 5 + d [ 4 ( ) ( arcsin ( ) ) + C] 5

26 tg d d [ + ln ( ) + ln ( + ) + C] [ ln (cos ()) + C] ln d [ (ln()) ln() + C] d [ + C] cos 5 sin d [ ( (sin ())/ + (cos ()) (cos ()) ) + C] cos + sin d [ ln ( + sin ( )) + C] 9. Nalezněte f(), znáte-li: f () = cos, f () =, f() =. [f() = cos + ] 4. ( ) d [ / ( ) + C] e + e + d ( + ) d d ( ) / d sin cos d e d [ e e + + C] [ ( + ) + C] [ + C] [ arctg 4 + C] [ cos + C] [ e + C] ln d ln [ ln + C] + ln (ln ) + C] + ln d [ sin d [ln + cot cotg + C] ( + tg ) sin cos + cos d [ cos + ln( + cos ) + C] ln d [ 7 / (9 ln ln + 8) + C] sinh d [ cosh sinh + C] 6

27 arccos d [ arccos + 9 ( ) / 9 ( ) / + C] arctg d [arctg + arctg + C] ln sin sin e d e d d [ cotg ln sin cotg + C] [ e e + C] [ e ( + + ) + C] d [ ( ) / 8 ( )/ 6 5 ( )5/ + C] ln d [ 4 ln 8 + C] ln( + ) + d [ + ln( + ) C] ln d d [ ln ln + + C] [ ( ln ln + 6 ln 6 ln 4 ) + C] sin d [ cos + sin + C] ln( + ) d [ ln( + ) + arctg + C] cotg (π ) d cot ln sin d [ ln sin() + C] [ (ln sin ) + C] cos (9 + tg ) d [arctg ( tg ) + C] cos 9 tg d [arcsin ( tg ) + C] 4 d [ arcsin( ) 4 + C] d ( ) / 4 d [ + C] [ (4 ) / + C] 7

28 d a [ a ln a a + C] d a + [ a a + + C] d e e 9 [ 9 e e 9 + C] 6 8 d [ (6 8) / + arcsin( ) C] ( + + 5) d [ + 8( ++5) 6 arctg ( ) + + C] d [ ln( ) + C] d [ ( ) arcsin( ) + C] arcsin d [ arcsin + ( ) / 9 ( ) / + C] 4 d [ arcsin ( 8+ 4 ) + C] 8. d [ + + arcsin ( + ) + C] arctg(ln ) d [ln arctg ln ln(ln + ) + C] + ( 4 ) arcsin d [ arcsin + C] arctg d [ arctg argcosh + C] cos sin 5 () d [ 6 sin6 () + C] tg + cotg sin() d [ cotg () + C] 87. Nalezněte všechny funkce, které mají tu vlastnost, že f () = e d [f() = e + C + D + ] [ / ln + C] 89. Nalezněte primitivní funkci k funkci f() = [ 4 arctg ( ) + C] 9. Nalezněte všechny funkce f, které mají tu vlastnost, že f () = e +. [ f() = e + C + D ln ] 8

29 9. Nalezněte f(), znáte-li f () = ; f() = 4. [ ] 9. Nalezněte f(), znáte-li f () = cos ; f () = ; f() =. [ cos + ] 9. Nalezněte f(), znáte-li f () = b ; f () = ; f() =. [ + + ] 94. Nalezněte f(), znáte-li f () = ; f() = ; f() =. [ + ] t (4t + 9) dt [ 8(4t +9) + C] sin( ) d [ cos( / ) + C] sin d + d [ sin 6 + C] [ ln + + C] 99.. e d log d [ e + C] [ ln 4 (ln ) + C]. cos + ln + sin d [ln + 4 ln + C] 9

30 6 Určité Integrály Zkouškové příklady. ( + ) d []. + d [π]. d [ + arcsin ] π / 6 + d arccos d cos d arctg d 5 d [ ln 7] [] [4π] [ π ] [ 5 48 ] 9. r ( + r ) 4 dr []. a y a y dy [ a ]. a y ( y a ) dy [ a 6 ]. + + d [ 6 4 ]

31 . 4. π ( + ) 6 d sin cos d [ 769 ] [ 4 ] 5. π cos d [π] 6. ln( + ) + d [ (ln ) ] ln ln π 4 e e + d d d log + d e cos e d [ln ] [ 4 ln ] [ln ln ] 45 [ ln ] ( [ln ( + )( )] cos + π 4 ).. 5 / d 5 + [ π ] d [ π 4 ] 4. d 4 ( + ) [ π 6 ] 5. ln e d + e [arctg π 4 ]

32 6. π cos 4 d [ 8 π] 7. π sin cos d [] 8. π cos d [ 4 π] 9. 8 ln d [ ln () + 9 ln ()] ln /4π π/4 π/8 e d e (e + ) 5 d cotg d cos() d + d ( ) 7 d [] [ 5 6 [(e + ) ]] [] ( [ 4 ln () + ln + ) ] [ 5 + ] [ 6 ] 6. y(y + ) dy [ 4 5 ] ( + ) d t ( t ) 8 dt [ ] [ 7 ]

33 9. r ( + r ) 4 dr [ 7 48 ] π π sin π d arctg d sin( + π) d ln( + ) d [4] [ π 4 ] [-] [ ln ]

34 7 Aplikace integrálů Rozcvička V této krátké části jsou příklady, které pro svou vyšší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. Spočtěte povrch toru (duše) + (y b) = a ; b a [4π ab] Zkouškové příklady 7. Výpočet plochy ( ). Necht je dána funkce f() = sin() cos na intervalu [ π, π]. Jaká je plocha pod touto funkcí na intervalu [, π]?. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = + ; [, ]. [ 9 4 ]. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = ( + ) ; [, ]. [ 47 5 ] [ 4. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = sin ; π, ] π. [ ] [ 4 ] 5. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = + ; [, ]. [ ] 6. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = ( + ) ; [, ]. [ 9 4 ] 7. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = a y =. [ ] 8. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = a y = 4. [ 4 ] 9. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = a y =. []. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y =, y = a y = 4. [4]. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = cos a y = 4 π. [ + π ]. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = cos (π) a y = sin (π) pro [, 4 ]. [ π ]. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y =, y = a =. [ ln ] 4. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = ( + ) a = sin(πy) pro y [, ]. [ + π ] 5. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = a y = + sin pro [, π]. [ π ] 7. Výpočet těžiště 6. Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy y = ( ) a y =. 7. Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy y = 4 a y = pro [, ]. [ = 6 π, ȳ = 5 ] [ = 8. Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy y = + 4 a y = pro [, ]. 4 ln, ȳ = 6 7 ] [ = 5 9, ȳ = 7 7 ]

35 9. Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy y = a y = pro [, ]. [ = 4 π, ȳ = 4 π ] 7. Výpočet délky grafu funkce. Jaká je délka grafu funkce f() = ( )? [ π ]. Pomocí funkce f() = R a integrálního počtu spočítejte obvod kruhu o poloměru R.. Spočtěte délku křivky f() =, [, 4]. [ ]. Spočtěte délku grafu y = ln, kde [, 8]. [ + ln ] ( ) 4. Spočtěte délku grafu y = a cosh, kde [, b]. [a sinh b a ] a 5. Spočtěte délku grafu = 4 y ln y, kde y [, e]. [ e + 4 ] 6. Spočtěte délku grafu y = a ln a a, kde [, b] a b < a. [a ln a+b a b b] 7. Spočtěte délku grafu y = ln cos, kde [, a] a a < π. [ln tan( π 4 + a ) ] 8. Spočtěte délku grafu y = a ln a+ a 4 a, kde [, b] a b >. [a ln a a b b] 9. Spočtěte délku grafu = a ln a+ a y 7.4 Výpočet objemu rotačního tělesa y a y, kde y [b, a] a < b < a. [a ln a b ]. Spočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené y = a y = kolem osy.. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = a y = 9 okolo osy. [ 6 5 π] [ π]. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y =, y = a y = ( ) okolo osy. [ 8 π] Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = 4 a y = okolo osy. [ π] 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = a y = okolo osy. 5. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y =, y = a + [, ] okolo osy. [ π (π + )] 4 6. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = cos, y = cos, [ π, π ] okolo osy. [ π ] 7. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = e, y = a = okolo osy. [π( ln 6 ln + 4)] [ 5 π] 5

36 8. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy = y, = 8, y = okolo osy y. [ π] 9. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = a y = okolo osy y. [ 5 π] 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy = y a = y okolo osy y. [ π] 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = a y = okolo osy y. 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y y = a = okolo osy y. [ 4 5 π] [ 6 5 π] 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = cos, y = cos, [ π, π ] okolo osy. [ π ] 44. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = cos, y = cos, [, π ] okolo osy y. [π π] 7.5 Výpočet povrchu rotačního tělesa 45. Pomocí funkce f() = R a integrálního počtu spočítejte objem a povrch koule o poloměru R. [V = 4 πr, P = 4πR.] 46. Pomocí integrálního počtu a vhodně zvolené funkce spočítejte objem a povrch pláště kužele o výšce a a poloměru podstavy r. [V = πr v, P = πr v + r ] 47. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = sin a [, π] okolo osy. [π( + ln( + ))] 48. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y =, [, ] okolo osy. [ 5π + π ln ( )] 49. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = e a [ ln, ln ] okolo osy. [π( ln )] 5. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y + 4 = ln y, y [, ] okolo osy y. [ π 6 (4 ln + 6 ln 7] 5. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = a cos π, [ b, b] okolo b osy. [a π a + 4b + 8 π b ln πa+ π a +4b b ] 5. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = p, [, b] okolo osy. [ π((b + p) bp + p p )] 5. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = p, [, b] okolo osy y. [ π 4 ( (p + 4b) b(p + b) p ln b+ p+b p ) ] 54. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = cosh, [, ln ] okolo osy. 6

37 Reference [] Mareš J., Vondráčková J., Cvičení z matematické analýzy: Diferenciální počet, Vydavatelství ČVUT, 999 [] Pelantová E., Vondráčková J., Cvičení z matematické analýzy: Integrální počet a řady, Vydavatelství ČVUT, 998 [] Marsden J., Weinstein A., Calculus II, Springer, 985 7

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu,

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu, Příklad Najděte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = +. ( + ) ( rostoucí v intervalech (, ) a 7, + ) klesající v intervalu ( ), 7 5 5 v bodě = 7 5 je lokální minimum 4. Najděte intervaly monotonie

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0. Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

1. Písemka skupina A...

1. Písemka skupina A... . Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Příklad 1 Pomocí l Hôpitalova pravidla spočtěte následující limity. Poznámka a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim cotg Všechny limity uvedené v zadání vedou

Více

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET . DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 1. října 2019

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 1. října 2019 Matematika II - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ig. Radek Fučík, Ph.D. verze:. říja 9 Obsah Pokročilé techiky itegrace a zobecěý Riemaův itegrál. Racioálí fukce.................................... Pokročilé

Více

Soubor příkladů z Matematické analýzy 1 (M1100) 1

Soubor příkladů z Matematické analýzy 1 (M1100) 1 Soubor příkladů z Matematické analýzy (M00). Opakování. Upravte následující výrazy: 3 3 +3 3 3 6+ (+) 3 [ a+b a b ] ( b ) (a a b a+b b a b a b ) (a b) 3 [(a b) 4 (a+b) 5 ] 6 3 a 4 a 3 a 3 aa 3 (f) 3 +

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x). 9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 4.1 - LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Při hledání lokálních etrémů postupujeme podle následujícího programu Nalezneme

Více

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor

Více

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) =

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) = Zadání projektů Projekt 1 f(x) = 9x3 5 2. Určete souřadnice vrcholů obdélníka ABCD, jehož dva vrcholy mají kladnou y-ovou souřadnici a leží na parabole dané rovnicí y = 16 x 2 a další dva vrcholy leží

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3. Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce

Více

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů 3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Derivace úvod. Jak zjistit míru změny?

Derivace úvod. Jak zjistit míru změny? Derivace úvod P ČEZ Jak zjistit míru změny? Derivace nám dá odpověď jestli je funkce: rostoucí/klesající konkávní/konvení jak moc je strmá jak moc roste kde má maimum/minimum 1000 700 P ČEZ P ČEZ 3% 4%

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R.

5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R. 5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod 0 R. a) Číslo c R je částečná ita funkce f v bodě 0, pokud eistuje posloupnost ( n ) taková, že platí

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné:   s1a64/cd/index.htm. KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1

Více

Vysoká škola polytechnická Jihlava. Obor Finance a řízení. Matematika 1,2 - Miloš Kraus

Vysoká škola polytechnická Jihlava. Obor Finance a řízení. Matematika 1,2 - Miloš Kraus Vysoká škola polytechnická Jihlava Obor Finance a řízení Matematika, - cvičení Miloš Kraus. vydání září 005 Obsah Matematická logika 5 Funkce a jejich vlastnosti 8 3 Inverzní a cyklometrické funkce 5

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Příklady k přednášce 3

Příklady k přednášce 3 Příklad k přednášce 3 1. Určete, zda závislost a daná uvedeným vztahem je funkce = f(). V případě záporné odpovědi stanovte, kterými funkcemi je možné příslušnou závislost popsat. 1. =3 2, (, + ) je funkcí,

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na bájný zikkurat tvaru komolého kolmého jehlanu s větší podstavou u země vede

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce 1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více