97 Binomicá věta Předpolady: 96 Kdysi dávno v prvním ročníu jsme se učili vzorce na umocňování dvojčlenu Př : V tabulce jsou vypsány vzorce pro umocňování dvojčlenu Najdi podobnost s jinou dosud probíranou látou ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) a b a ab b a a b ab b a a b 6a b ab b a a b 0a b 0a b ab b Koeficienty před mocninami a, b odpovídají řádům Pascalova trojúhelníu ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) a b a ab b a a b ab b a a b 6a b ab b 6 a a b 0a b 0a b ab b 0 0 Př : Napiš další řáde předchozí tabuly pro ( a b) 6 Z tabuly je vidět: mocniny a se postupně snižují od hodnoty mocniny nule, mocniny b se postupně zvyšují od nule hodnotě mocniny, číselné oeficienty v mnohočlenu, odpovídají příslušnému řádu Pascalova trojúhelníu Pro rozvoj mocniny ( ) 6 trojúhelníu ( ) 6 6 6 a b = a 6a b a b 0a b a b 6ab b a b potřebujeme sedmý řáde Pascalova Pedagogicá poznáma: Objevují se problémy s prostředním členem většinou stačí upozornit na postupné snižování mocnin a Př : Odhadni vzorec pro výraz ( a b) n Budeme postupovat stejně jao v předchozím příladě: mocniny a se postupně snižují od n nule, mocniny b se postupně zvyšují od nule n, 0a b (často chybí),
číselné oeficienty v mnohočlenu, terý vznil umocněním odpovídají příslušnému řádu Pascalova trojúhelníu Pro rozvoj mocniny ( a b) n potřebujeme ( n ) -ní řáde Pascalova trojúhelníu (řáde s ombinačními čísly s horní hodnotou n) n n n n n n a b a a b a b a n b a b n = b n 0 n n ( ) Pedagogicá poznáma: Naprostá většina žáů napíše vzorec správně, je dobré jim to připomenout, protože se najdou taoví, teří se vzoreče snaží naučit ne přes záonitosti objevené v předchozích dvou příladech, ale písmeno od písmena Než si tento výslede zapíšeme jao větu, musíme si jej alespoň trochu ověřit Ja vzniají jednotlivé členy rozvoje? Zusíme si to na nejnižších mocninách: ( ) ( )( ) a b = a b a b = a a a b b a b b = a ab b Barevně jsme rozlišili písmena z první a z druhé závory člen a je ve výsledu pouze jednou, protože jsme měli pouze jeden člen a a, člen ab je ve výsledu dvarát, vznil součtem členů a b b a, člen b je ve výsledu pouze jednou, protože jsme měli pouze jeden člen b b ( a b) = ( a b)( a b)( a b) = = a a a a b a b a a b b a a a b a b b b a b b b b = = a a b ab b Barevně jsme rozlišili písmena z první a z druhé závory člen a je ve výsledu pouze jednou, protože jsme měli pouze jeden člen a a a, člen a b je ve výsledu třirát, vznil součtem členů a b a b a a a a b, člen ab je ve výsledu třirát, vznil součtem členů b b a a b b b a b, člen b je ve výsledu pouze jednou, protože jsme měli pouze jeden člen b b b Jednotlivé členy v rozvoji vzniají součtem uspořádaných -tic z a a b (při násobení nezáleží na pořadí): člen a je v rozvoji jednou, protože existuje pouze jedna uspořádaná trojice ze tří a, člen a b je v rozvoji třirát, protože existují tři uspořádané trojice ze dvou a a jednoho b, Ja určíme počet uspořádaných trojic ze dvou a a jednoho b permutace s opaováním ze! dvou a jednoho prvu = = = možnosti!! Ja to bude v rozvoji ( a b) n n třeba u členu a b? Člen obsahuje ( ) n rát a a rát b uspořádané n-tice z ( ) n! n = = možností ( n )!! n Ja to bude v rozvoji ( a b) n třeba u členu a n b? n a prvů
Člen obsahuje ( n ) rát a a rát b uspořádané n-tice z ( n ) n! n = = možností n!! n ( ) a prvů Binomicá věta: Pro všechna čísla a, b a aždé přirozené číslo n platí: n ( a b) = a a b a b a b a b b 0 n n n n n n n n n Dodate: Pomocí sumy je zápis binomicé věty značně úspornější: ( ) n n n a b = a b = 0 Názvosloví: binom dvojčlen (odtud jméno věty), binomicý oeficient jiné pojmenování ombinačních čísel na pravé straně vzorce (v zahraničí se používá obecně místo termínu ombinační číslo, napřílad v anglii binomial), binomicý rozvoj pravá strana vzorce v binomicé větě Př : (BONUS) Doaž matematicou inducí binomicou větu Postupujeme ve dvou rocích: = ( ) 0 a b = a b a b = a b vzorec platí 0 Předpoládáme platnost pro, chceme doázat platnost pro Víme: ( a b) = a a b a b a b b 0 a b Chceme sestavit vzorec pro ( ) Platí: ( a b) ( a b) ( a b) = = = a a b a b a b b ( a b) 0 Zaměříme se na prostřede: m m m m a b a b ( a b) m m m m m m m m m m a b b a b a a b a b m m = m m = m m m m = a b = a b m m m Zísali jsme člen rozvoje dalšího řádu vzorec platí i pro
Věta je doázána Př : Vypočti pomocí binomicé věty: a) ( a b) 7 b) ( x y) c) ( ) 6 d) y x a) 7 7 7 7 7 7 7 7 = = 0 6 7 ( ) 7 7 6 6 7 a b a a b a b a b a b a b ab b = a 7a b a b a b a b a b 7ab b b) 7 6 6 7 = = 0 ( x y) x x ( y) x ( y) x ( y) x ( y) ( y) = x x y 0x y 0x y xy y c) 6 6 6 6 6 6 6 6 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 6 ( ) = 6 0 6 8 = 99 70 6 d) y x = 6 = 6x 8x y x y xy y y y y = ( x) ( x) ( x) ( x) = 0 8 y 6 Pedagogicá poznáma: Opět se objeví žáci, teří se nebudou vědět rady s mínusem v druhé závorce a bude třeba jim poradit, že platí ( x y) ( x [ y] ) = Častou chybou při počítání předchozího příladu je, že studenti příliš pospíchají, snaží se spočítat přílad najednou a ta produují obrovsé množství chyb Doporučuji počítat přílady ta, ja jsou uvedeny v učebnici, tedy v první fázi jenom dosadit do vzorce a dopočítávání ombinačních čísel, úpravy provádět až poté Př 6: Petáová: strana 8/cvičení 76 e) f) strana 8/cvičení 77 a)
Shrnutí: Vzorec pro umocnění dvojčlenu ( a b) n obsahuje jao oeficienty řadu ombinačních čísel,,, 0 n