1 Logika, množiny, zobrazení a číselné obory 1.1 Výroková a predikátová logika Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o němž má smysl říci, že platí (je pravdivé) nebo že neplatí (je nepravdivé). Definice. Negací A výrokuarozumíme výrok: Není pravda, že platía. A A 0 1 1 0 Definice. Konjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: PlatíA ib. Definice. Disjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Definice. Implikací A B nazýváme výrok: A. PlatíAneboB. Jestliže platí výroka, potom platí výrokb. Výroku A v implikaci se říká premisa, výrok B se nazývá závěr. Výrok A je postačující podmínkou pro platnost B a B je nutnou podmínkou pro platnost Definice. Ekvivalencí A B nazýváme výrok: VýrokAplatí tehdy a jen tehdy, když platí výrokb. (Platnost výroku)aje nutnou a postačující podmínkou (platnosti výroku)b. Výrokovou formou budeme nazývat výraz A B A B A B A B A B 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 A(x 1,x 2,...x m ), z něhož vznikne výrok dosazením prvkůx 1 M 1,x 2 M 2,...,x m M m z daných množin M 1,...,M m.
Definice. Nyní necht A(x), x M, je výroková forma. Výrok Pro všechna x M platía(x). zapisujeme ve tvaru: x M : A(x). Symbol nazýváme obecným (velkým) kvantifikátorem. Definice. Nyní necht A(x), x M, je výroková forma. Výrok Existujex M, pro které platía(x). zapisujeme ve tvaru: x M : A(x). Symbol nazýváme existenčním (malým) kvantifikátorem. Konec 1. přednášky, 1. 10. 2014 1.2 Množiny a množinové operace Definice. Řekneme, že množinaaje částí množiny B (nebo A je podmnožinou B), jestliže každý prvek množiny A je rovněž prvkem množiny B. Tomuto vztahu říkáme inkluze a značíme A B. Dvě množiny jsou si rovny (A = B), jestliže mají stejné prvky. Prázdnou množinou nazveme množinu, která neobsahuje žádný prvek. Označíme ji symbolem. Definice. Sjednocením množin A a B nazveme množinu vytvořenou všemi prvky, které patří alespoň do jedné z množinači B. Sjednocení množinaab značíme symbolema B. Je-li A systém množin, pak jeho sjednocení A definujeme jako množinu všech prvkůa, pro které existuje A A takové, že a A. Definice. Průnikem dvou množin A a B nazveme množinu všech prvků, které náležejí současně do A i do B. Průnik množina a B značíme symbolem A B. Mají-li dvě množiny prázdný průnik, řekneme o nich, že jsou disjunktní. Je-li A neprázdný systém množin, pak jeho průnik A definujeme jako množinu všech prvkůa, které pro každéa A splňujía A. Definice. Rozdílem množinaab (značímea\b) nazveme množinu prvků, které patří do množinyaanepatří do množinyb. Kartézským součinem množina 1,...,A n nazveme množinu všech uspořádanýchn-tic A 1 A 2 A n = {[a 1,a 2,...,a n ]; a 1 A 1,...,a n A n }.
Věta 1.1 (de Morganova pravidla). Necht X je množina a A je neprázdný systém množin. Pak platí X \ A = {X \A; A A} a dále X \ A = {X \A; A A}. 1.3 Zobrazení Definice. Necht A a B jsou množiny. Binární relací mezi prvky množin A a B rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu A B. Necht R A B je binární relace. Místo zápisu[a,b] R někdy píšemearb. Pokud A = B říkáme, žerje relace na A. Definice. Necht A a B jsou množiny a necht R A B je binární relace. Pak relaci R 1 B A definovanou předpisem nazýváme inverzní relací k relaci R. [x,y] R 1 [y,x] R Definice. Necht A a B jsou množiny. Binární relaci F A B nazýváme zobrazením (někdy též funkcí) z množinyado množinyb, jestliže platí x A y 1,y 2 B: ( ([x,y 1 ] F [x,y 2 ] F) y 1 = y 2 ). Definičním oborem zobrazení F nazýváme množinu D(F) = {x A; y B: [x,y] F}. Oborem hodnot zobrazení F nazýváme množinu R(F) = {y B; x A: [x,y] F}. Poznámka. Necht F je zobrazení z množiny A do množiny B. Pro každé x D(F) existuje právě jedno y takové, že [x,y] F. Takové y značíme F(x). Grafem zobrazení F rozumíme množinu{[x,f(x)]; x D(F)}. Označení. Necht A a B jsou množiny. Pak symbolem F : A B značíme fakt, že F je zobrazení z množinyado množinyb, A je definičním oboremf, obor hodnotf je podmnožinou množinyb. Definice. Necht A, B jsou neprázdné množiny a f: A B.
Obrazem množinyx A při zobrazení f se nazývá množina f(x) = {y B; x X: f(x) = y} = {f(x); x X}. Vzorem množinyy B při zobrazení f nazveme množinu f 1 (Y) = {x A; f(x) Y}. Definice. Necht AaB jsou množiny af: A B je zobrazení. (a) Řekneme, žef je prosté (injektivní), jestliže (b) Řekneme, žef je na (surjektivní), jestliže x,y A: (f(x) = f(y) x = y). y B x A: f(x) = y. (c) Řekneme, žef je bijekce (vzájemně jednoznačné), jestliže je zároveň prosté a na. Konec 2. přednášky, 7. 10. 2014 Definice. Necht A a B jsou množiny, f: A B je zobrazení a C A. Pak zobrazení g: C B definované předpisem g(x) = f(x) pro x C nazýváme restrikcí (zúžením nebo parcializací) zobrazení f na množinuc. Zobrazení g označujeme symbolemf C. Definice. Necht f ag jsou zobrazení. Pak zobrazeníg f je definováno předpisem(g f)(x) = g ( f(x) ) pro všechnax D(f) taková, žef(x) D(g). Zobrazeníg f nazýváme složeným zobrazením (složením zobrazení)f ag, přičemžg nazýváme vnějším zobrazením af nazýváme vnitřním zobrazením. Definice. Necht A a B jsou množiny a f: A B je prosté zobrazení. Pak inverzní zobrazení k f je definováno jako inverzní relace k f. Inverzní zobrazení k f značímef 1. 1.4 Mohutnost množin Definice. Říkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost a píšeme A B, jestliže existuje bijekceanab. Říkáme, že množina A má mohutnost menší nebo rovnou mohutnosti množiny B a píšemea B, jestliže existuje prosté zobrazení A do B. SymbolA B značí situaci, kdya B a neplatía B.
Definice. Řekneme, že množina X je konečná, pokud je bud prázdná, nebo existuje n N takové, že X má stejnou mohutnost jako množina {1,...,n}. Řekneme, že množina X je nekonečná, pokud není konečná. Řekneme, že množina X je spočetná, jestliže je konečná nebo má stejnou mohutnost jakon. Nekonečná množina, která není spočetná, se nazývá nespočetná. Poznámka. Pro počet prvků konečné množiny X používáme často značení X. Dvě konečné množinyx, Y mají stejnou mohutnost právě tehdy, když X = Y. Věta 1.2 (Cantor Bernstein). Necht A,B jsou množiny takové, že A B a zároveň B A. PakAaB mají stejnou mohutnost. Definice. Necht X je množina. Potom potenční množinou množiny X rozumíme množinu P(X) všech podmnožin množiny X. Věta 1.3 (Cantor). Necht X je množina. Pak X P(X). Věta 1.4 (vlastnosti spočetných množin). (a) Podmnožina spočetné množiny je spočetná. (b) Necht zobrazení f: A N je prosté. Potom je množina A spočetná. (c) Sjednocení spočetně mnoha spočetných množin je spočetné. (d) Obraz spočetné množiny je spočetná množina. (e) Každá nekonečná množina obsahuje nekonečnou spočetnou podmnožinu. 1.5 Reálná čísla Množinu reálných čísel R lze popsat jako množinu, na níž jsou definovány operace sčítání a násobení, které budeme značit obvyklým způsobem, a relace uspořádání ( ), přičemž jsou splněny následující tři skupiny vlastností. I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení III. Axiom suprema I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah x,y,z R : x+(y +z) = (x+y)+z (asociativita sčítání), x,y R : x+y = y +x (komutativita sčítání), w R x R : w +x = x (prvek w je určen jednoznačně, značíme ho 0 a říkáme mu nulový prvek),
x R z R : x + z = 0 (z je tzv. opačné číslo k číslu x, je určeno jednoznačně a značíme ho x), x,y,z R : x (y z) = (x y) z (asociativita násobení), x,y R : x y = y x(komutativita násobení), v R\{0} x R : v x = x (prvek v je určen jednoznačně, značíme ho 1 a říkáme mu jednotkový prvek), x R\{0} y R : x y = 1 (prvek y je určen jednoznačně a značíme ho x 1 nebo 1 x ), x,y,z R : (x+y) z = x z +y z (distributivita). II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení x,y,z R : (x y y z) x z (tranzitivita), x,y R : (x y y x) x = y (slabá antisymetrie), x,y R : x y y x, x,y,z R : x y x+z y +z, x,y R : (0 x 0 y) 0 x y. Označení. Označení x y znamená totéž co y x. Symbolem x < y budeme značit situaci, kdy x y, alex y (tzv. ostrá nerovnost). Reálná čísla, pro něžx > 0 (resp. x < 0), budeme nazývat kladnými (resp. zápornými). Reálná čísla, pro něž x 0 (resp. x 0), budeme nazývat nezápornými (resp. nekladnými). Definice. Konec 3. přednášky, 9. 10. 2014 Řekneme, že množina M R je omezená zdola, jestliže existuje číslo a R takové, že pro každéx M platíx a. Takové čísloase nazývá dolní závorou množinym. Analogicky definujeme pojmy množina omezená shora a horní závora. Řekneme, že množinam R je omezená, je-li omezená shora i zdola.
Definice. Necht M R. Číslo G R splňující x M : x G, G R,G < G x M : x > G, nazýváme supremem množinym. Poznámka. Necht M R. Má-li množina M supremum, je toto určeno jednoznačně a značíme jej supm. Definice. Necht M R. Řekneme, že a je největší prvek (maximum) množiny M, jestliže a M a a je horní závorou množiny M. Analogicky definujeme nejmenší prvek (minimum) M. Maximum a minimum jsou určeny jednoznačně (pokud existují) a značíme je max M a minm. III. Axiom suprema Každá neprázdná shora omezená podmnožinarmá supremum. Věta 1.5. Existuje čtveřice (R,+,, ) splňující podmínky I III, přičemž je těmito podmínkami určena jednoznačně v následujícím smyslu. Pokud čtveřice( R,,, ) splňuje mutatis mutandis podmínky I III, pak existuje bijekceϕ:r R taková, že pro každéx,y R platí ϕ(x+y) = ϕ(x) ϕ(y), ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y), x y ϕ(x) ϕ(y). Definice. Necht M R. Číslo g R splňující x M : x g, g R, g > g x M : x < g, nazýváme infimem množinym. Poznámka. Necht M R. Má-li množina M infimum, je toto určeno jednoznačně a značíme jej infm. Věta 1.6. Necht M R je neprázdná zdola omezená množina. Pak existuje infimum množiny M. Věta 1.7. Pro každér R existuje právě jedno číslok Z takové, žek r < k +1. Konec 4. přednášky, 14. 10. 2014 Věta 1.8. Ke každému x R existujen N splňujícíx < n. Věta 1.9. Pro každé n N a x R, x 0, existuje právě jedno y R, y 0, splňující y n = x. Věta 1.10. Necht a,b R,a < b. Pak existujeq Q takové, žea < q < b.
1.6 Komplexní čísla Množinu komplexních čísel C definujeme jako množinu všech uspořádaných dvojic(a, b), kde a,b R, přičemž pro komplexní čísla x = (a,b), y = (c,d) definujeme operace sčítání a násobení takto x+y = (a+c,b+d), x y = (ac bd,ad+bc). Necht x = (a,b) C. Prvek a nazýváme reálnou částí x, prvek b nazýváme imaginární částí x. Absolutní hodnotou komplexního čísla x rozumíme a 2 +b 2. Dále definujeme 0 = (0,0), 1 = (1,0) (sic!) a i = (0,1). Komplexně sdruženým číslem k x rozumíme číslo x = (a, b); symbol x značí číslo ( a, b) a symbol 1/x značí pro x 0 (jednoznačně určené) číslo splňujícíx 1 x = 1.
2 Limita posloupnosti 2.1 Úvod Definice. Zobrazení přiřazující každému přirozenému číslunreálné čísloa n nazýváme posloupnost reálných čísel. Značíme{a n } n=1. Čísloa n nazvemen-tým členem této posloupnosti. Definice. Řekneme, že posloupnost{a n } je shora omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je shora omezená, zdola omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je zdola omezená, omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je omezená. Definice. Řekneme, že posloupnost{a n } je neklesající, je-lia n a n+1 pro každé n N, rostoucí, je-lia n < a n+1 pro každén N, nerostoucí, je-lia n a n+1 pro každén N, klesající, je-li a n > a n+1 pro každén N. Posloupnost{a n } je monotónní, pokud splňuje některou z výše uvedených podmínek. Posloupnost{a n } je ryze monotónní, pokud je rostoucí či klesající. 2.2 Konvergence posloupnosti Definice. Řekneme, že posloupnost{a n } má limitu rovnou reálnému číslua, jestliže platí ε R,ε > 0 n 0 N n N,n n 0 : a n A < ε. Konec 5. přednášky, 16. 10. 2014 Věta 2.1 (jednoznačnost limity). Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Definice. Má-li posloupnost {a n } limitu rovnou číslu A R, pak píšeme lim n a n = A nebo jenom lima n = A. Řekneme, že posloupnost {a n } je konvergentní, pokud existuje A R takové, želima n = A. Věta 2.2. Necht K R, K > 0, A R. Jestliže posloupnost{a n } splňuje podmínku potomlima n = A. ε R,ε > 0 n 0 N n N,n n 0 : a n A < Kε.
Konec 6. přednášky, 21. 10. 2014 Věta 2.3. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Definice. Necht {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Jestliže{n k } k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak {a nk } k=1 se nazývá vybranou posloupností z{a n} n=1. Věta 2.4. Necht {a nk } k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti{a n} n=1. Jestliže platílim n a n = A R, pak takélim k a nk = A. Věta 2.5 (limita a aritmetické operace). Necht lima n = A R alimb n = B R. Potom platí: (a) lim(a n +b n ) = A+B, (b) lim(a n b n ) = A B, (c) je-lib 0 a b n 0 pro všechnan N, jelim(a n /b n ) = A/B. Věta 2.6. Necht lima n = 0 a necht posloupnost{b n } je omezená. Potomlima n b n = 0. Konec 7. přednášky, 23. 10. 2014 Věta 2.7. Necht lima n = A R. Potomlim a n = A. Věta 2.8 (limita a uspořádání). Necht lima n = A R a limb n = B R. (a) Necht existujen 0 N takové, že pro každé přirozenén n 0 jea n b n. PotomA B. (b) Necht A < B. Potom existujen 0 N takové, že pro každé přirozenén n 0 jea n < b n. Věta 2.9 (o dvou strážnících). Necht {a n }, {b n } jsou dvě konvergentní posloupnosti a {c n } je posloupnost splňující: (a) n 0 N n N,n n 0 : a n c n b n, (b) lima n = limb n. Potom existujelimc n a platílimc n = lima n. 2.3 Nevlastní limita posloupnosti Definice. Řekneme, že posloupnost{a n } má limitu, jestliže L R n 0 N n N,n n 0 : a n L. Řekneme, že posloupnost{a n } má limitu, jestliže K R n 0 N n N,n n 0 : a n K.
Konec 8. přednášky, 30. 10. 2014 Věta 2.10 (jednoznačnost limity podruhé). Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu vr. Věta 2.11 (aritmetika limit podruhé). Necht lima n = A R alimb n = B R. Potom platí: (i) lim(a n +b n ) = A+B, pokud je pravá strana definována, (ii) lim(a n b n ) = A B, pokud je pravá strana definována, (iii) lima n /b n = A/B, pokud je pravá strana definována. Věta 2.12. Necht lima n = A R, A > 0, limb n = 0 a existuje n 0 N, že pro každé n N, n n 0, platíb n > 0. Paklima n /b n =. Definice. Necht M R. ČísloG R splňující x M : x G, G R,G < G x M: x > G, nazýváme supremem množinym. Infimum množinym definujeme analogicky. Konec 9. přednášky, 4. 11. 2014 2.4 Hlubší věty o limitě posloupnosti Věta 2.13. Každá monotónní posloupnost má limitu. Věta 2.14 (Cantorův princip vložených intervalů). Necht {I n } n=1 intervalů splňující: je posloupnost uzavřených n N : I n+1 I n, lim n délkai n = 0. Potom n=1 I n je jednobodová množina. Věta 2.15 (Bolzanova-Weierstrassova věta). Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Konec 10. přednášky, 11. 11. 2014
Definice. Necht {a n } je posloupnost reálných čísel. Pak definujeme lim n sup{a k ; k n}, jestliže je {a n } shora omezená, lim supa n = n, jestliže není {a n } shora omezená. Tuto hodnotu nazýváme limes superior posloupnosti {a n }. Obdobně definujeme limes inferior posloupnosti {a n } předpisem lim n inf{a k ; k n}, jestliže je{a n } lim inf a zdola omezená, n = n, jestliže není {a n } zdola omezená. Věta 2.16 (o vztahu limity, limes superior a limes inferior). Necht {a n } je posloupnost reálných čísel aa R. Potomlima n = A právě tehdy, když limsupa n = liminfa n = A. Věta 2.17. Necht {a n },{b n } jsou posloupnosti reálných čísel,n 0 N a platía n b n pro každé n N,n n 0. Pak platí liminfa n liminfb n a limsupa n limsupb n. Definice. Necht {a n } je posloupnost reálných čísel a A R. Řekneme, že A je hromadná hodnota posloupnosti {a n }, jestliže existuje vybraná posloupnost {a nk } k=1 taková, že platí lim k a nk = A. Množinu všech hromadných hodnot posloupnosti{a n } značímeh({a n }). Věta 2.18 (o vztahu limes superior, limes inferior a hromadných hodnot). Necht {a n } je posloupnost reálných čísel. Potomlimsupa n aliminfa n jsou hromadnými hodnotami posloupnosti{a n } a pro každou hromadnou hodnotuaposloupnosti{a n } platíliminfa n A limsupa n. Konec 11. přednášky, 13. 11. 2014 Důsledek 2.19. Necht {a n } je posloupnost reálných čísel a necht A R. Je-li lima n = A, pakh({a n }) = {A}. Definice. Necht {a n } je posloupnost reálných čísel. Řekneme, že {a n } splňuje Bolzanovu Cauchyovu podmínku, jestliže ε R,ε > 0 n 0 N m,n N,n n 0,m n 0 : a n a m < ε. Věta 2.20. Posloupnost{a n } má vlastní limitu právě tehdy, když splňuje Bolzanovu Cauchyovu podmínku. Věta 2.21 (Borelova věta). Necht I je uzavřený interval a S je množina otevřených intervalů taková, žei S. Potom existuje konečná množinas 0 S taková, žei S 0.
3 Číselné řady 3.1 Základní pojmy Definice. Necht {a n } je posloupnost. Pro m N položme s m = a 1 +a 2 + +a m. Číslo s m nazvemem-tým částečným součtem řady n=1 a n. Prvek a n budeme nazývat n-tým členem řady n=1 a n. Součtem nekonečné řady n=1 a n nazveme limitu posloupnosti {s m }, pokud tato limita existuje. Součet řady budeme značit symbolem n=1 a n. Řekneme, že řada konverguje, je-li její součet reálné číslo. V opačném případě řekneme, že řada diverguje. Konec 12. přednášky, 18. 11. 2014 Věta 3.1 (nutná podmínka konvergence řady). Jestliže řada n=1 a n konverguje, pak lima n = 0. Věta 3.2. (i) Necht α R, α 0. Potom n=1 a n konverguje, právě když n=1 αa n konverguje. (ii) Necht n=1 a n a n=1 b n jsou konvergentní řady. Potom n=1 (a n +b n ) konverguje. (iii) Řada n=1 a n konverguje, právě když platí 3.2 Řady s nezápornými členy ε R,ε > 0 n 0 N n N,n n 0 m N,m > n: m j=n+1 a j < ε. Věta 3.3 (srovnávací kritérium). Necht n 0 N. Dále necht n=1 a n a n=1 b n jsou dvě řady splňující0 a n b n pro každén N,n n 0. (i) Je-li n=1 b n konvergentní, je rovněž n=1 a n konvergentní. (ii) Je-li n=1 a n divergentní, je rovněž n=1 b n divergentní. Věta 3.4 (limitní srovnávací kritérium). Necht n=1 a n a n=1 b n jsou řady s nezápornými členy a lim n a n /b n = c R. (i) Necht c (0, ). Potom n=1 a n konverguje, právě když konverguje n=1 b n. (ii) Necht c = 0. Pak konverguje-li n=1 b n, konverguje i n=1 a n. (iii) Necht c =. Pak konverguje-li n=1 a n, konverguje i n=1 b n.
Konec 13. přednášky, 20. 11. 2014 Věta 3.5 (Cauchyovo odmocninové kritérium). Necht n=1 a n je řada s nezápornými členy. Potom platí: (i) Existuje-liq (0,1) takové, že potom n=1 a n konverguje. n 0 N n N,n n 0 : n a n < q, (ii) Je-lilimsup n a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní. (iii) Je-lilim n a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní. (iv) Je-lilimsup n a n > 1, pak neplatílima n = 0 a n=1 a n je divergentní. (v) Je-lilim n a n > 1, pak neplatílima n = 0 a n=1 a n je divergentní. Věta 3.6 (d Alembertovo podílové kritérium). Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. (i) Existuje-liq (0,1) takové, že n 0 N n N,n n 0 : a n+1 a n < q, potom n=1 a n konverguje. (ii) Je-lilimsup a n+1 a n (iii) Je-lilim a n+1 a n (iv) Je-lilim a n+1 a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní. < 1, pak je n=1 a n konvergentní. > 1, pak neplatílima n = 0 a n=1 a n je divergentní. Věta 3.7 (Raabeovo kritérium). Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. (i) Je-lilimn ( a n a n+1 1 ) > 1, pak je n=1 a n konvergentní. (ii) Je-lilimn ( a n a n+1 1 ) < 1, pak je n=1 a n divergentní. Věta 3.8. Necht α R. Řada n=1 1/nα konverguje právě tehdy, když α > 1. Věta 3.9 (kondenzační kritérium). Necht {a n } je nerostoucí posloupnost nezáporných čísel. Pak řada n=1 a n konverguje právě tehdy, když konverguje řada n=0 2n a 2 n.
3.3 Řady s obecnými členy Lemma 3.10 (Abelova parciální sumace). Necht m N a a 1,...,a m, b 1,...,b m jsou reálná čísla. (a) Necht n N, n m, a σ k = k j=n a j, k = n,...,m. Pak platí m a j b j = j=n m 1 j=n σ j (b j b j+1 )+σ m b m. (b) Označmes k = k j=1 a j,k = 0,...,m. Pak pro každén N, n m, platí m a j b j = s n 1 b n + j=n m 1 j=n s j (b j b j+1 )+s m b m. Konec 14. přednášky, 25. 11. 2014 Věta 3.11 (Abelovo-Dirichletovo kritérium). Necht {a n } a {b n } jsou posloupnosti, přičemž {b n } je monotónní. Necht je navíc splněna alespoň jedna z následujících dvou podmínek: (A) posloupnost{b n } je omezená a řada n=1 a n konverguje, (D) limb n = 0 a posloupnost částečných součtů řady n=1 a n je omezená. Pak řada n=1 a nb n konverguje. Věta 3.12 (Leibniz). Necht {a n } n=1 je monotónní posloupnost, která konverguje k 0. Pak řada řada n=1 ( 1)n a n konverguje. 3.4 Absolutní konvergence Definice. Řekneme, že řada n=1 a n je absolutně konvergentní, jestliže je řada n=1 a n konvergentní. Je-li řada n=1 a n konvergentní, ale není absolutně konvergentní, říkáme, že je neabsolutně konvergentní. Věta 3.13. Je-li řada n=1 a n absolutně konvergentní, je rovněž konvergentní.
4 Limita a spojitost funkce 4.1 Základní pojmy Definice. Funkce f jedné reálné proměnné (dále jen funkce) je zobrazení f: M R, kde M je podmnožinou množiny reálných čísel. Definice. Funkce f: J R je rostoucí na intervalu J, jestliže pro každou dvojici x 1,x 2 J, x 1 < x 2, platí nerovnostf(x 1 ) < f(x 2 ). Analogicky definujeme funkci klesající (neklesající, nerostoucí) na intervaluj. Definice. Monotónní funkcí (resp. ryze monotónní funkcí) na intervalu J rozumíme funkci, která je neklesající nebo nerostoucí (resp. rostoucí nebo klesající) naj. Definice. Necht f je funkce a M D f. Řekneme, že funkcef je lichá, jestliže pro každé x D f platí x D f af( x) = f(x), sudá, jestliže pro každéx D f platí x D f af( x) = f(x), periodická s periodoua R, a > 0, jestliže pro každéx D f platíx+a D f, x a D f af(x+a) = f(x a) = f(x), shora omezená na M, jestliže existuje číslo K R takové, že pro všechna x M je f(x) K, zdola omezená na M, jestliže existuje číslo K R takové, že pro všechna x M je f(x) K, omezená na M, jestliže existuje číslo K R takové, že pro všechna x M je f(x) K, konstantní nam, jestliže pro všechnax,y M platíf(x) = f(y). 4.2 Limita funkce Definice. Necht c R a ε > 0. Potom definujeme okolí bodu c jako B(c,ε) = (c ε,c+ε), prstencové okolí bodu c jakop(c,ε) = (c ε,c+ε)\{c}, Okolí a prstencové okolí bodu (resp. ) definujeme takto: P(,ε) = B(,ε) = (1/ε, ), P(,ε) = B(,ε) = (, 1/ε).
Definice. Řekneme, že čísloa R je limitou funkce f v bodě c R, jestliže ε R,ε > 0 δ R,δ > 0 x P(c,δ): f(x) B(A,ε). To označujeme symbolem lim x c f(x) = A. Definice. Necht c R aε R,ε > 0. Potom definujeme pravé okolí boducjako B + (c,ε) = [c,c+ε), levé okolí bodu c jakob (c,ε) = (c ε,c], pravé prstencové okolí bodu c jakop + (c,ε) = (c,c+ε), levé prstencové okolí bodu c jako P (c,ε) = (c ε,c). Definice. Dále definujeme levé okolí bodu jakob (,ε) = (1/ε, ), pravé okolí bodu jakob + (,ε) = (, 1/ε), levé prstencové okolí bodu jakop (,ε) = B (,ε), pravé prstencové okolí bodu jakop + (,ε) = B + (,ε). Definice. Necht A R, c R { }. Řekneme, že funkce f má v bodě c limitu zprava rovnoua(značíme lim f(x) = A), jestliže x c+ ε R,ε > 0 δ R,δ > 0 x P + (c,δ): f(x) B(A,ε). Analogicky definujeme pojem limity zleva v bodě c R { }. Pro limitu zleva funkce f v boděcužíváme symbol lim x c f(x). Definice. Řekneme, že funkcef je spojitá v bodě c, jestliže lim x c f(x) = f(c). Konec 15. přednášky, 27. 11. 2014 Definice. Necht c R. Řekneme, že funkcef je v boděcspojitá zprava (resp. zleva), jestliže lim x c+ f(x) = f(c) (resp. lim x c f(x) = f(c)). Definice. Necht J R je nedegenerovaný interval (neboli obsahuje nekonečně mnoho bodů). Funkcef: J R je spojitá na intervaluj, jestliže platí: f je spojitá zprava v levém krajním bodě intervaluj, pokud tento bod patří do J, f je spojitá zleva v pravém krajním bodě intervaluj, pokud tento bod patří do J, f je spojitá v každém vnitřním boděj.
4.3 Věty o limitách Věta 4.1. Funkcef má v daném bodě nejvýše jednu limitu. Věta 4.2. Necht funkcef má vlastní limitu v boděc R. Pak existujeδ > 0 takové, žef je na P(c,δ) omezená. Věta 4.3 (aritmetika limit). Necht c R. Necht lim x c f(x) = A R alim x c g(x) = B R. Potom platí: (i) lim x c (f(x)+g(x)) = A+B, pokud je výraza+b definován, (ii) lim x c f(x)g(x) = AB, pokud je výrazab definován, (iii) lim x c f(x)/g(x) = A/B, pokud je výraza/b definován. Konec 16. přednášky, 2. 12. 2014 Věta 4.4. Necht c R. Necht lim x c g(x) = 0, lim x c f(x) = A R a A > 0. Jestliže existujeη > 0 takové, že funkceg je kladná nap(c,η), paklim x c (f(x)/g(x)) =. Věta 4.5 (limita funkce a uspořádání). Mějmec R. (i) Necht limf(x) > lim g(x). x c x c Pak existuje prstencové okolí P(c,δ) takové, že platí x P(c,δ) : f(x) > g(x). (ii) Necht existuje prstencové okolíp(c,δ) takové, že platí x P(c,δ) : f(x) g(x). Necht existujílim x c f(x) a lim x c g(x). Potom platí limf(x) lim g(x). x c x c (iii) (o dvou strážnících) Necht na nějakém prstencovém okolíp(c,δ) platí f(x) h(x) g(x). Necht lim x c f(x) = lim x c g(x). Potom existuje rovněžlim x c h(x) a všechny tři limity jsou si rovny. Věta 4.6. Necht c,d,a R, lim x c g(x) = D,lim y D f(y) = A a je splněna alespoň jedna z podmínek
(P) η R,η > 0 x P(c,η) : g(x) D, (S) f je spojitá vd. Potomlim x c f ( g(x) ) = A. Konec 17. přednášky, 4. 12. 2014 Věta 4.7 (Heine). Necht c R, A R a funkce f je definována na prstencovém okolí bodu c. Pak jsou výroky (i) a (ii) ekvivalentní. (i) Platílim x c f(x) = A. (ii) Pro každou posloupnost {x n } splňující x n D(f), x n c pro všechna n N a lim n x n = c, platílim n f(x n ) = A. Věta 4.8 (limita monotónní funkce). Necht a,b R, a < b, a funkce f je monotónní na intervalu(a,b). Potom existujílim x a+ f(x) a lim x b f(x), přičemž platí: (a) Je-li f na(a, b) neklesající, pak lim f(x) = inff ( (a,b) ) a x a + (b) Je-li f na(a, b) nerostoucí, pak lim f(x) = supf ( (a,b) ) a x a + Konec 18. přednášky, 9. 12. 2014 lim x b f(x) = supf ( (a,b) ). lim f(x) = inff ( (a,b) ). x b 4.4 Funkce spojité na intervalu Věta 4.9 (Bolzano). Necht funkce f je spojitá na intervalu [a,b] a předpokládejme, že f(a) < f(b). Potom pro každéc (f(a),f(b)) existujeξ (a,b) takové, že platíf(ξ) = C. Lemma 4.10. Necht M R a platí PakM je interval. x,y M z R : x < z < y z M. Věta 4.11 (zobrazení intervalu spojitou funkcí). Necht J je nedegenerovaný interval. Necht funkcef: J R je spojitá naj. Potom jef(j) interval. Věta 4.12. Necht f je spojitá funkce na intervalu[a,b]. Potom jef na [a,b] omezená.
Definice. Necht M R, x M a funkce f je definována alespoň na M (tj. M D f ). Řekneme, žef nabývá v boděxmaxima (resp. minima) na M, jestliže platí y M: f(y) f(x) (resp. y M: f(y) f(x)). Bodxpak nazýváme bodem maxima (resp. minima) funkcef na množiněm. Symbolmax M f (resp.min M f) označuje největší (resp. nejmenší) hodnotu, které funkcef na množiněm nabývá (pokud taková hodnota existuje). Definice. Necht M R,x M a funkcef je definována alespoň nam (tj.m D f ).Řekneme, že funkcef má v boděx lokální maximum vzhledem k M, jestliže existuje δ > 0 takové, že pro každé y P(x,δ) M: f(y) f(x), lokální minimum vzhledem k M, jestliže existuje δ > 0 takové, že pro každé y P(x,δ) M: f(y) f(x), Věta 4.13. Necht f je spojitá funkce na intervalu [a,b], kde a,b R,a < b. Potom funkce f nabývá na[a,b] své největší hodnoty (maxima) a své nejmenší hodnoty (minima). Věta 4.14 (o inverzní funkci). Necht f spojitá a rostoucí (klesající) funkce na intervalu J. Potom funkcef 1 je spojitá a rostoucí (klesající) na intervaluf(j). Konec 19. přednášky, 11. 12. 2014
5 Derivace a elementární funkce 5.1 Definice a základní vztahy Definice. Necht f je reálná funkce aa R. Pak derivací funkce f v bodě a budeme rozumět f f(a+h) f(a) (a) = lim ; h 0 h derivací funkce f v bodě a zprava budeme rozumět f + (a) = lim h 0+ f(a+h) f(a) ; h analogicky definujeme derivaci funkce f v bodě a zleva. Věta 5.1. Necht funkcef má v boděa R vlastní derivaci. Potom je funkcef v boděaspojitá. Věta 5.2 (aritmetika derivací). Necht a R a funkce f a g jsou definované na nějakém okolí bodua. Necht existujíf (a) R a g (a) R. (a) Pak platí (f +g) (a) = f (a)+g (a), je-li výraz na pravé straně definován. (b) Je-li alespoň jedna z funkcíf, g spojitá v boděa, pak je-li výraz na pravé straně definován. (fg) (a) = f (a)g(a)+f(a)g (a), (c) Je-li funkceg spojitá v boděaanavícg(a) 0, pak je-li výraz na pravé straně definován. ( ) f (a) = f (a)g(a) f(a)g (a), g g(a) 2 Věta 5.3 (derivace složené funkce). Necht funkce g je spojitá v bodě a R a má v tomto bodě derivaci. Necht funkcef má derivaci v boděg(a). Pak je-li výraz na pravé straně definován. (f g) (a) = f (g(a))g (a),
Věta 5.4 (derivace inverzní funkce). Necht I je nedegenerovaný interval a necht a je vnitřním bodem I. Necht f je spojitá a ryze monotónní funkce na I. Označmeb = f(a). Pak platí následující tvrzení. (a) Má-lif v boděanenulovou derivaci, pak ( f 1 ) (b) = 1 f (a). (b) Je-lif (a) = 0 a f je rostoucí na I, pak ( f 1) (b) =. (c) Je-lif (a) = 0 a f je klesající na I, pak ( f 1) (b) =. Věta 5.5 (nutná podmínka lokálního extrému). Necht f je reálná funkce. Jestliže a je bodem lokálního extrému funkcef, potom bud f (a) neexistuje nebof (a) = 0. 5.2 Věty o střední hodnotě Věta 5.6 (Rolle). Necht funkcef má následující vlastnosti: (i) je spojitá na intervalu[a,b], (ii) má derivaci (vlastní či nevlastní) v každém bodě otevřeného intervalu(a,b), (iii) platí, žef(a) = f(b). Potom existujeξ (a,b) takové, že platíf (ξ) = 0. Věta 5.7 (Lagrange). Necht funkce f je spojitá na intervalu [a, b] a má derivaci (vlastní či nevlastní) v každém bodě intervalu(a,b). Potom existujeξ (a,b) takové, že platí f (ξ) = f(b) f(a). b a Věta 5.8 (Cauchy). Necht funkce f, g jsou spojité na intervalu[a,b] a takové, že f má derivaci (vlastní či nevlastní) v každém bodě intervalu(a,b) ag má v každém bodě intervalu(a,b) vlastní a nenulovou derivaci. Potom existujeξ (a,b) takové, že platí f (ξ) g (ξ) = f(b) f(a) g(b) g(a). Konec 21. přednášky, 18. 12. 2014
Věta 5.9 (vztah derivace a monotonie). Necht J R je nedegenerovaný interval. Necht f je spojitá na J a v každém vnitřním bodě J (množinu vnitřních bodů intervalu J označme jako intj) má derivaci. (i) Je-lif (x) > 0 pro všechna x intj, pakf je rostoucí na J. (ii) Je-lif (x) < 0 pro všechna x intj, pakf je klesající na J. (iii) Je-lif (x) 0 pro všechnax intj, pakf je neklesající naj. (iv) Je-lif (x) 0 pro všechnax intj, pakf je nerostoucí naj. Věta 5.10 (l Hospitalovo pravidlo). (i) Necht a R { },lim x a+ f(x) = lim x a+ g(x) = f 0,f ag mají na jistém pravém prstencovém okolí boduavlastní derivaci a existujelim (x) x a+. g (x) Pak f(x) lim x a+ g(x) = lim f (x) x a+ g (x). (ii) Necht a R { },lim x a+ g(x) = +,f ag mají na jistém pravém prstencovém okolí boduavlastní derivaci a existujelim x a+ f (x) g (x). Pak f(x) lim x a+ g(x) = lim f (x) x a+ g (x). Věta 5.11. Necht f je spojitá zprava v bodě a R a existuje lim x a+ f (x). Potom existuje f +(a) a platí rovnost f + (a) = lim x a+ f (x). Definice. Necht n N, a R a f má vlastní n-tou derivaci na okolí bodu a. Pak (n+1)-ní derivací funkcef v boděabudeme rozumět 5.3 Konvexní a konkávní funkce f (n+1) f (n) (a+h) f (n) (a) (a) = lim. h 0 h Definice. Necht f má vlastní derivaci v boděa R. Označme T a = {[x,y] R 2 ; y = f(a)+f (a)(x a)}. Řekneme, že bod [x,f(x)] leží pod tečnou T a, jestliže f(x) < f(a)+f (a) (x a). Platí-li opačná nerovnost, řekneme, že bod[x,f(x)] leží nad tečnou T a.
Definice. Necht f (a) R. Řekneme, žeaje inflexním bodem funkcef, jestliže existujeδ > 0 takové, že platí (i) x (a δ,a) : [x,f(x)] leží pod tečnou T a, (ii) x (a,a+δ) : [x,f(x)] leží nad tečnout a nebo (i) x (a δ,a) : [x,f(x)] leží nad tečnout a, (ii) x (a,a+δ) : [x,f(x)] leží pod tečnou T a. Věta 5.12 (nutná podmínka pro inflexi). Necht a R je inflexní bod funkce f. Potom f (a) neexistuje nebo je rovna nule. Věta 5.13 (postačující podmínka pro inflexi). Necht funkce f má spojitou první derivaci na intervalu(a, b) a z (a, b). Necht platí: x (a,z) : f (x) > 0, x (z,b) : f (x) < 0. Potomz je inflexním bodem funkcef. Definice. Řekneme, že funkcef: I R je konvexní na intervalu I, jestliže x 1,x 2 I λ [0,1]: f(λx 1 +(1 λ)x 2 ) λf(x 1 )+(1 λ)f(x 2 ). Řekneme, že funkcef: I R je ryze konvexní na intervalu I, jestliže x 1,x 2 I,x 1 x 2 λ (0,1): f(λx 1 +(1 λ)x 2 ) < λf(x 1 )+(1 λ)f(x 2 ). Lemma 5.14. Funkcef je na intervalui konvexní, právě když x 1,x 2,x 3 I,x 1 < x 2 < x 3 : f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 3) f(x 2 ) x 3 x 2. Věta 5.15. Necht f je konvexní na intervalu J a necht a intj. Pak existují f + (a) R, (a) R. f Věta 5.16. Necht f je konvexní na otevřeném intervaluj. Pakf je spojitá naj. Věta 5.17. Necht f: (a,b) R,a < b. (i) Jestližef (x) > 0 pro každéx (a,b), pakf je ryze konvexní na(a,b). (ii) Jestližef (x) < 0 pro každéx (a,b), pakf je ryze konkávní na (a,b). (iii) Jestližef (x) 0 pro každéx (a,b), pakf je konvexní na(a,b). (iv) Jestližef (x) 0 pro každéx (a,b), pakf je konkávní na (a,b).
5.4 Průběh funkce Věta 5.18. Necht f (a) = 0, f (a) > 0 (resp. f (a) < 0). Potom f má v a lokální minimum (resp. lokální maximum). Definice. Řekneme, že funkce x ax+b, a,b R, je asymptotou funkce f v + (resp. v ), jestliže lim (f(x) ax b) = 0, (resp. lim x + (f(x) ax b) = 0). x Věta 5.19. Funkcef má v asymptotux ax+b, a,b R, právě když f(x) lim x + x = a R, lim (f(x) ax) = b R. x + Vyšetření průběhu funkce 1. Určíme definiční obor a obor spojitosti funkce. 2. Zjistíme symetrie funkce: lichost, sudost, periodicita. 3. Dopočítáme limity v krajních bodech definičního oboru. 4. Spočteme první derivaci, určíme intervaly monotonie a nalezneme lokální a globální extrémy. Určíme obor hodnot. 5. Spočteme druhou derivaci a určíme intervaly, kde funkce f je konvexní nebo konkávní. Určíme inflexní body. 6. Vypočteme asymptoty funkce. 7. Načrtneme graf funkce.