5 Potenciály s δ funkcemi 5. Jednoduchá δ jáma nebo bariéra Mějme potenciál ve tvaru jednoduché δ funkce V cδ, kde c je konstanta, jejíž velikost udává sílu potenciálu. Pokud je c <, jedná se o jámu, v opačném případě o bariéru.. Napište Schrödingerovu rovnici pro částici o hmotnosti M pohybující se v tomto potenciálu a nalezněte podmínky, které musí splňovat vlnová funkce v bodě, ve kterém se nachází δ funkce.. Pro případ jámy c < nalezněte všechny vázané stavy (tj. stavy se zápornou energií, existují-li) a příslušné normalizované vlastní funkce. 3. Nalezněte řešení s E > (v této oblasti je spektrum spojité). Vypočítejte pravděpodobnost průchodu T a pravděpodobnost odrazu R na potenciálu a nakreslete graf T T(E), R R(E). 4. Vypočítejte fázové posunutí δ vlnové funkce a zakreslete funkci δ δ(e). Řešení:. Schrödingerova rovnice pro vlnovou funkci ψ zní ] [ d M dx +cδ ψ Eψ. (5..) Rovnici zintegrujeme v malém okolí x, kde sedí δ funkce, čímž dostaneme M [ψ (ǫ) ψ ( ǫ)]+cψ() E kde ψ dψ/dx. Limita ǫ + dá ǫ ǫ ψdx, (5..) ψ (+) ψ ( ) Kψ(), (5..5) kde jsme označili ψ (±) limitu zleva ( ), resp. zprava (+) v bodě x a K Mc. (5..6) Vlnová funkce v bodě δ funkce potenciálu musí být spojitá a její derivace má skok daný vzorcem (5..5). Rovnice (5..5) lze formálně přepsat pomocí logaritmické derivace L ψ ψ d lnψ (5..3) dx na tvar L(+) L( ) K. (5..4)
. Vázaný stav hledáme pro energie E <. Pro x má Schrödingerova rovnice (5..) tvar d ψ Eψ, (5..7) M dx která má obecné řešení ψ Ae κx +Be κx, (5..8) kde A,B jsou konstanty a κ ME (5..9) Rozdělme řešení na dvě části: (x < ) a (x > ), viz obrázek ψ Ae κx +Be κx, x <, ψ Ce κx +De κx, x >. (5..) Aby byla vlnová funkce normovatelná, musí být lim x ± ψ, takže B C. (5..) Sešívací podmínky [spojitost, skok v derivaci (5..5)] v bodě x dávají takže Po dosazení (5..6) a (5..9) dostaneme ψ () ψ (), (5..) ψ () ψ () Kψ (), (5..3) A D, (5..4) κ K. (5..5) což je energie jediného vázaného stavu systému. Zbývá nalézt normalizovanou vlnovou funkci: A { ψ dx A { [ κ eκx e κx dx+ ] E Mc, (5..6) + ψ dx+ } e κx dx [ κ e κx ] } ψ dx A κ, (5..7) takže A D κ Mc (5..8)
-5 5 Obrázek : Normalizovaná vlnová funkce vázaného stavu pro M, c. [za κ jsme dosadili z (5..5) a (5..6)] a normalizovaná vlnová funkce vázaného stavu (5..6) je tedy ψ Mc e Mc x, (5..9) ψ Mc e Mc x. (5..) Znázorněna je na obrázku. 3. V kladných energiích má systém spojité spektrum. Analogicky s (5..) lze obecnou vlnovou funkci psát ve tvaru kde ψ Ae ikx +Be ikx, ψ Ce ikx +De ikx, (5..) k ME. (5..) Nás zajímá pravděpodobnost průchodu a odrazu. Budeme tedy předpokládat, že k δ funkci přichází vlna zleva (člen úměrný A) a rozdělí se na odraženou vlnu (člen úměrný B) a prošlou vlnu (člen úměrný D). Zprava žádná vlna nepřichází, takže D. Pravěpodobnost průchodu a odrazu pak bude T B A, R C A. (5..3) Vlnovou funkci (5..) sešíváme v bodě x, což dává podmínky A+B C, (5..4) ik(c +B A) KC. (5..5) Vyjádříme-li z první z nich B a dosadíme-li do druhé, dostaneme C A K ik. (5..6) x
Pravděpodobnost průchodu je tedy T K + K ik ik + ( ) K k + Mc E (5..7) a analogicky pravděpodobnost odrazu R + ( K k ). (5..8) + E Mc Platí, že T + R. Všiměte si, že R ani T nezávisejí na znaménku c, tj. pravděpodobnost průchodu a odrazu je stejná při dané energii pro δ jámu i pro δ bariéru...8.6.4 T R.. 4 6 8 E Obrázek 3: Pravděpodobnost průchodu(černá čára) a odrazu(červená přerušovaná čára) pro jednu δ funkci (M c ). Pravděpodobnosti jsou zakresleny na obrázku 3. 4. Fázové posunutí δ, důležité např. v teorii rozptylu, značí fázi, o kterou se posune rovinná vlna kvůli přítomnosti potenciálu oproti případu bez potenciálu. Situace je schematicky znázorněna na obrázku 4. Pro jeho určení je výhodné uvažovat řešení Schrödingerovy rovnice (5..) ve spojité části spektra E > ve tvaru ( ψ αcos kx δ ), ( ψ αcos kx+ δ ). (5..9) kde α je normalizační konstanta. Sešívací podmínka spojitosti je při dané volbě Držím se zavedené notace, proto pro fázové posunutí i pro δ funkci používám stejné označení.
vlnové funkce splněna automaticky, podmínka (5..5) dá postupně 4αksin δ αkcos δ tan δ K k Fázové posunutí je zakresleno na obrázku 5. δ arctan K k arctanc M E. (5..3) vlna po pr chodu bariérou vlna bez p ítomnosti bariéry x Obrázek 4: Vlnová funkce pro výpočet fázového posunutí δ (červeně). Vlnová funkce za nepřítomnosti potenciálu V c δ je znázorněna přerušovanou čarou. - - -3 4 6 8 E Obrázek 5: Fázové posunutí pro jednu δ funkci (M c ).