Funkce více proměnných Nechť n IN. Symbol IR n značíprostorvšech n-rozměrnýchvektorůsreálnýmisouřadnicemi značených x=(x 1,...,x n ),také xnebotřeba x.čísla x i IRjsousouřadnicečisložky. operace s vektory: Provektor x IR n askalár λ IRdefinujemenásobekjako λ x=(λx 1,...,λx n ). Provektory x, y IR n definujemejejichsoučetjako x+ y=(x 1 +y 1,...,x n +y n ). Pro x, y IR n definujemejejichskalárnísoučinjako x y= x 1 y 1 + +x n y n = n metrika: Provektor x IR n definujemejeho(euklidovskou)normujako x = x 2 1 + +x2 n. n Provektory x, y IR n definujemejejich(euklidovskou)vzdálenostjako x y = (x i y i ) 2. i=1 x i y i. i=1 Věta. Nechť n IN. Euklidovská norma splňuje následující vlastnosti: (i)provšechna x IR n platí: x =0právětehdy,když x= o. (ii)provšechna x IR n a λ IRplatí λ x = λ x. (iii)provšechna x, y IR n platí x+ y x + y. (trojúhelníkovánerovnost) (iv)provšechna x IR n platí x = x x. (v)provšechna x, y IR n platí x y x y. (Cauchy-Schwarzovanerovnost) (vi)provšechna x IR n platímax x i x nmax x i. Fakt. Nechť n IN.Pro x, y IR n platí x y= x y cos(α),kde αjeúhelmezivektory xa y. Nechť Mjepodmnožina IR n. Řekneme,žejeomezená,jestližeexistuje K >0tak,aby x Kprovšechna x M. Definujemediametr Mjakodiam(M)=sup{ x y ; x, y M}. Nechť a IR n a ε >0.Definujeme ε-okolíbodu ajako U ε ( a)={ x IR n ; x a < ε}. prstencové ε-okolíbodu ajako P ε ( a)={ x IR n ;0 < x a < ε}. 1
Nechť Mjepodmnožina IR n,řekneme,že x IR n je vnitřníbod M,jestližeexistuje U= U ε ( x)takové,že U M. vnějšíbod M,jestližeexistuje U= U ε ( x)takové,že U M=. hraničníbod M,jestližeprokaždé U= U ε ( x)platí U M au M. izolovanýbod M,jestližeexistuje U= U ε ( x)takové,že U M= { x}. hromadnýbod M,jestližeprokaždé P= P ε ( x)platí P M. Nechť Mjepodmnožina IR n.definujemejejí vnitřek M O jakomnožinuvšechvnitřníchbodů M. hranici Mjakomnožinuvšechhraničníchbodů M. uzávěr Mjako M M. Nechť Mjepodmnožina IR n. Řekneme,že Mjeotevřená,jestliže M O = M. Řekneme,že Mjeuzavřená,jestliže M= M. Nechť M jepodmnožina IR n. Řekneme, žejenesouvislá, jestližeexistujíotevřenémnožiny G 1,G 2 IR n takové,že M G 1 G 2, G 1 M, G 2 M ag 1 G 2 =. Řekneme, že je souvislá, jestliže není nesouvislá. Množina M IR n senazýváoblast,jestližejeotevřenáasouvislá. Funkcívíceproměnnýchrozumímelibovolnézobrazení f: D IR, kde D = D(f)jenějaká podmnožina IR n. Není-li Dexplicitnědáno,pakjakodefiničníobor D(f)berememnožinuvšech x IR n,prokteroumá f( x)smysl. 2
Nechť f: D(f) IRjefunkce,kde D(f) IR n. Pro c IRdefinujemepříslušnouhladinu konstantnosti H c = { x D(f); f( x)=c}. 3
Nechť f: D(f) IRjefunkce, D(f) IR n. Nechť ajevnitřníbod D(f)a ujevektorzir n splňující u = 1. ) Řekneme,žefunkce fjediferencovatelnávbodě avesměru u,jestliželimitalim konverguje. Pakdefinujeme(směrovou)derivaci fvbodě avesměru ujako ( f( a+t u) f( a) ) D u f( a)=lim. t 0 t ( f( a+t u) f( a) t 0 t Alternativníznačení: D u f( a)= u f( a)= f u ( a)=f u ( a). Nechť f: D(f) IRjefunkce, D(f) IR n.nechť ajevnitřníbod D(f). Pro i=1,...,ndefinujemeparciálníderivaci fvzhledemkx i jako f ( a)=d ei f( a),pokud tato existuje. Alternativní značení: f ( a)=d i f( a)=f xi ( a). 4
Nechť f: D(f) IRjefunkce, D(f) IR n.nechť ajevnitřníbod D(f). Jestližeexistujívšechnyparciálníderivace f ( a)pro=1,...,n,pakdefinujemegradient fv a jako vektor f( a)= ( f ( a),..., f ) ( a). x 1 x n Alternativníznačení: f( a)= f( a)=grad(f)( a). Věta. Nechť f: D(f) IRjefunkce,kde D(f) IR n.nechť ajevnitřníbod D(f). f Jestližeexistujenějakéokolí U = U( a)takové,žeprovšechna i=1,...,nexistují ( x)pro všechna x Uafunkce f jsouspojitév a,pakmá fv aderivacevevšechsměrechaprokaždé uplatí D u f( a)= f( a) u. Nechť Gjeotevřenápodmnožina IR n a f: G IR. Řekneme,že fmáspojitéparciálníderivacena G,jestližeprovšechna i=1,...,nexistují všechbodech Gajsoutospojitéfunkcena G. Množinuvšechtakovýchtofunkcíznačíme C 1 (G). Derivacevyššíchřádů: D v (D u f)=d v D u f.speciálnípřípad: x j ( f ) = x j. f ve 5
Nechť GjeoblastvIR n. Definujeme C k (G)jakomnožinuvšechfunkcí f: G IR,kterémajívšechnyparciálníderivaceaž pořád katyjsouspojiténa G. Věta. Nechť GjeoblastvIR n.jestliže f C 2 (G),pakpro a Gplatí x j ( a)= 2 f x j ( a). 6
Lokální a globální extrémy Nechť f: D(f) IRjefunkce,kde D(f) IR n.nechť ajevnitřníbod D(f). Řekneme,že f máv alokální maximumnebože f( a)jelokálnímaximum,jestližeexistuje U= U( a)takové,že f( a) f( x)provšechna x U. Řekneme, že f máv alokální minimumnebože f( a)jelokálníminimum, jestližeexistuje U= U( a)takové,že f( a) f( x)provšechna x U. Pokud jsou v definici maxima/minima ostré nerovnosti pro x a, pak se dotyčný extrém nazývá ostrý. Věta. Nechť GjeotevřenámnožinavIR n a f: G IR.Nechť a G. Jestližemá fv alokálníextrém,pak f ( a)=0provšechna i=1,...,nneboli f( a)= o. Nechť GjeotevřenámnožinavIR n a f C 1 (G). Body a G,prokteréplatí f( a)= o,se nazývají stacionární body. 7
Věta. (Sylvesterovo kritérium) Nechť GjeotevřenámnožinavIR n a f C 2 (G). Nechť a Gjestacionárníbod f a H jehessovamatice f v a. Nechť i jsoulevéhorní subdeterminanty H. Jestliže i >0provšechna i,pakje f( a)(ostré)lokálníminimum. Jestliže 1 <0, 2 >0, 3 <0atd.až( 1) n n >0,pakje f( a)(ostré)lokálnímaximum. Jestliže 2 <0,pakje f( a)sedlovýbod. 8
Věta. (Lagrangeova o multiplikátorech) Nechť GjeotevřenámnožinavIR n,nechť f,g 1,...,g p C 1 (G). g 1 g x 1... 1 x n Předpokládejme, že hodnost matice.. jena Gvždyrovna p. g p g x 1... p x n Nechť M= { x IR n ; g 1 ( x)= =g p ( x)=0}. Jestliže fnabývávbodě a MlokálníhoextrémuvzhledemkM,pakexistují λ 1,...,λ p IR takové,že f( a)= p λ i g i ( a). i=1 9
Nechť f je funkce diferencovatelná v bodě a. Tečná rovina: Aproximace, Taylor y f( a)= f x 1 ( a) (x 1 a 1 )+ f x 2 ( a) (x 2 a 2 )+ + f x n ( a) (x n a n ) = f( a) ( x a). Nechťje ffunkcedefinovanánanějakémokolíbodu a.řekneme,želineárnízobrazení L: IR n IR je(totální) diferenciál funkce f v a, jestliže ( f( a+ h) f( a) L[ h] ) lim h 0 =0. h Pakřekneme,že fjediferencovatelnáv a,aznačíme L=df( a)=df( a). Praktickýdopad: f( a+ h) f( a)+df( a)[ h]. Věta. Jestližemá fspojitéparciálníderivacenanějakémokolíbodu a,pakje fv adiferencovatelnáa platí df( a)[ h]= f( a) h=d h f( a). Nechť f má v bodě a všechny parciální derivace druhého řádu. Pak definujeme Hessovu matici či hessián jako H( a) = x ( 2 ) 1 x 1 ( a) f ( a) = x 2 x 1 ( a) x j i,j=1..n.. x n x 1 ( a) x 1 x 2 ( a)... x 2 x 2 ( a)..... x n x 2 ( a)... x 1 x n ( a) x 2 x n ( a)... x n x n ( a) 10
Nechťje fspojitědiferencovatelnánanějakémokolí Ubodu a.nechť x U.Označme h= x a a u= h h. Aproximace: Taylorův polynom: f( x) f( a)+df( a)[ x a]=f( a)+ f( a) ( x a) f( a+ h) f( a)+df( a)[ n f h]=f( a)+ ( a) h i f( a+ h) f( a)+ n i=1 f ( a) h i + 1 2 i=1 n i,j=1 f( a+ h) f( a)+ f( a) h T + 1 2 hh( a) h T f( a+ h) f( a)+df( a)[ h]+ 1 2 d2 f( a)[ h, h] T n ( x)=f( a)+df( a)[ h]+ 1 2 d2 f( a)[ h, h]+ + 1 n! dn f( a)[ h,..., h] x j ( a) h i h j = f( a)+df( a)[ u] x a + 1 2 d2 f( a)[ u, u] x a 2 + + 1 n! d2 f( a)[ u,..., u] x a n. Nechť Ajematice n n. Řekneme,že Ajepositivnědefinitní,jestliže xa x T >0provšechny x IR n { o}. Řekneme,že Ajenegativnědefinitní,jestliže xa x T <0provšechny x IR n { o}. 11
Integrály 12
Limita Nechť f: D(f) IRjefunkce,kde D(f) IR n. Nechť ajehromadnýbod D(f), L IR. Řekneme,že Ljelimita f pro xjdoucík a,značeno lim x a ( f( x) ) = L,jestliže U= U(L) P= P( a): f[p D(f)] U. Nechť f: D(f) IRjefunkce,kde D(f) IR n. Nechť ajehromadnýbod D(f), L IR. Nechť N IR n jetakovámnožina,že ajehromadný bod N D(f). ( ) Řekneme,že Ljelimita fpro xjdoucík avzhledemkn,značenolim f( x) = L,jestliže x a x N U= U(L) P= P( a): f[p N D(f)] U. Věta. Nechť f: D(f) IRjefunkce,kde D(f) IR n. Nechť ajehromadnýbod D(f), L IR. lim x a ( ) ( ) f( x) = Lprávětehdy, když lim f( x) = Lprolibovolnou N IR n takovou, že aje hromadnýbod N D(f). x a x N 13
14