I. MECHNIK 6. Kmiy a lnění II
Obsah Pojem lny, příčné a podélné lnění, polarizae. Vlnoá ronie, operáory. Popis lnění (ázoá ryhlos, lnoá déla, reene. Ryhlos lny na srně, ryhlos lny ené yči, ryhlos z. Harmoniá lna. Roinná lna, loá lna. Prinip sperpozie. Inererene. Sojaé lnění (lasní módy, zly, miny. Chladniho obraze. Grpoá ryhlos. Přenos energie, inenzia lny. Hygensů prinip, lnoplohy, lom lnění, odraz, oální odraz, dirae. Dopplerů je (prinip, yžií.
Mehanié lnění lnění šíření rozrh prosorem pospná lna rozrh změna yziální eličiny mehaniá ýhyla, deormae, změna hsoy, la, eploy, siloého pole čásie miají olem ronoážnýh poloh nešíří se čásie, nepřemisťje se hmoa zdroj miajíí sysém azba (iz ázané osiláory přenáší se energie i hybnos nejjednodšší případ - čásie miají se sejno periodo a amplido, nemiají synhronně ázoé zpoždění úměrné zdálenosi od zdroje lny se šíří onečno ryhlosí ypy lnění mehanié láoém prosředí důsled elasiýh azeb eleromagneié není řeba hmoné prosředí anoé (de Broglieoy graiační hp://phe.olorado.ed/sims/wae-on-a-sring/wae-on-a-sring_en.hml 3
Příčné a podélné lnění. Polarizae. záladní ypy lnění podélné (longidinální miy e směr šíření lny šíří se zhšění a zředění jen normáloá napěí elasié lny penýh lááh, apalináh i plyneh příčné (ranserzální miy olmo e směr šíření lny šíří se rh a důl nná i ečná napěí příčné lny penýh lááh, dále elmg. lnění polarizae jen příčné lny šehny miy jedné roině směry polarizae nezáislé lny zpraidla se šíří sejno ryhlosí, liši se moho ázoým zpožděním (lineární polarizae, rhoá polarizae nepolarizoaná lny miy e šeh směreh 4
Popis lnění. Obená lna záislos ýhyly (může jí o salární i eoroo eličin na čase a sořadnii (, obená ne čas a sořadnie (... ryhlos šíření lny časoý pohled ( ( pro pené 0 je ýhyla ní čas pro počáe zaedeme ( 0, ( 0 0 ýhyla bodě 0 začne oproi počá později o čas 0 /, aže ( 0, ( 0 pro pohyb e/proi směr osy ( 0, prosoroý pohled pro pené 0 je ýhyla ní sořadnie pro čas nla zaedeme (,0 g( do bod čase 0 dospěje zlnění ze zdálenosi 0, aže (, 0 g pro pohyb e/proi směr osy (, g 0 0 zájemný zah pro lib. a dosan (, g čas a sořadnie se ysyjí jen ěho ombinaíh Pozn: dále bdeme přednosňoa sořadnie a čas ombinai nemění ýznam prosoroé sořadnie g ( g( 0 0, de směr šíření lny 5
Vlnoá ronie odození 6 lnění msí splňoa ( ( s, de s homogenním prosředí je ryhlos onsanní prní deriae podle obo proměnnýh ds d s ds d ds d s ds d drhá deriae podle obo proměnnýh s ds d s ds d ds d s ds d poronáním dosaneme, resp. nebo 0 sejná ronie plaí pro oba směry pohyb lny obené řešení ( ( g J. d'lember (Franie, 77-783
Vlnoá ronie - lasnosi 7 lineární homogenní pariální di. re. řád ronie hyperboliého yp lineární ne a její deriae poze lineárníh ombinaíh homogenní s nloo prao srano je-li řešením, pa je řešením aé ons. lineární homogenní di. re pod a jso lineárně nezáislá řešení, pa je řešením aé jejih lineární ombinae b a Důaz: 0, 0 ( ( 0 b a b a b a oo je důležié pro sperpozii lnění
Vlnoá ronie pro rojrozměrný případ rozšíření pro 3D y z jiné zápisy leé srany: di grad obené d lemberoo řešení: ( nr g( nr, de n je směr šíření lnění předp., že ronii předsaje mehanio ýhyl, pa praá srana je zryhlení působíí na elemen jednooé hmonosi leá srana podle.nz rona síle působíí na elemen jednooé hmonosi lnoá ronie pa předsaje dynamiý záon (sečně ji lze ododi např. pro elasié nebo eé prosředí z pohyboýh záonů aždá ronie ohoo ar popisje nějaé lnění, onsana rčje jeho (ázoo ryhlos planos lnoé ronie je daleo širší než poze oblasi mehaniýh miů, lze ji ododi aé pro eličiny elmg. pole nebo graiačního pole 8
Ryhlos lny na srně příčno ln popisjeme pomoí oslační ržnie pjíí po srně ryhlosí F l F s.s. spojené s plsem se elemen srny (dély l sne po obod ržnie poloměr R ryhlosí, proo na něj působí dosředié zryhlení dosřediá síla na elemen F d a R ma ls R sředoý úhel pro elemen srny na rhlí pls m napínaí síla (napěí, průřez S F S raná síla na yhýlený elemen; malý úhel F s F sin F raná síla yáří dosředio síl pro ázoo ryhlos yjde l R ls R l předsaje hmonos jednooé dély srny ( lošťa srny m R F F F s d F s l S R S S F F l 9
Podélné lnění pržné ené yči a a b b posní, (dyž bdo ýhyly sejné, yč není deormoaná, ale jen elá posná relainí prodložení (záisí na poloze yči lim 0 pro elemen yče d je prodložení mezi a d d d d Hooeů záon: F E df SEd S pro elemen d df SE d.nz na ýž elemen působí zryhlení a df a dm Sd poronáním Sd E L E 0
Ryhlos šíření ln různýh maeriáleh L... ryhlos šíření podélnýh elasiýh ln (z P... ryhlos šíření příčnýh elasiýh ln
Popis lnění. Fázoá ryhlos. lna šíříí se e směr osy rčje ýhyl rčiém čase a mísě z. áze lny 0 pro onsan zaím nemáme yziální ýznam hledáme ryhlos, s níž se šíří onsanní hodnoa áze (ryhlos liboolného zaioaného d mísa na lně ons. d 0 d d d 0 d ze zah diereniálů posní a čas plyne, že áze se šíří ryhlosí ázoá ryhlos Jina: zaijeme proměnno čás áze čase 0 a bodě 0 0 0 áze bde sejná e šeh časeh a bodeh, de, j. 0 0. pro mísa se sejno ází plaí 0 ( 0 šíří se ryhlosí omo speiálním případě (lna e směr osy nezáisí áze na osaníh sořadniíh roinná lnoploha olmá ose ázoá ryhlos není obeně spjaa s šířením energie a hybnosi nebo inormae, proo může bý i ěší než ryhlos sěla nejen daném prosředí, doone i e a!
Harmoniá roinná lna ýznam roinné lny: malá čás aždé lnoplohy popis jao roinná lna liboolný časoý průběh zísáme sperpozií harmoniýh ln (Forieroa řada pro názornos nejpre bdeme sdoa roinno ln e směr osy obené řešení (, dále bdeme požía jen míns, eré značí šíření e směr osy harmoniá lna (, sin argmen ( goniomerié ne msí bý bezrozměrný, má rozměr /déla periodiia prosor: lnoá déla minimální zdálenos, při níž je daném čase sejná áze (edy i ýhyla (, (, sin ( sin ( a 0 0 lnoče 3
Harmoniá roinná lna periodiia čase: perioda nejraší doba opaoání sejné ýhyly daném bodě (, (, T sin ( sin ( ( T sin ( T T a 0 0 T 0 lnoče T T perioda T reene T úhloá reene T T lnoá ne pro harmonio ln (oba směry šíření (, sin( 0 sin ( 0 sin 0 T i( 0 i( eponeniální ar (, e e 4
Harmoniá roinná lna obeného směr od roinné lny e směr osy přejdeme roinné lně obeném směr zaedeme jednooý eor n e směr lny zdálenos lnoplohy od počá d n r obené řešení ( se změní na ( n r e ýše odozenýh zazíh se zamění n r y d r n r n harmoniá lna ( r, sin n r periodiia prosor: lnoá déla minimální zdálenos nr, při níž je daném čase sejná áze (a ýhyla ( r, r n, sin n r sin n r nn sin n r a 0 0 lnoče 5
Harmoniá roinná lna obeného směr 6 periodiia čase: perioda nejraší doba opaoání sejné ýhyly daném bodě r, (, ( T r r T r n T r n r n ( sin ( sin sin T a 0 0 0 T lnoče T T perioda T reene T úhloá reene T T lnoá ne pro harmonio ln lnoče lnoý eor n 0 0 0 sin ( sin sin(, ( T r n r n r r eponeniální ar ( ( 0, ( r i r i e e
Prinip sperpozie lnoé ronie odozeny za předpolad, že ázoá ryhlos je onsana (nezáisí na poloze a čas, ani na amplidě lny lnoá ronie lineární homogenní di.re sperpozie jednoliýh lnění eperimenálně porzeno (pro malé ýhyly, že yolají-li nezáislé rozrhy ýhyly ( r, resp. ( r, pa při sočasném působení yolají oba rozrhy ýhyl r, ( r, ( r, ( (ýhyly jso eličiny sejného drh, obeně jsme je hápali eoroě, může jí aé o salární eličiny oo eperimenální pozoroání mj. opraňje náš předpolad, že ázoá ryhlos nezáisí na amplidě hp://phe.olorado.ed/sims/wae-on-a-sring/wae-on-a-sring_en.hml 7
Inererene lnění sejné reene sládání íe lnění na záladě prinip sperpozie inererene lnění předpoládáme sejno ázoo ryhlos sládanýh lnění modiijeme zahy odozené pro miy sin( sin( ýsledem je lnění se sejno reení sin( sin( os os( sin plaí oiž sin( ( os os os os( ( sin sin sin amplida os( sin ázoé posní an os sin os sin os 8
Inererene lnění sejné reene dále předpoládáme sejno amplid obo lnění a a os( amplida a sin os 4a os a os ázoé posní an sin sin os os os os sin ýsledné lnění a os sin( o opě roinná lna se sejno reení o amplida se mění záislosi na ázoém rozdíl rozsah 0 a o znaméno ázoého rozdíl není důležié ne osins je sdá 9
Dráhoý a ázoý rozdíl od ázoýh posní úhloýh jednoáh přejdeme posním dráhoým: mezi lnami bdiž ázoé posní liboolném časoém oamži jso body, jejihž miy na obo lnáh mají sejno ázi, zdáleny o pený dráhoý rozdíl hledáme zah mezi a (, (, (, (, sin( sin( sin sin ( 0
Dráhoý a ázoý rozdíl amplida záislosi na ázoém rozdíl os os a a onsriní inererene (maimm n n n n os os desriní inererene (minimm ( ( ( ( 0 os os n n n n
Projey inererene lnění opiá inererene na neronoměrně lsé rsě benzín maima pro různé lnoé dély zájemně posna zoé lny 340 m/s 6 Hz až 0 Hz lnoá déla / 6.5 mm až 0 m m 330 Hz oo: Cornelia Kopp sereoonní posleh zdálenos miroonů a reprodorů a 3 m zoé lny různýh reení zeslabeny nebo zesíleny záislosi na poloze poslhače
Vyžií inererene lnění sbwooer nemá směroo haraerisi hodným mísěním sbwooerů lze doíli ardiodní směroé haraerisiy pro zoleno reeni: o ybraná sřední reene 45 Hz o yziá zdálenos / 4 o zpoždění signál / 4 sbwooer přenáší reene 0 Hz až 00 Hz (3 až 7 m yladění jen pro jedn reeni 5.55 ms obráená polaria.88 m zeslabení z desriní inererení 3
Sojaé lnění ýznačný případ inererene sejné lny (podélné, příčné sejné polarizae šíříí se opačnými směry jednorozměrném případě ( ( olné paramery nasaeny a, že počáe mísě, de se lny seají čase =0 při nloé ýhyle asin( asin( asin( sin( asin( asin( os( os( sin( sin( os( os( sin( asin( asin( os( ýsledné lnění asin( os( po elé déle znino harmonié miy os( se sejno ází amplida záisí na zdálenosi od počá asin( (záporná amplida jen oáčí ázi miů je maimální, pod je nloé, pod sin( sin( (n (n (n miny 4 0 n n n zly 4 ( solad se zadáním: počá nloá amplida zel 4
Pospné lnění s. sojaé lnění pospné lnění amplida sejná e šeh bodeh áze různá lnoplohy se šíří ázoo ryhlosí může přenáše energii sojaé lnění amplida periodiy záislá na poloze bod body e zdálenosi miají e ázi body e zdálenosi / proiázi nepřenáší energii 5
Sojaé lnění odraz lnění sojaé lnění obyle zniá složením pospného lnění se sým odrazem odraz na peném oni inerae se sěno na peném oni je zel zel znine složením ýhozí a odražené lny odražená lna má opačno ázi odraz na olném oni na olném oni je mina odražená lna má sejno ázi 6
Sojaé lnění srna, píšťala jen lny rčiýh reení onsrině inererjí a přeráají yoří sojaé lnění lasní reene srna na oníh zly, na déle L elý poče půlln L n n n záladní ón L L oba one olné na oníh miny, sejný ýpoče jao pro pené one 3 dehoý násroj jeden one pený (zel, drhý olný (mina na déle L lihý poče črln L ( n n (n záladní ón 4 4L 4L n Záěr: Freene nezáisí jen na déle, ale i na ázoé ryhlosi daném prosředí, a a záisí na dalšíh paramereh sysém (napěí a maeriál srny, eploa a lhos plyn e zdhoém slopi n 7
Sojaé lnění lasní miy hledání lasníh reení lze zobeni na různé sosay (nejen mehanié přípsné reene se nazýají lasní módy sosay přílady: hění mehaniýh sosa (řídla leadel, mosy,... pohyb aoé sosay lze zoma jao sočasné ybzení něolia lasníh módů složením lasníh módů (sojaá lnění znine pospná lna hp://www.noiny.z/oejl/00957--rs-mseli-zarisedmiilomeroy-mos-pres-olh-rozmial-se.hml hp://www.aldebaran.z/zy/inde.php 8
Chladniho obraze Erns Chladni (756-87, Němeo jemný píse na ooé dese rozezníané smyčem na různýh míseh po dese se šíří lny, odrážejí se a inererjí píse se shlje zloýh oblaseh 9
Polarizae podrhé 30 složení do lnění se zájemně olmými roinami polarizae sejná ázoá ryhlos, reene a amplida, odlišná áze sin( r sin os sin os( os sin( sin os( os sin( sin( r r r r r y lze prai na obeno ronii elipsy sin os y y pro n n y ( pro ( n y ýsledem je opě polarizoaná lna lineárně, rhoě nebo elipiy
Fázoá ryhlos. Disperzní relae. něeré paramery lnění e sečnosi nebýají onsany nepředpoládáme záislos na čase a poloze amplida a ázoá ryhlos časo záisí na úhloé reeni záislos ázoé ryhlosi na reeni ( ( ( ( anizoropním prosředí může záise i na směr ( onréní ar disperzní relae ( záisí na yp lnění a lasnoseh prosředí 3
Grpoá ryhlos 3 předpoládejme záislos ázoé ryhlosi na reeni (lnoé déle, lnoč inererene harmoniýh ln s neparně odlišnými reenemi a lnočy os( os( 0 0 os( os( os( os( 0 0 zaedeme, de pa lze psá os( os( 0 ýsledem sládání je lna s průměrno reení a lnočem, jejíž amplida je modloaná rozdíloými eličinami os os os os
Grpoá ryhlos složené lnění 0 os( os( mísa sejné áze (např. rhol lny ( ( se šíří ázoo ryhlosí 0 0 / na obráz značí modrá linie poloh rhol ybrané lny s časoým odspem poloiny periody T dále idíme eloé posní rhol lny za 7 dob T 0 0 33
Grpoá ryhlos ( předp. disperzní záon d d pa lze amplid yjádři ao d 0 os( 0 os ( d d maima amplidy ( ma n n d d minima amplidy ( min n (n d minima dělí neonečno pospno ln na min min spiny (grpy ln šířy n n na obráz značí čerená linie poloh maima ybrané grpy s časoým odspem poloiny periody T dále idíme eloé posní maima grpy 7 za dob T 34
Grpoá ryhlos hledáme ryhlos grp (ž jsme zjisili, že se nepohybjí ázoo ryhlosí d nalezli jsme ( min n (n d hranie mezi grpami jso rčeny ronií min d n (n d d hranie grp (a edy i elé grpy se šíří ryhlosí g, d ero nazeme grpoá naznačený ýpoče lze zobeni na íe ln i na spojié rozložení reení g Důležié záěry: grpoá ryhlos se běžně liší od ázoé balíčy energie jednoliýh grpáh se šíří grpoo ryhlosí inormae se šíří grpoo ryhlosí nemůže přesáhno ryhlos sěla g 35
Hygensů prinip. Vlnoplohy homogenní a izoropní prosředí e šeh bodeh ázoá ryhlos ryhlos lnění yoří oli/ržnii o poloměr čelní lnoploha ploha, am se zrh daném čase rozšíří proč sdoa šíření čela lny? hoání lnění na přeážáh Hygensů-Fresnelů prinip aždý bod, am čelo lny dospěje čase, se sáá zdrojem elemenárního lnění, olem něhož se yáří elemenární loá lnoploha lnění..., jejíž aždý bod se opě sane zdrojem elemenárního sečno lnoploho čase je nější obála elemenárníh lnoploh ýsledný sa lnění je sperpozií šeh elemenárníh lnění brázda za lodí sin 36
Lom a odraz lnění záon odraz sin sin asin asin b b záon lom (Snellů záon sin sin asin asin b b sin sin Willebrord Snellis (580-66, Holandso asronom a maemai jao prní ormloal záonios (již dloho známo pomoí rigonomeriýh ní 37
Toální odraz sin sin m sin lom od olmie pro úhly ěší než m nenasane lom, lna se poze oálně odrazí Přílad: ze zdh ( = 340 m/s do ody ( = 450 m/s se lomí zoé lny, jen pod úhel dopad je menší než arsin( 340/480 330, edy éměř olmo e hladině z ze zdh pod od proniá elmi omezeně lom e olmii, do pomalejšího prosředí nasane ždy (např. z ooýh předměů do zdh 38
Dopplerů je 39 reene přijímaného lnění záisí na zájemném pohyb zdroje a pozoroaele nejpre předpoládáme, že prosředí je lid ýznačné případy: a zdroj pohybliý, pozoroael lid směrem pozoroaeli zhšění ln T z z z nímaná reene z b pozoroael pohybliý, zdroj lid ůči pozoroaeli má lnění ryhlos p nímaná reene p p
Dopplerů je 40 zdroj pohybliý, pozoroael pohybliý směrem pozoroaeli zhšění ln T Z Z Z ůči pozoroaeli má lnění ryhlos p nímaná reene Z P d pohybje se éž prosředí ryhlosí w eialenní w w Z Z P P Z P w w Př: w Z P 0 0 0 e zdroj i pozoroael pohyb pod obenými úhly Z Z P P os os w
Vyžií Doppleroa je asié lny, elmg. lny asronomie Ch.. Doppler (803 853, Raoso-Uherso barený pos e spereh dojhězd rdý pos speer galaií (Hbble radary sonary hp://www.in-poasi.z/lany/eorie/radar-srazy-6.8.04/ meeorologiý dopplerosý radar lodní sonary měření ryhlosi leadla, ponory, poliie ryhlos prodění apalin o re (průhodnos arérií, odrazy od rine o sdim ryhlosníh proilů (esoaí čásie 4
erodynamiý řes By Chabaano (Conep: Image:Comporamieno ondas.jpg [GFDL (hp://www.gn.org/opyle/dl.hml, CC-BY-S-3.0 (hp://reaieommons.org/lienses/by-sa/3.0/ or CC-BY-.5 (hp://reaieommons.org/lienses/by/.5], ia Wiimedia Commons By Ensign John Gay, U.S. Nay [Pbli domain], ia Wiimedia Commons (hp://pload.wiimedia.org/wiipedia/ommons/d/d0/f-8_horne_breaing_sond_barrier_%87_jly_999%9.jpg rázoá lna sooá změna la a hsoy, erá se šíří prosředím Mahoo číslo Ma hp://www.yobe.om/wah?=y-oxqf-tnq hp://www.yobe.om/wah?=0gwhdgm_e hp://www.yobe.om/wah?=bhbepyvzay 4