VÝPOČTOVÉ MODELOVÁNÍ MECHANICKÝCH ZKOUŠEK KOMPOZITŮ PRYŽ-OCELOVÉ VLÁKNO

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY INSTITUTE OF SOLID MECHANICS, MECHATRONICS AND BIOMECHANICS VÝPOČTOVÉ MODELOVÁNÍ MECHANICKÝCH ZKOUŠEK KOMPOZITŮ PRYŽ-OCELOVÉ VLÁKNO COMPUTATIONAL MODELLING OF MECHANICAL TESTS OF RUBBER STEEL FIBRE DIPLOMOVÁ PRÁCE DIPLOMA THESIS Dplomant: Vedoucí dplomové práce: Mlan Jarý Doc. Ing. Jří Burša, Ph.D. Brno 008

Vysoké učení techncké v Brně, Akademcký rok: 007/08 ZADANÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE student(ka): Jarý Mlan který/která studuje v magsterském studjním programu obor: Aplkovaná mechanka (390T003) Ředtel ústavu Vám v souladu se zákonem 5./998 o vysokých školách a se Studjním a zkušebním Řádem VUT v Brně určuje následující téma dplomové práce: Výpočtové modelování mechanckých zkoušek kompoztů pryž ocelové vlákno v anglckém jazyce: Computatonal modellng of mechancal tests of compostes rubber steel fbre Stručná charakterstka problematky úkolu: Práce se zabývá výpočtovým modelováním deformačně napěťových stavů vznkajících př mechanckých zkouškách kompoztů s pryžovou matrcí, a to na dvou úrovních modelu, jednak s fyzckým modelováním vláken a matrce, jednak s využtím konsttutvních modelů popsujících vlastnost kompoztu jako celku. Cíle dplomové práce: - Seznámt se s konsttutvním modely hyperelastckých zotropních a anzotropních materálů a dentfkací jejch parametrů na základě mechanckých zkoušek. - Vytvořt výpočtové modely zkušebních těles z kompoztu "pryž - ocelové vlákno" pro různá uspořádání vláken a využít je př smulac vybraných zkoušek. - Otestovat možnost modelování kompoztu s využtím homogenzace jeho vlastností a porovnat výsledky obou přístupů.

Seznam odborné lteratury:. ANSYS User manual - hyperelastcty. P. Skácel: Výpočtové a expermentální modelování deformačně napjatostních a mezních stavů elastomerů a jejch rozhraní s tuhým materály. Dsertační práce, FSI VUT BRno, 005. 3. G.A. Holzapfel: Nonlnear Sold Mechancs, Wlley and Sons, Chchester, 000. 4. Consttutve Models of Rubber, ed. Dorfmann and Muhr, Balkema, Rotterdam, 999. Vedoucí dplomové práce:doc. Ing. Jří Burša, Ph.D. Termín odevzdaní dplomové práce je stanoven časovým plánem akademckého roku 007/08. V Brně, dne 3..007 prof. Ing. Jndřch Petruška, CSc. Ředtel ústavu doc. RNDr. Mroslav Doupovec, CSc. Děkan fakulty

LICENČNÍ LOUVA POYTOVANÁ K VÝKONU PRÁVA UŽÍT ŠKOLNÍ DÍLO uzavřená mez smluvním stranam:. Pan/paní Jméno a příjmení: Mlan Jarý Bytem: Sládkova 865, 539 73 Skuteč Narozen/a (datum a místo): 3.. 983, Ústí nad Orlcí (dále jen autor ) a. Vysoké učení techncké v Brně se sídlem Techncká 896/, 66 69 Brno jejímž jménem jedná na základě písemného pověření děkanem fakulty: doc. Ing. Jří Burša, Ph.D. (dále jen nabyvatel ) Čl. Specfkace školního díla. Předmětem této smlouvy je vysokoškolská kvalfkační práce (VŠKP): dsertační práce dplomová práce bakalářská práce jná práce, jejíž druh je specfkován jako... (dále jen VŠKP nebo dílo) Název VŠKP: Výpočtové modelování mechanckých zkoušek kompoztů pryž-ocelové vlákno Vedoucí/školtel VŠKP: doc. Ing. Jří Burša, Ph.D. Ústav: Datum obhajoby VŠKP: VŠKP odevzdal autor nabyvatel v * : tštěné formě počet exemplářů: elektroncké formě počet exemplářů: * hodící se zaškrtněte

. Autor prohlašuje, že vytvořl samostatnou vlastní tvůrčí čnností dílo shora popsané a specfkované. Autor dále prohlašuje, že př zpracovávání díla se sám nedostal do rozporu s autorským zákonem a předpsy souvsejícím a že je dílo dílem původním. 3. Dílo je chráněno jako dílo dle autorského zákona v platném znění. 4. Autor potvrzuje, že lstnná a elektroncká verze díla je dentcká. Článek Udělení lcenčního oprávnění. Autor touto smlouvou poskytuje nabyvatel oprávnění (lcenc) k výkonu práva uvedené dílo nevýdělečně užít, archvovat a zpřístupnt ke studjním, výukovým a výzkumným účelům včetně pořzovaní výpsů, opsů a rozmnoženn.. Lcence je poskytována celosvětově, pro celou dobu trvání autorských a majetkových práv k dílu. 3. Autor souhlasí se zveřejněním díla v databáz přístupné v meznárodní sít hned po uzavření této smlouvy rok po uzavření této smlouvy 3 roky po uzavření této smlouvy 5 let po uzavření této smlouvy 0 let po uzavření této smlouvy (z důvodu utajení v něm obsažených nformací) 4. Nevýdělečné zveřejňování díla nabyvatelem v souladu s ustanovením 47b zákona č. / 998 Sb., v platném znění, nevyžaduje lcenc a nabyvatel je k němu povnen a oprávněn ze zákona. Článek 3 Závěrečná ustanovení. Smlouva je sepsána ve třech vyhotoveních s platností orgnálu, přčemž po jednom vyhotovení obdrží autor a nabyvatel, další vyhotovení je vloženo do VŠKP.. Vztahy mez smluvním stranam vznklé a neupravené touto smlouvou se řídí autorským zákonem, občanským zákoníkem, vysokoškolským zákonem, zákonem o archvnctví, v platném znění a popř. dalším právním předpsy. 3. Lcenční smlouva byla uzavřena na základě svobodné a pravé vůle smluvních stran, s plným porozuměním jejímu textu důsledkům, nkolv v tísn a za nápadně nevýhodných podmínek. 4. Lcenční smlouva nabývá platnost a účnnost dnem jejího podpsu oběma smluvním stranam. V Brně dne:... Nabyvatel Autor

ABSTRAKT Motvací pro realzac této dplomové práce bylo navrhnout výpočtový model vláknového kompoztu s elastomerovou matrcí a dále se pokust o homogenzac vlastností tohoto kompoztu. Práce se zabývá výpočtovým modelováním deformačně napěťových stavů vznkajících př mechanckých zkouškách kompoztů. Kompozty, které jsou použty př mechanckých zkouškách, jsou složeny z hyperelastcké pryžové matrce a z ocelových výztužných vláken. Výpočtové modelování je uskutečněno na dvou úrovních modelu. Jednak s fyzckým modelováním vláken a matrce a jednak s využtím homogenzace vlastností, tj. konsttutvních modelů popsujících vlastnost kompoztu jako celku. To znamená, že vlastnost vláken jsou matematckou formulací konsttutvního modelu zahrnuty v měrné energ napjatost (hustota deformační energe). Dále se práce zabývá výpočtovým modelováním mechanckých zkoušek hyperelastckých zotropních materálů, které slouží k dentfkac jejch materálových parametrů a k ověření správného výběru konsttutvního modelu materálu, jenž ho popsuje. Pro konkrétní hyperelastcký materál jsou provedeny smulace pro zkoušku jednoosým tahem, dvouosým tahem, jednoosým tlakem, dvouosým tlakem, smykem, jednoosým tahem se zabráněnou příčnou deformací. Mechancké parametry byly určeny z expermentálních dat, které sloužly jako data vstupní. Ověření modelu materálu bylo provedeno porovnáním dat získaných z expermentů a výsledků smulace daných mechanckých zkoušek pomocí MKP v systému Ansys. Takto ověřený konsttutvní model materálu byl použt pro pops matrce v deformačně napěťových modelech mechanckých zkoušek kompoztního materálu a výsledky byly porovnávány s expermentálním daty. Cíle, kterých má být dosaženo, jsou následující: Seznámt se s konsttutvním modely hyperelastckých zotropních a anzotropních materálů a dentfkací jejch parametrů na základě mechanckých zkoušek. Vytvořt výpočtové modely zkušebních těles z kompoztu "pryž - ocelové vlákno" pro různá uspořádání vláken a využít je př smulac vybraných zkoušek. Otestovat možnost modelování kompoztu s využtím homogenzace jeho vlastností a porovnat výsledky obou přístupů.

Výsledky, kterých bylo dosaženo: Byly vytvořeny výpočtové modely s namodelovaným vlákny, jejchž deformačně napěťové charakterstky se kvaltatvně shodují s expermentem a kvanttatvní rozdíl je 0% až 40% (vz.(4.3)). Dále byla úspěšně provedena homogenzace vlastností výpočtového modelu s namodelovaným vlákny (vz.(4.4)). Klíčová slova: hyperelastcta, elastomer, metoda konečných prvků, kompoztní materál, homogenzace vlastností kompoztu

ABSTRACT Ths dploma thess focuses on realzaton of a computatonal model of fbre composte wth elastomer matrx and on homogenzaton of propertes of ths composte. The work deals wth computatonal modellng of stran-stress states whch arse n mechancal tests of compostes. The compostes nvestgated by mechancal tests comprse of hyperelastc rubber matrx and steel renforcng fbres. Computatonal modellng s carred out at two levels of the model. Frst, wth three-dmensonal modellng of fbres and matrx as two dfferent materals and, second, usng a homogenzed model of composte; ths consttutve model descrbes the composte as a homogeneous ansotropc materal. It means that propertes of fbres are encompassed nto stran energy densty by the mathematcal formulaton of the consttutve model. Further, the work deals wth computatonal modellng of mechancal tests of hyperelastc sotropc materals used for dentfcaton of ther materal parameters and for verfcaton of the selected consttutve model of materal. For partcular hyperelastc materal, smulatons of tests were carred out, namely of unaxal tenson, baxal tenson, unaxal compresson, baxal compresson, pure shear and unaxal tenson wth constraned transversal stran (planar tenson). Parameters of the consttutve model were determned of expermental nput data. Verfcaton of the consttutve model was carred out by comparson of the data acqured by experments wth the results of smulatons of mechancal tests n FE program system Ansys. Then the authentc consttutve model of materal was used for descrpton of matrx behavour n models of mechancal tests of composte materal and results were compared wth expermental data. Prncpal objectves whch I want to attan are followng: to acquant wth the consttutve models of hyperelastc sotropc and ansotropc materals and dentfcaton of ther perameters on base of mechancal tests. to create computatonal models of testng specmens of composte rubber steel fbre for dfferent fbre arrangements and to use the created computatonal models n smulatons of chosen tests.

to test the possbltes of computatonal modellng of compostes wth applcaton of homogenzed propertes and to compare the results of both approaches. Results whch were attaned: the computatonal models were created wth the fbres modelled; the stran stress characterstcs are qualtatvely correspondng to experments, and quanttatve dfference s 0% - 40% (see (4.3)). the computatonal models based on homogenzaton of propertes were tested and gave results correspondng to the models wth modelled fbres (see (4.4)) wth a good accuracy. Keywords: hyperelastcty, elastomer, fnal elements method, bult-up materal, homogenzaton of attrbutes composte

JARÝ, M. Výpočtové modelování mechanckých zkoušek kompoztů pryž - ocelové vlákno. Brno: Vysoké učení techncké v Brně,, 008. 88 s. Vedoucí dplomové práce doc. Ing. Jří Burša, Ph.D.

ČESTNÉ PROHLÁŠENÍ Tímto prohlašuj, že předloženou dplomovou prác jsem vypracoval samostatně pod vedením svého vedoucího dplomové práce Doc. Ing. Jřího Burš, Ph.D. a na základě uvedené lteratury. V Brně dne. 5. 008... Mlan Jarý

PODĚKOVÁNÍ Rád bych tímto způsobem velce poděkoval svému vedoucímu dplomové práce Doc. Ing. Jřímu Buršov, Ph.D. za významnou pomoc, kterou m poskytl př vytváření a psaní této dplomové práce. Dále bych chtěl poděkovat zaměstnancům Ústavu mechanky těles, mechatronky FSI VUT v Brně, kteří m vždy ochotně pomohl a vytvářel přátelskou atmosféru. V neposlední řadě mnohokrát děkuj svým rodčům za jejch podporu, bez které by tato práce nemohla vznknout.

OBSAH ÚVOD... 7. Cíle práce... 8 POPIS PROBLÉMOVÉ SITUACE A FORMULACE PROBLÉMU... 9 3 VYBRANÉ STATĚ Z NELINEÁRNÍ MECHANIKY KONTINUA, MECHANIKA KOMPOZITŮ... 0 3. Tenzory popsující stav deformace v bodě tělesa... 3. Tenzory popsující napjatost v bodě tělesa... 5 3.3 Vymezení hyperelastckých materálů... 8 3.4 Zadávání vlastností hyperelastckých materálů v systémech MKP... 33 3.5 Deformačně napěťové chování elastomerů... 36 3.6 Techncké kompozty lneárně elastcké... 37 3.7 Techncké kompozty s hyperelastckou matrcí... 38 4 REALIZACE PROCESU ŘEŠENÍ A ANALÝZA VÝSLEDKŮ... 39 4. Testovací úlohy hyperelastckého materálu... 4 4. Tvorba výpočtového modelu... 58 4.3 Smulace mechanckých zkoušek... 73 4.4 Homogenzace vlastností zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu... 8 5 ZÁVĚR... 87 6 LITERATURA... 88 Dplomová práce - 3 - Mlan Jarý

SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK A SYMBOLŮ λ dx / dx [-](,,3) poměrné protažení ve směru λ 3 S J [-] střední poměrné protažení ε l / l 0 λ ; ε [-] normálové přetvoření nženýrské nebol smluvní ve směru ε (,,3) [-] hlavní přetvoření ve směru, pro která platí ε ε ε 3 ε C [-] poměrné přetvoření kompoztu HOM ε [Pa] smluvní homogenzované přetvoření kompoztu γ j [-] úhlové přetvoření zkos (změna pravého úhlu) γ LT [-] úhlové přetvoření v rovně rovnoběžné s podélným směrem dx [m] deformovaný rozměr elementárního prvku ve směru dx [m] nedeformovaný rozměr elementárního prvku ve směru S ef [m ] efektvní přůřez kompoztu S mn [m ] mnmální příčný přůřez kompoztu S max [m ] maxmální příčný přůřez kompoztu k [-] součntel zohledňující jný příčný přůřez kompoztu se zuby L T směr Longtudnální podélný (ve směru vláken) směr Transverzální příčný (kolmo na směr vláken) α [ ] úhel odklonu vlákna od podélného směru vzorku kompoztu L E j [-] Green-Lagrangeův tenzor konečných přetvoření A E j [-] Almansho tenzor konečných přetvoření C E ; ε ln [-] Cauchyho (logarmcký) tenzor konečných deformací F j [-] tenzor deformačního gradentu Dplomová práce - 4 - Mlan Jarý

C j [-] Cauchy-Greenův tenzor deformace C [-] Cauchy-Greenův tenzor deformace v hlavním s.s. t j ; [Pa] napětí skutečné (složka Cauchyho tenzoru napětí) t τ k ; [Pa] napětí smluvní (složka Pola-Krchhoffova tenzoru napětí. druhu) S j [Pa] složka Pola-Krchhoffova tenzoru napětí. druhu (,,3) [Pa] hlavní napětí ve směru, pro která platí 3 τ j [Pa] smykové napětí crt unax [Pa] mezní napětí pevnost př jednoosé napjatost crt equbax [Pa] mezní napětí pevnost př rovnoměrné dvouosé napjatost crt trax [Pa] mezní napětí pevnost př trojosé napjatost HOM [Pa] smluvní homogenzované napětí kompoztu Fz [N] reakční síla kompoztu v podélném směru vzorku W [Jm -3 ] hustota deformační energe, měrná energe napjatost W so [Jm -3 ] zotropní složka hustoty deformační energe W anso [Jm -3 ] anzotropní složka hustoty deformační energe W d [Jm -3 ] devátorová složka hustoty deformační energe W v [Jm -3 ] objemová složka hustoty deformační energe G [Pa] modul pružnost ve smyku c j [Pa] modul pružnost ve smyku u polynomckého modelu µ [-] Possonovo číslo µ LT [-] Possonovo číslo v rovně rovnoběžné s podélným směrem K [Pa] objemový modul pružnost Dplomová práce - 5 - Mlan Jarý

E [Pa] modul pružnost v tahu E m, E f [Pa] modul pružnost v tahu pro matrc (ndex m), vlákna (ndex f) E ( L, T) [Pa] modul pružnost v tahu ortotropního materálu ve směru v m, v f [-] objemový podíl matrce (ndex m), vláken (ndex f) v kompoztu d [Pa - ] parametr nestlačtelnost materálu, daný vztahem d/k e [-] poměrná změna objemu c 0,c 0 [Pa] materálové parametry Mooney-Rvlnova modelu c j, d k [Pa] materálové parametry Polynomckého modelu µ,α, d [Pa] materálové parametry Ogdenova modelu p p p λ L, µ [Pa] materálové parametry modelu Arruda-Boyce k [Pa] materálový parametr Holzapfelova modelu vyjadřující tuhost k [-] materálový parametr Holzapfelova modelu vyjadřující progresvtu zpevnění, tvar exponencální křvky d, a, b j, ck, dl, em, fm, g materálové parametry anzotropního Polynomckého modelu 0 [C] matce elastckých parametrů I, I [-] nvaranty pravého Cauchy-Greenova tenzoru deformace I, 3 I 4, I 6 [-] nvaranty pravého Cauchy-Greenova tenzoru deformace vyjadřující protažení první a druhé osnovy vláken v I, I, I 4, I 5, I 6, I 7, I 8 [-] modfkované (pouze devátorová složka deformace) nvaranty pravého Cauchy-Greenova tenzoru deformace J [-] třetí nvarant tenzoru deformačního gradentu A [-] směrový tenzor první osnovy vláken B [-] směrový tenzor druhé osnovy vláken δ [%] odchylka konsttutvního modelu λ Dplomová práce - 6 - Mlan Jarý

ÚVOD Kompozty jsou materály složené z několka komponent s výrazně odlšným vlastnostm a různým uspořádáním a tvarem. Techncké konstrukční kompozty a především vláknové kompozty se vyznačují řádovým rozdíly elastckých parametrů, dále rozměry matrce vůč průměru výstužných vláken. Kompozty, které jsou používány v oblast malých deformací, jsou obvykle lneárně elastcké a jejch pops je poměrně dobře propracovaný (vz. [5]). Naprot tomu v konstrukc pneumatk jsou využívané kompoztní materály v oblast velkých a tudíž nelneárních deformací. Materál matrce, pryž, vykazuje výrazně nelneární chování, jde o matrc z hyperelastckého materálu (vz. [], [3], [6]), který je schopen dosahovat velkých elastckých deformací. Pryž je vulkanzovaný elastomer charakterzovaný zejména dvěma podstatným vlastnostm. První z nch je velm malá stlačtelnost a druhou z vlastností je, schopnost pryže dosáhnout značných poměrných protažení než dojde k porušení. Konkrétní hodnoty maxmálních možných poměrných protažení jsou okolo 800%. Co se týče problematky výztužných vláken, tak ta mohou být ocelová, spřádaná z ntí, uhlíková. Jednotlvé druhy vláken se používají u pneumatk, pneumatcké válcové pružny, nosné prvky letadel. Z toho vyplývá, že kompozt s hyperelastckou matrcí a ocelovým vlákny je značně nehomogenní strukturou. Tento fakt praktcky znemožňuje detalní zohlednění struktury materálu ve výpočtových modelech v MKP, z důvodu velm vysokého počtu prvků popsujících zkoumané kontnuum. Skutečnost nehomogenty materálu vede k nutné homogenzac vlastností materálu. Toto je také jedena z hlavních motvací pro tvorbu mé dplomové práce. V této prác se zabývám vytvořením výpočtových modelů kompoztů, které by věrně popsovaly reálné chování kompoztů př mechanckých zkouškách. V první řadě je nutné dentfkovat konsttutvní model samotné hyperelastcké pryžové matrce s expermentálně naměřeným daty. Takto ověřený konsttutvní model matrce je aplkován do výpočtového modelu konkrétního kompoztu s hyperelastckou matrcí. Na tomto kompoztu s namodelovaným vlákny se provedou příslušné smulace mechanckých zkoušek a takto získané výsledky se porovnají s expermentálně naměřeným daty kompoztů. Tím se ověří věrohodnost kompoztu s vlákny, který bude dále sloužt pro ověření věrohodnost homogenzovaného kompoztu, jž bez namodelovaných vláken. Dplomová práce - 7 - Mlan Jarý

. CÍLE PRÁCE Cílem práce je seznámt se s konsttutvním modely hyperelastckých zotropních a anzotropních materálů a dentfkací jejch parametrů na základě mechanckých zkoušek. Dále vytvoření výpočtových modelů kompoztů s hyperelastckou matrcí pro různá uspořádání vláken a to na dvou úrovních modelu. Nejprve vytvořt výpočtový model 3D kompoztu s namodelovaným vlákny a porovnat s expermentálním hodnotam měřených kompoztů. Tímto způsobem se verfkují výsledky smulací 3D kompoztu s namodelovaným vlákny na určté požadované rozlšovací úrovn. Druhá úroveň výpočtového modelu je taková, že se jž nemodelují vlákna, ale použje se konsttutvní model materálu s možností modelování kompoztu s využtím homogenzace jeho vlastností. Jedná se o dva konsttutvní modely materálu. Prvním z nch je Holzapfelův anzotropní model (vz. [3]) prortně využíván ve výpočtovém modelování bologckých měkkých tkání, ale podle předpokladů by měl být využtelný př modelování technckých kompoztů s hyperelastckou pryžovou matrcí. Druhým je polynomcký anzotropní model, který je přímo mplementován v programovém systému Ansys (vz. []). Cílem použtí těchto konsttutvních modelů materálu je homogenzace vlastností a tím dosažení menšího počtu prvků a výrazně nžších výpočtových časů. Pro ověření těchto výpočtových modelů se použjí jž ověřené výpočtové modely s vlákny. Úroveň nynějších výpočtových modelů je ve stádu, kdy se ještě musí modelovat vlákna, ale díky hyperelastckým anzotropním modelům materálu je do budoucna možné počítat s vysokou úrovní homogenzace výpočtových modelů kompoztů. Holzapfelův konsttutvní model materálu dosud není v Ansysu mplementován, ovšem nyní je snaha jej do Ansysu mplementovat. Z těchto faktů vyplývá, že bez kooperace šršího týmu by vznk této dplomové práce nebyl možný. Dplomová práce - 8 - Mlan Jarý

POPIS PROBLÉMOVÉ SITUACE A FORMULACE PROBLÉMU. POPIS PROBLÉMOVÉ SITUACE Současné výpočtové modely jsou na úrovn, kdy je ještě nutné fyzcky modelovat výstužná vlákna, avšak je majortní snaha nahradt tato řešení výpočtovým modelem, který by homogenzoval vlastnost kompoztu. Kompozty jsou pro výpočtové modelování značně nehomogenním materálem. Nehomogenta kompoztu je způsobena jeho strukturou. Kompozt je složen z pryžové matrce a ocelových výztužných vláken. Spojením těchto dvou materálů značně rozdílných vlastností vznká nehomogenta ve smyslu ocelová vlákna verzus hyperelastcká pryžová matrce. Soudobé výpočtové modely, které obsahují namodelovaná vlákna, jsou z hledska popsu struktury velce náročné a to z důvodu vysokého počtu prvků popsujících zkoumaný objekt. Stávající výpočetní technka by v tomto případě nezvládla vyřešt zkoumaný objekt, například pneumatku, v reálných výpočtových časech. Možnost jak zjednodušt řešení výpočtového modelu s namodelovaným vlákny je taková, že provedu homogenzac vlastností kompoztu pomocí konsttutvního modelu materálu. Tyto konsttutvní modely materálu popsují vlastnost kompoztu jako celku. Pro praktcké výpočtové modelování to znamená, že jž nemusíme modelovat výztužná vlákna, ale vymodelujeme pouze geometr vzorku z homogenního materálu. Vlastnost výztužných vláken jsou zahrnuty přímo v konsttutvních modelech. Tímto docílíme výrazně nžšího počtu prvků popsujících dskretzované kontnuum a tím mnohonásobně kratších výpočtových časů. Dále by tento konsttutvní model materálu vedl k výpočtovému modelování na vyšší rozlšovací úrovn.. FORMULACE A ANALÝZA PROBLÉMU Z analýzy problémové stuace jednoznačně vyplývá formulace problému: Provést výpočtové modelování deformačně napěťových stavů vznkajících př mechanckých Dplomová práce - 9 - Mlan Jarý

zkouškách kompoztů s pryžovou matrcí, a to na dvou úrovních modelu, jednak s fyzckým modelováním vláken a matrce, jednak s využtím konsttutvních modelů popsujících homogenzované vlastnost kompoztu jako celku. Jelkož je známa geometre, vazby, zatížení, vlastnost objektu, označl bych můj problém jako PŘÍMÝ. 3 VYBRANÉ STATĚ Z NELINEÁRNÍ MECHANIKY KONTINUA, MECHANIKA KOMPOZITŮ K popsu pohybu kontnua př velkých (konečných) deformacích musí být známo ke každému bodu tělesa zobrazení mez výchozím a koncovým stavem > vektorové pole posuvů. x, (0) -nedeformovaná souřadnce, déle jen (X) x, (t) -deformovaná souřadnce, déle jen (x) P(0) výchozí poloha P(t) výsledná poloha v čase (t) u přemístění bodu P ve směru Obr. : Vektorové pole posuvů Dplomová práce - 0 - Mlan Jarý

Termínem konečné deformace (fnte stran) označujeme přetvoření, která na rozdíl od klascké teore pružnost nejsou nekonečně malá (nfntezmální). V praktckém použtí lze teore založené na předpokladu malých (nfntezmálních, tedy nekonečně malých) přetvoření používat, pokud přetvoření nepřesáhnou cca %. V opačném případě je třeba používat teore konečných (rozumí se konečně malých, tedy vlastně velkých) přetvoření (vz. [6]). Exstují dva přístupy popsu velkých deformací kontnua. Lší se tím, kterou konfgurac tělesa považuj za výchozí, jestl v čase t 0 (X) nebo t t (x). 3. TENZORY POPISUJÍCÍ STAV DEFORMACE V BODĚ TĚLESA A) Pro malé deformace Smluvní přetvoření B) Pro velké deformace Green-Lagrangeův tenzor konečných přetvoření Almansho tenzor konečných přetvoření Cauchyho (logartmcký) tenzor konečných deformací Tenzor deformačního gradentu Cauchy-Greenův tenzor deformace (pravý a levý) A) PRO MALÉ DEFORMACE ) Smluvní přetvoření u v ε x, ε y, ε z X Y w Z () v u v w γ xy +, γ yz +, γ X Y Z Y xz u Z w + X () Dplomová práce - - Mlan Jarý

Dplomová práce - - Mlan Jarý Vzhledem k tomu, že složkam tenzoru přetvoření jsou polovční zkosy, lze napsat obecný tenzorový vztah + j j j X u X u ε kde souřadncím x,y,z odpovídají x a posuvům u,v,w posuvy u (pro,,3). B) PRO VELKÉ DEFORMACE ) Green-Lagrangeův tenzor konečných přetvoření Přetvoření (poměrná deformace) je vztažena k původním (nedeformovaným) rozměrům t 0 (X), ale je respektováno natáčení elementu. + + + X w X v X u X u E L x + + + Y w Y v Y u Y v E L y + + + Z w Z v Z u Z w E L z + + k j k j j L j X u X u X u X u E ) Almansho tenzor konečných přetvoření Podle Almansho se poměrné přetvoření vztahuje ke konečným (deformovaným) rozměrům. Pak délkové přetvoření lze vyjádřt obecným tenzorovým zápsem ve tvaru: + k j k j j A j x u x u x u x u E Praktcké použtí tohoto tenzoru je omezeno tím, že konečné (deformované) souřadnce obvykle předem neznáme. (3) (4) (5) (6) (7) (8)

3) Cauchyho (logarmcký) tenzor konečných deformací Cauchyho defnce přetvoření je exaktnější v tom, že nfntezmální přírůstek délky vztahuje vždy k aktuální délce v daném stadu zatěžovacího procesu. Přetvoření úsečky o původní délce X (0), která se vlvem zatížení mění na aktuální hodnotu x, až dosáhne konečné (deformované) délky x (k), určíme ntegrací přírůstků její délky dx. E C x k dx x X 0 x X xk k [ ln x] X ln xk ln X 0 ln ln 0 0 λ (9) Hlavní souřadnce tohoto tenzoru jsou tedy rovny přrozeným logartmům odpovídajícím poměrným protažením λ. 4) Tenzor deformačního gradentu Složkam tenzoru deformačního gradentu F jsou poměrná protažení: x y z λ x, λy, λz X Y Z x λ j X j (0) () x x x X X X 3 x x x F () X X X 3 x3 x3 x3 X X X 3 Třetí nvarant tenzoru deformačního gradentu je dán determnantem této matce F, který lze nejsnáze určt z hlavních hodnot poměrných protažení pomocí vztahu: J λ λ λ3 (3) Třetí nvarant J tenzoru deformačního gradentu F udává poměrnou objemovou změnu elementu, jak plyne z následujícího vztahu: Vdef Vnedef dx dy dz dx dy dz x y z e λ λ λ3 J V dx dy dz X Y Z nedef (4) Dplomová práce - 3 - Mlan Jarý

Všechny dosud odvozené tenzory je možno vyjádřt po jeho polární dekompozc. Jako každý tenzor lze tenzor deformačního gradentu tedy rozložt na část kulovou (změna objemu) a devátorovou (změna tvaru). Kulovou část určuje střední poměrné protažení, dané 3 vztahem: λ 3 λ λ λ (5) s 3 J 5) Cauchy-Greenův tenzor deformace V tomto případě se nepracuje s přetvořením, ale s poměrným protažením, obdobně jako u tenzoru deformačního gradentu. Z něho se odvozuje pomocí následujících vztahů: C C R L F T F F F T (6) (7) Například pravý Cauchy-Greenův tenzor deformace lze složkově zapsat následovně (s využtím Enstenova sčítacího pravdla): C j F k F kj (8) Hlavním souřadncem tohoto tenzoru jsou tedy kvadráty poměrných protažení v hlavních směrech vz. vzorec (9). λ C 0 0 0 λ 0 0 0 λ 3 (9) Invaranty Cauchy-Greenova tenzoru deformace lze vyjádřt v hlavním souřadném systému takto: I I λ + λ + λ3 λ λ + λλ3 + λ3λ (0) () I 3 3 λ λλ3 J () VZÁJEMNÉ PŘEPOČTOVÉ VZTAHY PRO TENZORY PŘETVOŘENÍ Nejvhodnější pro vzájemný přepočet tenzorů přetvoření jsou poměrná protažení λ Dplomová práce - 4 - Mlan Jarý

Dplomová práce - 5 - Mlan Jarý, což jsou složky tenzoru deformačního gradentu. Pro jednoduchost jsou přepočty vyjádřeny v hlavním souřadném systému: λ ε ( ) ( ) + + L X u X u E λ λ λ ( ) ( ) A x u x u E λ λ λ C E λ ln Všechny výše uvedené vztahy jsem čerpal z lteratury (vz. [6]) 3. TENZORY POPISUJÍCÍ NAPJATOST V BODĚ TĚLESA Cauchyho tenzor napětí Pola-Krchhoffův tenzor napětí. druhu Pola-Krchhoffův tenzor napětí. druhu Obr. : Elementární prvek (3) (4) (5) (6)

) Cauchyho tenzor napětí Cauchyho (Eulerův) tenzor napětí, představuje skutečná napětí. Je defnován jako skutečná elementární síla v čase (tt) vztažená na skutečnou (deformovanou) plochu elementu v čase (tt) dle následujících vztahů: t j df ds t t j (7) df dx dx j k (8) ) Pola-Krchhoffův tenzor napětí. druhu. Pola-Krchhoffův (Lagrangeův nebo Polův) tenzor napětí, představuje smluvní napětí. Je defnován jako skutečná elementární síla v čase (tt) vztažená na původní (nedeformovanou) plochu elementu v čase (t0) dle následujících vztahů: τ t k df ds t 0 k (9) df τ dx dx j k (30) 3) Pola-Krchhoffův tenzor napětí. druhu. Pola-Krchhoffův (Krchhofův) tenzor napětí, je defnován jako elementární síla df 0 vztažená na původní (nedeformovanou) plochu. Tato síla je však př přenášení na původní element změněna oprot skutečné síle df stejným poměrem jako elementární rozměr v odpovídajícím směru. Ten se mění př zatížení podle vztahu: dx x X dx respektve dx dx X x (3) Obdobně se podle těchto vztahů transformuje elementární síla: df X df 0 Transformace elementární síly v odpovídajícím směru x (3) Dplomová práce - 6 - Mlan Jarý

S df dx dx 0 j k (33). Pola-Krchhoffův tenzor napětí nemá jasně defnovaný fyzkální význam, používá se proto, že je pro velká přetvoření symetrcký a energetcky konjugovaný s Green- Lagrangeovým tenzorem přetvoření. VZÁJEMNÉ PŘEPOČTOVÉ VZTAHY PRO TENZORY NAPĚTÍ Nejvhodnější pro vzájemný přepočet tenzorů napětí jsou poměrná protažení λ, což jsou složky tenzoru deformačního gradentu. Pro jednoduchost jsou přepočty vyjádřeny v hlavním souřadném systému: df df τ Cauchy napětí pomocí.p.k dx j dxk λ j dx j λk dx k λ j λk (34) τ τ λ Pro nestlačtelný materál platí λ λ j λk λ j λk (35) S df dx j X df 0 x τ dx k dx j dx k λ.pola-krchhof (36) τ λ S Cauchy napětí pomocí.p.k λ j λk λ j λk (37) τ τ λ λ S Pro nestlačtelný materál platí λ λ j λk λ j λk (38) Všechny výše uvedené vztahy jsem čerpal z lteratury (vz. [6]). ENERGETICKY KONJUGOVANÉ TENZORY Proto, aby byla správně (jednoznačně) určena energe napjatost je nutné pracovat se vzájemně s odpovídajícím tenzory napětí a přetvoření. Tyto příslušné odpovídající s dvojce tenzorů se nazývají energetcky konjugované. Jsou to tedy vzájemně přřazené dvojce tenzorů napětí a přetvoření, jejchž vzájemnou kombnací lze dostat energ napjatost. Např: Green-Lagrangeův tenzor přetvoření a. Pola-Krchhoffův tenzor napětí Dplomová práce - 7 - Mlan Jarý

3.3 VYMEZENÍ HYPERELASTICKÝCH MATERIÁLŮ 3.3. DEFINICE HYPERELASTICKÉHO MATERIÁLU Pod pojmem hyperelastcký materál s můžeme pro názornost představt například elastomer nebo vulkanzovaný elastomer (pryž), který vykazuje konečná (tj. velká) vratná přetvoření. Materál nazýváme hyperelastckým, pokud exstuje elastcká potencální funkce W (měrná deformační energe), která je skalární funkcí některého z tenzorů přetvoření, resp. deformace a jejíž dervace podle některé složky přetvoření pak určuje odpovídající složku napětí. Tuto defnc lze vyjádřt následovně: S j W E j (39) Hystereze je v deálních hyperelastckých materálech malá a zanedbatelná. Skutečnost, že hyperelastcký materál vykazuje velká vratná přetvoření je dána vlastnostm a druhem materálu. Youngův modul pružnost, vystupující v Hookově zákoně, proto platí jen pro velm krátké počáteční lneární oblast, kde dochází k malým přetvořením. Takto získaný modul pružnost pryže je jen až 0 Mpa. Pryž je charakterzována zejména dvěma podstatným vlastnostm. První z nch je velm malá stlačtelnost a druhou z vlastností je, schopnost pryže dosáhnout značných poměrných protažení, až 800%, než dojde k porušení. U hyperelastckých konsttutvních modelů, stějně jako u všech ostatních je třeba odděleně modelovat objemovou (kulovou) a tvarovou (devátorovou) složku deformace. Z tohoto důvodu sestávají konsttutvní modely ze dvou částí. Vlv změny objemu na energ napjatost popsují nejčastěj třetím nvarantem tenzoru gradentu deformace J a konstantou popsující objemovou změnu (objemový modul pružnost nebo parametr nestlačtelnost materálu). Kromě pěnových gum je změna objemu malá oprot změně tvaru a většnou vystačíme s jejím lneárním popsem. Vlv tvarové změny se popsuje nejčastěj pomocí modfkovaných nvarantů některého z tenzorů přetvoření. Modfkace má za cíl právě oddělení tvarové změny (devátorové složky tenzoru) od změny objemové (kulová složka tenzoru). Některé předešlé dále uvedené vztahy a tvrzení jsem čerpal z lteratury (vz. [6]). Dplomová práce - 8 - Mlan Jarý

ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ HYPERELASTICKÝCH MATERIÁLŮ Pozn.: Jestlže se pohybujeme v elastckých deformacích, pak termíny měrná energe napjatost hustota deformační energe jsou totožné. Proto dále pro velčnu W budu používat termín HUSTOTA DEFORMAČNÍ ENERGIE. 3.3. KONSTITUTIVNÍ MODELY HYPERELASTICKÝCH MATERIÁLŮ A) Izotropní nestlačtelné materál má ve všech směrech stejné vlastnost Neo-Hooke Mooney-Rvln Polynomcký Ogden Arruda-Boyce B) Anzotropní materál nemá ve všech směrech stejné vlastnost Holzapfel Polynomcký Exponencální (Fung) Dplomová práce - 9 - Mlan Jarý

Konsttutvní modely hyperelastckých materálů můžeme nterpretovat buď jako fenomenologcké (Ogden, Mooney-Rvln), jenž aproxmují expermentální data matematcky pomocí polynomů a exponencálních funkcí, které neberou ohled na fyzkální podstatu materálu, anebo jako nefenomenologcké (Arruda-Boyce) nebo také strukturní, které v sobě jž zahrnují fyzkální podstatu chování materálu. A) Izotropní nestlačtelné ) Model Neo-Hooke V tomto modelu je hustota deformační energe dána vztahem: ( I 3) + ( ) G W J d S ohledem na to, že tvarová změna je u tohoto modelu popsána jednou elastckou konstantou, je tento model použtelný do cca 50% přetvoření, kdy nelnearta není přílš výrazná. Tento konsttutvní model je robustní vůč chybě způsobené absencí expermentálních dat. ) Model Mooney-Rvln Tento konsttutvní model je modfkován ve více varantách a to, 3, 5 a 9 parametrcký. Všechny varanty Mooney-Rvlnova modelu fungují na stejném prncpu, jen s tím rozdílem, že se mění počet materálových parametrů. Pro názornost použj k vysvětlení parametrcký Mooney-Rvlnův model. V tomto modelu je hustota deformační energe dána vztahem: (40) W ( I 3) + c ( I 3) + ( ) c J d 0 0 (4) Tento model je použtelný do cca 00% přetvoření, pokud křvka přetvoření-napětí nevykazuje nflex. Mooney-Rvln 5 parametrcký je použtelný tehdy, když křvka přetvoření-napětí vykazuje nflex. Mooney-Rvln 9 parametrcký je použtelný pro komplkované tvary křvek přetvořenínapětí. Dplomová práce - 30 - Mlan Jarý

3) Model Polynomcký Tento model je zobecněním modelů Mooney-Rvln.V tomto modelu je hustota deformační energe dána vztahem: W N j + j M j ( I 3)( I 3) + ( J ) k c d k k (4) Pro M a N,,3 obdržíme jednotlvé modely Mooney-Rvln. U těchto modelů je počáteční modul pružnost ve smyku G ( c + c ). 0 0 (43) 4) Model Ogden Tento konsttutvní model je schopen popsat deformace řádově až do 700 % přetvoření. Naprot tomu vyžaduje důsledné zadání expermentálních materálových dat, tzn. jestlže nezadáme všechny potřebné expermentální zkoušky výsledky mohou být zkreslené, nevěrohodné. Tento konsttutvní model není tak robustní vůč chybě způsobené absencí expermentálních dat. V tomto modelu je hustota deformační energe dána vztahem: W µ N α p α p α p ( λ ) ( J ) p + λ + λ3 3 + N p p α p p d p (44) Pro N a αp dostaneme model Neo-Hooke. U obecného Ogdenova modelu je počáteční modul pružnost ve smyku 5) Model Arruda-Boyce G N p α µ. p p (45) Všechny předchozí modely byly z hledska popsu chování materálu ryze fenomenologcké. Naprot tomu model Arruda-Boyce vychází ze struktury materálu a zavádí v hustotě deformační energe mezní protažení strukturních řetezců λ L. 3 9 4 59 5 J ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I + I + I + I + I + 3 9 7 8 43 ln 4 6 8 0λ d L 050λL 7000λL 6737507000λL W G J... (46) Pro λ L dostaneme model Neo-Hooke. Dplomová práce - 3 - Mlan Jarý

Obr. 3: Porovnání konsttutvních modelů hyperelastckého materálu Výše uvedená deformačně napěťová charakterstka (vz. Obr. 3) je výsledkem smulace zkoušky jednoosým tahem. V grafu (vz. Obr. 3) je znázorněna schopnost jednotlvých konsttutvních modelů, co nejlépe aproxmovat naměřené expermentální výsledky. B) Anzotropní Tyto modely jsou založeny na znalost struktury materálu, odvozené pro materál zotropní hyperelastcký. Dále tyto modely nerespektují stochastčnost, ale jsou popsány determnstcky. Vyjádřeny mohou být buď pomocí exponencální funkce nebo polynomem. ) Holzapfel model Holzapfelův konsttutvní model materálu obsahuje jednak zotropní složku hustoty deformační energe, která je totožná s Neo-Hookem a jednak anzotropní složku hustoty deformační energe, kde je konkrétně použta exponencální funkce. Anzotropní složka hustoty deformační energe zde představuje mechancké vlastnost a chování výstužných vláken. Dplomová práce - 3 - Mlan Jarý

Dplomová práce - 33 - Mlan Jarý V tomto modelu je hustota deformační energe dána vztahem: Wanso Wv Wd Wanso Wso W + + + ( ) ( ) ( ) + + 4,6 ) ( 3 I k e k k J d I c W 0 0 0 0 sn cos sn 0 cos sn cos : 0 0 0 0 0 0 : 3 4 α α α α α α λ λ λ A C I 0 0 0 0 sn cos sn 0 cos sn cos : 0 0 0 0 0 0 : 3 6 β β β β β β λ λ λ B C I ) Polynomcký model Polynomcký konsttutvní model materálu taktéž obsahuje zotropní složku hustoty deformační energe, která je totožná s Neo-Hookem a dále také anzotropní složku hustoty deformační energe. Anzotropní složka Wanso zde představuje chování výztužných vláken. Hustota deformační energe dána vztahem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o n n n m m m l l l k k k j j j I g I f I e I d I c I b I a J d W 3 3 8 6 7 6 6 6 5 6 4 6 3 3 + + + + + + +... (5) o n m l k j g f e d c b a,,,,,, - jsou matrálové parametry 3.4 ZADÁVÁNÍ VLASTNOSTÍ HYPERELASTICKÝCH MATERIÁLŮ V SYSTÉMECH MKP V současné době exstují dva základní přístupy, jak zadávat vlastnost hyperelastckého materálu do programových systémů MKP: ) Prvním ze způsobů je zadání expermentálních závslostí napětí-přetvoření. Pomocí takto zadaných dat program vypočítá materálové parametry nám zvoleného konsttutvního modelu. Výběr vhodného konsttutvního modelu je proveden na základě vzuálního porovnání expermentu a vypočtených křvek a také na základě vyčíslení celkové energetcké chyby modelu (Resduum). (47) (49) (48) (50)

) Druhým způsobem je přímé zadání elastckých parametrů do předem zvoleného modelu. Tento způsob lze však použít jen v těchto případech: Jestlže provádíme opakované výpočty s materálem, jehož konstanty jsou jž dříve známé Jestlže jsme konstanty modelu určl z expermentů jným způsobem. Základem výpočtu konstant je obvykle metoda nejmenších čtverců, která hledá hodnoty konstant př mnmalzac kvadrátů odchylek. Př samostatném určování materálových parametrů je možné použít sofstkovanější metody jejch určování, např. zvýraznění nebo potlačení některých částí deformačně napěťových křvek pomocí váhových koefcentů nebo změnou počtu zadávaných bodů expermentálních křvek. 3.4. ZÁKLADNÍ ZKOUŠKY PRO IDENTIFIKACI PARAMETRŮ HYPERELASTICKÝCH MODELŮ V prax jsou nejvíce užívaným zkouškam pro určení parametrů hyperelastckých konsttutvních modelů tyto: Zkouška jednoosým tahem (v jednoosé tahové napjatost) Realzuje se na běžných zkušebních strojích pro tahovou zkoušku na plochých normalzovaných vzorcích ve tvaru oboustranné lopatky. Zkouška ekvbaxální (ve dvouosé rovnoměrné napjatost) Realzuje se na specálních zkušebních strojích na plochých vzorcích kruhového nebo čtvercového tvaru. Zkouška tahem př nulových příčných posuvech (v rovnné deformac) Realzuje se na běžných zkušebních strojích pro tahovou zkoušku s použtím velm šrokých čelstí na plochých vzorcích obdélníkového tvaru s velm malým poměrem délky ku šířce (cca 0,). Zkouška objemové stlačtelnost (v trojosé rovnoměrné napjatost) Realzuje se na běžných zkušebních strojích pro zkoušku tahem a tlakem na válcových Dplomová práce - 34 - Mlan Jarý

vzorcích (nejčastěj průměr 9mm, výška cca 3mm), vtlačovaných těsným pístem do ocelové komůrky stejného tvaru. 3.4. ZADÁVÁNÍ VÝSLEDKŮ ZKOUŠEK DO PROGRAMOVÝCH SYSTÉMŮ MKP Téměř všechny nynější komerční programové systémy MKP standardně dsponují softwarem pro dentfkac materálových parametrů jednotlvých zotropních hyperelastckých modelů z naměřených expermentálních křvek napětí-přetvoření. Př jejch zadávání je třeba mít na pamět následující: Rozsah zkoušek (extrémní velkost přetvoření) by měla splňovat mírný přesah očekávaného rozsahu přetvoření v řešeném výpočtovém modelu. Obvykle není předem znám, jedná se tedy o terační proces, kdy v prvním kroku zadáme raděj maxmální změřený rozsah přetvoření a na základě výsledků jej poté upravujeme. Přílš velký rozsah modelu totž významně snžuje jeho přesnost. Jestlže nejsou k dspozc výsledky výše uvedených čtyř základních zkoušek, je možné výpočtový model použít jen pro řešení takových problémů, př nchž se nevyskytnou typy deformačně-napěťových stavů, pro něž nebyly zadány expermentální křvky. V opačném případě mohou být výsledky zcela chybné, podobně jako když rozsah přetvoření př určtém typu napjatost (např. př jednoosém tahu) přesáhne rozsah realzovaný př expermentu. 3.4.3 ZÁSADY PRÁCE S HYPERELASTICKÝMI MODELY V PROGRAMOVÝCH SYSTÉMECH MKP V prvním kroku musíme vždy důkladně prostudovat manuál programu, abychom zjstl použtý tvar funkce pro hustotu deformační energe a význam jednotlvých materálových parametrů, což je důležté pro orentační kontrolu jejch hodnot. V druhém kroku zjstíme v jakých tenzorech napětí a přetvoření musíme zadávat expermentální hodnoty. Dále zjstíme, v jakých tenzorech napětí a přetvoření získáme konečné výsledky. Dplomová práce - 35 - Mlan Jarý

Jestlže použjeme pro prác nový konsttutvní model, vždy nejprve provedeme smulac základních zadaných zkoušek materálu, abychom na úloze se známým výsledky elmnoval chybný postup př tvorbě a zadávání modelu. 3.5 DEFORMAČNĚ NAPĚŤOVÉ CHOVÁNÍ ELASTOMERŮ Deformačně napěťové chování elastomerů (vz. []) závsí na jejch chemckém složení a vntřní struktuře, která je podstatně ovlvněna podmínkam výrobního procesu. Výchozí surovnou je kaučuk (syntetcký, přírodní), který je doplněn přísadam, jako jsou síra, oleje, kyselny, akcelerátory, stablzátory. Výsledná směs se doplňuje plnvy (saze), které dodají struktuře výstužnou a zpevňující funkc. Dále následuje poslední fáze vulkanzace, př níž za současného působení tlaku a teploty po určtou dobu dojde k vzájemnému chemckému sloučení molekulárních řetězců. Podmínky vulkanzace a složení vulkanzátu mají podstatný vlv na deformačně napěťové chování elastomeru. Z hledska náhodné orentace vntřní struktury lze z makromechanckého hledska považovat elastomery za zotropní materál. Pryže se vyznačují několka podstatným fenomény. Objemová nestlačtelnost, velké elastcké deformace a nelneární deformačně napěťové chování, vskoelastcta, závslost na hstor deformace, teplotní závslost, stárnutí. 3.5. PORUŠOVÁNÍ SOUDRŽNOSTI ELASTOMERŮ A JEJICH ROZHRANÍ S JINÝMI MATERIÁLY V důsledku specfcké vntřní struktury elastomerů se př jejch porušování soudržnost uplatňují často jné mkromechansmy, než jsou dnes známé u krystalckých kovů. Jedná se o tyto mkromechansmy (vz. []): Šíření trhln hodnocení chování makroskopcké trhlny pomocí nástrojů lomové m. Kavtace elastcká expanze a následný růst kavty nfntezmálních rozměrů Oba procesy spolu do značné míry souvsí, neboť kavtace může ncovat trhlnu. V dalším textu bude porušení elastomerů a jejch rozhraní s jným materály nazýváno PODMÍNKA KAVITACE (vz. (54)). Dplomová práce - 36 - Mlan Jarý

3.5. KRITÉRIA PRO HODNOCENÍ PORUŠENÍ SOUDRŽNOSTI ELASTOMERŮ crt unax 75 G - jednoosá napjatost crt equbax 55 G - dvouosá rovnoměrná napjatost (5) (53) crt trax, 5 G - obecná trojosá napjatost (54) 3.6 LINEÁRNĚ ELASTICKÉ KOMPOZITY Materálové vlastnost kompoztu závsí na materálových vlastnostech složek, podílu jednotlvých složek a na geometrckém uspořádání. Toto vše je předem známo a cílem je určt mechancké charakterstky kompoztního materálu. 3.6. JEDNOĚROVÝ DLOUHOVLÁKNOVÝ KOMPOZIT MECHANICKÉ VLASTNOSTI V PODÉLNÉM ĚRU Lneárně elastcké dlouhovláknové kompozty mají několk mechanckých vlastností, které je třeba uvést. Jedná se o tyto konkrétní vztahy, které jsou odvozeny na základě směšovacího pravdla, jenž platí pouze pro lneárně elastcké kompozty a vychází z předpokladu, že přetvoření matrce a vláken v podélném směru jsou stejná (vz. [5]): E L E f v f + Emvm Ev (55) 3.6. JEDNOĚROVÝ DLOUHOVLÁKNOVÝ KOMPOZIT MECHANICKÉ VLASTNOSTI V PŘÍČNÉM ĚRU U kompoztu s příčným vlákny jde o tyto konkrétní vztahy, které vychází z předpokladu, že napětí v matrc a ve vláknech v příčném směru jsou stejná (vz. [5]): ε C ε f v f + ε mvm ε v (56) E T v E f f v + E m m v E (57) µ LT µ f v f + µ mvm µ v (58) Dplomová práce - 37 - Mlan Jarý

3.6.3 DEFINICE HOOKEOVA ZÁKONA PRO IZOTROPNÍ, ANIZOTROPNÍ A ORTOTROPNÍ MODEL MATERIÁLU Izotrope je vlastnost, kterou se označuje nezávslost na směru. Naprot tomu anzotrope je vlastnost, kterou se označuje závslost určté velčny na volbě směru. Specálním případem anzotrope je ortotrope, kdy jsou materálové osy totožné s osam geometrckým. Mechancké vlastnost a chování zotropního, anzotropního a ortotropního modelu materálu jsou popsány určtým počtem materálových parametrů. Příslušné materálové parametry jsou zapsány v matc [C], která se nazývá matce elastckých parametrů. Hookeův zákon pro model zotropního, anzotropního a ortotropního materálu je dán vztahem: { } [ ] {} ε C Normálné napětí v homogenním zotropním materálu {} τ [ ] {} γ C Smykové napětí v homogenním zotropním materálu (59) (60) Vztahy (vz. (59),(60)) se pro dané modely materálu lší pouze matcí elastckých parametrů [C]. To znamená, že pro pops vlastností a chování zotropního materálu postačují nezávslé materálové parametry (E),( µ ). Pro anzotropní model materálu obsahuje matce [C] 36 materálových parametrů, ale díky tomu, že je matce [C] symetrcká stačí pouze parametrů k popsu chování a vlastností anzotropního modelu materálu. Pro pops ortotropního modelu materálu postačuje 9 materálových parametrů, jenž jsou v matc [C] umístěny v prvním kvadrntu matce a na hlavní dagonále. 3.7 TECHNICKÉ KOMPOZITY S HYPERELASTICKOU MATRICÍ V předchozí kaptole probraná teore lneárně elastckých vláknových kompoztů (vz. [5]) je založena na předpokladu velm malých přetvoření (ε < %). V techncké prax se však používají kompoztní materály, u nchž některá složka (u vláknových kompoztů obvykle matrce), vykazuje velká elastcká přetvoření. Typckým představtelem materálů používaných pro matrce těchto kompoztů je pryž. Patří mez elastomery, jak se obecně v techncké prax označují materály podléhající velkým elastckým deformacím. Z pohledu konsttutvních vztahů se pro takové materály používá název hyperelastcké. V řadě aplkací, především př výrobě pneumatk a tlumcích elementů, se používá pryž vyztužená vlákny. Dplomová práce - 38 - Mlan Jarý

Tato vlákna vytvářejí spolu s pryží vláknové kompoztní materály, které vykazují určtou anzotrop. Zatímco u lneárně elastckých kompoztů (tedy kompoztů splňujících předpoklad malých přetvoření) obvyklý rozdíl mez elastckým parametry složek (nejčastěj skleněná nebo bórová vlákna v epoxdové matrc) ční jeden až dva řády, pro kompozty s elastomerovou matrcí je typcký mnohem větší rozdíl mez elastckým parametry vláken a matrce; Youngův modul pružnost vláken je obvykle o několk řádů vyšší než u matrce. V důsledku velkých přetvoření matrce je chování takových kompoztů výrazně nelneární a výpočtové metody pro určování vlastností kompoztu na základě vlastností jeho složek, nelze pro tyto materály obecně použít. Dalším podstatným aspektem, který ještě není zvládnutý jsou výpočtové problémy spojené s homogenzací vlastností heterogenního materálu, jímž kompozt je. Je velce důležté zdůraznt maxmální obezřetnost př používání nejen všech běžně známých výpočtových vztahů, ale ntuce, protože ta vychází z našch zkušeností s lneárně elastckým materály (př malých deformacích) (vz. [7]). 4 REALIZACE PROCESU ŘEŠENÍ A ANALÝZA VÝSLEDKŮ SYSTÉM PODSTATNÝCH VELIČIN Pro úspěšné řešení problému je nezbytně nutné na řešené soustavě vytvořt systém podstatných velčn. Jestlže jsou zahrnuty nepodstatné velčny do výpočtu, může dojít k nadměrnému prodloužení č velkému zkomplkování procesu řešení. Naprot tomu, dojde-l k opomenutí některých podstatných velčn, může být negatvně ovlvněna věrohodnost výsledků. V následujícím textu platí: OBJEKT ZKUŠEBNÍ VZOREK HYPERELASTICKÉHO KOMPOZITU Okolí objektu: Objekt je podrobován mechanckým zkouškám v gravtačním pol země, ve vzdušné atmosféře, př teplotách 0 ± 3 C. Př daných mechanckých zkouškách je objekt vázán Dplomová práce - 39 - Mlan Jarý

v zkušebním stroj. Objekt je v běžné prax součástí složtějších technckých soustav, jako je například pneumatka. Geometre a topologe objektu: Geometre objektu je známa, avšak pro rozdílné typy mechanckých zkoušek jsou defnovány jné rozměry objektu. Pro zkoušku tahem (v jednoosé tahové napjatost) má objekt rozměry 00x5x.5, 00x0x.5, 00x5x.5. Tyto rozměry jsou navržené tak, aby uprostřed vznkla homogenní napjatost, která je dále analyzována. Pro zkoušku ohybem má objekt rozměry 50x0x.5, 00x0x.5, 00x5x.4. Všechny tyto rozměry byly prvotně navrženy př expermentu tak, aby se následně dala vyhodnott věrohodně deformačně napěťová závslost u zkoušky jednoosým tahem a deformačně slová závslost u zkoušky ohybem. Vazby objektu s okolím: Objekt je k okolí vázán dvěma způsoby a to podle typu mechancké zkoušky. U zkoušky jednoosým tahem je objekt upevněn v čelstech zkušebního trhacího stroje (vz. Obr.4), kde jeden konec zůstává př zatěžování v kldu a druhý konec v čelstech vykonává pohyb vzhůru. U zkoušky trojbodovým ohybem (vz. Obr. 5) je objekt vázán k okolí tak, že jeho spodní strana je položená na dvou opěrných hrotech, které jsou pevně vázány a na horní stranu působí pohyblvý hrot, který vykonává pohyb směrem dolu prot opěrným hrotům. Obr. 4: Zkouška tahem (vz. [8]) Obr. 5: Zkouška ohybem Dplomová práce - 40 - Mlan Jarý

Aktvace objektu: Př zkoušce jednoosým tahem je objekt aktvován deformačním posuvem, který je způsoben pohybem čelstí zkušebního trhacího stroje směrem vzhůru. Př druhé zkoušce, jedná se o zkoušku trojbodovým ohybem, je objekt aktvován slovým působením z jedné strany, které je vyvoláno pohybujícím se hrotem. Ovlvnění objektu okolím: Ovlvnění objektu okolím může být způsobeno atmosférckým podmínkam a to ve smyslu různých druhů záření jako jsou sluneční, světlo zářvek. Záření se významnou měrou podílí na stárnutí pryže a tím způsobuje následně degradac materálu a zhoršení mechanckých vlastností. Vlastnost objektu: Jelkož je zkoumaný objekt nehomogenním tělesem, složeným ze dvou velce odlšných materálů, je zapotřebí popsovat mechancké vlastnost a chování obou složek zvlášť. Objekt je složen z vláken a z matrce. Konkrétní rozměry objektu jsou uvedeny v odstavc geometre a topologe objektu. Výztužná vlákna jsou vyrobena z ocel, na kterou jsou kladeny tyto požadavky. Vysoká pevnost a rozměrová stablta, adheze ke gumové směs, ohybová tuhost a rovnoměrné rozložení mezer mez dráty. Matrce má elastomerovou strukturu, jedná se o pryž. Tento materál se díky svým mechanckým vlastnostem nazývá hyperelastcký. To znamená, že př zatěžování vykazuje velká elastcká přetvoření, která se jž pohybují v oblast výrazně nelneárních deformačně napěťových charakterstk. Pops vlastností materálu matrce je popsán v kaptole (3.3). Parametry popsující procesy a stavy do nchž se objekt dostane: Procesy, do nchž se objekt v průběhu zkoušek dostane, jsou velce složtě předvídatelné, některé zatím neobjasněné, z tohoto důvodu se jm nezabývám. Projevy a chování objektu: Projevem objektu jsou velká elastcká přetvoření, která jsou odezvou na aktvac objektu př daných vazbách na okolí. S jstotou mohu říc, že výpočty, které provádím, se pohybují pouze v oblast elastckých deformačně napěťových charakterstk, jelkož dříve než by stačlo ocelové vlákno zplastzovat, došlo by k porušení pryže na rozhraní ocel pryž. Dplomová práce - 4 - Mlan Jarý

VOLBA METODY ŘEŠENÍ Nejprve provádím řešení výpočtovým modelováním, kde část expermentálních hodnot slouží jako vstupní velčny do výpočtového modelování čsté pryže a následně pak kompoztu s hyperelastckou matrcí. V dalším kroku použj k řešení experment v tom smyslu, že další část expermentálních hodnot slouží k ověření správnost výsledků z výpočtového modelování. Výpočtové modelování je realzováno pomocí metody konečných prvků (MKP) v systému Ansys. Experment má vypovídací schopnost o reálných procesech probíhajících na objektu a tudíž slouží k ověření věrohodnost výsledků výpočtového modelování. VÝBĚR SOFTWARE A HARDWARE Pro řešení a tvorbu výpočtového modelu a pro vlastní výpočet byl použt konečnoprvkový systém Ansys od amercké frmy Ansys Inc., který je dostupný na Ústavu mechanky těles, mechatronky VUT FSI Brno. Pro zpracování a vyhodnocení dat byl dále použt matematcký a smulační systém Matlab, který je dostupný tamtéž. Hardware, na kterém byly výpočty realzovány, má tyto parametry: Intel Core Duo CPU x,33 GHz RAM,0 GB HDD 350 GB 4. TESTOVACÍ ÚLOHY HYPERELASTICKÉHO MATERIÁLU 4.. VSTUPNÍ ÚDAJE DO ŘEŠENÍ TESTOVACÍCH ÚLOH Vstupním údaj do řešení testovacích úloh jsou expermentální data konkrétní pryže ze Zlína, tato pryž je dále používána jako surovna pro výrobu kompoztních částí pneumatk. Expermentální data jsem získal od Dr. Skácela jako soubory naměřených hodnot napětí a Dplomová práce - 4 - Mlan Jarý

přetvoření. Dále jsem je zpracoval tak, aby byla aplkovatelná pro výpočtové modelování. Konkrétním měřením expermentálních dat př tahových a ohybových zkouškách jsem se nezabýval, protože to není předmětem mé dplomové práce. Motvace pro tvorbu testovacích úloh Všechny následující testovací úlohy jsou vytvořeny ze dvou důvodů. Prvním a nejpodstatnějším důvodem pro tvorbu testovacích úloh je výběr správného konsttutvního modelu materálu, který by nejlépe aproxmoval naměřená expermentální data s co možná nejmenší odchylkou. Tato byla ověřována vždy pro jeden náhodně zvolený bod deformačně napěťové křvky. Druhým důvodem je ověření schopností řeštele, orentovat se správně ve vyhodnocování výsledků hyperelastckých materálů. Ve všech následujících testovacích úlohách je pro dskretzac vzorku použt prvek PLANE 83 (kvadratcký). Pro pops chování konkrétního hyperelastckého materálu je použt konsttutvní model OGDEN (nd order). 4.. ZKOUŠKA JEDNOOSÝM TAHEM (UNIAXIÁLNÍ) Okrajové podmínky smulace jsou ekvvalentní skutečné tahové zkoušce (vz. Obr. 6). Aktvace vzorku př smulac je provedena deformačním posuvem o jsté zvolené hodnotě tak, aby tato hodnota nepřekročla meze deformačně napěťové charakterstky. Obr. 6: Rozměry vzorku a okrajové podmínky pro zkoušku jednoosým tahem Dplomová práce - 43 - Mlan Jarý

Rozsah vstupní deformačně napěťové křvky: ( 0MPa; MPa) ; ε ( 0;,) 9 Pro smulac volím deformační posuv ux 0mm a tomu odpovídající hodnoty přetvoření a napětí z deformačně napěťové křvky: ε ; 3,48MPa. Abych mohl srovnávat výsledky, které získám z Ansysu s expermentem musím příslušné smluvní hodnoty odečtené z expermentálních dat přepočítat na skutečné hodnoty. λ ε + + (6) λ 3,48 6, 96MPa (6) ε ln λ ln 0,69 (63) ln Porovnání expermentálních výsledků s výsledky z Ansysu: Ansys Ansys: ε ln 0, 69 (64) Experment Experment: ε ln 0, 69 (65) Ansys: Experment: Ansys 05 7, Mpa (66) Experment 69 6, Mpa (67) Pro posouzení odchylky δ použtého konsttutvního modelu je zapotřebí provézt porovnání skutečných napětí: Ansys 7,05 6,69 δ 00 00 5,38 0 Experment 0 (68) 6,69 Experment 4..3 ZKOUŠKA DVOUOSÝM TAHEM (EQUBIAXIÁLNÍ) Zkouška dvouosým tahem má defnované okrajové podmínky smulace (vz. Obr. 7). Aktvace vzorku př smulac je provedena deformačním posuvem o jsté zvolené hodnotě tak, aby tato hodnota nepřekročla meze deformačně napěťové charakterstky. Dplomová práce - 44 - Mlan Jarý

Obr. 7: Rozměry vzorku a okrajové podmínky pro zkoušku dvouosým tahem Rozsah vstupní deformačně napěťové křvky: ( 0MPa; MPa) ; ε ( 0;,) 9 Pro smulac volím deformační posuv ux 0mm, uy 0mm a tomu odpovídající hodnoty přetvoření a napětí z deformačně napěťové křvky: ε ; 6,5MPa. Abych mohl srovnávat výsledky, které získám z Ansysu s expermentem musím příslušné smluvní hodnoty odečtené z expermentálních dat přepočítat na skutečné hodnoty. λ ε + + (69) λ 6,5, 3MPa (70) ε ln λ ln 0,69 (7) ln Porovnání expermentálních výsledků s výsledky z Ansysu: Ansys Ansys: ε ln 0, 69 (7) Expetment Experment: ε ln 0, 69 (73) Ansys: Experment: Ansys 7, Mpa (74) Experment 3, Mpa (75) Pro posouzení odchylky δ použtého konsttutvního modelu je zapotřebí provézt porovnání skutečných napětí: Dplomová práce - 45 - Mlan Jarý

Ansys Experment,7,3 δ 00 00 4,7 0 Experment 0 (76),3 4..4 ZKOUŠKA JEDNOOSÝM TLAKEM Zkouška jednoosým tlakem je jž náročnější na výpočty velčn, které jsou zadávány do smulace a které z ní následně vystupují. Je velce důležté s uvědomt, že zkouška jednoosým tlakem je ekvvalentní zkoušce dvouosým tahem (equbaxální) (vz. Obr. 8), za podmínky nestlačtelnost materálu e 0. Pak platí, že přdáme-l k jednoosé tlakové napjatost napjatost hydrostatckou, výsledná deformace se nezmění. V Mohrově zobrazení to znamená, že vodorovné posunutí dagramu napjatost (vz. Obr. ) nemá vlv na dagram přetvoření. Z výše uvedených faktů vyplývá, že odchylka konsttutvního modelu př zkoušce jednoosým tlakem se musí rovnat odchylce konsttutvního modelu př zkoušce dvouosým tahem. Vzorek je př smulac aktvován deformačním posuvem. Vysvětlení ekvvalence mez zkouškou jednoosým tlakem a zkouškou dvouosým tahem: Obr. 8: Podstata ekvvalence mez jednoosým tlakem a dvouosým tahem Obr. 9: Rozměry vzorku a okrajové podmínky pro zkoušku jednoosým tlakem Dplomová práce - 46 - Mlan Jarý

U této úlohy není zpočátku výpočet stejný jako u předešlých dvou. I když se jedná o zkoušku jednoosým tlakem výsledné hodnoty z Ansysu se musí porovnávat s hodnotam z dvouosé tahové zkoušky, tento fakt umožňuje výše uvedená ekvvalence mez jednotlvým zkouškam. V první řadě, s zvolím deformační posuv, tzn. ux 5mm. Následně s z podmínky nestlačtelnost vyjádřím poměrné protažení λ λ, tato protažení jsou stejná, y z jelkož uvažuj stejné posuvy v ose (y) (z), ze kterých vypočítám ε ε. Uvažujme dále y jen ε, pak toto přetvoření je smluvním přetvořením, které je obsaženo v expermentálních y datech dvouosé tahové zkoušky. Tomuto smluvnímu přetvoření ε náleží příslušné smluvní y napětí. Další postup je totožný s předešlým úloham jen s tím rozdílem, že je zde ve smyslu chyby konsttutvního modelu vyhodnocováno smluvní napětí. x x ε 0,5 λ + ε + ( 0,5) 0,5 (77) e x x y z x y z λ λ λ 0 λ λ λ (78) λ y λz λy,4 (79) λ λ 0.5 x x y ε λ,4 0,4 (80) y y Z tohoto výsledku vyplývá, že pro ε 0, 4 je příslušné smluvní napětí z dvouosé tahové y y zkoušky 3, 09MPa. Experment Porovnání expermentálních výsledků s výsledky z Ansysu: y z Vycházím z předpokladu, že: (8) x y Experment ln y y Experment: ε ln λ ln,4 0, 34 (8) Ansys: Ansys 45 y 5, MPa (83) Z y Ansys dále vypočítám napětí y Ansys, které použj pro výpočet chyby konsttutvního modelu: Ansys y y Ansys 5,45 3, 87MPa (84) λ,4 y Dplomová práce - 47 - Mlan Jarý

Odchylka použtého konsttutvního modelu je: Ansys y y 3,87 3,09 δ 00 00 5,4 0 Experment 0 (85) y 3,09 Experment Tato relatvně větší odchylka konsttutvního modelu je v pořádku, jelkož zvolené přetvoření bylo defnované v místě, kde jsou expermentální data hůře aproxmována křvkou daného konsttutvního modelu. Například pro přetvoření by tato chyba byla řádově menší, protože je zde výrazně lepší aproxmace křvkou konsttutvního modelu s expermentálním daty. 4..5 ZKOUŠKA DVOUOSÝM TLAKEM Zkouška dvouosým tlakem je prncpem řešení velce podobná zkoušce jednoosým tlakem jen s tím rozdílem, že zde platí jná ekvvalence mez zkouškam pro vyhodnocení odchylky daného konsttutvního modelu. Konkrétně to znamená, že zkouška dvouosým tlakem je ekvvalentní zkoušce jednoosým tahem. Z výše uvedeného vyplývá, že pro vyhodnocení odchylky konsttutvního modelu budou po příslušných přepočtech použty hodnoty napětí a přetvoření z jednoosé tahové zkoušky. Zde také platí, že se př výpočtu vychází z podmínky nestlačtelnost materálu e 0. Tento předpoklad slouží k přepočtu poměrného protažení z dvouosé tlakové zkoušky na zkoušku jednoosou tahovou. Dále platí, že odchylka konsttutvního modelu př zkoušce dvouosým tlakem se rovná odchylce konsttutvního modelu př zkoušce jednoosým tahem. Vzorek je př smulac aktvován deformačním posuvem. Vysvětlení ekvvalence mez zkouškou dvouosým tlakem a zkouškou jednoosým tahem: Obr. 0: Podstata ekvvalence mez dvouosým tlakem a jednoosým tahem Dplomová práce - 48 - Mlan Jarý

Obr. : Rozměry vzorku a okrajové podmínky pro zkoušku dvouosým tlakem I přesto, že se jedná o zkoušku dvouosým tlakem, výsledné hodnoty z Ansysu se musí porovnávat s hodnotam z jednoosé tahové zkoušky, tento fakt umožňuje výše uvedená ekvvalence mez jednotlvým zkouškam (vz. Obr. 0). V první řadě, s zvolím deformační posuv, tzn. ux 4,5mm; uy 4,5mm. Následující postup výpočtu je totožný s výpočty pro jednoosou tlakovou zkoušku, s tím rozdílem, že místo λ y vyjadřuj λ z a z toho další příslušné hodnoty: λ x λ y (86) e x y z x y z λ λ λ 0 λ λ λ (87) x x ε 0,45 λ + ε + ( 0,45) 0,55 (88) x λ z 3,3 (89) λ 0,55 x z ε λ 3,3,3 (90) z z Z tohoto výsledku vyplývá, že pro přetvoření jednoosé tahové zkoušky ε, 3 je z z příslušné smluvní napětí ze zkoušky jednoosým tahem 0, 4MPa. Expermentt Dplomová práce - 49 - Mlan Jarý

Porovnání expermentálních výsledků s výsledky z Ansysu: Vycházím z předpokladu, že: (9) x z Ansys x Ansys: ε ln 0, 59 (9) x Experment: ε ln λ ln 0,55 0, 59 (93) ln Experment x Ansys: Ansys 63 z 36, MPa (94) Z z Ansys dále vypočítám napětí z Ansys, které použj pro výpočet odchylky konsttutvního modelu: Ansys z z Ansys 36,63, 07MPa (95) λ 3,3 z Odchylka použtého konsttutvního modelu je: Ansys z z,07 0,4 δ 00 00 6,3 0 Experment 0 (96) z 0,4 Experment 4..6 ZKOUŠKA JEDNOOSÝM TAHEM V ŠIROKÝCH ČELISTECH SE ZABRÁNĚNO PŘÍČNOU DEFORMACÍ Tato zkouška je ekvvalentní ke zkoušce prostým smykem. Díky této ekvvalenc je možné provádět zkoušku jednoosým tahem se zabráněnou příčnou deformací. To je velce důležtý fakt, jelkož jsme reálně schopn udělat zkoušku jednoosým tahem se zabráněnou příčnou deformací přímo na trhacím zkušebním stroj, naprot tomu je velce obtížné provézt zkoušku prostým smykem. Vzorek je př smulac aktvován v první smulac deformačním posuvem (vz. Obr. 3 a)) a v další smulace slově (vz. Obr. 3 b)). Toto je provedeno, aby bylo názorně vdět jaký vlv na odchylku konsttutvního modelu má buď deformační, nebo slové zatížení. Tato skutečnost bude vysvětlena v kaptole (4..9). Vysvětlení ekvvalence mez zkouškou jednoosým tahem se zabráněnou příčnou deformací a zkouškou prostým smykem (pure shear) (vz. Obr. ),: Dplomová práce - 50 - Mlan Jarý

Obr. : Podstata ekvvalence smykové zkoušky Jak je patrné z obrázku (vz. Obr. ), jedný rozdíl mez zkouškam je v posunutí Mohrovy kružnce napjatost směrem doprava o hodnotu respektve τ. a) b) Obr. 3: obr.3 a) O.P. pro zatížení deformačním posuvem, obr.3 b) O.P. pro zatížení skutečným napětím v ose y a) Deformační varanta Pro smulac volím deformační posuv ux 5mm a tomu odpovídající hodnoty přetvoření a napětí z deformačně napěťové křvky: ε 0, 5;.9MPa. Přepočet smluvních hodnot na hodnoty skutečné: Dplomová práce - 5 - Mlan Jarý

λ ε + 0,5 +,5 (97) λ,5,9 4, 365MPa (98) ε ln λ ln,5 0,4 (99) ln Porovnání expermentálních výsledků s výsledky z Ansysu: Ansys Ansys: ε ln 0, 4 (00) Experment Experment: ε ln 0, 4 (0) Ansys: Experment: Ansys 48 4, Mpa (0) Experment 4, 365Mpa (03) Odchylka použtého konsttutvního modelu je: Ansys 4,48 4,365 δ 00 00,43 0 Experment 0 (04) 4,365 b) Slová varanta Experment Pro smulac vyšlo ze smluvního napětí velkost skutečného napětí 4, 365MPa. Hodnoty smluvního napětí a přetvoření jsou totožné s deformační varantou. Přepočet smluvních hodnot na hodnoty skutečné: λ ε + 0,5 +,5 (05) ε ln λ ln,5 0,4 (06) ln Porovnání expermentálních výsledků s výsledky z Ansysu: Ansys Ansys: ε ln 0, 69 (07) Experment Experment: ε ln 0, 4 (08) Ansys: Experment: Ansys 4, 365Mpa (09) Experment 4, 365Mpa (0) Pro posouzení odchylky δ použtého konsttutvního modelu je zapotřebí provézt porovnání skutečných přetvoření: Dplomová práce - 5 - Mlan Jarý

Ansys Experment ε ln ε ln Experment 0,69 0,4 δ 00 00 68,9 0 0 () ε 0,4 ln Tato relatvně velká odchylka je naprosto v pořádku. Jak je tato odchylka způsobena a proč je korektní, bude vysvětleno v kaptole (4..9). 4..7 ZKOUŠKA PROSTÝM YKEM (PURE SHEAR) U zkoušky prostým smykem se aktvuje zkušební vzorek taktéž slově nebo deformačně. Slové zatížení je realzováno skutečným napětím, avšak polovčním než u zkoušky jednoosým tahem se zabráněnou příčnou deformací. Tato skutečnost vyplývá z Mohrovy kružnce napjatost (vz. Obr. ). Defnování deformačního zatížení jž není tak trvální. Z Ansysu (slového zatížení) nejprve odečtu hodnotu x Ansys ln ε, ze které následně vypočítám x ε. Z tohoto přetvoření vyplývá příslušný deformační posuv, kterým budu zatěžovat v ose (x), ux -0,48mm. Stejným způsobem se vypočítá uy 0,6mm. a) b) Obr. 4: obr.4 a) O.P. zatížení skutečným napětím, obr.4 b) O.P. zatížení posuvem a) Slová varanta Pro smulac zkoušky jednoosým tahem se zabráněným příčným posuvy vyšlo ze smluvního napětí velkost skutečného napětí 4, 365MPa. Avšak jak je patrné Dplomová práce - 53 - Mlan Jarý

z Mohrovy kružnce napjatost (vz. Obr. ), musím pro zkoušku prostým smykem použít y zatížení polovční, skutečné napětí, 83MPa ; ε 0, 5. Přepočet smluvních hodnot na hodnoty skutečné: λ ε + 0,5 +,5 () y y 4,365 MPa y, 83 y Experment (3) Experment ln y y ε ln λ ln,5 0,4 (4) Porovnání expermentálních výsledků s výsledky z Ansysu: Ansys y Ansys: ε ln 0, 49 (5) Experment y Experment: ε ln 0, 4 (6) Experment: Experment y, 83MPa (7) Pro posouzení odchylky δ použtého konsttutvního modelu je zapotřebí provézt porovnání skutečných přetvoření: Ansys Experment ε ln ε ln Experment 0,49 0,4 δ 00 00 9,5 0 0 (8) ε 0,4 ln Tato relatvně velká odchylka je naprosto v pořádku. Jak je tato odchylka způsobena a proč je korektní, bude vysvětleno v kaptole (4..9). b) Deformační varanta V této deformační varantě s jž nemohu lbovolně volt obě hodnoty deformačního posuvu dle rozsahu napětí-přetvoření, ale musím je vypočítat ze skutečných přetvoření, kterých vzorek př daných vstupních napětích dosahuje. Tyto hodnoty napětí jsou známé ze slové varanty. Výpočet deformačních posuvů: 4,365 MPa y, 83 y Experment (9) Dplomová práce - 54 - Mlan Jarý

Ansys ln x x x 0,389 x ε 0,389 λ e,48 ε λ,48 0,48 (0) x ux x ε ux ε 0,48 0, 48mm () Ansys ln y y y 0,485 y ε 0,485 λ e,6 ε λ,6 0,6 () y uy y ε uy ε 0,6 0, 6mm (3) Porovnání expermentálních výsledků s výsledky z Ansysu: Ansys: Experment: Ansys y, 3MPa (4) Experment y, 83MPa (5) Pro posouzení odchylky δ použtého konsttutvního modelu je zapotřebí provézt porovnání skutečných napětí: Ansys y y,3,83 δ 00 00,34 0 Experment 0 (6) y,83 Experment 4..8 VZÁJEMNÉ POROVNÁNÍ PŘÍSLUŠNÝCH ZKOUŠEK 4..8. Porovnání odchylky zkoušky jednoosým tlakem a dvouosým tahem V předešlých kaptolách (4..4, 4..5) byly odchylky daných konsttutvních modelů počítány pomocí ekvvalence mez příslušným zkouškam. V této kaptole bude provedeno srovnání odchylek mez zkouškou jednoosým tlakem a zkouškou dvouosým tahem (equbaxální) a dále mez zkouškou dvouosým tlakem a zkouškou jednoosým tahem (unaxální). Jelkož mez těmto zkouškam platí ekvvalence, měly by být odchylky konsttutvních modelů stejné. Postup př řešení ověřování správnost ekvvalence mez příslušným zkouškam je následující. Jelkož víme, že pro vyhodnocení odchylky konsttutvního modelu př zkoušce jednoosým tlakem je zapotřebí přepočítané výsledky z této smulace porovnávat s expermentálním hodnotam ze zkoušky dvouosým tahem. To znamená, že ze zkoušky Dplomová práce - 55 - Mlan Jarý

jednoosým tlakem zjstím hodnotu skutečného napětí, které dále přepočítám na smluvní napětí. V expermentálních datech zkoušky dvouosým tahem k tomuto vypočtenému smluvnímu napětí přřadím příslušné smluvní přetvoření. Pak jž mohu vypočítat hodnotu deformačního posuvu, kterou budu zatěžovat příslušný vzorek pro zkoušku dvouosým tahem. V tomto případě jde o ux 4,mm; uy 4,mm. Po zatížení tímto deformačním posuvem odečtu z Ansysu stejnou hodnotu skutečného napětí jako u Zkoušky jednoosým tlakem. To znamená, že odchylky konsttutvních modelů budou téměř stejné. Zkouška jednoosým tlakem Zkouška dvouosým tahem Obr. 5: Rozměry vzorku a okrajové podmínky TLAK Obr. 6: Rozměry vzorku a okrajové podmínky EQUIBIAXIAL Výpočet odchylky konsttutvního modelu: Experment 09 y 3, MPa (7) Ansys 87 y 3, MPa (8) Výpočet odchylky konsttutvního modelu: Experment 4, 365MPa (30) Ansys 5, 384MPa (3) δ y Ansys y Experment y Experment 3,87 3,09 00 3,09 5,4 0 0 00 (9) δ Ansys Experment Experment 5,384 4,365 00 4,365 00 3,34 0 0 (3) Dplomová práce - 56 - Mlan Jarý

4..8. Porovnání odchylky zkoušky dvouosým tlakem a jednoosým tahem Zkouška dvouosým tlakem Zkouška jednoosým tahem Obr. 7: Rozměry vzorku a okrajové podmínky DVOUOSÝ TLAK Obr. 8: Rozměry vzorku a okrajové podmínky UNIAXIAL Výpočet odchylky konsttutvního modelu: Experment 4 z 0, MPa (33) Ansys 07 z, MPa (34) Výpočet odchylky konsttutvního modelu: Experment 43 34, MPa (36) Ansys 7 36, MPa (37) δ z Ansys z Experment z Experment,07 0,4 00 0,4 6,3 0 0 00 (35) δ Ansys Experment Experment 36,7 34,43 00 34,43 00 6,65 0 0 (38) Postup př řešení ověřování správnost ekvvalence mez příslušným zkouškam je shodný s 4..8.. Rozdíly odchylek konsttutvních modelů příslušných zkoušek jsou s největší pravděpodobností způsobeny parametrem nestlačtelnost materálu d K/. Dplomová práce - 57 - Mlan Jarý

4..9 VLIV ZPŮSOBU ZATĚŽOVÁNÍ NA ODCHYLKU KONSTITUTIVNÍHO MODELU V důsledku klesajícího sklonu deformačně napěťové křvky bylo v předešlých kaptolách z výsledků odchylek konsttutvních modelů patrné, že velce výrazně záleží na tom, jak provádíme zatížení daného vzorku. Jestlže jde o deformační zatížení, pak odchylka expermentu od aproxmace dané expermentální křvky příslušným konsttutvním modelem je relatvně velm malá (vz. Obr. 9). Naprot tomu slové zatížení způsobuje relatvně velké odchylky expermentu od aproxmace expermentální křvky příslušným konsttutvním modelem (vz. Obr. 0). Obr. 9: Deformační zatěžování Obr. 0: Slové zatěžování 4. TVORBA VÝPOČTOVÉHO MODELU Tato kaptola se zabývá tvorbou výpočtových modelů zkušebních těles ve tvaru kvádru z kompoztů s hyperelastckou matrcí a namodelovaným ocelovým vlákny, pro různá uspořádání vláken a jejch využtím př smulac zkoušky tahem a ohybem. Dále s klade za cíl vytvořt takový výpočtový model zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu, který by věrohodně popsoval skutečnost, to znamená, aby došlo k co možná Dplomová práce - 58 - Mlan Jarý

nejpřesnější shodě slově deformačních charakterstk výpočtového modelu a expermentu. Mez další velm podstatné požadavky kladené na výpočtový model zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu patří také: Optmální dskretzace výpočtového modelu Krátký výpočtový čas Dobrá konvergence Možnost smulace různých charakterů zatěžování 4.. VSTUPNÍ ÚDAJE DO PROCESU TVORBY VÝPOČTOVÉHO MODELU Jelkož se jedná o výpočtové modelování nehomogenního tělesa, kterým je zkušební vzorek hyperelastckého kompoztu, je nutné popsat zvlášť materálové parametry hyperelastcké matrce a zvlášť materálové parametry ocelového vlákna. Hyperelastcká matrce je zohledněna Ogdenovým konsttutvním modelem materálu který má 5 materálových parametrů, které jsou získány aproxmací expermentálních naměřených hodnot (vz. kap.3.4.). Konkrétní expermentální hodnoty, které jsou vstupním velčnam pro výpočet materálových parametrů pomocí programu Ansys, jsem obdržel od Dr. Skácela. Ocelová výztužná vlákna jsou zohledněna zotropním elastckým lneárním modelem materálu s Youngovým modulem pružnost v tahu E 0 GPa a Possonovým číslem µ 0,3. Dále pro tvorbu dskretzace výpočtového modelu byly použty kvadratcké prvky. Konkrétně pro matrc SOLID 86 a vlákna SOLID 95. Dalším vstupním parametry jsou rozměry jednotlvých výpočtových modelů. Kompozt s podélným vlákny má rozměr 50x,8x a průměr ocelových výztužných vláken D 0,9mm. Kompozt s příčným vlákny má rozměr 50,4x3x a průměr ocelových výztužných vláken D 0,9mm. Okrajové podmínky jsou defnovány na Obr. 4, Obr. 5. 4.. ZKOUŠKA JEDNOOSÝM TAHEM KOMPOZIT S PODÉLNÝMI VLÁKNY Zkouška jednoosým tahem je smulována tak, aby okrajové podmínky smulace (vz. Obr. 4, Obr. ), byly ekvvalentní okrajovým podmínkám skutečné tahové zkoušky na Dplomová práce - 59 - Mlan Jarý

trhacím stroj. Aktvace vzorku př smulac je provedena deformačním posuvem o hodnotě pouhých uz 0,35mm, protože se téměř celá deformace realzuje v ocelových výztužných vláknech a jestlže by došlo ke stejnému prodloužení u ocelových vláken jako u pryže, ocel by zplastzovala a výpočet by v tomto případě neměl význam. Výpočtový model sestává z 400 elementů (vz. Obr. ). Obr. : Okrajové podmínky a geometre vzorku pro zkoušku jednoosým tahem podélná vlákna Obr. : Použtá dskretzace Obr. 3: Hlavní napětí 3 vzorku 50x,8x s orentací 0 (tah) Dplomová práce - 60 - Mlan Jarý

Důležté je zhodnocení napjatost (vz. Obr. 3) z hledska PODMÍNKY KAVITACE. Obecně př zkoušce tahem vznká jednoosá napjatost, ale v případě zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu v blízkost rozhraní ocel-pryž vznká trojosá obecná napjatost, kde je řádově větší napětí než na povrchu. V postprocesngu Ansysu jsou průměrovány nízké hodnoty napětí pryže s vysokým hodnotam napětí vlákna, jestlže není řádně vyselektován konkrétní materál. Podstatné pro podmínku kavtace, je kladné hlavní napětí 3, které rozrušuje vznkající kavty (vz. []) v pryž. U podmínky kavtace je důležté tahové napětí. Tlakové je nepodstatné, jelkož kavtu v pryž zavírá. Dále je důležté, že př tahové zkoušce kompoztu s podélným vlákny se všechny podstatné deformace dějí pod čelstm > odtud by se měly odečítat mezní hodnoty napětí pro podmínky kavtace (vz. []). Pod čelstm jsou velká úhlová přetvoření > Dosažení velkých smykových přetvoření, což může vést ke špatné konvergenc výpočtu. Deformační posuv uz 0,35mm z hledska úhlových přetvoření může znamenat obrovské hodnoty řádu stovek procent. Z toho faktu vyplývá použtí malých deformačních posuvů uz. Z Obr. 3 je vdět, že 3 4,05MPa. Konkrétní podmínka porušení elastomeru (podmínka kavtace) př obecné trojosé napjatost je 3, 5 G []). K porušení by nemělo dojít 4,05MPa 6, 65MPa. Napětí v pryž se tedy jž blíží mezní hodnotě. (vz. Volba způsobu vyhodnocování napěťově deformačních stavů Obr. 4: Způsoby vyhodnocování deformačních a napěťových stavů Dplomová práce - 6 - Mlan Jarý

) Vyhodnocení napěťově deformačních stavů pod čelstm Tento způsob vyhodnocení je vhodný pro posouzení napětí a přetvoření, které jsou příčnou kavtace, jelkož mez čelstm vznká největší napětí a přetvoření. F HOM z (39); SC HOM u z l ε (40) (vz. Obr. 4) ) Vyhodnocení napěťově deformačních stavů v prostřední část vzorku tvorby Vyhodnocování napětí a přetvoření uprostřed vzorku je důležté z hledska následné ε charakterstky. Př expermentu byla přetvoření odečítána uprostřed vzorku pomocí extenzometrů a to z důvodů, aby nedošlo k ovlvnění měřených velčn lokální koncentrací napětí a přetvoření, která je způsobena nterakcí zkušebního vzorku s čelstm trhacího stroje. Tento způsob vyhodnocování závslostí homogenzovaných velčn HOM HOM ε, bude používán v následujících kaptolách. ; ε jsou homogenzované HOM HOM v tom smyslu, že nevyhodnocuj smluvní napětí a přetvoření jednotlvých komponent HOM HOM kompoztu, ale hodnotím jž ε celé heterogenní struktury jako jednoho celku > ; ε kompoztu. HOM HOM F u u HOM z HOM (4); ε (4) (vz. Obr. 4) SC l Výše uvedený postup (vz. ), )) je dále použt pro vyhodnocení zkoušky jednoosým tahem vzorku 50x,8x s orentací 0 ve formě napěťově deformační charakterstky(vz. Obr. 5). Dplomová práce - 6 - Mlan Jarý

Obr. 5: Zkouška jednoosým tahem kompoztu s podélným vlákny Z grafu (vz. Obr. 5) je vdět, že pod čelstm jsou velce výrazné deformace oprot střední část. To znamená, že čelst zkušebního trhacího stroje by značně ovlvnly výsledky ve smyslu Sant Vénantova prncpu. Z tohoto důvodu byla prováděna expermentální měření uprostřed vzorku, kde vznká v jednotlvých komponentách homogenní napjatost. To znamená, aby bylo možné porovnání expermentu a smulace, musí být napětí a přetvoření ze smulace vyhodnoceno ve střední část zkušebního vzorku. 4..3 ZKOUŠKA JEDNOOSÝM TAHEM KOMPOZIT S PŘÍČNÝMI VLÁKNY Zkouška jednoosým tahem kompoztu s příčným vlákny je naprosto stejná jako zkouška jednoosým tahem kompoztu s podélným vlákny jen s tím rozdílem, že zde s z důvodů menší tuhost vzorku můžeme dovolt mnohem větší posuvy. To znamená, že kompozt s příčným vlákny je schopen dosáhnout téměř stejné deformace jako čstá pryž, avšak v důsledku vznku koncentrace od vláken Dplomová práce - 63 - Mlan Jarý

dosahuje přblžně dvojnásobku napětí (vz. Obr. 30). Aktvace vzorku př smulac je provedena deformačním posuvem ux 5mm. Ostatní okrajové podmínky zkoušky odpovídají (vz. kap.4..). Model sestává z 584 elementů (vz. Obr. 6). Stejným způsobem jako v kaptole 4.. je provedeno zhodnocení deformačně napěťových stavů a charakterstk (vz. Obr. 9). Je vhodné uvést následující výsledky ze smulace (vz. Obr. 7, Obr. 8). Obr. 6: Použtá dskretzace Obr. 7: Hlavní napětí 3 [MPa] vzorku Obr. 8: Hlavní napětí [MPa] 50,5x3x s orentací 90 (tah) 50,5x3x s orentací 90 (tah) Z obrázku (vz. Obr. 7) je vdět rozložení kladného hlavního napětí 3 36,595MPa. Napětí 3,5 G, z čehož vyplývá velce pravděpodobné porušení soudržnost rozhraní dle podmínky kavtace. Jelkož jsou výztužná vlákna kolmo na směr zatěžování, tak př natahování vzorku vznká koncentrace napětí v těsné blízkost rozhraní ocel-pryž. Na obrázku Dplomová práce - 64 - Mlan Jarý

(vz.obr.8) je znázorněno rozložení koncentrace napětí v podobě 5,896 MPa, která vznká v pryž mez vlákny. Obr. 9: Zkouška jednoosým tahem kompoztu s příčným vlákny Na obrázku (vz. Obr. 9) je vdět malý rozdíl mez křvkou odečtenou ve střední část vzorku a křvkou odečtenou přímo pod čelstm. Tento rodíl je způsoben tím, že se pod čelstm dochází k větším deformacím než ve střední část vzorku. Deformačně napěťová charakterstka je jž výrazně nelneární, protože se veškerá deformace odehrává v pryž a vlákna zde působí pouze jako paraztní výstužný člen. Pozn.: Jestlže provádíme zkoušku jednoosým tahem kompoztu s příčným vlákny, může zde vyvstat problém obecné trojosé napjatost, která vznká v blízkost rozhraní ocel-pryž (vz. Obr. 7), kde hodnoty napětí, ale přetvoření, mohou být mnohonásobně větší, než je rozsah vstupní deformačně napěťové charakterstky. Z toho vyplývá, že mohou nastat problémy s konvergencí a věrohodností výpočtu. Proto doporučuj v místech koncentrace u vlákna ověřt hodnoty napětí a přetvoření a podmínku kavtace, 5 G (vz. []). 3 Dplomová práce - 65 - Mlan Jarý

Pozn.3: Př hodnocení konečných výsledků napětí a přetvoření je zapotřebí dávat pozor na vyhodnocování výsledků v postprocesngu Ansysu. Jestlže s nevyselektujeme typ materálu, na nemž vyhodnocujeme napjatost může dojít k průměrování hodnot pryže a ocel v blízkost rozhraní ocel-pryž. 4..4 ZKOUŠKA JEDNOOSÝM TAHEM PRYŽOVÝ VZOREK Význam zkoušky jednoosým tahem pryžového vzorku spočívá v tom, zjstt jeho deformačně napěťovou charakterstku, která bude porovnána s deformačně napěťovou charakterstkou vzorku kompoztu s příčným vlákny. Okrajové podmínky a rozměry pryžového vzorku jsou shodné s okrajovým podmínkam a rozměry vzorku kompoztu s příčným vlákny. 4..5 POROVNÁNÍ DEFORMAČNĚ NAPĚŤOVÝCH CHARAKTERISTIK KOMPOZIT S PŘÍČNÝMI VLÁKNY VERZUS PRYŽOVÝ VZOREK Obr. 30: Porovnání zkoušky jednoosým tahem kompoztu s příčným vlákny a pryžového vzorku Dplomová práce - 66 - Mlan Jarý

Cílem vzájemného srovnání deformačně napěťových charakterstk je zjstt jak velký je rozdíl mez deformačně napěťovou charakterstkou čstě pryžového vzorku a kompoztu s příčným vlákny. U vzorku kompoztu s příčným vlákny byl předpoklad, oprot pryžovému vzorku, že kompozt s příčným vláky dosáhne nžších hodnot přetvoření z důvodů vyztužení vlákny a vyšších hodnot napětí, z důvodů koncentrace napětí v blízkost rozhraní ocel-pryž ve směru zatěžování kompoztu (vz. Obr. 7, Obr. 8). Na obrázku (vz. Obr. 30) jsou vdět rozdíly mez deformačně napěťovou charakterstkou kompoztu s příčným vlákny a čstě pryžového vzorku. U vzorku z kompoztního materálu je patrné nejprve změkčení, podobné jako u pryže, pak následuje výrazná progrese křvky. U čstě pryžového vzorku, je vdět, že pro deformační posuv uz 5mm ( ε 50 0 0 ) vyvolá pouze změkčující charakter křvky. Deformační posuv pravděpodobně nebyl tak velký, aby došlo k napřímení molekulárních strukturních řetězců pryže, které jak je vdět na obrázku (vz. Obr. 30), vytváří progresvtu křvky. Přblžně dvakrát větší homogenzované napětí u kompoztu je způsobeno těmto čntel. Jsou jm jednak přítomnost vláken působící jako koncentrátor napětí a dále také vznk obecné trojosé napjatost v blízkost rozhraní ocel-pryž, která má za následek vyztužení blízkého okolí rozhraní. Tím se zvýší tuhost, zmenší se deformace a výrazně vzrostou reakční síly. 4..6 ZKOUŠKA OHYBEM VLIV POUŽITÍ KONTAKTU NA SIMULACI V MKP Zkouška čtyřbodovým ohybem je provedena na vzorku kompoztu s podélným vlákny. Aktvace vzorku je zajštěna deformačním posuvem horní dvojce válečků, které jsou vtlačovány do vzorku. U reálné zkoušky ohybem by vznkla mez válečkem a kompoztem nezanedbatelná styková plocha, která by měla být ve výpočtovém modelování zohledněna použtím kontaktu. Jestlže však použj kontakt, znamenalo by to přdání další nelnearty, která by výrazně prodloužla čas výpočtu. Pro lustrac byl proveden výpočet s deformačním posuvem uy 0,3mm, aby bylo možné porovnat výpočtové časy. Zkouška ohybem bez použtí kontaktu trvala t 30mn a zkouška ohybem s kontaktem t 90mn. Proto dále kontakt nebyl modelován. Dplomová práce - 67 - Mlan Jarý

Obr. 3: Okrajové podmínky a geometre pro zkoušku čtyřbodovým ohybem Obr. 3: Použtá dskretzace Obr. 33: Zkouška ohybem průhybu v závslost na síle pro deformační posuvy mm až 3mm 4..7 ĚŠOVACÍ PRAVIDLO LINEÁRNÍ VERZUS NELINEÁRNÍ KOMPOZIT V této kaptole jsem se zabýval nejprve porovnáním modulu pružnost v tahu (E) vzorku kompoztu s příčným vlákny a čstě pryžového vzorku. Dále byl porovnán modul pružnost v tahu nejprve získaný jako směrnce deformačně napěťové křvky (vz. Obr. 34) s modulem pružnost v tahu, který byl spočítán ze směšovacího pravdla pro lneárně elastcké kompozty (vz. [5]). Podle předpokladů lneárních kompoztů by se měly výsledky shodovat. Dplomová práce - 68 - Mlan Jarý

0,6 E Kompozt tgβ tg 8, 75MPa (43) 0,03 0,6 EPr yž tgα tg 6, 89MPa (44) 0,087 Výše uvedený výpočet byl proveden z tg úhlu v lneární oblast ε. Obr. 34: Porovnání modulů pružnost v tahu Směšovací pravdlo pro lneární elastcké kompozty: E T v f vm Em 6,89 + ET 8,9MPa (45) E E v 0,774 f m m Pro malé deformace zanedbávám v f / E f, jelkož př malých ε se na E podílí pouze pryž. E Nelneární Kompoztu 75 8, MPa ; E Lneární 8, MPa (46) T 9 Rozpor mez výsledky (46) lze vysvětlt tím, že u směšovacího pravdla pro kompozty je uvažována jednoosá tahová napjatost a lneární chování, ale v mém případě matrce z pryže, na rozhraní vznká obecná trojosá napjatost, která kompozt s příčným vlákny na rozhraní naopak velce vyztužuje. Dalším faktem je, že matrce použtá v smulac je z hyperelastckého materálu, zatímco ve směšovacím pravdle se uvažuje lneární zotropní matrce. Směšovací pravdlo funguje jen pro lneární zotropní materál, který vykazuje malé deformace. Proto jej nelze aplkovat u matrce z pryže. 4..8 TVORBA MODELU ZKUŠEBNÍHO VZORKU HYPERELASTICKÉHO KOMPOZITU SE ŠIKMÝMI VLÁKNY Ve výše uvedených zkouškách jsem se zabýval kompozty, které měly pouze podélná nebo příčná vlákna, avšak v prax jsou využívány hlavně kompozty, u kterých jsou výztužná vlákna v obecných úhlech odklonu od podélného směru. Pro ně byl vytvořen výpočtový model. V reálných expermentech se používají vzorky kompoztů obdélníkového tvaru, které jsou vyříznuté z vyrobeného pásu kompoztu. Model takového vzorku kompoztu nelze celý Dplomová práce - 69 - Mlan Jarý

pravdelně (mapovaně) dskretzovat a v některých místech je z tohoto důvodu značně jemná síť. To způsobí výrazné prodloužení výpočtových časů potřebných k řešení úlohy. Z tohoto důvodu musel být vzorek kompoztu upraven tak, aby bylo možné provést mapovanou a hrubší dskretzac, tím snížt počet elementů a dosáhnout tak podstatně kratších výpočtových časů. Úprava vzorku kompoztu spočívá v tom, že základní prostorová buňka výpočtového modelu je modelována ve směru vlákna. Nakopírováním této prostorové buňky vznkne kompozt, který má na okrajích zuby (vz. Obr. 38). Ty jsou způsobeny tím, že se prostorová buňka modeluje škmo ve směru vláken, takže vzorek kompoztu se zuby, bude mít jný průřez než je u plného kompoztu. Postup tvorby zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu se zuby : Obr. 35: Rozměry elementu Obr. 36: Základní prostorová buňka Obr. 37: 3D model zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu se škmým vlákny Dplomová práce - 70 - Mlan Jarý

Obr. 38: Půdorys 3D modelu zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu se zuby Základní buňka zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu má rozměry shodné s reálným zkušebním vzorkem kompoztu, který se používá př expermentech. Volba použté dskretzace základní prostorové buňky (vz. Obr. 36) je volena na základě tohoto předpokladu. K výskytu největších hodnot napětí a přetvoření dochází u zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu na rozhraní ocel-pryž. Z tohoto důvodu je jemnější síť právě u rozhraní, aby bylo možné co nejvěrohodněj posthnout deformačně napěťové stavy. Dále výstužné vlákno je taktéž dskretzováno optmálně tak, aby byla jemnější síť na obvodu a uprostřed co nejhrubší, jelkož se tam z pohledu napětí a deformace nc významného neděje. V tomto duchu je dskretzován celý výpočtový model. Dále 3D model zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu se škmým vlákny má ekvvalentní rozměry k vzorku, který je používán v expermentech. Tato ekvvalence je zaručena pomocí vypočteného průřezu kompoztu, který by př vyhodnocení dával smluvní napětí shodné se smluvním napětím obdélníkového vzorku. Průřez vzorku hyperelastckého kompoztu se zuby se dále bude nazývat EFEKTIVNÍ PŘŮŘEZ KOMPOZITU - S ef (vz. (50)), ve kterém vystupuje součntel (k), jenž se stanoví z následujícího postupu. Jelkož u reálné zkoušky tahem (experment) je vzorek plný (bez zubů) a ve výpočtovém modelování bude dále používán model zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu se zuby, je zapotřebí vytvořt přepočtový vztah pro S ef. Pro jeho zjštění byla provedena smulace zkoušky jednoosým tahem na modelu plného kompoztu a také na modelu vzorku kompoztu se zuby. Efektvní průřez kompoztu S ef, respektve součntel (k), je tedy vypočten z rovnost smluvních napětí zubatého a plného zkušebního vzorku Zuby Pln ý kompoztu. Dplomová práce - 7 - Mlan Jarý

Ze smulace byly odečteny tyto hodnoty: Z 3, 96N ; F P ln ý Zuby Z 6, 56N ; ε Z 0, 058 F Zuby Pln ý ε Z 0,058 ; lmax 3, 5mm ; l mn 0, mm h, 5mm S max lmax h 3,5,5 30, 375mm (47) S mn lmn h 0,,5, 758mm (48) S ef mn ( S S ) S + k (49) max mn Obr. 39: Maxmální a mnmální průřez Zuby P ln ý Zuby P ln ý Zuby P ln ý FZ FZ FZ FZ (50) S S S + k ef P ln ý mn ( S max S mn ) S P ln ý k F S Zuby Z Pln ý Pln ý FZ S max S S mn mn 3,96 30,375,758 6,56 0,383 30,375,758 (5) Takto zjštěný součntel (k), bude dále použt jako přepočtový součntel pro určení efektvního průřezu zkušebního vzorku kompoztu pro všechny další mechancké zkoušky. To znamená, že konkrétní hodnoty smluvního napětí vzorku se zuby budou počítány v následujících úlohách podle vztahu: Zuby Zuby Zuby FZ FZ S S + k ef mn ( S S ) max mn HOM (5) Tím je umožněno věrohodné porovnání smulace provedené na modelu zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu se zuby s expermentem. Dplomová práce - 7 - Mlan Jarý

4.3 SIMULACE MECHANICKÝCH ZKOUŠEK 4.3. VSTUPNÍ ÚDAJE DO ALGORITMU 4.3.. Model topologe a geometre zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu Použtý výpočtový model má vnější rozměry shodné se vzorkem používaným př expermentu. Avšak mez vzorkem pro smulac a vzorkem pro experment je rozdíl ve smyslu zubů, jenž jsou u výpočtového modelu. Rozdílná geometre výpočtového modelu je zohledněna efektvním průřezem kompoztu, který byl podrobně odvozen v kaptole (4..8). To znamená, že hodnota smluvního napětí získaného ze vzorku se zuby je rovna hodnotě smluvního napětí plného vzorku jenž je používán př expermentu. Výsledky ze smulace mohu porovnat s výsledky z expermentu. Ve výpočtovém modelování bude použt vzorek hyperelastckého kompoztu s škmým vlákny o rozměrech 00x0x,5mm, podélným vlákny o rozměrech 50x0x,5mm a příčným vlákny o rozměrech 00x0x,4mm. 4.3.. Model okrajových podmínek zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu Na výpočtových modelech zkušebních vzorků hyperelastckého kompoztu budou v následujících kaptolách prováděny mechancké zkoušky dvojího typu. Prvním typem je zkouška jednoosým tahem, která je prováděna na zkušebním trhacím stroj. Okrajové podmínky u zkoušky jednoosým tahem jsou předepsány na výpočtovém modelu ekvvalentně reálné zkoušce (vz. Obr. 40). Spodní část zkušebního vzorku je uchycena nepohyblvě a horní část zkušebního vzorku, která je aktvována deformačním posuvem, se pohybuje směrem vzhůru. Druhým typem je zkouška tříbodovým ohybem. Tříbodový ohyb je pro smulac zvolen proto, aby bylo možno věrohodně porovnat výsledky s expermentem, který byl taktéž prováděn tříbodovým ohybem. Na horní stranu zkušebního vzorku působí pohybující se břt směrem dolu a na spodní straně je zkušební vzorek podepřen dvěma nepohyblvým břty (vz. Obr. 4). U zkušebního vzorku kompoztu s podélným a příčným vlákny jsou okrajové podmínky stejné. U zkoušky tříbodovým ohybem je třeba uvést rozdíly mez okrajovým podmínkam pro zkušební vzorek se škmým a podélným vlákny. Př Dplomová práce - 73 - Mlan Jarý

zkoušce tříbodovým ohybem zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu s podélným nebo příčným vlákny postačí předepsat na spodní straně vzorku pouze zamezení posuvu ve směru tloušťky vzorku a to po celé jeho šířce tak jak se dotýkají podpěrné břty. Ovšem u zkušebního vzorku kompoztu se škmým vlákny vznká př ohybu přídavné zkroucení (nadzvednutí) okrajů vzorku a tudíž tento fakt musí být zohledněn v okrajových podmínkách tak, že vzorek nebude podepřen po celé šířce, ale jen na cca /3 šířky na stykové ploše hrotů (vz. Obr. 4). Obr. 40: Okrajové podmínky zkouška tahem Obr. 4: Okrajové podmínky zkouška ohybem 4.3..3 Model konsttutvních vztahů zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu Pro pops nehomogenního tělesa, kterým je zkušební vzorek hyperelastckého kompoztu, je nutné popsat zvlášť materálové parametry hyperelastcké matrce a zvlášť materálové parametry ocelového vlákna. To znamená, že pro pops obou složek kompoztu musím použít odlšné konsttutvní vztahy popsující daný materál. Hyperelastcká matrce je popsána Ogdenovým konsttutvním modelem materálu který má 5 materálových parametrů, které jsou získány aproxmací expermentálních naměřených hodnot. Ocelová výztužná vlákna jsou popsána zotropním elastckým lneárním modelem materálu s Youngovým modulem pružnost v tahu E 0 GPa a Possonovým číslem µ 0,3. Dplomová práce - 74 - Mlan Jarý

4.3..4 Způsob získání vstupních expermentálních dat, expermentální data k ověření věrohodnost výsledků výpočtového modelování Vstupním, expermentální daty jsou chápány hodnoty napětí a přetvoření z jednoosé a dvouosé tahové zkoušky konkrétní pryže a elastcké parametry ocel. Vstupním údaj do řešení smulace mechanckých zkoušek jsou expermentální data pryže ze Zlína. Expermentální data jsem získal od Dr. Skácela jako soubory naměřených hodnot ε. K ověření věrohodnost výsledků výpočtového modelování jsou zapotřebí expermentálně změřené hodnoty smluvního homogenzovaného napětí a přetvoření konkrétního vzorku kompoztu. V následujících kaptolách budou porovnávány výsledky jednotlvých smulací tahových a ohybových zkoušek právě s expermentálním daty, která jsou získána z mechanckých zkoušek reálných vzorků. Tyto vzorky mají matrc z pryže a výztužná vlákna z ocel. Všechna expermentální data k ověření správnost výpočtového modelování jsem obdržel od Dr. Skácela. 4.3. ZKOUŠKY JEDNOOSÝM TAHEM ZKUŠEBNÍHO VZORKU HYPERELASTICKÉHO KOMPOZITU V této kaptole budou porovnány výsledky výpočtového modelování s expermentem. To znamená, že budou porovnány deformačně napěťové charakterstky smulace, které byly provedeny na modelu zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu s příslušným expermentálně změřeným daty vzorků z kompoztu ze Zlína. Výpočtové modelování bylo prováděno na modelech zkušebních vzorků z hyperelastckého kompoztu a to s úhly odklonu vlákna od podélného směru α 30, α 45, α 60, α 90. V tabulce (vz. Tab. ) jsou uvedeny, hustota použté dskretzace ve smyslu počtu elementů a uzlů potřebných pro pops zkušebního vzorku a výsledný výpočtový čas, který byl zapotřebí pro řešení úlohy. V tabulce (vz. Tab. ) jsou uvedeny hodnoty maxmálních úhlových přetvoření, maxmálních hlavních přetvoření, přetvoření v podélném směru vzorku a třetí hlavní napětí 3. Na obrázcích Obr. 4, Obr. 43 jsou vdět rozdíly mez skutečným přetvořením ve směru délky vzorků se škmým a příčným vlákny, kde k podstatné deformac dochází v pryž mez vlákny. Dplomová práce - 75 - Mlan Jarý

Tab. : Použtá dskretzace a výsledný výpočtový čas (Tah) α Elementy Uzly Čas (t) 30 999 9089 4h 40mn 45 4576 04 8h 30mn 60 30480 446 7h 40mn 90 460 993 9h Tab. : Hodnoty max. úhlových a hlavních přetvoření, podélné přetvoření, třetí hlavní napětí (Tah) α γ max ε ε z 3 30,3,09,08 4,8 MPa 45,377,65,89 0, MPa 60,55,65,39 8,59 MPa 90,575,085 0,74 9,98 MPa Obr. 4: Skutečné přetvoření v podélném směru vzorku se škmým vlákny (TAH) Dplomová práce - 76 - Mlan Jarý

Obr. 43: Skutečné přetvoření v podélném směru vzorku s příčným vlákny (TAH) Obr. 44: Porovnání výsledků výpočtového modelování s expermentem (TAH) Z obrázku (vz. Obr. 44) je patrné, že z kvaltatvního hledska se výpočtové modelování s expermentem shoduje. Ovšem kvanttatvně se výsledky mez výpočtovým modelováním a expermentem lší o 0% až 40%. Kvanttatvní neshoda výpočtového Dplomová práce - 77 - Mlan Jarý

modelování s expermentem by mohla být způsobena jednak stárnutím pryže a jednak absencí expermentální smykové zkoušky, pro nž v danou dobu nebylo k dspozc expermentální zařízení. To, že absence smykové zkoušky má podstatný vlv na kvanttatvní odchylku mez expermentem a výpočtovým modelováním je doloženo v tabulce, kde je vdět výrazný podíl úhlových přetvoření na obecné trojosé deformac, což mohlo způsobt kvanttatvní odchylku smulace a expermentu. 4.3.3 ZKOUŠKY TŘÍBODOVÝM OHYBEM ZKUŠEBNÍHO VZORKU HYPERELASTICKÉHO KOMPOZITU U zkoušky tříbodovým ohybem budou porovnány výsledky výpočtového modelování s expermentem stejně tak jako v předchozí kaptole u zkoušky jednoosým tahem. Výpočtové modelování bylo prováděno na modelech zkušebních vzorků z hyperelastckého kompoztu a to s úhly odklonu vlákna od podélného směru α 0, α 30, α 45, α 60, α 90. V tabulce (vz. Tab. 3) jsou uvedeny, hustota dskretzace ve smyslu počtu elementů a uzlů potřebných pro pops zkušebního vzorku a výsledný výpočtový čas, který byl zapotřebí pro řešení úlohy. V tabulce (vz. Tab. 4) jsou uvedeny hodnoty maxmálních zkosů, maxmálních hlavních přetvoření a třetí hlavní napětí 3. Na obrázku (vz. Obr. 46) je u zkoušky tříbodovým ohybem zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu se škmým vlákny patrný vznk přídavného zkroucení (nadzvednutí) okrajů vzorku, které je způsobeno právě odklonem vláken od podélného směru vzorku. Tab. 3: Použtá dskretzace a výsledný výpočtový čas (Ohyb) α Elementy Uzly Čas (t) 0 36436 96637 7h 30 999 9089 3h 45 4576 04 5h 60 30480 446 4h 30mn 90 460 993 5h 30mn Dplomová práce - 78 - Mlan Jarý

Tab. 4: Hodnoty max. úhlových a hlavních přetvoření, třetí hlavní napětí (Ohyb) α γ max ε 3 0 0,054 0,03 0,49 30 0,349 0,09 5,83 45 0,407 0,69 6,7 60 0,07 0,046,4 90 0,037 0,0 0,94 Obr. 45: Největší hlavní přetvoření ε vzorku s podélným vlákny (OHYB) Obr. 46: Posuv ve směru tloušťky vzorku se škmým vlákny (OHYB) Dplomová práce - 79 - Mlan Jarý

Obr. 47: Porovnání trendu expermentálních závslostí síly na průhybu (OHYB) Obr. 48: Porovnání výsledků výpočtového modelování s expermentem (OHYB) Dplomová práce - 80 - Mlan Jarý

Obr. 49: Porovnání výsledků výpočtového modelování s expermentem (OHYB) Z obrázků Obr. 48 a Obr. 49 je patrná závslost velkost reakční síly na úhlu odklonu ocelových vláken od podélného směru. Z toho vyplývá, že př úhlu odklonu ocelových vláken α 0 (podélná vlákna) je velkost reakční síly největší a se zvětšujícím se úlem odklonu vláken α (30, 45, 60, 90 ) se velkost reakční síly zmenšuje (vz. Obr. 47). Výrazné změny velkost reakčních sl jsou mez úhly α ( 0, 30, 45 ) a pro úhly α (60, 90 ) je velkost reakčních sl téměř stejná a velce malá (do F 0,N), z čehož vyplývá, že použtí výztužných vláken pod úhlem α (60, 90 ) nemá přílš význam z hledska zvýšení ohybové tuhost kompoztu. Rozdíly mez výpočtovým modelováním a expermentem mohou být způsobeny absencí expermentální smykové zkoušky, dále stárnutím pryže a například př zkoušce jednoosým tahem, z hledska tuhost, nezáleží na zcela přesném rozložení vláken po průřezu, avšak př zkoušce tříbodovým ohybem je tento fakt velce podstatný a může mít výrazný dopad na výsledky z výpočtového modelování. Z výsledků v kaptolách (4.3.) a (4.3.3) jsem došel k závěru, že u zkoušky ohybem je kvanttatvní odchylka mez expermentem a smulací větší než u zkoušky tahem. Dplomová práce - 8 - Mlan Jarý

4.4 HOMOGENIZACE VLASTNOSTÍ ZKUŠEBNÍHO VZORKU HYPERELASTICKÉHO KOMPOZITU V této kaptole se zabývám homogenzací vlastností zkušebního vzorku kompoztu. V současné době je vytváření výpočtových modelů hyperelastckých kompoztů na takové úrovn, že je nezbytné modelovat výztužná vlákna kompoztu. Jelkož zatím výpočtové modely vzorků hyperelastckých kompoztů obsahují namodelovaná výstužná vlákna, je pro pops chování tohoto zkoumaného kontnua nutné použít vysoký počet prvků, jenž je zapotřebí pro získání věrohodných výsledků, z čehož plyne, že pro vyřešení takové úlohy je dosahováno dlouhých výpočtových časů. Tento fakt praktcky znemožňuje např. provést výpočet pneumatky jako celku v reálném výpočtovém čase. Z tohoto důvodu je nutné provést homogenzac vlastností kompoztu tak, že by se jž nemodelovala výztužná vlákna, ale stačlo by vymodelovat pouze geometr vzorku z homogenního materálu. Mechancké vlastnost vláken by byly vyjádřeny matematcky v měrné energ napjatost W příslušného konsttutvního modelu. Takto provedená homogenzace vlastností kompoztu by vedla k výraznému snížení počtu prvků popsujících dané kontnuum, tím by se mnohonásobně snížl výpočtový čas potřebný k řešení úlohy. V mé dplomové prác se zabývám homogenzací vlastností kompoztu pomocí dvou konsttutvních modelů materálu. Jedná se o Holzapfelův hyperelastcký anzotropní model materálu a polynomcký hyperelastcký anzotropní model materálu. V první fáz návrhu homogenzace vzorku byl uvažován pouze Holzapfelův konsttutvní model materálu. Tento model materálu je prortně využíván pro pops měkkých tkání, konkrétně pro pops mechanckých vlastností a chování cév. K použtí tohoto konsttutvního modelu materálu nás vedl fakt, že céva je taktéž kompoztní materál stejně jako nám zkoumaný zkušební vzorek hyperelastckého kompoztu a zadávání směrových vlastností je velce podobné. Jelkož však byly zjštěny omezené možnost aplkace Holzapfelova konsttutvního modelu materálu pro výpočtové modelování technckých kompoztů (vz. 4.4.), musel být použt polynomcký anzotropní model materálu. Výsledky výpočtového modelování s použtím polynomckého anzotropního modelu materálu budou uvedeny v kaptole (vz. 4.4.). Dplomová práce - 8 - Mlan Jarý

4.4. HOLZAPFELŮV HYPERELASTICKÝ ANIZOTROPNÍ MODEL MATERIÁLU U tohoto konsttutvního modelu materálu je hustota deformační energe dána vztahem (48). Holzapfelův model se dá použít jen za předpokladu, že jsou výztužná vlákna namáhána tahem nkol tlakem. Ze vztahu (48) je patrná struktura anzotropní složky hustoty deformační energe, jenž obsahuje k, k,... A právě materálový parametr k, jenž vyjadřuje tuhost výztužných vláken byl zdrojem problému konvergence výpočtu zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu se škmým vlákny a to z následujícího důvodu. Holzapfelův konsttutvní model materálu je používán pro výpočtové modelování cév, kde se materálový parametr k pohybuje řádově v jednotkách [MPa]. Naprot tomu pro výpočtové modelování technckých kompoztů je hodnota k ve stovkách až tsících [MPa]. Toto byl problém, jenž způsoboval nekonvergenc výpočtu a tudíž nebylo dosaženo žádných výsledků pro výpočtový model se škmým vlákny. Pro výpočtový model s příčným vlákny výpočet zkonvergoval, ale jen proto, že byla vlákna kolmo na směr zatěžování a z tohoto důvodu byla neaktvní ve smyslu přenosu zatížení a celý vzorek hyperelastckého kompoztu se choval jako samotná pryž, jelkož Holzapfelův konsttutvní model materálu je schopen počítat pouze s vlákny namáhaným tahem. Z výše uvedeného vyplývá nemožnost použtí tohoto modelu a nutnost použtí polynomckého anzotropního modelu. 4.4. POLYNOMICKÝ HYPERELASTICKÝ ANIZOTROPNÍ MODEL MATERIÁLU U tohoto konsttutvního modelu materálu je hustota deformační energe dána vztahem (5). Ze vztahu (5) je vdět struktura anzotropní složky hustoty deformační energe. První člen ve vzorc pro hustotu deformační energe vyjadřuje změnu objemu, druhý člen je shodný s Neohookovým modelem s tím rozdílem, že materálový parametr se musí násobt ½, protože u Neohooka je tento člen polovční. Čtvrtý a šestý člen vyjadřuje zahrnutí mechanckých vlastností vláken do homogenzovaného vzorku kompoztu. Na tomto konsttutvním modelu materálu byly prováděny pouze zkoušky jednoosým tahem a to na zkušebních vzorcích hyperelastckého kompoztu s úhly odklonu fktvního vlákna od podélného směru α 30, α 45, α 60, α 90. Výsledky získané z výpočtového modelování homogenzovaného výpočtového modelu budou porovnány s výsledky Dplomová práce - 83 - Mlan Jarý

výpočtového modelu s namodelovaným vlákny. Podle předpokladu by se výsledky obou přístupů měl shodovat, čímž by bylo dosaženo homogenzace zkušebního vzorku hyperelastckého kompoztu. Konkrétní materálové parametry použté pro homogenzovaný vzorek: Zadávání materálových parametrů se v tomto případě provádí pomocí makra, ve kterém jsou nadefnovány počáteční modul pružnost ve smyku Neohook, jenž je podělen dvěma, dále materálový parametr vyjadřující tuhost výstužných vláken, součntel nestlačtelnost materálu a směrové vlastnost výztužných vláken ve vzorku ve smyslu úhlu odklonu výstužných vláken od podélného směru. Konkrétní ukázka makra, které defnuje vlastnost materálu je na obrázku (vz. Obr. 50). Modul pružnost ve smyku: G,55 a 0, 5775MPa (53) kde G je modul pružnost ve smyku u Neohooka, který byl vypočten z expermentálně získaných dat Tuhost výztužných vláken: EL v f E f 0,7 0000 4675MPa (54) E c L 668MPa 4 (55) Směrové vlastnost vláken: např. pro α 60 A A x z sn 60 o cos60 o 0,866 0,5 (56) Obr. 50: Defnování polynomckého anzotropního modelu materálu v systému MKP Dplomová práce - 84 - Mlan Jarý

V tabulce (vz. Tab. 5) jsou uvedeny, hustota dskretzace ve smyslu počtu elementů a uzlů potřebných pro pops zkušebního vzorku a výsledný výpočtový čas, který byl zapotřebí pro řešení úlohy. Tab. 5: Použtá dskretzace a výsledný výpočtový čas (Tah) homogenzovaný vzorek α Elementy Uzly Čas (t) 30 8mn 45 4mn 60 380 753 3mn 40sec 90 3mn Obr. 5: Porovnání výsledků kompozt s vlákny versus kompozt homogenzovaný (TAH) Dplomová práce - 85 - Mlan Jarý

Obr. 5: Skutečné přetvoření v podélném směru homogenzovaného vzorku se škmým vlákny (TAH) Z obrázku (vz. Obr. 5) je vdět, že z kvaltatvního hledska se deformačně napěťové křvky vzorku hyperelastckého kompoztu s vlákny shodují s deformačně napěťovým křvkam homogenzovaného vzorku hyperelastckého kompoztu a že z hledska kvanttatvního je zde velce malá odchylka v řádu jednotek procent, což je velce dobrý výsledek. Z toho vyplývá, že předpoklad o použtí polynomckého anzotropního modelu materálu, který homogenzuje vlastnost hyperelastckého kompoztu je v pořádku a lze pomocí něj výpočtově modelovat ekvvalentně deformačně napěťové stavy jako u vzorku hyperelastckého kompoztu s vlákny. Rozdíl je zde př vyhodnocování přetvoření. U vzorku hyperelastckého kompoztu s vlákny je smluvní přetvoření vypočteno z rozdílu posuvů, naprot tomu u homogenzovaného vzorku hyperelastckého kompoztu je smluvní přetvoření vypočteno dle příslušných vztahů ze skutečného přetvoření, které je odečteno přímo z Ansysu. Dále je z tabulky (vz. Tab. 5) patrné, že homogenzací vlastností vzorku hyperelastckého kompoztu se velm výrazně snížl počet prvků (přblžně o jeden až dva řády) popsující zkoumané kontnuum a tím se zkrátl čas potřebný pro řešení úlohy z řádů hodn pouze na několk mnut. Dplomová práce - 86 - Mlan Jarý