x = f(x), ) [ x(0) x 0 < δ = x(t) x 0 < ε t 0] > 0 x(0) x 0 < = lim x(t) = x 0 ¾µ x = Ax, A R n n µ

ËØ Ð Ø Î Ø ØÓ Ô ØÓÐ Ù Ñ Þ Ú Ø ÓÚ Ò Ñ Ò ÔÖÓ ÓÙ Ó Ò Ó¹ Ò Ò º ÍÚ öù Ñ ÓÙ Ø ÚÙ ÖÓÚÒ x = f(x), ½µ f C 1 (Ω,R n ) Ω R n x : R Ωº Æ ð x 0 Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ø º f(x 0 ) = 0º Ó x 0 Ò ÞÚ Ø ÐÒ ØÐ ö ( ε > 0 )( δ > 0 ) [ x(0) x 0 < δ = x(t) x 0 < ε t 0] x(t) Ò ½µ ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò ÓÙ x(0) Ú t = 0º Ó x 0 Ò ÞÚ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ¹Ð Ø ÐÒ Ò Ú ( ) [ ] > 0 x(0) x 0 < = lim x(t) = x 0 ¾µ t Ó x 0 Ò ÞÚ Ò Ø ÐÒ Ò Ò ¹Ð Ø ÐÒ º Æ ÞÓÖÒ ÒÓ Ø Ð Ø ÞÒ Ñ Ò ö Ò Þ Ò Ð Þ Ó x 0 Þó Ø Ò Ð Þ Ó x 0 ÔÖÓ Ú Ò t 0º ÝÑÔØÓØ Ø Ð Ø ÞÒ Ñ Ò Ò Ú ö Ò Þ Ò Ð Þ Ó x 0 ÓÒÚ Ö Ù x 0 ÔÖÓ t º Ë ÑÓØÒ ÔÓ Ñ Ò ¾µ ö x 0 ØÞÚº ÐÓ ÐÒ ØÖ ØÓÖº Ì ØÓ ÔÓ Ñ Ò Ó Ò Ò ÑÔÐ Ù Ø Ð ØÙ Ú Þ Î ÒÓ Ö ÓÚóÚ Ý Ø Ñ Ò ö µº Ä Ò ÖÒ Ý Ø ÑÝ ÈÖÓ Ð Ò ÖÒ Ý Ø ÑÝ ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ Ø x = Ax, A R n n µ ØÙ ÒÓ Ù º  ¹Ð Ñ Ø A Ö ÙÐ ÖÒ Ñ ÖÓÚÒ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ó x 0 = 0 Ó Ø Ð Ø ÙÖ Ò Ò Ð Ù Ú ØÓÙº ÈÓ Ù A Ò Ò Ö ¹ ÙÐ ÖÒ Ñ ÖÓÚÒ Ð ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ó Ø ÒÑ ØÝÔ Ñ Ø Ð ØÝ ÔÐ Ø ÔÖÓ Ò Ø ö Ò Ð Ù Ú Ø ºµ Î Ø ½ Ä ÔÙÒÓÚÓÚ µº Â Ò ÓÙ Ø Ú µ ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ Ø Aº µ Ó 0 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÖ Ú Ýö Ñ Ú Ò ÚÐ ØÒ Ð A Þ ÔÓÖÒÓÙ Ö ÐÒÓ٠غ µ Ó 0 Ø ÐÒ ÔÖ Ú Ýö Ñ Ú Ò ÚÐ ØÒ Ð A Ò Ð ÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø ÂÓÖ ÒÓÚÝ Ù Ý Ô ÐÙ Ò ÚÐ ØÒ Ñ ÐóÑ ÒÙÐÓÚÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø Ñ Ú Ð Ó Ø Ò º ½

µ Ó 0 Ò Ø ÐÒ ÔÖ Ú Ýö Ñ ÔÓ ÒÓ ÚÐ ØÒ ÐÓ A Ð ÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø Ò Ó Ñ ÒÙÐÓÚÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø Ô ÐÙ Ò ÂÓÖ ÒÓÚ Ù Ñ Ú Ð Ó Ø ÔÓ ¾º Ì ØÓ Ú Ø ÔÐÝÒ Ò Þ ÚÔÓ ØÙ Ò Ú Þ Ô ØÓÐ Ó Ñ Ø ÓÚ ÜÔÓÒ Ò ¹ Ð º Ý ÓÑ Ù Ò Ò Ð ÚÝ ÓÚ Ò Ô ÔÓÑ Ñ ö ÑÒÓö ÒÙ ÚÐ ØÒ Ð Ñ Ø A Ò ÞÚ Ñ Ô ØÖ Ñ ÞÒ Ñ σ(a)º Ð Þ Ú Ñ ÓÞÒ Ò s(a) := max{reλ : λ σ(a)}º ÌÓØÓ ÐÓ Ø Ö Ñ Þ Ò ÚÞÒ Ñ ÔÖÓ Ø Ð ØÙ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ó Ò Ý Ò ÞÚ Ô ØÖ ÐÒ Ñ Þº È ÔÓÑ Ñ Ø Ð ÓÚ Ó Ó Ø Ö Ñ Ñ ö ÞÑ Ò Ð Ú Ô ØÓÐ Ó Ñ Ø ÓÚ ÜÔÓÒ Ò Ð ÔÖÓ ö β > s(a) Ü ØÙ M 1 Ø ö ÔÐ Ø e ta Me βt ÔÖÓ Ú Ò t 0. µ È Ð ½º Æ Ø Ò ÓÙ Ø ÚÝ 4 2 1 x = 3 5 1 x 0 2 2 ÓÚ Ø ö Ú Ð Ú ÓÙÐ Ù ØÚÖÞ Ò Ñ Î ØÝ ½º à Ò º ÍÔÖ ÚÙ Ñ λ¹ñ Ø λ+4 2 1 0 (λ 2 +9λ+14) λ+7 3 λ+5 1 3 λ+5 1 0 2 λ+2 0 2 λ+2 0 (λ 2 +9λ+12) 5 0 (λ 2 +9λ+12) 5 3 λ+5 1 3 λ+5 1. 0 10 5(λ+2) 0 (λ+7)(λ 2 +4λ+2) 0 Ç ØÙ Þ Ú Ñ λ 1 = 7 λ 2,3 = 2± 2 x 2 (t) = ce 7t +de ( 2+ 2)t +fe ( 2 2)t, c,d,f R. Ð Þ Ñ ö Ø x 1 x 3 Ù ÓÙ Ð Ò ÖÒ Ñ ÓÑ Ò Ñ Ø ØÓ Ø ÜÔÓÒ Ò Ðº ÈÖÓØÓö Ú Ò λ Óö ÓÙ Ú ÙØ ÒÓ Ø ÚÐ Ò Ð Ñ Ø ÓÙ Ø Úݵ ÓÙ Þ ÔÓÖÒ Ò Ó Ø Ú Ñ ö x i 0 Ð Ò (0,+ ) ÔÖÓ i = 1,2,3 Ø Ý ÒÙÐÓÚ Ò ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º ÓÔÓ Ø Ñ ¹Ð x 1 x 3 Ó Ø Ò Ñ x 3 (t) = 2 5 ce 7t + 2de ( 2+ 2)t 2fe ( 2 2)t x 1 (t) = 8 15 ce 7t + 7+2 2 3 de ( 2+ 2)t + 7 2 2 fe ( 2 2)t. 3 ¾

ÈÓÞÒ Ñ º Â Ú Ó Ò Þ óö ÞÒ Ø ö Ö Ø Ö Ô ÓÞ Ú ØÝ Ò ÐÞ ÔÓÙö Ø Ú Ô Ô Ò ÙØÓÒÓÑÒ ÖÓÚÒ Ø º ÔÓ Ù A Þ Ú Ò º ÌÓ Ó ÐÙ ØÖÙ Ô Ð Äº Å ÖÙ Àº Ñ Ó ÙÚ öù Ñ Ñ Ø ( ) 3cos2t 1, 4 3sin2t A(t) = 1 4 4 3sin2t, 1 3cos2t ËÒ ÒÓ ÔÓ Ø ö ÔÖÓ ö t Ñ ÚÐ ØÒ Ð A(t) ØÖ ØÒ Þ ÔÓÖÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø Ó ÓÒ λ 1,2 = 1 4 ( 1± 7i) Ò Þ Ú Ð Ò tº Ú ÙÒ ( ) cost x(t) = e t sint Ò Ñ ÓÙ Ø ÚÝ x = A(t)x Ø Ý Ø ØÓ ÖÓÚÒ Ò Ø ÐÒ º Æ Ò Ô Ð Ø ö ÔÓ ÓÔ Ø ÔÓ Ø ØÙ ÙÚ Ò Ó ÔÖÓØ Ô Ð Ùº ËÓÙÚ Ø Ñ ö Ò Ú Ô Ô ÓÒ Ø ÒØÒ Ø ÐÒ Ñ Ø Ò Ò ÑÙ Ò Ù Ø Ð Ò Ô Ð öóú Ø ÒÙÐ º ÃÙÔ Ð Ù Ò ÓÙ Ø ÚÝ y = A(0)y ÔÓ Ý Ù ÔÓ Ð ÔØ Ô Ö Ð Þ Ó Ö Þ Ù Ô ØÖÒ ö Ú Ð Þ Ó Ø Ó Ý x ÚÞ ¹ Ð ÒÓ Ø Ó ÔÓ Ø Ù Ó Ò ÞÚ Ø Ù º Å Ø A(0) ÒÝÒ ÒÓ Ù Ú Ó ÒÓÙ ÖÝ ÐÓ Ø Ø Ñ Ú Ñ ÖÙ ÔÓ Ý Ù Ò Ñö Ó Ð Ñ ØÖÚ Ð Ó Ó ØÐ ÓÚ Ò Ø Ý Ò Ø Ð Øݺ 1 0.5 0-0.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 ÐÓ Ý ½º Æ Ø Ò Ý Ø Ñó Ò Ð Ù Ñ Ñ Ø Ñ A ÓÚ Ø ö ÝÑÔØÓØ ÓÚ Ò Ó Ù ØÚÖÞ Ò Ñ Î ØÝ ½º A = 0 2 3 1 1 1 1 1 0, 0 2 3 0 2 3 0 4 6, 1 2 1 3 1 2 0 1 1

¾º Æ Ø ÒÙØÒÓÙ ÔÓ Ø Ù ÔÓ Ñ Ò Ù ÔÖÓ ØÓ Ý Ú Ò Ò ÖÓÚÒ µ ÝÐ ÓÑ Þ Ò Ò Rº º ÈÓ Ù ¼ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ó ÓÙ Ø ÚÝ µ Ó ÒØÝ Ñ Ø B R n n ÓÙ Ó Ø Ñ Ð Ô ¼ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ó ÓÙ Ø ÚÝ x = (A+B)xº º ÓÖÑÙÐÙ Ø ÒÙØÒ ÔÓ Ø Ù ÔÓ Ñ Ò Ý Þ Ò ö Ñ Ö ÐÒ Ñ Ø 2 2 ÚÐ ØÒ Ð Þ ÔÓÖÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø º º ÈÓ Ù Ü ØÙ Ò ÖÓÚÒ µ Ø Ö Ò ÓÑ Þ Ò Ò (0,+ ) Ô Ü ØÙ Ò ÒÙÐÓÚ Ò x 2 ÔÖÓ Ø Ö lim t x 2 (t) = 0º Ó öø Ò Ó Ò Ø ÔÖÓØ Ô Ð º º Í öø ö ÒÙÐÓÚ Ò Ð Ò ÖÒ ÐÓ Ý ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÖ Ú Ýö Ø ÒÓÑ ÖÒ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ø ÐÒ Ø º Ü ØÙ M c > 0 ÔÐ Ù x(t) Me ct x(0) º à Ò ½µ µ à Ò ÓÙ Ð Ò ÖÒ ÓÑ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð e 2t e 2t e t º à Ò Ñ Ò Ô Ð ØÖÓ x 2 (t) = C( 2 3 e t + 1 12 e2t + 1 4 e 2t ), x 1 (t) = C( 1 3 e t + 7 12 e2t 1 4 e 2t ), x 3 (t) = C( 1 3 e t + 1 3 e2t ), C Rº ËÐÓö Ý ØÓ ÓØÓ Ò Ð ö Ò ÓÒ ÒÙ ð ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Cµ ÓÐ Ñ Ð º ÆÙÐÓÚ Ò Ò Ø ÐÒ º ÎÐ ØÒ Ð Ñ Ø ÓÙ 2 2 1º µ à Ò ÓÙ x 2 (t) = 1 4 C 1 4 Ce 8t +D 3 8 F + 3 8 Fe 8t, x 1 (t) = 1 2 C 1 2 Ce 8t + 1 4 F + 3 4 Fe 8t, x 3 (t) = 3 4 C + 1 4 Ce 8t + 3 8 F 3 8 Fe 8t Ø º ÒÙÐÓÚ Ò Ø ÐÒ Ð Ò Ò ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º ÎÐ ØÒ Ð ÓÙ 0 0 8 Ü ØÙ Ú ÚÐ ØÒ Ú ØÓÖÝ ÚÐ ØÒ ÑÙ ÐÙ ¼ Ø º Ú ÂÓÖ ÒÓÚÝ Ù Ý Ú Ð Ó Ø ½º µ à Ò ÓÙ Ð Ò ÖÒ ÓÑ Ò ÙÒ 1, e t/2 cos( 11/2t), e t/2 sin( 11/2t),

Ø º ÒÙÐÓÚ Ò Ø ÐÒ Ð Ò Ò ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º ÎÐ ØÒ Ð ÓÙ 0 1/2+i 11/2 1/2+i 11/2º ¾µ ÎÐ ØÒ Ð Ñ Ø A ÓÙ ÖÝÞ Ñ Ò ÖÒ Ñ ÂÓÖ ÒÓÚÝ Ù Ý Ú Ð Ó Ø ½º Î Ò Ò ÓÙ Ô Ð Ò ÖÒ Ñ ÓÑ Ò Ñ ÙÒ sinλ i t cosλ i tº µ à Ýö Ñ Ø C ÒÚ ÖØ ÐÒ B < C 1 1 Ô Ø C + B ÒÚ ÖØ ÐÒ Ò Óð C+B = C(I+C 1 B) (C+B) 1 = i=1 ( C 1 B) i C 1 º ÌÚÖÞ Ò Ó Ø Ò Ñ ÔÐ ØÓ ÓØÓ ØÚÖÞ Ò Ò C = λ A Ú ÓÑ Ò Ó Ñ (λ A) 1 1 kd(0,σ(a)) k R Þ Ú Ò Ò A Ò ÓÐ Ò λº µ ÈÖ Ú Ýö deta > 0 tra < 0º Æ ÚÓ ÔÓÐÝÒÓÑ x 2 +px+q Ñ Ó ÒÝ Þ ÔÓÖÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø ÔÖ Ú Ýö p > 0 q > 0º µ ÌÚÖÞ Ò Ò ÔÐ Ø ÔÖÓØ Ô Ð Ñ ( ) 0 1 A = 0 0 Ò x 1 (t) = (t,1)º Î Ò Ò ÓÙ Ð Ò ÖÒ Ñ ÓÑ Ò Ñ ÙÒ 1 tº µ ÈÐÝÒ Þ ÓÒ ØÖÙ e ta ÔÓÑÓ ÂÓÖ ÒÓÚ ØÚ ÖÙ Ñ Ø c = s(a)+ǫº Ä Ò Ö ÞÓÚ Ò Ø Ð Ø Ò Ø Ð Ø µ Å Ñ Ò Ð Ò ÖÒ Ý Ø Ñ ½µ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ó x 0 º È ÞÒ Ò x = y +x 0 Ñóö Ñ Ô Ø y = f(y +x 0 ) = f(x 0 )+ f(x 0 )y +r(y) = Ay +r(y), r(y) = o( y ) ÔÖÓ y 0º Æ Ó ÓÐ Ó Ù x 0 Ò Ó Ð Ò ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø A = f(x 0 ) Ñ ÐÓÙ ÔÓÖÙ ÓÙ rº Æ Ò Ø Ý Ú Ð Ñ Ô Ú Ô Ò Ñ ö ÔÐ Ø Ò Ð Ù Ú Ø Î Ø ¾ Ä Ò Ö ÞÓÚ Ò Ò µ Ø Ð Ø ºµº Æ ð f(x) Ø Ý C 1 Ò Ó ÓÐ x 0 º ÒÙ Ñ Ñ Ø A := f(x 0 )º µ  ¹Ð s(a) < 0 x 0 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º µ  ¹Ð s(a) > 0 Ô x 0 Ò Ò Ø ÐÒ º ÈÓÞÒ Ñ º ÍÚ Ò Ú Ø Ò ÒÓ ÔÐ Ù Ó Ùö Ð Ú Ò ÔÓ ÖÚ Ú ¹ ÒÝ ÑÓöÒÓ Ø º Î Ø Ò Ò Ó Ö Ò Ò Ô Ô ÚÐ ØÒ Ð ÒÙÐÓÚÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø µ Ý Ñ Ð ÔÓÖÙ r Ñóö ÚÝ Ð Ø ÓÚ Ò Ò Ò ÒÙ

ÖÙ ÓÙ ØÖ ÒÙº Î Ø ÓÚ Ñ Ô Ô ÔÓØ ÔÓÙö Ø ÔÓ ÖÓ Ð Ø Ò Ý Ð ÔÙÒÓÚ ÙÒ Ò Ó Ä Ë ÐÐ Ó ÔÖ Ò Ô ÒÚ Ö Ò Ú Þ Ò Ð Ù Ø Ä ÔÙÒÓÚ Ø Ð Ø Ú Þ Ø ö Ô ØÓÐÙ ÝÒ Ñ Ý Ø ÑÝ µº È Ð ¾º Æ Ð ÞÒ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ò Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ ÖÓÞ Ó Ò Ø Ó Ø Ð Ø x = 2xy, z y = x 2z 2 +8, z = z 2 y 2. à Ò º ÈÖÚÒ ÖÓÚÒ ÚÝÒ Ó Ñ z 0 Ñ ÓÙ Ø ÚÙ 2xyz = 0, x 2z 2 +8 = 0, z 2 y 2 = 0. ÔÖÚÒ ÖÓÚÒ Ñ Ñ x = 0 Ò Ó y = 0 Ò Ó z = 0 Ð z = 0 Ùö Ñ ÚÝÐÓÙ Ð µº ÈÓ Ù y = 0 Ñ Ñ Þ Ø Ø ÖÓÚÒ z = 0 Óö ÔÓÖº Ú Ø Ý x = 0 Þ ÖÙ ÖÓÚÒ z = ±2 Þ Ø Ø y = ±2º Å Ñ Ø Ý Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý [0,2,±2] [0, 2,±2]º Ð Ñ Ñ 2yz 2xz 2xy f(x,y,z) = 1 0 4z. 0 2y 2z ÈÓ Ù Ñ y z Ø Ò ÞÒ Ñ Ò Ó Ø Ú Ñ 8 0 0 f(0,±2,±2) = 1 0 8. 0 4 ±4 ÔÖÚ Ó Ù Ú Ñ ö 8 ÚÐ ØÒ ÐÓ ØÝØÓ Ó Ý ÓÙ Ø Ý Ò Ø ÐÒ º Ð 8 0 0 f(0,2, 2) = 1 0 8. 0 4 4 Ø ÖÑ Ò ÒØ λ f(x 0 ) (λ + 8)(λ(λ + 4) + 32) Óö Ú Ó ÒÝ 8 2±2i 7 Ø º Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ø ÐÒ º Æ ÓÔ 8 0 0 f(0, 2,2) = 1 0 8. 0 4 4

Ú Ø ÖÑ Ò ÒØ (λ + 8)(λ(λ 4) + 32) Ø Ö Ñ ¾ ÓÑÔÐ ÜÒ Ó ÒÝ Ð ÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø º Ó [0, 2,2] Ø Ý Ò Ø ÐÒ º È Ð º È Ó Ñ ÔÓÐ ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ Ù öø ö ÔÓ Ø ÝÑÔØÓ¹ Ø Ý Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ò Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ Ô ØÓö Ü ØÙ ÒÙÐÓÚ ÚÐ ØÒ Ð Ñ Ø f(0)º x = (x 2 +y 2 )(2x+2y +y 2 ) y = (x 2 +y 2 )(x+2y). ÈÓÞÒ Ñ º Î ÐÓ ØÓÑÙØÓ Ø Ñ ØÙ Ò Ð ÞÒ Ø Ð Ô Ð Ý ÝÑÔØÓ¹ Ø Ý Ø ÐÒ Ò Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ó Ð Ò Ö ÞÓÚ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ù ÒÙÐÓÚ ÚÐ ØÒ Ð º Î Ô ØÓÐ Ó Ð ÔÙÒÓÚ Ø Ð Ø Ô Ò Ø Ô Ð ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ó Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ó Ù Ø Ö ÔÓ Ð Ò Ö Þ Ø Ò Ò Ø ÐÒ Ñ ÐÓ µº à Ò º Ú Ñ Ù Ø ØÙ x = rcosφ y = rsinφ Ó Ø Ò Ñ r cosφ rsinφφ = r 3 (2cosφ+2sinφ+rsin 2 φ) r sinφ+rcosφφ = r 3 (cosφ+2sinφ). ÈÖÚÒ ÖÓÚÒ ÚÝÒ Ó Ñ cosφ ÖÙ ÓÙ sinφ Ø Ñ r = r 3 (2+3sinφcosφ+rsin 2 φcosφ). ÈÖÓØÓö 3sinφcosφ 3/2 rsin 2 φcosφ > 1/2 ÔÖÓ Ó Ø Ø Ò Ñ Ð r ÔÖ Ú ØÖ Ò Ò Ó ÓÐ ¼ Ñ Ò Ò ö εr 3 Ò Ø Ý ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º ÈÓ ÖÓ Ò Ó ÓÚ Ò Ò Ò Ó ÓÐ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ó Ù ÓÚÓ À ÖØÑ Ò¹ ÖÓ Ñ ÒÓÚ Ú Ø º à Ò Ñ ö Ø ÓÒ ÖÒ Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÔÓ Ù ö Ò ÚÐ ØÒ ÐÓ Ñ Ø f(x 0 ) Ò Ñ ÒÙÐÓÚÓÙ Ö ÐÒÓ٠غ Î Ø º Ù x 0 ÝÔ Ö ÓÐ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ÖÓÚÒ ½µ ÓÞÒ Ñ A := f(x 0 )º È Ü ØÙ U Ó ÓÐ ¼ V Ó ÓÐ x 0 ÓÑ ÓÑÓÖ ÑÙ Φ : U V Ø Ö ÞÓ Ö ÞÙ Ò Ð Ò ÖÒ ÖÓÚÒ µ Ò Ò Ò Ð Ò ÖÒ ÖÓÚÒ ½µº È Ð º Æ ÖØÒ Ø ÓÚ Ò Ò Ú Ó ÓÐ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ó x = x 2 +y 2 1 y = e x+y 1. à Ò º ÈÖÓØÓö Þ ÖÙ ÖÓÚÒ x + y = 0 Þ ÔÖÚÒ ÖÓÚÒ x 2 + y 2 = 1 Ñ Ñ Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý [ 2/2, 2/2] [ 2/2, 2/2]º Ä Ò Ö ÞÓÚ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Y = AY = f(x 0 )Y Ñ Ú ÔÖÚÒ Ñ Ó ØÚ Ö Y = ( 2 2 1 1 ) Y.

ÎÐ ØÒ Ð Ø ØÓ Ñ Ø ÓÙ 1 2 ( 1+ 2± (1+ 2) 2 8 ) 2. ÎÐ ØÒ Ð ÓÙ Ø Ý ÓÑÔÐ ÜÒ Ð ÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø Ò Ø Ý Ò Ó ÓÐ Ó Ù [ 2/2, 2/2] ÓÚ Ó Ò Ø ÐÒ Ú Öº Î ÖÙ Ñ Ø ÓÒ ÖÒ Ñ Ó Ñ Ñ Y = ÎÐ ØÒ Ð Ø ØÓ Ñ Ø ÓÙ 1 2 ( 1 2± ( 2 2 1 1 ) Y. (1 2) 2 +8 ) 2. ÎÐ ØÒ Ð ÓÙ Ö ÐÒ ÒÓ Ð Ò ÖÙ Þ ÔÓÖÒ Ò Ø Ý Ò Ó ÓÐ Ó Ù [ 2/2, 2/2] ÓÚ Ó ÐÓÚ Ó º ÐÓ Ý º ÈÖÓ Ø Ö Ó ÒÓØÝ Ô Ö Ñ ØÖó ÓÙ ÓÙ Ø ÚÝ x = x+ay y = x y Ø ÐÒ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ µ º ÎÝ Ø Ø Ø Ð ØÙ ÔÓ Ø Ù x = ax+by y = bx+ay º ÎÝ Ø Ø Ø Ð ØÙ ÔÓ Ø Ù x = 4(e x 1) 2y 4z +y 2 y = x 3y z +(x+y)y 2 z = 4z +sinhx+(x+y)z 2 x = 11x 48y 16z +xyz y = x+3y +2z +x 2 yz z = 2y +2z +sinx ½¼º Æ Ð ÞÒ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ò Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ ÖÓÞ Ó Ò Ø Ó Ø Ð Ø x = sin(xy) 1 2, y = xy y,

½½º Æ Ð ÞÒ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ò Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ ÖÓÞ Ó Ò Ø Ó Ø Ð Ø x = 1 x 2 y 2, y = z 2 x y, z = z 2 1. ½¾º Æ Ð ÞÒ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ò Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ ÖÓÞ Ó Ò Ø Ó Ø Ð Ø x = xy 2x y +2, y = xy +yz +xz, z = 2y(z+1). ½ º ÍÚ öù Ø Ð ÖÒ ÖÓÚÒ x = f(x)º Æ ð f ÔÓ Ø f(x 0 ) = 0º µ Ô ÔÓ Ð ó ØÝÔÙ f > 0 f 0µ Ò (x 0,x 0 + δ) Ö Ôº Ò (x 0 δ,x 0 ) Þ ÓÖÑÙÐÙ Ø Ó öø ÔÓ Ø Ù ÔÓ Ñ Ò Ý ÔÖÓ Ø Ð ØÙ Ò Ø Ð ØÙ ÝÑÔØÓØ ÓÙ Ø Ð ØÙµ Ó Ù x 0 º µ Í öø ö Ú Ô Ô f (x 0 ) 0 Ó Ø Ú Ñ Ú ØÙ Ó Ð Ò Ö ÞÓÚ Ò Ò µ Ø ¹ Ð Ø Ó Ô ÐÒ Ô Ô º µ Æ ð f(x) = a(x x 0 ) n + g(x) g(x) = o((x x 0 ) n ) ÔÖÓ x x 0 a 0 n Nº ÔÓ Ñ Ò Ò a n x 0 Ø ÐÒ ½ º È Ó Ñ ÔÓÐ ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ Ù öø ö ÔÓ Ø Ò Ø ÐÒ Ø ¹ ÓÒ ÖÒ Ó Ò Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ Ô ØÓö Ð Ò Ö ÞÓÚ Ò ÓÙ Ø Ú Ø ÐÒ º x = y +x 3 y = x+y 3 È Ó Ñ ÔÓÐ ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ ØÙ Ù Ø Ø Ð ØÙ ÔÓ Ø Ù ½ º x = 2y +ax x 2 +y 2 y = 2x+ay x 2 +y 2 ½ º x = y +ax(x 2 +y 2 ) y = x+ay(x 2 +y 2 )

½ º x = y axy 2 y = x+ax 2 y ½ º x = y(x 2 +y 2 a) y = x(x 2 +y 2 a) ½ º x = y( a+x 2 +y 2 ) y = x( a+x 2 +y 2 ) ¾¼º x = 2y +ax(x 2 +y 2 ) 2 y = 2y +ay(x 2 +y 2 ) 2 ¾½º x = 4y +ax x 2 +y 2 y = 4x+ay x 2 +y 2 ¾¾º ÎÝ Ø Ø Ø Ð ØÙ ÔÓ Ø Ù ÔÖÓ f ÑÓÒÓØ ÒÒ Ò Ó ÓÐ ÒÙÐÝ x = y +xf(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 y = x+yf(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 ¾ º Î ÒÓ Ö ÓÚóÚ Ý Ø Ñºµ Í öø ö ÔÓ Ø Æ Æ Ø ÐÒ Ø ö ÐÓ ÐÒ Ó ÓÒ ÐÓ ÐÒ µ ØÖ ØÓÖ ÔÖÓ ÓÙ Ø ÚÙ x = x 2 (y x)+y 5 y = y 2 (y 2x). ¾ º ÎÝ Ø Ø ÓÚ Ò Ò Ý Ø ÑÙ x = y +xr 2 sin(π/r) y = x+yr 2 sin(π/r) Ú Ó ÓÐ ÔÓ Ø Ù r = x 2 +y 2 µº Í öø ö Ü ØÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÖÙöÒ Ø ÖÑ ÓÒÚ Ö Ù Ò ÔÖÓ t ± º ½¼

¾ º Æ ð ÔÓ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ñ Ó Ñ Ý Ø ÑÙ Ø Ö ÔÓ Ô Ú Ò Ó ÔÓÐ ÖÒ ÓÙ Ò Ñ ØÚ Ö r = f 1 (r,φ) φ = f 2 (r,φ)º Æ ð ÔÓ Ø Ò Ò ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ñ Ó Ñº  ÔÖ Ú ö ÔÓ Ø Ò Ø ÐÒ Ó Ý ¹ Ø ÑÙ µ r = f 1 (r,φ)+g(r,φ) φ = f 2 (r,φ) µ r = f 1 (r,φ)+g(r,φ) φ = f 3 (r,φ) ÔÖÓ Ú Ò g > 0 f 3 ¾ º Æ ð x 0 Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ø ÑÙ µ Ø Ö Ò Ò ÝÑÔØÓ¹ Ø Ý Ø ÐÒ º Åóö Ü ØÓÚ Ø Ò ÒÙÐÓÚ ÙÒ g : R n R n g(x 0 ) = 0 Ø ÓÚ ö x 0 µ Ø ÐÒ µ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ó ÓÙ Ý Ø Ñó x = f(x)+g(x) x = f(x) g(x) Þ ÖÓÚ ¾ º Í öø ö Ò ÔÐ Ø Ò Ð Ù ØÚÖÞ Ò ÈÓ Ù ¼ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ø ÑÙ µ Ó ÒØÝ Ñ Ø B ÓÙ Ó Ø Ñ Ð ÔÓØÓÑ ¼ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ó Ý Ø ÑÙ x = f(x)+bxº ÈÓÖÓÚÒ Ø ÐÓ ÓÙ µ ¾ º Í öø ö ÔÖÓ Ò Ð Ò ÖÒ ÔÖÓ Ð ÑÝ Ò ÔÐÝÒ Þ ÝÑÔØÓØ Ø Ð ØÝ Ø ÒÓÑ ÖÒ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ø Ð Ø º ÈÓÖÓÚÒ Ø ÐÓ ÓÙ µ ¾ º Í öø ö ÔÐ Ø Ò Ð Ù Ò ÙØÓÒÓÑÒ Ú ÖÞ Ú ØÝ Ó Ð Ò Ö ÞÓÚ Ò Ø ¹ Ð Ø Æ ð 0 Ø ÓÒ ÖÒ Ñ Ó Ñ ÓÙ Ø ÚÝ x = Ax+g(t,x) Ø º g(t,0) = 0 ÔÖÓ Ú Ò t (T,+ )º µ Æ ð s(a) < 0 g(t,x) = o( x ) Ø ÒÓÑ ÖÒ ÚÞ Ð Ñ t Ø º x sup t (T,+ ) g(t,x) o( x )µ ÔÖÓ x 0º È 0 ÜÔÓÒ Ò ÐÒ µ ÝÑÔØÓ¹ Ø Ý Ø ÐÒ Ó ÖÓÚÒ º µ Æ ð s(a) > 0 g(t,x) = o( x ) Ø ÒÓÑ ÖÒ ÚÞ Ð Ñ t ÔÖÓ x 0º È 0 Ò Ø ÐÒ Ó ÖÓÚÒ º µ Æ ð s(a) < 0 g(t,x) g(t,y) L x y L Ó Ø Ñ Ð º È 0 ÜÔÓÒ Ò ÐÒ µ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ó ÖÓÚÒ º ¼º Ó öø ö ÔÓ Ù ¼ Ø ÒÓÑ ÖÒ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ø ÑÙ µ ÔÓØÓÑ µ s( f(0)) < 0º µ Ø Ø ÒÓÑ ÖÒ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ø ÐÒ Ó Ý Ø ÑÙ x = f(x)+bx ÔÓ Ù ÓÙ Ó ÒØÝ Ñ Ø B Ó Ø Ñ Ð º Æ ÖØÒ Ø ÓÚ Ò Ò Ú Ð Þ Ó Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ó ó ÔÓÙö Ø À ÖØÑ Ò¹ ÖÓ Ñ ÒÓÚÙ Ú ØÙµ ½º x = exp(2x+2y)+x y = arccos(x x 3 ) π/2 ½½

¾º x = ln(1 y) y = 3 x 4y +x 2 º x = ln(5 2x 2y) y = exp(xy) 1 º x = sinh(y x 2 x) y = 3x x 2 y º x = 2x+y 2 1 y = sinx y 2 +1 º à Ò x = ln(x+y) y = x 3 +y 3 1 µ µ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÖÓ a < 1 Ø ÐÒ ÔÖÓ a 1º µ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÖÓ a+ b < 0 Ø ÐÒ ÔÖÓ a+ b 0º µ ÎÐ ØÒ Ð 3 ± 10 ¹ Ò Ø ÐÒ µ ÎÐ ØÒ Ð 3 2 1 ¹ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º ½¼µ ËØ ÓÒ ÖÒ Ó Ý [ 1,2kπ π/6] Ò Ø ÐÒ ÔÖÓ k > 0 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÖÓ k 0µ [ 1,2kπ 5π/6] Ò Ø ÐÒ ÔÖÓ k 0 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÖÓ k > 0µº ½½µ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó [1,0, 1] Ò Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý [1,0,1] [0,1,±1]º ½¾µ ËØ ÓÒ ÖÒ Ó Ý [1,0,0] [2,2, 1] Ó Ò Ø ÐÒ º ½ µ Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ñ Ú Ñ µ f 0 Ò (x 0,x 0 +δ) f 0 Ò (x 0 δ,x 0 ) = Ø Ð Ø µ ØÓØ ö Ó ØÖÑ ÞÒ Ñ Ò Ý = ÝÑÔØÓØ Ø Ð Ø µ f > 0 Ò (x 0,x 0 +δ) Ò Ó f < 0 Ò (x 0 δ,x 0 ) = Ò Ø Ð Ø µ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÓ Ù a < 0 n Ð Ò Ò Ø ÐÒ º ½¾

½ µ Ó Ø Ú Ñ r = r 3 Ø Ý r ÖÓ Ø + º ½ µ óúó Ò Ø ö ÐÓ ÐÒ Ñ ÑÓ ÔÓ Ø µ ÐÞ Ò Ô Ø Ú ØÚ ÖÙ x(t) = r(t)cosφ(t) y(t) = r(t)sinφ(t) ÙÒ r(t) > 0 φ(t) ÓÙ Ð º Ç ÚÓ Ø ÖÓÚÒ ÔÖÓ r φ Ó Þ Ò Ñ Ó ÔóÚÓ Ò Ó Ý Ø ÑÙº Ý ÒÓÞÒ ÒÓ Ø Ò Ó Ú Ú Ð ÒØÒ ÔÓÔ ÔÖÓ Ð ÑÙ Þ Ñ Ò ÔÓÙÞ Ø Ð Ø ÖÓÚÒ ÔÖÓ r Ú Ó 0º r = ar 2 Ø ÐÒ ÔÖÓ a 0 ÝÑÔغ Ø º ÔÖÓ a < 0º ½ µ r = ar 3 Ø ÐÒ ÔÖÓ a 0 ÝÑÔغ Ø º ÔÖÓ a < 0º ½ µ r = 0 Ø ÐÒ ½ µ r = 0 Ø ÐÒ ½ µ r = 0 Ø ÐÒ ¾¼µ r = ar 5 Ø ÐÒ ÔÖÓ a 0 ÝÑÔغ Ø º ÔÖÓ a < 0º ¾½µ r = ar 2 Ø ÐÒ ÔÖÓ a 0 ÝÑÔغ Ø º ÔÖÓ a < 0º ¾¾µ r = f(r 2 ) ÔÓ Ù f < 0 Ò ÔÖ Ú Ñ Ó ÓÐ ÒÙÐÝ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÓ Ù f > 0 Ò Ø ÐÒ ÔÓ Ù f = 0 Ø ÐÒ Ð Ò ÝÑÔØÓØ Ýº ¾ µ à Ò Ò ÓÒ Ô ØÓÐݺ ¾ µ È Ú Ò Ñ Ó ÔÓÐ ÖÒ ÓÙ Ò Ó Ø Ú Ñ r = r 3 sin(π/r) φ = rº ÃÚ Ð Ø Ø ÚÒ Ò ÐÞ Ú Ú Ð º ¾ µ µ µ Æ Ò ØÓ ÔÖ Ú Ø ÚÞ Ø Ý Ø Ñ Þ Ñ ÒÙÐ ÐÓ Ý Ô Ø Ò ÑÙ ε(xr 2,yr 2 )º ¾ µ µ ÒÓ Ò Ô º x = y y = 2x g(x,y) = (0,x)º µ ÒÓ Ò Ô º Ý Ø Ñ Þ ÐÓ Ý ¾ ÙÒ g(x,y) := ǫ(xr 2,yr 2 ) r = x2 +y 2 º ¾ µ Æ Ô º x = y x 3 y = x y 3 Ô Ú Ò Ñ Ó ÔÓÐ ÖÒ ÓÙ Ò B = ǫiº ¾ µ Æ Ô º x = y x 3 y = x y 3 Ô Ú Ò Ñ Ó ÔÓÐ ÖÒ ÓÙ Ò º ¾ µ µ ó Þ ÔÖÓÚ Ø Ò Ó Ú ÙØÓÒÓÑÒ Ñ Ô Ô Ò Ó Ø ÔÐÝÒ Þ µµº µ ó Þ ÔÖÓÚ Ø Ò Ó Ú ÙØÓÒÓÑÒ Ñ Ô Ô º µ ÈÓÙö Ø Ð ÓÚ Ó µ ÔÓÑÓ Ú Ö ÓÒ Ø ÒØ Ù öø ö ÞÓ Ö Þ Ò Φ Ø Ö ÙÒ z Ô Ò ÖÓÚÒ x = Ax + g(t,z) ÓÒØÖ Ú Ú ÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÔÓ Ø ÙÒ f := sup{e ǫt f(t),t (T,+ )}µ ÔÖÓ Ó Ø Ñ Ð ǫº ÃÓÒ Ö ØÒ ǫ < s(a)/m M ÓÒ Ø ÒØ Þ Ó Ù µº ¼µ µ È ÔÓ Ð Ñ ö 0 Ø ÒÓÑ ÖÒ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ø ÐÒ ÔÖÓ x = Ax+g(x), ½

g(x) = o( x ) ÔÖÓ x 0º ÃÐ Ò ÚÐ ØÒ Ð ÐÞ ÚÝÐÓÙ Ø Ò Ý Î Ø ¾µº È ÔÓ Ð Ñ ö A Ñ ÚÐ ØÒ ÐÓ ÒÙÐÓÚÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø º ܹ ÔÓÒ Ò ÐÒ Ø Ð Ø ÔÖÓ x ÑÔÐ Ù Ø Ð ØÙ ÔÖÓ y(t) = x(t)exp(at) a > 0 Ñ Ð Ô ÚÒ º ÈÖÓ y Ñ Ñ ÖÓÚÒ y = (A+aI)y +e at g(e at y). ÇÚ Ñ (A+aI) Ñ ÚÐ ØÒ ÐÓ Ð ÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø Þ Ø ÑÓ h(x,t) = e at g(e at y) ÓÔ Ø Ñ Ð y ØÓ Ø ÒÓÑ ÖÒ Úó t 0 Þ Óö Ð Ô Þ ÐÓ Ý ÔÐÝÒ Ò Ø Ð Ø º µ ÈÐÝÒ Ò Þ µ ÐÓ Ý Ó Ø Ò Ñ ö s( f(0)+b) < 0 ÔÓ Ù B Ó Ø Ñ Ð º ÈÖÓØÓ s( f(0)+b+ǫi) < 0 0 Ø Ý ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ó ÔÖÓ x = f(x)+bx+εx Ø Ý ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ø ÐÒ ÔÖÓ x = f(x)+bxº ½µ Ó ( 1,1) λ 1,2 = 1,4 ÐÓµ v 1 = ( 1,2) v 2 = (2,1) ¾µ Ó (1,0) λ = 2/3±2 2i/3 Ø ÐÒ Ô Ö Ð Ð ÚÓØÓ Ú µ µ Ó (0,2) λ 1,2 = 1±i 3 Ø ÐÒ Ô Ö Ð Ð ÚÓØÓ Ú µ Ó (2,0) λ 1,2 = ±2 ÐÓµ v 1 = (1, 2) v 2 = (1,0) µ Ó (0,0) λ 1,2 = 1 ± 3 ÐÓµ v 1 = (1, 3) v 2 = (1, 3) Ó (1,2) λ 1,2 = 2± 2 Ø ÐÒ ÙÞ Ðµ v 1 = (1,1+ 2) v 2 = (1,1 2) µ Ó (0, 1) λ 1,2 = 2±i 2 Ò Ø ÐÒ Ô Ö Ð Ð ÚÓØÓ Ú µ Ó (0,1) λ 1,2 = ± 6 ÐÓµ v 1 = (1, 6/2 1) v 2 = (1, 6/2 1) µ Ó (0,1) λ 1,2 = 1 3 Ò Ø ÐÒ ÙÞ Ðµ v 1 = (1,0) v 2 = (1,2) Ó (1,0) λ 1,2 = (1± 13)/2 ÐÓµ v 1 = (2, 13 1) v 2 = ( 1,1+ 13) Ä ÔÙÒÓÚ Ø Ð Ø º Î Ø ØÓ Ô ØÓÐ Ô Ø Ú Ñ Ð ÔÓ Ø Ù ÔÓ Ñ Ò Ý ÔÖÓ Ø Ð ØÙ ÝÑÔØÓ¹ Ø ÓÙ Ø Ð ØÙ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ó Ù a Ý Ø ÑÙ x = f(x), µ Ð Ù Ñ Þ Ú Ø Ø Ð ØÓÙ Ò ÙØÓÒÓÑÒ Ó Ý Ø ÑÙ x = f(t,x) µ f ÔÓ Ø ÙÒ Ò I Ω I = (T,+ ) Ω R n+1 ÓØ Ú Ò º Î Ò ÙØÓÒÓÑÒ Ñ Ô Ô Ò Ñ ö a Ø ÓÒ ÖÒ Ó ØÐ ö f(t,a) = 0 ÔÖÓ Ú Ò t Iº Ó a Ò ÞÚ Ø ÐÒ ØÐ ö ( t0 > T )( ε > 0 )( δ > 0 )[ x 0 a < δ = x(t) a < ε t t 0 ] µ ½

x(t) Ò µ ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò ÓÙ x(t 0 ) = x 0 º Ó a Ò ÞÚ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ¹Ð Ø ÐÒ Ò Ú ( t0 > T )( > 0 )[ ] x 0 a < = lim x(t) = a µ t Ó a Ò ÞÚ Ò Ø ÐÒ Ò Ò ¹Ð Ø ÐÒ º ÊÓÞÑÝ Ð Ø ö ØÝØÓ Ò ÓÙ Ú ÓÙÐ Ù Ò Ñ ÔÖÓ ÙØÓÒÓÑÒ Ô Ô º Î Ð Ñ Ù Ñ Þ ÑÝ Ò Ó ÒÓ Ø Ô ÔÓ Ð Ø a = 0º Ò ½º Æ ð U Ó ÓÐ Ó Ù 0 Ú R n º ÙÒ V : I U R Ò ÞÚ Ð ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÖÓÚÒ µ Ú U ØÐ ö ÔÓ Ø µ V(t,0) = 0 ÔÖÓ Ú Ò t I µ Ü ØÙ ÔÓ Ø ÙÒ ω : U R ö V(t,x) ω(x) > 0 ÔÖÓ x U \{0} µ ÙÒ t V(t,x(t)) Ò ÖÓ ØÓÙ ÔÖÓ ö Ò x(t) ÖÓÚÒ µ Ú U Î Ø º Å ¹Ð ÖÓÚÒ µ Ú Ó ÓÐ 0 Ä ÔÙÒÓÚ ÓÙ ÙÒ Ó 0 Ø ÐÒ º Ò ¾º  ¹Ð ÙÒ V Ø Ý C 1 ÒÙ Ñ ÓÖ Ø ÐÒ Ö Ú ÚÞ Ð Ñ f Ó V f (t,x) = V(t,x) + x V(t,x) f(x) = V(t,x) + t t ÃÐ ÓÚ ÔÓÞÓÖÓÚ Ò ¹Ð x(t) Ò µ d dt V(t,x(t)) = V f (t,x(t))); n j=1 V(t,x) f j (x) x j Ô ÐÒ ÔÓ Ñ Ò V f (t,x) 0 Ò U Þ ÖÙ Ù µ Ú Ò Ð ÔÙÒÓÚ ÙÒ º Ð Ñ ¹Ð Ó Ò Ó Ø ÒØÓ Ô ÔÓ Ð Ñóö Ñ Ó Ø Ø ÝÑÔØÓØ ÓÙ Ø ¹ Ð ØÙº Î Ø º Å ¹Ð ÖÓÚÒ µ Ú Ó ÓÐ U Ó Ù 0 Ð ÔÙÒÓÚ ÓÙ ÙÒ V Ò Ú ÔÐ Ø µ Ü ØÙ ÔÓ Ø ÙÒ λ : U R λ(0) = 0 ö V(t,x) λ(x) ÔÖÓ x U \{0} ½

µ Ü ØÙ ÔÓ Ø ÙÒ η : U R η(0) = 0 ö V f (t,x) η(x) < 0 ÔÖÓ x U \{0} Ô Ó 0 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º Ú ÙØÓÒÓÑÒ Ñ Ô Ô ØÝØÓ Ó Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Ý ÞÖ Ù Ù Ò Ò ¹ Ð Ù Î Ø º Å ¹Ð ÖÓÚÒ µ Ú Ó ÓÐ U Ó Ù 0 Ð ÔÙÒÓÚ ÓÙ ÙÒ V Ø Ö Ò Þ Ú Ò t V f (x) < 0 Ô Ó 0 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º ÈÓÞÒ Ñ º ÈÓ Ð Å ÖÓÚÝ Ú ØÝ ½ ÔÖÓ ÙØÓÒÓÑÒ Ý Ø ÑÝ Ø ØÓ ÔÓ Ø Ù¹ ÔÓ Ñ Ò Þ ÖÓÚ ÔÓ Ñ Ò ÓÙ ÒÙØÒÓÙ Ø º ÔÓ Ù Ó ¼ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ó ÖÓÚÒ µ ÔÓØÓÑ Ü ØÙ Ð ÔÙÒÓÚ ÙÒ V Ò Þ Ú Ð Ò t ÔÐ Ù Vf (x) < 0º ÐÓ Ý º Æ ð q(y) ÔÓ Ø ÙÒ Ø Ö Þ ÓÚ Ú ÞÒ Ñ Ò Ó Ø º q(y)y 0 ÔÖÓ y 0ºµ Í öø ö Ô ÒÙÐÓÚ Ò ÖÓÚÒ Ø ÐÒ º  ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ x +q(x )+x = 0 º ÈÖÓ ÖÓÚÒ x = (t 2 1)x+x 3 Ù öø ö µ ÒÙÐÓÚ Ò ÙÒ ÓÖÑÒ Ø ÐÒ Ú (η, ) η > 0 Ô ÚÒ º µ ÒÙÐÓÚ Ò Ò Ò ÙÒ ÓÖÑÒ Ø ÐÒ Ú (0, )º ÍÒ ÓÖÑÒ Ø Ð ØÓÙ ÖÓÞÙÑ Ñ ö δ Ú µ ÐÞ ÚÓÐ Ø Ò Þ Ú Ð Ò t 0 µº º ÍÚ öù Ø ÖÓÚÒ ÞÔÓö Ò Ñ a b r ÓÙ Ð Ò ÓÒ Ø ÒØݵ x (t) = ax(t)+bx(t r). µ µ Æ ð φ(τ) : [ r,0] R ÔÓ Ø ÙÒ º È Ü ØÙ Ò ÙÒ x = x(t) Ò Ò Ñ Ó ÓÖ Ñ[ r, ) Ø ÓÚ ö x(τ) = φ(τ) ÔÖÓ τ [ r,0] x(t) ÔÐ Ù ÖÓÚÒ µ ÔÖÓ ö t > 0º µ Æ ð a < 0 b a º È ÒÙÐÓÚ Ò ÖÓÚÒ µ Ø ÐÒ º µ Æ ð a < 0 b < a º È ÒÙÐÓÚ Ò ÖÓÚÒ µ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º ÎÝ Ø Ø Ø Ð ØÙ ÔÓ Ø Ù ÔÖÓ Ò Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ ÐÞ ÔÓÙö Ø Ú ØÙ Ó Ð Ò Ö ÞÓÚ Ò Ò Ø Ð Ø µ ½ Å Ö ÂºÄº ÇÒ Ä ÔÓÙÒÓ ³ ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ð ØÝ ÒÒº Ó Å Ø º ¼ ½ µ ¼ ¾½º Ò Ó Ø Ì ÓÖ Ñ ½½ Ú Å Ö ÂºÄº ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ð ØÝ Ø ÓÖÝ ÒÒº Ó Å Ø º ¾µ ½ µ ½ ¾ ¾¼ º ½

¼º x = 2y x 3 y = x y 3 ½º x = y 2x 3 y = 2x y 3 ¾º x = x y 2 y = xy x 2 y º x = xy 2 y = y 2x 2 y º x = 2y +x 3 y = x+y 3 º x = y +2x 3 y = 2x+y 3 º ÎÝ Ø Ø Ø Ð ØÙ ÔÓ Ø Ù ÔÖÓ Ý Ø Ñ x = 2y 3, y = x. ÎÝ Ø Ø Ø Ð ØÙ Ð Ò Ö ÞÓÚ Ò Ó Ý Ø ÑÙ º Æ Ø Ô Ð Ý Ø ÑÙ Ø Ö ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ð Ó Ð Ò ¹ Ö Þ Ò Ø ÐÒ º º Æ ð x 0 Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ø ÑÙ µº È Ü ØÙ δ > 0 G : (0,δ) (0,+ ) Ø ÓÚ ö ÔÓ Ø ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ñ Ó Ñ Ý ¹ Ø ÑÙ x = f(x)+g(x) ÔÖÓ ö ÓÙ ÙÒ g Ø Ö Ò δ¹ó ÓÐ ÔÓ Ø Ù ÔÐ Ù g(x) < G( x )º Ó öø Ò Ó ÚÝÚÖ ðø º ½

º ÈÓ Ù Ü ØÙ Ð ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÔÐ Ù Ò Ó ÓÐ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ó Ù ¼ Ò ÖÓÚÒÓ Ø V(x) av(x) c 1 x b V(x) c 2 x b ÔÖÓ Ò a b c 1 c 2 > 0 ÔÓØÓÑ ¼ Ø ÒÓÑ ÖÒ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ø ÐÒ Ø º x(t) e at/b x(0) º à Ò µ Ä ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÓÒ ÐV = x 2 +y 2 y = x º Ç Ò Ò Ò ÝÑÔØÓ¹ Ø Ý Ø ÐÒ Ò Ô º q 0 ÒÓ ÔÓ Ù ÔÓ Ñ Ò Ù Þ Ð Ñ Ò q(y)y > 0 ÔÖÓ y 0 Ä Ë ÐÐ µº µ µ Ä ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÓÒ Ð V = x 2 e 2/t º µ ÎÓÐÑ δ > 0 Ø ö t 2 1 t 2 /2 ÔÖÓ t (0,2δ)º Ì Ý x x/(8δ 2 ) ÔÖÓ t (δ,2δ) Ô ÐÒ Ù öø ö Ò ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò ÓÙ x(δ) = δ Ù Ú Ð ÔÖÓ t = 2δº µ µ Æ ÚÓ ÔÓ ØÙÔÙ Ø ÔÓ ÒØ ÖÚ Ð Ð Ý rº µ Í öø ö ÙÒ t V(t) := x 2 (t)+ a x 2 (s)ds t r Ð x 2 V º µ Å ØÓ ÓÙ Ô Ð Ó Ó Ù Ù öø ö ÙÒ y(t) = x(t)exp(γt) ÓÑ Þ Ò ÔÓ Ù γ > 0 Ñ Ð º ¼µ Ä ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÓÒ Ð V = ax 2 + by 2 a b > 0 ÚÓÐ Ñ Ø ö Ô ÚÔÓ ØÙ d V dt ÚÝÔ ÒÓÙ Ð Ò ÖÒ Ð ÒÝ ÖÓÚÒ º V = x2 + 2y 2 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ½µ V = 2x 2 +y 2 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ¾µ V = x 2 +y 2 Ú Ø Ð ØÙ Ð Ò ÓÐ ÝÑÔØÓØ ÓÙ Ø Ð ØÙº µ V = x 2 +y 2 Ú Ø Ð ØÙº Æ Ò ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÖÓØÓö (ǫ,0) Ø ÓÒ ÖÒ Ò º µ V = x 2 +2y 2 Ú V f > 0 Óö Ú ÞÔ ØÒÓÙ ÝÑÔØÓØ ÓÙ Ø Ð ØÙ ÔÖÓ t µ Þ Óö ÔÐÝÒ Ò Ø Ð Ø ÖÓÞÑÝ Ð Ø µº µ V = x 2 +2y 2 Ú V f > 0 Ø Ý Ò Ø ÐÒ Ú Þ Ô ÓÞ ÐÓ µº µ Ä ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÓÒ Ð V = x 2 +y 4 ÑÔÐ Ù Ø Ð ØÙº Ä Ò Ö ÞÓÚ Ò ÓÙ Ø Ú Ò Ø ÐÒ µ Æ Ô º x = 2y 3 x 3 y = x y 3 º Ä ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÓÒ ÐV = x 2 +y 4 º µ ÈÓ Ð ÔÓÞÒ Ñ Ý Þ Î ØÓÙ Ü ØÙ Ð ÔÙÒÓÚ ÙÒ V V(x) > 0º ÈÖÓ ö t > 0 Ó Ø Ñ Ð Ü ØÙ Ð Ò Ñ Ò ÑÙÑ V (x) f(x) Ò {x : x = t} Ø Ý V (x) f(x) Ò Ú Ð Ò Ó Ñ Ò Ñ º  ¹Ð g Ó Ø Ñ Ð Ò Ø ØÓ Ô Ø V (x) (f(x)+g(x)) > 0 Ø Ý V Ð ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÔÖÓ ÔÓÖÙ Ò Ý Ø Ñº ÊÓÞÑÝ Ð Ø ö ÙÒ G ÐÞ ÚÓÐ Ø Ø Ý ÝÐ ÔÓ Ø ÓٹРf V ÔÓ Ø º µ ÈÐÝÒ Þ Ó Ù c 1 x(t) b V(x(t)) e at V(x(0)) c 2 e at x(0) º ½

ÀÙÖÛ ØÞÓÚ Ú Ø È ÚÝ Ø ÓÚ Ò Ø Ð ØÝ ØÓ Ø ÙÖ Ø ÞÒ Ñ Ò Ö ÐÒ Ø ÚРع Ò Ð Ò Ñ Ø º ÌÓ Ú Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÚÝ Ø Ò Ö ÐÒ Ø Ó Òó Ô ÐÙ Ò Ó Ö Ø Ö Ø Ó ÔÓÐÝÒÓÑÙº Íö Ø ÒÓ Ø Ò Ð Ù Ú ØÝ Ô ¹ Ò ØÓ ÓØÓ ÔÖÓ Ð ÑÙ Þ ÚÒ º Ò º ÈÓÐÝÒÓÑ p(λ) Ò ÞÚ ÙÖÛ ØÞÓÚ ØÐ ö Ö ÐÒ Ø Ú Ó Ó Òó ØÖ ØÒ Þ ÔÓÖÒ º Î Ø ÀÙÖÛ ØÞµº Æ ð a 0,...,a n ÓÙ Ö ÐÒ Ð Ò ð a 0 > 0º ÈÓØÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ a 0 λ n +a 1 λ n 1 + +a n 1 λ+a n ÙÖÛ ØÞÓÚ ÔÖ Ú Ýö Ú ÒÝ Ð ÚÒ Ù Ø ÖÑ Ò ÒØÝ Ñ Ø a 1 a 0 0... 0 a 3 a 2 a 1... 0... a 2n 1 a 2n 2 a 2n 3... a n ÓÙ Ð Ò º Â Ó n n Ñ Ø ÔÖÚ Ý A ij = a 2i j Ð Ñ a k = 0 ÔÖÓ k / {0,1,...,n}º ó Ð º Æ ð a 0 > 0º ÈÓØÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÖÛ ØÞÓÚ ÔÖ Ú Ýö a 0 λ 3 +a 1 λ 2 +a 2 λ+a 3 a 1 > 0, a 1 a 2 a 0 a 3 > 0, a 3 > 0. ó Ð º Æ ð a 0 > 0º ÈÓØÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÖÛ ØÞÓÚ ÔÖ Ú Ýö a 0 λ 4 +a 1 λ 3 +a 2 λ 2 +a 3 λ+a 4 a 1 > 0, a 1 a 2 a 0 a 3 > 0, a 1 (a 2 a 3 a 1 a 4 ) a 0 a 2 3 > 0, a 4 > 0. ÈÓÞÒ Ñ º Æ ð a 0 > 0º ÈÓØÓÑ Þ ÀÙÖÛ ØÞÓÚÝ Ú Øݵ Ð Ò Ð Ò Ñ ö ÔÓÐÝÒÓÑ a 0 λ 2 +a 1 λ+a 2 ÙÖÛ ØÞÓÚ ÔÖ Ú Ýö a 1 > 0 a 2 > 0º Ç ØÙ ÔÓÑÓ ÖÓÞ Ð Ù Ò Ð Ò ÖÒ Ú Ö Ø Ð Òݵ ÔÐÝÒ Ò ÒÓ ÓÚ Ø ÐÒ ÒÙØÒ ÔÓ Ñ Ò Ý ÔÓÐÝÒÓÑ Ö ÐÒÑ Ó ÒØÝ ÝÐ ÙÖÛ ØÞÓÚ ¹Ð a 0 > 0 ÑÙ Ø Ú ÒÝ Ó Ø ØÒ Ó ÒØÝ Ð Ò º ½

à Ò Î ÒÓ Ö ÓÚÓÚ Ý Ø ÑÙ Î ÒÓ Ö ÓÚóÚ Ý Ø Ñ x = x 2 (y x)+y 5 y = y 2 (y 2x) óð ö Ø ÜÔÐ ØÒ Ô Ð ÖÓÚÒ ÔÖÓ Ò ö ÔÓ Ø Ò Ò Ø ÐÒ Ø ö ØÓ ÐÓ ÐÒ Ó ÓÒ ÐÓ ÐÒ µ ØÖ ØÓÖ Ø º Ô Ø Ù Ú Ò Ò ÔÖÓt º Î Ò ÓÐ ÖÓ Ò ØÖÒ Ñ ó Þ Ø ØÓ Øóº Æ ÔÖÚ Ù ö Ñ ö ÔÓ Ø ØÖ ØÓÖº ¼º ÃÊÇú ÈÖÓ y = 0 Ý Ø Ñ Ö Ù Ù Ò x = x 3 Ø Ý x(t) 0 ÔÖÓ t º ÊÓÚÒ Þ Ñ ÒÚ Ö ÒØÒ Úó ØÖ Ò ÓÖÑ (x,y) ( x, y) ÓÑ Þ Ñ Ø Ý Ò ÔÓÐÓÖÓÚ ÒÙ y > 0º ½º ÃÊÇú ÎÝ Ø Ñ ÔÖó Ò Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ñ Ú Ñ º  y = 0 ÔÖ Ú Ýö y = 2x Þ Ø ÑÓ x = 0 ÔÓ Ù x 2 y x 3 +y 5 = 0. Ì ØÓ ÖÓÚÒ Ô ØÖÒ Ò Ñ Ò ÔÓ Ù x < 0 Ñ Ò Ò y = φ(x) ÔÓ Ù x 0º ¾ ÙÒ φ(x) Ð Ú Ø Ó ÑÔк ÙÒ µ φ(0) = 0 ØÖ ØÒ ÖÓ ØÓÙ φ(x) < x Ò Óð x 2 y x 3 0µ Þ ÚÒ ÔÖÓ x Ú Ð Ù φ(x) x 3/5 º ÈÖÓ Ò ÔÓ Ø ØÒ ö Ú Ý y = 2x y = φ(x) ÖÓÞ Ð ÔÓÐÓÖÓÚ ÒÙ {y > 0} Ò Ø ØÓÖÝ Ω 1 = {(x,y) : x < 0 Ò Ó 0 2x < y} Ω 2 = {(x,y) : x > 0 Þ ÖÓÚ φ(x) < y < 2x} Ω 3 = {(x,y) : x > 0 Þ ÖÓÚ y < φ(x)} ÖÓÚÒ ÔÐÝÒ ö y ÖÓ Ø Ú Ω 1 Ð Ú Ω 2,3 Þ Ø ÑÓ x ÖÓ Ø Ú Ω 1,2 Ð Ú Ω 3 º à Ò Ú Ω 3 Ø Ý ÒÙØÒ Ñ Ù Ú Ð Ñ Ø Ó ÔÓ Ø Ù Ò Þ Ω 2 Þ ÚÒ Ú ÔÓÞ Ú ØÓÙÔ Ó Ω 3 º ÇÚ Ñ Ò Ú Ω 1 ÑÙ Ú ØÓÙÔ Ø Ó Ω 2 Ú Ω 1 ØÓØ ö x ØÖ ØÒ Ð Ò º Î Þ Ó Ö Þ Ò ö º Ì Ñ Ó Þ ÒÓ ö ÔÓ Ø ÐÓ ÐÒ µ ØÖ ØÓÖº ¾º ÃÊÇú Ú Ù Þ Ø ö ÔÓ Ø Ò Ø ÐÒ º Î ØÙ Ó Ð Ò Ö ÞÓÚ Ò Ø Ð Ø Ò ÐÞ Ô ÑÓ ÔÓÙö Ø Ò Óð Ö ÒØ Ú ÔÓ Ø Ù Þ Ñ ÒÙÐÓÚº  ÒÓÙ ÑÓöÒÓ Ø Ô Ø ÔÓÐ ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ Ø ÒØÓ ÔÓ ØÙÔ Ò ÞÒ ¹ Ò Ò ö ÃÊÇà µº ÄÞ Ú ÔÓÙö Ø Ò Ð Ù Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ö ÙÑ Òغ ¾ ËØ Ð ÔÐ Ø y > 0º ¾¼

ÍÚ öù Ñ ØÖÓ ÐÒ KÓÚÖ ÓÐ (0,0) (0,η) ( 1 η,η) η > 0 Ó Ø Ñ Ð ÙÖ Ñ Ð º ÇÞÒ Ñ Ð Ø K ÓÖÒ Ð Ú ÔÖ Ú ØÖ Ò µ Γ h = {(x,η); 0 < x < 1 η} Γ l = {(0,y); 0 < y η} Γ r = {(x,y); 0 < y η, x = y} Î Þ Ó Ö Þ Ò ÓÒ º Í ö Ñ ö ö Ò ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò ÓÙ ØÖ ØÒ ÙÚÒ Ø K ÓÔÙ Ø K ÖÞ ÓÖÒ ØÖ ÒÙΓ h º Ç Ù Ùö Þ Ñ ÔÐÝÒ Ó ÞÓÚ Ò Ò Ø Ð Ø Ò Óð ØÙØÓ ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Ù ÐÞ ÚÓÐ Ø Ð ÓÚÓÐÒ Ð Þ Ó (0,0)º ÈÖÓØÓö Ú Ñ ö ö Ñ Ü Ñ ÐÒ µ Ò ÑÙ ÓÑÔ ØÒ ÑÒÓö ÒÙ K ÓÔÙ Ø Ø Ø ÓÚ Ø ö ØÓ Ò ÒÙ Ý Ò ö ÖÞ Γ h º ÔÖÚ Ò Ò Ñóö ÙØ ÖÞ ÔÓ Ø Ò Óð ØÓ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ÝÐ Ý ØÓ ÔÓÖ ÒÓÞÒ ÒÓ Ø º à Ò Ò Ñóö ÓÔÙ Ø Ø K Ò ÖÞ Γ l Ò Óð Þ ÔÐ Ø x = y 5 > 0 Ø º Ò Þ Ñ Ù ØÖ ØÒ ÓÚÒ Ø º Ó ö Ñ ÓÒ Ò ö Ô Ú Ó Ò ÚÓÐ η Ò Ñ Ù ÓÚÒ Ø Ò Γ p º à ØÓÑÙ Ø ÓÚ Ø ö dy dx = y x = y2 (y 2x) x 2 (y x)+y 5 > 1 ÔÖÓ Ú Ò (x,y) Γ p º È ÔÓ Ð Ò ÚÖ Þ ÙÔÖ Ú Ñ Ó Ò Ñ y 2 (y 2x) x 2 (y x)+y 5 = y2 x 2 y/x 2 (y/x 1)+ y3 y 2 ( 1 2) x 2 ( 1 1)+ 3 η 2 3 Ì Ùö Ò ÒÓ ÖÓÞÑÝ Ð Ñ ö ÔÖÓ > 0 η > 0 Ú Ó Ò ÞÚÓÐ Ò Ù ÔÓ Ð Ò ÚÖ Þ Ú Ø Ò ö 1 º Æ Ô º ØÓ ÖÓÞÑÝ Ð Ñ Ò ÔÖÚ ÔÖÓ η = 0 Ý ÔÓ ØÓ Ø ØÓ Ô Ù ÔÖ Ú ÔÖÓ η > 0 Ó Ø Ñ Ð ºµ Ñö ó Þ Ò Ø Ð ØÝ ÔÓ Ø Ù Þ ÚÖ Òº º ÃÊÇú ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ ó Þ Ò Ø Ð ØÝ ÔÓ Ø Ùºµ Æ ÔÖÚ Ô Ñ ÔÓÐ ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ r = r 3[ 3sinϕcos 3 ϕ sin2ϕ+1 2cos 2 ϕ ] +... ϕ = r 2[ sinϕcosϕ 3cos 3 ϕ+3cos 4 ϕ ] +... ½¼µ ÎÝÒ Ò Ð ÒÝ Ó Ù ÔÓ r 4 º ÇÔ Ø Ò ÐÞ ÔÓÙö Ø Ð Ò Ö ÞÓÚ ÒÓÙ Ø ¹ Ð ØÙ ÓÚ Ñ ÒÝÒ Ô ØÖ ÚÝ Ð Ò r 2 º È Ò ÔÓÙö Ñ Ò Ð Ù ÌÚÖÞ Ò º Æ ð Λ = Λ(X) Ò ÒÙÐÓÚ Ð ÖÒ ÙÒ º ÈÓØÓÑ Ò ÓÙ Ø ÚÝ X = F(X) ¾½

ÔÓ Ú Ó Ò Ö Ô Ö Ñ ØÖ Þ µ Ø ö Ò Ñ ÓÙ Ø ÚÝ X = Λ(X)F(X)  ÒÑ ÐÓÚÝ Ô Ò Ó Ò Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÓÐ Ð Ö Ñ Ò Ñ Ò Ú Ý Ò ÔÓÙÞ ÖÝ ÐÓ Ø ÔÖó Ùº È ÓÞ ØÚÖÞ Ò ÔÓÙö Ñ Ò ÓÙ Ø ÚÙ ½¼µ Ø º X = (r,ϕ) Ð ÖÒ ÙÒ Λ = r 2 º ÈÖÓØÓö Λ > 0 ÙÚ öù Ñ Ú ÔÖÓ r > 0µ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ñ Ò Ò ÑÝ Ð ÔÖó Ù Ò Ø Ý Ò Ñ Ò Ø Ð ØÙº ÆÓÚ ÚÝ Ð Ò µ ÓÙ Ø Ú Ñ ØÚ Ö r = r [ 3sinϕcos 3 ϕ sin2ϕ+1 2cos 2 ϕ ] +... ϕ = [ sinϕcosϕ 3cos 3 ϕ+3cos 4 ϕ ] +... ½½µ ÚÝÒ Ò Ð ÒÝ Ó Ù ÔÓ r 2 ÓÙ Ø Ý Þ Ò Ø ÐÒ Ô Ð Ò Ö ¹ Þ º ÆÝÒ Ó ö Ñ ö Ó (r,ϕ) = (0,π/2) Ò Ø ÐÒ ÔÖÓ ÓÙ Ø ÚÙ ½½µº ÊÙØ ÒÒ ÚÔÓ Ø Ú ö Ö ÒØ Ú ØÓÑØÓ Ó ( ) 1 0. 0 1 Ì º Ò Ø Ð Ø Ú Ñ ÖÙ rº Ð Ú ØÝ Ó Ò Ø ÐÒ Ú Ö Ø Ü ØÙ Ò Ý r(t) ÜÔÓÒ Ò ÐÒ ÚÝ Þ ÒÙÐÝ Þ Ø ÑÓ φ(t) π/2º ÈÖÓ ÔóÚÓ Ò Ý Ø Ñ ÞÔ Ø ÖØ Þ Ñ ÓÙ Ò Ñµ Ø Ý Ü ØÙ Ò ÚÝ Þ ÔÓ Ø Ù ÚÞ óöù ÔÓ Ó yº 2 vin1 osay2 1.5 1 0.5 0-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ¾¾

Γ h Γ l Γ p Ç Ö Þ ½ ÃÊÇÃ ¾ ÑÒÓö Ò K ¾