Transkript

1 ÎÝ Ó Í Ì Ú ÈÖ Þ ÙÐØ Ð ØÖÓØ Ã ÄýàËÃý ÈÊý Å Ð Ò ÈÖÓÙÞ ÈÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù ÓÖÑ ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØó Ã Ø Ö Ý ÖÒ Ø Ý Î ÓÙ Ð ÔÖ ÁÒ º ÎÓ Ø ÎÓÒ ÈÖ ¾¼½¾

2

3

4 ØÖ Ø ÓÖÑ ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØó ÓÙ Ñ Þ ØÙ ÐÒ Ñ Öó ÚÞ ÙÑÙ Ú ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØ º óð ö ¹ ØÓÙ ÐÓ ÓÙ Ø ÖÓÙ ÒÙØÒ ÔÖÓ ÓÖÑ ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØó Ø ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ùº Î Ð ÔÖ ÔÓÔ ÒÓ ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù Ð ÓÖÑ ÚÝÙö Ø Ñ Ô ØÙÔÙ Ä Ö¹ ÓÐÐÓÛ Ö Ý ÔÐ Ò ÚÝØÚÓ Ò ÔÓÙÞ ÔÖÓ Ú ÓÙ ÖÓ ÓØ Ô Ñö Ó Ø ØÒ ÖÓ ÓØÝ ØÖ ØÓÖ Ó ÚÓÞÙ Ò Þ Ð Ô ¹ Ô ÔÓÞ Ú ÓÖÑ º ÈÖÓ Þ ÓÖÑ ÔÓÙö Ø Ñ ØÓ ÅÓ Ð ÈÖ Ø Ú ÓÒØÖÓÐ ö Ð ÚÒ ÚÔÓ ØÒ Ò Ò ÖÓ Ø ÓÔØ Ñ Ð Þ ØÖ ØÓÖ º Î Ó ÞÚÓÐ Ò Ð Þ ØÖ ¹ ØÓÖ Ñóö ÚÞÒ ÑÒ ÓÚÐ ÚÒ Ø Ú Ð ØÙ Ú Ð Ó Ø Ó Ù ÓÔØ Ñ Ð Þ º Î Ø ØÓ ÔÖ ÝÐ Ò ÚÖö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ò Ð Þ ÔÓ Ø ØÖ ØÓÖ Ö Ô ØÙ Ñ Ø ÓÑ Þ ÖÓ¹ ÓØóº Æ Ð Þ Ø ØÓ ØÖ ØÓÖ ÒÓ ÓÑ ØÖ Ýº ÎÐ Ú Ñ ØÓ ÔÐ ÒÓÚ Ò Ø Ò ÖÝ ÐÓ Ø Ú Ð ØÙ ÓÔØ Ñ Ð Þ ÝÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÒ ÓÚ Òº ØÖ Ø ÇÒ Ó Ø ÑÓ Ø ØØÖ Ø Ú Ö Ò ÑÓ Ð ÖÓ ÓØ Ö ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó ÑÓ Ð ÖÓ ÓØ º ÁÒ Ø ÐÓÖ Ø Û Ð Û Ø ÑÓØ ÓÒ ÔÐ ÒÒ ÓÖ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ º Ì Ä Ö¹ ÓÐÐÓÛ Ö ÓÒ ÔØ Ù ØÓ Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ó Ø ÓÖÑ Ø ÓÒº ÁÒ Ø ÓÒ ÔØ Ø ÑÓØ ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ø ÓÒÐÝ ÓÖ Ø Ð Ö ÖÓ ÓØ Û Ð Ø ÓÐÐÓÛ Ö ØÖ Ø Ð Ö³ ØÖ ØÓÖÝ Ò ÔÖ Øº Ì ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒØÖÓÐÐ ÐÓÒ Ø Ú Ò ØÖ ØÓÖ Ù Ø ÅÓ Ð ÈÖ Ø Ú ÓÒØÖÓÐ ÔÔÖÓ Ò Û Ò ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ ØÓÖ Ô Ö ÓÖÑ º ÌÓ Ô ÙÔ Ø ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ù Ø Ð Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÙÐ ÔÖÓÚ ØÓ Ø ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÓÐÚ Öº Ï Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ø Ø Ð ØÖ ØÓÖ ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ó Ø ÖÓ ÓØ º Ì ØÖ ØÓÖ Ö Ö Ø Ù Ú Ö Ð ÓÑ ØÖ Ô Ø ÔÐ ÒÒ Ñ Ø Ó º Ì Ù Ó Ø ØÖ ØÓÖÝ Ø Ð Þ Ø ÓÒ ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ó Ø ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÓÐÚ Ö Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ Ú Ö º

5 Ç ½ ÚÓ ½ ¾ ÐÓ Ý ¾ Å ØÓ Ý Ð Ò ØÝ º½ ÎÓÖÓÒ Ó Ö Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Æ Ð Þ ØÝ Ú ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓ Ð Ø ÊÓ Ñ Ô Å Ø Ó ÈÊŵ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Æ Ð Þ ØÝ Ú ÈÊÅ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÊÅ ÑÓÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ËÖÓÚÒ Ò Ñ ØÓ Î ÈÊÅ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Æ Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ö¹Ð ÖÓ ÓØÙ ½ º½ ÈÖÔ Ð Ò ØÖ ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ð ÓÖ ØÑÙ ÚÔÓ ØÙ ØÖ ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º È Ð Ý Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ à Þ ÓÖÑ Ö¹Ð ÖÓ ÓØó ÔÓÙö Ø Ñ Ê ÀÓÖ ÞÓÒ ÓÒØÖÓÐ ¾¼ º½ ÃÑ Ø ÑÓ Ð Þ Ô Ú ØÙÔó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º¾ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º ÓÖÑÙÐ ÐÓ Ý ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º ÈÖÔ Ù ØÙÔÙ Ó ÓÖ ÞÓÒØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÔÖÓ Þ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º ÇÔØ Ñ Ð Þ ØÖ ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Î Ð Ý ÜÔ Ö Ñ ÒØó ¾ º½ Æ Ø Ú ÜÔ Ö Ñ ÒØó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Î Ð Ý Ò Ñ Ô ÑÔØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Î Ð Ý Ò Ñ Ô ÔÓØ ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Î Ð Ý Ò Ñ Ô Ø Ø¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÇÚ Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ò Ý Ø ÑÙ ËÝÊÓÌ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ú Ö

6 ½ ÚÓ Â Ñ Þ Ð ÚÒ ÐÓ Ú ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØ ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù ÖÓ ÓØÙ Ñ Þ Ú Ñ Ñ ØÝ Ò Ñ Ô º ÈÓö ÓÚ ÒÑ Ú ØÙÔ Ñ Ø ØÓ ÐÓ Ý ØÖ ØÓÖ Ú ØÙÔÝ ÖÓ ÓØÙ ö ÔÐ Þ Ø Ð ÓÚ Ò Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ º ÃÖ Ø Ö Ñ ÔÖÓ Ó Ó ÒÓ Ú Ð ØÝ Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ ÓÙ ÖÓÑ Ð Ý Ò Ô Ð ÞÔ Ò ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ô ö Ò Ó ÚÓ Øº Î Ø ØÓ ÔÖ ÐÓ ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù ÓÖÑ ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØóº à ÐÓ Ý Ô ØÙÔÙ Ñ Ø ö Ð Ñ ØÖ ØÓÖ ÔÓÙÞ ÔÖÓ ÒÓ Ó ÖÓ ÓØ º ÈÖÓ Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ó Ø ØÒ ÖÓ ÓØó ÚÝÙö Ø ÓÒ ÔØ Ä Ö¹ ÓÐÐÓÛ Öº Æ ÔÖÚ Ñ Þ Ú Ñ Þ ÒÑ ÔÓÐÓ Ñ Ò Ð ÞÒ Þ ÓÐ ÞÒ Ø Ò Ð Ù ÚÔÓ Ø ØÖ ØÓÖ Ø Ö ØÙØÓ ØÙ Ð Ù Þ ÖÓÚ ÔÖÓ Ò ÖÓ ÓØ Ô ÔÙ ØÒ ÖÓ ÓØ ÓÔ Ò ÔÖÓ Øµ Ú ØÙÔó Ø Ö ÖÓ ÓØ ÔÓ Ø ØÓ ØÖ ØÓÖ ÔÓÚ ÓÙº Ì ØÓ ØÖ ØÓÖ ÔÓØÓÑ ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ Ò ÔÓÙö Ø Ñ Ú Ö Ø Ó ÔÖÓ Ö ÑÓÚ Ò ÓÙ ÚÝÔÓ Ø ÒÝ ØÖ ØÓÖ Ú Ð Òó ÓÖÑ º Ë Ñ ÔÓ ØÙÔÙ ÞÒ ÞÓÖÒ Ò Ç Öº ½º Ì ØÓ ÔÖ ÔÓÔ Ù ÓÒ Ö ØÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù ÑÓ ÐÒ Ó ÖÓ ÓØÙ ØÝÔ٠ֹРÓÖÑ Ø ØÓ ÖÓ ÓØóº ÃÓÒ ÒÓÙ ÓÔØ Ñ Ð Þ Þ ÖÓ ÓØó Ó Ø Ö Ú Ú Ö Ø ÓÐÚ Ö ËÉȵ Ø Ò Ð ÔÓØ Ù Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ø ÖÓÙ Ò Ð ÓÔØ Ñ Ð ÞÙ º ÃÚ Ð Ø Ø ØÓ Ú ØÙÔÒ ØÖ ¹ ØÓÖ ÚÞÒ ÑÒ ÓÚÐ Ú Ù Ú Ð Ø Ø Ó Ù ÓÔØ Ñ Ð Þ º Â Ø Ý óð ö Ø ÞÚÓÐ Ø Ú Ó ÒÓÙ Ñ ØÓ Ù Ò Ð Þ Ð Þ ØÖ ØÓÖ º Î Ø ØÓ ÔÖ ÓÙ Ó Þ ÓÙ ÒÝ Ø Ñ ØÓ Ý Ð ¹ Ò ØÝ ÈÖÓ Ð Ø ÊÓ Ñ Ô ÈÖÓ Ð Ø ÊÓ Ñ Ô ÚÝ Ð Þ ÒÓÙ ØÓÙ Ð Ò ØÝ ÔÓÑÓ ÎÓÖÓÒ Ó Ö Ùº ÈÖÓ Þ ÒÓÙ ÔÓ Ø ÐÓÚÓÙ ÓÒ ÙÖ ÖÓ ÓØÙ Ø Ý Ò ÔÖÚ Ùö Ø Ñ ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙ Î µ Ò Ó Ñ ØÓ ÓÙ ÈÖÓ Ð Ø ÊÓ Ñ Ô ÈÊŵ Ò Ð ÞÒ Ø º Æ Ð Ø ÔÖÓÜ ÑÙ Ñ ØÑ ÖÙöÒ Ã Ô ØÓÐ µ Ø Ý Ú Ð Ò ØÖ ØÓÖ ÝÐ ÔÖÓ Ö¹Ð ÖÓ ÓØ Ô ¹ ÔÙ ØÒ º ËÓÙ öò ÔÖÓÜ Ñ ÔÖÓ ÚÔÓ Ø Ú ØÙÔó ÖÓ ÓØÙº Æ Ð Þ Ò Ú Ô Ô ÓÔØ Ñ Ð Þ Ú Ö Ø ÑÙ ÓÐÚ ÖÙ Ø Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ñ ØÓ Ý Ê ÀÓÖ ÞÓÒ ÓÒØÖÓÐ Ã Ô ØÓÐ µº ÈÖÓ Þ ÓÖÑ ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØó ÔÓÙö Ø Ñ ØÓ Ä Ö¹ ÓÐÐÓÛ Öº Â Ñ Ú ØÙÔ Ñ ØÖ ¹ ØÓÖ Ð Ö Ø Ö ÐÓÙö Ó ÚÞÓÖ ÔÖÓ ØÖ ØÓÖ Ó Ø ØÒ Ð Òó ÓÖÑ º È ÔÓ Ø Ò ØÖ ¹ ØÓÖ ÓÐÐÓÛ Ö ÔÖÓÚ ÔÓÑÓ ÞÒ Ñ ÚÞ ÑÒ ÔÓÞ ÖÓ ÓØó Ú ÓÖÑ º Ý ÔÓÙö Ø ÓÒ ÔØÙ Ä Ö¹ ÓÐÐÓÛ Ö Ò ÒÙØÒ Ô ÚÔÓ ØÙ ÔÓ Ø ØÖ ØÓÖ ÙÚ öóú Ø ÐÓÙ ÓÖÑ ÔÖÓØÓ Ð Ò Ø ØÓ ØÖ ØÓÖ ÔÓÙö Ú Ñ ØÓ Ý ÙÖ ÔÓÙÞ ÔÖÓ Ò ÖÓ Óغ nalezení cesty optimalizace řešení start start start start start 5. cíl cíl cíl cíl cíl výpočet trajektorie řízení formace Ç Ö Þ ½ Ë Ñ ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù ÑÓ ÐÒ Ó ÖÓ ÓØÙ ÔÓÙö Ø Ú Ø ØÓ ÔÖ º ½

7 ¾ ÐÓ Ý ÈÖÓ ÔÓØ Ý ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù Ò ÔÖÚ ÒÙ Ñ Ò Þ ÝØÒ Ø ÖÑ Òݺ ֹРÖÓ ÓØ ÞÔó Ó Ñ ÔÓ Ý Ù ÔÓ Ó ÙØÓÑÓ ÐÙ Ó Ñ ÙÚ ÒÓ Ò Ç Öº ¾º ÈÓ Ý Ö¹Ð ÖÓ ÓØÙ ÐÞ ÔÓÔ Ø ÖÓÚÒ Ñ ẋ(t) = v(t) cos(ϕ(t)) ẏ(t) = v(t) sin(ϕ(t)) ϕ(t) = K(t) v(t), ½µ ÖØ Þ ÓÙ ÖÓ ÓØÙ x y Ó Þ ÑÙØ ϕ ØÚÓ ÓÒ ÙÖ ÖÓ ÓØÙ ÚÓ Ø Þ Ø Ý K ÖÝ ÐÓ Ø v ÓÙ Ñ Ú ØÙÔݺ ÎÞØ Ñ Þ ÚÓ Ø K Ò ØÓ Ñ ÓÐ θ Ô ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ô Þ ÓÐ l K = tanθ. l à ÚÓ Ø Ó Ý ÓÑ Þ Ó ÒÓØ Ñ K Ñ Ò K Ñ Ü Ø Ö ÔÐÝÒÓÙ Þ ÓÒ Ö ØÒ ÓÒ ØÖÙ ÖÓ ÓØÙ Ø Ø ÖÝ ÐÓ Ø v ÓÑ Þ Ó ÒÓØ Ñ v Ñ Ò v Ñ Ü º Ì ØÓ ÔÖ Ô ÔÓ Ð Ò Ð Ù Þ ÒÓ Ù Ö¹Ð ÖÓ ÓØÙ ½º ÖÓ ÓØ Ñóö Þ Ø Ø Ò Ó ØÖ ÒÝ Ø ÒÓÙ Ñ Ü Ñ ÐÒ Ú Ð Ó Ø ÚÓ Ø Ø Ý K Ñ Ü > K Ñ Ò = K Ñ Ü ¾º ÖÓ ÓØ Ñ ÔÓ Ý ÓÚ Ø ÔÓÙÞ Ñ Ö Ñ ÓÔ Ù Ø Ý v Ñ Ò = v v Ñ Ü º ÖÓ ÓØ ÐÞ Ó ÔÖÓÜ ÑÓÚ Ø ÖÙ ÓÚÑ ÖÓ ÓØ Ñ ÔÓÐÓÑ Ö Ñ r Ò ÞÒ ÒÓ Ò Ó Ö Þ Ù ¾µº y r Φ φ l Ç Ö Þ ¾ ֹРÖÓ ÓØ ÚÝÞÒ ÒÑ Ö Ù Ñ ÔÖÓ Ø ÓÐ Þ º Å Ô Ú Ø ØÓ Ð ÔÖ ÚÓÙÖÓÞÑ ÖÒ ÚÝÑ Þ ÔÓÐÝ ÓÒ ÐÒ Ñ Ô ö Ñ º ÈÖÓ ØÓÖ ÙÚÒ Ø Ø Ö Ó ÓÐ ÔÓÐÝ ÓÒÙ Ò Ó ØÙÔÒ ÖÓ ÓØÝ ÑÓ ÓÙ ÔÓ Ý ÓÚ Ø ÔÓÙÞ ÚÒ ÔÓÐÝ ÓÒóº  РÓö x ¾

8 ÔÓÙö Ø ËÉÈ ÓÐÚ Ö ÔÖÓ ÓÔØ Ñ Ð Þ ØÖ ØÓÖ ÓÙ Ô ö Ý ÐÓö ÒÝ Þ ¾ ÓÜó Óö ÓÙ Ó ÐÒ Ý ÖóÞÒ ÖÓÞÑ Öó ÖÓØ º ÃÓÒ ÙÖ ÖÓ ÓØÙ Ú ØÓÖ ÓÙ Ø Ö ÒÓÞÒ ÔÓÔ Ù ÔÓÐÓ Ù ÖÓ ÓØÙº Ì ØÓ ÔÖ ÙÚ öù ֹРÖÓ ÓØÝ Ù Ø Ö Þ ÔÓØ ÖÓÑ ÔÓÞ ÖÓ ÓØÙ Ú ÖØ Þ ÓÙ x y Ô Ø ÓÙ ϕ ÙÖ Ù Þ ÑÙØ µ ÖÓ ÓØÙº Î ÒÝ ÓÒ ÙÖ ÓÙ ÓÙ ÞÒ ÞÓÖÒ ÒÝ Ò Ç Öº ¾º ÎÓÐÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÚ Ô Ø Ö ÖÓ ÓØ Ò ÓÐ Ù ö ÒÓÙ Ô ö ÓÙº ÈÖÓ Þ ÒÓ Ù Ô ÔÓ Ð Ñ ÖÙ ÓÚ ÖÓ ÓØ ÔÓÐÓÑ Ö Ñ r ÓÙ x y ÙÖ Ù ÔÓÐÓ Ù Ø Ù ÖÓ ÓØÙ ¹ Ý ØÓÑÙØÓ Ô ÔÓ Ð Ù ÐÞ ÓÒ ÙÖ ÔÖÓ Ð Ø Þ ÚÓÐÒÓÙ ØÐ ö ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ø Ù ÖÓ ÓØÙ Ó Ô ö Ý Ú Ø Ò ö rº ØÙ ÒÙ Ñ Ó ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÚÓÐÒ ÓÒ ÙÖ ÔÓ ÖÑ º Î Ø ØÓ ÔÖ ÖÓÑ Ø ÖØÓÚÒ ÓÒ ÙÖ Ô Ð Ò ØÝ Ò ÙÚ öù ÓÙ ϕ Ø ö Ó Ý ØÝ ÓÙ ÙÖ Ö¹ Ø Þ Ñ ÓÙ Ñ Ô Ñö Ò ÔÓ Ñ Þ ÔÓ Ó ÓÙ Ñ ÓÒ ÙÖ Ñ Ò Ð ö ö Ò Ô ö º Ø Þ Ò Ø ÖØÓÚÒ ÓÒ ÙÖ ÖÓ ÓØÙ ÓÒ ÐÓÚÓÙ ÓÒ ÙÖ º ÎÝ Ö Ñ ØÓ Ý Ð Ò ØÝ ÓÙ ÔÓÔ ÒÝ Ú Ô ØÓÐ º Î Ø ØÓ ÔÖ ÖÓÑ Ø ÖØÓÚÒ ÓÒ ÙÖ Ô Ð Ò ØÝ Ò ÙÚ öù ÓÙ ϕ Ø ö Ó Ý ØÝ ÓÙ ÙÖ ÔÓÙÞ ÖØ Þ Ñ ÓÙ Ñ x yº Ð Ñ Ð Ò ØÝ Ò Ð Þ ÚÓÐÒ ØÝ Þ ÔÓ Ø Ó ÐÓÚ ÓÒ ÙÖ º ÌÖ ØÓÖ Ú ÔÓ Ø Ö ÖÓ ÓØ ÔÓ Ý Ù ÓÔÐÒ Ò Ó Ú ØÓÖ Ú ØÙÔó Ø Ú Ð ÓÚ Ú ØÓÖ Ó Ñ ØÖÚ Ò ÒÓØÐ Ú Ú ØÙÔóº Î ØÓÑØÓ Ø ÜØÙ ÔÓÙö Ñ Þ ÒÓ Ù Ù Ô ÔÓ Ð ö ÖÓ ÓØ Þ Ø ÔÓÙÞ ÚÓ ØÑ Þ Ø Ý K Ñ Ü Ò Ó K Ñ Ü º Ø ØÓ ÔÓ ÑÝ ÔÐÝÒ ö ØÖ ØÓÖ Ù Úö Ý Ð Ø ÔÓÙÞ Þ Ø ÖÙöÒ ÔÓÐÓÑ Ö Ñ r = 1 K Ñ Ü º ÀÐ Ò ØÖ ØÓÖ Þ ÔÓ Ø Ó ÓÒÓÚ ÔÓÞ Ò ÞÚ ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ùº Æ ÖÓÞ Ð Ó Ñ ØÓ ÔÐ ÒÓÚ Ò ØÝ Ú ØÙÔ Ñ Ú Ú ØÙÔó Ø ÖÑ ÐÞ ÖÓ ÓØ Ø ÔÓ Ð ÚÝÔÓ Ø ØÖ ØÓÖ º

9 Å ØÓ Ý Ð Ò ØÝ ÓÐ Ñ Ð ÓÖ ØÑó ÔÓÔ Ú Ø ØÓ Ô ØÓÐ Ò Ð ÞØ Þ ÓÐ ÞÒ ØÙ ÔÖÓ ÑÓ ÐÒ ÖÓ Óغ ÍÚ ÒÝ ÓÙ Ú ØÓ ÔÓÙö Ú Ô ØÙÔÝ ÓÑ ØÖ Ñ ØÓ Ð Ò ØÝ Ú ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙ Î µ ÖÓÑ ÞÓÚ Ò Ñ ØÓ ÈÖÓ Ð Ø ÊÓ Ñ Ô ÈÊŵº º½ ÎÓÖÓÒ Ó Ö Ñ Ã Ýö Ô Ð Ò ØÝ Ñ Þ Ð ÚÒ ÔÓö Ú ó Ó Ø Ø Ò ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ô ö Ò Þ ØÙ Ð Ø Ú ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙº Ó ÓÚ ÎÓÖÓÒ Ó Ö Ñ ØÓÚ ØÖÙ ØÙÖ ÖÓÞ ÐÙ ÖÓÚ ÒÙ Ò Ù Ý ÔÓ Ð ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ö ØÒ ÑÒÓö Ó ó Bº à ö ÑÙ Ó Ù B Ô Þ Ù V(B)º Ì ØÓ Ù ÚÝÑ ÞÙ ÔÓ ÑÒÓö ÒÙ Ó ó ÖÓÚ ÒÝ Ø Ö Ñ Ñ Þ Ó Ý ÑÒÓö ÒÝ B Ò Ñ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ù Bº Ó Ò Ñ Ø ØÓ ØÖÙ ØÙÖÝ Ñ ÒØÓÚ ÎÓÖÓÒ Ó Ö Ñº  ÓÙ¹Ð Ô ö Ý Ú Ñ Ô Ú Ø Ö ÖÓ ÓØ ÔÓ Ý Ù ÔÓÔ ÒÝ ÑÒÓö ÒÓÙ S Ñ ÒØÓÚ ÎÓÖÓÒ Ó Ö Ñ Ø ØÓ Ñ ÔÝ ÖÓÞ Ð ÖÓÚ ÒÙ Ø Ý ö u S ÝÐ Ô Ð Ó Ð Ø V(u) ÔÖÓ Ø ÖÓÙ ÔÐ Ø ö Ð ÓÚÓÐÒ Ó Þ Ø ØÓ Ó Ð Ø Ò Ð ö ÔÖ Ú uº ÈÖÓ Ð Ò ØÝ ÓÙ Þ Ñ Ú Ö ÒÝ Ø ØÓ Ó Ð Ø Ò Óð ØÝ Ú Ñ Ô ÚÝØÚ ØÝ Ú ÓÙ Úö Ý Ú Ò Ú Ø ÑÓöÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ô ö Ø Ö Ò ØÝ ÚÝÑ ÞÙ º ÊÓ ÓØ ÔÓ Ý Ù ÔÓ Ø ÓÚ Ø Ø ÑÑ Ð ÞÙ Ö Þ Ó ÓÐ Þ Ô ö ÓÙº Ð Ú Ó ÔÓÙö Ø ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙ ö ØÓÙØÓ Ñ ØÓ ÓÙ Ø Ñ Þ Ú Ñ Ó Ý Ò Ð Þ Úö Ý Ýö Ü ØÙ Ò ÖÓÞ Ð Ò Ô º Ó Ò ö ÔÓÔ Ó ÈÊź ÈÖÓ Ð Ñ Ñ ØÐ ÚÓ Ø Ò ÙÑ Ú ÓÖÑ Ó Ñ Ô ÔÖÓØÓö Þ ÞÖÒ Ø Ø ÚÔÓ Ø Ö Ù Ó Ø öò Ð Ò ØÖ Ú ÐÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ ÚÔÓ Ø ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙº ÈÖÓ ÔÓØ Ý Ø ØÓ ÔÖ ÝÐ ÔÓÙö Ø ÔÖÓ Ö Ñ Å ÖØ À Ð ÎÖÓÒ ½¼ Ø Ö ÔÓÙö Ú Ð ÓÖ ØÑÙ ÐÓö ØÓ Ø O(nlogn)º Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ò ØÝ Ú ÎÓÖÓÒ Ó Ö Ù Ø ÓÔÖÓØ ÈÊÅ Ò ÙÚ öù Ú Ð Ó Ø ÖÓ ÓØÙ ÔÖÓØÓ Ñóö Ò Ð Þ Ò Ø Ú Ø Þ ö ÒÓÙ Ø Ñ ÔÝ Ø Ö ÓÚ Ñ ÔÖÓ ÖÓ ÓØ Ò ÔÖó Þ Ò º Ì ÒØÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÙ ÒÙØ Ô ö Ó ÔÓÐÓÑ Ö ÖÓ ÓØÙ ÚÝØÚÓ ÎÓÖÓÒ Ó Ö Ù ÔÖÓ ÙÔÖ ¹ Ú ÒÓÙ Ñ ÔÙº Å Ø Ø Ö Ý ÔÖÓ ÖÓ ÓØ ÝÐ Ô Ð Þ ÙÞ Ú ÓÙ ÔÐÒ Ö ÒÝ Ö Ù Ùö ÖÞ Ò Ò ÔÓÚ ÓÙº Î Ø ØÓ ÔÖ ÝÐ Ø ØÓÚ Ò Ò Þ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ Þ Ù ÓÚ Ò Ô ö º º¾ Æ Ð Þ ØÝ Ú ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙ ÈÖÓ Ð Ò ØÝ Þ Ò ØÖÓ Ñ ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙ Ñ Ôݺ Æ Ð Ù Ó ÔÖ Ú ÔÖÓØÓö Ö ÒÝ ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙ ÔÖÓ Þ ÓÒÓÚÑ Ó Ý ÔÓØ ÓÐ Ù Ó Ý Þ Ö ÑÙ Ó ØÖØ Ý Ø ÑÓ Ð Ú Ø ÖÞ Ô ö ݺ Ì ØÓ ÙÔÖ Ú Ò Ö Ñ ÐÞ Ú Ô Ô Ò Ñ ÒÒ Ñ ÔÝ Ù ÓÚ Ø ÔÓÙö Ú Ø ÔÖÓ Ð Ò ØÝ Ñ Þ ÖóÞÒÑ Ó Ý ÓÔ ÓÚº ÖÙ ÓÙ Þ Ô Ò ÔÓ Ø ÐÓÚ ÔÓÞ Ò ÔÓ Ò ÎÓÖÓÒ Ó Ö Ñ Ò ÓÒ Ò Ð Þ ØÝ Ú Ö Ùº Æ ÔÓ Ô Ó ó ÔÖÓÚ Ò Ð ö Ø Ö ÑÙ Ø ÖÓÙ ÐÞ Ó Ý ÔÓ Ø Þ ÓÐ Þ Ô ö ÓÙº ÈÓ Ù Ø ÖØÓÚÒ ÐÓÚ ÔÓÞ Ð ö Ú Ø Ù ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙ ÑÓ ÓÙ ÔÓÐÙ Ø Ó Ñö Ø ÔÖÓÔÓ ÒÝ Þ Ò ÔÓ ÓÚ Ò Ò Ö º Î Ø ØÓ Ð ÔÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÚ Ò Ø Ý Úö Ý Ø Ú Ð ÔÓ Ö Ò ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙº ó Ø Ø ØÓØ ö Þ ÓÚ Ò Þ Ú Ó Ø ØÓ Ñ ØÓ Ý Ø Úö Ý ÔÓÚ Ú Ñ Ü Ñ ÐÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ô ö º Ì ÒØÓ Ú Ú Ò Úö Ý Ò Ú Ó ÓÙº Î ÔÖÓ ØÓÖÒ Ø Ñ ÔÝ ÖÓ ÓØ Þ ÝØ Þ ö Ö Ò Ñ Î º ÜØÖ ÑÒ Ñ Ô Ô Ñ Ð Ò ØÝ Ú ÔÖ Þ ØÚ ÖÓÚ Ñ Ô ÔÓÚ Ø

10 Úö Ý ÔÓ ÐÓÔ º Æ ÓÔ Ò Ú Ø Ùö Ø Ô Ò Ø ØÓ ÚÐ ØÒÓ Ø Ô ÔÐ ÒÓÚ Ò ØÝ Þ ö ÒÑ Ó Ñ º ÃÓÒ Ö ØÒ Ô Ð Ý Ò Ð Þ Ø ÓÙ Ò Ç Ö Þ º Ø ÑÓ ÔÖÚÒ Ó Ö Þ Ù ÞÙ ÐÒÓÙ ØÖ Ò Ù ØÝ Ò Ð Þ Ú ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙ Ý Ñ ØÓ ÔÓÖ Þ Ñ ÔÖó Ó Ý Ò ÖÙ Ñ Ó Ö Þ Ù Þ Ø Ñ ÔÝ Ú Ø Ð Ø ØÓ Ñ ØÓ Ý Ð Ò ØÝ Ú ÚÓÐÒ Ñ ÔÖÓ ØÖ Ò ØÚ º Ořezaný Voroného diagram Nalezená trajektorie Nalezená cesta Ç Ö Þ Ø Þ ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙ ÔÓÐ ¹ Ð Ú ÔÖÓ Þ Þ Ñ Ó Ñ º Ç Ö Þ ÓÚ Ò ØÝ Þ ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙ Ú ÚÓÐÒ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙº º ÈÖÓ Ð Ø ÊÓ Ñ Ô Å Ø Ó ÈÊŵ ÈÖÓ Ð Ø ÊÓ Ñ Ô Å Ø Ó ½ ÙÑÓö Ù ÔÐ ÒÓÚ Ø ÔÓ Ý ÖÓ ÓØÙ ÑÒÓ ØÙÔÒ ÚÓÐÒÓ Ø ÐÞ Þ Ú Ø ÓÑÔÐ ÔÓÙö Ø Þ ÙÑ ÒÑ ÓÖÑ Ñ Ó Ñ Ô º ÈÐ ÒÓÚ Ò ÔÖÓ Ú ÚÓÙ Þ º Î Þ Ù ÚÝ ÖÙ Ö Óö ÙÞÐÝ ÓÙ Ò Ó ÖÓÚ ÚÓÐÒ ÓÒ ÙÖ ÖÓ ÓØÙ ÖÑ ÓÙ ØÝ Ñ Þ Ø Ñ ØÓ ÓÒ ÙÖ Ñ Ó ö Ø ÐÒ ÒÓ Ù Ñ ÐÓ ÐÒ Ñ ÔÐ ÒÓÚ Ñ Ò Ô º Ú ¾ ØÓ Ñóö Ø ÔÖÓÔÓ ÓÙµº ÖÙ Þ ÓØ ÞÓÚ ÕÙ Öݵ Ú Ø Ö Ó Ö Ù Ô ÔÓ Ø ÔÓö ÓÚ Ò ÓÒ ÙÖ ÔÖÓÔÓ Ô Ð ÐÑ ÚÝ ÖÓÚ ÒÑ Ó Ý Ò Ð Ñ Þ Ò Ñ ÔÓÑÓ Ð ÓÚÓÐÒ Ó Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ò ØÝ Ú Ö Ù Ò Ð ÞÒ Ø º ÈÓ Ù ÓÙ Ó Ý ÈÊÅ ÖÓÚ ÒÝ ÖÓÚÒÓÑ ÖÒ Ú Þ ö Ø Ñ ÔÝ Ö Þ Ó ö Ó Ò Ò Ù ÚÝ ÖÓÚ Ò Ó Ø Ø Ó ó Ø Ö Ý Þ Ø ÐÝ ÚÝØÚÓ Ö Ò Ú ÓÙ ÖÞ Ó Ð Ø Ç Öº µº ÌÓÑÙØÓ Ò ö ÓÙ ÑÙ ÓÚ Ò ÐÞ Þ Ö Ò Ø ÒÑ Ò ö ÖÓÚÒÓÑ ÖÒÑ ÖÓÚ Ò Ñ Ò Ó Ó óº

11 Hrany PRM Body PRM Ç Ö Þ È Ð Ð Ò ÈÊź ÀÖ ÒÝ Ò ÔÖÓÔÓ ÐÝ Ú Ñ ØÒÓ Ø Ó Ð Þ Ñ ÔÖó Ó Ñ Ò Óð Ô Ù Þ Ò ÔÓ ÐÓ Ú ØÓÑØÓ ÔÖó Ó Ù ÚÝ ÖÓÚ Ø Ó Ø Ø Ù Ø Ò Ó Ò ÚÞÓÖ º Î ØÙÔ Q ÑÒÓö ÔÓÐÝ ÓÒó ØÚÓ Ô ö Ý Î ØÙÔ R = (P,E) Ö ÈÊÅ P := {} E := {} ÒØ := ÔÓö ÓÚ Ò ÔÓ Ø Ó ó k := ÔÓ Ø Ò Ð ö ÓÙ ó Ø ÖÑ ÔÓ Ù ÔÓ Ø r Ñ Ò := ÑÑ ÐÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ô ö Ý» Ú Ð Ó Ø ÖÓ ÓØÙ»» Ò Ð Þ ÔÓö ÓÚ Ó ÔÓ ØÙ ÚÓÐÒ ÓÒ ÙÖ Û Ð P < ÒØ Ó p := Ò Ó Ò Ó Ú Ñ Ô ÚÞ Ð ÒÓ Ø p Ó Ð ÓÚÓÐÒ Ó ÔÓÐÝ ÓÒÙ Þ Q > r Ø Ò P := P {p}»» ÚÝØÚÓ Ö Ò Ñ Þ ÓÒ ÙÖ Ñ ÓÖ p P Ó ÓÖ i = 1 ØÓ Ó n := i¹ø Ò Ð ö ÓÙ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ý pn Ó Ð ÓÚÓÐÒ Ó ÔÓÐÝ ÓÒÙ Þ Q > r Ñ Ò Ø Ò E := E {(p,n)} Ð ÓÖ ØÑÙ ½ ÈÊÅ Ù Þ

12 Î ØÙÔ Q ÑÒÓö ÔÓÐÝ ÓÒó ØÚÓ Ô ö Ý R = (P,E) Ö ÚÝØÚÓ Ò Ô Ù Þ P Ø ÖØ,P Ø ÖØÓÚÒ ÐÓÚ ÔÓÞ Î ØÙÔ P Ò Ð Þ Ò Ø Ú Ó óµ k := ÔÓ Ø Ò Ð ö ÓÙ ó Ø ÖÑ ÔÓ Ù ÔÓ Ø r Ñ Ò := ÑÑ ÐÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ô ö Ý» Ú Ð Ó Ø ÖÓ ÓØÙ»» Þ ÔÓ Ø ÖØÓÚÒ Ó ÐÓÚ Ó Ó Ù Ó Ö Ù P := P {P Ø ÖØ, P } ÓÖ p {P Ø ÖØ, P } Ó ÓÖ i = 1 ØÓ Ó n := i¹ø Ò Ð ö ÓÙ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ý pn Ó Ð ÓÚÓÐÒ Ó ÔÓÐÝ ÓÒÙ Þ Q > r Ñ Ò Ø Ò E := E {(p,n)}»» Ò Ð Þ ØÝ ØÖóÚ Ð º Ò Ö Ù R Þ Ó Ù P Ø ÖØ Ó Ó Ù P Ú Ð ÙÐÓö Ó P Ð ÓÖ ØÑÙ ¾ ÈÊÅ ÓØ ÞÓÚ Þ Â ÒÓÙ Þ ÑÓöÒ ØÖ Ø Ù ÓÚ ÖÓÚ Ò ÓÐ Ñ Ó Ö ó º ÈÓ ØÙÔ Ó ö ÒÓÖÑ Ð¹ Ò Ó ÖÓÞ Ð Ù ØÓØÝ Ó ó Ù Þ Ò Ú Ð ÓÖ ØÑÙ º Æ ÔÖÚ ÞÚÓÐ ÚÞ Ð ÒÓ Ø d Ø Ö ÙÖ Ù Ú Ð Ó Ø ÖÓÞÔØÝÐÙ Ú Ð Ó ÖÓÞ Ðº Î ö Ñ Ý ÐÙ Ð ÓÖ ØÑÙ ÚÝ ÖÓÚ Ò Ò Ó Ò Ó p 1 Ò Ð Ò Ó Ò Ó p Ú ÚÞ Ð ÒÓ Ø d Ó p 1 º ÈÓ Ù ÓÒ ÙÖ Ú Ó p 1 ÚÓÐÒ ÓÒ Ù¹ Ö Ú Ó p Ò ÚÓÐÒ Ó Ö Ù Ô Ò Ó p 1 º Æ ÓÔ ÔÓ Ù ÚÓÐÒ ÔÓÙÞ ÓÒ ÙÖ Ú Ó p Ó Ö Ù Ô Ò Ó p º ÈÓ Ù ÓÙ ÚÓÐÒ Ó ÓÒ ÙÖ Ò Ó Ö Ù Ô Ò ö Ò Ó º ó Ð Ñ ØÓ ÓØÓ ÔÓ ØÙÔÙ Þ Ñ Þ ÖÓÚ Ò Ó ó Ú Ø Ñ ÔÝ Þ Ô ö ÓÚ Ñ Þ ÒÙ Ð Ó Ý ØÖÚ Ò Ù Þ º ÈÓ Ó Ò ÔÖÔ ÖÓÚ Ò Ó ó ÔÖÓ ÈÊÅ ÔÓÙö Ø Ú Ñ ØÓ Ö Ì Ø ½¾ º Æ ÖÓÞ Ð Ó Ù ÓÚ Ó ÖÓÚ Ò ÔÓ Ð Ó Ö ó Ô ö Ð Ó Ð Ñ ÖÓÚ Ø Ó Ý ÔÓÙÞ Ú Þ Ø Ñ Ôݺ ÈÖó ÖÓÚ Ò Þ Ô Ò Ú Ô Ù Ó Ù Ú Ð ÓÖ ØÑÙ ÚÝÔ Ò Ð ÓÚÒ º Æ ÔÖÚ ÚÝ Ö Ò Ó Ò Ó p 1 º ÈÓ Ù ÓÒ ÙÖ Ú ØÓÑØÓ Ó Ò ÚÓÐÒ ÚÝ Ö ÖÙ Ó p ÔÓÞ ÖÓÚ ÒÓÙ ÔÓ Ð Ù ÓÚ ÖÓÞ Ð ÔÖ Ú ÔÓ Ó ÒÓ Ø Ø Ñ Ú p 1 º ÈÓ Ù Ú ØÓÑØÓ Ó ÓÒ ÙÖ Ò ÚÓÐÒ ÓØ ØÙ ÓÒ ÙÖ Ú Ø Ù Ý p 1 p ØÐ ö Ø ØÓ ÓÒ ÙÖ ÚÓÐÒ Ô Ó Ö Ù ÈÊź ËÖÓÚÒ Ò ÖÓÞÐÓö Ó ó ÖÓÚ Ú Ñ ÙÚ ÒÑ Ñ ØÓ Ñ Þ Ð Ù ÓÚ Ö Ì Ø Ñµ Ò Ç Ö Þ Ù º Î Ø ØÓ ÔÖ ÝÐ ÔÓÙö Ø Þ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ ÈÊÅ ÖÓÚÒÓÑ ÖÒÑ ÖÓÚ Ò Ñ Ó ó ÔÖÓØÓö ÔÓÙö Ø Ñ ÔÝ Ò Ó Ù Þ ÔÖó Ó Ý Þ Ð ØÖ Ø Ù Þ ÔÖÓ Ò Ù Þ Ð Ó Ó Ø Ù º

13 µ Ç Ö Þ ËÖÓÚÒ Ò ØÝÔ Ó ÖÓÞÐÓö Ó ó ÈÊÅ Ô ÔÓÙö Ø µ ÖÓÚÒÓÑ ÖÒ Ó ÖÓÚ Ò Ó ó µ Ù ÓÚ Ó ÖÓÚ Ò Ó ó ÓÐ Ñ Ó Ö ó Ô ö µ ÖÓÚ Ò Ó ó Ñ ØÓ ÓÙ Ö Ì Øº Û Ð P < ÒØ Ó p 1 := Ò Ó Ò Ó Ú Ñ Ô d := ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÞÚÓÐ Ò ÔÓ Ð ÔÓö ÓÚ Ô Ö Ñ ØÖó ÒÓÖÑ ÐÒ Ó ÖÓÞ Ð p := Ò Ó Ò Ó Ú ÚÞ Ð ÒÓ Ø dó Ó Ùp 1 p 1  ÚÓÐÒ p Æ Æ ÚÓÐÒ Ø Ò P := P {p 1 } Ð p 1 Æ Æ ÚÓÐÒ p  ÚÓÐÒ Ø Ò P := P {p } л» Ó ÓÒ ÙÖ ÓÙ ÚÓÐÒ p 1 p Ò ÔÓÙö Ð ÓÖ ØÑÙ ÈÊÅ Ù ÓÚ ÖÓÚ Ò

14 º Û Ð P < ÒØ Ó p 1 := Ò Ó Ò Ó Ú Ñ Ô p 1 Æ Æ ÚÓÐÒ Ø Ò p := Ò Ó Ò Ó Ú Ó ÓÐ p 1 p Æ Æ ÚÓÐÒ Ø Ò p c := Ø Ý p 1 p p c  ÚÓÐÒ Ø Ò P := P {p c } Ð ÓÖ ØÑÙ ÈÊÅ Ö Ì Ø Æ Ð Þ ØÝ Ú ÈÊÅ ÈÖÓ Ð Ò ØÝ ÖÓ ÓØÙ Ú Ñ Ô ÔÓÐÝ ÓÒ ÐÒ Ñ Ô ö Ñ Ñóö Ø Ñ ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÚ Ò Ò Ð ÓÚÒ º ÊÓ ÓØÝ Ú Ø ØÓ ÔÖ Ñ ÚÓÙÖÓÞÑ ÖÒ ÓÒ ÙÖ ÔÖÓ ØÓÖ Ø ö ÓÒ ÙÖ ÖÓ ÓØÙ Ò Ú Ñ ÓÙ Ñ Ü Ýº ÃÓÒ ÙÖ ÔÓÚ öù Ñ Þ ÚÓÐÒÓÙ ÔÓ Ù ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ù [x, y] Ó Ô ö Ý Ú Ø Ò Ó ÖÓÚÒ r Ñ Ò r Ñ Ò ÒÓ Ú Ð Ó Ø ÖÓ ÓØÙ Ô ÔÓ Ð Ñ ÖÙ ÓÚ ÖÓ Óصº Ð ÔÓØ ÙÖ Ø Þ ÓÙ Ú ÞÚÓÐ ÓÒ ÙÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ ÐÓ ÐÒ Ó ÔÐ ÒÓÚ º ÄÓ ÐÒ ÔÐ ÒÓÚ ØÓ ÓÚ Ø ö ÔÓ Ù ÔÓ Ø ÓÒ ÙÖ ÓÙº ÈÓ Ù Ø ØÓ Ò ÓÐ ¹ Ù ö ÒÓÙ Ô ö ÓÙ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ð ÓÚÓÐÒ Ô ö Ý Ò Ñ r Ñ Ò ÓÒ ÙÖ ÓÙ ÔÖÓÔÓ Ø ÐÒ º Ç ØÙÔ Ö Ò Ó Ô ö Ó ÔÓÞÓÖÓÚ Ø ÐÒ Ò Ç Öº º Ç Ö Þ Í Þ ØÝ Þ Ñ ØÓ ÓÙ ÈÊź ÈÓ ÓÙ Ø ÚÞ ÑÒ ÔÖÓÔÓ Ø Ú n ÚÝ ÖÓÚ ÓÒ ÙÖ ÚÔÓ ØÒ Ò ÖÓ ÐÓö ¹ ØÓ Ø O(n )µ ÔÖÓØÓ ö ÓÒ ÙÖ ÔÓ Ù ÔÓ Ø Ô ÚÒ ÞÚÓÐ ÒÑ ÔÓ Ø Ñ Ò Ð ö ÓÙ¹ ó ö Ð Ò ÙÖÝ Ð ÒÓ ÔÓÙö Ø Ñ Ã ¹ ØÖÓÑÙº Æ Ð Þ Ò Ð ö Ó ÓÙ Ú Ã ¹ ØÖÓÑÙ Ñ ÐÓö ØÓ Ø O(logn)º

15 È Ù Þ Ù Ø Ý Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÓ ØÙÔÓÚ Ø Ø ØÓ Ù ÖÓÚ Ø Ò Ó ÓÒ ÙÖ Ó Ù Ò Þ n ÚÓÐÒ ÓÒ ÙÖ º à ö ÓÙ Þ Ò ÔÓ Ù ÔÖÓÔÓ Ø ÖÑ k Ò Ð ö Ñ Ó٠ݺ ÈÓØÓÑ Þ Ú Ô Ø Ó ÚÝ ÖÓÚ Ó Ö Ù Ø ÖØÓÚÒ ÐÓÚÓÙ ÓÒ ÙÖ ØÝ ÓÔ Ø ÔÖÓÔÓ Ø k Ò Ð ö Ñ ÓÙ Ý ÔÓÙö Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ò ØÝ Ú Ö Ù Ò Ô º ØÖóÚº Î ØÙÔ Ñ Ð ÓÖ ØÑÙ ÈÊÅ Ú Ó ó Ú Ø Ö ÔÖÓ ö Ú ÔÓ Ó ÓÙ Ó Ý ÔÐ Ø ö Ñ Þ Ò Ñ ÖÓ ÓØ Ñóö Þ ÓÐ Þ ÔÓ Ý ÓÚ Ø ÔÓ ÔÓ º ÈÖÓ Þ Ö¹Ð ÖÓ ÓØÙ ÔÓØ Ò Ð ÞØ ØÖ ØÓÖ Ø Ö Ù Ø ØÓ ØÝ Öö Ø Þ ÖÓÚ Ù Ö Ô ØÓÚ Ø ÑÚÖÓÚ ÑÓöÒÓ Ø ÖÓ ÓØÙº.5 Hrany PRM Body PRM Nalezená cesta º ÈÊÅ ÑÓÓØ Ç Ö Þ Ð ö ÔÓ Ð Ò ØÙ Ò Ð Þ ÒÓÙ Ð ÓÖ ØÑ Ñ ÈÊź Æ Ð Þ Ò Ø ÞÔÖ Ú Ð Ú ÐÑ Ó ØÖ Ø ÚÝÔÐ Ø Ô Ð Ñ ÞÔÖ ÓÚ Ò Ñ ÚÝ Ð Ø Ò Ô ¹ Ð ÔÓÙö Ø Ñ Ø Ö Ø ÚÒ Ó Ó ØÖ ÓÚ Ò Ö ÙÒ ÒØÒ Ó ó º Å ØÓ Þ Ô Ò Ú Ô Ù Ó Ù Ú Ð ÓÖ ØÑÙ º ÈÖÚÒ Ó ØÝ P 1 ÔÓ Ù ÔÖÓÔÓ Ø ÓÙ Ø Ø Ñ Ó Ñ P 3 ÔÓ Ù Ò ÓÐ Ù ö ÒÓÙ Ô ö ÓÙ Ó ØÖÒ Ó P Ó P 1 ÔÓ Ù ÔÖÓÔÓ Ø Ò Ð Ù Ñ Ó Ñ ÔÓ Ö Ù ö Ó Ù P n Ù Ø Ö Ó Ó Ò ÔÓ Ó ó ÓÐ Þ Ô ö ÓÙº ËØ ÒÑ ÞÔó Ó Ñ Ô Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÓ Ö Ù Þ Ó Ù P n 1 Ø º Ó Ù Ò Ó Ò ÓÒ Øݺ Í Þ ØÝ ÚÝ Ð Þ Ð Ó ÑÒÑ Ð ÓÖ ØÑ Ñ Ò Ç Öº º Î Ö Ñ Ø ØÓ ÔÖ ÝÐÝ Ø ØÓÚ ÒÝ Ò Úݹ Ð Þ ØÝ Ô ÑÓ Þ ÈÊÅ Ø ØÝ ÙÔÖ Ú Ø ÑØÓ Ð ÓÖ ØÑ Ñº ÈÊÅ ÓÔÐÒ Ó ÚÝ Ð ÞÓÚ Ð ÓÖ ØÑÙ Ù Ò ö ÙÚ ÒÓ Ó ÈÊÅ ÑÓÓØ Ò Ó ÈÊÅ º ½¼

16 5 4 Hrany PRM Nalezená trajektorie Vyhlazená cesta Ç Ö Þ Ø Ò Ð Þ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ñ ÈÊÅ ÔÓ ÚÝ Ð Þº º Î ØÙÔ Q ÑÒÓö ÔÓÐÝ ÓÒó ØÚÓ Ô ö Ý P Ò Ð Þ Ò Ø Î ØÙÔ P ÑÓÓØ ÚÝ Ð Þ Ò Ø P ÑÓÓØ := P i := Û Ð i < P ÑÓÓØ Ó ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ý p i p i+ Ó Ð ÓÚÓÐÒ Ó ÔÓÐÝ ÓÒÙ Þ Q > r Ñ Ò Ø Ò P ÑÓÓØ := P ÑÓÓØ \p i+1 i > Ø Ò i := i 1 Ð i := i+1 Ð ÓÖ ØÑÙ ÈÊÅ ÚÝ Ð Þ ØÝ Ó ØÖÒ Ñ Ô ÝØ Ó ó ËÖÓÚÒ Ò Ñ ØÓ Î ÈÊÅ Î ÝÐÝ ÔÓÔ ÒÝ Ú ÒÓ Ù Ñ ØÓ Ý Ð Ò Øݺ ÈÖÚÒ Þ Ò ÔÓ Ú Ú Ò Ð Þ ØÝ Ú Ñ ÒØÓÚ Ñ ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙº  РÚÒ Ú Ó ÓÙ ö Ò Ð Þ Ò Ø Ú Ú Ñ Ü Ñ ÐÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ô ö Ñö ÔÖÓ ÖÓ ÓØ ÔÓ Ý Ù ÔÓ Ø ØÓ Ø ÑÑ Ð ÞÙ Ö Þ Ó ÓÐ Þ Ô ö ÓÙº Â Ó Ñ ØÓ Ù Ø ÖÑ Ø ÓÙ Ø Ö Ò Ð ÞÒ ØÙ Úö Ý Ýö Ü ØÙ º Æ Ú Ó ÓÙ ö Ú Þ Ð Ú ÖÞ Ñ ØÓ Ò ÔÓ Ø Ò ÒÙÐÓÚÓÙ Ú Ð Ó Ø ÖÓ ÓØÙ ÔÖÓØÓ Ò Ð Þ Ò Ø Ñóö Ú Ø Þ Ñ ÔÖó Ó Ý Ù Ý ÙØ Ò ÖÓ ÓØ Ò Ó ö ÔÖÓ Øº Ð Ñ ÔÖÓ Ð ÑÝ ÓÙ ÐÓö Ø ÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ ÚÔÓ Ø ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙ ØÐ ÚÓ Ø Ò ÙÑ Ú Ø ÔÓÔ Ù Ñ ÔÙ Ø Ö ÓÑÔÐ Ù ÚÝØÚÓ Î º ÖÙ ÓÙ ÔÓÔ ÒÓÙ Ñ ØÓ ÓÙ ÝÐÓ ÈÊź Æ ÖÓÞ Ð Ó Î Ó Ñ ØÓ Ù ØÓ Ø ÓÙ Ø Ö ÔÖÓ Ú ÚÓÙ Þ º Î Þ Ù Ò ÚÞÓÖ Ù ÓÒ ÙÖ ÔÖÓ ØÓÖ Ò Ó ÒÑ ÖÓÚ ÒÑ ÚÓÐÒÑ ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ö Ò Ð ÔÓ Ù ÔÖÓÔÓ Ø ÐÓ ÐÒ Ñ ÔÐ ÒÓÚ Ñ Ò Ô º Ú ¾ ÔÖÓ¹ ÔÓ ÓÙµ Ò ÓÐ Ò Ð ö Ñ Ó٠ݺ Î ØÙÔ Ñ Ù Þ Ö Ø Ö Ò Ñ Ô ØÚÓ ð غ È ÓØ ÞÓÚ Þ Ó Ö Ù Ô Ò Ø ÖØÓÚÒ ÐÓÚ ÓÒ ÙÖ Ð ÓÖ ØÑ Ñ ÔÖÓ Ð Ò ØÝ Ú Ö Ù Þ Ú Ð Ò Ø º Î Ó Ñ Ø ØÓ Ñ ØÓ Ý ÓÙ Ú ÐÑ ÒÓ Ù ÑÔÐ ¹ ½½

17 Ñ ÒØ Ó ÓÐÒÓ Ø Úó ÙÑÙ ÑÓöÒÓ Ø Ô Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ó Ý Ö ÒÝ Ø Ö ÓÙ ÔÖÓ ÖÓ ÓØ Ò ÒÙÐÓÚÓÙ Ú Ð Ó Ø Þ ÓÐ ÞÒ º È ÖÓÚÒÓÑ ÖÒ Ñ ÖÓÚ Ò Ó ó Ñ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ð ÑÝ Ô ÓÒ Ò Ñ Þ ö Ø Ñ ÔÝ Ñ Ð ÔÖ Ú ÔÓ Ó ÒÓ Ø ÚÝ ÖÓÚ Ò Ó Ùº Ü ØÙ ØÖ Ø ÖÓÚ Ò Ó ó ÈÊÅ Ø Ö ØÙØÓ Ò Ú Ó Ù ÔÓØÐ Ù Ú Ö Ñ Ø ØÓ ÔÖ ÝÐ Ð ÔÓÙ¹ ö Ø ÔÓÙÞ Þ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ ÈÊź Ø Ò Ð Þ Ò Ñ ØÓ ÓÙ ÈÊÅ Ó ØÖ Ø ÔÖÓØÓ Ú Ó Ó ØÖÒ Ñ Ö ÙÒ ÒØÒ Ó ó ÚÝ Ð Ø Þ ÒÓ Ù Øº Þ Ñ ØÓ Ò ÔÓ ÝØÙ Ô ÑÓ ØÖ ØÓÖ Ö¹Ð ÖÓ ÓØÙ Ð ÔÓÙÞ Ú Ó ó Ø Ö ØÚÓ Þ ÓÐ ÞÒ Ú Ô Ô Î Ò ÒÙØÒ µ ØÙ Þ Ø ÖØÓÚÒ ÓÒ ÙÖ Ó ÐÓÚ º Î Ã Ô ØÓÐ ÔÓÔ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö ØÙØÓ ØÙ ÓÑ ØÖ Ý ÔÖÓÜ ÑÙ ØÖ ØÓÖ Ö¹Ð ÖÓ ÓØÙ ÚÝÔÓ Ø Ú ØÙÔݺ ½¾

18 Æ Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ö¹Ð ÖÓ ÓØÙ È ÓÞ Ô ØÓÐÝ Þ Ú ÐÝ Ñ ØÓ Ñ Ò Ð Þ ØÝ Ñ Þ Ú Ñ Ó Ý Ò Ñ Ô Ø Ö ÓÚ Ñ Ò ¹ ÔÓ ÝØÙ ÔÓØ ÒÓÙ ØÖ ØÓÖ ÖÓ ÓØÙ ØÝÔ٠ֹРº Ã Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ ÐÓÙö ØÞÚº Ô Ø ÓÐÐÓÛ Ð ÓÖ ØÑÝ ¾¼ º ÈÖÓØÓö Ú Ø ÒÓÙ ÔÓØ ÔÓ Ø Ø Ó ÝÐ Ñ Ó ÚÝÔÓ Ø ØÖ ØÓÖ ÞÔó Ó ¹ ÒÑ ÔÖÓ ÐÙÞÓÚ Ò Ñ ÓÐ Ô Ô ÒÑ Ò Ô ÒÓ ØÑ Ú Þ Ú Ó Ö Ð ÞÓÚ Ø Þ Ó ÐÓ ¹ÐÓÓÔ ÑÝ Ù Ø Ö Ñ Ò Ú ØÙÔÙ ÖÓÑ ÔÓö ÓÚ ØÖ ØÓÖ ØÙ ÐÒ ÔÓÐÓ Ù ÖÓ ÓØÙº Ô ØÒÓÚ Þ Ö ÙÐ ØÓÖÝ ÙÖ Þ öò ØÝÔó ÖÓ ÓØó ÓÙ ÔÓÔ ÒÝ Ú ¾ ½ ½ º Î Ø ØÓ ÔÖ Þ ÓÖÑ ÔÓÙö Ø ÓÒ ÔØ Ä Ö¹ ÓÐÐÓÛ Ö Ê ÀÓÖ ÞÓÒ ÓÒØÖÓк ËØ Ø Ý ÔÓÙö Ø ÓÔ Ò¹ÐÓÓÔ Ñ ØÓ Ù Ø Ö ÔÖÓ Þ ÒÓÙ ØÙ Ò Ð ÞÒ Ú ØÙÔÝ Ö¹Ð ÖÓ ÓØÙ Ø Ö ÖÓ ÓØ Ó ö ÔÓ Ð Ø ØÓ ØÝ Øº ÎÝÔÓ Ø Ò Ú Ú ØÙÔó Ô ÔÖÓ ÓÔØ Ñ ¹ Ð Þ Ñ ÓÐÚ Ö Ñ ÔÓÙö Ø Þ ÓÖÑ Ñ ØÓ ÓÙ ÊÀ Ø Ö Ó Ø Ö ÔÓØ ÒÓÙ ÞÔ ØÒÓÙ Ú Þ Ù ØÓ Ò Ô Ô Ó ÝÐ Ý Ó ØÖ ØÓÖ Ø Ò ÒÓÚ Ø ÓÚ Ô ö ݺ Î ØÙÔ Ñ ÔÓÙö Ø Ó Ô Ø ÓÐÐÓÛ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø ÔÓÔ Ò ÑÒÓö ÒÓÙ ÔÓ Ó ÓÙ Ó ó Ú ØÙÔ Ñ Ú Ú ØÙÔó ÔÖÓ Ö¹Ð ÖÓ Óغ ÌÝØÓ Ú ØÙÔÝ Þ Ø ÔÓ Ý ÖÓ ÓØÙ ÔÓ ØÖ ØÓÖ Ø Ö ÔÖÓÜ ÑÙ Ú ØÙÔÒ ØÙº à ö Ú ØÙÔ Ð Þ ÖÝ ÐÓ Ø ÔÓ Ý Ù ÚÓ Ø Þ Ø Ó Ý Ú Ó ØÖÚ Ò º Ð ÓÖ ØÑÙ Ô ÔÓ Ð ö ÖÝ ÐÓ Ø ÔÓ Ý Ù ÖÓ ÓØÙ ÓÒ Ø ÒØÒ ö ÖÓ ÓØ Ô Þ Ø ÔÓÙö Ú ÔÓÙÞ Ø ÚÓ Ø ØÓ Ù K Ñ Ü ¼ Ò Ó K Ñ Ü º ÌÖ ØÓÖ ÔÓ Ý Ù Ø ÓÚ Ó Ö¹Ð ÖÓ ÓØÙ ØÚÓ Ò Ñ Ø Ö ÓÙ ÔÖÓÔÓ ØÑ ÖÙöÒ ÔÓÐÓÑ Ö Ñ 1 K Ñ Ü º ÈÓ ÔÖÓÜ ÑÓÚ Ò Þ Ú ØÙÔÒ ØÝ Ø Ñ ØÓ ÓÑ ØÖ Ñ ØÚ ÖÝ ÐÞ Ò ÒÓ Þ Ø Ú ØÙÔÝ ÔÖÓ Þ ÖÓ ÓØÙº º½ ÈÖÔ Ð Ò ØÖ ØÓÖ Ó Ý Ú ØÙÔÒ ØÝ ÓÞÒ Ñ P = {P 1, P,..., P N }º ÈÖÓ ö ÓÙ ØÖÓ Ó ó P n, P n+1, P n+ Ø Ò Ð ÞØ Ø C n ÖÙöÒ ÔÓÐÓÑ Ö Ñ r = 1 K Ñ Ü Ø Ö Ú Ô Ò Ó ÐÙ P n P n+1 P n+ Ó Ý ÓØÝ Ù X 1n, X n Ñ P n P n+1 P n+1 P n+ Ç Öº ½¼µº Î ØÙÔ ØÚÓ Ú Ú ØÓÖó Ú ØÙÔó U = {u 1, u,..., u N 3 }º à ö Ú ØÓÖ u m Ó Ù ÖÝ ÐÓ Ø ÔÓ Ý Ù ÓÒ Øºµ ÚÓ Ø Þ Ø Ý Ò Ú Ó ÒÓØ K Ñ Ü ¼ K Ñ Ü µ Ó Ù ØÖÚ Ò Ó Ó Ú ØÙÔÙº  ÞÒ ÑÓ ö Ø ÖÙöÒ Ð ö Ò Ó ÐÙ P n P n+1 P n+ ÚÞ Ð ÒÓ Ø C n X 1n = C n X n = rº Ð Þ Ñ ö ÐÝ P n+1 X 1n C n P n+1 X n C n ÓÙ ÔÖ Ú º ÇÞÒ Ñ α 1 = Ø Ò¾ ( P ny P (n+1)y, P nx P (n+1)x ), α Ø Ò¾ ( P (n+)y P (n+1)y, P (n+)x P (n+1)x ), α = P np n+1 P n+ = α α 1 = P n P n+1 C = α 1 +αº α C ÎÞ Ð ÒÓ Ø Ø Ù ÖÙöÒ Ó ÚÖ ÓÐÙ ÐÙ ÓÞÒ Ñ d = P n+1 C n ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó ó ÓØÝ Ù Ó ÚÖ ÓÐÙ ÐÙ ÓÙ ÔÖÓ Ó Ó Ý Ø ÓÞÒ Ñ x = P n+1 X 1n = P n+1 X n º ÎÞ Ð ÒÓ Ø d ÐÞ ÔÓ Ø Ø Þ ÔÖ ÚÓ Ð Ó ØÖÓ ÐÒ P n+1 C n X 1n d = C nx 1n sinα = r sinα. ½

19 K= Pn+ Pn+1 x Xn r α -1 K= r x d r Cn αc X1n α1 α K= Pn Ç Ö Þ ½¼ ÔÖÓÜ Ñ Þ Ø Ý ØÝ Ú Ñ Ñ Ø ÖÙöÒ º ÎÞ Ð ÒÓ Ø x ÚÝ Þ ÈÝØ ÓÖÓÚÝ Ú ØÝ x = d r. ÆÝÒ Ø ÔÓÑÓ Ðó ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÔÓ Ø Ø ÓÙ Ú Ø Ð Ó ó C n = [ P (n+1)x +d cosα C, P (n+1)y +d sinα C ] X 1n = [ P (n+1)x +x cosα 1, P (n+1)y +x sinα 1 ] X n = [ P (n+1)x +x cosα, P (n+1)y +x sinα ]. ÈÓ Ù n > 1 ÓÒ Ð Ñ ÒÙÐ ÖÓ Ú Ó X (n 1) º ÌÖ ØÓÖ Ñ Þ X (n 1) X 1n Ô ÑÓ¹ Ö ÔÖÓØÓ Ô Ò Ú ØÙÔ ÒÙÐÓÚÓÙ ÚÓ Ø X(n 1) X 1n v = ÓÒ Øº, K =, t =, v X 1n X (n 1) Ð Ô ÑÓ Ö Ó Ùº Î Ô Ô ö n = 1 Ô Ò Ø ÒØÓ Ú ØÙÔ v = ÓÒ Øº, K =, t = P 1X 11. v Ð Ñ Ö Þ Ø Ý ÓÙ ÙÖ ÒÝ ÖÓÞ Ð Ñ Ðó δ = Ø Ò¾(X ny C ny, X nx C nx ) Ø Ò¾(X 1nY C ny, X 1nX C nx )º Ð δ Ø ÒÓÖÑ Ð ÞÓÚ Ø Ó ÒØ ÖÚ Ðó (; π) Ö Ôº (, π)º ÈÓØÓÑ ÞÒ Ñ Ò Þ ÔÓÖÒ ÞÒ ÑÓ Þ Ø Ù ÓÐ Ú ÔÖÓØ Ñ ÖÙ ÖÙ Ð ÞÒ ÑÓ Þ Ø Ù ÓÔÖ Ú Ú Ñ ÖÙ ÖÙ º à Ú ØÙÔ ÔÖÓ ÚÝ ÓÒ Ò Þ Ø Ý ÚÝÔ Ò Ð ÓÚÒ δ v = ÓÒ Øº, K = Ò(δ) K Ñ Ü, t = δ v K Ñ Ü, K Ñ Ü Ð Ó ÐÓÙ Ù Þ Ø Ýº Î ÔÓ Ð Ñ ÖÓ Ù Ð ÓÖ ØÑÙ Ô Þ Ú Ö Ò Ô ÑÓ Ö Ø ØÖ ØÓÖ X(N ) P N v = ÓÒ Øº, K =, t =. v ½

20 º¾ Ð ÓÖ ØÑÙ ÚÔÓ ØÙ ØÖ ØÓÖ Î ÙÚ Ò ÔÓ ØÙÔ ÒÙØÒ ÖÓÞ Ø Ò Óð Ñóö Ð Ø ÔÓ Ù ÓÙ Ó Ý Ú ØÙÔÒ ØÖ ØÓÖ Ú ÐÑ Ð Þ Ó Ù Ò Ó ÔÓ Ù ÓÙ ÐÝ Ñ Þ ÒÓØÐ ÚÑ Ñ ÒØÝ ØÖ ØÓÖ Ô Ð Ó ØÖ º Ç Ó ÞÔó Ó ö Ð Ó Ý ÓØÝ Ù Ó Ú Ñ ÑÓ Ô ÐÙ Ý Ø Ý X 1n / P n P n+1 X n / P n+1 P n+ Ò Ó ÒÓ Ù x > P n P n+1 x > P n+1 P n+ Ç Öº ½½µ Ò Ó ö Þ Ø Ù Ô ÖÚ Ø Þ Ø ÓÙ Ô ÓÞ Ø Ý X(n 1) P n+1 < X1n P n+1 X (n 1) ÓÒ Ô ÓÞ Þ Ø Ý Ç Öº ½¾µº Î Ø ÓÚ Ñ Ô Ô Ý ÚÝÔÓ Ø Ú ØÙÔÝ ÝÐÝ Ýº Ç ÔÖÓ Ð ÑÝ ÐÞ ÚÝ Ø Ô ÑÓ ÖÑ Þ ÓÙÚ Ò Ñ ÖÓ ÓØÙ Ó ÔÓØ ÒÓÙ ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÓÚ Ñ Ø ØÓ ÔÖ ÙÚ öù ÔÓÙÞ ÓÔ Ò ÔÓ Ý ÖÓ ÓØóº Pn+3 Pn+ Xn Pn+1 Pn+ r Cn Xn Pn+1 Cn Cn-1 X1n Cn-1 X1n X(n-1) X(n-1) Pn X1(n-1) Pn-1 Pn X1(n-1) Pn-1 Ç Ö Þ ½½ ÒÓ Ù ØÝ Ô Ý X n / P n+1 P n+. à Ñ Þ ØÓ ÓØÓ ÓÑ Þ Þ ÒÓ Ù ÓÚ Ò ØÖ ØÓÖ ö Ó Ø Ñ ÖÝ Ý ÝÐ ÔÖÓ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖó ÓÞ Þ Ý º ÒÓ Ù ÓÚ Ò ÔÖÓÚ Ó Ö Ò Ñ Ô ÝØ Ó óº Ð º µº Æ Ú ÔÓØ Þ Ø Ø Ú ÖÓ Ó ÐÓ ÔÖÓ Ð ÑÙº Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ÖÙöÒ Ú Ô ÒÓÙ Ó ÐÙ P n P n+1 P n+ ÞÔó Ó Ñ ÔÓÔ ÒÑ Ú º ÈÓØÓÑ ÓØ ØÙ ØÐ Ó Ý ÓØÝ Ù ÖÙöÒ Ú ØÙÔÒ ØÓÙ X 1n X n Ð ö Ò Ô ÐÙ ØÝ Ø ØÓ ØÐ Ó X 1n Ð ö Ò P n P n+1 Ð ö ÚÖ ÓÐÙ ÐÙ P n+1 Ò ö ÓÒ Ô ÓÞ Þ Ø Ý X (n 1) º Â Ó ÔÖÚÒ ÓÒØÖÓÐÙ Þ ÔÐ Ø Ò ÖÓÚÒÓ Ø X (n 1) P n+1 > X 1n P n+1 º ÈÓ Ù Ò Ó ØÖ ¹ Ò Ò Ó P n+1 ÔÓ Ð Ú Ú ØÙÔÝ u n u n 3 º Ð ÓÖ ØÑÙ Ú Ð Ñ ÖÓ Ù ÔÓ Ö Ù Ó ÒÓØÓÙ n := n 1º à Ýö ÔÖÚÒ Ý Ò Ø Þ ÓÒØÖÓÐÙ ØÐ Ð ö Ó X (n 1) Ò P n+1 P n+ Óö Ú Ú Ð ÒØÒ ÔÓ ÑÓÙ x < P n+1 P n+ º ÈÓ Ù Ò ÞÒ Ñ Ò ØÓ ö ÒÙØÒ ØÙØÓ Ö ÒÙ ÔÖÓ ÐÓÙö Ø Óö Ó Ó ØÖÒ Ñ Ó Ù P n+ º È ÓÞ Ú ØÙÔÝ Þó Ø ÒÓÙ Þ ÞÑ ÒÝ Ú Ð Ñ ÖÓ Ù ÔÓÙö Ð ÓÖ ØÑÙ Ø ÒÓÙ Ó ÒÓØÙ n Ó Ú ØÓÑØÓ ÖÓ Ùº Ë ØÙ X 1n / P n P n+1 ÔÓØ ÓÒØÖÓÐÓÚ Ø ÔÓÙÞ ÔÖÓ n = 1 ÔÖÓØÓö Ó Ø ØÒ Ô Ô Ý ÔÓ¹ ÖÝ ÔÖÚÒ ÔÓ Ñ º  РÓö Ó ØÖÒ Ó Ù P Ý ÞÒ ÑÐÓ ÞØÖ ØÙ ÓÖÑ Ó Ø ÖØÓÚÒ Ñ Þ ÑÙØÙ ÖÓ ÓØÙ Ó Ö Ò Ó P 3 Ð ÓÖ ØÑÙ Ú Ð Ñ ÖÓ Ù ÓÔ Ø ÔÓÙö n := 1º Ð ÓÖ ØÑÙ ÐÞ Þ ÒÓ Ù Ø ÒÓÚ Ò Ñ X := P 1 ÖÓ Ñ ÙÔÖ ÚÑ ÐÓ Ù ÔÓÙ ØÑ Ô ÔÓÖÙ ÔÓ ÑÝ X(n 1) P n+1 > X1n P n+1 ÙÚ ÒÓ Ú Ð º Ý ØÓÑÙ ÑÓöÒ ÔÓ Ð ÞÑÒÓÙ ÔÓ ÑÙ X 1n / P n P n+1 ÚÝÒ Øº Ø ÒØÓ ÔÓ ØÙÔ Ò ÑÙ Úö Ý Ú Ø Þ ÖÒ ÑÙ Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ º È Ð Ú ØÙÔÒ ØÝ Ø ÖÓÙ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÔÓÖ ÙÚ Ò Ú Ò Ð Ù Ô ØÓÐ º à РÑÙ ÞÚ ÔÓÐ Ð ÚÓ Ø Ý ÝÐÓ ÒÙØÒ ÔÓÙö Ø ÓÑÔÐ ÓÚ Ñ ØÓ Ù Ò ö Ó ØÖ ÓÚ Ò Ó ó ØÝ Ô Ô Ø Ú Ñ ØÓ Ù ÓÔÐÒ Ø Ó ÔÓÑÓÒ ÖÓ Ý Ú ØÙ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ó ö Ú ØÙÔÒ ØÝ Öö غ ½

21 Pn+ Pn+1 Xn Cn Pn+1 X1n X(n-1) Pn Cn-1 X1(n-1) Cn- X(n-) Pn-1 X1(n-) X(n-1) Cn-1 Pn X1(n-1) Cn- X(n-) Pn- Pn-1 X1(n-) Pn- Ç Ö Þ ½¾ ÒÓ Ù ØÝ Ô Ý X (n 1) P n+1 < X 1n P n+1 Î ØÙÔ Ó Ý ØÝ P = {P 1, P,..., P N } Î ØÙÔ Ú ØÙÔÝ U = {u 1, u,..., u N 3 } N := ÔÓ Ø Ó ó Ú ØÙÔÒ ØÝ n := 1 X := P 1»» Ý Ð ÓÖ ØÑÙ ÙÒ ÓÚ Ð ÔÖÓ n = 1 Û Ð n < N Ó ÎÔÓ Ø ÔÓÞ Ó ó X 1n, X n, C n ÚÞ Ð ÒÓ Ø x ÐÙ δ n < (N 1) Ø Ò X(n 1) P n+1 > X1P n+1 Ø Ò n > 1 Ø Ò n := n 1 Ó ØÖ P n+ Ó ØÖ u n u n 3 N := N 1 Ò Þ Ø Û Ð Ð Ð x > P n+1p n+ Ø Ò Ó ØÖ P n+ N := N 1 Ò Þ Ø Û Ð Ð u n 1 := u n := n := n+1 u n 1 := ( ) v = ÓÒ Øº, K =, t = X (n 1) X 1n v ( v = ÓÒ Øº, K = Ò(δ) K Ñ Ü, t = δ v KÑ Ü ( ) v = ÓÒ Øº, K =, t = X (n 1) P N v Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ÓÖ ØÑÙ ÚÔÓ ØÙ ØÖ ØÓÖ ) ½

22 Nalezená trajektorie Upravená cesta Vstupní cesta Změny řídicích vstupů 6 P5 6 P5 6 P P4 P4 P4 4 P3 4 P3 4 P P P1 P P1 P P µ Ç Ö Þ ½ µ Î ØÙÔ Ð ÓÖ ØÑÙ Ô K Ñ Ü = 1º Ú ØÙÔÒ ØÝ ÝÐ Ú ÖÙ Ñ ÖÓ Ù Ó Ö Ò Ó P 4 º µ Î ØÙÔ Ð ÓÖ ØÑÙ Ô K Ñ Ü = º Ú ØÙÔÒ ØÝ ÝÐ Ú Ø Ø Ñ ÖÓ Ù Ó Ö Ò Ó P 4 º µ Î ØÙÔ Ð ÓÖ ØÑÙ Ô K Ñ Ü = 3º à ÚÓ Ø Ùö Ó Ø Ú Ð Ý ØÖ ØÓÖ ÑÓ Ð Ð ÓÚ Ø Þ ÒÓÙ ØÙº º È Ð Ý Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ Æ ÔÖÚ ÓÚ Ñ Ô ÔÓ Ð ÓÚ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÞÒ Ò Ç Ö Þ ½½ ½¾º Î Ó ÓÙ Ô Ô ¹ Ó Ø Ò ØÝ Ø Ö ÓÚ Ñ Ð ÓÖ ØÑÙ ÞÔÖ ÓÚ Ð Ø Ñ ÖóÞÒÑ Ó ÒÓØ Ñ K Ñ Ü º ËØ ÖØÓÚÒ ÔÓÞ ÖÓ ÓØÙ Ú Ó P 1 Ð Ú Ó P 5 º È Þ ÚÓ Ø K Ñ Ü = 1 ÔÓÐÓÑ Ö Þ Ø Ý r = 1µ Ó Ú ÖÙ Ñ ÖÓ Ù ÚÔÓ ØÙ ØÖ ØÓÖ Ó Ö Ò Ó Ù P 4 Ç Öº ½ µº È Ó Ö Ò ØÓ ÓØÓ Ó Ù Ø Ò Ó Ò Ç Öº ½½ Ó X Ð ö Ð Ñ ÑÓ Ù P 3 P 4 Ø Ö Ñ Ð Þ Ø ÖÓ ÓØ ÓÚ Øº Æ Ø ÚÑ Ú Ø ÚÓ Ø K Ñ Ü = ÔÓÐÓÑ Ö Þ Ø Ý r = 1 µ Ó ÖÙ ÑÙ ÞÑÒ ÑÙ Ô Ô Ù Ç Öº ½ µº Î ÖÙ Ñ ÖÓ Ù Ð ö Ó X Ò P 3 P 4 Ð Ú Ò Ð Ù Ñ ÖÓ Ù Ð ö Þ Ø Þ Ø Ý X 13 Ð Ó ÚÖ ÓÐÙ Þ Ø Ý P 4 Ò ö X º ÊÓ ÓØ Ý Ø Ý ÑÙ Ð ÔÓ Ó ö Ó Ù X Þ ÓÙÚ Ø Ó Ó Ù X 13 Ô Ø ÔÖÚ ÔÖÓÚ Ø Ð Þ Ø Ùº Î Ø ØÓ ÔÖ Ð ÙÚ öù ÔÓÙÞ ÓÔ Ò ÔÓ Ý ÖÓ ÓØÙ ÔÖÓØÓ Ð ÓÖ ØÑÙ ØÙ Þ ÒÓ Ù Ó Ö Ò Ñ Ó Ù P 4 º Ú Ñ ¹Ð Þ ÒÓÙ ÚÓ Ø ö Ò K Ñ Ü = 3 Óö ÞÒ Ñ Ò ÔÓÐÓÑ Ö Þ Ø r = 1 3 ÔÖÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Þ Þ ó Ó Þ ØÝ Ç Öº ½ µº Ñ Ú Ò ö ÑÓ ÐÓÚ Ô Ð Ý Ú ØÙÔ Ð ÓÖ ØÑÙ Ô ÔÓÙö Ø Ð ÐÓö Ø Øݺ ÈÖÓ ÑÓÒ ØÖ Þ ÔÓÙö Ø Ø ØÝ Ò Ð Þ Ñ ØÓ ÓÙ ÈÊź ØÝ ÖÓÚ Ñ ØÓ ÓÙ ÈÊÅ ÚÝÞÒ Ù Ú Ð Ñ ÑÒÓö ØÚ Ñ ÖóÞÒÓ öò Ñ ÒØó Ø ö ÓÙ ÐÒ Ñ Ñ Ø Ö Ð Ñ Ø ØÓÚ Ò ØÓ ÓØÓ Ð ÓÖ ØÑÙº Ñ Ñ ÔÓÚÓÐ Ò ÚÓ Ø Þ Ø Ý Ø Ñ ÔÖÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÖÓ Ò Ð ÞØ ØÖ ØÓÖ Ø Ñ Ú ÔóÚÓ Þ Ò Ø ÑÙ Þ ÒÓ Ù Øº Á ÔÓÑ ÖÒ Ñ ÐÓÙ ÚÓ Ø ÚÞ Ð Ñ ÐØÓ Ø Ú ØÙÔÒ Øݵ K Ñ Ü = 1 ÝÐ Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ç Öº ½ µº ÎÐ Ú ÔÓÚÓÐ ÚÓ Ø Þ Ø Ò Ú Ð ÒÓÙ ØÖ ØÓÖ ÐÞ Ð ÓÚ Ø Ò Ç Ö Þ ½ ½ Ø Ö Ù ÞÙ ØÖ ØÓÖ ÔÖÓ ÚÓ Ø K Ñ Ü = K Ñ Ü = 3º ½

23 Nalezená trajektorie Upravená cesta Vstupní cesta Změny řídicích vstupů -1 - start -1 - start -1 - start cíl -6 cíl -6 cíl µ Ç Ö Þ ½ ÌÖ ØÓÖ Ò Ð Þ ÔÓ Ð ØÝ Þ Ñ ØÓ ÓÙ ÈÊÅ µ Ô K Ñ Ü K Ñ Ü = µ Ô K Ñ Ü = 3º = 1 µ Ô ÈÖÓ Ð Ñ Ñóö Ò Ø Ø Ò Ô Ð Ýö Ò Þ Ø Ù ØÝ Ô Ð Ó ØÖ Þ Ø Þ ¹ ÒÓ Ù ÓÚ Ò ØÝ Ò Ú ÞÐ Ô º È ÔÓ Ð Ñ ö Ø ÖØÓÚÒ Ð ÖÓ ÓØÙ Ô ÚÒ Ò Ò ÐÞ Ó ÞÑغ Æ ÓÒ Ó Ø ÚÙ Þ ÝÑ Ò Ç Öº ½ º ÖÚ Ó Ý Ù ÞÙ Ý ÑÙ Ð Þ Ø ÓÒ Ø Þ Ø Þ ÒÓÙ ÚÓ Ø Ý ÚÝØÓ Ð Ø ÓÚ Ðº Ó ÐÓ Ø ØÙ¹ X 1 / P n P n+1 Ø Ó Ú Ô Þ ÖÓ µ Ú Ð Ñ ÖÓ Ù Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ØÖ ÐÓÚ Ó P 5 Ò Ð Þ Ò ØÖ ØÓÖ ÔÓÚ Þ Ø ÖØÓÚÒ Ó Ó Ù P 1 Ó Ó Ù P Óö ÑÓÞ Ñ Ò Ó Ø Ø º ½

24 6 P5 Upravená cesta Vstupní cesta Změny řídicích vstupů 5 4 P3 P4 3 P1 P Ç Ö Þ ½ Ë Ð Ò Ð ÓÖ ØÑÙº ÀÒ ÔÖÚÒ Þ Ø ÝÐ Ô Ð Ó ØÖ ÔÓ ØÙÔÒ Þ ÒÓ Ù ÓÚ Ò Ò ÓÒ Ú Ó ØÖÒ Ú Ó ó ÖÓÑ P 1 P º Æ Ó Ö Þ Ù Ø Ú Ô Ó ØÖÒ Ñ Ó Ù P 5 º ½

25 à Þ ÓÖÑ Ö¹Ð ÖÓ ÓØó ÔÓÙö Ø Ñ Ê ÀÓÖ ÞÓÒ ÓÒØÖÓÐ Å ØÓ Ý Þ ÓÖÑ ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØó ÐÞ ÔÓ Ð Ô ØÙÔÙ Ð Ø Ó Ø ÙÔ Òº Î ÖØÙ ÐÒ ØÖÙ ØÙÖÝ ½ ÔÓ Ð ö Ò ÓÖÑ Ó Ò ÒÓ Ú ÖØÙ ÐÒ Ø Ð Óº ÈÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù ÔÖÓÚ ÔÖÓ ÐÓÙ Ú ÖØÙ ÐÒ ØÖÙ ØÙÖÙ ÔÓØ ÔÓ Ý ÖÓÞ Ð Ò ÔÓ Ý Ý ÒÓØÐ Ú Ð Òó ÓÖÑ Ò ÓÒ ÚÝÔÓ Ø Ú ØÙÔÝ Ø Ö ØÝØÓ ÔÓ Ý Ý Þ Ø º Í Öö ØÚ ÖÙ ÓÖÑ Þ ðù ÞÔ ØÒ Ú Þ Ú Ó Ò Ø Ú ÒÓÙ Ú ÓÙº Î Ó ÓÙ ØÓ ÓØÓ Ô ØÙÔÙ Ó Ö ÔÖ ÓÚ Ø ÐÒÓ Ø ÓÚ Ò Ð ÓÖÑ Ò Ú Ó ÓÙ Ô ÓÑ Þ ÑÓöÒÓ Ø ÔÐ º Î ½ ÖÓÞ Ö ÒÓ ÔÓÙö Ø Ø ØÓ Ñ ØÓ Ý ÔÖÓ Þ ÓÖÑ Ú Ñ ÖÒ ÔÐ Ú Ðº ÈÖÓ Þ Ö¹Ð ÖÓ ÓØó ØÙØÓ Ñ ØÓ Ù Ò ÐÞ ÔÓÙö Ø ÔÖÓØÓö ֹРÖÓ ÓØÝ Ò ÑÓ ÓÙ Ò Ñ Ø ÞÑØ Ñ Ö ÔÓ Ý Ùº ÖÙ Ñ ÑÓöÒÑ Ô ØÙÔ Ñ ÔÓÙö Ø Ú ÓÖ ÐÒ Ø ½ ½ Ø Ö ÙÒ Ù Ý ÓÙ¹ ÒÒÓ Ø ÒÓ Ù ÚÞÓÖó ÓÚ Ò ÒÓØÐ Ú ÖÓ ÓØó Þ Ø Ý ØÖ ÙÓÚ Ñ Þ Ð ÒÝ ÓÖÑ º Ð Ñ ÔÙ Ý ÖÓ ÓØÙ ÑÓ ÓÙ Ø Ò Ô Ð Ù Öö ÓÖÑ Þ Ñ Þ ÓÐ Þ Ô ¹ ö ÓÙ Ò Ó ÒÑ ÖÓ ÓØ Ñ Ñ Ö ÔÓ Ý Ù Ó ÔÓÚ Ñ ÖÙ ÔÓ Ý Ù Ó Ø ØÒ ÖÓ ÓØó Ô Ñö Ú ØÙÔÝ ÓÙ ÖóÞÒ Ú öº Ú ÓÖ ÐÒ Ø Ý ÓÙ Ò Ô ÖÓÚ ÒÝ Ô ÖÓÑ ÔÓÐ Ò ØÚ Ñ Ø Ö ÙÒ Ù Þ Ó ÓÐ ÒØÖ Ð ÞÓÚ Ó Þº ØÖ ÙÓÚ ÒÓ Ø ÙÑÓö Ù Ò Ô Ð Þ Ó ¹ Ø ö ÑØ ÔÓ Ø Ð Òó ÓÖÑ Ò ÖÙ ÓÙ ØÖ ÒÙ ÐÞ Ó Ø öò Ò Ó Úó Ô ÔÓÚ Ø ÓÒ Ö ØÒ ÓÚ Ò ÓÖÑ º Ê Ð Þ ØÓ ÓØÓ Ô ØÙÔÙ ÔÖÓ Ö¹Ð ÖÓ ÓØÝ Ý ÝÐ Ó Ø öò ÚÞ Ð Ñ Ñ Ø Ñ ÓÑ ÞѺ Î Ø ØÓ ÔÖ ÝÐ ÔÖÓ Þ ÓÖÑ Ö¹Ð ÖÓ ÓØó ÚÝ Ö Ò Ô ØÙÔ Ä Ö¹ ÓÐÐÓÛ Ö ½ Ò Ò Ó Ú ÖÓ ÓØó Ú ÙÒ Ð Ö Ó Ø ØÒ ÓÙ ÓÐÐÓÛ Öݺ ÓÐÐÓÛ Ö Ñ ÒÓÚ ÒÓÙ ÔÓÞ Úó Ú ÑÙ Ð ÖÓÚ Ò ö ÓÔ ÖÓÚ Ø Ó ØÖ ØÓÖ Ø ö Ø Ò ÔÐ ÒÓÚ Ø ÔÓ Ý ÒÓ Ó ÖÓ ÓØÙ Ó Ø ØÒ Ð ÒÓÚ ÓÖÑ Ó ØÖ ØÓÖ Ô Ú ÞÑÓÙº Î ÙÒ Ð Ö Ñóö Ø Ú Ò ö Ò ÖÓ ÓØ Ô Ô ÑÓ ÓÙ ÖÓ ÓØÝ ÚÝØÚÓ Ø Ø ÞÓÚÓÙ ÓÖÑ ÖÓ ÓØ i Ð Ù ØÖ ØÓÖ ÖÓ ÓØÙ i 1º ÈÖ Ø ÓÙ ÔÐ Ä Ö¹ ÓÐÐÓÛ Ö Ô ØÙÔÙ Ñóö Ø Ò Ô Ð ÙÔ ÙØÓÒÓÑÒ ÔÐÙ ó Ö Ù Ò ½½ º Ì ØÓ Ô ØÓÐ ÔÓÔ Ù Ä Ö¹ ÓÐÐÓÛ Ö Ñ ØÓ Ù Þ ÓÖÑ Ö¹Ð ÖÓ ÓØó Þ ÐÓö ÒÓÙ Ò ÔÖÔÙ Ê ÀÓÖ ÞÓÒ ¾½ Ø Ö Þ ðù ÓÔØ Ñ Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ð Ö Ø Ø Ð ØÙ ÓÖÑ óð ö ØÓÙ ÚÐ ØÒÓ Ø ÓÔÒÓ Ø Ö ÓÚ Ø Ò ÝÒ Ñ ÞÑ ÒÝ Ú ÔÖÓ Ø º Î Ò Ð Ù Ó Ø Ú Ø ÖÑ ÒÓÐÓ ÔÓÙö Ø ÔÓÔ Ò Ñ ØÓ Ý Ê ÀÓÖ ÞÓÒ ÓÒØÖÓÐ Ô ÚÞ Ø Þ ¾½ º º½ ÃÑ Ø ÑÓ Ð Þ Ô Ú ØÙÔó ÃÑ Ø ÑÓ Ð Ö¹Ð ÖÓ ÓØÙ ÔÓÔ Ò ÓÙ Ø ÚÓÙ ÖÓÚÒ ½µº ÃÓÒ ÙÖ ÖÓ ÓØÙ Ò Ú ØÓÖ Ñ ψ(t) = (x(t), y(t), θ(t)) ÖÝ ÐÓ Ø ÚÓ Ø ÓÙ Ñ Ú ØÙÔÝ u(t) = (v(t), K(t))º à ¹ Þ Ù Ö Ð ÞÓÚ ÒÓ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Å ÓÒ Ø ÒØÒ Ú ØÙÔóº ÒÙ Ñ Ú ØÓÖ Ò Ð ó T (t, t M ) = (t, t 1,..., t M ) Ø Ö Ù Ó ÓÚ Ø Ý Ô Ô Ò Ò Ñ Þ Ú ØÙÔݺ Ð ¹ Ú ÔÓØÓÑ Ù U(t, t M, T ) = {u(t ; t 1 t ),..., u(t M 1 ; t M t M 1 )} Ô Ñö ö Ú ØÙÔ u(t k 1 ; t k t k 1 ), k {,..., M 1} ÓÒ Ø ÒØÒ Ó Ó ØÖÚ Ò t k t k 1 º Ì ØÓ Ó Ñóö Ø Ù ÖóÞÒ Ú ØÙÔó Ó Ð Ò º ÈÖÓ Þ ÒÓ Ù Þ Ô Ù Þ ÖÒ Ñ t M Ó Ú ØÓÖÙT ÔÓÐÓö Ñ ÖÓÚÒÓ Ø U(t ) U(t, t M, T ) T (t ) T (t, t M )º ÒØ Ö ÑÓ ÐÙ ½µ Ô ÒØ ÖÚ Ð [t, t f ] Ô Þ ÓÚ Ò ÓÒ Ø ØÒ Ú ØÙÔó Ò ö Ñ ÒØ ÖÚ ÐÙ [t k, t k+1 ] t k, t k+1 T (t ) k {, 1,..., M 1} ÐÞ Ó ÚÓ Ø Ò Ð Ù ÑÓ Ð ÔÖÓ ¾¼

26 L p q q 1 3 p L Ç Ö Þ ½ ÓÖÑ ÔÓÑÓ Ú ÓÚ ÓÙ º Ô Ó ÓÚ Ó Ý Ú Ø Ö Ñ Ú ØÙÔÝ 1 x(k +1) = x(k)+ [sin(θ(k)+k(k +1)v(k +1) t(k +1)) sin(θ(k))], K(k +1) K(k +1) ; x(k)+v(k +1)cos(θ(k)) t(k +1), K(k +1) = 1 y(k +1) = y(k) [cos(θ(k)+k(k +1)v(k +1) t(k +1)) cos(θ(k))], K(k +1) ¾µ K(k +1) ; y(k)+v(k +1)sin(θ(k)) t(k +1), K(k +1) = θ(k +1) = θ(k)+k(k +1)v(k +1) t(k +1), x(k) y(k) θ(k) ØÚÓ ÓÒ ÙÖ ÖÓ ÓØÙ ψ(k) Ú Ô Ó ÓÚ Ñ Ó Ü Ñ v(k + 1) K(k +1) ÓÙ Ú ØÙÔÝ Þ Ú ØÓÖÙ U(k +1) = u(t k, t k+1 t k ) Ø Ö ÓÙ ÔÓÙö ØÝ Ú t k ÔÓ Ó Ù t(k +1) = t k+1 t k º Ì ÒØÓ Þ Ô Ò Ñ ÙÑÓö Ù ÔÓÖÒ ÔÓÔ Ø ØÖ ØÓÖ ÔÓ Ø ÓÒ ÙÖ ÖÓ ÓØÙ ψ(t ) ÑÒÓ¹ ö ÒÓÙ Ú ØÓÖó U Ú ØÓÖ Ñ Ô Ô ó T º à Ú ØÙÔÝ ÓÙ ÓÑ Þ ÒÝ Ò Ð Ù Ñ Ò ÖÓÚÒ Ñ v Ñ Ò v v Ñ Ü K Ñ Ò K K Ñ Ü, v Ñ Ò v Ñ Ü ÓÙ ÑÑ ÐÒ Ñ Ü Ñ ÐÒ ÖÝ ÐÓ Ø ÖÓ ÓØÙ K Ñ Ò K Ñ Ü ÓÙ ÑÑ ÐÒ Ñ Ü Ñ ÐÒ ÚÓ Ø Þ Ø Ýº º¾ ÓÖÑ Ý ÝÐÓ ÑÓöÒ ÑØ Ñ ÔÐ ÒÓÚ Ò ØÚ Ö ÓÖÑ ÔÓØ ÔÓÙö Ø Ú Ó Ò ØÝÔ ÓÙ ¾½

27 Ø ÖÑ ÓÖÑ ÒÓÚ Ò º ÀÐ ÚÒ Ñ Ñ Ø Ñ ÓÑ ÞÑ Ö¹Ð ÖÓ ÓØÙ Ò ÑÓöÒÓ Ø ÞÑ ÒÝ Þ ÑÙØÙ Ò Ñ Ø ØÚ Ö ÓÖÑ Ø Ý ÑÙ ÒÙØÒ ÞÑØ Ô ö Þ Ø º ÃÚóÐ Ø ØÓ ÔÓ ¹ Ñ Ò ÐÞ ÓÖÑ ÚÝÑ Þ Ø ÒÓ Ù Ö Ð Ø ÚÒ Ñ ÔÓÞ Ñ ÓÐÐÓÛ Öó Úó Ð ÖÓÚ Ú ÖØ Þ ÓÙ º ÎÝ ÓÚÙ ÓÙ ÓÙ Ú ÓÚ ÒÓÚ Ò Ð ÓÚÒ º Æ ð Ψ L (t) ÓÑÔÐ ØÒ ØÖ ØÓÖ Ð Ö º ÌÙØÓ ØÖ ØÖÓÖ ÖÓÞ Ð Ñ Ò Ø Ψ L Ø ÖÓÙ Ùö Ð Ö ÙÖ Þ Ð Ø Ψ L ÔÓ Ø Ö Ð Ö Ø ÔÖÚ Ù ÔÓ Ý ÓÚ Øº ÈÓÙö Ø Ú ÓÚ ÓÙ ÓÙ ÙÖ ÒÝ Ú Ñ Ó Ñ Ô Õº Ç Ô ÓÔ ÖÙ ØÖ ØÓÖ Ψ L (t) Ó Õ Ò Ò ÓÐÑ º Æ Ó Ô ÔÓÞ Ø ÚÒ Ñ Ö ÓÔ Ò Ñ ÖÙ ÔÓ Ý Ù Ð Ö Ò Ó Õ ÔÓÞ Ø ÚÒ Ñ Ö Ò Ð ÚÓ Ó Ô Ú Ñ ÖÙ ÓÔ Óµ ÔÓ Ý Ùº ÈÓÞ ¹Ø Ó ÓÐÐÓÛ Ö Ø ÙÖ Ø Ú Ñ ψ L (t pi(t)) ÓÙ q i (t pi(t))º p i (t) ÞÔÓö ÓÐÐÓÛ Ö Úó Ð ÖÓÚ Ø Ý ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ò Ó Ô t pi(t) Ú Ø Ö Ñ Ð Ö Ò Þ Ð ÔÖ Ú Ò ÔÓÞ ÙÖ ÔÓ ÙÒ Ñ Ò Ó Ô Ó p i (t)º q i (t pi(t)) ÔÓ ÙÒ Ò Ó Õ Ø Ý ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ñ Þ ψ L (t pi(t)) ψ i (t) Ú Ñ ÖÙ ÓÐÑ Ñ ØÖ ØÓÖ Ψ L º È ÚÓ Þ Ú ÓÚ ÓÙ Ó ÖØ Þ ÐÞ ÔÖÓÚ Ø Ò Ð ÓÚÒ x i (t) = x L (t pi(t)) q i (t pi(t))sin(θ L (t pi(t))) y i (t) = y L (t pi(t))+q i (t pi(t))cos(θ L (t pi(t))) µ θ i (t) = θ L (t pi(t)), ψ L (t pi(t)) = (x L (t pi(t)), y L (t pi(t)), θ L (t pi(t))) Ø Ú Ð Ö Ú t pi(t)º º ÓÖÑÙÐ ÐÓ Ý ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù ÈÖ Ñ ÖÒ Ñ ÓÐ Ñ Ø ÓÖÑ Ó ÐÓÚ Ó Ð Ø ÑÑ Ð ÞÓÚ Ø Ô ØÓÑ Ó Ù ÔÓ Ý Ùº ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ò Ð Ò ÓÔØ Ñ ÐÒ ØÖ ØÓÖ Ð Ö Þ Þ ÝØ Ù ÓÖÑ Ø Ý ÓÔ ÖÓÚ Ð ØÖ ¹ ØÓÖ Ð Ö º ÐÓÚ Ó Ð Ø ÓÒÚ ÜÒ ÔÐÓ ÔÖÓ Ø ÖÓÙ ÔÐ Ø ö ÓÒ ÙÖ ö Ó ÖÓ ÓØÙ Ø Ö Ú Ó Ð Ø Ò Þ ÚÓÐÒ º È ÔÓ Ð Ñ ö ÐÓÚ Ó Ð Ø Ó ö Ø ÐÒ Þ ÔÓ Ø ÓÒ ÙÖ Ð Ö ψ L (t )º º ÈÖÔ Ù ØÙÔÙ Ó ÓÖ ÞÓÒØÙ Æ ÔÖÚ ÓÔØ Ñ Ð Þ ÐÓ ÔÖÓ ÓÚ ÒØ ÖÚ Ð [t, t f ] Ô Ñö t f t ÓÖ ÞÓÒØÙ δt < δt < t f ÚÞÓÖ ÓÚ º Æ Ð ÔÓÙö Ò Ð Þ Ú ØÙÔÝ Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ [t, t +δt] ÔÖÓ ÓÔ Ù ÔÖÓ ÒØ ÖÚ Ð [t +δt, t f +δt]º Ý ÔÖó öò ÑÙ ÔÐ ÓÚ Ò ÚÝÔÓ Ø Ú ØÙÔó Ñóö Ð ÓÖ ØÑÙ Ö ÓÚ Ø Ò ÒÓÚ Ø ÓÚ Ô ö Ý ÔÓ ÝØÓÚ Ø ÞÔ ØÒÓÙ Ú Þ Ù Ò Ó ÝÐ Ý Ó ÚÝÔÓ Ø ØÖ ØÓÖ º º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÔÖÓ Þ ÓÖÑ ÐÓ Ð Þ ÚÓÙ ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñóº ÈÖÚÒ Ñ Ò Ð Þ ÓÚ ÓÔØ Ñ ÐÒ Ô ÔÙ ØÒ ØÖ ØÓÖ Ð Ö ÖÙ Ñ ÓÔÒÓ Ø Ö ÓÚ Ø Ò ÞÑ ÒÝ Ú ÔÖÓ Ø ÒÓÚ Ò Ó ÔÓ Ý Ð Ú Ô ö ݵº Î Ø ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ÚÝ Ò ÖÓÞ ÐÑ ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ Ú Ð Ö U L (k) Ò Ú ÓÚ ÒØ ÖÚ ÐÝ T N ÔÖÓ k = {1,..., N} T M ÔÖÓ k = {N +1,..., N +M}º à Ú ØÙÔÝ Þ ÒØ ÖÚ ÐÙ T N Þ ðù ÝÒ Ñ ÞÑ ÒÝ ØÖ ØÓÖ ÔÓ Ð ÞÑ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ð Þ¹ Ó Ø ÓÖÑ ÞÔó Ó ÒÓÚ Ø ÓÚ ÒÑ Ò Ó ÔÓ Ý Ð ÚÑ Ô ö Ñ º Î ØÓÑØÓ ÒØ ÖÚ ÐÙ ¾¾

28 Ô ÚÒ Ò Ú Ð Ó Ø ÓÚ Ó ÖÓ Ù t(k +1) = t(k +1) t(k) Ø Ö Ó ÔÓÚ ÓÚ ÑÙ ÖÓ Ù Ê ÀÓÖ ÞÓÒ ÓÒØÖÓÐ Ø ØÓ Ø U L Ô ÑÓ ÔÓÙö Ø Þ ÖÓ ÓØÙº ÁÒØ ÖÚ ÐT M Ö Ú ÔÓØ Þ ÐÓÙ Ñ ÔÙ ÐÓÙö ÓÚ ÓÔØ Ñ ÐÒ Ò Ú Ð Ö Ó Ð º ÓÚ ÖÓ t Ú ØÓÑØÓ ÒØ ÖÚ ÐÙ ÔÖÓÑ ÒÒº Ý ØÓÑÙ ÔÓ Ø Ô Ó ÓÚ Ó ó Ñóö ÑØ ÔÓ Ð ÔÓØ Ý Ú ÐÓö Ø Ø Ñ ÔÝ Ø ÚÝØÚÓ Ú Ó óº ÇÔØ Ñ ÐÒ ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù Ð Ö ÓÖÑ ÐÞ ÔÓÔ Ø Ó ÑÑ Ð Þ Ó Ø ÚÒ ÙÒ J L ( ) ÓÑ ÞÑ ÖÓÚÒÓ Ø h TN ( ) h TM ( ) ÓÑ ÞÑ Ò ÖÓÚÒÓ Ø g TN ( ) g TM ( ) g SF ( ) g ra,l ( ) Ñ Ò J L (Ω L,O obs ) ºØº h TN (k 1) =, g TN (k), k {1,..., N} h TM (k 1) =, g TM (k), k {N +1,..., N +M} g SF (ψ L (N +M)), g ra,l (Ω L,O obs ) º È Ñö Ó Ø ÚÒ ÙÒ J L (Ω L,O obs ) = N+M k=n+1 n o + α j=1 t(k) ( Ñ Ò {, Ø }) j(ω L,O obs ) r s,l º Ø j (Ω L,O obs ) r a,l ÈÖÚÒ ÚÝ Ù ÔÓö Ú ÑÑ Ð Þ Ó Ý ÔÓ Ý Ù Ú ÖÙ Ñ Ù Þ ÖÒÙØ ÚÐ Ú ÔÖÓ Ø º ÙÒ Ú ÖÙ Ñ Ù Þ Ú Ò ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ð Ö Ó j¹ø Ô ö Ý Ø j (Ω L,O obs )µ Ò Ú Ó ÒÓØÝ ÔÖÓ Ø j (Ω L,O obs ) > r s,l Ø ö Ô ö Ý Ú ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ú Ø Ò ö r s,l Ò Ñ Ò Ó Ø ÚÒ ÙÒ ÚÐ Úº ÎÞ Ð ÒÓ Ø r s,l Ø ÐÞ ÓÞÒ Ø Ó Ø Ö Ù º Æ ÒÙÐÓÚ Ó ÒÓØÝ Ò Ú ÙÒ ÔÖÓ r s,l > Ø j (Ω L,O obs ) > r a,l Ò ÓÒ ÔÖÓ Ø j (Ω L,O obs ) < r a,l Óö Ñ Þ Ø Ø ö Ú Ð Ò ØÖ ØÓÖ Ù Þ ÓÐ ÞÒ r a,l Ø Ý ÑÑ ÐÒ ÓÚÓÐ Ò ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ô ö ݺ ÀÓ ÒÓØ n o Ú ÙÑ ÚÝ Ù ÔÓ Ø Ô ö Ú Ñ Ô º ÇÑ ÞÙ ÖÓÚÒÓ Ø h TN (k) k {,..., N 1} h TM (k) k {N,..., N + M 1} Ó ÔÓÚ ¹ Ñ Ø ÑÙ ÑÓ ÐÙ ½µ ÓÑ ÞÙ Ò ÖÓÚÒÓ Ø g TN (k) k {,..., N 1} g TM (k) k {N,..., N +M 1} ÚÝ Ù Þ Ñ ÓÑ Þ ÖÝ ÐÓ Ø ÚÓ Ø Ò Ó Ø ÔÓ ÑÙ Ð Ó ÓÚ Ó ÖÓ Ù t º ÇÑ Þ g ra,l (Ω L,O obs ) Ñ ØÚ Ö r a,l Ø j(ω L,O obs ), j = {1,..., n } Þ ðù ØÖ ØÓÖ Þ ÓÐ Þ º ÇÑ Þ g SF (ψ L (N+M)) Þ ðù ö ØÖ ØÓÖ ÔÓÚ Ó ÐÓÚ Ó Ð Ø S F º ÈÓ Ù Ø ØÓ Ó Ð Ø ÖÙ ÓÚ ÔÓÐÓÑ Ö Ñ r SF Ø Ñ Ú C SF Ù Ñ Ø ÓÑ Þ ØÚ Ö p L (N +M) C SF r SF p L ÔÓÞ Ð Ö º ÇÔØ Ñ Ð Þ Ñ ÔÖÓ i¹ø Ó ÓÐÐÓÛ Ö ÐÞ Þ Ô Ø Ø ØÓ ¾

29 Ñ Ò J i (Ω i,o obs ) i = {1,..., n r } ºØº h i (k 1) =, g i (k), k {1,..., N} g ra (Ω i,o obs ) g ra,i (Ω i,p last,j ) È Ñö Ó Ø ÚÒ ÙÒ J i (Ω i,o obs ) = N (p d,i (k) p i (k)) k=1 n o + α j=1 j n n ( { Ñ Ò, Ø j(ω i,o obs ) r s Ø j (Ω i,o obs ) r a + β ( { Ñ Ò, d i,j(ω i,ω j ) r }) s,i d i,j (Ω i,ω j ) r. a,i }) ÈÖÚÒ Ø ÙÒ ÐÓÙö Ð ÓÚ Ò ØÖ ØÓÖ Ð Ö Ô Ø ÚÙ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ò ÔÐ ÒÓÚ ÔÓÞ ÖÓ ÓØÙ p i (k) Ó Ô ÔÓ Ð ÔÓÞ p d,i (k)º ÖÙ Ó ÔÓÚ ÖÙ ÑÙ Ù Ú Ó Ø ÚÒ ÙÒ J L ( ) Ù ÓÐÐÓÛ Öó Ú ÑÓ ÓÙ Ø ÔÓÙö ØÝ Ñ ÔÓÚÓÐ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ô ö º ÈÓ Ð Þ ðù Þ Ö Ò ÓÐ Þ ÔÓ ÓÞ ÒÑ ÖÓ ÓØݺ ÙÒ d i,j (Ω i,ω j ) ÑÑ ÐÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ñ Þ Ò ÔÐ ÒÓÚ ÒÓÙ ØÖ ØÓÖ ψ i (t) ÙØ ÔÖÓÚ ÒÑ ÔÐ Ò Ñ j¹ø Ó ÖÓ ÓØÙ ψ j (t) j n n n n ÓÙ ÜÝ Ú ÖÓ ÓØó ÓÖÑ ÖÓÑ i¹ø Óº ÇÑ Þ ÖÓÚÒÓ Ø Ò ÖÓÚÒÓ Ø Ó ÔÓÚ Ø Ñ Ú ÓÔØ Ñ Ð Þ Ñ Ñ ØÙ Ð Ö º È ÝÐÓ ÓÑ Þ Ò ÖÓÚÒÓ Ø g ra,i (Ω i,p last,j ) Ø Ö Þ Ö Ù ÓÐ Þ ÒÑ ÖÓ ÓØ Ñ º ÇÔØ Ñ Ð Þ ØÖ ØÓÖ r a,i d i,j(ω i,p last,j ), j n n º óð ö ØÓÙ ÓÙ Ø ÊÀ ÓÔØ Ñ Ð Þ ØÖ ØÓÖ ÒÓØÐ Ú Ð Òó ÓÖÑ º Î Ô Ô ÔÓÙö Ø ÓÒ ÔØÙ Ä Ö¹ ÓÐÐÓÛ Ö Ò ÔÖÚ ÓÔØ Ñ Ð ÞÙ ØÖ ØÓÖ Ð Ö Ó Ó ØÙ ÐÒ ÔÓÞ Ó Ð º ÇÔØ Ñ Ð Þ Ñ ÔÓÔ ÒÓ Ú Ô ÓÞ ÔÓ Ô ØÓÐ ÖÓÑ Ó Ý ÔÓ Ý Ù Ó Ù Ó Ø ÚÒ ÙÒ Ð Ò ÔÐ ÞÙ Ô Ð Ñ ÐÓÙ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ô ö º ÇÔØ Ñ Ð ÞÓÚ Ò ØÖ ¹ ØÓÖ Ð Ö Ò Ð Ô Ò ÓÐÐÓÛ ÖóÑ ö ÔÓö ÓÚ ØÖ ØÓÖ ÚÝÔÓ ØÓÙ ÔÓ Ð ØÚ ÖÙ ÓÖÑ ÔÓÙö Ø Ñ ÓÙ Ø ÚÝ ÖÓÚÒ µ º ÌÖ ØÓÖ ÓÐÐÓÛ Öó ÖÓÚÒ ö ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ Ò ÔÓ Ð Ñ ØÙ º Î Ó Ø ÚÒ ÙÒ Ú Ñ ØÓ Ó Ý ÔÓ Ý Ù ÔÐ ÞÓÚ ÒÓ Ó Ð Ó ÔóÚÓ ØÖ ØÓÖ Þ Ó Ð Ö Ô ÝÐ Ð Ò ÓÒØÖÓÐÙ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ó Ø ØÒ ÖÓ ÓØó ÓÖÑ º Ë ÑÓØÒÓÙ ÓÔØ Ñ Ð Þ ÐÞ ØÖÙ ÔÓÔ Ø Ø ØÓ Ú ØÙÔÒ ØÖ ØÓÖ Ð Ý n Ô Ú Ò ÓÔØ Ñ Ð Þ Ú ØÓÖx = (v 1,k 1,t 1,...,v n,k n,t n ) v i k i ÓÙ Ú ØÙÔÝ ÖÓ ÓØÙ t i ÓÙ Ó Ý ØÖÚ Ò º ÈÓ Ù Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ô ÔÙ ØÒ Ø Ý ÓÙ ÔÐÒ ÒÝ ÓÑ ÞÙ ÔÓ ÑÝ ÚÝÔÓ Ø Ò Ö ÒØ Ó Ø ÚÒ ÙÒ Ú ØÓÖ x ÞÑÒ Ú Ô ÐÙÑ Ñ ÖÙº  ØÐ ö Ñ Ò ÓÐ ÔÓ Ó ÓÙ Ø Ö Ò Ó Ò Ð Þ Ð Ô Ó ÓÔØ Ñ Ð Þ ÓÒ º ÈÖÓ ÚÔÓ Ø Ó Ø ÚÒ ÙÒ Ø ÔÓ Ø Ø Ð ÓÚ ØÖ ØÓÖ ÐÓö ØÓ Ø O(n)µ Ð ÚÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ô ö Ѻ ÌÓ Ñóö Ø ÚÔÓ ØÒ Ò ÖÓ ÐÓö ØÓ Ø ö O(nn o ) n o ¾

30 ÔÓ Ø Ô ö Ú Ñ Ô º Ì ÒØÓ ÚÔÓ Ø ÐÞ ÙÖÝ Ð Ø ÔÓÙö Ø Ñ Ö ØÓÚ ØÖÙ ØÙÖ ÔÖÓ ÙÐÓö Ó Øó Ú Ñ Ô ÓÚ Ñ Ú ÓÐÚ ÖÙ ÔÓÙö Ø Ñ Ú Ø ØÓ ÔÖ Þ Ø Ñ Ø ÒØÓ ÔÓ ØÙÔ Ò ÑÔÐ ¹ Ñ ÒØÓÚ Ò ÚÔÓ Ø Ó Ø ÚÒ ÙÒ Ø Ñóö Ø Þ ÐÓÙ Úº ÎÞ Ð ÒÓ Ø Ô ö Ñ Ò Ú ÔÓ Ø Ô ÚÝ Ó ÒÓÓÚ Ò ÓÑ ÞÙ ÔÓ Ñ º ÜÔ Ö Ñ ÒØÝ ÔÓÔ Ú Ð Ô ØÓÐ Ù Þ ÐÝ ö ÓÔØ Ñ Ð Þ ØÖ ØÓÖ ÓÚ Ú ÐÑ Ò ÖÓ Ò Ú Ð ØÒ Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ñóö ÐÓ Ý Ú Ö Ø Ó ÔÖÓ Ö ÑÓÚ Ò ÚÖ ÞÒ ÙÖÝ Ð Øº ¾

31 Î Ð Ý ÜÔ Ö Ñ ÒØó ÎÔÓ ØÒ Ò Ò ÖÓ Ø Ý Ø ÑÙ ÔÖÓ ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù ÓÖÑ ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØó ÓÔØ Ñ Ð ¹ Þ ØÖ ØÓÖ Ø Ö ÓÙ Ø Ñ ØÓ Ý Ê ÀÓÖ ÞÓÒ ÓÒØÖÓÐ Ã Ô ØÓÐ µº Î ö Ñ ÖÓ Ù ÊÀ ØÖ ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ð ÞÙ Þ ØÙ ÐÒ ÔÓÞ ÖÓ ÓØÙ ö Ó Ð Þ ÖÓÚ Ñ Ð Ø ØÓ ØÖ ØÓÖ Ó Ñö Ø ÔÓÙö ÔÖÓ Þº à Ýö Ø ØÓ Ø ØÖ ØÓÖ ÖÓ ÓØÝ ÓÑÔÐ ØÒ ÚÝ ÓÒ Ò ÓÔØ Ñ Ð Þ ÐÓ ÞÒÓÚÙ ÔÙ Ø Ò Þ ÝØ Ù ØÖ ØÓÖ º ÈÖÓØÓö ØÖ ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ð ÞÙ Úö Ý Þ ØÙ ÐÒ ÔÓÞ ÖÓ ÓØÙ Þ Ø ÞÔ ØÒ Ú Þ Ò Ô Ô Ó ÝÐ Ý ÖÓ ÓØÙ Ó ÔóÚÓ ØÖ ØÓÖ º Å ØÓ ÊÀ Ý Ø ØÓ ÓÔ ÓÚ ÓÔØ Ñ Ð Þ Ø Ó ö Ö ÓÚ Ø Ò ÞÑ ÒÝ Ú ÔÖÓ¹ Ø Ò Ô º ÔÓ Ý Ù Ò Ó ÒÓÚ Ó Ú Ô ö ݺ à ÔÐÝÒÙÐ ÑÙ Þ ÓÖÑ Þ ÔÓØ ÖÝ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ú Ö Ø Ó ÓÐÚ ÖÙº Î Ø ØÓ ¹ Ð ÔÖ ÔÓÙö Ø ÓÐÚ Ö ËÉÈ ½ Ø Ö ÐÞ Þ Ø Þ ÖÑÓ ÔÖÓ Ñ Ðݺ ÃÒ ÓÚÒ ËÉÈ ÙÑÓö Ù ÖÓÑ ÐÓ Ú Ö Ø Ó ÔÖÓ Ö ÑÓÚ Ò ÐÓ ÚÒ Ó Ú ¹ Ö Ø Ó ÔÖÓ Ö ÑÓÚ Ò Ó ÓÒ Ó ÒÓÙ Ò Ð ÖÒ ÓÔØ Ñ Ð Þ º ÈÓÙö Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ú Þ Ø ØÓ ÓÚÒÝ ÚÝÙö Ú ÔÓÙÞ ËÉÈ ÓÐÚ Öº ÎÞ Ð Ñ ÐÓö ØÓ Ø ÓÔØ Ñ Ð Þ ÐÓ Ý Ñóö Ø Ó ÓÔØ Ñ Ð Þ Ô Ð Ú Ð Ò ØÓ Ý ÑÓ Ð Ø ÓÖÑ Þ Ú Ö ÐÒ Ñ º Â Ñ Þ ÞÔó Ó ó ÓÔØ Ñ Ð Þ ÙÖÝ Ð Ø ÔÓÙö Ø Ú Ó ÔÓ Ø Ø Ý ØÖ ØÓÖ Ø Ö Ùö Ñ Ó Ó Ó Ò Ð Ô ÚÝ ÓÚÙ Ó Ø ÚÒ ÙÒ º Î Ø ØÓ ÔÖ ÝÐÝ Ó Þ ÓÙ ÒÝ Ø Ð Þ Ñ ØÓ Ý Î º½µ ÈÊÅ º µ ÈÊÅ ÑÓÓØ º µ Ò Ð Ù ÜÔ Ö Ñ ÒØÝ Ù ÞÙ Ð ÖÝ ÐÓ Ø ÓÔØ Ñ Ð Þ ÔÓ Ù ËÉÈ ÓÐÚ Ö Ð ÞÓÚ Ò ØÖ ØÓÖ Ñ Ò Ð Þ ÒÑ Ø Ñ ØÓ Ñ ØÓ Ñ º º½ Æ Ø Ú ÜÔ Ö Ñ ÒØó ÜÔ Ö Ñ ÒØÝ ÝÐÝ ÔÖÓÚ ÒÝ Ò Ø Ñ Ô Ç Öº ½ µ µ ÑÔØÝ Ø Ö ÖÓÑ Ó ÐÒ ÓÚ Ó Ó Ö Ò Ó Ù ö Ô ö Ý µ ÔÓØ ÓÐ Ø Ö Ó Ù ÑÒÓ Ó ÓÒÚ ÜÒ Ô ö ÖÓÚ¹ ÒÓÑ ÖÒ ÖÓÞÑ Ø Ú Ñ Ô µ Ø Ø¾ Ø Ö Ó Ù ØÝ Ô ö Ý ØÝÔÙ Ú Öº ÈÖÓ ÙÖÝ Ð ÚÔÓ ØÙ ÚÞ Ð ÒÓ Ø ØÖ ØÓÖ Ô ö Ñ ÓÙ Ô ö Ý Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ ÒÝ Ó ÓÜÝ Óö ÙÑÓö Ù ÐÝØ ÚÔÓ Ø ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ñ ÒØÙ Ô ö º Ì ØÓ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ú Ó Ò ÔÖÓ ÔÖ ÚÓ Ð ÔÖÓ Ø Ð ÚÝØÚÓ Ò ÔÖ ÚÓ Ð Ô ö Ñóö Ø ÔÓØ ÔÖÓÜ ÑÓÚ Ø Ú ¾ ÓÜÝ Óö ÞÚÝ Ù ÚÔÓ ØÒ Ò ÖÓ ÒÓ Øº ÈÓ ØÝ ÓÜó ÔÓÙö Ø Ú ÒÓØÐ Ú Ø ØÓÚ Ñ Ô ÓÙ ÙÚ ÒÝ Ú Ì ÙÐ ½º Ð ÓÚ Ó ÔÓ ØÙ ØÚÓ Úö Ý ØÝ ÓÜÝ Ó Ö Ñ Ôݺ Î ö Ñ Ô ÝÐÓ ÚÝ ÖÓÚ ÒÓ ¾¼ Ò Ó ÔÓÐÓ ÖÓ ÓØó Ñ Þ Ø ÖÑ ÝÐÝ Ò Ð Ð ÒÝ ØÖ ØÓÖ Ð Ñ Ø Ý ¼ ØÖ ØÓÖ µº ËØÓ Ø Ñ ØÓ Ý ÈÊÅ ÈÊÅ ÝÐÝ Ò ö ØÖ ØÓÖ ÔÙ Ø ÒÝ ½¼ Ú Ð Ý Ø ØÓ ó ÝÐÝ ÞÔÖóÑ ÖÓÚ Òݺ Å ØÓ Î Ø Ö Ñ Ø ÔÖÓØÓ ÝÐ ÔÖÓ ö ÓÙ ÚÓ ÔÓÐÓ ÔÙ Ø Ò ÒÓÙº Å Ó ÒÓØÝ ÝÐÝ Ð Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ð ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ ØÖ ØÓÖ ÔÓ Ø Ñ ÒØó Ú Ú ØÙÔÒ ØÖ ØÓÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð Þ ÚÞ Ð ÒÓ Ø ØÖ ØÓÖ Ð º Ó ÚÔÓ Øó ÔÓ Ø ØÖ ØÓÖ Ò Ó Ú Ð Ù Þ ÖÒÙØ ÓÚ Ñ ÒÓÙ Þ ÚÔÓ ØÙ Ø Ö ØÖÚ Ð Ð Ò ö ÒÙ ÙÒ Ù ÝÐÓ ÖÓÚ Ò ÖÓ Ñ ÔÝ Ú Ñ ØÓ ÈÊÅ ÈÊÅ º Ý ÖÓÚ Ò ÖÓ Ñ ÔÝ ÔÖÓ ÒÓØÐ Ú Ñ ÔÝ ÓÙ ÙÚ ÒÝ Ú Ì ÙÐ ½º Î Ð Ý ÓÙ ÙÚ ÒÝ Ö Ý Ùö Ø Ñ ÓÜÔÐÓØÙ ÔÓ Ô Ø ÚÙ ÑÑÙÑ ÓÖÒ Ñ Ü ÑÙÑ Ó ÐÒ ÚÝÑ ÞÙ Ó Ð Ø Ú Ø Ö Ò Þ ¼ ± Ó ÒÓØ Ó ÔÓ ÓÖÒ Ö Ø Ý Ô Ø ÚÙ ± ± Ú ÒØ Ðº ÈÓÐÓ Ñ Ò ÚÝÞÒ ÚÓ ÓÖÓÚÒÓÙ ÖÓÙº ¾

32 ÑÔØÝ ÔÓØ ÓÐ µ Ø Ø¾ Ç Ö Þ ½ Å ÔÝ Ò Ø Ö ÝÐÝ ÔÖÓÚ ÒÝ ÑÙÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØݺ Å Ô ÈÓ Ø Ô ö ÖÓÚ Ò ÈÊÅ ÖÓ Ñ ÔÝ ÑÔØÝ ½º¾¾ ÔÓØ ÓÐ ½ ¾ º ¾ Ø Ø¾ ¾º¾½ Ì ÙÐ ½ ÈÓ Ø Ó Øó ØÖÚ Ò Ù Þ ÈÊÅ Ú ÔÓÙö Ø Ñ Ô º ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ö ÔÓ Ý ÖÓ ÓØÙ ÓÑ Þ Ò Ñ Ü Ñ ÐÒ ÚÓ Ø Ñóö Ø Ø ö Ñ ØÓ Ý ÔÐ ÒÓÚ Ò Ø ÈÊÅ ÈÊÅ Î Ò Ð ÞÒÓÙ Ø ÓÚÓÙ ØÙ ÔÓ Ð Ø Ö Ò ÐÞ ÚÝØÚÓ Ø ØÖ ØÓÖ Ð ÓÖ ØÑ Ñ ÔÓÔ ÒÑ Ú º Ã Ò ÓÐ Ø ÓÚÑ Ô Ô óñ Ó ÐÓ ÔÓÙÞ Ù Ñ ØÓ Ý Î º ÚÓ ÔÖÓ Ø Ö ØÖ ØÓÖ Ò ÝÐ Ò Ð Þ ÝÐÝ ÚÝ ÑÙØÝ Þ Ð Ó ÔÓÖÓÚÒ Ò Ô Ø Ö Ñ Ñ ÔÓÞÓÖÓÚ Ð ÖÝ Ð ËÉÈ ÓÐÚ Ö ØÖ ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ð ÞÙ Ú Ð ØÒ Ð Þ ØÖ ØÓÖ ÓÙº ÜÔ Ö Ñ ÒØÝ ÝÐÝ ÔÓÙ Ø ÒÝ Ò È ÁÒØ Ð ÓÖ ¾ ÙÓ ¾º ÀÞ Ê Å ÔÓ ÓÔ Ö Ñ Ý ¹ Ø Ñ Ñ Ö Ë º¾º È Ö Ñ ØÖÝ ËÉÈ ÓÐÚ ÖÙ ÝÐÝ Ò Ø Ú ÒÝ Ò Ð ÓÚÒ α = 1 r s =,5 r a =, K ; v,1; 1 Ö ÒÝ,1; 1 º º¾ Î Ð Ý Ò Ñ Ô ÑÔØÝ Æ ÔÖ Þ Ñ Ô ÑÔØÝ ÝÐÓ Ò Ð Ô Ú Ð ó Ó ö ÒÓ Ð Þ Ð ÓÖ ØÑ Ñ ÈÊÅ º ÈÓÑ Ö Ð Ý ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ ÔóÚÓ ØÖ ØÓÖ ÞÒ ÞÓÖÒ Ò Ò Ç Öº ½ º Ú Ø ö ÔÖÓ Ñ ØÓ Ù ÈÊÅ Ø ØÓ Ó ÒÓØ Ù Ú ØÖ ØÓÖ ÔÓ Ý Ù Ó ÓÐÓ ½¼¼ ± Óö ÞÒ Ñ Ò ö ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ Ò ØÖ ØÓÖ ÝÐ Ù Ú Ø ØÓÚ ÚÓ Ø Ñ ØÓØÓöÒ Ú ØÙÔÒ ØÖ ØÓÖ º Æ ÓÔ Ò Ñ Ö¹ ÒØÒ Ñ Ð ÓÔØ Ñ Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ò Ð Þ ÔÓÙö Ø Ñ Ñ ØÓ Ý Î Ù Ò Ø Ö ÚÓ ÓÐÚ Ö Þ Ö Ø Ð ØÖ ØÓÖ Ø Ñ Ò ÔÓÐÓÚ ÒÙ ÔóÚÓ Ð Ýº Í Ñ ØÓ Ý ÈÊÅ ÝÐ Ø ÒØÓ ÔÓÑ Ö ÔÖóÑ ÖÒ º ¼ ±º Ð Ý ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ ØÖ ØÓÖ ÓÙ óð ö ØÑ Ñ Ø Ñ Ú Ð Øݺ Ç Ö Þ Ù ½ ÐÞ ÚÝÔÓÞÓÖÓÚ Ø ö Ñ ØÓ Ý ÈÊÅ ÈÊÅ ÔÓ ÝØÐÝ Ô Ð öò Ø Ú Ð Ýº Å ØÓ Î Ò ØÓÑ Ú ØÓÑØÓ Ö Ø Ö Ù Ó Ò Ó ó º Ð Ñ Ñ ÒÑ Ú Ð Ñ ÝÐÝ ÔÓ Ø Ñ ÒØó Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð Þ ËÉÈ ÓÐÚ Ö Ñº ÌÝØÓ Ú Ó ÒÓØÝ ÔÓÐÙ ÓÙÚ Ò Óð Ú Ð ÑÒÓö ØÚ Ñ ÒØó ÞÒ ÓÑÔÐ Ù ÞÔÓÑ ÐÙ ÓÔØ Ñ Ð Þ º ÃÓÖ Ð ÑÓöÒ ÔÓÞÓÖÓÚ Ø Ò Ç Öº ½ º Æ Ú Ù Þ Ö Ð ÓÔØ Ñ Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ò Ð Þ Ñ ØÓ ÓÙ ÈÊÅ Ø Ö Ó ÓÚ ÐÝ ÑÒÓ Ó Ñ ÒØó ÔÖóÑ ÖÒ Ù Ð ØÖ ØÓÖ ö ¼¼µº Ó Ù ÚÞ Ð ÚÓ ÔÓ ÓÚ Ó ó Ó ÓÚ Ð ö Ñ ÒÙØ Óö ¾

33 Initial lengths 16 Optimized lengths 15 Ratios PRM PRMs VD PRM PRMs VD 5 PRM PRMs VD µ Ç Ö Þ ½ Î Ð Ý ÜÔ Ö Ñ ÒØó Ò Ñ Ô ÑÔØÝ µ Ð Ð Þ ØÖ ØÓÖ µ Ð ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ ØÖ ØÖÓÖ µ ÔÓÑ Ö Ð Ý ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ Ð Þ ØÖ ØÓÖ º 1 Number of segments in paths 6 Solver times PRM PRMs VD PRM PRMs VD Ç Ö Þ ½ Î Ð Ý ÜÔ Ö Ñ ÒØó Ò Ñ Ô ÑÔØÝ µ ÔÓ Ø Ñ ÒØó Ð Þ ØÖ ØÓÖ µ Ó ÓÔØ Ñ Ð Þ º ¾

34 ÔÖÓ Ö ÐÒ ÔÐ Ò Ú Óº ÇÔØ Ñ Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ò Ð Þ Ñ ØÓ ÓÙ Î ÐÓö Ú ¼ ± Ô Ô ó Þ ¾ ö Ñ ÒØó Ú Ø ÒÓÙ Ò ØÖÚ ÐÝ Ð Ò ö Ñ ÒÙØÙ Ò ÖÝ Ð ÝÐÝ ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ ÒÝ ØÖ ØÓÖ Þ Ñ ØÓ ÓÙ ÈÊÅ Ù Ø Ö Ò Ð ÓÔØ Ñ Ð Þ ØÖÚ Ð ÔÖóÑ ÖÒ Ó Ú ÝÐ Ò Ð º ÈÓ Ø Ñ ÒØó Ú ØÙÔÒ ØÖ ØÓÖ Ô ÔÓÙö Ø ÈÊÅ ÑÓÓØ ÔÓ Ý ÓÚ Ð Ñ Þ ½ Ò Óð Ú ÔÖ Þ Ñ Ô Þ Ô ö ÐÞ ØÙ Ò ÒÓ ÚÝ Ð Øº Inicializační trajektorie Nalezená cesta Optimalizovaná trajektorie µ Ç Ö Þ ¾¼ È Ð Ý Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ò Ñ Ô ÑÔØÝ µ ÈÊÅ µ ÈÊÅ º µ Î º º Î Ð Ý Ò Ñ Ô ÔÓØ ÓÐ Ë ÚÔÓ ØÝ ØÖ ØÓÖ Ú Ñ Ô ÔÓØ ÓÐ Ñ Ð Ú Ò Ø Ö Ô Ô ÓÐÚ Ö ÔÖÓ Ð ÑÝ Ú Ð ÑÒÓö ØÚ Ô ö Ò Ô Ð ÚÓÐÒ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ Ñ Þ Ò Ñ ØÓØ ö Þ Ñ ÞÚ ÐÓ Ò ÖÓ ÒÓ Ø ÓÔØ Ñ Ð Þ º Í ØÖ ØÓÖ Þ Ñ ØÓ ÓÙ ÈÊÅ Ò Ú ÓÔØ Ñ Ð Þ ÓÑÔÐ Ù ÚÝ Ó ÔÓ Ø Ñ ÒØó Ú ØÙÔÒ ØÖ ØÓÖ ÝÐ ÔÓÑ Ö Ð Ý ÔóÚÓ ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ ØÖ ØÓÖ ÔÖóÑ ÖÒ ±º Ç Ò Ó Ò ö ÝÐ Ø ÒØÓ ÔÓÑ Ö Ù Ñ ØÓ Ý ÈÊÅ Ñ Ð Ò Ú Þ Ö Ò ØÖ ØÓÖ ÔÓ ÓÔØ Ñ Ð Þ ± ÔóÚÓ Ð Ýº Î Ø ØÖ ØÓÖ Ú ÝÐ Þ Ö Ó Ñ Ò ö ½¼ ±º È ÓÔØ Ñ Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ò Ð Þ Ñ ØÓ ÓÙ Î Ó ÐÓ Ú ÑÒÓ Ô Ô Ò Ó ÚÑÙ ÓÚ Ò ÓÐÚ ÖÙ Ø Ö Ò Ô Þ Ø Ñ Ò Ô ÔÖ Ú Ò Ð Ø Ú Ò ØÓÐ ÓÑÔÐ ÓÚÑ ÔÖÓ Ø º Ö ó Ò Ç Ö Þ Ù ¾½ ÐÞ Ù ÓÙ Ø ö ÓÔØ Ñ Ð Þ Ò Ø ØÓ Ñ Ô ÝÐ Ú ÐÑ Ò ÒÒ Ú Ð Ò Ð ØÖ ØÓÖ Þ Ð ö Ð Ú Ö Ò ÔÓÙö Ø Ñ ØÓ Ð Ò Øݺ Æ Ö Ø ØÖ ØÓÖ ÓÔ Ø ÔÓ ÝØÓÚ Ð Ñ ØÓ ÈÊÅ º  РÓö ËÉÈ ÓÐÚ Ö Ú Ø ÒÓÙ Ò Ó Þ Ð Ò Ø Ó ÑÓ Ð Ô ÝÐ Ó ÓÔØ Ñ Ð Þ Ù Ñ ØÓ ÈÊÅ ÈÊÅ Ú ÐÑ Ö Ø Ú Ø ÒÓÙ Ó ÙÒ µ Ù Ñ ØÓ Ý Î ØÖÚ Ð ÓÔØ Ñ Ð Þ ö Ú Ñ ÒÙØÝ Ú ÜØÖ ÑÒ Ñ Ô Ô Ó ÓÒ Ô Ø Ñ ÒÙغ Ö ÙÚ Ò Ò Ç Öº ¾¾º Í Þ Ý Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ô Ð Þ Þ Ú Ø Ñ ØÓ ÓÙ Ò Ç Öº ¾ º Æ Ò Ñ Ú Ø ö ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ Ò ØÖ ØÓÖ Ø Ñ ÓÔ ÖÙ ÔóÚÓ ØÖ ØÓÖ º ¾

35 14 Initial lengths 18 Optimized lengths 4 Ratios PRM PRMs VD PRM PRMs VD PRM PRMs VD µ Ç Ö Þ ¾½ Î Ð Ý ÜÔ Ö Ñ ÒØó Ò Ñ Ô ÔÓØ ÓÐ µ Ð Ð Þ ØÖ ØÓÖ µ Ð ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ ØÖ ØÖÓÖ µ ÔÓÑ Ö Ð Ý ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ Ð Þ ØÖ ØÓÖ º 35 Number of segments in paths 35 Solver times PRM PRMs VD PRM PRMs VD Ç Ö Þ ¾¾ Î Ð Ý ÜÔ Ö Ñ ÒØó Ò Ñ Ô ÔÓØ ÓÐ µ ÔÓ Ø Ñ ÒØó Ð Þ ØÖ ØÓÖ µ Ó ÓÔØ Ñ Ð Þ º ¼

36 Inicializační trajektorie Nalezená cesta Optimalizovaná trajektorie µ Ç Ö Þ ¾ È Ð Ý Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ò Ñ Ô ÔÓØ ÓÐ µ ÈÊÅ µ ÈÊÅ º µ Î º º Î Ð Ý Ò Ñ Ô Ø Ø¾ ÈÓ Ð Ñ ÔÓÙ Ò Ø Ö ÝÐÝ ÜÔ Ö Ñ ÒØÝ ÔÓÙ Ø ÒÝ ÝÐ ÒÓ Ù Ñ Ô Ø Ø¾ ØÝ Ñ Ô ¹ ö Ñ º Æ Ç Ö Þ Ù ¾ Ú Ø ö ÓÐÚ Ö Ø ÒØÓ Ö Ø Ú Ú Ø Ô Ô ó ÔÖ ÓÚ Ð ÔÖ ÚÒ ÔÓ ÐÓ ÑÙ ÓÔØ Ñ Ð Þ ÞÑ Ø ÖÓÞ ÐÝ Ñ Þ ØÖ ØÓÖ Ñ Þ ÒÑ ÖóÞÒÑ Ñ ØÓ Ñ º Æ Ð Ô ¹ Ð Þ ØÖ ØÓÖ ÔÖÓ Ù ÓÚ Ð ÓÔ Ø Ñ ØÓ ÈÊÅ º Á ÔÓ ÓÔØ Ñ Ð Þ Ò ØÓÑ Ø ØÓ Ñ ØÓ Ò Ð Ô ÓÚ Ñ ÖÓÞ Ð Ñ Þ Ñ ØÓ Ñ ÔÓ Ù Ó Ð Ñ Ó ÜØÖ ÑÒ Ó ÒÓص Ùö Ò Ø Ú Ð º ÃÚ Ð Ø ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ ØÖ ØÓÖ Þ Ñ ØÓ Ñ ÈÊÅ Î ÓÚ Ñ ÚÞÖÓ ØÐ Ò ÓÖ ÖÝ ÐÓ Ø ÓÔØ Ñ Ð Þ º Ø ÑÓ Ù Ñ ØÓ Ý ÈÊÅ ÓÖÒ Ú ÒØ Ð Ó Ý ÓÔØ Ñ Ð Þ Ù ÈÊÅ ØÓ ¾½ Ù Ñ ØÓ Ý Î Ó ÓÒ ½¼ ¼ º Æ Ð ÓÔØ Ñ Ð Þ ØÖ ØÓÖ Þ Þ Î ØÖÚ Ð ÞÑ Ð Ñ ÒÙغ È ÐÙ Ò Ö Ò Ç Öº ¾ º Æ Ç Ö Þ Ù ¾ ÓÙ Ô Ð Ý ØÖ ØÓÖ Ð ÞÓ¹ Ú Ú Ø ØÓ Ñ Ô Ú Ñ Ñ ØÓ Ñ º Æ Ñ Ô Ø Ø¾ ÝÐÓ ÖÓÚÒ ö ÓØ ØÓÚ ÒÓ ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù ÓÖÑ Ø Ö¹Ð ÖÓ ÓØóº Î Ð Þ Ô ÚÝ ÓÔØ Ñ Ð Þ Ò Ç Ö Þ Ù ¾ º ÁÒ Ð Þ ØÖ ØÓÖ ÝÐ Þ Ò Ñ ØÓ ÓÙ ÈÊÅ Ø Ö Ô Ô ÓÞ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ð Ô Ó Ú Ð º º ÇÚ Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ò Ý Ø ÑÙ ËÝÊÓÌ ËÝÖÓØ ½ Ý Ø Ñ ÔÖ Ñ ÖÒ ÙÖ Ò ÔÖÓ ÚÞ Ð ÒÓÙ ÚÙ Ù ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØ Ý ÐÞ Ú ÔÓÙö Ø ÔÖÓ ÚÞ ÙÑÒ Ðݺ ËÝ Ø Ñ ØÚÓ Ò Ö ÒÓÙ Ó ÖÓÞÑ Ö Ñ Ú Ø Ö ÙÑ Ø ÒÓ ¼ Ô ÚÒ ÔÓ ÙÚÒ Ô ö º ÈÓ ÙÚÒ Ô ö Ý ÑÓöÒ ÓÒ ÙÖÓÚ Ø Ó ØÛ ÖÓÚ Óö ÙÑÓö Ù ÞÚÓÐ Ø ÐÓÙ Ù ÓÒ ÙÖ Ô ö Ø Ñ ÐÞ Ú Ö ÚÝØÚÓ Ø ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ø º ËÝ Ø Ñ Ò Þ ö ½¾ ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØó ÚÝ Ú Ò Ø ÔÓÙö Ú ÒÑ ÒÞÓÖÝ Ó ÓÙ ÓÒ Ö Ð Ö Ö Ö Ñ Ö ÓÑÔ Ð ÖÓÑ ØÖ ÓÓÖ Ò ÓÖº ÇÔ Ö Ó ÖÓ ÓØÙ ö Ó Òº ÊÓ ÓØÝ ÓÙ Ó ÒÝ Ú Ó ÓÚ Ø Ó Ø Ö ÙØÓÑ Ø Ý Þ ö ÔÓ Ù ÓÒ Þº ½

37 Initial lengths Optimized lengths 18 Ratios PRM PRMs VD PRM PRMs VD 4 PRM PRMs VD µ Ç Ö Þ ¾ Î Ð Ý ÜÔ Ö Ñ ÒØó Ò Ñ Ô Ø Ø¾ µ Ð Ð Þ ØÖ ØÓÖ µ Ð ÓÔØ ¹ Ñ Ð ÞÓÚ ØÖ ØÖÓÖ µ ÔÓÑ Ö Ð Ý ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ Ð Þ ØÖ ØÓÖ º 5 Number of segments in paths 5 Solver times PRM PRMs VD PRM PRMs VD Ç Ö Þ ¾ Î Ð Ý ÜÔ Ö Ñ ÒØó Ò Ñ Ô Ø Ø¾ µ ÔÓ Ø Ñ ÒØó Ð Þ ØÖ ØÓÖ µ Ó ÓÔØ Ñ Ð Þ º ¾

38 6 6 6 Inicializační trajektorie Nalezená cesta Optimalizovaná trajektorie µ Ç Ö Þ ¾ È Ð Ý Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ò Ñ Ô Ø Ø¾ µ ÈÊÅ µ ÈÊÅ º µ Î º 6 4 Inicializační trajektorie Nalezená cesta Optimalizovaná trajektorie Trajektorie followerů Ç Ö Þ ¾ È Ð ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ ØÖ ØÓÖ ÓÖÑ Ø Ö¹Ð ÖÓ ÓØó Ò Ñ Ô Ø Ø¾º ÈÖÓ Ð Þ ÝÐ ÔÓÙö Ø Ñ ØÓ Ð Ò ØÝ ÈÊÅ º

39 Init traj Leader Followers Ç Ö Þ ¾ ÎÝÔÓ Ø ØÖ ØÓÖ ÓÖÑ Ø Ö¹Ð ÖÓ ÓØó Ò Ñ Ô ËÝÖÓØ Ùº Ç Ö Þ ¾ Ê ÐÒ ÖÓ ÓØÝ ÔÓ Ý Ù ÔÓ ØÖ ØÓÖ Þ Ñ ØÓ ÓÙ ÈÊÅ ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ ÒÓÙ ËÉÈ ÓÐÚ Ö Ñº ÈÓ ÙÚÒ Ô ö ÙÔÖÓ Ø Ý Ñ Ð Ø ÚÝ ÙÒÙØ ÔÓ Ý Ó ÔÓÚ Ò ÔÐ ÒÓ¹ Ú ØÖ ØÓÖ º ÊÓ ÓØÝ ÐÞ ÓÚÐ Ø Ô ÖÓ ÔÓÙö Ú Ö Ñ ÛÓÖ Ý ÈÐ Ý Ö ÊÇ˺ ÌÝ ÔÓ ÝØÙ Þ Ð ÈÁ ÒÓØÐ ÚÑ ÒÞÓÖóÑ ÖÓ ÓØó Ð Ô Ò Þ Ð ÑÓ ÙÐÝ ÓÙ ÑÓ ÙÐ Ñ ÔÓÚ Ò ÐÓ Ð Þ º ËÝ Ø Ñ ÑÓöÒ ÓÚÐ Ø Ò Ð Ù ÖÓ ÓØÝ ÐÞ Ø Ô ÈÐ Ý Ö ÊÇË Ø Ñ ö Ùö Ú Ø Ð ö Ò ÓÚÑ ÖÚ ÖÙº ØÙ ÐÒ ØÙ Ú Ö ÐÞ Ð ÓÚ Ø ÓÒÐ Þ Ø Ñ Ö ÓÖÒ Ú Óµº Ø ØÓ Ñ Ö Þ ÖÓÚ ÔÓ ÞÓÚ Ò Þ ÞÒ Ñ Ø Ö ÔÓ ÓÒ Þ Ò ÒÙØ Ùö Ú Ø Ð Ø öº Ö Ú ÔÖÓÚÓÞÙ Ò Ô ØÖö Ø Ñ Ø ÚÒ Ó Þ Ó Ú Øк Ë Ý Ø Ñ Ñ Ø ÐÞ ÔÓ Ô ÓÞ Ö Þ ÖÚ ÔÖ ÓÚ Ø Ý ÓÐ Ú Þ ÔÓ Ó Ð ÓÑÓÚ º Î Ø ØÓ ÔÖ ÝÐÓ ÓÚÐ Ò ÖÓ ÓØó ÔÓÙö ØÓ ÊÓÞ Ö ÈÐ Ý Öº Â Ó Ú Ó ÓÙ ö Þ ÔÖÓÔÓ ÒÓ ÖÓ ÓØ ÑÙÐ ØÓÖ Ñ ËØ º à Þ ÖÓ ÓØó ÝÐÓ Ø Ý Ò ÔÖÚ ÚÝÐ ÒÓ ÔÖ Ú Ú ØÓÑØÓ ÑÙÐ ØÓÖÙ ÔÓØ Ô ÒÓ Ò Ö ÐÒ ÖÓ ÓØݺ ÈÖÓØÓö Ô Ñ Ø Ñ Ø ØÓ Ð ÔÖ Ò ÝÐÓ ÚÐ ØÒ ÔÖÓÔÓ ËÉÈ ÓÐÚ ÖÙ Ý Ø Ñ Ñ ËÝÊÓÌ Ò ÝÐ ÓÖÑ Þ Þ Ù Ú ÞÔ ØÒÓÚ Þ ÑÝ ÊÀ Ð ÝÐÝ ÔÓÙÞ Ô ÒÝ Ô Ñ ÚÝÔÓ Ø Ú ØÙÔݺ Æ Ð Þ Ò ØÖ ØÓÖ ÓÖÑ Ò Ç Öº ¾ Ò Ñ Ý ÙØ ÖÓ ÓØó ÚÝ ÓÒ Ú ØÙØÓ ØÖ ØÓÖ Ú Ö ËÝÖÓØ Ù ÓÙ Ò Ç Öº ¾ º

40 Ú Ö Ì ØÓ ÔÖ ÔÓ Ò Ú Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù ÓÖÑ ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØó ØÝÔ٠ֹРº ÐÓ ÝÐ ÖÓÞ Ð Ò Ø ÔÓ ÔÖÓ Ð ÑÝ ½µ Ò Ð Þ ÚÓÐÒ ØÝ Ñ Þ Þ ÒÑ ÓÒ ÙÖ Ñ ¾µ ÚÔÓ Ø ØÖ ØÓÖ Ø Ö Ò Ð Þ ÒÓÙ ØÙ Ð Ù Ú ØÙÔó Ø Ö Þ Ø ÔÓ Ý ÖÓ ÓØ ÔÓ Ø ØÓ ØÖ ØÓÖ µ ÓÔØ Ñ Ð Þ ÚÝÔÓ Ø ØÖ ØÓÖ ÚÔÓ Ø ØÖ ØÓÖ Ú Ð Òó ÓÖÑ º ÝÐ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÚ Ò ÓÑ ØÖ Ñ ØÓ Ð Ò ØÝ Ú ÎÓÖÓÒ Ó Ö ÑÙ Ø Ö ÔÓÙö Ú Ö ÒÝ Î Ò Ð Þ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ ÎÖÓÒ º Ã Ö Ù Ô ÔÓ Ø ÖØÓÚÒ ÐÓÚ ÓÒ ÙÖ Ò Ð Þ ØÝ Ñ Þ Ò Ñ ÔÓÙö Ø ØÖóÚ Ð ÓÖ ØÑÙ º Ð ÑÔÐ Ñ ÒØÓÚ ÒÓÙ Ñ ØÓ ÓÙ ÝÐÓ ÈÊź Ì ØÓ ØÓ Ø Ñ ØÓ Ô Ù Þ Ò Ó ÚÞÓÖ Ù Ø ÚÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ ÚÝØÚ ØÞÚº ÖÓ Ñ ÔÙ Óö Ö Óö Ö ÒÝ ØÚÓ Ý ØÝ Ú Þ¹ Ô ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Ô ö º È Ó Ø Ø Ñ ÔÓ ØÙ ÚÝ ÖÓÚ ÙÞÐó Ø ÚÞÒ ð Ø Ø Ö Ô ÕÙ ÖÝ Þ Ô ÔÓ Ø ÖØÓÚÒ ÐÓÚ ÓÒ ÙÖ ÓÔ Ø Ú Ö Ù Ð ØÖÓÚÑ Ð ÓÖ ØÑ Ñ Ò Ö Ø Ø º ÈÖÓØÓö ÓÙ ØÝ ÔÓ ÝØÓÚ Ñ ØÓ ÓÙ ÈÊÅ Ú ÐÑ Ð Ø ÝÐ Ò Ñ¹ ÔÐ Ñ ÒØÓÚ Ò ÒÓ Ù Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö Ó ØÖ Ö ÙÒ ÒØÒ Ó Ý Ø Ñ ØÙ ÚÝ Ð º ÈÊÅ Ô ÒÑ ÚÝ Ð ÞÓÚ Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ñ ÝÐÓ Ú ÐÑ Ó ÖÑ Ú Ð Ý Ø ØÓÚ ÒÓ Ó ÑÓ Ø ØÒ Ñ ØÓ ÈÊÅ ÑÓÓØ º Ð ÝÐ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØÓÚ Ò Ô Ø ÓÐÐÓÛ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ý Ñ ØÓ Ø Ö ØÙ Ò Ð Þ ÒÓÙ Ú Ô ÓÞ Ñ ÖÓ Ù ÔÖÓÜ ÑÙ ØÖ ØÓÖ Ö¹Ð ÖÓ ÓØÙ ÚÝÔÓ Ø Ú ØÙÔÝ ÑÙ Ù ÙØ ¹ Òº Æ Ð Þ Ø ØÓ ØÖ ØÓÖ ÒÓ Ó ÓÑ ØÖ ÐÓ º Î ØÓÖ Ú ØÙÔó Ô Ô Ò Ú Ö Ø ÑÙ ÓÐÚ ÖÙ Ø Ö ØÖ ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ð ÞÙ ÔÓ Ð Ò Ø Ú Ö Ø Ö º Ó Ú Ð Ø ÓÔØ Ñ Ð Þ ÐÒ Þ Ú Ò ÔÓÙö Ø Ð Þ ØÖ ØÓÖ º Ã Þ ÓÖÑ ÝÐ ÔÓÙö Ø ÓÒ ÔØ Ä Ö¹ ÓÐÐÓÛ Öº Ý ØÓÑÙ Ø Ò Ð ÞØ ØÖ ØÓÖ Ð Ö ÓÖÑ Þ Ø Ö ÓÙ Ò Ð ÚÝÔÓ Ø ÒÝ ØÖ ØÓÖ ÓÐÐÓÛ Öó ÔÓ Ð ÚÞ ÑÒ ÔÓÞ ÖÓ ÓØó Ú ÓÖÑ º Ë ÑÓØÒ Þ ÓÖÑ Ó Ø Ö Ú Ñ ØÓ Ê ÀÓÖ ÞÓÒ ÓÒØÖÓÐ Ø Ö ÔÖÓÚ ÓÔØ Ñ Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ð Ö Ó ØÙ ÐÒ ÔÓÞ ÖÓ ÓØÙ Ó Ð º Ø Ò Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ó Ñö Ø ÖÓ ÓØ Ñ ÚÝ ÓÒ Ò ÔÓØÓÑ Ð ÔÖÓ ÓÔ Ù Þ ÒÓÚ ÔÓÞ ÖÓ ÓØÙº Ý ØÓÑÙØÓ ÖÓ ÓÚ Ò ÙÑÓö Ù Ñ ØÓ Ö ÓÚ Ø Ò ÞÑ ÒÝ Ú ÔÖÓ Ø Ò Ó Ó ÝÐ Ù ÖÓ ÓØÙ Ó Ò ÔÐ ÒÓÚ ØÖ ØÓÖ º Ç Ó Ñ ØÓ ÔÐ ÒÙ ÔÓ Ý ÓÐÐÓÛ Öó Ù ÖöÙ ØÚ Ö ÓÖÑ º Î Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØó Ú ÒÓÚ Ð ÓÚ ÚÐ ÚÙ ÔÓÙö Ø Ñ ØÓ Ý Ð Ò ØÝ Ò ÖÝ ÐÓ Ø ÓÔØ Ñ ¹ Ð Þ Ú Ð ØÙ Ú Ð ØÖ ØÓÖ º ÜÔ Ö Ñ ÒØÝ Ù Þ ÐÝ ö Ú Ó Ò ØÚ Ö Ð Þ ØÖ ØÓÖ Ô ÓÐÚ ÖÙ Ñóö Ú ÐÑ ÚÖ ÞÒ Þ Ö Ø Ø Ó Ù ÓÔØ Ñ Ð Þ Ò ÓÔ Ô ØÒ Ò ÔÐ ÒÓÚ Ò ØÖ ¹ ØÓÖ Ú Þ ÐÓÙ Ú ÑÙ ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ Ò ÓÒ ÓÖ ÑÙ Ú Ð Ùº

41 Ä Ø Ö ØÙÖ ½ ØØÔ»»ÛÛÛº Ñ ÒºÓÑ» ÓÛÒÐÓ ÕÔº ØÑк Å Ò ÁÒº ¾ º ÐÐÙ º º Ð ØÖ ÒÓ º Ð ÒÓº È Ø ØÖ ÓÒØÖÓÐ ÓÖ Ù Ò³ Ö º ÁÒ ÊÓ ÓØ ÙØÓÑ Ø ÓÒ ½ º ÈÖÓ º ½ Á ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö ÓÒ ÚÓÐÙÑ Ô ½¾ ½¾ º Á ½ º РϺ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ä ÛØÓÒ Ö º À ËÓÖ Å Ñ Öº ÓÓÖ Ø ÓÒ Ö ¹ Ø ØÙÖ ÓÖ Ô Ö Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒØÖÓк Á ÌÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÓÒØÖÓÐ ËÝ Ø Ñ Ì ÒÓÐÓ Ý ¼ ¾¼¼½º κ ÓÓÖ ÅºÀº ÇÚ ÖÑ Ö º º Ú Ò Ö ËØ ÔÔ Òº Ì Ù Ò ÑÔÐ ØÖ Ø Ý ÓÖ ÔÖÓ Ð Ø ÖÓ Ñ Ô ÔÐ ÒÒ Ö º ÁÒ ÊÓ ÓØ ÙØÓÑ Ø ÓÒ ½ º ÈÖÓ º ½ Á ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö ÓÒ ÚÓÐÙÑ ¾ Ô ½¼½ ½¼¾ º Á ½ º Ú Ãº Ê Ð ÖÖÓ Î Ý ÃÙÑ Ö Â Ñ Èº Ç ØÖÓÛ ÂÓ Ò ËÔÐ ØÞ Ö Ñ ÐÐÓ Âº Ì ÝÐÓÖº Ú ÓÒ¹ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒØÖÓÐ Ö Ñ ÛÓÖ º Á ÌÊ ÆË ÌÁÇÆË ÇÆ ÊÇ ÇÌÁ Ë Æ ÍÌÇÅ ÌÁÇÆ ½ ½ ¾ ¾¼¼¾º ź Ö Çº ÓÒ Åº Î Ò ÃÖ Ú Ð º ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÝ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÔÐ ¹ Ø ÓÒ º ËÔÖ Ö¹Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ÁÒ ¾¼¼ º º º Ï Ø Æ ÓÙ ¹Ä Ó Ó º Å ÐÐ º ÓÒØÖÓÐ ÓÖ ØÖ Ò¹Ð Ú Ð º ÁÒ Á ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö ÓÒ ÊÓ ÓØ ÙØÓÑ Ø ÓÒ Ô ½ ½ º ÁÆËÌÁÌÍÌ Ç Ä ÌÊÁ Ä Æ ÁÆ ÊË ÁÆ Á µ ½ º ź Ö Ø Ø º ÀÙ º ËØÓØ Ýº ÓÒØÖÓÐ Ó ÑÓ Ð ÔÐ Ø ÓÖÑ Ù Ú ÖØÙ Ð Ú Ð ÔÔÖÓ º ÙØÓÑ Ø ÓÒØÖÓÐ Á ÌÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒ ½½µ ½ ½ ¾ ¾¼¼½º ʺ Ö ÖØ ÅºÀº ÇÚ ÖÑ Ö º Ö Ø ¹ÕÙ Ð ØÝ Ô Ø ÓÖ ÑÓØ ÓÒ ÔÐ ÒÒº Ì ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÊÓ ÓØ Ê Ö ¾ ¾¼¼ º ½¼ ź À Ð º ÎÖÓÒ ÖÚÖÓÒ ËÓ ØÛ Ö ÓÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÚÓÖÓÒÓ Ö Ñ Ò Öº ÁÒ ÎÓÖÓÒÓ Ö Ñ Ò Ë Ö ÁËÎ µ ¾¼½½ Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ¹ ÓÒ Ð ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ Ô ½¾ ÙÒ ¾¼½½º ½½ Å ÖØ Ò À Å ÖØ Ò Ë ÃÐ Ù Ë Ðк ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÓÖ Ø ÑÙÐØ ¹Ú Ð ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖ ÒÓÛ ÓÚ Ð ÓÒ ÖÔÓÖØ º ÁÒØ ÐÐ ÒØ Ë ÖÚ ÊÓ ÓØ ¾ ¾¼ ¾½ ¾¼¼ º ½¼º½¼¼» ½½ ¼¹¼¼ ¹¼¼ ¹ º ½¾ º À ٠̺  º Ê º ËÙÒº Ì Ö Ø Ø ÓÖ ÑÔÐ Ò ÖÖÓÛ Ô Û Ø ÔÖÓ Ð Ø ÖÓ Ñ Ô ÔÐ ÒÒ Ö º ÁÒ ÊÓ ÓØ ÙØÓÑ Ø ÓÒ ¾¼¼ º ÈÖÓ º Á Ê ³¼ º Á ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö ÓÒ ÚÓÐÙÑ Ô ¾¼ ¾ º Á ¾¼¼ º ½ º ÁÒ Ú Ö º ÆÙ Ø Ö Ãº Ä Ñ ÒÒº À Ô Ö ÒØ Ð Ö Ú ÑÓ Ð ÖÓ ÓØ Ô Ø ÓÐÐÓÛ ÓÒØÖÓÐ Û Ø ÓÙÒ Û Ð Ô ÓÑÑ º ÁÒ ÊÓ ÓØ ÙØÓÑ Ø ÓÒ ¾¼¼ Á ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö ÓÒ Ô ¾¾¼¾ ¾¾¼ º Á ¾¼¼ º ½ ĺ º à ÚÖ Èº ËÚ Ø Âº¹ º Ä ØÓÑ ÅºÀº ÇÚ ÖÑ Ö º ÈÖÓ Ð Ø ÖÓ Ñ Ô ÓÖ Ô Ø ÔÐ ÒÒ Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô º ÊÓ ÓØ ÙØÓÑ Ø ÓÒ Á ÌÖ Ò Ø ¹ ÓÒ ÓÒ ½¾ ¼ Ù ½ º

42 ½ ź ÃÙРú ÃÓÖ Âº Ù Ó Çº Ö Äº È Ù Ðº Í Ö² ¾½ ØÓ Ø ÊÓ ÓØ ¹Ä ÖÒ ËÝ Ø Ñ ËÝÊÓÌ º ÁÒ ÈÖÓ Ó Ø Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö ÓÒ ÓÑÔÙØ Ö ËÙÔÔÓÖØ Ù Ø ÓÒ ÚÓÐÙÑ ½ Ô ¾¼ ¾½½ ÈÓÖØÓ ¾¼½¾º Ë Ì ÈÖ Ë Ì ÒÓÐÓ Ý ÈÙ Ð Ø ÓÒ º ½ ƺ º Ä ÓÒ Ö º ÓÖ ÐÐ º Î ÖØÙ Ð Ð Ö ÖØ Ð ÔÓØ ÒØ Ð ÓÓÖ Ø ÓÒØÖÓÐ Ó ÖÓÙÔ º ÁÒ ÓÒ ÓÒØÖÓÐ ¾¼¼½º ÈÖÓ Ó Ø ¼Ø Á ÓÒ Ö ÓÒ ÚÓÐÙÑ Ô ¾ ¾ ÚÓк ¾¼¼½º ½ ú Å Áº È ØÖÓÚ Êº Ë Û Öغ ÓÒØÖÓÐ Ñ Ø Ó ÓÖ Ø Ð ÑÓÓØ Ô Ø ÓÐÐÓÛ Ó ÑÓ Ð ÖÓ ÓØ º ÁÒ ÈÖÓ Ó Ø ÙÖÓÔ Ò ÓÒ Ö ÓÒ ÅÓ Ð ÊÓ ÓØ ¾¼¼ º ½ Ï Ê Ò Ê Ð Ïº Ö º Î ÖØÙ Ð ØÖÙØÙÖ Ô Ö Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒØÖÓÐ Û Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ º ÁÒ Ò Á Ù Æ Ú Ø ÓÒ ÓÒØÖÓÐ ÓÒ Ö ÅÓÒØ Ö Ý µ Ñ Ö Ò ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÖÓÒ ÙØ ØÖÓÒ ÙØ Ô ¾¼¼¾ ¾¼¼¾º ½ º ÊÓ Ö Ù º Ù Ö º Æ Ú ÅºÁº Ê ÖÓº Ä Ö¹ ÓÐÐÓÛ Ö Ô ¹ ØÖ ÙØ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒØÖÓк ÁÒ ÈÖÓº Ó ÊÓ ÓØ ¾¼¼ ¹ Ø ÓÒ Ö ÓÒ ÙØÓÒÓÑÓÙ ÊÓ ÓØ ËÝ Ø Ñ ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ ÚÓÐÙÑ ¾¼¼ º ¾¼ ƺ Ë Ö Ö º ÙÒ Îº ÃÙÑ Öº ÝÒ Ñ Ô Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÓÒØÖÓÐ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÑÓ Ð ÖÓ ÓØ º ÁÒ ÓÒ ÓÒØÖÓÐ ½ º ÈÖÓ Ó Ø ¾Ò Á ÓÒ Ö ÓÒ Ô ¾ ¼ ¾ º Á ½ º ¾½ ź Ë ÂË Å ºÅº ËØ Ô ÒÓÚ Ãº Ë Ðк ÓÒØÖÓÐ Ò Ú Ø ÓÒ Ó ÓÖÑ Ø ¹ ÓÒ Ó Ö¹Ð ÖÓ ÓØ ÓÒ Ö ÓÖ ÞÓÒº ÁÒ ÓÒØÖÓÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ µ ² ÁÒØ ÐÐ ÒØ ÓÒØÖÓÐ ÁËÁ µ ¾¼¼ Á Ô ½ ½ ½ º Á ¾¼¼ º