Abstract. 1 Introduction

Transkript

1 Ý Ò ÔØ Ú Ø Ñ Ø ÓÒ Ì Æ ÜØ Ñ Ò ÓÒ Â ÒÒ Î ÃÙ Ð ÌÙÓÑ Â ÄÙ ÓÖ ÒØ Ö ÈÇ ÓÜ Á¹ ¼¼½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÂÝÚĐ ÝÐĐ ÇØÓ Ö ¾¼¼ Abstract Ï ÔÖÓÔÓ Ò Û Ô Ý ÓÑ ØÖ ÑÓ Ð ÓÖ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ Ù ÓÐÓÖ «Ö Ò ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ò Ø Ø Ö ÓÐ Ó ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ý¹ ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ò ÐÐ Ô Ì Ψ Ý Ò Ô¹ Ø Ú Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ÔÔÐ ØÓ Ø ÑÓ Ð Ý Ð ØÖ ¹ Ð Ø Ø Ú ÖÝ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÑÙÐÙ Ñ Ò ÓÒ ÑÙÐØ ¹ Ò ÓÙ ÐÝ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ø Ø Ò Û ÔÖÓ ÙÖ Ò ÑÙ ÑÓÖ Æ ÒØ Ø Ò Ø ÑÓÖ ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð ÔÖÓ ÙÖ Ó Ø Ñ Ø Ò Ø Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ò Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ö ÕÙ Ö Ò ÓÒÐÝ ÓÒ ÓÙÖØ ÓÖ Ð Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ð ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ô Ö¹ ÓÖÑ Ò Ò ØÝÔ Ð ØÙ Ø ÓÒ ÁÒ Ö Ð Ô Ý ÓÔ Ý ¹ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ý ¹ÒÓ Ø Û ¾¾ ØÖ Ð Ô Ö Ø Ñ Ø Ø Ö ÓÐ ÐÐ Ô Û ÒÓÙ ØÓ ÓÒ ¹ Ø ÒØÐÝ ÑÓÒ ØÖ Ø ÖØ Ò ÓÐÓÖ ÔÔ Ö Ò Ô ÒÓÑ Ò Ï Ù Ø ÔÖ Ø Ð ÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÑÙÐØ Ñ Ò¹ ÓÒ Ð ÔØ Ø ÓÒ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ñ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÑÓ Ð ÔÖ Ø Ð Û ÔÖ ÒØ ØÛÓ Ò ÒØÐÝ Ø Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÖÙÒÒ Ò Ø Ψ Ñ Ø Ó Ö Ø Þ Ð¹ ÓÖ Ø Ñ ÙØ Ð Þ Ò Ø Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÖ ØØ Ö Ð Ò Û Ø Ø ÑÔÐ Ò Ö Ø Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ Ô ÖØ ¹ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø ÓÙÐ Ð ØÓ Ð ÒØÓ Ú Ò ÑÓÖ Ñ Ò ÓÒ Ã ÝÛÓÖ Ý Ò ÔØ Ú Ñ Ø Ó Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Å Ö ÓÚ Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ Introduction È Ý ÓÔ Ý ØÙ Ø ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ö Ð Ø ÓÒ Ô ¹ ØÛ Ò Ô Ý Ð Ø ÑÙÐ Ò Ø Ö Ô Ý ÓÐÓ Ð Ô Ö Ô¹ Ø ÓÒ ÁÒ ØÝÔ Ð Ô Ý ÓÔ Ý Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ù Ø Ò ØÖÙØ ØÓ Ò Û Ö Ø Ö Ý ÓÖ ÒÓ ØÓ Ò Ø Û Ø Ö ÖØ Ò ØÙÖ Ó Ø Ø ÑÙÐÙ Ô Ö ÔØ Ð Ò ÖÐ Ö Ú Ö ÓÒ Ó Ø Ñ ÒÙ Ö ÔØ Û Ô ÖØ Ó Ø Ö Ø ÙØ ÓÖ³ È Ø ÃÙ Ð ¾¼¼ µ Ñ Ð Ú Ñ Ð ÐÙ ÈÖ ÒØ Ö ÀÝ Ö Ö Ô Ø Å Ò ØÙ Á¹¼¼½ ¼ À Ð Ò Ì ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÑÓ ÐÐ Û Ø Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒ¹ Ø ÓÒ Û Ñ Ô Ø ÒØ Ò ØÝ Ó Ø Ø ÑÙÐÙ ØÓ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ý Ò Û Ö Ì ÑÓ Ð Ù ØÓ ¹ Ø Ñ Ø ÖØ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ù Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø ¼ Ô Ö ÒØ Ø Ö ÓÐ Ó Ô Ö¹ ÔØ ÓÒ Ø ÒØ Ò ØÝ Û Ö Ø Ù Ø Ø Ø Ø Ø Ñ¹ ÙÐÙ Ð Ó Ø Ø Ñ ÌÝÔ ÐÐÝ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö ÒØ Ö¹ Ø Ò ÓÛ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ØÛ Ò «Ö ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÁÒ ÔØ Ú ÕÙ ÒØ Ð Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ø ÒØ Ò ØÝ Ó Ø Ò ÜØ Ø ÑÙÐÙ Ù Ø ÓÒ Ø ÓÙØÓÑ Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ ØÖ Ð Ó ØÓ Ý Ð ÑÓÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Û Ö Ë ÌÖ ÙØÛ Ò ½ µ ÓÖ Ö Ú Û Ó Ø ÓÒ ÔØ ÁÒ Ñ ÒÝ Ô Ý ÓÔ Ý Ð ØÙ Ø Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ó ÒØ Ö Ø ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ò ÌÓÛÒ Ò ½ µ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ú Ò ÓÐÓÖ Ô Ù Ø Ô Ó Ê ÒØ Ò ØÝ ØÖ ÔÐ ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ ¹ Ð ØÝ Ó Ò Ø ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ðµ «Ö Ò ¹ ØÛ Ò ØÛÓ Ø Ö Ø ÓÐÓÖ Ì ÓÖ Ò Ó Ø Ø ÑÙÐÙ ¹ Ô ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÒØ Ð Ø Ö Ø ÓÐÓÖ Ò ÒÝ ÒÓÒÞ ÖÓ Ú ØÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ «Ö Ò Ò ÖØ Ò Ö Ø ÓÒ Ò Ø ÓÐÓÖ Ô Ì ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ô Ö Ú Ò Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ø Ø ÓÖ Ò Ò ÒÖ ÓÚ Ö ÐÐ Ð Ò ÜØ Ò Ò ÖÓÑ Ø ÓÖ Ò ÁÒ Ø Ø Ø Ö ÓÐ ÐÓ ÙÖ ÓÖ ÓÒØÓÙÖµ Ò Ø ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐÙ Ô ËÓÑ Ø Ñ Ù ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒ¹ Ø ÓÒ Ò Ô Ö Ø ÒØÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÒ ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ Ú Ð Ø ÑÓ Ð Ó Ô Ö¹ ÔØ ÓÒ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ý ÙÑ Ò Ò Ô Ò ÒØ «Ø ÓÒ ÓÒ ¹ Ô Ô Ø Û Ý Û Ò ØÙ Ý Ò ÖÓÑ Ø Ô¹ Ø Ø ÓÒ Ì ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ø Ò Ø Ñ Ø Ô Ö Ø ÐÝ Ù Ò ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ ÀÓÛ Ú Ö Ù Ô Ö Ð ÑÓ Ð Ó ÒÓØ ÛÓÖ Ò ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ü ØØ Ò Ù Ø Ó ÒÚÓÐÚ Ò «Ø Ó ÓÖØ Ð ÔÖÓ Ò Ï Ø Ö Ò Ï Ð ÓÒ ¾¼¼¼µ ËÓ Ö ÔØ Ú Ø Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Ú ÓÒÐÝ Ò ÔÔÐ ØÓ ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ð¹ Ø ÓÙ Ñ ÒÝ Ñ Ø Ó Ò Ø Ñ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ö Ñ ¹ Ø Ö Ó Ø Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ ËÒÓ Ö Ò Ò ÈÙØ ½ ÃÓÒØ Ú Ò ÌÝÐ Ö ½ µ ÓÒÐÝ ÓÒ Ô Ö Ñ ¹ ½

2 Ø Ö Ó Ø Ø ÑÙÐÙ Ò ÔØ Û Ø Ò ÓÒ ÓÒ¹ Ø ÓÒ ÓÖ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ñ Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø Ò Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ò ÜØ Ò Ò ÖÓÑ Ø ÓÖ Ò ÓÒ Ð Ò Ö Ô ÖØ ÀÓÛ Ú Ö Ø Ò Æ ÒØ ÙÒÐ Ø ÓÔØ Ñ Ð ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ò Ö ÒÓÛÒ ÓÖ ¹ Ò ÓÖ Ü ÑÔÐ ØÓ Æ ÒØÐÝ Ø Ñ Ø Ø Ò Ð Ó Ò ÐÐ Ô ¹ Ô Ø Ö ÓÐ ÓÒØÓÙÖ ØÖ Ð Ò ØÓ ÔÐ Ò Ö Ø Ò Ó Ø Ñ ÓÖ Ü ÁÒ Ø ÖØ Ð Û ÒØÖÓ Ù ÑÓ Ð ÓÖ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ò ÔÔÐÝ Ø Ψ Ý Ò ÔØ Ú Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ÃÓÒØ Ú Ò ÌÝÐ Ö ½ µ ØÓ Ø ÐÐÓÛ Ò ÓÖ ÑÓÖ Æ ÒØ Ø Ñ ¹ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ö ÓÐ ÓÒØÓÙÖ Ø Ò ÔÖÓ ÙÖ ÓÒ ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔØ Ú Ø Ñ Ø ÓÒ Ì Ò Ñ ÔÖ Ø Ð Ý Ø ÒÖ Ò Ú Ð Ð ÓÑÔÙØ ¹ Ø ÓÒ Ð ÔÓÛ Ö Ò Ý Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ ØÓ Ø ÓÖ Ò Ð Ψ Ñ Ø Ó Ø Ø Û Û ÐÐ ÔÖ ÒØ ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ Û Û ÐÐ Ö Ø Ö Ú Û Ø Ý Ò Ö Ñ ÛÓÖ Ì Ò Û Û ÐÐ ÔÖ ÒØ ØÛÓ «Ö ÒØ ÔÔÖÓ ØÓ Ô Ò ÙÔ Ø ÓÖ Ò Ð Ψ Ð ÓÖ Ø Ñ ¹ Ø Ö Ø Ø Û Û ÐÐ ÓÖÑÙÐ Ø Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐÙ ÑÓ Ð Ò ÓÒ Ö Ø ÔÖ Ø Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ø Ì Ò Û Û ÐÐ ÔÖ ÒØ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö ÙÐØ Ò ÓÒÐÙ ÓÒ Bayesian adaptive estimation ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö Ú Û Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ö Ñ ÛÓÖ Ó Ý Ò ÔØ Ú Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó. Bayesian framework Ì Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ψ θ (x) Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ú ØÓÖ θ Ú Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ø Ó ÖÚ Ö Ø Ø Ò ÖØ Ò ØÙÖ Ó Ø ÑÙÐÙ Ó ÒØ Ò ØÝ x Ø Ø { Ψθ (x), r x =, p(r x θ) = ½µ Ψ θ (x), r x =, Û Ö r x {, } Ü Ú ÐÙ Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð R x Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø Ö ÙÐØ ÒÓØ Ø Ø» Ø Øµ Ó ØÖ Ð ÔÐ Ø ÒØ Ò ØÝ x ½ Ï Ù ÙÔÔ Ö¹ Рع Ø Ö ØÓ Ö Ö ØÓ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ò ÐÓÛ Ö¹ Ð ØØ Ö ØÓ Ö Ö ØÓ Ø Ö Ú ÐÙ Ì Ï ÙÐÐ ÑÓ Ð Ï Ø ÓÒ Ò È ÐÐ ½ µ ÓÛÒ Ò Ø ÙÖ ÓÒ Ø Ï ÙÐÐ ½ ½µ ØÖ ÙØ ÓÒ ÁØ ÔÖÓÚ ÓÓ Ø ØÓ Ø ÔÖ Ø ÓÒ Ó Ò Ð Ø Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ ËÛ Ø ½ ½ Ö Ò Ò ËÛ Ø ½ µ ÓÙØ Ø Ô Ó Ø Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Ö θ = (α, β, γ, δµ Û Ö α Ø Ø Ö ÓÐ β Ô Ø ÐÓÔ Ò Ø ÝÑÔØÓØ γ Ò δ Ö Ø Ù Ò Ò δ γ β α Ψ(x) ÙÖ ½ Ì ÑÓ Ð Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ù Ψ(x) = δ ( γ δ) ÜÔ( (x/α) β ) Ú Ø ÔÖÓ ¹ Ð ØÝ Ó ÓÖÖ Ø Ò Û Ö ÓÖ Ø ÑÙÐÙ Ó ÒØ Ò ØÝ x ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ò ØÓ Ø Ñ Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö α, β, γ, δ ÖÓÑ ØÖ Ð Ö ÙÐØ Ð Ô Ò Ö Ø Ì Ù Ò Ö Ø γ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ø Ø Ö ÙÐØ Û Ò ÒÓ Ò Ð ÔÖ ÒØ Þ ÖÓ Ø ÑÙ¹ ÐÙ ÒØ Ò Øݵ Ì Ð Ô Ò Ö Ø δ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ÒÓØ Ø Ø Ö ÙÐØ Ù ØÓ Ò Ó ÖÚ Ö Ð Ô Ñ Ò Ø Ø ÑÙÐÙ µ ÓÖ Ý ¹ÒÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ù Ò Ô Ö¹ ÓÖÑ Ò ÓÙÐ ÐÓ ØÓ Þ ÖÓ ÀÓÛ Ú Ö ÓÑ Ø Ñ Ó ÐÐ ØÛÓ¹ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÓÖ Ó ¾¹ µ Ø Ö Ù Û Ö Ø Ó ÖÚ Ö «Ö ÒØ Ø ØÛ Ò ØÛÓ ¹ Ö ÒØ Ô Ö ÔØ ÓÒ Ï Ò Ø Ø ÑÙÐÙ ÒØ Ò ØÝ ØÓÓ ÐÓÛ ØÓ Ô Ö Ú Ø «Ö Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ø Ó ÖÚ Ö ÓÖ ØÓ Ù ÁÒ Ø Ø γ ÓÙÐ. ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ù Ò ÓÖ¹ Ö ØÐÝ Ý Ò Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ö ØÝÔ ÐÐÝ ÓÒ ØÛÓ ÙÑÔØ ÓÒ Ï Ø ÓÒ Ò È ÐÐ ½ µ ½ Assumption Ì Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ó ÒÓØ Ò Û Ø Ò ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ì Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö θ Ö ÙÑ ØÓ ÓÒ Ø ÒØ ÓÚ Ö Ö Ô Ø ØÖ Ð Û Ø ÒÝ ÒØ Ò Ø x ÐÓÒ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ö ÓØ ÖÛ ÙÒ Ò ¹ Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ø Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ñ Ý ÒÚ Ð Ù ØÓ Ð ÖÒ Ò «Ø ÓÖ Ø Ù Ï Û ÐÐ Ö Ø Ù Ò Ë ¾ Assumption ÁÒ Ú Ù Ð ØÖ Ð Ö Ø Ø Ø ÐÐÝ Ò¹ Ô Ò ÒØ Ú Ò Ø Ø ÑÙÐÙ ÔÐ Ñ ÒØ Ç ÖÚ Ö Ñ Ø Ú ÓÐ Ø Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ù Ó Ø Ö Ñ ÓÖ Ý Ñ Ò Ú Ö Ð ØÖ Ð Ò ÖÓÛ Ì ½ Ï Ø ÓÒ Ò È ÐÐ ½ µ Ð Ó ÒÐÙ Ò ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ò Ø Ø Ø Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ ÜÔÖ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÐÓ ¹ ÒØ Ò ØÝ ÓÒ Ø ÒØ Ô ÙÒ Ö ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ ÀÓÛ Ú Ö Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ò Ö Ð Ü Ò Ú Ö ÓÙ Û Ý Ò Ð Ø Ö ÛÓÖ Ò ÒÓØ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ØÓ Ø Ý Ò ÔÔÖÓ ¾

3 «Ø Ó Ù Ô Ò Ò Ò Ú Ö ÓÙØ Ý ÒØ Ö¹ Ð Ú Ò Ò Ô Ò ÒØ Ò Ø Ò Ó Ø Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ÀÓÛ Ú Ö Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖ Ò ØÖ Ð ÓÖ Ò Ø Ò Ó Ø Ñ Ø Ó Ò Ø Ò ÓÑ Ò ÒØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ØÓÖ Ë µ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ø Ñ Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö θ Ó Ø Ô Ý Ó¹ Ñ ØÖ ÙÒØ ÓÒ ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ p t (θ) ÓÖ t = Ö Ø ÙÑ ÒÓÖÔÓÖ Ø Ò ÒÝ ÔÖ ÓÖ ÒÓÛÐ ÓÙØ Ø ÔÓ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÐÙ Ú Ò Ø Ö ÙÐØ Ó ØÖ Ð Ý ³ ÖÙÐ Ý Ð Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ p t (θ r x ) = p t(θ)p(r x θ), ¾µ p t (r x ) Û Ö Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò Ý p t (r x ) = p t (θ)p(r x θ)dθ. µ Ø Ö ØÖ Ð Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÑ Ø ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ò ÜØ ØÖ Ð p t+ (θ) = p t (θ r t+ x t+ ), Û Ö r x, r x,... ÒÓØ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ò Ô Ò ÒØ ØÖ Ð ÔÐ Ø ÒØ Ò Ø x, x,... Ì Ù Ö ÔØ t Ò Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ð ÒÐÙ Ò Ø ÔÖ ÓÖ ¹ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ ÒÝ ÕÙ ÒØ Ø Ø Ø Ô Ò ÓÒ Ø Ø Ö Ø Ð Ø ØÖ Ð Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ù ØÓ Ó Ø Ò Ø Ò Ð Ø Ñ Ø Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö θ Ì Ö Ñ ÛÓÖ ÓÑÑÓÒ ÓÖ ÐÐ Ý Ò ÔØ Ú Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ù ÉÍ ËÌ Ï Ø ÓÒ Ò È ÐÐ ½ µ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ö Ò Ñ Ø Ó ËÌ Ã Ò ¹ ËÑ Ø Ö Ý Î Ò ÖÝ Ò Ò ËÙÔÓÛ Ø ½ µ ÅÍ ËÌ ËÒÓ Ö Ò Ò ÈÙØ ½ µ Ò Ø Ψ Ñ Ø Ó ÃÓÒØ Ú Ò ÌÝÐ Ö ½ µ Ï Ø «Ö ÒØ Ø Ø Ñ Ø Ó Ø ØÖ Ø Ý ÓÖ ÓÓ Ò Ø ÒØ Ò ØÝ Ó Ø Ò ÜØ ØÖ Ð Ï Ð ÉÍ ËÌ ËÌ Ò ÅÍ ËÌ ÓÒÐÝ Ù Ø ÙÖÖ ÒØ Ø Ñ Ø ÓÖ Ò ÜÔÐ Ø ÔÐ Ñ ÒØ ÖÙÐ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ö Ò Ò Ψ Ñ Ø Ó Ù ÐÐ ÔÖ ÓÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø ÓÒ Ý ÓÓ Ò ÔÐ Ñ ÒØ Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø Ü¹ Ô Ø Ú Ö Ò ÓÖ ÒØÖÓÔÝ Ó Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ì Ψ Ñ Ø Ó ÓÒ Ø Ó ÕÙ ÒØ Ý Ò Ø ÙÒ ÖØ ÒØÝ Ó Ø ÙÒ ÒÓÛÒ Ô Ö Ñ Ø Ö θ Ù Ò Ø Ò¹ ØÖÓÔÝ H t (Θ) := p t (θ) ÐÓ p t (θ)dθ. Ì Ψ Ñ Ø Ó ÔÐ Ø Ò ÜØ ØÖ Ð Ø ÔÓ ÒØ x Ñ Ò ¹ Ñ Þ Ò Ø ÜÔ Ø ÒØÖÓÔÝ Ó Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÑÓ Ð ¹ ØÖ ÙØ ÓÒ Ú Ò Ø Ö ÙÐØ R x Ó Ø Ò ÜØ ØÖ Ð Û Ö H t (Θ R x ) := r x p t (r x )H t (Θ r x ), µ H t (Θ r x ) = p t (θ r x ) ÐÓ p t (θ r x )dθ. µ Ì ÓÖ Ò Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ψ Ñ Ø Ó Ú ÐÙ Ø Ø ÒØ Ö Ð H t (Θ r x ) Ò p t (r x ) Ù Ò Ø ÙÐ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Algorithm (The original Ψ algorithm, Kontsevich and Tyler, 999) ÈÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ½ ÈÖ ÓÑÔÙØ p(r x θ) ÓÖ ÐÐ Ö Ø Þ Ú ÐÙ Ó x θ Ò r x {, } Ò Ò Ø Ð Þ p (θ) ØÓ Ø ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ ØÖ Ð t =,,..., T µ ½ ÓÑÔÙØ p t (r x ) = θ p t (θ)p(r x θ) ÓÖ ÐÐ x Ò r x {, } Ò ÓÑÔÙØ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÔÖÓ Ð ØÝ p t (θ r x ) = p t(θ)p(r x θ) p t (r x ) ÓÖ ÐÐ θ x Ò r x {, } ¾ ÓÖ ÐÐ x Ò r x ÓÑÔÙØ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÒØÖÓÔÝ. The Ψ method H t (Θ r x ) = θ p t (θ r x ) ÐÓ p t (θ r x ). Ì ÉÍ ËÌ Ñ Ø Ó Ù ËÌ ÓÖ ÅÍ ËÌ Û Ø ÜÔÐ Ø ÔÐ Ñ ÒØ ÖÙÐ Ó ÒÓØ ÐÝ Ò Ö Ð Þ ØÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÑÙÐÙ Ñ Ò ÓÒ ÀÓÛ Ú Ö Ø ÑÔÐ Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÒØÖÓÔÝ Ö Ø Ö ÓÒ Ó Ø Ψ Ñ Ø Ó Ó ÃÓÒØ ¹ Ú Ò ÌÝÐ Ö ½ µ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ¹ ÒÚ Ö ÒØ Ò Ò Ö Ð Þ Ö ØÐÝ ØÓ ÒÝ ÒÙÑ Ö Ó Ø ÑÙÐÙ Ñ Ò¹ ÓÒ Ì Ö ÓÖ Ø Ψ Ñ Ø Ó Ò ØÙÖ Ð Ò Ø ÓÖ Ù Û Ø ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö Ý Ö Ú Û ÓØ Ø ØÖ Ø Ψ Ñ Ø Ó Ò Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ú Ò Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÖØ Ð ÓÖ ÐÐ x ÓÑÔÙØ Ø ÜÔ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÒØÖÓÔÝ H t (Θ R x ) = p t (r x )H t (Θ r x ). r x {,} ÊÙÒ ØÖ Ð Ø Ò ÒØ Ò ØÝ x t+ Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ H t (Θ R x ) ÛÖØ x Í Ø ØÖ Ð Ö ÙÐØ r t+ x t+ ØÓ ÙÔ Ø Ø ÔÖ ÓÖ ¹ ØÖ ÙØ ÓÒ p t+ (θ) = p t (θ r t+ x t+ ) ÓÖ ÐÐ θ

4 ÓØ Ø Ô ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ O(n x n θ ) Û Ö n x Ø ÒÙÑ Ö Ó ¹ Ö Ø Þ ÒØ Ò Ø Ò n θ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö Ø Þ ÑÓ Ð Ì Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÒØÖÓÔÝ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÐÐ ÔÓ Ð x Ø ØÖ Ð Ñ Ø ÓÖ Ò Ð Ψ Ñ Ø Ó ÓÒ Ö ÐÝ ÐÓÛ Ö Ø Ò ÉÍ ËÌ Ò Ñ Ð Ö Ñ Ø Ó Û ÓÒÐÝ Ò Ø ÙÖÖ ÒØ Ø Ñ Ø ÓÖ Ø Ö ÜÔÐ Ø ÔÐ Ñ ÒØ ÖÙÐ ÀÓÛ Ú Ö Ø ÜÔÐ Ø ÖÙÐ Ö ØÝÔ ¹ ÐÐÝ ÓÒ ÝÑÔØÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò Ó ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ý Ð ÓÓ ÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÖÐ Ö ØÖ Ð ÙÖ¹ Ø ÖÑÓÖ Ø ÖÙÐ Ò ØÓ Ö Ú Ô Ö Ø ÐÝ ÓÖ ¹ Ö ÒØ ÑÓ Ð Û Ð Ò Ø Ψ Ñ Ø Ó Ø Ñ ÒØÖÓÔÝ Ö Ø Ö ÓÒ Ò ÔÔÐ ØÓ ÒÝ ÑÓ Ð Û Ø ÒÝ ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ò ÓÒ Faster algorithms Ì Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø ÓÖ Ò Ð Ψ Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ O(n p+ ) ÓÖ p Ú Ö Ô Ö Ñ¹ Ø Ö Û Ø ÑÔÐ Ò Ö Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ n ÓÖ Ü γ Ò δ Ø Ý Ð O(n ) Ð Ò Ì Ö Ø Ò Ö Ð¹ Þ Ø ÓÒ ØÓ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ ÛÓÙÐ Ú Ø Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü ØÝ O(n p+ ) Ý Ð Ò O(n 6 ) Ð Ò ÓÖ Ø Ô ¹ ÑÓ Ð Û Û ÐÐ ÔÖÓÔÓ Ì ØÓÓ ÐÓÛ ÓÖ ÔÖ Ø Ð Ù Ò Ò ÓÒÐ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ Ð Ø Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ò Ð Ò ØÛÓ «Ö ÒØ ÔÔÖÓ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø Ñ ØÖ Ð ÔÐ Ñ ÒØ ÑÓÖ Æ ÒØÐÝ ½ Ì Ù Ó Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖÑ Û Ý Ð Ø Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü ØÝ O(n p ÐÓ n) ÓÖ ÓØ ÓÒ Ò ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ Ì ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ O(n ÐÓ n) Ò O(n ÐÓ n) Ð Ò ÓÖ Ø Ô ½ Ò ¾ ¹ Ø ÑÙÐÙ ÑÓ Ð Ö Ô Ø Ú ÐÝ ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ Ô ÖØ Ð ÐØ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Û Ó Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü ØÝ O(C p Nt) Û Ö t Ø ØÖ Ð ÒÙÑ Ö N Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Þ Ø Ú Ö Ð ÓÒ¹ ØÖÓÐÐ Ò Ø ÙÖ Ýµ Ò C p Ô Ò ÓÒ Ø ÑÓ Ð. Reformulation ÁÒ Ø Ù Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ò¹ ØÖÓÔÝ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ò Ð Ψ Ñ Ø Ó Ï Ð Ø Ö Ø Ò Ø Ó Ø Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ö Ñ ÐÐ Ø Û ÐÐ Ò¹ Ð Ø Ù Ó Ø Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÖ Ø Óѹ ÑÓÒ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Û ÐÐ Ò Æ ÒØ ÅÓÒØ ÖÐÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ó ¹ Ø Ú ÙÒØ ÓÒ ØÓ Ù Ò Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ð Ø Ö Ò Ø Ø ÓÒ ÁÒ Ø Ó Ñ Ò Ñ Þ Ò Ø ÜÔ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÒØÖÓÔÝ Ö ØÐÝ Û Û ÐÐ Ù Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ñ Ü Ñ Þ¹ Ò Ø ÜÔ Ø Ò Ó ÒØÖÓÔÝ H(Θ) H(Θ R x ) Ä Ò Ð Ý ½ Å Ã Ý ½ ¾µ Ð Ó ÒÓÛÒ Ø ÑÙ¹ ØÙ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ I(Θ; R x ) ØÛ Ò Θ Ò R x ÓÚ Ö Ò Ì ÓÑ ½ ½µ Ì ÑÙØÙ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÝÑÑ ØÖ I(A; B) = I(B; A) Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ¹ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ä Ò Ð Ý ½ µ Ú Ò Ø ÓÙ Ø ÒØÖÓÔÝ Ø Ð ÒÓØ ¾ Í Ò Ø ÝÑÑ ØÖÝ Ø ÜÔÖ ÓÒ ØÓ Ñ Ü Ñ Þ Ò Ö ÛÖ ØØ Ò H t (Θ) H t (Θ R x ) =: I t (Θ; R x ) = I t (R x ; Θ) Û Ö ( H t (R x ) = h(p t (R x = )) = h = H t (R x ) H t (R x Θ) = H t (R x ) p t (θ)h(r x θ)dθ, H(R x θ) = h(p(r x = θ)) = h(ψ θ (x)), ) p t (θ)ψ θ (x)dθ, Ò h(p) = p ÐÓ p ( p) ÐÓ ( p) Ø ÒØÖÓÔÝ Ó Ò ÖÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø ÔÖÓ Ð Ø p Ò p Ì Ò Û ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÜÔÐ ØÐÝ Ù Ø ÔÓ ¹ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ p t (θ r x ) ÙØ Ò Ø ÜÔÖ Ø Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ø ÔÖ ÓÖ ØÖ ¹ ÙØ ÓÒ p t (θ) ÁØ ÐÐÓÛ Ò Æ ÒØ ÅÓÒØ ÖÐÓ ÔÔÖÓÜ ¹ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Õ µ Ò Ë Ø ÓÒ µ Ò ÔÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó ÒØÖÓÔÝ ÜÔÖ ÓÒ Ò Ø ¹ Ö Ø Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Algorithm (Reformulated Ψ algorithm) ÒÓØ Ö ÔÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ô ¾ ÈÖ ÓÑÔÙØ H(R x θ) = h(ψ θ (x)) ÓÖ ÐÐ x Ò θ Ê ÔÐ Ø Ô ¾ ØÓ ÓÐÐÓÛ ¾ ÓÑÔÙØ H t (R x Θ) = θ p t(θ)h(r x θ) ÓÖ ÐÐ x ÓÑÔÙØ H t (R x ) = h(p t (R x = )) Ò Ú ÐÙ¹ Ø Ø ÑÙØÙ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ I t (Θ; R x ) = H t (R x ) H t (R x Θ) ÓÖ ÐÐ x ÊÙÒ ØÖ Ð Ø Ò ÒØ Ò ØÝ x t+ Ø Ø Ñ Ü Ñ Þ Ø ÜÔ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò I t (Θ; R x ) ÛÖØ x Ô ÖØ ÖÓÑ ÖÓÙÒ ¹Ó«ÖÖÓÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ý Ð Ø Ü Ø Ñ Ö ÙÐØ Ø ÓÖ Ò Ð Ψ Ð ÓÖ Ø Ñ Ï Ð Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ó ÒÓØ ÑÔÖÓÚ Ø ÝÑÔØÓØ ÓÑÔÙ¹ Ø Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø Ö ÑÓÚ ÐÐ ÐÓ Ö Ø Ñ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ¾ Ì Ö ÓÖ Ø ÔÐ Ñ ÒØ Ö Ø Ö ÓÒ Ó Ø Ψ Ñ Ø Ó ÒÓØ ÓÒÐÝ Ò Ò Ø Ú ØÓ Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ö Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ý ÃÓÒØ Ú Ò ÌÝÐ Ö ½ µ ÙØ Ø ØÙ ÐÐÝ ÙÐÐÝ ÒÚ Ö ÒØ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ ÐÓÒ Ø Ö Ø Ñ ÔÖ ÓÖ ØÖ ¹ ÙØ ÓÒ Ó Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ

5 ÖÓÑ Ø ÒÒ ÖÑÓ Ø ÐÓÓÔ Ý Ð Ò Ø Ö ÔÖ Ø Ð Ñ¹ ÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÖØ ÖÑÓÖ Ø Ò Ð Ø ÓÒ Ð ÓÔØ ¹ Ñ Þ Ø ÓÒ Û Ò Ø Ô Ó Ø Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ. Using FFT convolutions ÁÒ Ø Ù Ø ÓÒ Û ÓÛ ÓÛ Ø ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ¹ Ò Ò ÐÓ Ô µ Ó Ø Ô Ó Ø ÓÑÑÓÒ Ô Ý¹ ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ò Ù ØÓ ÓÖÑÙÐ Ø ÑÙ Ø Ö Ψ Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø Ö Ù ØÓÖ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ï Û ÐÐ Ù Ø Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖÑ Ìµ ÓÓÐ Ý Ò ÌÙ Ý ½ µ ØÓ Æ ÒØÐÝ ÓÑÔÙØ Ø ÒÒ ÖÑÓ Ø ÙÑ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ËÙÔÔÓ x Ø ÐÓ ¹ ÒØ Ò ØÝ Ò θ = (α, β) Û Ö α Ø ÐÓ ¹Ø Ö ÓÐ Ò β Ø ÐÓÔ ÔÐÙ ÒÝ ¹ Ø ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö µ Ì Ò Ø Ö ÙÐ Ö ØÝ ÙÑÔØ ÓÒ Ò Ø Ø ÓÐÐÓÛ Assumption Ì Ô Ó Ø Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒ¹ Ø ÓÒ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ψ α,β (x) = Ψ,β (x α). ÙÑ Ò Ø Ø Ø ÑÔÐ Ò Ö Ø Ó α Ò x Ö ÕÙ Ð Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÐ ÓÖ Ø Ò Ó Ø Ö Ø Þ Ô ¹ Ö Ñ Ø Ö ØÓÓ Ì Ò Ø ÙÑ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ¹ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÐÐÓÛ Algorithm (FFT Ψ algorithm) Ê ÔÐ Ø ÔÖ ¹ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ô Û Ø ½ ÁÒ Ø Ð Þ p (α, β) ØÓ Ø ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ò ÔÖ ÓÑÔÙØ Ψ,β (x) ÓÖ ÐÐ x β À Ö x ÓÙÐ Ö Ò ÓÚ Ö n x +n α Ö Ø Þ Ú ÐÙ ØÓ ÓÚ Ö Ø ÙÐÐ Ö Ò Ó x α Ý ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ø x Ñ Ò ÓÒ Ó Ø ÖÖ Ý ÓÙÐ ØÓÖ Ò Ø ÓÖ Ö x α,...,x nx α, x α nα,..., x α Û Ö x,..., x nx Ò α,...,α nα Ö Ø Ñ¹ ÔÐ Ú ÐÙ Ó Ø x Ò α Ú Ö Ð Ö Ô Ø Ú ÐÝ ¾ ÈÖ ÓÑÔÙØ F[Ψ,β ( )] Ò F[h(Ψ,β ( ))] ÓÖ ÐÐ β Û Ö F ÒÓØ Ø Ö Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø Ò Ø ÖÖ Ý Ð Ê ÔÐ Ø Ô ½ ¾ Ò ÓÐÐÓÛ ½ ÓÑÔÙØ F[p t (, β)] ÓÖ ÐÐ β Û Ö p t (, β) Ò ¹ Ø Ð Ó Ø ÔÖ ÓÖ ÖÖ Ý Þ ÖÓ¹Ô ÖÓÑ Ø Ò ØÓ n α +n x Ð Ò Ø ÖÓ¹Ô Ò Ò ¹ ÖÝ ØÓ Ó Ø Ò ÒÓÒ¹ ÖÙÐ Ö ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ù Ù¹ ÐÐÝ Ì Ö ÙÐØ Ò ÖÙÐ Ö ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒµ ¾ Ú ÐÙ Ø p t (R x = ) = α,β p t (α, β)ψ α,β (x) Ò = β p t (α, β)ψ,β (x α) α = F F[p t (, β)]f[ψ,β ( )] (x) β H t (R x Θ) = α,β p t (α, β)h(r x α, β) = α,β p t (α, β)h(ψ,β (x α)) = F F[p t (, β)]f[h(ψ,β ( ))] (x) β ÓÖ ÐÐ x Ì Ö ÙÐØ Ó Ø ÒÚ Ö Ì Ú n x + n α Ú ÐÙ Ì Ö n x Ú ÐÙ Ö Ø Ø ÒÒ Ò Ó Ø Ö ÙÐØ ÖÖ Ý Ù Ó Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ó Ò Ò ÔÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ô ½ Í Ø ØÖ Ð Ö ÙÐØ r t+ x t+ ØÓ ÙÔ Ø Ø ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ p t+ (α, β) = p t (α, β r t+ x t+ ) = p t (α, β)p(r t+ x t+ α, β)/p t (r x+ ) ÓÖ ÐÐ α, β Û Ö p(r t+ x t+ α, β) = p t (r x+ ) Ψ,β (x t+ α) p t (R xt+ = ), rt+ x t+ =, Ψ,β (x t+ α) p t (R xt+ = ), rt+ x t+ =. Ô ÖØ ÖÓÑ ÖÓÙÒ ¹Ó«ÖÖÓÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓÓ Ý Ð Ø Ü Ø Ñ Ö ÙÐØ Ø ÓÖ Ò Ð Ψ Ð ÓÖ Ø Ñ ÀÓÛ¹ Ú Ö Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ù Ø Ô ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø ÓÖ Ò Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÓÑ O(n x n α n β ) ØÓ O((n x + n α )n β ) Ò Ø Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÖÓÑ O(n x n α n β ) ØÓ O((n x + n α )n β ÐÓ (n x + n α )) ÈÖÓÚ Ø Ø O(n x ) = O(n α ) Ø Ò ÛÖ ØØ Ò O(n θ ) Ò O(n θ ÐÓ (n x )) Ö ¹ Ô Ø Ú ÐÝ Ì Ø Ø ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÐÐ x ÒÓÛ ÐÑÓ Ø Ö ÐÓ Ö Ø Ñ Ð Ò µ. Monte Carlo particle filter algorithm ÁÒ Ø Ù Ø ÓÒ Û ÓÖÑÙÐ Ø «Ö ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ ¹ Ø ÓÒ Ó Ø Ψ ÔÖÓ ÙÖ Û Ø «Ö ÒØ ØÖ ¹Ó«ÓÒ Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ñ Ø Ó ÓÙ Ø Ø Ð ¾¼¼½µ ÓÖ Ø ¹ Ñ Ø Ò Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ ØÖ ÙØ ÓÒ ÁÒ Ø Ó Ö Ø Þ¹ Ò Ø ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ð Ö Ø Ð Û Û ÐÐ Ù ÅÓÒØ ÖÐÓ ÑÔÐ Ó ÓÒ Ø ÒØ Þ ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø ØÖ Ð Ì Ù Ø Ö Û ÐÐ Ö Ò ÓÑ ÖÖÓÖ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ý Ð ¹ Ò Ð ØÐÝ «Ö ÒØ ØÖ Ð ÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ «Ö ÒØ ÖÙÒ ÓÖ

6 Ø Ñ Ø Ì Ò ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ù ÖÐ Ö Û Ó Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ Ò Ø Ö ÓÖ Ø ØÖ Ð ÔÐ Ñ ÒØ Ö ÐÛ Ý Ø Ñ ÓÖ Ø Ñ Ø ÀÓÛ Ú Ö Û Ó ÒÓØ Ð Ú Ø Ö Ò ÓÑÒ ØÓ Ó ÑÙ ÓÒ ÕÙ Ò Ø ÖÖÓÖ Ò Ñ Ö ØÖ Ö ÐÝ Ñ ÐÐ ÁØ ÓÙÐ Ú Ò Ö Ù Ø Ø ÓÑ Ö Ò ÓÑÒ Ñ Ø Ù ÙÐ Ò ÔÖ Ú ÒØ Ò Ø Ù Ø ÖÓÑ Ñ Ò Ù ÙÐ ÔÖ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø ÔÐ Ñ ÒØ Ó Ø Ò ÜØ ØÖ Ð ÃÓÒØ Ú Ò ÌÝÐ Ö ½ µ Ì ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ö t ØÖ Ð p t (θ) = p (θ r x, r x,...,r t x t ) p (θ) t p(r i x i θ). i= µ Å Ö ÓÚ Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ Å Å µ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ò À ÓÒ Ò Å Ò Ö Ò ½ µ Ò Ù ØÓ Ó Ø Ò ÑÔÐ {θ t j } Ó N ÙÑ Ðݵ Ö Û ÖÓÑ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ì ÑÔÐ Ò Ù ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ÒÝ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ì ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Þ N ÓÒØÖÓÐ Ø Ù¹ Ö Ý Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Å Å Ð ÓÖ Ø Ñ Ó ÒÓØ Ò ÒÓÖÑ Ð Þ Ò ØÝ Ò Ò Ø Ö ÓÖ ÛÓÖ Û Ø Ø ÙÒÒÓÖÑ Ð Þ ÜÔÖ ÓÒ Ú Ò Ò Õ µ ÃÙ Ø Ð ¾¼¼ µ Ú ÔÔÐ Å Å ÓÖ ÓÑÔÙع Ò Ø Ò Ð Ø Ñ Ø Ó Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ø Ö ÓÐÐ Ø Ò Ø Ø ÓÖ ÕÙ ÒØ Ð Ø Ø Å Å Ð¹ ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÑ Ò Û Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÑÓÖ Æ ÒØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÔ Ò ¾¼¼¾µ ÁÒ ÓÙÖ ÓÒÐ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Å Å ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÑÔÐ ÓÑÔÙØ Ø ØÖ Ð ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø ÔÖ ÓÖ Ó Ø Ò ÜØ ØÖ Ð Ì ÔÐ Ñ ÒØ ÓÑÔÙØ Ý ÓÔØ Ñ Þ Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÜÔ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò I t (Θ; R x ) = H t (R x ) H t (R x Θ) ( ) = h p t (θ)ψ θ (x)dθ p t (θ)h(ψ θ (x))dθ h Ψ N θ t j (x) h(ψ N θ t j (x)). µ j Algorithm (Particle filter Ψ algorithm) ÈÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ½ Ç Ø Ò Ò ÑÔÐ {θ j } Ó Þ N ÖÓÑ Ø ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ p (θ) ÓÖ ØÖ Ð t =,,..., T µ ½ Í ÐÓ Ð ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ò Ò x t+ Ø Ø Ñ Ü Ñ Þ Ø ÅÓÒØ ÖÐÓ ÔÔÖÓÜ ¹ Ñ Ø ÓÒ Ó I t (Θ; R x ) ÛÖØ x Û ÐÐ ÔÓ Ð ¾ ÊÙÒ ØÖ Ð Ø ÒØ Ò ØÝ x t+ j ÌÖ Ò ÓÖÑ {θ t j } ØÓ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ p t+ (θ) Ù Ò ÑÔÓÖØ Ò Ö ÑÔÐ Ò ÑÙÐØ ÒÓÑ Ð ÑÔÐ Ò µ Û Ø Ø Û Ø w j = p t+(θ t j ) p t (θ t j ) p(r t+ x t+ θ t j), Ý Ð Ò {θ t+ j } Û Ö r t+ x t+ Ø ØÖ Ð Ö ÙÐØ ÚÓ Ò Ö Ý Ý ÖÙÒÒ Ò Ò Å Å Ð Ó¹ Ö Ø Ñ ØÓ ÙÔ Ø Ô ÖØ Ð θ t+ j ÓÒ Ø ÔÓ Ø ¹ Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ p t+ (θ) Ú Ò Ý Õ µ ÓÖ L Ø Ô Ö ÙÐØ Ò Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ðݵ ѹ ÔÐ Ì Ö ÑÔÐ Ò Ø Ô Ö Ø Ö Ø Ó Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÁØ Ñ Ø Å Å Ô Ó Ø Ô ÑÓÖ Æ ÒØ Ý Ð Ñ Ò Ø Ò ÑÓ Ø Ó Ø ÙÖÒ¹ Ò Ö ÕÙ Ö ØÓ Ö Ø Ø Ö Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Å Å Ò ÐÓ Ð ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ø Ô Ö ÕÙ Ö ÔÖÓ Ð Ñ¹ Ô ØÙÒ Ò Û Ö Ø Ð Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ø Ô ÙÒØ Ð Ë Ø ÓÒ Ì Ô ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ O(pN) Ò Ø Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ô Ö ØÖ Ð O(tpNL+pNM) Û Ö p Ø ÒÙÑ Ö Ó ÑÓ Ð Ñ Ò ÓÒ t Ø ØÖ Ð ÒÙÑ Ö Ò M Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ø Ô ÙÑ Ò Ø Ø L Ð Ö ÒÓÙ ØÓ Ö Ø Ø Ö Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ø ÖÖÓÖ Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ð / N ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Þ Ö Ö Ð Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ò ÓÒ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ñ «Ö ÒØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ø Ò Ø ÓÖ Ò Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÔÐ Ñ ÒØ Ò Ø ¹ Ñ Ø Ö Ð ØÐÝ «Ö ÒØ Ø Ò Ò Ø ÓÖ Ò Ð Ð Ó¹ Ö Ø Ñ ÀÓÛ Ú Ö Ø ÙÖ Ý Ô Ö Ñ Ø Ö Ó ÓØ Ð¹ ÓÖ Ø Ñ ÒÖ Ø Ö Ö ÙÐØ Ó ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ñ Ü Ø Ö ÙÐØ Ì ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ú ÒØ Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÚ Ö Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ØØ Ö Ð Ò Û Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ò ÓÒ Ò ÑÓÖ Ñ Ò ÓÒ Û ÐÐ ØÝÔ¹ ÐÐÝ ÓÒÐÝ Ú Ñ ÐÐ «Ø ÓÒ Ø Ü ÙØ ÓÒ Ø Ñ Ò ØÓÖ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Û Ð Ò Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ð¹ ÓÖ Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ñ Ò ØÓÖ ÖÓÛ ÜÔÓ¹ Ò ÒØ ÐÐÝ Û Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ò ÓÒ ÀÓÛ Ú Ö Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÛÓÖ Û Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÑÔÐ Ø ØÖ Ð Ò Ø ÔÖ ÓÖ ÑÔÐ ÒÓØ ÙÆ ÒØ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÑÔРܹ ÔÐ Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ò ØÝ µ Ö Ò Ø Ò ÑÓÖ Ø Ñ ÑÓÖ ØÖ Ð Ö ÓÑÔÐ Ø ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ú ÔÖ ÒØ ØÛÓ Ψ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ò Ø ÓÖ Ò Ð Ψ Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø ÑÙÐÙ Ñ Ò ÓÒ ÁÒ Ø Ò ÜØ Ø ÓÒ Û Û ÐÐ ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð ÓÖ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ Ì Ò Û Û ÐÐ ÓÒ Ö Ø ÔÖ Ø Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ø ÑÓ Ð

7 A model for two-dimensional stimuli ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÔÖÓÔÓ Ô Ý ÓÑ ØÖ ÑÓ Ð ÓÖ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ Ù ÓÐÓÖ «Ö Ò Ï ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ó ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ñ Ò¹ Ø ÓÒ Ý ÌÖ ÙØÛ Ò ½ µ Û Ö Ø ÓÖ Ò Ó Ø Ø Ñ¹ ÙÐÙ Ô ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ñ Ò ÑÙÑ Ø ÑÙÐÙ Ò Ø Ø Ö ÓÐ ÐÓ ÓÒØÓÙÖ ÖÓÙÒ Ø ÇÙÖ Ó Ð ØÓ ¹ Ò Ø ÑÔÐ Ø ÑÓ Ð Ø Ø ÔØÙÖ Ø Ó ÖÚ Õ٠й Ø Ø Ú ØÙÖ Ó Ù Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ ÑÓ Ð Ø Ø Ò ØØ Û Ø Ø Ð Ø ÑÓÙÒØ Ó Ø α φ b φ a θ. A two-dimensional psychometric function ÁØ ÑÔÐ Ø ØÓ Ö Ø ÓÒ Ö ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐÙ Ò ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ø Ø ÑÙÐÙ Ò Ò Ð Ò Ò Ò¹ Ø Ò ØÝ ÓÖ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ø Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÙÑ Ø Ø Ø Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ ÓÚ Ö Ø ÒØ Ò ØÝ Ñ Ò ÓÒ ÓÐÐÓÛ Ø Ù Ù Ð ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐÙ ÑÓ Ð ÓÛÒ Ò ½ Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÓ Ð Û Ù Ø Ø Ï ÙÐÐ ÙÒØ ÓÒ Û Ø ÐÓ ¹Ô Ö Ñ Ø Ö ( ) Ψ α,β,γ,δ (x) = δ ( γ δ)exp β (x α). ÁØ Ö Ñ Ò ØÓ ÓÛ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö α β γ Ò δ Ó Ø ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÓ Ð Ò Û Ø Ø Ò Ð ÁØ ÓÙÐ ØÓ ÙÑ Ø Ø Ø Ù Ò Ò Ð Ô Ò Ö Ø γ Ò δ Ó ÒÓØ Ò Û Ø Ø Ò¹ Ð ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û ÙÖØ Ö ÙÑ Ø Ø Ø ÐÓÔ β Ó ÒÓØ Ò Û Ø Ø Ò Ð Ì Ö ÓÑ Ñ¹ Ô Ö Ð ÙÔÔÓÖØ ÓÖ Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ò Ñ ÒÝ ØÙ Ø Ô Ó ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ò ÐÓ ¹ÓÓÖ Ò Ø Ò ÓÙÒ ØÓ ÓÒ Ø ÒØ Ò ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ Ï Ø ÓÒ Ò È ÐÐ ½ ÙÑÔØ ÓÒ ½µ ÀÓÛ Ú Ö Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÐÐÓÛ Ø ÐÓ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö β ØÓ Ú ÖÝ Ù Ü Ò Ø ØÓ ÛÖÓÒ Ú ÐÙ ÓÙÐ Ö ¹ Ù Æ ÒÝ Ý Ø Ñ Ø ÐÐÝ Ø Ö ÙÐØ ÓÖ Ý Ð ØÓÓ Ñ ÐÐ ÖÖÓÖ Ø Ñ Ø ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ú ÓÙÒ Ø Ø Ø ÑÓ Ð ÕÙ ÐÝ ÓÒÚ Ö Û Ø Ö Ò ÓÑ Ò Û Ö Ø ÐÓÔ Ü Ì ØÖÙ ÓÖ Ø ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐÙ ÑÓ Ð Û ÐÐ ÙØ Ø «Ø Ú Ò ØÖÓÒ Ö ÓÖ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ ÌÓ Ù Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ò Ó Ø Ø Ö ÓÐ α ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ò Ð Û Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÑÔØ ÓÒ Assumption Ì Ø Ó ÐÐ ÓÒ Ú Ð Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó ÖØ Òµ Ø ÑÙÐÙ Ó¹ ÓÖ Ò Ø ÙÖ ¾ ÑÓ Ð ÓÖ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ Ò Ð¹ Ð Ô (a, b, θ) Ú Ø Ø Ö ÓÐ α φ ÓÖ Ø ½ ¹ÑÓ Ð Ø Ò Ð φ Ì ÑÓ Ð ÔÔÖÓÔÖ Ø ÓÖ Ñ ÒÝ ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ Ù ÓÐÓÖ «Ö Ò ÁØ Ò Ö ÐÝ Ò Ö Ð Þ ØÓ ÑÓÖ Ñ Ò ÓÒ Ý Ù Ò ÐÐ Ô Ó Ì Ö Ö Ó Ø Ò Ñ ÒÝ «Ö ÒØ Ù Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ¹ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÑÙÐÙ ÓÐÓÖ «Ö Ò Ò Á Ä ÓÓÖ Ò Ø ÓÖ Ò ÓÑ ÓÒ Ô ÓÓÖ Ò Ø ¹ Û Ø Ð ½ µ ÀÓÛ Ú Ö ÑÓ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ö Ù Ù ÐÐÝ Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó ÓØ Ö Ø Ð Ø ÓÒ Ø Ð Ó Ø Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÓÐ ÍÒ Ö Ø ÙÑÔ¹ Ø ÓÒ ÒÝ Ö ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ò Ù Û Ø Ø Ñ ÑÓ Ð Ï Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø Ø Ö ÓÐ ÓÒØÓÙÖ Ò ÓÖ Ò¹ ÒØ Ö ÐÐ Ô ¾ Ì ÑÓ Ð ÑÓØ Ú Ø Ý Å Ñ ½ ¾µ ÓÐÓÖ Ñ Ø Ò ÐÐ Ô Ò Ø Ò ÓØ Ö Ñ Ð Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÒÓØ Ð ¹ Ö Ò ÖÓÑ Ø Ö Ø ÓÐÓÖ ÓÖ Ø Ú Ö Ò Ó ÓÐÓÖ Ñ Ø Ò ÓÙÒ ØÓ ÐÓ ÐÝ ÓÐÐÓÛ Ø Ô Ó Ò ÐÐ Ô ÓÖ Ò ÐÐ Ô Ó µ ÒØ Ö ÓÒ Ø Ø Ö Ø ÓÐÓÖ ÏÝ Þ Ò ËØ Ð ¾¼¼¼µ Ë Ñ Ð Ö Ö ÙÐØ Ú Ð Ó Ò Ó ÖÚ Ò Ø Ñ Ø Ò Ó Ð Ò Ñ ÒØ Ú ÖÝ Ò Ò Ð Ò Ø Ò ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ó¹Ê ¾¼¼½µ Û Ù Ø Ø Ø Ø ÐÐ Ô Ø Ö ÓÐ ÑÓ Ð Û ÐÝ ÔÔÐ ¹ Ð Ð Ó Ø Ø Ó ÐÐ Ô ÒØ Ö ÓÒ Ø ÓÖ Ò Ø Ñ Ò Ñ Ð Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ø ÓÒØ Ò¹ Ò Ø ÙÒ Ø ÖÐ ÁØ ÒÓØ ÙØÓÑ Ø ÐÐÝ ØÖÙ Ø Ø Ø Ø Ö ÓÐ ÓÒ¹ ØÓÙÖ ÓÙÐ ÒØ Ö ÓÒ Ø ÓÖ Ò Ú Ò Ø ØÖÙ Ø Ö ÓÐ Ô Û Ö Ü ØÐÝ ÐÐ Ô ÓÖ Ü ÑÔÐ ÔÖÓ¹ Ø Ú ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÔÖ ÖÚ ÐÐ Ô ÙØ Ø Ý Ó ÒÓØ ÔÖ ÖÚ Ø ÝÑÑ ØÖÝ ÓÙØ Ø ÒØ Ö Ó Ø ÔÖ Ñ ÐÐ Ô ÀÓÛ Ú Ö Û Ò Ò ÓÖ Ø ÝÑÑ ØÖÝ Ý Ò Ò

8 Ö Ñ Ò Ø ÓÒ Ø Ó Ø Ø Ò Ø Ó ÓÑÔ Ö Ò Ø ÓÖ ¹ Ò ØÓ ÒÓØ Ö ÔÓ ÒØ z Û Ù ØÛÓ ÝÑÑ ØÖ ÔÓ ÒØ z Ò z Ø Ø ÑÙÐÙ Ì Ò ÐÓ ÓÙ ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø¹ Ò Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø Ú (f(z +ǫz) f(z ǫz))/(ǫ) Ò Ø Ó (f(z + ǫz) f(z ))/ǫ Ì Ù Û Ú ÑÓÖ ÙÖ Ø Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ò Ø Ò Ð Ñ Ò ÓÒ Ò¹ Ø ÐÐÝ ÐÚ ÔÖÓÚ Ò Ú Ò Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÀÓÛ¹ Ú Ö Ø Ò Ñ ÙÖ Ð ØÐÝ «Ö ÒØ Ø Ò Ø Ò Ø ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ö ÕÙ Ö Ø ÑÙÐ Û Ø Ýѹ Ñ ØÖ Ø Ö Ø (z, z) ÓÙÐ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ( z, z) ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ú Ò ÑÔÐ ÑÓ Ð ÓÖ Ö Ñ Ò Ø ÓÒ Ø Ó ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ Ì Ö Ö ÓØ Ö ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ü ÑÓ Ð ÓÖ Ù Ø ¹ Û Ø Ð ½ µ Û ÓÙÐ Ð Ó Ù Ø Ö Ö ÒÓÙ Ø ØÓ Ø ÐÐ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ù Ø Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ö Ô ÙÑÔØ ÓÒ. Prior distribution Ì Ô Ö Ñ Ø Ö β γ Ò δ Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö ÒÝ Ô Ð ØÖ ØÑ ÒØ Ò Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐÙ ÑÓ Ð Ï Ù ÐÓ Ð Ò ÙÒ ÓÖÑ ÔÖ ÓÖ ÓÖ β Ò ÓØ γ Ò δ Ö Ü Ò ÃÓÒØ Ú Ò ÌÝÐ Ö ½ µ ÓÖ Ø Ø Ö ÓÐ ÐÐ Ô Ø ÛÓÙÐ Ö Ð ØÓ Ú Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÔÖ ÓÖ Ó Ø Ø Û Ó ÒÓØ Ø Ö ÙÐØ Û Ø Ø Ó Ó ÓÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø À ÐÐ Ò ¾¼¼ µ ÀÓÛ Ú Ö Ô Ö ØÐÝ ÒÚ Ö ÒØ ÔÖ ÓÖ ÒÓØ ÔÓ Ð Theorem ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÐÐ Ô p(s, c, θ) Ð Ò¹ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ò ÓÒÐÝ p(s, c, θ) ÜÔ(qs) Ò c ÓÖ ÓÑ q R Û Ö s Ø ÐÓ e ¹ Þ Ò c Ø ÐÓ e ¹ Ô Ø Ö Ø Ó Ò θ Ø Ò Ð Ó Ø ÐÐ Ô ÈÖÓÓ Ë ÔÔ Ò Ü Ì Ù Ø ÓÒÐÝ ÒÚ Ö ÒØ ØÖ ÙØ ÓÒ Ö ÑÔÖÓÔ Ö ØÖ ÙØ ÓÒ Ø ÒØ Ö Ð Ó Ø Ò ØÝ Ú Ö µ ÍÒ¹ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ ÑÔÖÓÔ Ö ÔÖ ÓÖ ÐÑ Ò ÖÐ Ò ËØ ÖÒ Ò ÊÙ Ò ½ µ Û ÐÐ ÒÓØ ÛÓÖ Ò Ø ÑÓ Ð Ö Ö Ð Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ð Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ Û ÐÐ Ö Ñ Ò ÑÔÖÓÔ Ö Ù Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ø Ø t i= p(ri x i θ) Ñ Ò{γ, δ} t ÓÙÒ ÖÓÑ ÐÓÛ Ý ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ Ì Ò ÜØ Ø Ø Ò ØÓ Ú Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ Ò¹ Ú Ö ÒØ ÔÖ ÓÖ ÓÙÒ Ò Ø Ö Ò Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø ÑÔÖÓÔ Ö ÒÚ Ö ÒØ ÔÖ ÓÖ Ö ÙÐØ Ò ÔÖÓÔ Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÒÚ Ö ÒØ ØÖ ÙØ ÓÒ ÁÒ Ø ÖØ Ð Û Û ÐÐ ÑÔÐÝ Ù ÙÒ ÓÖÑ ÔÖ ÓÖ ÓÖ Ø ÐÓ ¹ Þ ÐÓ ¹ Ô Ø Ò Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø ÐÐ Ô Ì Ó ÒØ ÔÖ ÓÖ Ô Ö ØÐÝ ÖÓØ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ò Ð ÒÚ Ö ÒØ Û Ø Ò ÙÖ Ô ÖÖÓÖ Ñ ÙÖ Ø ÖÖÓÖ Ó Ò Ø ¹ Ñ Ø ÐÐ Ô Ñ ÙÖ Ø Ö Û Ö Ø ØÖÙ Ò Ø Ñ Ø ÐÐ Ô Ó ÒÓØ ÓÚ ÖÐ Ô Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ö Ó Ø ØÖÙ ÐÐ Ô Ì ÖÖÓÖ Ñ ÙÖ Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ¹ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ø ÓÙÒ Ó Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö ÀÓÛ Ú Ö Ø ÐÓ ¹ Ô Ø Ö Ø Ó ÒÓØ ØÓÛ Ö ÒØÖ ØÝ Ò Ø ÑÔÖÓÔ Ö ÒÚ Ö ÒØ ØÖ ÙØ ÓÒ Ì ÓÓÖ Ò Ø ¹ ÙÑ ØÓ Ö ÓÒ Ð Ó Ø Ø ÐÓÛ ÒØÖ ØÝ Ò ÜÔ Ø Ï Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ò ÓÖ Ø ÙÒ ÓÖÑ ÔÖ ÓÖ ÐÓ ¹ Þ [.,.] ÐÓ ¹ Ô Ø [,.] Ò ÐÓ ¹ ÐÓÔ [.,.9] Ï Ó ÒÓØ Ù ÙÒ Ø Ù Ø Ö Ö ØÛÓ «Ö Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÓ Ò ÐÓ µ ÁÒ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ù Ò Ø ÖØ Ð Ø Ù Ò Ò Ð Ô Ò Ö Ø γ Ò δ Ö Ü Ø.. Parameter estimation ÁÒ Ø Ù Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö ÓÛ ØÓ ÓÑÔÙØ Ô Ö Ñ¹ Ø Ö Ø Ñ Ø ÖÓÑ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÁØ ÛÓÙÐ Ø ØÓ Ù Ø Ù Ø Û ÓÐ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ Ò Ö Ò ÙØ Ò Ð Ø Ñ Ø Ó Ø Ò Ö ÕÙ Ö Ë Ò Ø ÖÖÓÖ Ó Ò ÐÐ Ô Ø Ñ Ø ÆÙÐØ ØÓ ¹ ÖÓÑ Ø Ô Ö Ø ÖÖÓÖ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ø ÓÒ ÐÐÝ Ù Ø ÒÓÒ¹ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò Ö ØÛ Ò Ø Ø Ñ Ø ÐÐ Ô Ò Ø ØÖÙ ÐÐ Ô Ò Ð Ñ ¹ ÙÖ Ó Ø Ô ÖÖÓÖ Ó Ø Ø Ñ Ø Ì Ö Ù ÐÝ Ø ÐÐ Ô Ø Ñ Ø ÛÓÙÐ Ó Ø Ò Ý Ñ Ò¹ Ñ Þ Ò Ø ÜÔ Ø Ô ÖÖÓÖ ÀÓÛ Ú Ö Ø ÛÓÙÐ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÜÔ Ò Ú ÃÓÒØ Ú Ò ÌÝÐ Ö ½ µ Ù Ñ Ò Ø Ñ Ø ÓÖ Ø ÐÓ ¹Ø Ö ÓÐ Ò ÐÓ ¹ ÐÓÔ Ô Ö Ñ Ø Ö ÀÓÛ Ú Ö Û Ø ÐÐ Ô Ø Ö ÓÐ Ñ Ò Ø Ñ Ø ÒÓØ ÙÒ ÕÙ ÐÝ Ò Ø Ô Ò ÓÒ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ ÙÖØ Ö¹ ÑÓÖ Ø Ñ Ò Ó Ò Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö ÒÓØ Û Ðй Ò ÖÓÛÒ ½ µ Ú Ö ÓÐÓÖ Ñ Ø Ò ÐÐ Ô Ó «Ö ÒØ Ù Ø Ý Ú Ö Ò Ø ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ

9 Ó Ø Ù Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÐÐ Ô ÏÝ Þ Ò ËØ Ð ¾¼¼¼ ¾ Ô ½ µ Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ ÓÙÐ Ù ÓÖ Ó Ø Ò Ò Ñ Ò Ø Ñ Ø ÖÓÑ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÀÓÛ Ú Ö ÖÓÛÒ ØÓ Ù ¹ Ø ÓÒ Ð Û Ø Ò ØÓ Ö Ù Ø «Ø Ó Ü ÔØ ÓÒ ÐÐÝ Ð Ö ÐÐ Ô Û Ù Ø Ø Ø Ø ÒÓØ Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ ÔÔÐÝ Ò Ø ÖÓÛÒ Ú Ö Ò ØÓ Ø ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð Û Ø ÓÙØ Ø Û Ø Ò Ö ÙÐØ Ò Ö Ð¹ Ø Ú ÐÝ Ð Ö ÙÔÛ Ö Ò Ø Ø Ñ Ø Ó Ø Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ï Ø Ø ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð Û Ù Ñ Ò Ø Ñ Ø ÓÖ Ø ÐÓ ¹ Þ ÐÓ ¹ Ô Ø Ò Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø Ø Ö ÓÐ ÐÐ Ô Ì Ñ Ò Ø Ñ Ø Ó Ø Ò Ð Θ Ò ^θ = I { ÐÓ ( Expected [ e iθ])} /, Û Ö i Ø Ñ Ò ÖÝ ÙÒ Ø Ò I ÒÓØ Ø Ñ ¹ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ì ÓÑ Û Ø Ó ÙØ Ú Õ٠й Ø Ø Ú ÐÝ ÓÖÖ ØÐÝ Ò Ø Ø Ø Ö ÒÓ ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ò Ø Ø Ñ Ø ÓÒÚ Ö ØÓ Ø ÓÖ Ò ÖÝ Ñ Ò Û Ò Ø Ú Ö Ò Ó ØÓ Þ ÖÓ Ì Ñ Ò Ø Ñ Ø Ý Ð ÐÓÛ Ö ÖÖÓÖ Ø Ò Ø ÙÒÛ Ø ÖÓÛÒ Ú Ö Ò ÓÖ ÐÐ Ô ¹ Ö Ñ Ø Ö Ü ÔØ ÓÖ Ø Ô Ø Ö Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖ ÐÓÛ Ô Ø Ö Ø Ó ÐÐ Ô Ì Ö ÓÒ ÑÓ Ø Ð ÐÝ ÛÒ Ó Ø ÐÓ ¹ Ô Ø Ö Ø Ó Ñ Ö Ò Ð Ò Ö Þ ÖÓ Û Ø Ñ Ò Ø Ñ Ø Applying the Ψ method to the D-stimulus model ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ ÙÖ ÓÖ Ø Ñ Ø Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø ¾ ¹ Ø ÑÙÐÙ ÑÓ Ð Ò Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ ÇÙÖ Ñ Ò Ó Ð ØÓ Ó ¹ Ø Ò ÓÓ ÓÚ ÖÚ Û Ó Ø Ø Ö ÓÐ ÓÒØÓÙÖ Û Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ð Ì Ó Ð ÑÔÓ Ð Û Ø Ø Ü Ø Ò ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ñ Ø Ó Ø Ò Ô Ò¹ ÒØ ÖÙÒ ÓÒ ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ò ÛÓÙÐ Û Ø Ø Ö Ø ØÖ Ð Ò ÐÓ Ø Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ñ Ò ØÙ Ó Ø Ø Ö ÓÐ ÀÓÛ Ú Ö Ø Ψ Ñ Ø Ó ÔÔÐ ØÓ Ø ÑÓ Ð Ð ØÓ Ù Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÖÓÑ ÐÐ ØÖ Ð Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ò Ø Ö Ý ÚÓ Ø Ö ÙÒ ÒØ ØÖ Ð ÙÖ ÓÛ ÑÙÐ Ø Ü ÑÔÐ ÖÙÒ Ó Ø Ψ Ñ Ø Ó ÔÔÐ ØÓ Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐÙ ÑÓ Ð Ì ØÖ Ð Ö ÔÓÒ Û Ö Ò Ö Ø Ù Ò Ø ÔÖÓ Ð¹ Ø Ú Ò Ý Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒ¹ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ÐÐ Ô Þ Ô Ø Ò Ð 6 Ò ÐÓÔ β = Ì ØÖ Ð ÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ø Û Ø ÓØ z Ò z Ù Ø ÝÑÑ Ø¹ Ö ÑÓ Ð ÒÒÓØ Ø Ò Ù ØÛ Ò Ø Ñ Ò Ó Ò ÝÑÑ ØÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ö Ò ÓÑÐÝ Ó Ò ÐÐÙ ØÖ Ø Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ñ Ö Ò Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÙÖ ÑÓ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ü ÑÔÐ ÖÙÒ ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Û ÐÐ Ö Ö ØÓ Ø ÔÖÓ ÙÖ Ø ¾ ¹Ψ Ñ Ø Ó Ï Ð Ø ¾ ¹Ψ ÔÖÓ ÙÖ Ó Ú ÕÙ ÓÚ ÖÚ Û Ò ÔÖ Ø Ò Ø ÓÖ Ø ÐÐÝ Ú Ð Ø Ö ÔÓ ¹ Ð ØÝ Ó ÓÑ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ù ØÓ Ø ÙÒÓÖØ Ó ÓÜ ÔÔÖÓ Ó ÔØ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÑÙÐÙ Ñ Ò ÓÒ ¹ ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ Ì Ö ÙÐØ Ö ÔÓÖØ Ò ÖÒ Ö ½ ¾µ Ò Ø Ø Ø Û Ò Ø ÑÙÐÙ Ú Ö Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ñ Ò ÓÒ ÑÙй Ø Ò ÓÙ ÐÝ ÓÐÙØ Ù Ñ ÒØ Ó Ø Ú ÐÙ Ó Óѹ ÔÓÒ ÒØ Ñ Ò ÓÒ ÓÑ Ð ÙÖ Ø Ì Ù Ø Ø Ø ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ Ñ Ý Ò Ö ÐÐÝ ÑÓÖ Ò Ø Ú ØÓ ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ØÖ Ð Ø Ò ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ Ú ÓÐ Ø ÓÒ Ó ÙÑ ¾µ Ì Ù Ø Ø Ö ÓÐ Ó Ø Ò Ý Ø ¾ ¹Ψ Ñ Ø Ó Ñ Ý Ð Ö Ð Ð ÓÖ «Ö ÖÓÑ Ø Ó Ó Ø ØÖ Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ó Ô ÐÐÝ Ø Ø Ô Ò ÓÒ Ø Ð Ø Ø Ó Ò ÓÖÝ ÔØ Ø ÓÒ ÀÓÛ Ú Ö Ú ÖÝ Ò Ø ÑÙÐÙ Ò ÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ñ Ò ÓÒ ÒÓØ ØÓÓ «Ö ÒØ ÖÓÑ Ø ÓÑÑÓÒ ÔÖ Ø Ó ÒØ ÖÐ Ú Ò «Ö ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ø Ø Ö ÙÐØ ÓÙÐ Ñ Ð Ö ÁÒ Ñ Ð Ö ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó ÔØ Ú Ð ¹ Ø ÒØ ØÖ Ø Ø Ñ Ø ÓÒ Ï Ò Ò Ò ¾¼¼ µ Ñ Ð Ö ¹ Ù Ö Ö Ö ÐÐÝ «Ö ÒØ ØÖ Ð Ñ Ý Ù Òܹ ØÝ ÓÖ Ø Ù ÀÓÛ Ú Ö Ï Ò Ò Ò ¾¼¼ µ ÒÓØ Ø Ø Ù Ñ ÜØÙÖ Ñ Ý Ð Ó Ö Ø ÑÓÒÓØÓÒÝ Ó Ø Ø Ò Ø Ö Ý ÒÖ ÑÓØ Ú Ø ÓÒ ÁÒ ÔÖ Ø Ø Ñ Ý Ú Ð ØÓ ÖÙÒ Û ÓÒ Ø ÓÒ Û Ø ÓØ Ø ¾ ¹Ψ Ñ Ø Ó Ò ØÖ Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ó ØÓ Ò ÓÙØ Ø Ø Ò Ø Ú ØÓ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ¹ ÙÖ Á Ø Ö ÙÐØ Ö Ø ØØ Ö Æ ÒÝ Ó Ø ¾ ¹Ψ Ñ Ø Ó Ò ÖÒ Ò Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ¹ Ø ÓÒ 6 Practical implementation ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ù Ø ÔÖ Ø Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó ¾ ¹Ψ ÔÖÓ ÙÖ Ù Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ò Ë Ø ÓÒ Ï Ð Ø Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÓØ Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ØÐÝ Ò Ö Ð Þ ÒØÓ ÒÝ ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ò ÓÒ Ø Ö Ö Ú¹ Ö Ð Ø Ð Ø Ø Ö Ô ØÓ Ù Ò ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ ÔÔ Ò Ü ÓÒØ Ò ÓÑ Ø ÓÒ Ð ÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÒÓØ 6. Deterministic D-Ψ algorithm ÁÒ Ø Ù Ø ÓÒ Û Ö Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ë ¾µ ÓÖ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ Ï Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ Ø Ú Ò ÔÖÓÚ Ý Ø Ì Ö Ú Ò ÑÓÖ ÑÔÓÖØ ÒØ

10 Ê ÔÖ ÒØ Ø Ú ÜÔ Ø ÌÖ Ð Ê ÔÖ ÒØ Ø Ú ÜÔ Ø ÌÖ Ð ÑÔÐ ÖÓÑ ÔÖ ÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÔÐ Ñ ÒØ ÑÔÐ ÖÓÑ ÔÖ ÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÔÐ Ñ ÒØ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ½½ ½¾ ÙÖ Ò Ü ÑÔÐ Ó Ø ØÖ Ð ÔÐ Ñ ÒØ Ó Ø Ò Ý ÔÔÐÝ Ò Ø Ψ ÔÖÓ ÙÖ ØÓ Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐÙ ÑÓ Ð Ì Ö Ø ÓÐÙÑÒ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÑÔÐ Ó Þ ½¼¼ ÓÒÐÝ Ø Ø Ö ÓÐ ÐÐ Ô Ö ÓÛÒ Ø ÐÓÔ ÒÓØ Ú Ð µ Ì ÓÒ ÓÐÙÑÒ ÓÛ Ø ÜÔ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ñ Ü Ñ Þ ØÓ Ó Ø Ò Ø ÓÔØ Ñ Ð ØÖ Ð ÔÐ Ñ ÒØ Ø Ó¹Ú ÐÙ ÓÒØÓÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ»½»½ ½½»½ Ò ½»½ Ó Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ì Ø Ö ÓÐÙÑÒ ÓÛ Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÐ Ñ ÒØ Û Ø ÖÓ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ ØÖ Ð ÔÐ Ñ ÒØ Ò Ø Ö Ö ÙÐØ Û Ø ÖÐ Ø Ö ÓÙØ ¼ ØÖ Ð Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò ØÓ Ú Ô Ö Ø ÑÓ ÓÒ ÓØ Ó Ø Ø Ö ÓÐ Ò Ø ÐÓÔ Ø Ñ Ø Ø ÖØ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò ÜØ ÙÖ µ Ò ÐÓ ÓÙ ØÓ Ø ½ ¹Ψ Ú ÓÖ Ó ÖÚ Ò ÃÓÒØ Ú Ò ÌÝÐ Ö ½ µ ½¼

11 ½ ¾ ¾ ¾ ½½ ½ ÙÖ Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ñ Ö Ò Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ü ÑÔÐ ÖÙÒ Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÙÖ Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Ö ÒÙÑ Ö ÐÐ Ô ÐÓ ¹ Þ ½µ ÐÐ Ô ÐÓ Ô Ø Ö Ø Ó ¾µ ÐÐ Ô Ò Ð µ Ò ÐÓ ¹ ÐÓÔ µ Ì Ó¹ Ò ØÝ ÓÒØÓÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ö ÓÒ Ó Ò 99 Ô Ö ÒØ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÔÖÓ Ð ØÝ Ü ÔØ ÓÖ Ø ÙÒ ÓÖÑ ÔÖ ÓÖ Ò ØÖ Ð ½ Û Ö Ù Ø Ø ÓÜ Ð Ñ Ø Ö ÓÛÒµ Ø Ö ÓÙØ ½¼ ØÖ Ð Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ø ÑÓ Ø ÓÑÔÐ Ü ÑÙÐØ ÑÓ Ð Ò ÓÑ Û Ø ÖÖ ÙÐ Ö ÙØ Ø Ö ÖÓÙÒ ¼ ØÖ Ð ÓÑ ÑÓÖ Ö ÙÐ Ö Ò ½½

12 ÀÓÛ Ú Ö Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ð ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ ËÙÔÔÓ Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ò ØÝ Ó Ø Ø Ñ¹ ÙÐÙ Ú Ò ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö z Ì Ò Ø ÐÓ ¹ ÒØ Ò ØÝ ÓÑ x = ÐÓ z = (r, φ) Û Ö r Ø ÐÓ ¹ Ö Ù Ó Ø Ø ÑÙÐÙ Ò φ Ø Ò Ð Ó Ø Ø ÑÙÐÙ Í Ò Ñ Ð Ö ÐÓ ¹ Þ Ò Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö α = (s, θ) ÓÖ Ø Ø Ö ÓÐ ÐÐ Ô Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÔÖ Ö ÕÙ Ø ÕÙ ¹ Ø ÓÒ Ψ α,β (x) = Ψ,β (x α) ÓÐ Û Ø ÓÙØ ÑÓ Ø ÓÒ Ì Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ú ÐÙ Ø Û Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ì ÓÚ Ö Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ó x Ò α À Ö β ÒÐÙ Ø Ö Ñ Ò Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ø Ö Ø Ó Ò ÐÓÔ Ì Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ö ÑÓ ÙÐÓ π Ò Ó Ø ¾ ¹ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ò ÖÙÐ Ö Ö ÕÙ Ö Ò ÒÓ Ì¹Ô Ò Ò Ø Ø Ñ Ò ÓÒ Ì ÐÓ ¹Ö Ù Ñ Ò ÓÒ Þ ÖÓ¹Ô ÓÖ ÒÓÒ¹ ÖÙÐ Ö Ì Ò Ø ½ ¹ ÀÓÛ Ú Ö ÙÒÐ Ò Ø ½ ¹ Ø ÐÓ ¹Ö Ù Ö Ò ÓÖ Ø ÒØ Ò ØÝ Ñ Ý ÒÓÛ Ò ØÓ Ñ Ð Ö Ö Ø Ò Ø Ö Ò Ó Ø ÐÓ ¹ Þ Ó Ø ÐÐ Ô ØÓ ÒÐÙ ÓÔØ Ñ Ð ØÖ Ð ÔÐ Ñ ÒØ ÓÖ Ô Ø Ö Ø Ó ÐÐ Ô ÆÓØ Ø Ø Ø ÙÖ Ó Ø ÐÓ ¹ Þ Ò ÐÓ ¹ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ö ÒÚ Ö ÒØ Ó Ø Ô Ø Ö Ø Ó Ó Ø ÐÐ Ô ÙØ Ø ÑÔÐ Ò Ö Ø Ó Ø Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Ý Ò ØÓ Ö ÓÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ö Ö Ô Ø Ö Ø Ó ÐÐ Ô Ö ÜÔ Ø Ì Ö ÓÒ Ø Ø Ø Ò Ð ÑÓÖ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÖ Ö Ô Ø Ö Ø Ó ÐÐ Ô ÓÖ ÖÐ Ø Ò Ð ÖÖ Ð Ú ÒØ Ì Þ Ò Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ö ÑÔÐ Ò /8 Ø Ô ÓÒ Ø ÐÓ Ð Ò Ø Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ¹ ÔÐ Ò π/6 Ö Ò Ø Ô Ì Ö Ò Ó Ø ÒØ Ò ØÝ Ó Ø ÓÔØ ÑÙÑ ÔÓ ÒØ [.,.] ÓÒ Ø ÐÓ Ð Ø Ñ Ø Ö Ò Ó Ø ÐÐ Ô Þ µ Ì Û Ö Ó Ó Ò ØÓ Ó Ø Ò ÔÓÛ Ö Ó ØÛÓ Ì Þ Ì ÐÓÔ Ô ¹ Ö Ñ Ø Ö ÑÔÐ Ò / Ø Ô ÓÒ Ø ÐÓ Ð Ò ÃÓÒØ Ú Ò ÌÝÐ Ö ½ µ 6. Particle filter D-Ψ algorithm ÁÒ Ø Ù Ø ÓÒ Û Ö Ø Ø Ð Ó Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ë Ø ÓÒ µ Ù ÓÖ ÑÙÐ Ø ÓÒ ÁÒ Ø Å Å Ô Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ù Å ØÖÓÔÓÐ ¹Å Å Û Ø Ù Ò ÔÖÓÔÓ Ð Ò ØÝ Ì Ø ÔÖÓÔÓ Ò Û Ø Ø θ j Ö ÛÒ ÖÓÑ Ø Ù ¹ Ò ØÖ ÙØ ÓÒ N(θ j, Σ) Û Ö Σ Ø ÓÚ Ö Ò Ñ ¹ ØÖ Ü Ò θ j Ø Ñ Ò Ì Ò Û Ø Ø ÔØ Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ { Ñ Ò, p t(θ j ) }. p t (θ j ) Á Ø Ò Û Ø Ø ÒÓØ ÔØ Ø ÓÐ Ø Ø θ j Ö Ñ Ò Ì ÔÖÓ ÙÖ Ö Ô Ø L Ø Ñ ÓÖ Ô ÖØ Ð θ j Ì Ö Ø ÓÒ Ù Ö ÒØ Ø Ø Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó {θ j } ÓÒ¹ Ú Ö ØÓ Ø Ø Ö Ø ØÖ ÙØ ÓÒ p t (θ) Ö Ö Ð Ó Ø ÝÑÑ ØÖ µ ÔÖÓÔÓ Ð Ò ØÝ ÀÓÛ Ú Ö Ù Ø Ø Ö Ø ØÖ ÙØ ÓÒ p t (θ) Ò Ø ØÖ Ð Ø ÔÖÓÔÓ Ð Ò ØÝ Ò ØÓ ØÙÒ Ø ØÖ Ð ØÓ Ñ ÒØ Ò Æ ÒÝ Ø ØÖ Ð Ø Ö Ø Ö ÑÔÐ Ò Ø Ô Ø ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ü Ó Ø Ù Ò ÔÖÓÔÓ Ð Ò ØÝ Ø ØÓ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Û Ø Ð Ñ ÒØ σ i =. / N [ i E t (θ j )], µ N j= Û Ö E t (θ) = ÐÓ p t (θ) Ì ØÓÖ. Ù Ø Ø Ú Ö ÔØ Ò Ö Ø ØÓ ÓÙØ. ÓÖ Ò ØÓ Ø Ù Ù Ð Ö ÓÑÑ Ò Ø ÓÒ ÓÙØ Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÖ Ó Ø ÔÖÓÔÓ Ð Ò ØÝ Ò ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð ½ µ Ì Ð Ò Ó Ø ÔÖÓÔÓ Ð Ò ØÝ Ù ¹ ÒØ Ù Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ö ÒÓØ ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø Ò Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ö Ö Ð Ø Ú ÐÝ ÙÒ ÑÓ Ð Ò ÑÔÐ µ ÀÓÛ Ú Ö Ø ÒÓØ Ô Ö Ø ÓÑ ¹ Ø Ñ Ô ÖØ Ð ÑÓÚ ÐÓÛÐÝ Ò Ø Ò ÖÖÓÛ Ô Ó Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÆÓÒ Ø Ð Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Þ Ð Ö ÒÓÙ Ù Ó ÓÒ Ð Ö Ð ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ÒÓØ Ñ Ø¹ Ø Ö ÊÙÒÒ Ò Ø Å Å Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ¼¼ Ø Ô ÓÖ Ô ÖØ Ð Û ÓÙÒ ØÓ ÙÆ ÒØ ØÓ Ô Ø ÙØÓÓÖ¹ Ö Ð Ø ÓÒ Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ÐÓÛ ÓÚ Ö Ø Å Å Ô Ì ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ø Ô Ù Ø ÓÒ Ù Ø ¹ Ö ÒØ Ñ Ø Ó ÔØ Ö ½¼ Ò ÈÖ Ì Ù ÓÐ Ý Î Ø¹ Ø ÖÐ Ò Ò Ð ÒÒ ÖÝ ½ ¾µ Ò ÖØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Û ÔÖÓÚ Ø Ö ÓÒÚ Ö Ò Ø Ò ÔÓÐ Ö ÓÓÖ ¹ Ò Ø ÐÓ Ð ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ú Ý Ø ÖØ Ò Ø ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÖÓÑ ¼ Ö Ò ÓÑ ÔÓ ÒØ Ø ÖØ ÔÓ ÒØ Ó Ò Ý Ö Ø ÓÓ Ò ÓÒ ÐÐ Ô (a, b, θ) ÖÓÑ Ø ÔÖ ÓÖ ÑÔÐ Ø Ö Ò ÓÑ Ò Ø Ò Ö Û Ò Ø ÔÓ ÒØ ÖÓÑ Ø ÙÒ ÓÖÑ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÚ Ö ÓÙÒ Ò Ö Ø Ò Ð Û Ø 6a Ò 6b ÒØ Ö ÓÒ Ø ÐÐ Ô Ò ÖÓØ Ø Ý Ø ÐÐ Ô Ò Ð ÁØ ÙÑ Ø Ø Ø ÓÔØ ÑÙÑ ÔÓ ÒØ ÒÒÓØ ØÓÓ Ö Û Ý ÖÓÑ Ø ÔÖÓ Ð Ø Ö ¹ ÓÐ ÓÒØÓÙÖ Ø Ñ Ø ÒÓ ÐÓÒ Ö ØÖÙ γ Ò δ Û Ö Ú Ö µ Ì Ñ Ò Ø Ñ Ø Ö ÓÑÔÙØ ÅÓÒØ ÖÐÓ Ò¹ Ø Ö Ð Ù Ò Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÑÔÐ 6. Comparison ÁÒ Ø Ù Ø ÓÒ Û ÓÑÔ Ö Ø ÔÖ Ø Ð ÑÔÐ Ñ Ò¹ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ ¾ ¹Ψ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ò Ø ÔÖ ¹ Ò Ù Ø ÓÒ ÈÓÔÙÐ Ø ÓÒ Þ ½¼¼ Ñ Ð ÓÓ ØÖ ¹Ó«ØÛ Ò Ô Ò ÙÖ Ý ÓÖ Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Û Ø Ö ÓÖ Ó Ò Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ ÓÖ Ø ÑÙÐ ¹ Ø ÓÒ ÙÖ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖ ÓÖ ½¾

13 ØÖ ÙØ ÓÒ Ñ Ò Ø ØÛÓ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÛ Ò Ø Ò Ó Ø ÅÓÒØ ÖÐÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÙÒØ ÓÒ Ì Ø Ñ ¹Ö Ø Ð Ô ÖØ Ó ÓØ Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ö Ñ¹ ÔÐ Ñ ÒØ Ò ÓÔØ Ñ Þ Ò ÓÑÔ Ð Û Ø ¹ ÓÒ ¾ ÀÞ ÇÔØ ÖÓÒ ÔÖÓ ÓÖ ÁÒ Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ð Ó¹ Ö Ø Ñ ÌÏ Ð Ö ÖÝ Ö Ó Ò ÂÓ Ò ÓÒ ¾¼¼ µ Ú Ö ÓÒ ¼½ Û Ù Ì Ø ÖÑ Ò Ø Ìµ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù ½¼ Ñ ÝØ Ó Ñ ÑÓÖÝ ÓÖ Ø ÔÖ ÓÑÔÙØ Ø Ð Ò ¼ Ñ ÝØ ÓÖ Ø ÔÖ ÓÖ»ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ØÓ ÖÙÒ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÛÓÙÐ Ø Ò ÜØÖ ¼ Ñ ÝØ Ì ÔÐ Ñ ÒØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ØÓÓ ÓÙØ 78 Ñ Ò ÙÔ Ø Ò Ø ÔÖ ÓÖ ÓÙØ 9 Ñ Ø ØÖ Ð ÓÖ ØÝÔ Ð Ô Ý ÓÔ Ý Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ø ¼ ÓÖ Ó ØÖ Ð Ô Ö ÓÒ Ø ÓÒ Ñ ÐÐ Ö ÑÔÐ Ò Ö Ø Ñ Ý ÙÆ ÒØ Ì ÑÔÐ Ò Ö Ø Û Ö Ù ÓÖ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ÑÓ Ð ÓÒ ÐÓÒ ÖÙÒ Ì Ñ ÑÓÖÝ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð Ó¹ Ö Ø Ñ Ö Ò Ò ÒØ Ì ÔÐ Ñ ÒØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ØÓÓ ÓÙØ ( + 9t) Ñ Ø ØÖ Ð ÓÖ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Þ ½¼¼ Û Ö t Ø ØÖ Ð ÒÙÑ Ö Ì ÓÒ Ø ÒØ Ô ÖØ ÑÓ ØÐÝ ÓÑ ÖÓÑ Ø ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ô Á Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÖ ØÓ Ù ÐÓÛ ÑÔÐ Ò Ö Ø ÓÖ Ñ ÐÐ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Þ Ø Ñ Ý Ú ÒØ ÓÙ ØÓ Óѹ ÔÙØ Ø Ò Ð Ø Ñ Ø Û Ø Ö Ø Ö ÙÖ Ý ÓÖ Ø ÓÒ Ò Ù Ø Å Å Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø Ð Ö ÑÔÐ Þ Ø Ø ÓÙÖ Ú Ö ÑÓ Ð Ñ Ò ÓÒ Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÖ Ý Ò Ö Ø Ð Ñ Ø ÓÒ ÙÖÖ ÒØ Ö Û Ö Î ÖÝ Ò γ Ò δ ÛÓÙÐ ÒÓØ ÔÓ Ð Û Ø ÓÙØ Ö ¹ Ò Ø ÙÖ Ý Ó Ø ÓØ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÙÖØ ÖÑÓÖ ÓÖ Ú ÖÝ Ô Ø Ö Ø Ó ÐÐ Ô Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ð Ó¹ Ö Ø Ñ ÐÓ ÙÖ Ý Ù Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÒÓØ Ð Ò¹ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ø Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ØÓ ÑÔÐ Ò Ò Ö Ø Ô ÓÖ Ö Ô Ø Ö Ø Ó Ð¹ Ð Ô ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÙÐ ÐÝ ÓÑÑÓ Ø ÑÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ø Ð ØØÐ ÜØÖ Ó Ø 7 Simulations Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Û Ö ÖÙÒ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó Ø ¾ ¹Ψ ÔÖÓ ÙÖ Ò ØÓ ÓÑÔ Ö Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ô ÖØ Ð ÐØ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Û ÐÐ ØÓ Ø ÖÓ Ù ØÒ Ó Ø Ñ Ø Ó Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ú Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø ÙÑ ÑÓ Ð Ë Ò Û Ö ÒÓØ Û Ö Ó ÒÝ ÔÖ Ú ÓÙ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔØ Ú Ñ Ø Ó ØÓ ÓÑÔ Ö ØÓ Û ÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔØ ¹ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÑÙÐÙ Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð Ø ÜÔ Ö ¹ ÈÓÔÙÐ Ø ÓÒ Þ ½¼¼ Á Ð ÙÖ Ì Ö Ò Ø Ò Ó Ø ÅÓÒØ ÖÐÓ ÔÔÖÓÜ ¹ Ñ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÙÒØ ÓÒ Ø ØÖ Ð ØÓÔµ Ò ÓØØÓѵ Ó Ø Ü ÑÔÐ ÖÙÒ µ Ì Á Ð ÔÐÓØ ÓÛ Ø ØÖÙ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÔØ ÑÙÑ ÔÓ ÒØ Ò ½¼¼ Ò Ø Ò Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ Ì ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÔØ ¹ ÑÙÑ ÓÐÐÓÛ Ø Ô Ó Ø ØÖÙ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ú Ò Ø ÓÙ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ Ñ ÓÑ Û Ø «Ö ÒØ ÖÓÑ Ø ØÖÙ ÙÒØ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ØÖ Ø Ý ÓÒ ÙÖÖ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ì Ð Ó¹ Ö Ø Ñ ÖÙÒ ÓÙÖ Ò Ô Ò ÒØ ½ ¹Ψ ÔÖÓ ÙÖ ÓÒ ÓÙÖ Ð Ò Ö Ô ÖØ Ò Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐÙ Ô Ò Ö Ø Ò Ø ØÖ Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÓÒ Ú ÖÝ ÓÙÖØ ØÖ Ð Ì ½ ¹Ψ ÔÖÓ ÙÖ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ù Ò Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÑÔÐ Ò Ò ÔÖ ÓÖ Ó Ø ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ò ØÝ Ö Ø Ñ Ø Ó Ó Ø Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø ¾ ¹ Ø ÑÙÐÙ ÑÓ Ð ÌÓ Ð Ø Ø Ö Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ñ Ø Ö Óѹ ÔÙØ Ù Ò Ø ¾ ¹ Ø ÑÙÐÙ ÑÓ Ð Û ÙÔ Ø ÐÓÒ Ø ÓÙÖ ½ ¹ Ø ÑÙÐÙ ÑÓ Ð ÙØ ÒÓØ Ù ÓÖ ØÖ Ð ÔÐ Ñ ÒØ Ì ÑÙÐ Ø Ó ÖÚ Ö Ò Ö Ø ØÖ Ð Ö ÙÐØ Ù Ò Ø Ñ ÐÐ Ô ¹Ï ÙÐÐ ÑÓ Ð ÙÑ Ò Ø Ð Ó¹ Ö Ø Ñ Û Ø γ Ò δ Ü Ø. ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ý ¹ÒÓ ÜÔ Ö Ñ Òص Ø ÔÖ ÓÖ Ô Ö ØÐÝ ÖÓØ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ Ð ÒÚ Ö ÒØ ÓÒÐÝ Ø ¹ Ô Ø Ö Ø Ó Ò ÐÓÔ Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ö Ý Ø Ñ Ø ÐÐÝ Ú Ö¹ Ò Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø Þ Ò Ò Ð Û Ö Ö Ò ÓÑÐÝ Ó Ò ÓÖ ÑÙÐ Ø ÓÒ ÖÙÒ Ì Ö Ò Ó Ø ÐÓ Ö Ò ÓÑ Þ Û [, ] Ð ØÐÝ Ð Ø Ò Ø ÙÐÐ ÔÖ ÓÖ Ö Ò Ì ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö «Ö ÒØ Ô Ø Ö Ø Ó Ò Ò Ø Ö ¹ Ö ÒØ ÐÓÔ.. Ò.7 Ì ÐÓÔ Ô¹ ÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ó Ó Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò ÃÓÒØ Ú Ò ÌÝÐ Ö ½ µ ÓÖ Ó Ø Ò Ò Óѹ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ÑÙÐ Ø ÓÒ ÖÙÒ Ó ½¾ ØÖ Ð Û Ö ÖÙÒ Û Ø Ð ÓÖ Ø Ñ È Ö Ñ Ø Ö Ø ¹ Ñ Ø Û Ö ÓÑÔÙØ Ø ¾ ÐÓ Ö Ø Ñ ÐÐÝ Ô Ø Ñ Ø Ô ½

14 . ÐÐ Ô Þ ÐÐ Ô Ô Ø Ö Ø Ó ÐÐ Ô Ò Ð ËÐÓÔ ¾ ½ ½¾ ÙÖ ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ Ò Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ì ØÓ Ö Ñ ÓÛ Ñ Ö Ò Ð Ó Ø ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ ØÖ Ð ¾ ½ Ò ½¾ Ì ØÓ Ö Ñ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ö ÙÐ Ö ÑÔÐ Ò Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ù Ò Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ì ÓØ ÙÒ Ö Ø ØÓ Ö Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÐÙ Ó ÅÓÒØ ÖÐÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ù Ò Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ö Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÑÓÖ ÙÖ Ø ÙØ Ø ÙÒ ÖØ ÒØÝ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÒÚ Ö ÐÓ ØÓ Ø Ø Ö ÑÔÐ Ò Ô Ö Ó Ø ÅÓÒØ ÖÐÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÑ ÑÓÖ ÙÖ Ø 7. Results and comparison ÓÛ Ø Ñ Ë Ò Ø Ø Ø ÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö Ù Ý ÃÓÒØ Ú Ò ÌÝÐ Ö ½ µ ¹ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÖÖÓÖ Ö Ø Ö ÓÛÒ ÓÖ Ò Ø Ö Ð Ð ØÝ Ó ÙÖ Ý Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ ÖÓÑ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ì ÓÒ Ò ÒØ Ö¹ Ú Ð Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ö ÓÑÔÙØ Ý Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ÑÓ Ó Ø Ñ Ö Ò Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø Ò ÓÒØ ÒÙ Ò ÓÒ Ø Ô Ø Ø Ñ Ò Ø Ö Ø ÓÒ Û Ø Ö ÔÓ ÒØ ÔÖÓ Ð ØÝ ÙÒØ Ð Ø ØÓØ Ð ÔÖÓ Ð ØÝ Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ú Ð Ì Ö Ö ÓÑ Ò Ø Ð Ø Ò Ø ÔÖÓ ÙÖ Û Ò Ø Ñ Ö Ò Ð Ö Ø ÙÖ Ò Ø Ö Ø Ø Ò ØÖ Ð µ Ò Ò Ò Ø ÙÖ ÁÒ Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ö ÙÐØ Ó Ø Ø Ö «Ö¹ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÓÑÔ Ö ÓØ Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö ÓÖÑ Ñ Ð ÖÐÝ Ò Ø ½ ¹Ð Ò Ñ Ø Ó Ð ÖÐÝ Ò Ö ÓÖ Ö ÕÙ Ö Ò ÓÙÖ ÓÖ ÑÓÖ Ø Ñ Ñ ÒÝ ØÖ Ð ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ò ØÝÔ Ð ØÙ Ø ÓÒ Ð Ó ÐÐÙ ØÖ Ø Ø «Ø Ó Ø ÑÔÐ Ò Ö Ø ÓÒ Ø ÙÖ Ý Ó Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ð¹ ÓÖ Ø Ñ Ø Ð Ñ Ø ÑÔÐ Ò Ö Ø «Ø Ø Ø Ô Ø Ö Ø Ó Ò Ø ÐÓÔ ÓÒ Ø ÓÒ ÑÓÖ Ò Ø «Ø Ø ÖØ ÖÙÔØÐÝ Û Ò Ö Ø Ð Ð Ú Ð Ó ÓÒÚ Ö Ò Ö Ì ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ Ó Ø Ô ÖØ Ð Ð¹ Ø Ö Ð ÓÖ Ø Ñ «Ø ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ ÑÓÖ Ú ÒÐÝ Ò Ö ÔÔ Ö ÒØ Ö Ø ÖÓÑ Ø ÒÒ Ò ÙØ Ø Ý Ó ÒÓØ Ò¹ Ö ÓÚ Ö Ø Ñ ÁÒ ½¼ Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ö ÙÐØ Ó ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ö ÓÛÒ ÓÖ «Ö ÒØ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Þ Ó Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÁÒ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÐÓØ Ø ÖÖÓÖ Ó Ø ÐÐ Ô Ô ¹ Ö Ñ Ø Ö Ö ÙÑÑ Ö Þ Ù Ò Ø Ô ÖÖÓÖ Ñ ÙÖ Ì Ú Ö Ò Ó Ø Ô ÖÖÓÖ ÓÚ Ö «Ö ÒØ ÑÙÐ Ø ÓÒ ÖÙÒ ÓÒ ÓÒ ÐÓ Ð Ù Ó Ö ÕÙ ÒØ ÜØÖ Ñ Ú ÐÙ Ø Ø ÒÒ Ò ÓÖ ØÖ Ð ½¼µ 7. Robustness ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ø ÖÓ Ù ØÒ Ó Ø ¾ ¹Ψ Ñ Ø Ó Û Ö Ô Ø ÓÑ Ó Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Û Ø ÑÙÐ Ø Ó ¹ ÖÚ Ö Ø Ø Ú ÓÐ Ø ÖØ Ò ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ø ÑÓ Ð ÓÖ Ø Ò Ö Ø Ù Ò Ò Ó ÖÚ Ö Û Ø Ö Ø Ò Ù¹ Ð Ö Ø Ö ÓÐ Ø Ø Ñ Ø ÐÓÔ ÓÛÒÛ Ö Ò Ø Æ ÒÝ Ð ØÐÝ Ö ÙØ ÓØ ÖÛ Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ö ÙÐØ Ö Ú ÖÝ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ó Ó Ò Ó ÖÚ Ö ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÙÑ ÐÐ Ô ÑÓ Ð Ì Ô Ø Ò Ò Ð Ø Ñ Ø Ú Ø Ó Ú ÓÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ò Ø Þ Ø Ñ Ø ÓÒÚ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ØÓ Ø Ú ÐÙ ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ Ò ØÓ Ò ÐÐ Ô Ó Ø Ñ Ö Ø Ó ÖÚ Ö³ Ø Ö ÓÐ Ö Ø Ò Ð Ì Ù Ø Ü Ø Ô Ó Ø Ø Ö ¹ ÓÐ ÓÒØÓÙÖ ÒÓØ Ö Ø Ð ØÓÖ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ù Ò Ò Ó ÖÚ Ö Û Ø Ð Ò ÖÐÝ Ò Ø Ñ µ Ò Ò ÐÐ Ô Ô Ö Ñ Ø Ö Ù Ø Ø Ø Ø Ñ Ø Ó Ò ØÓÐ Ö Ø Ø Ð Ø ÓÙØ ¼± ØÓØ Ð Ò Ò Ø Ó ÖÚ Ö³ Ø Ö ÓÐ Ñ ÙÖ Ý Ø Ô ÖÖÓÖ Ñ ÙÖ µ ÙÖ Ò Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ø ½¾ ÓÖ Ð ØÖ Ð ÁÒ ½

15 ÐÐ Ô Þ ÐÓ µ ÐÐ Ô Ô Ø Ö Ø Ó ÐÓ µ Aspect. Aspect.6 Aspect. Aspect. Aspect.6 Aspect. SD (log units). SD (log units)... bias (log units)... bias (log units) /.9 error rates /.9 error rates ÐÐ Ô Ò Ð ËÐÓÔ ÐÓ µ Aspect. Aspect.6 Aspect. Aspect. Aspect.6 Aspect. SD (radians) Slope.6 Slope. Slope.. SD (log units)... bias (radians)... bias (log units)....../.9 error rates /.9 error rates ÙÖ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ö ÙÐØ ÓÛ Ò Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó Ø ¾ ¹Ψ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ù Ò Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ì Ö Ô ÓÛ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖ Ø Ö «Ö ÒØ ÐÓÔ Ò Ø Ö «Ö ÒØ Ô Ø Ö Ø Ó Ú ÐÙ Ì Ë Ö Ô ÓÛ Ø ÕÙ Ö ÖÓÓØ Ó Ø Ñ Ò ÕÙ Ö Ø Ò ÖÓÑ Ø ØÖÙ Ú ÐÙ Ò ½¼¼¼ ÑÙÐ Ø ÓÒ ÖÙÒ Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ø Ö Ô ÓÛ Ø Ñ Ò «Ö Ò ÖÓÑ Ø ØÖÙ Ú ÐÙ Ò Ø» ÖÖÓÖ Ö Ø Ö Ô ÓÛ Ø Ö Ø ÓÒ Ó ÑÙÐ Ø ÓÒ ÖÙÒ Û Ö Ø ØÖÙ Ú ÐÙ ÒÓØ ÐÐ Ò Ø ± ÓÖ 9± ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ï Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Þ ½¼¼ Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ Ù ÐÑÓ Ø ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ü ÔØ ÓÖ ÓÒ ÒÓØ Ð «Ö Ò ÓÖ ÐÓÔ ¾ ½ Ò Ô Ø ½¼ Ø Ò Ð Ë ÙÖÚ Ó Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÝÑÔØÓØ Û Ð Û Ø Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÙÖÚ ÛÓÙÐ ÓÒØ ÒÙ ØÓ Ö Û ÐÐ ÐÓÛ. Ø ÑÔÐ Ò Ö Ø Ó Ø Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ñ Ø Ò ½

16 Ì Ö ÓÐ ÐÐ Ô ËÐÓÔ ÐÓ µ Slope.6 Slope. Slope. Slope.6 Slope. Slope. Aspect. shape error. Aspect... SD (log units) Aspect.6 shape error. Aspect.6.. SD (log units) Aspect. shape error. Aspect. Deterministic (two curves) Particle filter D lines.. SD (log units) ÙÖ ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ô ÖØ Ð ÐØ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ¾ ¹Ψ Ñ Ø Ó Ò Ó Ø ÑÓÖ ØÖ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ ÙÖ Ó ÖÙÒÒ Ò ÑÙÐØ ÔÐ ½ ¹Ψ Ñ Ø Ó Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÒ ÓÙÖ Ð Ò Ö Ô ÖØ Ì ÓÒ Ø Ó ÓÐ ÙÖÚ ÓÛ Ø «Ø Ó ÐÚ Ò Ø ÑÔÐ Ò Ö Ø Ó Ø Ø Ö ÓÐ ÐÐ Ô Ô Ö Ñ Ø Ö Ì Ô ÖÖÓÖ Ñ ÙÖ Ø Ö Û Ö Ø ØÖÙ Ø Ö ÓÐ ÐÐ Ô Ò Ø Ø Ñ Ø ÐÐ Ô Ó ÒÓØ ÓÚ ÖÐ Ô Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ö Ó Ø ØÖÙ ÐÐ Ô Ì ÐÓÔ Ë Ø Ø Ø Ø Ñ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÙÖ ÜÔ Ø Ø Ö Ð Ø Ú Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó Ø Ð Ò Ñ Ø Ó ÓÑ ÒÖ Ò ÐÝ ÛÓÖ Ø Ô Ø Ö Ø Ó ÒÖ Ì Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ú ÖÝ Ñ Ð Ö Ô Ö ÓÖÑ Ò ÁÒ Ø ÐÓÛ Ö Ö Ø Ô ÖÖÓÖ Ö Ô Ø Ð Ñ Ø Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö ÙÖ Ý Ó Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ð Ì Ö ÓÐ ÐÐ Ô ËÐÓÔ ÐÓ µ shape error. SD (log units) Deterministic.. ÙÖ ½¼ Ì «Ø Ó Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Þ ÓÒ Ø ÙÖ Ý Ó Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ô Ø ½ ÐÓÔ ¾ ½µ Ì «Ö Ò ØÛ Ò Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Þ ½¼ Ò ½¼¼ Ô ÖØ ÐÐÝ Ù Ý Ø Ö Ò ÓÑ ÖÖÓÖ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ð Ø Ñ Ø Ò ÓÙÐ ÚÓ Û Ø ÓÙØ ÑÙ Ó Ø Ý Ù Ò Ð Ö Ö ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Þ Ø Ø Ø Ò Ð Ø Ô ÀÓÛ Ú Ö Ø Ö Ñ Ò Ò «Ö Ò Ø ÐÐ Ò ÒØ ÁÒÖ Ò Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Þ ÓÚ Ö ½¼¼ Ý Ð Ñ Ò Ò Ö ØÙÖÒ Ì Ò Ø Ð ÙÖ Ý Ó Ø ÐÓÔ Ø Ñ Ø Ó Ò Ò Ø Ñ Ò Ó Ø ÙÒ ÓÖÑ ÔÖ ÓÖ Ù Ø ÔÔ Ò ØÓ ÓÖÖ Ø Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ ½

17 Ø Ø Ø Ø Ñ Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÐÐÓÛ ÓÙØ Ø Ú Ö Ó Ø Ö Ð Þ Ú ÐÙ Ò Ø ÐÓÔ Ð ØÐÝ ÓÛÒÛ Ö Û ØÖÙ ÓÖ Ø Ú Ö Ð¹ Ð Ô µ Ì Ù Ø ¾ ¹Ψ Ñ Ø Ó ÔÔ Ö ØÓ ÖÓ Ù Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ö ÓÒ Ð Ð ÖÒ Ò «Ø ÁÒ ÓØ Ó Ø ÓÚ Ø ÓÚ Ö ÐÐ Ø Ö ÓРй Ð Ô Ø Ñ Ø Ö ÔØ Ú ÙØ Ø Ö Ð Ö Ò ¹ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÐÓÔ Ø Ñ Ø ÓÙÐ ÒÓØ ØÖÙ Ø ÙÒÐ Ø ÑÓ Ð ÒÓÛÒ ØÓ ÙÖ Ø Ø ¾ ¹Ψ Ñ Ø Ó Ö Ñ Ò Ö Ð Ø Ú ÐÝ Æ ÒØ ÙÒ Ö Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ú ÓÐ ¹ Ø ÓÒ ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ü ÑÓ Ð Ò ØØ Ò ÓÑÔ Ö Ø Ö ÓÐÐ Ø Ò Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø ÐØ ÓÙ Ø ØÖ Ð ÔÐ Ñ ÒØ Ñ Ý Ø Ò Ð ØÐÝ Ù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÓÖ ØØ Ò ÐÐ Ô Ö Ñ Ø Ö Á Ø Ü Ø Ô Ó Ø Ø Ö ÓÐ ÒØ Ö Ø Ò Ø ÓÒÐ Ò ÑÓ Ð Ò ÜØ Ò Û Ø Ø ÓÒ Ð Ô Ô ¹ Ö Ñ Ø Ö Á ØÖÓÒ Ö Ý Ø Ñ Ø Ð ÖÒ Ò «Ø Ö Ü¹ Ô Ø ÓÖ Ø Ò Ø Ð ÒØ Ö Ø Ò Ø ÓÒÐ Ò ÑÓ Ð Ò ÜØ Ò Û Ø Ð Ò Ö ÓÖ Ù ¹Ð Ò Ö ØÖ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ö Ñ Ò Ú Ð Ø Ñ ÓÒ Ö Ø ÑÙÐÙ Ñ Ò ÓÒµ Ì Ô ÖØ Ð ÐØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÐÝ ÓÑÑÓ Ø Ø ÜØÖ Ô Ö Ñ ¹ Ø Ö 8 Psychophysical experiment ÌÓ Ø Ø Ø ¾ ¹Ψ ÔÖÓ ÙÖ Ò ÔÖ Ø Û ÓÒ ÙØ ÓÐÓÖ Ö Ñ Ò Ø ÓÒ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ñ ÙÖ Ò Ø Ù Ø³ Ò Ø Ú ØÝ ØÓ ÓÐÓÖ «Ö Ò ÙÒ Ö «Ö ÒØ ÙÖÖÓÙÒ ¹ Ò ÓÐÓÖ Ì Ö ÙÐØ Ö Ù Ò ÑÓÖ Ø Ð Ò ÃÙ Ð ¾¼¼ µ 8. Stimuli and procedure Ì ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ò Ý ¹ÒÓ Ø Ù Ø Ý Ö ÑÙ ÑÓÖ Æ ÒØ Ø Ò ¾¹ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ò Ø Ù Ò Ö Ø ÐÓÛ ÒÓ Ö Ø Ö ÓÒ ÒÓ µ Ì Ø ÑÙÐ Ò Ø Ö Ö Ò ½½ Ì ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÐÓÖ ÓÓÖ Ò Ø Ñ Ô Ð Ò ÖÐÝ ØÓ ÓÒ Ø ÒØ Ð ØÒ ÔÐ Ò Ò ÑÓÒ ØÓÖ Ê ÓÓÖ Ò Ø R G =. + x.7 + y.6, B Ý Ð Ò Ö Ý Ø Ø ÓÖ Ò Ò Ø Ù Ó Ø Ê ÔÖ ¹ Ñ Ö Ø Ò Ð Ó Ò Ö ÓÙÒØ ÖÐÓ ¹ Û ÖÓÑ Ø x¹ Ü µ Ì Ö Û Ö ½ ÓÒ Ø ÓÒ ÙÖÖÓÙÒ Ò ÓÐÓÖ ¹ Ö Ô ÖØ Ø Ö ¼½ Ò ¼ Ò Ø ÓÐÓÖ ÔÐ Ò µ ÓÒ Ø Ò Ó ¾¾ ØÖ Ð Û Ø Ø ÑÙÐ ÔØ Û Ø Ø ¾ ¹ Ψ ÔÖÓ ÙÖ Ø ÓÒ ÐÐÝ Ù γ Ò δ Û Ö ÒÓØ c ± d c c ± d c c c ± d c c ± d c ± d c c ± d c c c ± d c c ± d ÙÖ ½½ Ì Ù Ø³ Ø Û ØÓ Ö¹ Ó Ö Ô ØÙÖ ØÛÓ ÓÖ Ø Ö «Ö ÒØ ÓÐÓÖ Ò Ø¹ Ò Û Ø Ö Ø Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ d Û Ú Ð Ì Ø ÑÙÐ Û Ö 6 ÙÐÐ Ö Ò Ö Ó Ö ÕÙ Ö Ô¹ ÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ.. Ú Ù Ð Ù Ø Ò Û Ø Ø ÓÚ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ö c Ò c Ö ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ú ¹ ØÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÓÒ Ø ÒعРØÒ ÓÐÓÖ Ò d ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ú ØÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÓÐÓÖ c ± d Ò Ø Ø Ð Ñ Ò Ø Ö c + d ÓÖ c d Ö Ò ÓÑÐÝ Ò Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ø ÕÙ Ö Ì Ø ÑÙÐÙ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ Ø Ñ Û Ö ÒÓØ Ð Ñ¹ Ø Ò ÒÓ Û Ú Ò Ú Ö ÒÙÐÐ ØÖ Ð Û Ø ÒÓ ÓÐÓÖ «Ö Ò µ Û Ö Ò¹ ÐÙ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ù Ò Ö Ø ÓÖ Ú Ð Ø Ò Ø Ö ÙÐØ Ì ÒÙÐÐ ØÖ Ð Û Ö ÒÓØ Ù Ò ÓÑÔÙØ Ò Ø Ø Ñ Ø ÒÓÖ ÔÐ Ñ ÒØ Ø Ý ÛÓÙÐ ÒÓØ Ú ÒÝ «Ø Ù Ø Ý Ö Ò Ò Ø ÐÝ Ö Û Ý ÐÓ = µ Ì ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ú Ò ØÛÓ Ô ÖØ Ø ÓÒ¹ Ø ÓÒ Ò ÙÖÖÓÙÒ Ò ÓÐÓÖ Ø Ö ÐÓÒ Ø Ü ÓÖ Ø ÓÒ Ð µ Ì ÓÖ Ö Ó Ø ØÛÓ Ô ÖØ Û Ú Ö ØÛ Ò Ù Ø Ï Ø Ò Ô ÖØ «Ö ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Û Ö ÒØ ÖÐ Ú ØÓ Ö Ù Ø Ô Ò Ò ØÛ Ò Ù¹ Ú ØÖ Ð Ó ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ì Ñ ÓÒ Ø ÓÒ Û ÐÛ Ý Ô Ö Ø Ý Ø Ð Ø Ø Ö ØÖ Ð Ó ÓØ Ö ÓÒ ¹ Ø ÓÒ Ì ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ù Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø ØÖ Ð ÔÐ Ñ ÒØ Ò Ø Ò Ó Ø ¾ ¹Ψ ÔÖÓ ÙÖ Û Ú ÖØÙ ÐÐÝ ÖÓØ Ø ØÓ Ö Ò ÓÑ ÓÖ ¹ ÒØ Ø ÓÒ ØÓ ÔÖ Ú ÒØ ÒÝ Ý Ø Ñ Ø Ò Ð Ì ØÖ Ð ÔÐ Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ò ÜØ ÓÙÖÖ Ò Ó ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Û ÓÑÔÙØ Ò Ø ÖÓÙÒ ÙÖ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ò Ò ØÖ ¹ Ð Û Ø ÓØ Ö ÓÒ Ø ÓÒ Ì Ù Ø ÔÐ Ñ ÒØ ÓÑÔÙØ ¹ Ø ÓÒ ÓÙÐ Ø ÐÓÒ Ø Ú Ö Ø Ñ ØÛ Ò ØÖ Ð Ø ÖØ Ø Ñ Û Ø ÓÙØ ÒØÖÓ Ù Ò ÒÝ Ø ÓÒ Ð Ð Ý Ù ØÓ Ø Ö ØÓÖ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Û Ø ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ ÖÐ Ú ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ù Ó Ø Ñ ÐÐ Ö ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ð Ø ÑÔÐ Ò Ö Ø Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ö ÐÓÛ Ö Ø Ò Ò Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ / Ø Ô ÓÒ Ø ÐÓ Ð ÓÖ ½

18 Þ Ò Ô Ø Ò π/ Ø Ô ÓÖ Ò Ð Ö Ò Û Ö ØÛÓ ÐÓ ÙÒ Ø ÓÖ Ø Þ Ò.6 ÙÒ Ø ÓÖ Ø Ô Øµ Ì ÑÙÐ Ø ÓÒ Ö ÙÐØ Ó Ò Ø Ø Ø Ø ÐÓÛ Ö ÑÔÐ Ò Ö Ø ÓÙÐ ÙÆ ÒØ ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ Ö Ø Ö ÙÖ Ý Ø Ò Ð Ø Ñ Ø Û Ö ÓÑÔÙØ Ù Ò Ø Å Å Ð ÓÖ Ø Ñ Results ÙÖ ½¾ ÓÛ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ö «Ö ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÒ Ù Ø Ì Ö Û ÓÒÐÝ ÓÒ Ð ÔÓ Ø Ú Ò Ø ØÓØ Ð Ó ÒÙÐÐ ØÖ Ð ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ó ØÛÓ Ô Ö ÒØ Ù Ò Ö Ø Ù ØÓ Ø ÐÓÛ ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ð Ô Ö ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÐÓÔ Ø Ñ Ø Ó Ø Ò Ú Ù Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ö ÒÓØ Ñ Ò Ò ÙÐ Ö Ö Ð Ý Ò ÑÓ Ð ÐÑ Ò Ø Ð ½ µ ÓÙÐ Ù ØÓ Ó Ø Ò ÑÓÖ ÙÖ Ø Ø Ñ Ø ÙØ Ù ÑÓ Ð Ö ¹ ÝÓÒ Ø ÓÔ Ó Ø ÖØ Ð Ì ÑÙÐ Ø ÓÒ µ Ù Ø Ø Ø Ø Ø Ñ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Ý Ð ØÐÝ Ø ¾¾ ØÖ Ð Ò Û Ø Ø Û Ø Û ÒÒÓØ ÜÐÙ Ø ÔÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÒ Ø ÓÒ Ó ØÖ Ð Ñ Ø Ú ÓÑ Ø Ö Ñ «Ø ÀÓÛ Ú Ö Ø ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ö ÙÐØ Ö Ð Ö Ì Ø Ö ÓÐ ÐÐ Ô Ö ÓÒ Ø ÒØÐÝ ÓÖ ÒØ ØÓÛ Ö Ø ÙÖÖÓÙÒ Ò ÓÐÓÖ Ò Ø Ö Þ ÒÖ Ø ÙÖÖÓÙÒ Ò ÓÐÓÖ ÑÓÚ Ò Ø ÓÐÓÖ Ô µ ÙÖØ Ö Û Ý ÖÓÑ Ø Ø Ö Ø ÓÐÓÖ Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ö Ö ØÓ Ñ ÐÐ ÓÐÓÖ «Ö Ò Û Ò Ø «Ö Ò ØÓÛ Ö Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÙÖÖÓÙÒ Ò ÓÐÓÖ Ì Ö ÙÐØ Ö Ñ Ð Ö ÓÖ «Ö ÒØ Ù Ø Ì Ù Ø ¾ ¹Ψ Ñ Ø Ó Ó ÔÔ Ö ØÓ ÛÓÖ Ò ÔÖ Ø 9 Conclusions Ï Ú ÔÖÓÔÓ Ô Ý ÓÑ ØÖ ÑÓ Ð ÓÖ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ò Ø Ø Ö ¹ ÓÐ ÓÒØÓÙÖ Ò ÐÐ Ô Ï Ð Ø ÑÓ Ð ÒØ ÐÐÝ Ø ÑÔÐ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÙÐ ÔÓ ÐÝ ÛÓÖ Ø Ò Ö Ð ÒÓÙ ØÓ Û ÐÝ ÔÔÐ Ð Á Ø Ø Ö ÓÐ ÓÒØÓÙÖ ÙÑ ØÓ ÓÒÚ Ü Ò ÝÑÑ ØÖ ÓÙØ Ø ÓÖ ¹ Ò Ø Ö ÒÓØ ÑÙ ÔÓ Ð Ú Ö Ø ÓÒ ÖÓÑ Ò ÐÐ Ô ÒÝ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÛ Ò Ø ÒÚ Ð ØÝ Ó Ø ÑÓ Ð ÛÓÙÐ Ò ØÓ Ú Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ð Ì Ψ Ñ Ø Ó ÔÔÐ ØÓ Ø ÑÓ Ð Ø ¾ ¹Ψ Ñ Ø Ó Ð ØÓ ÕÙ ÐÝ Ø Ñ Ø Ø ÓÚ Ö ÐÐ Ô Ó Ø Ø Ö ÓÐ ÓÒØÓÙÖ ÑÙ Ø Ö Ø Ò Ø ØÖ Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ó Ó Ø Ñ Ø Ò Ø Ô Ý ÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ö¹ Ø Ò ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ò Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ø Ø ¾ ¹Ψ¹Ñ Ø Ó ÖÓ Ù Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ì Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ô Ò ÓÒ Ö ÓÒ Ð ÜØÖ Ñ ØÖ Ø Ò ÓÙÐ Ñ Ø ÐÐ Ô ÔÓ ÒØ Ø ÒÝ Ö Ø ÓÒ ÙÖ ½¾ ÇÒ Ù Ø³ Ö ÙÐØ Ò Ø Ö ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ì Ö Ø ÓÐÙÑÒ ÓÛ Ø Ø Ñ Ø Ø Ö ÓÐ ÐÐ Ô Ò Ø ÙÖÖÓÙÒ Ò ÓÐÓÖ c Û Ø ÖÓ Ø Ø Ö Ø ÓÐÓÖ c Û ÐÛ Ý Ö Ý (, ) Ì ÓÒ ÓÐÙÑÒ ÓÛ ÞÓÓÑ Ú Û Ó Ø Ñ Ø ¹ Ñ Ø ÐÐ Ô Û ÐÐ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ò Ú Ù Ð ØÖ Ð ØÖ Ð ÔÐÓØØ ÖÐ Ø Ø ØÛÓ ÔÓ ÒØ c ± d ÐÐ ÖÐ Ò Ø Ý ¹Ö ÔÓÒ Ì Ø Ö ÓÐÙÑÒ ÓÛ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÑÔÐ Ó Þ ½¼¼ ÖÓÑ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÓÒ Ø ÓÒ Ú Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø ÙÑ ÐÐ Ô Ô Ó Ø Ø Ö ¹ ÓÐ ÓÒØÓÙÖ Û ÐÐ Ö ÓÒ Ð Ð ÖÒ Ò «Ø Ô Ý¹ ÓÔ Ý Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ø Ñ Ø Ó Ð ØÓ Ý Ð ÓÒ Ø ÒØ Ö ÙÐØ Ò Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ØØ Ò Ï Ð Ø ¾ ¹Ψ Ñ Ø Ó Ñ Ø Ñ Ø ÐÐÝ Ú Ð Ø Ò ØÙÖ Ó Ø ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔØ Ø ÓÒ Ñ Ý Ñ Ø Ò ÔÔÐ Ð ØÓ ÖØ Ò Ø Ø Ø Ö Ò Ø Ú ØÓ Ò¹ Ø Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ØÖ Ð Á Ø Ø ÖÙÒ Ò Ø Ø Ø Ø ¾ ¹Ψ Ñ Ø Ó Ó Ú Ò ÒØÐÝ «Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ø Ò ØÖ Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ó Ø Ñ Ý Ö Ð ØÓ ÑÓ ¹ Ý Ø ÔÖÓ ÙÖ ØÓ ÛÓÖ ÑÓÖ Ð ØÖ Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ó Ì ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ú ÒØÓ Ø Ó Ñ Ð Ö ØÖ Ð Ý ÓÔØ Ñ Þ Ò Ø ÜÔ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ö ¹ ØÖ Ø ØÓ ÖØ Ò Ð Ò ÓÖ Ö µ Ò Ø Ø ÑÙÐÙ Ô Ì Ð Ò Ö µ ÓÖ Ø Ò ÜØ Ø Ò Ó Ò Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÐÓ ÐÐÝ ÓÔØ Ñ Ð ØÖ Ð Ì Ö Ø Ø ÓÙÐ ÓÖØ ÓÒ ØÖ Ðµ Ó ØÓ ÕÙ ÐÝ Ò Ø ÓÚ Ö¹ ÐÐ Ø Ö ÓÐ Ô ÁÒ Ð Ø Ö ØÖ Ð Ø Ø Þ ÓÙÐ ÒÖ ØÓ Ñ Ü Ñ Þ Ø Ð ØÝ Ì ÔÖÓ ÙÖ ÛÓÙÐ Ù¹ ØÓÑ Ø ÐÐÝ ÓÓ Æ ÒØ ½ ¹Ð Ò Ò Ò ÓØÖÓÔ ÓÒ¹ Ø ÓÒ Ý Ð Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Æ ÒÝ Ø Ò ÒÝ ÙÒ ÙÔ Ö¹ Ú ØÖ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ ÙÖ ÌÓ Ò Ð Ö ÐØ Ñ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø ¾ ¹Ψ ½

19 Ñ Ø Ó Û Ú ÑÔÖÓÚ Ø ÓÖ Ò Ð Ψ Ð ÓÖ Ø Ñ Ï Ð Ø ÓÖ Ò Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÜÔÐ ØÐÝ ÓÑÔÙØ Ò Ú ÐÙ Ø Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ ÔÓ ¹ Ð Ø ÑÙÐÙ ÔÓ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ì¹ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÑÔÙØ ÙÔ ØÓ ÖÓÙÒ ¹Ó«ÖÖÓÖ Ø Ü Ø Ñ Ö ÙÐØ Ò ÓÒ Ô Ù Ò Ø Ñ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÐÓ Ö Ø Ñ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö Ø Þ Ø ÑÙÐ Ì Ù Ø Ò Û Ð Ó¹ Ö Ø Ñ ÒØ ÐÐÝ Ø ÔÓ Ð Û Ø Ø Ö Ø Þ Ý Ò ÑÓ Ð ËØ ÐÐ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ØÓÖ Ö ¹ ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÖÓÛ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Û Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÑÓ Ð Ñ Ò ÓÒ Ì Ö ÓÖ Û Ú Ð Ó ÔÖ ÒØ Ò Û Ô ÖØ Ð ÐØ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ψ Ñ Ø Ó Ø Ø Ù Ü Ø ÓÒØ Ò¹ ÙÓÙ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ø Ô ÙØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø Ñ Û Ø ÅÓÒØ ÖÐÓ ÑÔÐ ÓÖ ÔÐ Ñ ÒØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ì Ý Ð ÑÙ ØØ Ö Ð Ò Û Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ¹ Ñ Ò ÓÒ ÙØ ÒØÖÓ Ù Ø ÅÓÒØ ÖÐÓ ÔÔÖÓÜ Ñ ¹ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ Ø «Ø Ó Û ÑÓÖ ÆÙÐØ ØÓ Ø Ò Ø Ø Ó Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ ÀÓÛ Ú Ö Ø Ö ¹ ÙÐØ Ó ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ñ Ü Ø Ö ÙÐØ Û Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÙÖ Ý Ô Ö Ñ Ø Ö Ó ÓØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÖ Ï Ø Ø ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð ÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÛÓÖ ÓÙØ ÕÙ ÐÐÝ Û ÐÐ ÀÓÛ Ú Ö Ø Ø ÖÑ Ò Ø ¹ Ö Ø Þ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ð Ñ Ø Ò ÑÓÖ ÑÓ Ð Ñ Ò ÓÒ ÛÓÙÐ ÆÙÐØ Ú Ò Û Ø ÒÖ ¹ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ö ÓÙÖ Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÑ ÑÓÖ ÆÙÐØ ØÓ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÖ Ø Ö Ò Ö Ñ Ò¹ ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Û Ø Ø Ô ÖØ Ð ÐØ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÓÙÐ Ý ØÓ ÙÖØ Ö ÜØ Ò Ø ÑÓ Ð Ì ÐÓ Ð Ò ÜØ Ø Ô ÛÓÙÐ ØÓ Ù Ø Ö ÓÖ ÑÓÖ Ñ Ò ÓÒ ØÓ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø Ø ÑÙÐ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÓÐÓÖ «Ö Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÙÐ ÜØ Ò ØÓ Ø Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ Ý ÒÐÙ Ò Ø Ð ØÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ ÇÒ ÓÙÐ Ð Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ø ÒÓÒ¹ ÐÐ Ô Ó Ð ÑÓ Ð ÓÖ ØÓ ÒÐÙ ØÖ Ò Ú Ö Ð ØÓ ÑÓ Ð ÒÝ Ý ¹ Ø Ñ Ø Ð ÖÒ Ò «Ø Acknowledgements Ì ÙØ ÓÖ ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ø Ò È ÖØØ Ë Ö ÐÙÓÑ ÓÖ Ù ÓÒ Ò ÓÖ ÖÖ Ò Ò Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ô ÖØ Ó ÔÖ Ø Ð ÓÙÖ Ì ÑÓ À ÙØ Ð Ò Ö ÃÙÙ Ó ÓÖ ÓÒ ÙØ Ò Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ò ÐÐ Ò Ø Ò ËØ ¹ Ò Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ ÒØØ È ÒØØ Ò Ò ÖÓ Ë ¹ Ñ Ò Ò Ø ÒÓÒÝÑÓÙ Ö Ú Û Ö ÓÖ ÓÑÑ ÒØ ÓÒ Ø Ñ ÒÙ Ö ÔØ Ì ÛÓÖ Û ÙÔÔÓÖØ Ò Ô ÖØ Ý Ø Â ÒÒÝ Ò ÒØØ Ï ÙÖ ÓÙÒ Ø ÓÒ Ì Ö Ø Ù¹ Ø ÓÖ³ ÛÓÖ Û Ð Ó ÙÔÔÓÖØ Ý Ø ÐÐ Ò Ò ÖØØÙÖ ÆÝÝ ĐÓÒ Ò ÓÙÒ Ø ÓÒ Ò Ý Ø ÓÑÑ ÓÒ Ó Ø ÙÖÓÔ Ò ÓÑÑÙÒ Ø Å Ö ÙÖ Ü ÐÐ Ò Ö ÒØ Å Ì¹ ̹¾¼¼ ¹¼½ ¾¼ µ Ö Ô Ó Ñ ÈÖÓ Ø³ A Proof of the invariance theorem ÁÒ Ø ÔÔ Ò Ü Û Ú ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ö ¹ Ø Ö Þ Ò Ø Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÐÐ Ô ØÖ ¹ ÙØ ÓÒ Ï ÔÖÓÚ ÒØ ÖÑ Ø Ö ÙÐØ Ò ÑÓÖ Ò Ö Ð ØØ Ò Ù Ø Ò Ö Ð ÔÖÓÓ Ö ÒÓØ ÑÙ Ö Ö Ò Ù Ø Ö ÙÐØ Ñ Ý Ù ÙÐ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ô ÑÓ Ð ÓÒ Ö Ò Ø Ñ Ò Ø ÜØ Ï ÙÑ Ø Ø X ÐÓ ÐÐÝ ÓÑÔ Ø À Ù ÓÖ«Ô G ÐÓ ÐÐÝ ÓÑÔ Ø À Ù ÓÖ«ØÓÔÓÐÓ Ð ÖÓÙÔ Ò X ÓÑÓ Ò ÓÙ Ô Ó G Ø ÖÓÙ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ø ÖÓÙÔ Ø ÓÒ G X X : (g, x) gx Û ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø ÖÓÙÔ ØÖÙØÙÖ (gh)x = g(hx) (gg )x = x ÓÖ g, h G x Xµ Ò ØÖ Ò Ø Ú Ø Ñ Ô G X : g gx ÓÔ Ò Ò ÙÖ Ø Ú ÓÖ ÐÐ x Xµ Ñ ÙÖ P ØÓ f¹óú Ö ÒØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ø ÓÒ Ó G f ÔÓ Ø Ú ÙÒØ ÓÒ G R + Ù Ø Ø P(gE) = f(g)p(e) ÓÖ ÐÐ Ñ ÙÖ Ð Ø E X Ò ÓÖ ÐÐ g G Û Ö Ø Ø ÓÒ g ÔÔÐ ÔÓ ÒØÛ ØÓ Ø Ø E Ý Ê ÓÒ Ñ ÙÖ Û Ñ Ò Ñ ÙÖ Ø Ø Ò Ø ÓÒ ÓÑÔ Ø Ø Ò Ò ÓÒ Ø σ¹ö Ò Ò Ö Ø Ý Ø Ø { x g(x) > } ÓÖ ÐÐ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ g : X R Û Ø ÓÑÔ Ø ÙÔÔÓÖØ Á P ÒÓÒÞ ÖÓ f¹ ÓÚ Ö ÒØ Ê ÓÒ Ñ ÙÖ Ø Ò ½ Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ f ÓÒØ ÒÙÓÙ ÖÓÙÔ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ ØÓ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÖÓÙÔ R + f(gh) = f(g)f(h) Û Ò Ú Ö g, h G Ö Ö ½ ¾ ½µ ¾ ÒÝ ÓØ Ö f¹óú Ö ÒØ Ê ÓÒ Ñ ÙÖ Ö ÓÒ Ø ÒØ ÑÙÐØ ÔÐ Ó P Ö Ö ½ ¾ ½½ ¾µ ¾ µ Ï ÓÒ Ö ÔÓ ÐÝ ÑÔÖÓÔ Ö ØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ ÒÓÒÞ ÖÓ Ê ÓÒ Ñ ÙÖ Ó X Ï ÐÐ ØÖ ÙØ ÓÒ Ð Ò¹ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ø f¹óú Ö ÒØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÖÓÙÔ Ó Ò¹ Ú ÖØ Ð Ñ ØÖ GL(n) = {A R n n Ø(A) }. ÐÐ ÔÓ Ð ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ø ÖÓÙÔ GL(n) Ö Ú Ò Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ä ÑÑ Lemma Á f : GL(n) R + ÓÒØ ÒÙÓÙ ÖÓÙÔ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ ØÓ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÖÓÙÔ R + Ø Ò Ø Ö q R Ù Ø Ø f(a) = Ø(A) q ÓÖ ÐÐ A GL(n) Ï Ö ØÖ Ø Ø ÓÑ Ò Ó Ê ÓÒ Ñ ÙÖ ØÓ ÚÓ Ö ÙÐ Ö ØÝ Ù ÁÒ Ø Ñ ØÖ Ô Ø Ø Û Û ÐÐ ÓÒ Ö Ø σ¹ö Ò ÑÔÐÝ Ø ÓÖ Ð σ¹ Ð Ö Ò Ö Ø Ý ÐÐ ÓÔ Ò Ø ½

20 ÈÖÓÓ Ö Ø ÓÒ Ö f ÓÒ Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÖÓÙÔ O(n) = { R R n n R T R = I } Û ÓÑÔ Ø Ù ¹ ÖÓÙÔ Ó GL(n) ËÙÔÔÓ Ø Ö R O(n) Ù Ø Ø f(r) > Ì Ò f(r k ) = f(r) k k ÀÓÛ¹ Ú Ö f ÑÙ Ø ÓÙÒ ÓÒ Ø ÓÑÔ Ø Ø O(n) Ì Ù f(r) = ÓÖ ÐÐ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ R O(n) ÒÝ Ñ ØÖ Ü A GL(n) Ò ÜÔÖ R DR Û Ö R Ò R Ö ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ò D ¹ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Û Ø ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ò ÙÐ Ö Ú ÐÙ ÓÑÔÓ Ø ÓÒµ Ì Ñ ØÖ Ü D = (x,...,x n ) Ò ÙÖØ Ö ÓÑÔÓ ØÓ D = S x P S xn P Û Ö S x = (x,,..., ) Ò P Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü ÝÐ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó Ü µ Ì ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Ý Ð f(a) = f(r S x P S xn PR ) = f(s x S xn ) = f(s x x n ) = f(s Ø(D)) = f(s Ø(A) ) Ì Ù f ÒØ ÐÐÝ ÙÒ¹ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò g(a) = ÐÓ f(s ÜÔ(a)) Ì ÙÒØ ÓÒ g ¹ Ø Ú g(a + b) = g(a) + g(b) ÓÖ ÐÐ a, b R Ù Ý ÕÙ Ø ÓÒµ ÆÓÛ ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó f ÑÔÐ ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó g Ò Ó g Ú ÖÝÛ Ö Ð Ò Ö Ø Ö q R Ù Ø Ø g(a) = qa ÓÖ ÐÐ a R ÓÖ f Ø Ñ Ò f(s x ) = x q ÓÖ ÐÐ x > ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ f(a) = Ø(A) q ÆÓÛ Ø Ø Û ÒÓÛ ÐÐ ÔÓ Ð ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÙÒ¹ Ø ÓÒ f Û Ò ØÓ Ø ÖÑ Ò Û Ó Ø Ñ Ý Ð f¹ ÓÚ Ö ÒØ Ñ ÙÖ Ï Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ô Ð X = G = GL(n) Û Ø Ø ÖÓÙÔ Ø ÓÒ Ú Ò Ý Ø Ù Ù Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó GL(n) Ç Ú ÓÙ ÐÝ GL(n) Ø Ø ØÓÔÓÐÓ Ð ÙÑÔØ ÓÒ Theorem ÓÖ q R Ø Ö Ø q ¹ ÓÚ Ö ÒØ Ñ ÙÖ Ó GL(n) Ú Ò Ý Ø ÒØ Ö Ð P q (E) = Ø(A) q n A E ÓÚ Ö Ø n ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ä Ù Ñ ÙÖ ÓÖ ÐÐ ÓÖ Ð Ø E GL(n) ÍÔ ØÓ ÓÒ Ø ÒØ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ö Ø ÓÒÐÝ Ê ÓÒ Ñ ÙÖ Ó GL(n) ÓÚ Ö ÒØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ø ÓÒ Ó GL(n) ÈÖÓÓ P q Ø q ¹ÓÚ Ö ÒØ P q (BE) = Ø(BA) q n A Ø(B) n E = Ø(B) q P q (E), Û Ö Ø(B) n Ø ÓÐÙØ Ú ÐÙ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ø Ò Ó Ú Ö Ð Ñ ÔÔ Ò A BA Û Ö A Ø Ò ØÓ Ò n ¹Ú ØÓÖ P q Ó Ú ÓÙ ÐÝ Ê ÓÒ Ò ÒÓÒÞ ÖÓ Ò Ø Ö ÓÖ ÐÐ Ø q ¹ÓÚ Ö ÒØ Ê ÓÒ Ñ ÙÖ Ö ÓÒ Ø ÒØ ÑÙÐØ ¹ ÔÐ Ó P q Ì Ö ÒÒÓØ f¹óú Ö ÒØ Ê ÓÒ Ñ ÙÖ ÓÖ ÒÝ ÓØ Ö f Ù Ø Ö Ø ÓÒÐÝ ÔÓ Ð ÒÓÖ¹ Ñ Ð Þ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ú Ò Ý Ä ÑÑ ½ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÒÓÒ¹ Ò Ö Ø ÓÖ Ò¹ ÒØ Ö ÐÐ Ô¹ Ó Ò ÜÔÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÒÚ ÖØ Ð Ñ ¹ ØÖ Ù ÒÝ Ù ÐÐ Ô Ó Ò Ú Ò Ø Ñ AS Ó Ø ÙÒ Ø Ô Ö S ØÖ Ò ÓÖÑ Ý Ò Ò¹ Ú ÖØ Ð Ñ ØÖ Ü A ÓÒÚ Ö ÐÝ ÒÝ ÒÚ ÖØ Ð Ñ ØÖ Ü A Ý Ð ÒÓÒ¹ Ò Ö Ø ÐÐ Ô Ó Ñ ÀÓÛ Ú Ö Ò ÐÐ Ô Ó ÓÒÐÝ n(n + )/ Ö Ó Ö ÓÑ Û Ð ÕÙ Ö Ñ ØÖ Ü n Ö Ó Ö ÓÑ Ì ÜØÖ n(n )/ Ú Ö Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ö ÔÖ Ñ Ì ÕÙ Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ AS = BS Ó Ø ÐÐ Ô Ó Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ú ¹ Ð Ò Ð Ú Ò Ý Ø Ð Ø Ó Ø A O(n) = { AR R O(n)} ÓÖ A GL(n) Ó Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ù ÖÓÙÔ O(n) GL(n) Ì Ù Û Ò Ò ÖÓÙÔ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÓÔÓÐÓ Ð ÕÙÓØ ÒØ Ô X = GL(n)/O(n) := { A O(n) A GL(n)} G X X : (A, BO(n)) (AB)O(n) Ì ÕÙÓ¹ Ø ÒØ Ô ÔÖ ÖÚ Ø ØÓÔÓÐÓ Ð ÙÑÔØ ÓÒ ¹ Ù O(n) ÐÓ Ù ÖÓÙÔ Ó GL(n) Ö Ö ½ ¾ ½µ Theorem ÓÖ q R Ø Ö Ø q ¹ ÓÚ Ö ÒØ Ñ ÙÖ Ó ÐÐ Ô Ó Ú Ò Ý P q(e) = P q ( E) ÓÖ ÐÐ ÓÖ Ð Ø E X = GL(n)/O(n) ÍÔ ØÓ ÓÒ¹ Ø ÒØ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ö Ø ÓÒÐÝ Ê ÓÒ Ñ ÙÖ Ó X ÓÚ Ö ÒØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ø ÓÒ Ó G = GL(n) ÈÖÓÓ Ì ÓØÖÓÔÝ Ù ÖÓÙÔ G O(n) = O(n) G ܹ Ò Ø ÔÓ ÒØ O(n) X ÓÑÔ Ø Ò Ó Ø ÓÒ ØÖÙ¹ Ø ÓÒ Ý Ð Ê ÓÒ Ñ ÙÖ ÔÖ ÖÚ Ò Ø ÓÚ Ö Ò Ö Ö ½ ¾ ½¾ ¾ ½ µ ÍÒ ÕÙ Ò ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾ Ï ÒÓÛ Ö ØÙÖÒ ØÓ Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ø Ñ Ò Ø ÜØ Ú Ò Ø Ò ØÝ p(a) = Ø(A) q Ó Ø Ø q ¹ÓÚ Ö ÒØ Ñ ØÖ Ü ØÖ ÙØ ÓÒ P q Ú Ò Ý Ì ÓÖ Ñ ¾ Û Ö Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ØÓ (s, c, θ, φ) Û Ö φ Ø ÜØÖ Ú Ö Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÖÓ¹ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÖÐ ÔÖ Ñ Ì Ø ( [ ] ) e s+c/ p(s, c, θ, φ) = p R θ e s c/ R φ e s Ò c Û Ö R φ Ø ÖÓØ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ò e s Ò c Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ø Ò Ó Ú Ö Ð Ñ ÔÔ Ò ÓÖ ¹ Ò ØÓ Ì ÓÖ Ñ Û Ù Ø Ò ØÓ ÒØ Ö Ø ÓÙØ Ø ÜØÖ ¾¼