Ëà ΠËÇÃ Í Æ Ì ÀÆÁ à ΠÈÊ ÙÐØ ÖÒ ÝÞ ÐÒ Òö ÒÖ Ã Ø Ö Ñ Ø Ñ Ø Ý Ã ÄýàËÃý ÈÊý Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ú ÒÓ Ù ÝÞ ÐÒ Ý Ø Ñ Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ò Ë ÑÔÐÝ È Ý Ð ËÝ Ø Ñ ÈÓ ÐÙ â ÓÐ Ø

Transkript

1 Ëà ΠËÇÃ Í Æ Ì ÀÆÁ à ΠÈÊ ÙÐØ ÖÒ ÝÞ ÐÒ Òö ÒÖ Ã ÄýàËÃý ÈÊý ¾¼¼ Å ÖØ Ò À ØÑ Ò

2 Ëà ΠËÇÃ Í Æ Ì ÀÆÁ à ΠÈÊ ÙÐØ ÖÒ ÝÞ ÐÒ Òö ÒÖ Ã Ø Ö Ñ Ø Ñ Ø Ý Ã ÄýàËÃý ÈÊý Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ú ÒÓ Ù ÝÞ ÐÒ Ý Ø Ñ Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ò Ë ÑÔÐÝ È Ý Ð ËÝ Ø Ñ ÈÓ ÐÙ â ÓÐ Ø Ð Ñ ÖÓ Å ÖØ Ò À ØÑ Ò Å Öº Å Ð Ò ÃÖ Ð È º º ¾¼¼»¾¼¼

3 Æ ØÓØÓ Ñ ØÓ Ô Ú Þ Ø Þ Ò ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Î ÒÓÑ Þ ÚØ ó ÑÙ Ø ÓÖ Ò Ð Þ Ò Ú Ó Ø ØÒ ÓÔ º

4 ØÒ ÔÖÓ Ð Ò ÈÖÓ Ð Ù Ò ØÓÑØÓ Ñ Ø ö Ñ Ô ÐÓö ÒÓÙ ÔÖ ÚÝÔÖ ÓÚ Ð ÑÓ Ø ØÒ ö Ñ ÙÚ Ð Ú ÖÓÙ ÔÓÙö ØÓÙ Ð Ø Ö ØÙÖÙº Î ÈÖ Þ Ò ¾ º ÖÚÒ ¾¼¼ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å ÖØ Ò À ØÑ Ò

5 Æ ØÓÑØÓ Ñ Ø Ý Ö ÔÓ ÓÚ Ð Å Öº Å Ð ÒÙ ÃÖ Ð ÓÚ È º º Þ ÔÓÑÓ ÒÒ Ö Ý Ó ÓØÙ Ô Ò ÓÐó Ñ Ð ÔÖ º

6 Æ Þ Ú ÔÖ Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ú ÒÓ Ù ÝÞ ÐÒ Ý Ø Ñ ÙØÓÖ Å ÖØ Ò À ØÑ Ò Ç ÓÖ ÌÚÓÖ Ó ØÛ ÖÙ» ÁÒö ÒÖ Ò ÓÖÑ Ø ÖÙ ÔÖ Ð ÔÖ Î ÓÙ ÔÖ Å Öº Å Ð Ò ÃÖ Ð È º º Ã Ø Ö Ñ Ø Ñ Ø Ý Â Á ÎÍÌ ÈÖ ÃÓÒÞÙÐØ ÒØ ØÖ Ø Ì ØÓ Ð ÔÖ Þ Ú Ð Ñ Ô ÖØ Ñ Ø ÓÖ Ø Ñ Ò Ý Ø ÓÖ Ð ¹ Ò ÖÒ Ø Ð ØÝ ÔÓÖÙ ÓÚÓÙ Ø ÓÖ º Î Þ Ú ÖÙ ÓÖÑÙÐÓÚ Ò Ã Å Ø ÓÖ Ñ Ô Ð Ø ÓÖ Ó Ùº ÈÖ ÓÔÐÒ Ò Ô Ð Ý Ö Ý Ñ ØÝ óö Þ ÖÓÚÒ ö Ð Ò Ò ÔÓ ÖÓ Ò Ó ÚÓÞ Ò º Î Ó Ø Ù Ô Ø Ú Ò ÔóÚÓ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÚÝØÚÓ Ò Ú ÒÙÑ Ö Ñ Ý Ø ÑÙ Å ØÐ Ó Ù Ò Ñ ÒÓ Ù Ñ Ò Ý Ø Ñó Ó Ò ö Ú Ø ÜØÙ º ÃÐ ÓÚ ÐÓÚ Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ñ ÐØÓÒÓÚ ÝÒ Ñ ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ Ð Ò ÖÒ Ø ¹ Ð Ø Ã Å Ø ÓÖ Ñ Ì ØÐ Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ò Ë ÑÔÐÝ È Ý Ð ËÝ Ø Ñ ÙØ ÓÖ Å ÖØ Ò À ØÑ Ò ØÖ Ø Ì ÐÓÖ³ Ö ÔÖÓ Ø ÓÒ ÖÒ Û Ø Ð Ð Ô ÖØ Ó Ø ÓÖ Ø Ð Ñ Ò Ø ÓÖÝ Ó Ð Ò Ö Ø Ð ØÝ Ò Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ø ÓÖݺ Ì Ã Å Ø ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ó Ø Ó Ø ÓÖÝ Ð Ó Ñ ÒØ ÓÒ º Ì Ö Ö Ñ ÒÝ Ü ÑÔÐ ÙÖ Ò Ñ Ø Ö Û Ò ÒÐÓ º ÈÖÓÔ ÖÐÝ Ö Ú Ø ÓÒ Ó Ù ÓÖÑÙÐ Ö ÑÔ Þ Ò Ø ÛÓÖ º ÁÒ ÔÔ Ò Ü Ø Ö Ö ÔØ ÓÒ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Û Ò Ñ Ø Ø Ú ÓÙÖ Ó ÑÔÐ Ñ Ò Ð Ý Ø Ñ º ÁØ Ö Ø Ò ÒÙÑ Ö Ð Ý Ø Ñ Å ØÐ º Ã Ý ÛÓÖ Ø ÖÑ Ò Ø Ó À Ñ ÐØÓÒ³ ÝÒ Ñ Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ Ð Ò Ö Ø Ð ØÝ Ã Å Ø ÓÖ Ñ

7 Ç ½ ÚÓ ½ ¾ Å Ø Ñ Ø Ô Ö Ø ¾º½ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ½º ¾º Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ä Ò ÖÒ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ Ó ÒØÝ º º º º º º º º º º ¾º½º¾ ËÓÙ Ø Ú n Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÔÖÚÒ Ó Ù Ú ÒÓÒ Ñ ØÚ ÖÙ º º º º ¾º½º ÁÒØ Ö Ú Ö ØÙÖÓÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ð ÔØ ÒØ Ö ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º½ ÈÓÑÓÒ ÚÔÓ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º¾ ÔÐÒ Ð ÔØ ÒØ Ö ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º Æ ÔÐÒ Ð ÔØ ÒØ Ö ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º Â Ó Ó Ð ÔØ ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º º½ ËÓÙÚ ÐÓ Ø Ð ÔØ Ñ ÒØ Ö ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º º¾ Ò Â Ó Ó Ð ÔØ ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º ÎÐ ØÒÓ Ø Ð ÔØ ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÝÒ Ñ ½ º½ Ä Ö Ò óú ÓÖÑ Ð ÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ À Ñ ÐØÓÒóÚ ÔÖ Ò Ô Ä Ö Ò ÓÚ ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÎÐ ØÒÓ Ø Ð Ö Ò ÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º È Ð Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ À Ñ ÐØÓÒóÚ ÓÖÑ Ð ÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º½ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º¾ ÎÐ ØÒÓ Ø Ñ ÐØÓÒ ÒÙ ÈÓ ÓÒÓÚÝ Þ ÚÓÖ Ý º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º È Ð Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º à ÒÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½ ÎÝØÚÓ Ù ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Ä Ö Ò ÓÚÝ Þ ÚÓÖ Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Ä ÓÙÚ ÐÐ óú Ø ÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º À Ñ ÐØÓÒÓÚ ¹Â Ó ÓÚ ÖÓÚÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½ Ç Ò ØÚ Ö ÖÓÚÒ Ô Ö Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÈÖÓÑ ÒÒ ¹ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ô ÖÓÚ Ø ÐÒ Ý Ø ÑÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÓ Ý Ò ÞÓÚ Ñ ØÓÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

8 Ç Ë À ÈÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ º½ Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ç Ò ÔÓ ØÙÔ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ È Ð Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÙÐ Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ à ÒÓÒ ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ ÈÓÖÙ ÓÚ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ¹Â Ó ÓÚ ÖÓÚÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ à Ò Ù O (ε) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ã Å Ø ÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÓÖÑÙÐ ÔÓ Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÈÓÞÒ Ñ Ý ÔÓ Ñ Ò Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä Ò ÖÒ Ø Ð Ø º½ Ò ÐÞ ÖÓÚÒÓÚ öò Ó ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Å Ø Ø Ð ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ ÃÐ ÖÓÚÒÓÚ öò Ó ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º È Ð Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú Ö à Ò ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ ÚÝØÚ Ò Ò Ñ º½ Å ØÓ Ý ÊÙÒ ¹ÃÙØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ò Ñ ÒÓ Ù Ñ ÐØÓÒÓÚ Ý Ø Ñó º º º º º º º º º º º º º º º º º º

9 Ã Ô ØÓÐ ½ ÚÓ Ì ÓÖ Ó Ù ÒÓÙ Þ ÑÓ ÖÒ Ó Ð Ø ÝÞ Ý ö ÔÓÞÒ Ø Ý ÓÚ Ñ ÙÔÐ ØÒ Ø Ó ÓÒ Þ Ö Ò Ñ Ô ÖÓ Ò Ú º Î Ò ÔÐ ÒÝ Ø Ö Ø ÓÖ ÚÝÙö Ú ÓÙ Ú Ð ÖóÞÒÓÖÓ Ò ¹ Ñ Ø ÓÙ ÞÑ Ù Ñ Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Ð Ø Ý Ò ö Úó Ø ÓÖ ÚÞÒ Ð µ ÓÐÓ Ð Ø Ó¹ ÒÓÑ º  ÔóÚÓ Ú Ø Ò ÔÐ Ú ÔÓ Ò ÝÞ ÓÙº Ð Ñ Ø ØÓ ÔÖ ÝÐÓ ÞÒ Ñ Ø Ô ÖØ Ñ Ð Ñ Ò Ý Ø Ö ÓÙ ÔÖÓ Ð ØÙ ÙÑ Ø ÓÖ Ó Ù Ò Þ ÝØÒ ÚÝØÚÓ Ø ØÖÙ Ò Ô Ð º ÈÖÓØÓ Ú ÔÖ Ð Ò Ú Ð óö Þ Ò Ñ ÐØÓÒÓÚ ÔÓÔ ÝÞ ÐÒ Ý Ø Ñó Ò Ñ ÓÙÚ Ø ÓÖ ÒÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ º Ý ÝÐ Ú Ð ÔÐÒ ÓÙ Ú ÔÖÚÒ Ô ØÓÐ ÖÒÙØÝ Ñ Ø Ñ Ø ÔÓ ÑÝ ÔÓ ØÙÔÝ ØÓ Ú Ø ÓÖ Ø Ñ Ò Ùö Ú Ò º Þ ÔÓÚ ÑÒÙØ Ò Þó Ø Ð Ò Ø ÓÖ Ð Ò ÖÒ Ø Ð ØÝ Ø Ö Ú Ø ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ó Ù Ö Ú ÐÑ óð ¹ ö ØÓÙ ÖÓÐ º Ë ÙØ Ò Ó Ö ÞÓÚ Ñó Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÑÙ Ó Ù ÓÚ Ñ Ô Ø ÚÙ ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ ö ÚÖ ÓÐ ØÚÓ ÔÖÓ ÐÙÐ Ã Å Ø ÓÖ Ñº Ì Ø Ú ÔÖ ÔÓ ÖÓ Ò ÙØÓÚ Ò Ú ØÒ ÔÓÔ Ù Ò ÐÓÚ ÔÖÓÑ ÒÒ º Â Ú Ó Ò ÔÓÞÒ Ñ Ò Ø ö Ø ÓÖ Ó Ù Ó Ø ÖÓÞ Ð Ò ÖÓ Ò Ø Ý Ø Ö Ø ØÙØÓ ÔÖ ÙØ Ò Ò Ó ÒÙØÒÓÙ Ô ÔÖ ÚÙ ÔÖÓ Ð ØÙ ÙѺ È ØÓ ÔÖÓ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÙÑÓö Ù ÔÐ ÓÚ Ø Ò ÝØ ÔÓÞÒ Ø Ý Ò ÔÖ Ø Ô Ð Ó Ñö Ñóö Ø Ò Ô Ú Ø Ú Ó Ø Ù Ø ØÓ ÔÖ º ½

10 ¾ à ÈÁÌÇÄ ½º ÎÇ

11 Ã Ô ØÓÐ ¾ Å Ø Ñ Ø Ô Ö Ø ¾º½ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ½º ¾º Ù Ä Ò ÖÒ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ¾º Ù ÖÓÚÒ ØÚ ÖÙ F(t,x,ẋ,ẍ) = q(t), ¾º½µ F(t,x,ẋ,ẍ) ÙÒ Ú Ò ö ÔÖÓÑ ÒÒ x, ẋ, ẍ ÚÝ ÝØÙ Ò Ú Ú ÔÖÚÒ ÑÓÒ Ò q(t) ÔÓ Ø ÙÒ Ò ÓØ Ú Ò Ñ ÒØ ÖÚ ÐÙ I R x(t) Ò ÞÒ Ñ ÙÒ º ÈÓ Ù q(t) = ÑÐÙÚ Ñ Ó Ð Ò ÖÒ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ¾º Ù Þ ÔÖ Ú ØÖ Òݺ ÊÓÚÒ ØÓ ÓØÓ ØÝÔÙ Þ Ù Ñ Ú ÝÞ Ú ÐÑ óð ö Ø Ñ ØÓ Ó Ý Ò ÔÖÓÑ ÒÒ t ÞØÓØÓö Ù Ñ x Ö Ôº xµ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ÔÓÐÓ ÓÚÓÙ ÓÙ Ò Ö Ôº Ú ØÓÖµ ÙÖ Ø Ó Ó ØÙ ẋ = d x dt ẍ = d x Ô Ó ÖÝ ÐÓ Ø dt ÞÖÝ Ð Ò º ÈÓ ÖÓ Ò ¾º½µ Þ Ô Ø Ó ẍ(t) + p 1 (t)ẋ + p (t)x(t) = q(t), ÙÒ p (t), p 1 (t) ÔÐ Ù Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Ý Ó ÙÒ q(t)º à ö ÓÙ ÖÓÚÒ ¾º½µ ÐÞ Ô Ú Ø Ù Ø ØÙ y = ẋ Ò ÓÙ Ø ÚÙ ÚÓÙ ÖÓÚÒ ½º Ù y = ẋ, ẏ + p 1 y + p x = q. Ì ØÓ Ù Ø ØÙ Ñóö Ú ÑÒÓ Ô Ô ÙÐ Ø ÒØ ÖÓÚ Ò ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ º ¾º½º½ Ä Ò ÖÒ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ Ó ÒØÝ Æ ÒÓ Ù Ø ÐÒÑ ÖÓÚÒ Ñ ÓÙ Ð Ò ÖÒ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ Ó ÒØݺ Å ØÚ Ö ẍ(t) + a 1 ẋ + a x(t) =, ¾º¾µ a, a 1 R ÓÙ ÓÒ Ø ÒØݺ Ã Ò Ø ÓÚ ÖÓÚÒ ÚÝÙö Ñ ÞÒ ÐÓ Ø ÔÖÚÒ ÚÓÙ Ö Ú ÜÔÓÒ Ò ÐÒ ÙÒ Ø Ý de λt = λe λt, dt d e λt dt = λ e λt.

12 à ÈÁÌÇÄ ¾º Å Ì Å ÌÁ Ã È ÊýÌ à Ò Ô Ð Ñ Ú ØÚ ÖÙ x(t) = e λt º ÊÓÚÒ ¾º¾µ ÔÓØÓÑ Ô Þ Ò ØÚ Ö λ e λt + a 1 λe λt + a e λt =. ÈÓ ÚÝØ ÒÙØ e λt Ó Ø Ú Ñ Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÙ Ô ÐÙ ÒÓÙ Ú Ö Ø ÓÙ ÖÓÚÒ Ò Ñ λ 1, C ØÙ ö Ø Ò ¾º¾µ λ + a 1 λ + a = x(t) = C 1 e λ 1t + C e λ t. ÍÚ Ò Ú Ð Ú ÔÐ Ø ÔÓÙÞ Þ Ô ÔÓ Ð Ù λ 1 λ º ÈÓ Ù λ 1 = λ = λ Ò ÒÓ Ô Ú Ñ Ó Þ Ò Ñ Ó ¾º¾µ ö Ò Ò Ú ØÚ ÖÙ x(t) = C 1 e λt + C t e λt. È Ð Â ÒÓ Ù ÓÙ ÖÓÚÒ ØÝÔÙ ¾º¾µ ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Ò ØÐÙÑ Ò Ó ÖÑÓÒ Ó Ó Ð ØÓÖÙº ẍ + ω x =, ¾º µ ω = k/m ÐÓÚ Ö Ú Ò m ÑÓØÒÓ Ø Þ Ú ö k ØÙ Ó Ø ÔÖÙö Òݺ ÈÓ Ù Ñ ÒÝÒ ÙÖ Ø x(t)º ÀÐ Ñ Ó ÒÝ ÖÓÚÒ λ + ω =, Ò ÒÓ Ø Ý Ò Þ Ñ Ò ¾º µ Ú ØÚ ÖÙ x(t) = C 1 e iωt + C e iωt. ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ö Ø Ô ÙÖ ÓÚ Ò ÔÓÐÓ Ý ÓÑ Þ Ø Ò x(t) R ÚÝÙö Ø Ñ ÙÐ ÖÓÚÝ ÓÖÑÙÐ Ô Ñ x(t) = D 1 cos ωt + D sin ωt, D 1 = C 1 + C, D = C 1 C º à Ò Ø ÚÝ Ø Ó x(t) = asin(ωt + δ), ¾º µ Ò Óð ÔÐ Ø asin(ωt + δ) = asin }{{ δ} cos ωt + acos }{{ δ} sin ωt. D 1 D È Ö Ñ ØÖÝ a ÑÔÐ ØÙ µ δ ÞÓÚ ÔÓ ÙÒµ Ô Ð ÙÖ Ñ Þ ÖÓÚÒ a = D 1 + D, sin δ = D 1, cos δ = D 1 + D D. D 1 + D

13 ¾º½º Á Ê Æ ÁýÄÆ ÊÇÎÆÁ ½º ¾º àý Í ¾º½º¾ ËÓÙ Ø Ú n Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÔÖÚÒ Ó Ù Ú ÒÓÒ Ñ ØÚ ÖÙ ÍÚ öù Ñ ÒÝÒ ÓÙ Ø ÚÙ n Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÔÖÚÒ Ó Ù Ú ØÞÚº ÒÓÒ Ñ ØÚ ÖÙ Ø º Ò Ð Ú ØÖ Ò i¹ø ÖÓÚÒ ÚÝ ÝØÙ ÔÓÙÞ Ö Ú i¹ø ÔÖÓÑ ÒÒ ÔÓ Ð t Ò ÔÖ Ú ØÖ Ò ö Ò Þ ÖÓÚÒ Ò Ò ö Ò Ð Ò Ö ÚÓÚ Ò ẋ 1 = a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n, ẋ n = a n1 x 1 + a n x + + a nn x n, º ¾º µ Ú ÒÝ Ó ÒØÝ a ij ÓÙ ÓÒ Ø ÒØݺ Ç Ó Ò Ó Ù ÖÓÚÒ ¾º¾µ Ô ÔÓ Ð Ñ ö Ò Ñ ØÚ Ö x 1 = k 1 e λt, x = k e λt,..., x n = k n e λt. ÈÓ Ù Ó Ñ Ø ÒØÓ ÚÖ Þ Ó ÔóÚÓ Ò ÓÙ Ø ÚÝ ÒÓ Ù Ö Ú Ô Ú Ñ Ò ÔÖ ÚÓÙ ØÖ ÒÙ ÐÓ Ó Ø Ú ÔÓ Ó Ù ÓÙ Ø ÚÝ Ð Ò ÖÒ ÖÓÚÒ Ó n Ò ÞÒ Ñ k 1,...,k n º (a 11 λ)k 1 +a 1 k + + a 1n k n =, a 1 k 1 +(a k λ) + + a n k n =, a n1 k 1 +a n k + + (a nn λ)k n =, ËÓÙ Ø Ú Ù Ñ Ø Þ Ñ Ò ÒÙÐÓÚ Ò ÔÓ Ù Ñ Ø Ù Ò ÙÐ ÖÒ Ò ÓÐ a 11 λ a 1 a 1n a 1 a λ a n º ºº =. a n1 a n a nn λ ÇÞÒ Ñ = (k 1,...,k n ) Ü = (x 1,...,x n )º ÈÓ Ù Ñ ÔÓ Ð Ò ÖÓÚÒ n ÖóÞÒ Ó Òó Ó Ø Ò Ñ ÔÖÓ ö ÓÙ ÚÓÐ Ù λ i, i = 1,,...,n ÒÓÙ ÓÙ Ø ÚÙ ÖÓÚÒ Ñö Ò Ñ Ú ØÓÖ i º È ÐÙ Ò Ð ÓÚ Ò Ñ Ô ØÚ Ö º Ü i = C i e λ it i, i = 1,,...,n, C i Ð ÓÚÓÐÒ ÓÒ Ø Òغ ÈÖÓØÓö Ý Ø Ñ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÝÐ Ð Ò ÖÒ Þ Ô Ñ Ò ¾º µ Ó ÙÔ ÖÔÓÞ Ô ÓÞ Ú Ð ó ¾º½º ÁÒØ Ö Ú Ö ØÙÖÓÙ Ü = C 1 e λ 1t 1 + C e λ t + + C n e λnt n. Ì ØÓ Ñ ØÓ Ò Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÞÒ Ò óñý ÐÒ Ú Ò Ò Þ ÙÒ Ú ÖÞ ÐÒ ÔÓ ØÙÔ Ó Ñ ØÓ Ô ÓÞ ÚÝö Ù Ô Ø ÒÓÙ Ú Ù ÝÞ ÐÒ ÒØÙ º ÈÖ Ò Ô ÔÓ Ú Ú Ò Ð Þ Ò ØÞÚº ÒØ Ö Ðó ÔÓ Ý Ù ÖÓÚÒ Ø Ý ÒÚ Ö ÒØó Ú ØÞÒº Ú Ð Ò I ÔÖÓ Ò ö di dt =. Æ Úö Ý Ø ÓÚ Ú Ð Ò Ò Ð ÞØ Ò Ý ØÓ Ò ÓÔ ÔÓÑ ÖÒ ÒÓ Ù º ÈÓ Ù Ò Ñ Ø Ò ÔÓ Ø ÒØ Ö Ðó ÔÓ Ý Ù Ó ÖÓÚÒ Ø Ý ØÓ ÞÒ Ñ Ò ö Ñ ÖÓÚÒ ÚÝ Ð º

14 à ÈÁÌÇÄ ¾º Å Ì Å ÌÁ Ã È ÊýÌ Ý ö ÑÙ ÒØ Ö ÐÙ ÔÓ Ý Ù ØÓØ ö Ñóö Ñ Ò ö Ø ÖÓÚÒ Ó Ò ØÙÔ º Ç Ý Ò Ñ Ò Ð Þ Ò ÒÚ Ö ÒØÝ Úó ÝÞ ÐÒ ÚÞÒ Ñº Æ Ô Ð Ù ÓÒÞ ÖÚ Ø ÚÒ ÙÞ Ú Ò Ý Ø ÑÙ Þ ÓÚ Ú Ò Ö Ô ÔÓ Ý Ù Ú ÖÓÚ Ò Ú Þ Ã ÔÐ ÖÓÚÝ Þ ÓÒݵ Þ ÓÚ Ú Ò Þ ÐÓö ÑÓÑ ÒØÙ Ý ÒÓ Ø º  ٠ÔÓÞ Ù Þ ÒÓ Ú ÐÑ Ó ÒØ Ö ÐÝ ÔÓ Ý Ù Ò Ð ÞØ ÔÓÑÓ Ä Ö Ò ÓÚ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÓÖÑ Ð ÑÙº È Ð Æ ÚÖ ðñ ÖÓÚÒ ¾º µ ÔÓ Ù Ñ ÒØ ÖÓÚ Ø Ú Ö ØÙÖÓÙº Æ Ú Ù Ø ØÙ y = ẋ Þ Ñ ÓÙ Ø ÚÙ ÚÓÙ ÖÓÚÒ ẋ = y ẏ = ω ¾º µ x. ÆÝÒ Ò Ó Ñ ÔÖÚÒ ÖÓÚÒ Ú ¾º µ ÚÖ Þ Ñ ω x ÖÙ ÓÙ ÖÓÚÒ Ú ¾º µ ÚÖ Þ Ñ yº ÈÓ Ø Ò Ó Ø Ú Ñ yẏ + ω xẋ =, ¾º µ Ò Óð ÔÖ Ú ØÖ ÒÝ Ó ØÐݺ ÎÖ Þ Ò Ð Ú ØÖ Ò ¾º µ Þ Ô Ø Ó Ö Ú ÓÙ ÒÙ ( d 1 dt y + 1 ) ω x = di 1 dt =. Æ Ð ÞÐ Ñ Ø Ý ÒØ Ö Ð ÔÓ Ý Ù I 1 Ý Ò ÑÙö Ñóö Ñ Ò ö Ø ÖÓÚÒ º Î ÓÙÐ Ù Ø Ñ Ó ö ÝÐÓ ÒÓ Ò ÔÓÞÒ Ñ Ò Ú Ñ ö ÒÚ Ö ÒØ I 1 Ñ ÝÞ ÐÒ ÚÞÒ Ñ Ñ Ò Ò Ö ÖÑÓÒ Ó Ó Ð ØÓÖÙ Ò Óð y = ẋº ÎÝ Ñ ¹Ð Þ ¾º µ ÔÖÓÑ ÒÒÓÙ y Ó Ø Ò Ñ ÖÓÚÒ ½º Ù y = ẋ = dx dt = (I 1 1 ) ω x, Ø ÖÓÙ Ò ÒÓ ÚÝ Ñ Ô Ö ÔÖÓÑ ÒÒ Ô ÑÓÙ ÒØ Ö dx dt = ( I 1 1 ω x ). È ÚÔÓ ØÙ ÒØ Ö ÐÙ Ò ÔÖ Ú ØÖ Ò Ùö Ñ Ù Ø ØÙ Ò Ñ ØÓ Ù dx ( I 1 1 ω x ) = 1 dx t = ωx/ I 1 = I1 1 ω x dt = ω/ I 1 dx = 1 ω I 1 Ð Ñ Ò Ñ Ø Ý ÚÝ Þ Ú Ð t + I = 1 ω arcsin ωx I1, dt 1 t. Ô Ñö ÒØ Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ I Þ ÖÓÚ ÖÙ Ñ Ð ÒÑ ÒØ Ö Ð Ñ ÔÓ Ý Ùº Ò Ñ Ø Ý t Ó ÙÒ ÔÓÐÓ Ý xº  ÒÓ Ù ÓÙ ÒÚ ÖÞ Ó Ø Ò Ñ ÚÝ Ò Þ Ú ÐÓ Ø ÔÓÐÓ Ý x Ò t ØÓ I1 x(t) = ω sin (ωt + I ω). ¾º µ ËÖÓÚÒ Ñ ¹Ð ¾º µ Ú Ð Ñ ¾º µ Þ Ø Ñ ÚÞØ Ý Ñ Þ ÓÒ Ø ÒØ Ñ a = I1 ω, δ = I ω.

15 ¾º¾º ÄÁÈÌÁ à ÁÆÌ ÊýÄ Æ Þ Ú Ö Ø ÔÓÞÒ Ñ Ò Ú Ñ ö Ù ÒÓ Ù ÖÓÚÒ Ó ¾º µ ÒØ Ö Ú Ö ØÙÖÓÙ ÔÓÒ Ù Þ ÐÓÙ Ú Ò ö öò Ò ÙÚ Ò Ú Ô ÓÞ Ñ Ø ÜØÙ Ú Ó Ý ÔÖÓ Ú ö Ú Ú Ð Ý ÖÓÚÒ Ó Ù Ò Ð Ò ÖÒ Ð Òݺ ¾º¾ Ð ÔØ ÒØ Ö ÐÝ ¾º¾º½ ÈÓÑÓÒ ÚÔÓ ØÝ Ú Ò ö Ô ØÓÙÔ Ñ ÑÓØÒ ÑÙ ÚÔÓ ØÙ Ð ÔØ ÒØ Ö Ðó Ù Ó Ö Ò ÔÖÚ ÔÖÓÚ Ø Ò ÓÐ ÔÓÑÓÒ ÚÔÓ Øóº È Ò ÔÓØ Ù Ñ ÚÝ Ø Ó ÒÓØÙ ÒØ Ö ÐÙ J n = π sin n xdx, n N. ¾º µ ÈÓÙö Ñ Ñ ØÓ Ù Ô Ö Ô ÖØ π sin n u = sin n 1 x u = (n 1)sin n xcos x xdx = v = sin x v = cos x = = π Ú Ñ Ø Ý Ö ÙÖ ÒØÒ ÖÓÚÒ (n 1)sin n xcos xdx [ sin n 1 xcos x ] π }{{} π = (n 1) sin n xdx (n 1) J n = (n 1)(J n J n ), π = sin n xdx. ÔÓÑÓ Ø Ö Ùö ÐÞ Ó ÒÓØÙ ÒØ Ö ÐÙ ÔÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ n N ÔÓ Ø ÔÖÓØÓö ÞÒ Ñ Ó ÒÓØÙ ÔÖÓ n = 1 Ð ÓÚ ÔÐ Ø J = π sin xdx = π 1 cos x dx = [ 1 x 1 ] π sin x 4 J n = n 1 n J (n 1)!! n = π (n)!!. = π 4. ËÒ ÒÓ ÓÚ Ñ ö ÚÞÓÖ ÔÖÓ n = 1 ÙØ Ò ÔÐ Ù Ú ÙÚ ÒÓÙ ÖÓÚÒÓ Ø = J = ( 1)!!!! π = 1 π = π 4. ÓÙÑ Ñ ÒÝÒ Ø ÒÓÑ ÖÒÓÙ ÓÒÚ Ö Ò Ý ( 1) n n=1 (n 1)!! (k sinx) n (n)!!

16 à ÈÁÌÇÄ ¾º Å Ì Å ÌÁ Ã È ÊýÌ Ò ÑÒÓö Ò M = [, π ]º ÈÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ x M ÓÞÒ Ñ f n (x) = ( 1) n (n 1)!! (k sin x) n = (n)!! f(x) = lim n f n(x) = lim n ÔÓÙö Ñ ÙÔÖ Ñ ÐÒ Ö Ø Ö ÙÑ σ n := sup f n (x) f(x) = sup x M x M (n 1)!! ( k sin x) n (n)!! (n 1)!! ( k sin x) n = (n)!! (n 1)!! ( k sin x) n = (n)!! (n 1)!! k n n. (n)!! Ô ÓÞ Ó ÔÐÝÒ ö ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÙÒ f n (x) Ò ÑÒÓö Ò M Ø ÒÓÑ ÖÒ ÓÒÚ Ö Ù Ø Ý f n (x) M, Ø Ý ÔÐÒ Ò ÒÙØÒ ÔÓ Ñ Ò ÔÖÓ Ø ÒÓÑ ÖÒÓÙ ÓÒÚ Ö Ò Ýº Ð ÚÝÙö Ñ ØÙ ö ÔÖÓ k (,1) ÔÐ Ø k n = 1 1 k n= ÔÓÑÓ Ï Ö ØÖ ÓÚ Ö Ø Ö Ò ÒÓ ÖÓÞ Ó Ò Ñ ö Ð Ò [, π ] Ø ÒÓÑ ÖÒ ÓÒÚ Ö ÒØÒ Ò Óð f n (x) = (n 1)!! ( k sin x) n k n. (n)!! Ç ÔÖ Ú ÔÖÓÚ Ò ÚÔÓ ØÝ ÞÙö Ø Ù Ñ Ú Ò Ð Ù Ñ Ó ÐÙ Ô ÚÝ ÐÓÚ Ò Ó ÒÓØ Ð ÔØ ¹ ÒØ Ö Ðóº ¾º¾º¾ ÔÐÒ Ð ÔØ ÒØ Ö ÐÝ ÔÐÒ Ð ÔØ ÒØ Ö ÐÝ ÓÙ ÒÓÚ ÒÝ Ò Ð ÓÚÒ º I 1 = I = I 3 = I 4 = π π π π 1 + k sin xdx, k (,1). ¾º½¼µ 1 k sin xdx, k (,1). ¾º½½µ 1 dx, k (,1). ¾º½¾µ 1 + k sin x 1 dx, k (,1). ¾º½ µ 1 k sin x ÈÖÓ Ð Ô Ô Ø ÚÙ Ò Ó Ö Þ Ù ¾º½ ÙÚ Ñ Ö ÞÒ ÞÓÖ Ù ÒØ Ö Ò Ý Ú ØÝ ÒØ Ö Ðóº ÈÓ Ù Ñ ÚÝ Ø Ò Ô Ð Ó ÒÓØÙ ÒØ Ö ÐÙ ¾º½¾µ Ó Ø ØÒ ÔÓ Ø Ò ÐÓ Ý Ò Ù¹ Ñ ÚÔÓ Ø Ñ Þ Ú Øº Æ Þ ÑÓöÒÓ Ø ÒØ Ö Ò ÖÓÞÚ ÒÓÙØ ÔÓÑÓ Å Ð ÙÖ ÒÓÚ ÖÓÞÚÓ Ó Ò ÓÒ Ò Ý k sin x = ( ) 1/ (k sin x) n = 1 + n n= ( 1) n n=1 (n 1)!! (k sin x) n (n)!!

17 ¾º¾º ÄÁÈÌÁ à ÁÆÌ ÊýÄ y 3 1 π/ π 3π/ π x Ç Ö Þ ¾º½ ÁÒØ Ö Ò Ý Ð ÔØ ÒØ Ö Ðó ÔÖÓ k = 9/1 Ú ¾º½¾µ ÒØ ÖÓÚ Ø Ð Ò ÔÓ Ð ÒÙº à ØÓÑÙ Ú ÑÙ ÔÖÓ Ô ÐÙ Ò k ÓÒÚ Ö ÓÚ Ø Ø ÒÓ¹ Ñ ÖÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ M = [, π ]º ÌÙØÓ ÚÐ ØÒÓ Ø Ñ ÓÚ Ð Ú Ô ÓÞ Ñ Ó Ø Ú º ÈÓ Ö Ù Ñ Ø Ý Ú ÚÔÓ ØÙ π π k sin x dx = = π + π 1dx + n=1 π ( 1) n n=1 (n 1)!! (k sinx) n dx = (n)!! ( 1) n (n 1)!! (k sinx) n dx = (n)!! = π + ( 1) n k n(n 1)!! (n)!! n=1 π sin n xdx. Ý ÒØ Ö ÐÙ ¾º µ Ùö Ò ÒÓ ÚÝ Ñ Ð ÒÓÙ Ó ÒÓØÙ ÔóÚÓ Ò Ó ÒØ Ö ÐÙ ÈÖÓ ÔÐÒÓ Ø ÖÒÙ Ñ I 3 = π + π ( ) (n 1)!! ( k ) n. (n)!! n=1 I 1 = π + π 8 k π ( k ) n(n 3)!!(n 1)!! n=1 [(n)!!] ¾º½ µ I = π π 8 k π k n(n 3)!!(n 1)!! [(n)!!] ¾º½ µ n=1 I 3 = π + π ( ) (n 1)!! ( k ) n ¾º½ µ (n)!! n=1 I 4 = π + π ( ) (n 1)!! k n. ¾º½ µ (n)!! n=1

18 ½¼ à ÈÁÌÇÄ ¾º Å Ì Å ÌÁ Ã È ÊýÌ ¾º¾º Æ ÔÐÒ Ð ÔØ ÒØ Ö ÐÝ ËÐÓö Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÚÔÓ Ø Ò ÔÐÒ Ð ÔØ ÒØ Ö Ðó ØÞÒº ϕ E 1 = 1 + k sin xdx, k (,1). ¾º½ µ E = E 3 = E 4 = ϕ ϕ ϕ Æ Ñ ØÓ ÒØ Ö ÐÙ ¾º µ ØÓØ ö ÒÝÒ Ø ÔÓ Ø F n = 1 k sin xdx, k (,1). ¾º½ µ 1 dx, k (,1). ¾º¾¼µ 1 + k sin x 1 dx, k (,1). ¾º¾½µ 1 k sin x ϕ sin n xdx, n N, ¾º¾¾µ Ø Ö Ùö Ò Ò ØÖ Ú ÐÒ ÚÝ Ø ÐÒº ÎÔÓ Ø ÔÖÓÚ Ø ÒÙÑ Ö Ý Ò Ô º Ùö Ø Ñ Ð Ó ö¹ Ò ÓÚ Ó Ë ÑÔ ÓÒÓÚ ÔÖ Ú Ð º ÈÓ Ù Ý ÓÑ Ô ØÓ Ø Ð ÔÖÓÜ ÑÓÚ ÒÓÙ Ó ÒÓØÙ ¾º¾¾µ ÚÝ Ø Ò ÐÝØ Ñ Ô Ô Ñ ÐÞ ÙÒ sin x Ò Ö Ø Ú Ö Ø ÓÙ ÙÒ q(x) = 1 4 π ( x π ), Ø Ö Ú Ó x = x = π Ò Ú Ø Ò Ó ÒÓØ Ò Ú Ô ÑÓÒ Ò ÚÝ Ó Ñ Ù Ñ ÜÔÓÒ ÒØ Ñ Ø Ñ Ó Ù ÙÒ sin n xº Ó Ø Ú Ñ Ø ϕ ϕ sin n xdx (1 4π ( x π ) n dx = ) = = = ϕ n m= n m= n m= ÎÝÔÓ Ø Ñ ÒÝÒ Ð ÒØ Ö Ð ¾º¾¼µ E 3 = ϕ = ϕ ( n m ) ( ( 1) m π ( n m ( ) n ( 1) m m m + 1 ϕ ) ( 4 π ) m ( x π ) m dx = ) ) m [( x π m + 1 [ ( π m+1 ] ϕ = ) m ( ϕ π ) m+1 π + ( 1) n (n 1)!! (k sin x) n dx = (n)!! n=1 ( 1) n k n n=1 (n 1)!! (n)!! ϕ Ð ÓÚ Ñ Ø Ý ¾º¾¼µ ÔÖÓÜ ÑÓÚ Ð Ó ÒÓØÓÙ n ( ) [ ( n (n 1)!! ( 1) n+m k n E 3 ϕ + m (n)!! m + 1 π n=1 m= sin n x. ) m ( ϕ π ]. ] ) m+1 π +. Æ Ó Ö Þ Ù ¾º¾ ÔÖÓ ÐÙ ØÖ ÚÝ Ö Ð Ò ÔÖó Ð ÔØ ÒØ Ö Ðó Ó ÙÒ ϕ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ k = 9/1º

19 ¾º º Â Ç ÁÀÇ ÄÁÈÌÁ à ÍÆà ½½ y π/ π 3π/ π x Ç Ö Þ ¾º¾ Ð ÔØ ÒØ Ö ÐÝ Ó ÙÒ ÔÖÓÑ ÒÒ ϕ Ô k = 9/1 ¾º Â Ó Ó Ð ÔØ ÙÒ ÈÖÓ ÝÞ ÐÒ Ý Ø ÑÝ Ø ÖÑ Ù Ñ ÔÓÞ Þ Ú Ø Ö Ø Ö Ø Ò Ð Ò Ö Ø ØÞÒº Ú ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ ÚÝ ÝØÙ Ð ÒÝ a n x n n, a n Rº ÍÚ öù Ñ ÒÝÒ Ò Ð Ò ÖÒ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÖÙ Ó Ù ØÚ ÖÙ ẍ = a + a 1 x + a x + + a n x n. ¾º¾ µ ËÒ ÒÓ Ò Ø ÔÖÚÒ ÒØ Ö Ð Ò Óð ÔÓ ÚÝÒ Ó Ò ẋ ÚÞÒ ÒÓÙ Ò Ó ÓÙ ØÖ Ò ÚÖ ÞÝ Ô Ø ÚÙ Ö Ú Ø ÙÒ º 1 dẋ dt = ẋẍ ( d a x + 1 dt a 1x a x ) n + 1 a nx n+1 = a ẋ + a 1 xẋ + a x ẋ + + a n x n ẋ  ÒÓ Ù Ø Ý Ó Ø Ú Ñ ÒÚ Ö ÒØ I 1 Ú ØÚ ÖÙ I 1 = 1 ( ẋ a x + 1 a 1x a x ) n + 1 a nx n+1. ÈÓ ÚÝ Ò ẋ ÔÓÑÓ I 1 Ô Ö ÔÖÓÑ ÒÒ ÔÓØÓÑ Ó Ø Ú Ñ ÚÞØ dx dt = ( ). ¾º¾ µ I 1 + a x + 1 a 1x a x n+1 a nx n+1 Î ÒÓ Ù Ô Ô Ò Ô Ð Ù ÖÓÚÒ ¾º µ Ô ÒØ Ö Ð Ò ÔÖ Ú ØÖ Ò Ò arcsin xº ËÐÓö Ø ØÙ Ò Ø Ò ÔÓ Ù x Ú ÒØ Ö Ò Ù Ò ÔÖ Ú ØÖ Ò ¾º¾ µ ÚÝ ÝØÙ Ú ÑÓÒ Ò Ó Ù 4 Ú ØÒ º Ì ÓÚ ÒØ Ö ÐÝ Ô Ø ÚÙ ÒÚ ÖÞÒ ÙÒ Ð ÔØ Ñ ÙÒ Ñº Ð ÔØ ÙÒ ÑÓØÒ ÓÙ ÞÓ Ò Ò Ñ Ø Ò Ö Ò ÓÒ ÓÑ ØÖ ÙÒ ÓÙ Ò Ñ Ö Ò ÐÒ

20 ½¾ à ÈÁÌÇÄ ¾º Å Ì Å ÌÁ Ã È ÊýÌ ÖÓÚÒ ¾º¾ µ ÔÖÓ n ÖÓÚÒÓ Ò Ú 3º Ð ÔØ ÙÒ Ð Ñ Ò Ú ØÝÔݺ ÈÖÚÒ Ñ ØÝÔ Ñ ÓÙ Â Ó Ó Ð ÔØ ÙÒ ½ Ø Ö ÓÙ Ò Ñ ÖÓÚÒ ẍ = A + Bx + Cx + Dx 3 ÖÙ Ñ ØÝÔ Ñ ÓÙ Ô Ï Ö ØÖ ÓÚÝ Ð ÔØ ÙÒ ö ÓÙ Ò Ñ ÖÓÚÒ ẍ = A + Bx + Cx º ¾º º½ ËÓÙÚ ÐÓ Ø Ð ÔØ Ñ ÒØ Ö ÐÝ Î ØÓÑØÓ Ó Ø Ú ÔÖÓÔÓ Ñ Ø ÓÖ Ð ÔØ ÒØ Ö Ðó Â Ó Ó Ð ÔØ ÙÒ º  ö ÝÐÓ Ù Þ ÒÓ ÔÖÚÒ ÒØ Ö Ð ÖÓÚÒ ¾º¾ µ ÔÖÓ Ô Ô n = 3 I 1 = 1 ẋ (Ax + 1 Bx + 13 Cx ) Dx4. ÈÓÐÝÒÓÑ ØÚÖØ Ó ØÙÔÒ Ò ÔÖ Ú ØÖ Ò ÔÓÐ Ò ÓÐÙØÒ Ñ Ð Ò Ñ I 1 Ø ØÓÖ ¹ ÞÓÚ Ø Ð ÖÓÚÒ Ô Ô Ò ØÚ Ö ẋ = e(x α)(x β)(x γ)(x δ). ¾º¾ µ ÆÝÒ ÔÓ Þ Ú Ò ÒÓÚ ÔÖÓÑ ÒÒ y = (β δ)(x α) (α δ)(x β), (β γ)(α δ) k = (α γ)(β δ), (β δ)(α γ) M = 4 ØÖ Ò ÓÖÑÙ Ñ ¾º¾ µ Ò ÒÓÒ ØÚ Ö ẏ = (1 y )(1 k y ), Ó Ñö Ô Ú Ñ Ò ÒÑ ÚÔÓ Ø Ñº Ñ Ó Þ Ø ÒØ ØÙ M (x α)(x β)(x γ)(x δ) ( ) d x = dt Ó Ñ Ø Ý Ó ÔÖ Ú ØÖ ÒÝ ÖÓÚÒ º Ó Ø Ò Ñ = 1 (1 y )(1 k y ) [ ] (β δ)(x α) 1 [ (β γ)(α δ) (β δ)(x α) 1 1 (α δ)(x β) (α γ)(β δ) (α δ)(x β) (α δ)(x β) (α δ)(x β) (β δ)(x α) ÔÖÓØÓö ÔÖÓ Ö Ú y ÔÐ Ø ÚÞØ Ò Ú d y dx = 1 β δ α δ x β x α x α x β x β ( ) d y dt ] 1 [ d y dx (α γ)(x β) (α γ)(x β) (β γ)(x α) = 1 ( d y dx β δ α δ α β (x α) 1/ (x β) 3/ [(α δ)(x β) (β δ)(x α)] [(α γ)(x β) (β γ)(x α)] = ] d x = dt ) ( ) d x, dt [x(α β) δ(α β)] [x(α β) γ(α β)] = (α β)(x δ)(x γ)(α β), ½ Ì ÓÖ Ð ÔØ ÙÒ ÔÓ Þ Þ ½ º ØÓÐ Ø Ñ ÔÖó ÓÔÒ Ý ÝÐ ÔÖ Ú Â Ó ÔÓÐ Ò Ð Ñº

21 ¾º º Â Ç ÁÀÇ ÄÁÈÌÁ à ÍÆà ½ ÔÓ Ó Þ Ò ÚÝ Ö Ò α γ (x δ)(x γ)(α β) β δ 4 = (α β) (x α)(x β) 1 (α γ)(β δ) (x α)(x β)(x γ)(x δ) 4 = ÁÒØ Ö Ð ¾º¾ µ Ø Ý Ô Þ Ò M (x α)(x β)(x γ)(x δ) dy y (1 y )(1 k y ) = ( d x dt ( ) d x = dt ( ) d x = dt ). dt (1 t )(1 k t ). ¾º¾ µ ÞÑ Ò Ù ØÓ ö ÔÓ Ù Ó Ñ Ó ¾º¾ µ k = ÒØ Ö Ð Ö Ù Ù Ò ØÝÔ arcsin yº ÈÓÙö Ñ ¹Ð Ø Ù Ø ØÙ t = sin ϑ Ô Ú Ñ ¾º¾ µ Ò Ð ÔØ ÒØ Ö Ð Ú ÓÖÑ ¾º¾½µ ÙØÓÚ Ò Ú Ô ÓÞ Ñ Ø ÜØÙº ÇÞÒ Ð Ñ y = sin ϕºµ ¾º º¾ = E 3 = ϕ y dt (1 t )(1 k t ) = t = sinϑ dt = cos ϑ dϑ = cos ϑ dϑ ϕ (1 sin ϑ)(1 k sin ϑ) = dϑ 1 k sin ϑ Ò Â Ó Ó Ð ÔØ ÙÒ ÎÖ ðñ ÒÝÒ ÖÓÚÒ ¾º¾ µº Ý ÓÑ Þ Ð Ò ÒÙØÒ Ò Ò ÔÓ Ø Ø Ð ÔØ ÒØ Ö Ð ¾º¾½µ Ð Ø Ú Ð ÒÓÙ ÙÒ ÒÚ ÖØÓÚ Øº Ø ÑØÓ Ð Ñ Ù Ñ ÒÝÒ Ò ¾º¾½µ ÔÓ Ð ö Ø Ó Ò ÙÒ Þ Ú ÐÓÙ Ò ÔÖÓÑ ÒÒ ϕ Ô Ö Ñ ØÖÙ k ö Ó ÒÓØÙ ÓÞÒ Ñ uº u = E 3 (ϕ,k) = ϕ dϑ 1 k sin ϑ à ÙÒ E 3 Ü ØÙ ÙÒ ÒÚ ÖÞÒ E3 1 ÔÓÑÓ Ø Ö ÒÙ Ñ ÔÖÚÒ Þ Â Ó Ó Ð ÔØ ÙÒ ØÞÚº Â Ó Ó ÑÔÐ ØÙ Ùº am(u,k) = E3 1 (u,k) = ϕ. ¾º¾ µ Ò Ô ØÖÒ ö ÙÒ am Ò Ú Ú Ó u = u = K K ÓÞÒ Ù Ó ¹ ÒÓØÙ ÔÐÒ Ó Ð ÔØ Ó ÒØ Ö ÐÙ Ó ÒÓØ Ö Ôº π/º ÒÙ Ñ Ð ÙÒ ÒÙ ÑÔÐ ØÙ Ó ÒÙ ÑÔÐ ØÙ Ô Ô Ý sn(u,k) = sin(am(u,k)) = sin ϕ, ¾º¾ µ cn(u,k) = cos(am(u,k)) = cos ϕ. ¾º¾ µ ÈÖÓ Ð Ô ÔÓ ÓÔ Ò Ó ÚÐ ØÒ Ô ÓÞ Ò ÔÓ ÓØ Ñ ö Ò ÖÓÞ Ð Ó ÓÒ ÓÑ Ø¹ Ö ÙÒ Ò Ú ØÙÔÙ ÔÖÓÑ ÒÒ ϕ Ó ÙÒ Ô ÑÓ Ð Ý Â Ó Ó ÑÔÐ ØÙ ÔÓÒ Ù ØÖ Ò ÓÖÑÓÚ Ò º ÈÖÓØÓ Ø Ô k = Ý ÑÔÐ ØÙ Ö Ù Ù Ò ÒØ ØÙ ÙÒ sn cn Ó Ù Ø Ò Ö Ò Ñ ÙÒ Ñ sin cosº ÈÓ Ð Ò Þ Ð Ò Ð ÔØ ÓÙ ÙÒ ÐØ ÑÔÐ ØÙ Ø ÖÓÙ ÒÙ Ñ Ó dn(u,k) = 1 k sin (am(u,k)) = 1 k sin ϕ. ¾º ¼µ Æ Þ Ú Ö ØÓ ÓØÓ Ó Ø Ú Ø ÔÓÞÒ Ñ Ò Ñ ö Ú Ø ÓÖ Ð ÔØ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ k ÓÞÒ ¹ Ù Ó ÑÓ ÙÐ ÓÙ Ò ÒÙ ØÞÚº ÓÔÐ ÓÚ ÑÓ ÙÐ ÚÞØ Ñ k = 1 k º ÀÓ ÒÓØÝ ÔÐÒ Ð ÔØ ÒØ Ö Ðó Ô Ö Ñ ØÖ Ñ k Ö Ôº k Ô Ó ÚÝ Ð ÓÞÒ Ù K Ö Ôº K º

22 ½ à ÈÁÌÇÄ ¾º Å Ì Å ÌÁ Ã È ÊýÌ ¾º º ÎÐ ØÒÓ Ø Ð ÔØ ÙÒ ËØ Ò Ó ÓÒ ÓÑ ØÖ ÙÒ Ð ÔØ ÔÐ Ù ÑÒÓ Ó ÒØ Ø ÚÞØ ó Ú ØÒ ÚÞÓÖó ÔÖÓ ÚÓ Ò Ó Ò ÔÓÐÓÚ Ò Ðº Î ÑÒÓ ÚÐ ØÒÓ Ø Ø ÚÑ ÓÒ ÓÑ ØÖ Ñ ÔÖÓØ Ý Ó Ù º Ì Ò Ô Ð ÒÙ ÑÔÐ ØÙ ÙÒ Ð Þ Ø ÑÓ Ó ÒÙ ÑÔÐ ØÙ Ù º Ð ÔÐ Ø ö ÓÙ Ú ÒÝ Ô Ö Ó ØÓ Ó ÓÒ ÚÓ Ø Ô Ø Ñ ¹Ð Ö ÙÑ ÒØÙ u ÚÖ Þ 4iK Ò Ó 4K Ó Ø Ò Ñ Ø ÒÓÙ Ó ÒÓØÙº ÍÚ Ñ Ò ÓÐ ÒØ Ø Ø Ö Ñ Þ Ð ÔØ Ñ ÙÒ Ñ ÔÐ Ø ÔÖÓ Ô Ð ÒÓ Ø Ò Ô Ñ Ö ÙÑ ÒØóÑ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ kµº Ý Ö Ú Ñ Ð ÔØ ÙÒ sn u + cn u = 1, k sn u + dn u = 1, k cn u + k = dn u, cn u + k sn u = dn u. d sn u = cn udn u, du d cn u = sn udnu, du d dnu = k snucn u, du d am u = dnu du Ñóö Ñ Ø ÖÓÞÚ ÒÓÙØ ÔÓÑÓ Å Ð ÙÖ ÒÓÚ ÖÓÞÚÓ Ó Ò ÓÒ Ò Ý Ø ö ÙÒ sn cn dn Þ Ô Ø Ó cn(u,k) = 1 1! u + 1 4! (1 + 4k )u 4 1 6! (1 + 44k + 16k 4 )u 6 +, dn(u,k) = 1 1! k u + 1 4! (4k + k 4 )u 4 1 6! (16k + 44k 4 + k 6 )u 6 +, sn(u,k) = u 1 3! (1 + k )u ! (1 + 14k + k 4 )u 5 +. È Ø ÚÙ Ó ÔÖó Ù Ð ÔØ ÙÒ Ø Ò Ñóö Ù Ð Ø Þ Ô ÐÓö Ò Ó Ö Þ óº

23 ¾º º Â Ç ÁÀÇ ÄÁÈÌÁ à ÍÆà ½ sn u 1 sn u 1 K K 3K 4K 1 u K K 3K 4K 1 u cn u 1 cn u 1 K K 3K 4K 1 u K K 3K 4K 1 u dn u 1 dn u 1 K K 3K 4K 1 u K K 3K 4K 1 u Ç Ö Þ ¾º Ö Ý ÙÒ Ò Ò Ò ÔÖÓ k = 1/ ÚÐ ÚÓµ k = 3/ ÚÔÖ ÚÓµ sn u, sin u 1 1 K K 3K 4K π/ π 3π/ π 5π/ 3π u cn u, cos u 1 1 K K 3K 4K π/ π 3π/ π 5π/ 3π u Ç Ö Þ ¾º ËÖÓÚÒ Ò ÔÖó ó ÙÒ snu, cn u Ô k = 95/1 ÙÒ Ñ sin u, cos u

24 ½ à ÈÁÌÇÄ ¾º Å Ì Å ÌÁ Ã È ÊýÌ

25 Ã Ô ØÓÐ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÝÒ Ñ È ÔÓÔ Ù ÝÞ ÐÒ Ý Ø Ñó ÒÙØÒ Ò ÔÖÚ Ó ÚÓ Ø ÖÓÚÒ Ø Ö ÙÖ Ù ÓÚ Ò º ÌÓ Ð Ø ÖóÞÒÑ ÞÔó Ó Ýº ÃÐ Æ ÛØÓÒÓÚ Ñ Ò Ô Ó ÚÓÞÓÚ Ò ÙÚ öù Ú Ö ÐÝ Ø Ö Ú Ý Ø ÑÙ Ôó Ó ÔÓÑÓ Ú ØÓÖÓÚ Ð ÖÝ Ô Þ ÝÙ ÚÞØ Ý Ñ Þ Ò Ñ º Í ÞÙ Ú ö Ø ÒØÓ ÔÓ ØÙÔ Ò Ò Ô Ð Ð ÒØÒ ÞÚÐ Ø Ô ÔÓ Ù ÑÒÓö ØÚ ÙÚ öóú Ò Ð Ú Ð º ÈÖÓØÓ Ø Ú ÑÓ ÖÒ Ø ÓÖ Ø ÝÞ Ú ÔÓ Ø Ø Ò ÔÓÙö Ú º ÅÒÓ Ñ Ø ÚÒ ÐÞ ÔÓ Ý ÓÚÑ ÖÓÚÒ Ñ Ó Ô Ø ÔÓÑÓ Ñ ÐØÓÒÓÚ Ó Ô ØÙÔÙ Ø Ý ÚÝÙö Ø Ñ Ä Ö Ò ÓÚ Ò Ó À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÓÖÑ Ð ÑÙº Ì Ò ÔÓ Ñ Ð Þ ÝÞ Ý ÔÖ Ø Ý ÚÝ ÞÙ º È ØÙ Ù Ò Ð Ù¹ Ó Ø ÜØÙ Ý ÑÓ ÐÓ Þ Ø ö Ò Ø Ö ÔÓ ÑÝ ÚÞØ Ý Ò ÓÙ ÓÖ ØÒ Ó óúó Ò Ò Ó Ý Ô ÐÝ Þ Ò µ Óö ÞÔó Ó ÒÓ Ø Ñ ö ÝÐÝ ÓÚ ÒÝ Ô Ú Ñ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÒ Ùö ØÓ Ø Ú ÝÞ Ó Ô ÖÓ Ò Ú Ú º º½ Ä Ö Ò óú ÓÖÑ Ð ÑÙ º½º½ À Ñ ÐØÓÒóÚ ÔÖ Ò Ô Ä Ö Ò ÓÚ ÙÒ Æ ö Ô ÖÓ Ñ ÑÓØÒ ÑÙ ÔÓÔ Ù ØÓ ÓØÓ ÔÓ ØÙÔÙ Þ Ú Ò ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Ù Ó Ö Ò ÔÖÚ ÞÓ Ò Ø ÔÓ Ñ ÓÙ Ò º Ç Ý Ò Ø ÑØÓ ÔÓ Ñ Ñ ÑÝ Ð ÔÓÐÓ Ò Ó Ó ØÙ Ú ÔÖÓ ØÓÖÙ ÚÝ Ò Ø Ñ ÐÝ x, y, zº ËÓÙ Ò Ú Ò ÑÙ Ø ÒÙØÒ Ò ÖØ Þ ØÞÒº ÙÖ Ò Ò ÚÞ Ñ ÓÐÑÑ Ø Ñ Ó Ñ Ð Ò Ô Ð ÝÐ Ò Ö Ö Ð ÓÚÓÐÒ Ò ¹ ÒÓÞÒ Ò ÙÖ Ù ÔÓÐÓ Ù Þ ÓÙÑ Ò Ó Ó ØÙº ÎÓÐ Ú Ó Ò ÓÙ Ò ØÓ Ú Ð ÙÐ Ù ÔÓÔ Ý Ø ÑÙº ÈÖÓØÓ ÔÓ Ù ÔÓ Ý Ù Ñ Ú Ó Ò ÖÓÚ Ò Ù Ñ ÞÒ Ø ÓÙ Ò Ò Ñ ØÓ Ð Ó x, y, z Ö q i i = 1,...,n Ò Óð Ò Ò Ò Þ Ñ Ø Ö Ó ØÝÔÙ ÓÙ Ò ÝÐÓ Ùö ØÓ Ú ÓÐ ÖÓÞÑ ÖÒ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÔÓ Ý Ù Ñ º ÈÓ Ù Ý Ø Ñ ÔÓÔ Ù Ñ ÔÓÑÓ n Ò Þ Ú Ð ÓÙ Ò Ñ ö Ñ n ØÙÔ ó ÚÓÐÒÓ Ø º ÒÙ Ñ ÒÝÒ ØÞÚº Ä Ö Ò ÓÚÙ ÙÒ Ô Ô Ñ L = T, T ÞÒ Ò Ø ÓÙ ÔÓØ Ò ÐÒ Ò Ö Ý Ø ÑÙº ÍÚ Ò ÙÒ Ú Ó Þ ÖÒÙ ÑÔÐ ¹ ØÒ Ú ÒÝ ÐÝ Ôó Ó Ú Ý Ø ÑÙ Ò Óð ÔÐ Ø ÚÞØ Ð ÓÚ Ò Ø Ò Ö ÚÝ Ø Ó F i = q i, Ö Ôº = grad. T = n i=1 ½ 1 m i q i,

26 ½ à ÈÁÌÇÄ º À ÅÁÄÌÇÆÇÎËÃý Æ ÅÁÃ Ø Ý Ä Ö Ò ÓÚ ÙÒ Ð Ö Ò Òµ ÙÒ Þ Ú Ð Ò n + 1 ÔÖÓÑ ÒÒ q i, q i, tº L = L (q i, q i,t) Ë ÚÝÙö Ø Ñ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÔÖ Ò ÔÙ Ò Ñ Ò Ùö ÒÝÒ Ò ÒÓ Ó ÚÓ Ñ ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ º Å Ò Ý Ø Ñ n ØÙÔÒ ÚÓÐÒÓ Ø ÔÓ Ý Ù ÔÓ Ø ÓÚ ÞÓÚ ØÖ ØÓÖ Ò Ò ö Ò Ú Ñ Ò Ñ ØÞÚº Ò ÒØ Ö Ð W = t t 1 L (q i, q i,t)dt. º½µ ÀÐ Ñ Ú Ù ÔÓ Ù Ú Ô ÚÒ Ó Ý Ó ÓÙ Ò q (1) i q () i Ú ÔÓ Ø Ò Ñ t 1 ÓÒÓÚ Ñ t Ø Ö Ñ Ò Ñ Ð ÞÙ º½µ Óö ØÝÔ ÐÓ Ú Ö Ò Ó ÔÓ ØÙº ÈÖÚÒ Ú Ö W t t δw = L (q i + δq i, q i + δ q i,t)dt L (q i, q i,t)dt. t 1 t 1 ÊÓÞÚ Ñ ÒØ Ö Ò ÔÖÚÒ Ó Þ ÒØ Ö Ðó ÔÓÑÓ Ì ÝÐÓÖÓÚ ÖÓÞÚÓ Ð ÒÝ Ù Ó ÖÙ Ó Ú Þ Ò Ñ t t 1 L (q i + δq i, q i + δ q i,t)dt = t t 1 L (q i, q i,t)dt + t t 1 ( L δq i + L ) δ q i. q i q i ÈÓ Ó Þ Ò ÚÝÙö Ø ÒØ ØÝ δ q i = d dt (δq i) Ó Ø Ú Ñ ÔÖÚÒ Ú Ö Ú ØÚ ÖÙ δw = t t 1 ( L δq i + L ) d δq i. q i q i dt ÈÓ Ð Ò Ð Ò ÒØ Ö Ò Ù Ø Ñóö Ñ ÙÔÖ Ú Ø ÔÓÑÓ ÚÞØ Ù ( ) d L δq i = d ( ) L δq i + L d δ q i, dt q i dt q i q i dt Ø ö ÓÒ Ò ÔÓ Ó Ú Ö δw Ù δw = t t 1 [ L d ( )] [ ] L L t δq i dt + δq i. q i dt q i q i t 1 ÈÓ Ñ Ò Ô ÚÒ ÓÒó ÑÔÐ Ù δq i (t 1 ) = δq i (t ) =, Ø ö Ð Ò Ò ÔÖ ÚÓ ÒÙÐÓÚº ÜØÖ Ñ Ò Ø Ú Ýö δw =, Ø Ý ÒØ Ö Ð Ò Ð ÚÓ ÑÙ Ñ Ø ÒØ Ö Ò ÖÓÚÒ ÒÙÐ º Ó Ø Ú Ñ Ø Ý Ú Ð L d ( ) L =, i = 1,,...,n, º¾µ q i dt q i Óö ÓÙ Ø Ú n Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ¾º Ù Ø Ö Ó Ý Ò Ò ÞÚ Ä Ö Ò ÓÚÑ ÖÓÚ¹ Ò Ñ ¾º ÖÙ Ùº ÈÓ Ù Ò Ñ ÔÓ ÚÝ Ø ÓÙ Ø ÚÙ º¾µ Ô Ú Ñ Ù Ô ÐÙ Ò ÝÞ ÐÒ Ý Ø Ñ Ú ÚÝÚ Øº Æ Þ Ú Ö Ø ÔÓ ÓØ Ò Ñ ö Ú Ô Ô ÚÓÐÒ Ø Ò Ò ö Ôó Ó Ð F = x Ä Ö Ò ÓÚ ÖÓÚÒ Ô Ò ÔÐÚ ¾º Æ ÛØÓÒÓÚÑ Þ ÓÒ Ñ F = mẍ.

27 º½º Ä Ê Æ çî ÇÊÅ ÄÁËÅÍË ½ º½º¾ ÎÐ ØÒÓ Ø Ð Ö Ò ÒÙ Â ö ÝÐÓ ÙØÓÚ ÒÓ Ú ÔÖÚÒ Ô ØÓÐ Ô ÒØ ÖÓÚ Ò ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Ñ Ú Ð ÚÞÒ Ñ ÒØ Ö ÐÝ ÔÓ Ý Ùº ÈÓ Ù Ñ Ñ ÔÓÞ Ð Ö Ò Ò Ò ÒÓ Ò Ø Ö Þ Ò Ó Ú Ñ Ü ØÙ ¹ Ð µº ÈÓ Ù Ñ Ò ÔÖÚ Ä Ö Ò ÓÚÙ ÙÒ Ö ÚÓÚ Ø ØÓØ ÐÒ ÔÓ Ð Ù ËÒ ÒÓ Ó Ø Ú Ñ ÖÓÚÒÓ Ø d dt L (q i, q i,t) = L q i + L q i + L = q i q i t = d ( ) L q i + L q i + L = dt q i q i t = d ( ) L q i + L dt q i t. [( ) ] d L q i L = L dt q i t. ÈÓ Ù Ø Ý Ò Ù Ð Ö Ò Ò ÜÔÐ ØÒ Þ Ú Ø Ò ÔÖ Ú ØÖ Ò ÖÓÚÒ Ù ÒÙÐÓÚ ÚÖ Þ Ò Ð Ú ØÖ Ò Ø Ò ÒØ Ö Ð Ñ ÔÓ Ý Ùº Ñ ÓÚ Ò ÒÚ Ö ÒØ Ñóö Ñ ÞØÓØÓöÒ Ø Ð ÓÚÓÙ Ò Ö Ò Óð Ò Ø Ò Ö T ÓÑÓ ÒÒ ÙÒ ¾º Ù Þ Ô ÔÓ Ð Ù ö ÔÓØ Ò Ð Ò Þ Ú Ò q i Ô ØÓØ ö L q i = T q i µº Ì ÓÚ Ý Ø Ñ Ø Ý ÓÒÞ ÖÚ Ø ÚÒ º ( ) L E = q i L = T L = T + q i Ð ÒØ Ö Ð ÔÓ Ý Ù ÒÓ Ù Þ Ñ ÔÓ Ù Ä Ö Ò ÓÚ ÙÒ ÜÔÐ ØÒ Ò Þ Ú Ò Ò ¹ Ø Ö Þ ÓÙ Ò q k, k ˆn ØÓ Ò ÞÚ Ò Ý Ð º È ØÓØ ö Þ Ô ÐÙ Ò Ä Ö Ò ÓÚÝ ÖÓÚÒ Ó Ø Ò Ñ ( ) d L =. dt q k Î ÐÑ óð ö ØÑ Ó ÒÑ Ø ÓÖ Ø Ñ Ú Ð Ñ Ø Ö ÓÚÓ Ó Ð Ò ÒØ Ö Ðó ÔÓ Ý Ù Þ ÖÒÙ Ñ ÑÓ Ò ÔÖ Ú ÙÚ Ò Ô Ô Ý Ø ÓÖ Ñ ÆÓ Ø ÖÓÚ º à ö ÔÓ Ø ÖÙÔ ØÖ Ò ÓÖÑ Ô Ò ö Þó Ø Ú Ð Ö Ò Ò Þ ÞÑ ÒÝ Ô ÐÙ ÒØ Ö Ð ÔÓ Ý Ùº Ì Ý ÔÓ Ù Ä Ö Ò ÓÚ ÙÒ Ò Ô Ð Ò Ñ ÒÒ Ú Þ ÓÚ Ú Ò Ö ÔÓ Ù Ý Ø Ñ Ó ÓÐÒ Úó ÖÓØ Þ ÓÚ Ú Ò Ø Ö Þ ÐÓö ÑÓÑ ÒØÙ Ý ÒÓ Ø Ø º º½º È Ð Ý Î ØÓÑØÓ Ó Ø Ú ÔÓ Ø Ñ Ð Ö Ò Ò Ó ÚÓ Ñ Ä Ö Ò ÓÚÝ ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ ÔÖÓ ÒÓ¹ Ù ÝÞ ÐÒ Ý Ø Ñݺ À ÖÑÓÒ Ó Ð ØÓÖ ËÝ Ø Ñ Ñ Ò ØÙÔ ÚÓÐÒÓ Ø ÑÙ Ô ÐÙ ÒÓÙ ÓÙ Ò ÓÞÒ Ñ x k ØÙ Ó Ø ÔÖÙö ÒÝ m ÑÓØÒÓ Ø Þ Ú ö º Æ Ó Ð ØÓÖ Ôó Ó Ð Ò ÖÒ Ð F = kx Ø ö ÒØ Ö ÞÑ ÒÓÙ ÞÒ Ñ Ò Ò ÒÓ Þ Ñ ÔÓØ Ò Ð º T = 1 mẋ, = 1 kx.

28 ¾¼ à ÈÁÌÇÄ º À ÅÁÄÌÇÆÇÎËÃý Æ ÅÁà g k m Ä Ö Ò Ò Ø Ý Ù Ñ Ø ØÚ Ö L = T = 1 mẋ 1 kx. È ÐÙ Ò ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ ( ) d L L dt ẋ x = mẍ + kx =, Ø ö ÙØ Ò Ó Ô Ú Ñ ÚÞØ Ù ¾º µº ÃÝÚ ÐÓ g φ d m 1 ÊÓÚÒ ö ÝÚ ÐÓ Ñ Ø Ý Ò ØÙÔ ÚÓÐÒÓ Ø º Ð Þ Ú Ù Þó Ø Ú Ø Ð ÓÒ Ø ÒØÒ Ø ö Ú Ó Ò Ô Ø ÔÓÐ ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ x = r sin ϕ, y = r cos ϕ. Î ØÓÑØÓ Ú Ð Ô Ð Ó x ÚÓ ÓÖÓÚÒ Ó y Ú Ð ÓÚ Ñ ÓÖ ÒØÓÚ Ò ÓÔ ÒÑ Ñ Ö Ñ Ò ö öò Ø Ý ÓÐóº ÈÓ Ø ÙÑ Ø Ò Ú Ó Þ Ú Ùº ËÔÓ Ø Ñ ÒÝÒ Ò Ø ÓÙ Ò Ö ÔÓØ Ò Ðº T = 1 m(ẋ + ẏ ) = 1 mr ϕ,

29 º½º Ä Ê Æ çî ÇÊÅ ÄÁËÅÍË ¾½ Ò Óð ÓÚ Ö Ú ÔÖÓÑ ÒÒ x, y ÚÝ Ò ÔÓÑÓ ϕ ÓÙ ẋ = r ϕcos ϕ, ẏ = r ϕsin ϕ. Ð = mgy = mgr cos ϕ, Ø ö Ð Ö Ò Ò ÔÓ Ý ÓÚÓÙ ÖÓÚÒ Ò ÒÓ Þ Ô Ñ Ó L = 1 mr ϕ + mgr cos ϕ, mr ϕ mgr sin ϕ =, ÔÓÔ Ô ÔÓ ÚÝØ ÒÙØ ϕ g sin ϕ =. r ËÔ ö Ò ÝÚ Ð d/ d/ φ 1 φ r r m 1 k m Ì ÒØÓ ÑÓ Ð Ñ Ú ØÙÔÒ ÚÓÐÒÓ Ø º Æ Ó Ö Þ Ù k Ô Ø ÚÙ ØÙ Ó Ø ÔÖÙö ÒÝ d Ð Ù Ú Ð ÓÚ Ñ Ø ÚÙ r Ð Þ Ú ó m 1, ÓÙ ÑÓØÒÓ Ø Þ Ú ö º ÈÓÙö Ñ ÚÓ ÔÓÐ ÖÒ ÓÙ Ò ÚÞ Ð Ñ ÝÑ ØÖ ÞÚÓÐ Ñ ÔÓ Ø ÓÙ Ò Ó Ý Ø ÑÙ ÓÔÖÓ Ø Ñ Þ Ó Ó Ý Þ Ú Ù ÓÔ Ø ÚÞØ Ý Ñ Þ ÓÙ Ò Ñ Ö ÚÙ Ñ ÔÓ Ð t x 1 = r sin ϕ 1 d/ y 1 = r cos ϕ 1 x = r sin ϕ + d/ y = r cos ϕ ẋ 1 = r ϕ cos ϕ 1 ẏ 1 = r ϕsin ϕ 1 ẋ = r ϕ cos ϕ ẏ = r ϕsin ϕ Ã Ò Ø Ò Ö ÔÓ Ø Ò ÐÓ Ý Ó Ù Ô ÓÞ Ó Ô Ô Ùº ÆÝÒ ÔÓ Ø Ñ ÔÓØ Ò Ð º Â Þ Ñ ö Ù Ó ÓÚ Ø Ø ÐÓö ݺ Æ Ó Þ Ú ö ØÓØ ö Ôó Ó Ö Ú Ø Ò Ð Ò Ú ÓÙ ÔÓ Ò ÔÖÙö ÒÓÙ ö ÔÓØ Ò Ð Ñ ÖÒ ÖÙ ÑÓÒ Ò Ò Ø ö Ò º Ó Ø Ò Ñ Ø Ý = m 1 gy 1 m gy 1 k ( (x x 1 ) + (y y 1 ) d).

30 ¾¾ à ÈÁÌÇÄ º À ÅÁÄÌÇÆÇÎËÃý Æ ÅÁà ÍÔÖ ÚÑ Ò ÔÖÚ Ø Ø Ð Ò Ð ÓÚ Ó ÔÓØ Ò ÐÙ Ø Ö ÓÞÒ Ñ p º Ó Þ Ò Ñ Þ ÓÙ Ò x 1, y 1, x, y ÖÓÞÒ Ó Ò Ñ Þ Ñ ( p = 1 k r sin ϕ + d r sin ϕ 1 + d ) + (r cos ϕ r cos ϕ 1 ) d = ( ) = 1 kr + d r + (sin ϕ sin ϕ 1 cos ϕ cos ϕ 1 ) + d r (sin ϕ sinϕ 1 ) d, r ÓÐÙØÒ Ð Ò ÔÓ Ó ÑÓÒ ÒÓÙ ÚÞÒ Ð ÚÓ Ñ ÚÝÙö Ø Ñ ÓÒ ÓÑ ØÖ ÒØ ØÝ cos θ + sin θ = 1º Ó Þ ÝÐ Ð Òó Ð ÓÚ Ó ÔÓØ Ò ÐÙ Ø Ò Ó Ø Ø ö Ð Ö Ò Ò Ù Ñ Ø ØÚ Ö L = 1 m 1gr ϕ m gr ϕ + m 1 gr cos ϕ 1 + m gr cos ϕ ( ) + 1 kr + d r (sin ϕ sin ϕ 1 ) cos(ϕ 1 + ϕ ) + d r d. r ÆÝÒ Ó ÚÓ Ñ Ø Ä Ö Ò ÓÚÝ ÖÓÚÒ ¾º ÖÙ Ùº ÈÖÓ ÒÓ Ù Ó Ø Þ Ô Ù ÓÞÒ Ñ A = + d r (sin ϕ sin ϕ 1 ) cos(ϕ 1 + ϕ ) + d r. È ÚÔÓ ØÙ Ù Ñ Ø Ùö Ú Ø Ö Ú A ÔÓ Ð ÔÖÓÑ ÒÒ ϕ 1,  ØÓØ ö A ϕ 1 = d r cos ϕ 1 + cos(ϕ 1 + ϕ ), A ϕ = d r cos ϕ + cos(ϕ 1 + ϕ ). L = m i gr sin ϕ i 1 ( ϕ i kr A 1/ d ) A 1/ A, i = 1,. r ϕ i Ð ÓÚ Ó Ø Ú Ñ ÓÙ Ø ÚÙ ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Ú ØÚ ÖÙ m 1 ϕ 1 r m 1 gr sinϕ ( kr A 1/ d ) A (cos(ϕ 1/ 1 + ϕ ) d ) r r cos ϕ 1 =, m ϕ r m gr sinϕ + 1 ( kr A 1/ d ) A (cos(ϕ 1/ 1 + ϕ ) + d ) r r cos ϕ =. ËØÓ Þ ØÓ ÔÓÞÒ Ñ Ò Ø ö ÔÓ Ù ÙÚ öù Ñ Ó ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Ý Ó Ò Ð ÔÖÙö ÒÝ Ñ Ò Ø Ò Ù ÔÓØ Ò Ð Ø ÖÑ Ù Ô Ô Ú Ø Ù Ø Ý ÒÙÐÓÚº ÈÓØÓÑ Ý Ø Ñ ÓÚ Ó Ú Ò Þ Ú Ð ÝÚ Ð º ÚÓ Ø ÝÚ ÐÓ ÊÓÚÒ ö ÚÓ Ø ÝÚ ÐÓ Ñ ¾ ØÙÔÒ ÚÓÐÒÓ Ø º Íö Ñ ÓÔ Ø ÔÓÐ ÖÒ ÓÙ Ò º x 1 = d 1 sin ϕ 1 y 1 = d 1 cos ϕ 1 x = d sin ϕ + x 1 y = d cos ϕ + y 1 x 1 = d 1 sin ϕ 1 y 1 = d 1 cos ϕ 1 x = d sin ϕ + x 1 y = d cos ϕ + y 1

31 º¾º À ÅÁÄÌÇÆçÎ ÇÊÅ ÄÁËÅÍË ¾ g φ 1 d 1 m φ 1 d m ÈÖÓ Ò Ø ÓÙ Ò Ö ÔÐ Ø T = 1 m (ẋ ẏ1 ) 1 + m (ẋ + ẏ ) = = 1 m 1d 1 ϕ m [ d ϕ + d 1 ϕ 1 + d 1d ϕ 1 ϕ (cos ϕ cos ϕ 1 + sin ϕ sin ϕ 1 ) ] = = 1 (m 1 + m ) d 1 ϕ m d ϕ + m d 1 d ϕ 1 ϕ cos (ϕ ϕ 1 ). ÈÖÓ ÔÓØ Ò ÐÒ Ò Ö ÔÐ Ø = m 1 gy 1 m gy = (m 1 + m )gd 1 sin ϕ 1 m gd sinϕ. Ð ÓÚ Ø Ý Þ Ú Ñ Ð Ö Ò Ò L = 1 (m 1 + m ) d 1 ϕ m d ϕ + m d 1 d ϕ 1 ϕ cos (ϕ ϕ 1 ) + (m 1 + m ) gd 1 cos ϕ 1 + m gd cos ϕ.  ÒÓ Ù Ø Ó Ø Ò Ñ ÓÙ Ø ÚÙ ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Md 1 ϕ 1 + m d 1 d ϕ cos m d 1 d ϕ sin m d 1 d ϕ 1 ϕ sin Mgd 1 sin ϕ 1 =, m d ϕ + m d 1 d ϕ 1 cos m d 1 d ϕ 1 sin + m d 1 d ϕ 1 ϕ sin m gd sin ϕ =, M = m 1 + m = ϕ ϕ 1 = ϕ ϕ 1 º º¾ À Ñ ÐØÓÒóÚ ÓÖÑ Ð ÑÙ º¾º½ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÙÒ Ð Ñ ÞÔó Ó Ñ ÔÓÔ Ù ÝÞ ÐÒ Ó Ý Ø ÑÙ ÔÓÙö Ø À Ñ ÐØÓÒÓÚÝ ÙÒ Ø Ö ÚÝ Ò ÔÓÑÓ ÞÓ Ò Ò ÓÙ Ò q i ÞÓ Ò Ò Ý ÒÓ Ø p i º ÒÙ Ñ Ø Ý Ò ÔÖÚ p i Ó p i = L q i. Î Ò ÒÓ Ù Ñ Ô Ô ØÞÒº ÙÚ öù Ñ ¹Ð ÔÓ Ý ÚÓÐÒ Ø Ú ÔÖÓ ØÓÖÙ ÙØ Ò Ô ÓÞ Ò ÔÐÚ Ð Ñ ÔÓ Ø Ñ Ý ÒÓ Ø Ø Ý p i = m q i Ø Ý ÔÓ Ñ ÒÓÚ Ò p i ÙØ Ò ÓÔÖ ÚÒ Ò º ÆÝÒ Þ Ú Ñ À Ñ ÐØÓÒÓÚÙ ÙÒ Ô Ô Ñ ( ) L H (p i,q i,t) = E = q i L = p i q i L. º µ q i

32 ¾ à ÈÁÌÇÄ º À ÅÁÄÌÇÆÇÎËÃý Æ ÅÁÃ Ý À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÙÒ Ñ ÐØÓÒ Òµ Þ Ú Ð ÔÓÙÞ Ò ÔÖÓÑ ÒÒ q i, p i, t ÔÓÙö Ñ Ò ÞÓ Ò Ò Ý ÒÓ Ø ØÞÒº Þ Ð Ö Ò ÒÙ ÔÓ Ø Ñ p i = p i ( q i ) Ò Ð Ò ÒÚ ÖÞ Ò Ð ÞÒ Ñ ÚÞØ q i = q i (p i ) Ø Ö Ó Ñ Ó º µº Ì ÒØÓ ÚÔÓ Ø Ò ÑÙ Ø Úö Ý ØÖ Ú ÐÒ Ú Ù ÞÙ ö ÔÓÙö Ø Ñ ÐØÓÒ ÒÙ Ó ÚÓÞ Ò ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Ú Ó Ò ÞÚÐ Ø Ô Ú Ú ÒØÓÚ Ñ Ò Ø Ø Ø ÝÞ º ÎÔÓ Ø ØÓØ ö Ú Ò ÓÙ Ø ÚÙ n ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ ½º Ù ö Ò Ó Ò ÒÓ Ù º ÈÓÞÓÖÒ Ø Ò Ø ÒÝÒ Ò Ñ ØÒ ö ÖÓÚÒ ö ÓÙ Ø ÚÙ n Ä Ö Ò ÓÚ ÖÓÚÒ ¾º ÖÙ Ù ÐÞ Ù Ø ØÙ r i = q i, i = 1,,...,n Ô Ú Ø Ò ÓÙ Ø ÚÙ n Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ½º Ù Ú Ø ØÓ Þ Ò ÓÙ Ø Ú Ò Ò Ó Ò ØÓÙ Ó ÚÓÞ ÒÓÙ ÔÓÑÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÙ Ú ÐÑ Þ ÖÙ ÒÓ ÔÓØ ö Ú ØÓÑ ö Ô ÔÖÓ Ø Ù Ø ØÙ Ò ÓÙ ÖÓÚÒ Ú ÓÙ Ø Ú ÖÓÚÒÓÑ ÖÒ ÐÓö Ø µº ÈÓ Ñ ÒÝÒ ÔÓ Ú Ø Þ Ñ ÐØÓÒ ÒÙ ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Ó ÚÓÞÙ º Æ Ô Ñ Ø Ý Ö Ò Ð À Ñ ÐØÓÒÓÚÝ ÙÒ dh = p i d q i + q i dp i L q i dq i L q i d q i L t dt. ÎÞ Ð Ñ ( ) Ò ÞÓ Ò Ò Ý ÒÓ Ø ÔÖÚÒ Ø Ø Ð Ò Ó ØÓÙ ÚÝÙö Ñ ¹Ð Ð ÚÞØ Ù d L dt q i = L q i Þ Ä Ö Ò ÓÚ ÖÓÚÒ µ Ó Ø Ò Ñ dh = q i dp i ṗ i dq i L t dt = H p i dp i + H q i dq i + H t ÈÓÖÓÚÒ Ò Ñ Ô Ö ÐÒ Ö Ú ÔÓ Ð p i q i Ø Ý Þ Ú Ñ q i = H p i, dt. ṗ i = H q i, i = 1,,...,n, º µ Óö ÞÑ ÓÚ Ò ÓÙ Ø Ú n Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÔÖÚÒ Ó Ù ÔÖÓ Ò ÞÒ Ñ p i, q i º ÊÓÚÒ º µ ÓÞÒ Ù Ó À Ñ ÐØÓÒÓÚÝ ÒÓÒ µ ÖÓÚÒ º Æ Ú ÔÐ Ø ÚÞØ H t = L t, Ø Ö ÓÖ ÔÓÒ Ù Ø Ñ ö Ô ÜÔÐ ØÒ Ò Þ Ú ÐÓ Ø Ð Ö Ò ÒÙ Ò Þ ÓÚ Ú Ò Ö Eº  ØÓØ ö H t = d H dt H = E Ø ö Ú Ø ÓÚ Ñ Ô Ô ÑÙ Ø Ñ ÐØÓÒ Ò ÒÚ Ö ÒØÒ Ú º º¾º¾ ÎÐ ØÒÓ Ø Ñ ÐØÓÒ ÒÙ ÈÓ ÓÒÓÚÝ Þ ÚÓÖ Ý ÀÐ ÚÒ Ú Ø Ö Ò Þ Ñ ÓÙ ÓÔ Ø ÒØ Ö ÐÝ ÔÓ Ý Ùº  ö ÝÐÓ Ù Þ ÒÓ Ú Ò Ö Þ ÓÚ Ú ¹Ð À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÙÒ ÜÔÐ ØÒ Ò Þ Ú Ð Ò º ÒÙ Ñ ÒÝÒ Ò ÖÒ ÓÔ Ö ÔÓÑÓ Ò ö Ò ÒÓ ÔÓÞÒ Ñ Þ Ò ÙÒ f = f(p,q,t) Ò Ò Ð ÒÑ ÒÚ Ö ÒØ Ñº ÍÚ Ò ÓÔ Ö ÈÓ ÓÒÓÚÝ Þ ÚÓÖ Ýº {f,g} = f p i g q i f q i g p i, ÙÒ f, g Þ Ú Ò ÔÖÓÑ ÒÒ p i, q i, tº ÙÚ Ò Ò Ò ÒÓ Ò Ð Ò Ñ ö ÔÖÓ ÙÒ f, g, h ÔÐ Ø {f,g} = {g,f}, º µ ÒØ ÝÑ ØÖ µ {f + g,h} = {f,h} + {g,h}, Áº Ö Ú Ò ÚÐ ØÒÓ Øµ {f g,h} = f {g,h} + g {f,h}, ÁÁº Ö Ú Ò ÚÐ ØÒÓ Øµ {f, {g,h}} + {g, {h,f}} + {h, {f,g}} =. Â Ó Ó ÒØ Ø µ

33 º¾º À ÅÁÄÌÇÆçÎ ÇÊÅ ÄÁËÅÍË ¾ Â Ò Ó Ü ÓÑÝ ØÞÚº Ä ÓÚÝ Ð ÖÝ Ø ö Ù ÔÓ Ò ÚÓ (M, {, }) M = {f f = f(p i,q i,t)} ØÚÓ Ä ÓÚÙ Ð ÖÙº Å Ñ ÒÝÒ ÙÒ f Ø ÓÚÓÙ ö f M ÔÓ Ø Ñ ÈÓ ÓÒÓÚÙ Þ ÚÓÖ Ù f Ñ ÐØÓÒ Ò Ñ H {f,h } = f p i H q i f q i H p i = = f p i ṗ i + f q i q i = = d f dt f t. Ç ÙÒ ÜÔÐ ØÒ Ò Þ Ú Ð Ò Ñóö Ñ Ø Ý ö ÒØ Ö Ð Ñ ÔÓ Ý Ù ÔÓ Ù ÈÓ ÓÒÓÚ Þ ÚÓÖ Ñ ÐØÓÒ Ò Ñ ÖÓÚÒ ÒÙÐ º Ð Þ Ñ ÚÓÙ ÚÐ ØÒÓ Ø ÒÝÒ Ù ö Ñ ÔÓÑÓ Â Ó Ó ÒØ Øݺ  ÓٹРØÓØ ö f g ÒØ Ö ÐÝ ÔÓ Ý Ù Ô {f, {g,h }} + {g, {H,f}} + {H, {f,g}} = Ö Ù Ù Ò ÌÓ ÑÔÐ Ù ÚÞØ {f,} + {g,} + {H, {f,g}} =. {H, {f,g}} =, Ø Ý ÈÓ ÓÒÓÚ Þ ÚÓÖ ÚÓÙ ÒØ Ö Ðó ÔÓ Ý Ù ÓÔ Ø ÒØ Ö Ð ÔÓ Ý Ùº ÈÖÓ Ð Ò ÒÓÚ ÒÚ Ö ÒØó Ú ÙÚ Ò ÚÐ ØÒÓ Ø Ô Ð Ùö Ø Ò Ò Ò Ò Óð Ú Ø ÒÓÙ Ú Ð ÔÓÙÞ ÙÒ f g Ò Ó ÓÒ Ø ÒØ º Æ Þ Ú Ö ÙÚ Ñ Ú Ð Ý ÈÓ ÓÒÓÚ Þ ÚÓÖ ÚÓÐ Ñ ¹Ð Þ ÙÒ f, g ÔÖÓÑ ÒÒ p i, q i º {q i,q j } =, {p i,p j } =, {p i,q j } = δ ij º¾º È Ð Ý ÆÝÒ Ò Ú ö Ñ Ò Ô Ð Ý Þ º½º ÔÓÑÓ ö ÔÓ Ø Ò Ð Ö Ò Òó Ó ÚÓ Ñ Ñ Ð¹ ØÓÒ ÒÝ ÓÙ Ø ÚÝ ØÝ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ º À ÖÑÓÒ Ó Ð ØÓÖ Î Ñ ö Ð Ö Ò Ò Ñ ØÚ Ö L = T = 1 mẋ 1 kx. ËÔÓ Ø Ñ ÒÝÒ ÞÓ Ò ÒÓÙ Ý ÒÓ Ø Ð ÓÚÓÙ Ò Ö p = L ẋ = mẋ, E = ẋ L ẋ L = 1 mẋ + 1 kx. Ý ÓÑ ÒÝÒ Þ Ð À Ñ ÐØÓÒÓÚÙ ÙÒ Ú ÔÖÓÑ ÒÒ x, p ÚÝ Ñ Þ ÔÖÚÒ ÖÓÚÒ ẋ Ó Ñ Ó ÖÙ H = 1 ( p ) m 1 + m kx = p m + kx.

34 ¾ Ã ÈÁÌÇÄ º À ÅÁÄÌÇÆÇÎËÃý Æ ÅÁÃ ËÒ ÒÓ ÔÓ Ø Ñ ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ ẋ = H p = p m, ṗ = H x = kx. ÃÝÚ ÐÓ Ò Ñ Ð Ö Ò Ò L = 1 mr ϕ + mgr cos ϕ. ÈÖÓ ÞÓ Ò ÒÓÙ Ý ÒÓ Ø Ò Ö ÔÐ Ø ÚÞØ Ý ÈÓ Ó Þ Ò Þ ϕ Ó Ø Ò Ñ Ñ ÐØÓÒ Ò p = L ẋ = mr ϕ, E = ẋ L ẋ L = 1 mr ϕ mgr cos ϕ. H = p mgr cos ϕ, mr Þ Ò Óö Ò ÒÓ ÔÓ Ø Ñ ÓÙ Ø ÚÙ ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ ËÔ ö Ò ÝÚ Ð ÎÝ Þ Ñ Þ ÞÒ ÐÓ Ø ϕ = H p = ṗ = H x p mr, = mgr sin ϕ. L = 1 m 1gr ϕ m gr ϕ + m 1 gr cos ϕ 1 + m gr cos ϕ ( ) + 1 kr + d r (sin ϕ sin ϕ 1 ) cos(ϕ 1 + ϕ ) + d r d. r ÎÝ Ñ Ý ÒÓ Ø Ó Ó Ø Ú Ñ Ø Ý Ñ ÐØÓÒ Ò p 1 = L ϕ 1 = m 1 r ϕ 1, p = L ϕ 1 = m r ϕ, H = p 1 m 1 r + p m r m 1gr cos ϕ 1 m gr cos ϕ ( ) 1 kr + d r (sin ϕ sin ϕ 1 ) cos(ϕ 1 + ϕ ) + d r d. r

35 º¾º À ÅÁÄÌÇÆçÎ ÇÊÅ ÄÁËÅÍË ¾ Þ Ø Ö Ó Ó ÚÓ Ñ À Ñ ÐØÓÒÓÚÝ ÖÓÚÒ ÓÔ Ø ÔÖÓ Þ ÒÓ Ù Ò Ùö Ú Ñ Ø Ò Ó ÞÒ Ò Ó Ú Ô ØÓÐ º¾º µº ÚÓ Ø ÝÚ ÐÓ Å Ñ ÔÓ Ø Ò Ð Ö Ò Ò ϕ 1 = H p 1 = p 1 m 1 r ÔÓÑÓ Ò ö ÚÝ Ñ Ý ÒÓ Ø ϕ = H = p p m r ṗ 1 = H = m 1 gr sin ϕ ( ϕ 1 kr A 1/ d ) r ṗ = H = m gr sin ϕ + 1 ( ϕ kr A 1/ d r L = 1 Md 1 ϕ m d ϕ + m d 1 d ϕ 1 ϕ cos + Mgd 1 cos ϕ 1 + m gd cos ϕ, p 1 = L ϕ 1 = Md 1 ϕ 1 + m d 1 d ϕ cos, p = L ϕ 1 = m d ϕ + m d 1 d ϕ 1 cos, A 1/ A ϕ 1 ) A 1/ A ϕ Ø Ö ÒÝÒ ö Ò ÓÙ Ú Ø ØÖ Ú ÐÒ Ñ ØÚ ÖÙ Ó Ú Ô ÓÞ Ô Ô º ÈÓØ Ù Ñ Þ Ø ØÓ ÖÓÚÒ ÚÝ Ø ÚÞØ Ý ÔÖÓ ÔÖÓÑ ÒÒ ϕ 1 ϕ ØÝ Ô Ó Ø Ó ÚÖ ÞÙ ÔÖÓ Ò Ö ÔÓ Ø Ò Ó Þ Ð Ö Ò ÒÙº ÈÖÓØÓ Ò ÔÖÚ ÚÝÒ Ó Ñ ÔÖÚÒ ÖÓÚÒ d ÖÙ ÓÙ ÚÖ Þ Ñ d 1 cos Ó Ø Ñ º Ú Ð Ù Ô ö Ò ÒÓ Ó Ø Ò Ñ ÚÞØ ÔÖÓ ϕ 1 Ò Óð ÔÖÓÑ ÒÒÓÙ ϕ Ñ Ø ÑØÓ ÞÔó Ó Ñ Ð Ñ ÒÓÚ Ð ϕ 1 = p 1d p d 1 cos d 1 d [M m cos ]. Ç Ó ÒÑ ÞÔó Ó Ñ ØÓØ ö ÚÝÒ Ó Ò Ñ ÖÓÚÒ ÚÖ ÞÝ m d cos Md 1 Ó Ø Ò Ñ Þ Ñ ÚÞØ ÔÖÓ ϕ ϕ = p 1m d cos Mp d 1 m d 1 d [m cos M]. Ç Ò ÔÓ Ð Þ Ò ÖÓÚÒ ÓÙ Þ ÖÓÚ ÔÖÚÒ Ú ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ º ÆÝÒ ö Ñóö Ñ ÔÓ Ø Ñ ÐØÓÒ Òº ÈÖÓ Ò Ö ÔÐ Ø ÚÞØ E = ϕ 1 L ϕ 1 + ϕ L ϕ L = = 1 Md 1 ϕ m d ϕ + m d 1 d ϕ 1 ϕ cos Mgd 1 cos ϕ 1 m gd cos ϕ. Ó Ñ ¹Ð Þ ϕ 1 ϕ Ú ÙÚ Ò ÚÖ ÞÝ Ó Ø Ò Ñ Ñ ÐØÓÒ Ò Ú ØÚ ÖÙ H = m d p 1 + d 1 Mp m d 1 d p 1 p cos d 1 d m [M m cos ] Mgd 1 cos ϕ 1 m gd cos ϕ.

36 ¾ à ÈÁÌÇÄ º À ÅÁÄÌÇÆÇÎËÃý Æ ÅÁà ËÒ ÒÓ ÒÝÒ ÓÔÓ Ø Ñ Þ ÝÐ Ú ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Ñ ÔÖÓ ÒÓ Ù Ó Ø Þ Ô Ù ÓÞÒ Ð C 1 = ṗ 1 = H ϕ 1 = Mgd 1 sin ϕ 1 + C 1 C, ṗ = H ϕ = m gd sin ϕ C 1 + C, p 1 p sin d 1 d [M m cos ], º à ÒÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ C = m d p 1 + Md 1 p m d 1 d p 1 p cos d 1 d [M m cos ] sin. Î Ò Ð Ù Ñ Ø ÜØÙ Ù ö Ñ Ú Ó Ò ØÖ Ò ÓÖÑÓÚ Ø Ò Þ Ú Ð ÔÖÓÑ ÒÒ p i, q i Ò ÒÓÚ P i, Q i Ø Ý ÒØ ÖÓÚ Ò ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Ñ Ü Ñ ÐÒ Þ ÒÓ Ù ÐÓº È Ó ÒÓÚÑ ÓÙ Ò Ñ Ñ ÚÝÙö Ú Ð Ùö Ú Ô ØÓÐ Ú ÒÓÚ Ò Ä Ö Ò ÓÚÙ ÓÖÑ Ð ÑÙ Ø Ñ Ñ ÓÚ Ñ ÚÝ ÓÚ Ð ÔÓÙÞ ÒÓÚ Q i ÔÓÑÓ Ø Ö q i ØÞÒº Q i = Q i (q i ). ÈÖÓØÓö Ú Ú À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÓÖÑ Ð ÑÙ ÙÚ öù Ñ Ø Ù ÔÖÓÑ ÒÒ p i Ø Ö ÓÙ ÓÙ Ò Ñ q i ÖÓÚÒÓ ÒÒ Ô ÖÓÞ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ÞÓ Ò Ø Ò ÚÞØ Ý P i = P i (q 1,...,q n,p 1,...,p n ), Q i = Q i (q 1,...,q n,p 1,...,p n ). È ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÙØÒ ÞÑ Ò À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÙÒ Ø º ÚÞÒ Ò ÒÓÚ Ñ ÐØÓÒ Ò H H (Q i,p i,t) = H (Q i (q i,p i ),Q i (q i,p i )). ÈÓ Ù Þ ÓÚ ØÖÙ ØÙÖ ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ ØÞÒº ÔÐ Ø ÚÞØ Ý ṗ i = H q i, q = H p i, i = 1,,...,n, º µ Ô Ó Ø ÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ñ ö ÒÓÒ º ÈÓ Ù ÓÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÚÞØ Ý ÒÝ Ó Þ Ú ÐÓ Ø Ù Ò Ò p i Ò Ó Ò Ò q i Ô ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÞÚ Ó ÓÚ º º º½ ÎÝØÚÓ Ù ÙÒ Â ö ÝÐÓ ÒÓ Ô Ô Ó Ù ÒÓÚÑ ÓÙ Ò Ñ Ý ÒÓ Ø Ñ Ñ Ò Ø Ñ ÐØÓÒ Òº ÈÖÓØÓö Ú Ò ÒÓÒ ÓÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ð Ñ ÔÓ Ñ Ò Ù º µ ÑÙ Ø Ø Ð ÔÐÒ Ò À Ñ Ð¹ ØÓÒóÚ ÔÖ Ò Ôº Æ Ô Ñ Ø Ý Ò ÒØ Ö Ð º½µ ÚÝÙö Ø Ñ ØÓ Ó ö L = p i q i H W = t t 1 p i q i H dt = t t 1 P i Q i H dt. ÈÓ Ð Ò ÖÓÚÒÓ Ø Ù Þ Ñ ÔÐÒ Ò ÔÓ Ù ÒØ ÖÓÚ Ò ÚÖ ÞÝ Ù ÓÙ Ð Ø Ò Ú Ó ØÓØ ÐÒ Ö Ú ÔÓ Ð Ù Ò ÙÒ F d q i p i dt H = P d Q i i H + d F 1 dt dt.

37 º º à ÆÇÆÁ à ÌÊ ÆË ÇÊÅ ¾ ÔÖ ÚÓÙ ÖÓÚÒ Ò Ó Ò Ñ dt Ó Ø Ò Ñ df 1 = p i dq i P i dq i + (H H )dt, º µ Óö ÚÝ Ò ØÓØ ÐÒ Ó Ö Ò ÐÙ ÙÒ F 1 (q i,q i,t)º ËÒ ÒÓ Ø Ý Ó Ô Ú Ñ ÚÞØ óñ F 1 q i = p i, F 1 Q i = P i, H = H + F 1 t. º µ ÙÒ F 1 Ò ÞÚ ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ ÒÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ º ÈÖÓ ö ÓÙ ÒÓÒ ÓÙ ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ü ØÙ ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ ÓÚ Ñ Ò ÑÙ Ø Þ Ú Ð ÔÓÙÞ Ò ÔÖÓÑ ÒÒ q i, Q i, t, ØÓÑÙ ÝÐÓ Ú Ô Ô F 1 Ð Ò Ð ÓÚÓÐÒ Ò ÚÓ ÔÖÓÑ ÒÒ t ÔÓ Ñ Ò ÓÙ ö Ò Ó Ù Ø Ö ÔÖÓÑ ÒÒ Ò ÒÓÚ º È ÔÙ ØÒ ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ ÓÙ Ø Ý F 1 = F 1 (q i,q i,t), F = F (q i,p i,t), F 3 = F 3 (p i,q i,t), F 4 = F 4 (p i,p i,t). Î Ò Ð Ù Ñ Ø ÜØÙ Ù Ñ ö ÓÙ ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ F Þ Ú Ò Ø Ò ÔÖÓÑ ÒÒ Ó ÙÒ F k Ò ÞÚ Ø ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ ØÝÔÙ kº Ù Ñ ÒÝÒ Ó ÚÓ Ø ÚÞØ Ý Ò ÐÓ Ö Ð Ñ º µ ÔÖÓ ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ Þ ÝÐ ØÝÔóº Ý ÓÑ Ó Ø Ð ÙÒ ØÝÔÙ ¾ ÒÙØÒ Ó Ø Ø Ò ÔÖ ÚÓÙ ØÖ ÒÙ ÖÓÚÒ º µ Ö Ò ÐÝ dq i, dp i º ÎÝÙö Ñ Ø Ý ØÓ Ó ö ÔÐ Ø d(pq) = P dq + QdP º È Ñóö Ñ ÖÓÚÒÓ Ø º µ Ô Ø Ú ØÚ ÖÙ d (F 1 + PQ) = p i dq i + Q i dp i + (H H )dt Þ Ñ ÚÞØ Ý ÔÖÓ ÒÓÚÓÙ ÙÒ F = F 1 + PQ F q i = p i, F = Q i, H = H + F. º µ P i t Ç Ó Ò ÔÓ Þ Ú Ò ÙÒ F 3 = F 1 pq F 4 = F 1 pq + PQ ÚÞØ º µ Ô Ô Ñ Ò df 3 = q i dp i P i dq i + (H H )dt, df 4 = q i dp i + Q i dp i + (H H )dt. Ó Öö Ñ F 3 = q i, p i F 4 = q i, p i F 3 = P i, H = H + F 3, Q i t º½¼µ F 4 = Q i, H = H + F 4. P i t º½½µ º º¾ Ä Ö Ò ÓÚÝ Þ ÚÓÖ Ý Å Ñ n Ò ÙÒ ϕ i, ψ i Þ Ú Ð Ò ÚÓÙ ÔÖÓÑ ÒÒ p qº È ÒÙ Ñ Ò ÖÒ ÓÔ Ö Ä Ö Ò ÓÚÝ Þ ÚÓÖ Ý Ô Ô Ñ [q,p] = ϕ i q ψ i p ϕ i ψ i p q. º½¾µ

38 ¼ à ÈÁÌÇÄ º À ÅÁÄÌÇÆÇÎËÃý Æ ÅÁà ËÖÓÚÒ Ñ ¹Ð Ä Ö Ò ÓÚÝ Þ ÚÓÖ Ý ÈÓ ÓÒÓÚÑ Ø Ö Ñ ÒÓÚ Ð ÚÞØ Ñ º µ Ú Ñ ö Ú ÖÓÐ ÓÔ Ö Ò ó Ò Ñ ØÓ ÙÒ Þ Ú Ð Ò n Ò ÔÖÓÑ ÒÒ ÒÝÒ ÚÝ ØÙÔÙ ÔÖÓÑ ÒÒ Ò Ø Ö Þ Ú n Ò ÙÒ º ÍÚ öù Ñ ÒÝÒ ØÓØ ÐÒ Ö Ò Ð ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ F ØÝÔÙ 1 Ø Ö Ò Þ Ú ÜÔÐ ØÒ Ò Ø º df = P i dq i p i dq i. ÈÖÓØÓö Q i = Q i (q k,p k ) ÐÞ ÚÝ Ø Ö Ò Ð dq i Ó dq i = Q i q k dq k + Q i p k dp k Ó Ø Ó ÚÖ ÞÙ ÔÖÓ df º ÆÝÒ Ú Þ ÑÙ Ú Ø Ô Ð ÒÓ Ø ÓÔÙ Ø Ñ ÓÒÚ Ò Ò Ø ÒÓÚÝ ÙÑ ÙÑ Ò ÞÒ Ñ Ò Ù Ñ Ô Ø ÜÔÐ ØÒ º df = = n n Q i n n n Q i P i dq k p k dq k + dp k = q k p k=1 i=1 k k=1 ( n n ) ( Q i n n ) Q i P i p k dq k + P i dp k q k p k i=1 k=1 k=1 i=1 ÒÙ Ñ Ú Ý ÒÓÚ ÙÒ Φ k = n i=1 k=1 P i Q i q k p k, Ψ k = ÔÖÓ Ò ö Ý ØÓÑÙ ö df ØÓØ ÐÒ Ö Ò Ð ÔÐ Ø ÚÞØ Ý i=1 n i=1 P i Q i p k, Φ k q j = Φ j q k, Φ k p j = Ψ j q k, Ψ k p j = Ψ j p k, j,k = 1,,...,n, Ò Óð ÖÙ Ö Ú ÑÙ Ø Þ Ñ ÒÒ º ÈÓ Ù Ú ÙÚ Ò ÚÞÓÖ ÔÖÓÚ Ñ Ò ÞÒ Ò ÓÔ Ö Ó Ø Ò Ñ ÔÓ ÒÓ Ù ÔÖ Ú n ( Qi P i Q ) i P i =, q j q k q k q j º½ µ n ( Qi P i Q ) i P i = δ jk, q j p k p k q j º½ µ n ( Qi P i Q ) i P i =, p j p k p k p j º½ µ i=1 i=1 i=1 δ jk ÃÖÓÒ ÖÓÚÓ ÐØ º ÎÝÙö Ø Ñ Ò º½¾µ Ñóö Ñ ÚÞØ Ý Ô Ô Ø Ó ÓÑÔ ØÒ ÔÓ Ó Ý [q j,q k ] =, [q j,p k ] = δ jk, [p j,p k ] =. º½ µ º º Ä ÓÙÚ ÐÐ óú Ø ÓÖ Ñ ÈÓ Ù Ñ Ñ Ò Ý Ø Ñ n ØÙÔ ó ÚÓÐÒÓ Ø Ú ÐÑ Ò ÞÓÖÒ ÚÝ ÓÚ Ø ÓÚ Ò Ò Þ Ú Ð ÔÖÓÑ ÒÒ p i, q i Ú n¹öóþñ ÖÒ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ø Ö Ò ÞÚ ÞÓÚ Ô Ô Ò Ú ÖÓÞ Ò Ñ

39 º º à ÆÇÆÁ à ÌÊ ÆË ÇÊÅ ½ ÞÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ó Ñ ÒÞ n + 1 Ô ÒÓÙ ÔÖÓÑ ÒÒÓÙ tº ÈÓØÓÑ Ñ ÑÝ Ð ÓÚÓ Ø Ó Ó ÑÓÚ Ñ Ð Ñ ÒØÙ ØÓ ÓØÓ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ø Ö ÚÝ Ò Ó d = dp 1... dp n dq 1... dq n. ÁÒØ ÖÓÚ Ò Ñ Ô Ó Ð Ø Ω Ô Ó Ø Ú Ñ ÞÓÚ Ó Ñ Ó Ð Ø Ωº Í ö Ñ ö Ô ÒÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ (p i,q i ) (P i,q i ) ÔÐ Ø ÖÓÚÒÓ Ø dp i dq i = dp i dq i, º½ µ Ø Ö Ó Ñ Ä ÓÙÚ ÐÐ ÓÚ Ø ÓÖ ÑÙ Ω ÞÓÚ Ó Ñ Ó Ð Ø Ω Ô ÔÓ Ô Ó Ù ÒÓÚÑ ÒÓÒ Ñ ÔÖÓÑ ÒÒÑ Þó Ø Ú Þ ÞÑ Òݺ Ý Ú Ø Ó Ù Ø ØÙ Ú ÒØ Ö ÐÙ ÚÐ ØÒ Ø Ó Þ Ø ö Ó Ò ÒÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ú ÓÐÙØÒ Ó ÒÓØ ÖÓÚ Ò ½ ØÞÒº det J = (P i,q i ) (p i,q i ) = 1, Ò Óð ÔÐ Ø Ω dp i dq i = Ω Ω det J dp i dq i. ÎÝ Ñ Â Ó ÓÚÙ Ñ Ø ÔÓÑÓ ØÝ ÐÓ ÓÚ Ñ Ø Q 1 Q q 1 1 Q 1 Q q n p 1 1 p n º º ºº º º º ºº º Q n Q J = q 1 n Q n Q q n p 1 n p n P 1 P q 1 1 P 1 P q n p 1 1 = p n º º ºº º º º ºº º P n P q 1 n P n P q n p 1 n p n ( Qj q i P j q i Q j p i P j p i ) º½ µ ÒÙ Ñ Ô ÐÒ Ñ Ø S Ø ÖÓÙ Ù Ñ Ô Ø Ø Ø ÔÓÑÓ ÐÓ ÓÚ Ó Þ Ô Ù 1 º º ºº º º º ºº º ( ) S = 1 I 1 =, º½ µ I º º ºº º º º ºº º 1 I ÒÓØ ÓÚ Ñ Ø Ù nº ÓÙÑ Ñ ÒÝÒ ÚÐ ØÒÓ Ø ÓÙ ÒÙ J T SJ ( ) Qj T ( ) Qj T ( ) ( ) Qj T ( ) Qj T J T q S = i p i I p ( ) Pj T ( ) Pj T = i q i ( ) I Pj T ( ) Pj T, q i p i p i q i ( ) Pj T ( ) ( ) Qj Qj T ( ) ( ) Pj Pj T ( ) ( ) Qj Qj T ( ) Pj ( ) J T q SJ = i q i q i q i, q i p i q i p i B1 B ( ) Pj T ( ) ( ) Qj Qj T ( ) ( ) Pj Pj T ( ) ( ) Qj Qj T ( ) Pj =. p i q i p i q i, p i p i B 3 B 4 p i p i

40 ¾ à ÈÁÌÇÄ º À ÅÁÄÌÇÆÇÎËÃý Æ ÅÁà ÎÞÒ Ð ÐÓ ÓÚ Ñ Ø ÓÚ Ñ Þ Ô Ø ÔÓ ÖÓÞÒ Ó Ò ÔÓÑÓ Ä Ö Ò ÓÚ Þ ÚÓÖ Ó ( n ) n P k Q k B 1 = Q k P k = ([q i,q j ]) n q i q j q i q i,j=1 =, j k=1 i,j=1 ( n ) n P k Q k B = Q k P k = ([q i,p j ]) n q i p j q i p i,j=1 = I, j k=1 i,j=1 ( n ) n P k Q k B 3 = Q k P k = ([p i,q j ]) n p i q j p i q i,j=1 = I, j k=1 i,j=1 ( n ) n P k Q k B 4 = Q k P k = ([p i,p j ]) n p i p j p i p i,j=1 =, j k=1 i,j=1 Ñ ÚÝÙö Ð ÚÞØ ó º½ µº Ð Ñ Ø Ý Ó Ø Ú Ñ ÒØ ØÙ J T SJ = S. º¾¼µ ÈÖÓØÓö Ø ÖÑ Ò ÒØ ÓÙ ÒÙ Ñ Ø ÓÙ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØó ÒÓØÐ Ú Ñ Ø ÔÖÓØÓö Þ Ñ det S = 1 ÔÐÝÒ Þ ÔÓ Ð Ò Ó ÚÞÓÖ ÖÓÚÒÓ Ø det J = ±1, º¾½µ Óö Ñ Ø Ð Ó Þ Øº Å Ø Ø Ö ÔÐ Ù ÖÓÚÒÓ Ø º¾¼µ Ò ÞÚ ÝÑÔÐ Ø º ÈÖÓØÓö ÒÚ ÖÞÒ Ñ Ø ÝÑÔÐ Ø Ñ Ø ÓÙ Ò ÚÓÙ ÝÑÔÐ Ø Ñ Ø ÓÔ Ø ÝÑÔÐ Ø Ñ Ø ØÚÓ Ñ Ø ÚÐ ØÒÓ Ø º¾¼µ ØÞÚº ÝÑÔÐ Ø ÓÙ ÖÙÔÙº ØÓ Ó ÔÐÝÒ ö ÖÓÚÒ ö ÒÓ¹ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÔ Ö Ð Ò ØÚÓ ÖÙÔÙº ÙÚ Ò Ó Ø ÔÐÝÒ ö ÔÓ Ñ Ò º¾½µ ÒÙØÒ ÔÓ Ø Ù ØÓÑÙ Ý ØÖ Ò ÓÖÑ ÝÐ ÒÓÒ º Ú ÔÓÞÒ Ñ Ò Ø ö Ñ Ø S Ñ ÔÖÓ À Ñ ÐØÓÒÓÚÙ ÝÒ Ñ Ù ÞÚÐ ØÒ ÚÞÒ Ñº Ô Ñ ¹Ð ØÓØ ö Ý ÒÓ Ø ÓÙ Ò Þ ÓÙ Ó Ú ØÓÖÙ Þ = (p 1,...,p n,q 1,...,q n ) Ñóö Ñ À Ñ ÐØÓÒÓÚÝ ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Ô Ø Ú Ð ÒØÒ Ñ ØÚ ÖÙ Þ = S H (Þ), º¾¾µ = ( z 1,..., z n )º º À Ñ ÐØÓÒÓÚ ¹Â Ó ÓÚ ÖÓÚÒ È ÖÓÞ Ò Ò Þ ÓØ Þ ÞÚÓÐ Ø ÓÙ Ò Ý ÒÓ Ø Ý ÝÐ ÒØ Ö À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Ó Ò ÒÓ Ù º Í ÞÙ ö Ò Ú Ó Ò Ñ Ô Ô Ñ Ø Ò Ú Ø Ö Ñ ÓÙ Ú Ñ ÐØÓÒ ÒÙ Ú ÒÝ ÞÓ Ò Ò ÓÙ Ò Ý Ð Ø Ý Ñ ÐØÓÒ Ò ÙÒ ÔÓÙÞ Ý ÒÓ Ø º È ØÓØ ö Þ ÖÓÚÒ º µ Þ ðù Ñ ö Ý ÒÓ Ø p i Ø ÐÝ ÒÚ Ö ÒØÝ ÔÓ Ý Ù Ò ÒÓ ÖÓÚÒ ÒØ ÖÙ Ñ Ò Óð ṗ i = p i = konst, q i = H p i (p 1,...,p n ) = f i (p 1,...,p n ). ËÒ ÒÓ Ø Ý Ó Ø Ò Ñ q i (t) = f i t + q i ().

41 º º À ÅÁÄÌÇÆÇÎ ¹Â Ç ÁÇÎ ÊÇÎÆÁ Î Ò ÚÝÙö Ú Ñ n ØÖ Ú ÐÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Ý q i ()µ n Ò ØÖ Ú ÐÒ ÓÒ¹ Ø ÒØ Ø ÖÑ ÓÙ ÒØ Ö ÐÝ ÔÓ Ý Ù p i º Î Ø ØÓ Ù Ñ Ò ö Ø Ò Ø Ø ÓÚÓÙ ÒÓÒ ÓÙ ØÖ Ò ÓÖÑ ö ÔÓÑÓ Ô Ú Ñ Ñ ÐØÓÒ Ò H Ò H Ø Ý ÔÐ ÓÚ Ð ÔÖ Ú ÔÓÔ Ò ÚÐ ØÒÓ Ø º º º½ Ç Ò ØÚ Ö ÖÓÚÒ Ô Ö Ù Â ö ÝÐÓ ÒÓ Ð Ñ ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ Ø ÒÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÖÓÙ ÔÓ Ð ÞÚÝ ¹ ÐÓ Ø ÓÞÒ Ñ Sº ÙÒ Ù ØÝÔÙ Ø ö ÔÓ Ð Ú Ó ÚÓÞ Ò ÚÞØ ó º µ Ñóö Ñ Ô Ø ( ) S H,q i,t + S q i t =, º¾ µ Óö Ô Ö ÐÒ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ½º Ù Ò ÞÚ Ò À Ñ ÐØÓÒÓÚ ¹Â Ó ÓÚ ÖÓÚÒ º Â Ò Ó Ò ÓÑÔÐ ÓÚ Ò Ú Ô Ô ó Ó ÓÒ Ò ÑÓöÒ º ØÓ Ú ÔÐ Ø ö ÔÓ Ù Ñ Ò Ð ÞÐ Ò ÒØ ÖÓÚ Ð Ñ Ô ÐÙ Ò À Ñ ÐØÓÒÓÚÝ ÖÓÚÒ º ÈÓ Ù ØÓØ ö Ò Ñ ÙÒ S = S(q i,t) ÔÐ Ù º¾ µ ÞÒ Ñ Ò ØÓ ö ÒÓÚ Ñ ÐØÓÒ Ò H Ù ÒØ Ý ÖÓÚÒ ÒÙÐ Ø ö ÒÓÚ ÔÖÓÑ ÒÒ α i, β i ÞÒ ÒÓÚ Ý ÒÓ Ø ÓÙ Ò ÓÙ ÓÒ Ø ÒØݺ È Þ ÖÓÚÒ p i = S q i, β i = S α i Ò ÒÓ ÚÝ Ñ ÙÒ q i = q i (α i,β i,t) Ô Ø ÚÙ Ò Ý Ø ÑÙ Þ Ú Ò n ÓÒ¹ Ø ÒØ º ÙÒ S Ñ Þ Ñ ÝÞ ÐÒ ÚÞÒ Ñ Ò Óð ØÓØ ÐÒ ÓÚ Ö Ú Þ Ô Ø Ó d S dt = S q i + S q i t = p i q i H = L, Ñ ÚÝÙö Ð ÚÞØ Ù º¾ µº È Ø Ý ÔÐ Ø S = L dt = W, Ø ö ÙÒ S Ñ ÞØÓØÓöÒ Ð W º ÊÓÚÒ º¾ µ ÞÒ Ò Þ ÒÓ Ù ÔÓ Ù ÔóÚÓ Ò Ñ ÐØÓÒ Ò Ò Þ Ú ÜÔÐ ØÒ Ò Ø º ÙÚ öù Ñ ÓÒÞ ÖÚ Ø ÚÒ Ý Ø Ñº ÈÓØÓÑ ÙÒ S Þ Ô Ø Ú Ô ÖÓÚ Ò Ñ ØÚ ÖÙ S = S (q i ) + S 1 (t) ÖÓÚÒ º¾ µ Ò Ú ØÚ ÖÙ H ( ) S,q i = S 1 q i t. º¾ µ ÈÖÓØÓö Ð Ú ØÖ Ò Þ Ú ÔÓÙÞ Ò q i Þ Ø ÑÓ ÔÖ Ú Ò Ò t ÑÙ Ü ØÓÚ Ø ÓÒ Ø ÒØ E Ø ÓÚ ö ( ) S H,q i = E, q i S 1 t = E, Ý ÖÓÚÒ º¾ µ ÑÓ Ð Ø ÔÐÒ Ò ÔÖÓ Ú Ò q i, tº ÈÖÓ Ð ÓÚÓÙ Ø Ý ÔÓ ÒØ ÖÓÚ Ò Ó Ø Ò Ñ S = S (q i ) Et

42 à ÈÁÌÇÄ º À ÅÁÄÌÇÆÇÎËÃý Æ ÅÁà ÖÓÚÒ º¾ µ Ô ÔÓ Ó Þ Ò Ò H ( ) S,q i = H, º¾ µ q i Ò Óð H = E ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ ÐØÓÒ Ò Óö Ó ÒÓØ Ò Þ ÓÚ Ú Ñ Ý ÒÓ ØÑ α i º º º¾ ÈÖÓÑ ÒÒ ¹ Ð ØÓ ÚÝ ÝØÙ Ô Ô Ý Ý ØÖ ØÓÖ Ú ÞÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ò ÙÞ Ú ÒÓÙ Ú ÓÙ Ø º Ñ Ò Ý Ø Ñ ÚÝ ÞÙ Ô Ö Ó ÓÚ Ò ÔÓ ÙÖ Ø Ó Ý Ø Ñ ÚÖ Ó Ú ÓÞ Ó Ø ÚÙº ÈÓØÓÑ Ñ ÑÝ Ð Ð Ø Ø ÓÚ ÒÓÒ ÔÖÓÑ ÒÒ Ø Ö Ù ÓÙ ØÓØÓ ÓÚ Ò ÚÝ ÓÚ Ø Ø Ñ ÞÚÝ Ð ÔÓ Ó ÓÒ Ò Ò Ô Ö Ó Ý ÔÓ Ý Ù Ó ÒÓØ ÓÙ Ò q ÞÚ Ó πº Ý ÓÑ Ó Öö Ð ÓÒÚ Ò Ù Ñ ØÝØÓ ÔÖÓÑ ÒÒ ÞÒ Ø I ÒÓÚ ÓÒ Ø ÒØÒ Ý ÒÓ Øµ θº ÊÓÚÒ º¾ µ Ò Ú ØÚ ÖÙ ( ) S H q,q = α = H (I) ÚÞÓÖ ÔÖÓ ÚÔÓ Ø p θ ÓÙ p = S q, θ = S I. ÎÝÙö Ø Ñ ÔÓ Ð Ò ÚÓÙ ÚÞØ ó Ó Ø Ò Ñ d θ dq = I ( ) S. º¾ µ q ÈÓö Ù Ñ Ý Ô Öó Ø θ ÔÓ ÒÓÑ ÚÝ ÓÒ Ò Ý ÐÙ ÝÐ π Óö Ñóö Ñ Þ Ô Ø ÚÝÙö Ø Ñ º¾ µ Ó π = dθ = S C I C q dq = p dq, I C C ÞÒ ÙÞ Ú ÒÓÙ Ú Ù Ú ÞÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙº Ó Ø Ú Ñ Ø Ý Ò ÔÖÓÑ ÒÒ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÖÓÚÒ I = 1 p dq. π C º¾ µ I = H θ =, θ = H I = ω(i) ÔÓØÓÑ Ò ÒÓ ÔÐÝÒ ö ÔÐ Ø I = konst, θ = ω(i) t + δ, ω Ö Ú Ò ÔÓ Ý Ù δ ÒØ Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ ÚÞÒ Ñ Ñ ÞÓÚ Ó ÔÓ ÙÒÙº

43 º º À ÅÁÄÌÇÆÇÎ ¹Â Ç ÁÇÎ ÊÇÎÆÁ º º Ë Ô ÖÓÚ Ø ÐÒ Ý Ø ÑÝ ÊÓÚÒ º¾ µ ÔÖÓ n ØÙÔ ó ÚÓÐÒÓ Ø ÐÞ Ô Ñ Ø ÔÓÙÞ ÔÓ Ù Ý Ø Ñ Ô ÖÓÚ Ø ÐÒº Î Ø ÓÚ Ñ Ô Ô S Þ Ô Ø Ó ÙÑ S k Þ Ò ö ö Þ Ú ÔÓÙÞ Ò 1 ÔÖÓÑ ÒÒ q k º Åóö Ñ Ø Ý Ô Ø n S(q i ) = S k (q k ). º¾ µ k=1 Æ ÒÓ Ù ØÙ Ý ÔÓ Ñ Ò º¾ µ ÔÐÒ Ò Ò Ø Ú ÔÓ Ù ÑÓØÒ Ñ ÐØÓÒ Ò ÐÞ Þ Ô Ø Ó ÙÑÙ n H (p i,q i ) = H k (p k,q k ). ÈÓØÓÑ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ¹Â Ó ÓÚ ÖÓÚÒ ÖÓÞÔ Ò Ò ÓÙ Ø ÚÙ n ÖÓÚÒ ( ) S H k,q k = α k, k = 1,,...,n, q k k=1 ÓÒ Ø ÒØÝ α k Ô Ø ÚÙ ÓÒ Ø ÒØÒ Ý ÒÓ Ø ÔÐ Ù ÚÞØ n i=1 α i = α = H º ÈÓ Ù Ý Ø Ñ Ò Ú Ô Ö Ó Ú ö Þ ÔÖÓÑ ÒÒ q k Ñóö Ñ Þ Ú Ø ÒÓÚ Ò ÔÖÓÑ ÒÒ I k = 1 π C k p k (q k )dq k, C k ÞÒ ÙÞ Ú Ò Ú Ý Ô ÐÙ Ò ÓÙ Ò Ñ q k º ÈÖÓ ÐÓÚ ÔÖÓÑ ÒÒ ÖÙö Ò Ñ I k ÔÐ Ø θ k = S n = S j (q j ) I k I k j=1 Þ ØÖ Ò ÓÖÑÓÚ Ò Ó Ñ ÐØÓÒ ÒÙ H Ó Ø Ú Ñ ÖÓÚÒ Ø Ö Ò ÒÓ ÒØ ÖÙ Ñ I k = H =, θk = H = ω k (I 1,...,I n ), θ k I k I k = konst, θ k = ω k (I 1,...,I n ) t + δ k. Ø ÑÓ δ k ÞÒ n ØÖ Ú ÐÒ ÓÒ Ø ÒØ I k n Ò ØÖ Ú ÐÒ ÒØ Ö Ðó ÔÓ Ý Ùº º º ÈÓ Ý Ò ÞÓÚ Ñ ØÓÖÙ Ë Ô ÖÓÚ Ø ÐÒ Ý Ø ÑÝ ØÚÓ Ú Ð Þ ÓÙ ÙÔ ÒÙ Ñ Ò Ý Ø Ñó Ø ö Ú Ò ÔÖÓ Ø Ú Ø Ò Ô Ô ó Ò ÐÞ ÒÓÚ Ø Ò ÔÖÓÑ ÒÒ Ø ØÓ ÝÐÓ Ò ÞÒ ÒÓ Ú Ô ÓÞ Ñ Ó Ø Ú º ÈÓ Ù Ñ ÓÔÒ Ò Ð ÞØ n Ò Þ Ú Ð ÙÞ Ú Ò Ú C k Ú ÞÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ö Ø Ö ÞÙ Ô Ö Ó ÓÚ Ò ÓÙ Ø ÚÝ Ñ ÓÔÒ ÒÓÚ Ø Ò ÔÖÓÑ ÒÒ º Î Ô ÓÞ Ô Ô ØÓ ÐÓ Ù Ð Ø ÒÓ Ù Ò Óð Ñ ÐØÓÒ Ò ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ ÝÐÝ Ú Ô ÖÓÚ Ø ÐÒ Ñ ØÚ ÖÙº Í ÞÙ Ú ö Ò ÔÖÓÑ ÒÒ ÐÞ ÜÔÐ ØÒ Þ Ú Ø Þ Ø ØÓ ÔÓ Ñ Ò Ýº ÆÙØÒ ÓÚ Ñ Ò Ø n ÒØ Ö Ðó ÔÓ Ý Ù F i, i = 1,,...,nº È ÔÓ Ð Ñ Ø Ý ö Ñ Ò Ð ÞÐ º  ö ÝÐÓ ÙØÓÚ ÒÓ Ø Ý ÔÐÒ ÒÓ ö ÈÓ ÓÒÓÚ Þ ÚÓÖ F i H ÒÙÐÓÚ Ø º {F i,h} =.

44 à ÈÁÌÇÄ º À ÅÁÄÌÇÆÇÎËÃý Æ ÅÁÃ Î Ò Ð Ù Ñ Ù Ñ ÙÚ öóú Ø ØÞÚº ÔÐÒ ÒØ ÖÓÚ Ø ÐÒ Ñ ÐØÓÒÓÚ Ý Ø ÑÝ Ø Ö ÓÙ ÓÒÞ ÖÚ Ø ÚÒ Ø º F k = H ÔÖÓ Ò k {1,,...,n} Ò Ú ÔÐÒ Ò ÔÓ Ñ Ò ÒÚÓÐÙ Ø º i,j {1,,...,n} {F i,f j } =. º¾ µ Î Ñ ö ö ö ÒØ Ö Ð ÔÓ Ý Ù Ò öù Ñ ÒÞ Ò ÐÓ Ý Ó 1 Ø ö ÔÓ Ù Ñ Ñ n ÒÚ Ö ÒØó ÔÓ Ý Ú n ÞÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ù Ù ÙØ ÓÚ Ø ÔÓ ÝÔ ÖÔÐÓ ÖÓÞÑ ÖÙ nº ÈÓ Ù ÙÚ öù Ñ Ò Ô º ÖÑÓÒ Ó Ð ØÓÖ ÞÓÚÓÙ ØÖ ØÓÖ Ù Ð Ô Óö ÒÓÖÓÞÑ ÖÒ ØÚ Ö Ú ÚÓÙ Ñ ÒÞ ÓÒ ÐÒ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ (p,q)º ÅÓ Ù Ñ ÒÝÒ Þ Ô º¾¾µ Ò ξ i = S F i. Ó Þ Ò Ñ F k = H Ó Ø Ò Ñ ÔÖ Ú À Ñ ÐØÓÒÓÚÝ ÖÓÚÒ Ø Ý Ú ØÓÖ ξ k ÑÙ Ø ÒÙØÒ Ø ÒÓÙ ÔÐÓ ØÓÖÙº ÔÓ Ñ Ò Ý º¾ µ Ô ÔÐÝÒ ö Þ Ú Ú ØÓÖÝ ξ i ÔÖÓ i k ÓÙ ÖÓÚÒ ö Ø Ò Ñ ÓÙ Ð Ò ÖÒ Ò Þ Ú Ð º Ý ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ ÓÚ Ø ÓÖ ÑÙ Ø Ý Ú Ñ ö ÝÔ ÖÔÐÓ Ò Ò ö Ð ö ÞÓÚ ØÖ ØÓÖ Þ ØÓÔÓÐÓ Ó Ð n¹öóþñ ÖÒ ØÓÖÙ Ñ Ø Ñ Ø ÒÙÐÓ µº ÈÖÓØÓö ØÓÖÙ Ô ÖÓÞ Ò Ô Ö Ó Ó Ø Ñóö Ñ Ò Ò Ñ Ý ÞÒ ÑÑ Ø ÒÑ Ú ØÓÖóÑ ÒÓÚ Ø n Ò Þ Ú Ð ÙÞ Ú Ò Ú C i Ú Þ Ó Öº º½ µµ ÒØ Ö ÔÓ Ð Ò ÒÓÚ Ø Ò ÔÖÓÑ ÒÒ I i = 1 n p k dq k. π C i ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ Ô Ó Ø Ò Ñ ÖÙö Ò ÐÝ À Ñ ÐØÓÒÓÚÝ ÖÓÚÒ Ô Ò Ú ØÚ ÖÙ k=1 θ i = S I i. I i = H =, θi = H = ω i (I i ). θ i I i ÈÓÞ ØÓÖÙ Ú ÞÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ò ÔÓ Ø Ò Ñ ÔÓ Ñ Ò Ñ º ÀÓ ÒÓØÝ ÒØ Ö Ðó ÔÓ Ý Ù Ô ÖóÞÒ ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Ð Ø Ý Ø Ò Ú ØÓÖÝ ÞÑ Ò º ÈÓ Ù Ý Ø Ñ ÔÐÒ ÒØ ÖÓÚ Ø ÐÒ ÞÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ ÖÓÚÒÓÑ ÖÒ ÚÝÔÐÒ Ò Ú Ñ Ô ÔÙ ØÒÑ ÞÓÚÑ ØÓÖݺ Å ÑÝ Ð Ø ÙÚ öóú Ø ØÚ Ö Ù Ñ Ø ÞÓÚ ØÖ ØÓÖ Ò ØÓÖÙº Â Þ Ñ ö ÔÓÔ ÓÚ Ò ÓÙ Ø ÚÝ ÓÙ n¹ô Ö Ó º ÓÚ Ò Ý Ø ÑÙ Ô ÙÖ ÒÓ Ö Ú Ò Ñ ω i Þ Ò ö ö Ö Ø Ö ÞÙ ÒÙ Þ n Ô Ö Ó º ÈÓ Ù Ù ÔÓÑ Ö Ö Ú Ò ÔÓ ÚÓ Ö ÓÒ ÐÒ ÐÓ ØÞÒº Ù ÔÐ Ø Ø j,k {1,,...,n} ω j ω k = r jk Q, º ¼µ Ô Ú Ð Ò ØÖ ØÓÖ Ù ÙÞ Ú Ò Ú Ý Ø Ñ ÚÝ ÓÒ Ú Ò ÓÑÔÐ ØÒ Ý ÐÙ ØÞÒº ÚÖ Ó Ú ÓÞ ÔÓÞ ÔÓ Ø Ñ ÓÒ Ò Ñ Ú Þ Ó Öº º½ µµº ÈÓ Ù ÓÚ Ñ ÔÓ Ñ Ò º ¼µ ÔÐÒ Ò Ò Ù Ú Ò Ý Ò ÔÖÓØÒ º

45 º º À ÅÁÄÌÇÆÇÎ ¹Â Ç ÁÇÎ ÊÇÎÆÁ µ ÞÓÚ ØÓÖÙ Ò Þ Ú Ð Ú Ý C 1 C µ ÍÞ Ú Ò ØÖ ØÓÖ Ò ÞÓÚ Ñ ØÓÖÙ Ç Ö Þ º½ ÞÓÚ ØÓÖÙ

46 Ã ÈÁÌÇÄ º À ÅÁÄÌÇÆÇÎËÃý Æ ÅÁÃ

47 Ã Ô ØÓÐ ÈÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ ÓÐ Ú ÔÐÒ ÒØ ÖÓÚ Ø ÐÒ Ñ ÐØÓÒÓÚ Ý Ø ÑÝ ÓÙ Ô Ú Ñ Ò Ö Ô Ò Ó ¹ Ò Ý Ø Ñó óð ö ØÓÙ ÖÓÐ º ÈÓ Ù ØÓØ ö ÐÞ Þ Ñ ÐØÓÒ ÒÙ Ó Ð Ø ÒØ ÖÓÚ Ø ÐÒ Ø H Ø ö H (p i,q i ) = H (p i,q i ) + εh 1 (p i,q i ), ε 1 Ñóö Ñ Ð ÓÚ Ò Ô Ø Ó Ñ ÐÓÙ ÓÖ Ò ÒØ ÖÓÚ Ø ÐÒ Ó Ý Ø ÑÙ Ñ ÐØÓÒ Ò Ñ H º à Ñ ö Ò ÒØ ÖÓÚ Ø ÐÒ Ø ÚÒ Ó ÓÙ Ø ÚÝ ÔÓÖÙ Ù Ø Ö ÓÚ Ñ Þ Ú Ð Ò Ú Ð Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖÙ εº ÈÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ Ô Ò Þ Ú Ð Ù Ð ÒØÒ ÞÔó Ó ØÓØÓ Ð ÓÚ Ò Ò Ø Ö Ôº Ó Ú Ó ÒÑ ÞÔó Ó Ñ ÔÖÓÜ ÑÓÚ Øº ÀÐ ÚÒ ÑÝ Ð Ò ÔÓ Ú Ú ØÓÑ ö ÐÞ Ò Ò x(t) Ò Ð ö Ø Ó Ò ÙÒ Þ Ú Ð Ò ÔÖÓÑ ÒÒ ε Ø Ý Ò Ò Ö Ò Ú ØÓÑ Ý ÓÑ ÖÓÞÚ ÒÙÐ Ó Ò ÓÒ Ò Ý x(t,ε) = x n ε n = x + x 1 ε + x ε + O ( ε 3), n= Óö Þ Ð ÓÖ ÔÓÒ Ù Ò Ñ ÒØ ÖÓÚ Ø ÐÒ Ó Ý Ø ÑÙ Ò Óð Ô Ó ÒÓØ ε = Ð ÓÚ Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÐÚ Ø H Þ Ø ÑÓ Ú º½µ Þó Ø Ò ÔÓÙÞ ÔÖÚÒ Ð Ò x Ô Ø ÚÙ Ó Ò º Ñ ÚÝ ε Ú º½µ ÙÚ öù Ñ Ø Ñ Ú ÓÖ Ù Ñ ÔÓÖÙ Ù Ô Ð öù Ñ Ô Ò ÑÙ Ò º Â Ò Ñ Þ Ò ÞÒ Ñ ÔÖÓ Ð Ñó ÚÝÙö Ú ÔÓÖÙ ÓÚÓÙ Ø ÓÖ ÐÓ Ó ÔÓ Ý Ù ÔÐ Ò Ø Ú ËÐÙÒ Ò ÓÙ Ø Ú º  ÚÐ ØÒ Ó Ð ÓÙ ÐÓ Ù ÚÓÙ Ø Ð Ó Ó Ò ÒÓÙ Ó ÔÓÖÙ Ù ÚÒ ÒÓÙ Ø Ø Ñ Ó Ø Ñ Ò Ô º Ú Ô Ô Ó Ò Ñ ÓÐ Ñ ËÐÙÒ Ò Þ Ò Ø ÐÒ ÚÐ Ú ÂÙÔ Ø ÖÙº ÀÐ ÚÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ ÓÚ Ñ ÔÓ Ú Ú ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Þ Ò Ó Ò Ø Ö Ò ÑÙ Ø ÒÙØÒ Þ ÖÙ Ò º º½µ º½ º½º½ Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ Ç Ò ÔÓ ØÙÔ Ò ÆÝÒ Ù Ñ Ò ö Ø ÔÓÑÓ ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ ÚÝ Ø Ð Ö ÓÙ ÖÓÚÒ Ö Ôº Ð Ò ÖÒ ¹ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ¾º Ù Þ ÒÓÙ Ú Ñ ÔÓ Ø Ò Ñ ÔÓ Ñ Ò Ñ º ÍÚ öù Ñ Ø Ý Ó Ú Ó Ò ØÚ Ö f(x,ε) =, Ö Ôº F(x,ẋ,ẍ,ε) =, x(a) = γ 1, ẋ(a) = γ,

48 ¼ à ÈÁÌÇÄ º ÈÇÊÍ ÀÇÎý Ì ÇÊÁ a Ö Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÙ Ò Ø Ö Ñ ÖÙ Þ ÖÓÚÒ ÒÓÚ Ò γ 1, Ó ÒÓØÝ ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò º ÆÝÒ Ô ÔÓ Ð Ñ ö Ò ÖÓÚÒ Ñ ØÚ Ö Ò ÓÒ Ò Ý º½µ Ø º x(t,ε) = x n ε n, n= Ó Ñ Ò Ú Ó Ô Ô Ù ÔÖÓ f(x,ε)º Ó Ø Ò Ñ f ( n= x nε n,ε) =. Ì ØÓ Ô Ô Ò ÖÓÚÒ Ð Ñ Þ Ñ ÚÓÙ ÚÐ ØÒÓ Øº ÄÞ ØÓØ ö Ò ÔÓÖÓÚ Ø ÔÓ ÑÓÒ Ò ε ØÓ Ø ö ÒÓØÐ Ú Ó ÒØÝ g n Þ Ú Úö Ý Ò Ò n + 1 ÔÖÓÑ ÒÒ x,...,x n º g (x ) + εg 1 (x,x 1 ) + + ε n g n (x,x 1,...,x n ) + = Ð ÒÝ ÑÓÒ Ò Ñ ε Ô Ô Ø ÚÙ ÔÓ ØÙÔÒ ÙÔ ÓÚ Ò Þ Ð Ò ÖÓÚÒ Ó Ò ö Ô ÔÓ Ð ¹ Ñ ö Ò Ò Ò º Ò Ñ Ú ÒÝ Ð ÒÝ Ú Ò ö Ñ ε ÑÓÒ ÒÙ ÚÝ Ò Ó ÖÓÚÒÓÙ Ò º Ó Ø Ò Ñ Þ Ð Ò ÖÓÚÒ º ÆÝÒ ÔÓ ØÙÔ ÓÔ Ù Ñ n¹ Ö Ø ÔÖÓ ÑÓÒ ÒÝ,3,...,n + 1º Ñ Ø Ý ÓÙ Ø ÚÙ n + 1 ÖÓÚÒ Ó n + 1 Ò ÞÒ Ñ g (x ) = g 1 (x,x 1 ) = g (x,x 1,x ) = g n (x,x 1,...,x n ) =, Ø ÖÓÙ Ò Ò ÚÝ Ø Ö ÙÖÞ ÚÒ º Ó Ø Ò Ñ Ó ÒØÝ x,x 1,...,x n Ý º½µ Ø Ö Ô ¹ Ø ÚÙ ÔÖÓÜ Ñ Ò ÖÓÚÒ ÔÓÖÙ Ñ º ËÓÙ Ø ÚÙ ÖÓÚÒ ÐÞ Ø Ó Ø Ø ÒÓ Ù Ø ö ÒÓØÐ Ú Ó ÒØÝ g n Ù ÑÓÒ Ò ε ÔÓÐÓö Ñ ÖÓÚÒÝ ÒÙÐ º Ø Ø Ò Ú Ú Ô ÓÞ Ñ Ñ Ø Ð Þ óö ÞÒ Ø ÔóÚÓ ÖÓÚÒ º Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ Ø ÔÖ Ú ÔÓÔ ÒÑ ÞÔó Ó¹ Ñ Ò ÔÖÓ ØÓ Ò ÐÓ Ý Ò Ò Ú Ô Ú ÒÙØÒÓ Ø Ó ÞÓÚ Ø Ù º½µ Ø Ó ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Ø º º½º¾ È Ð Ý ( F n= x nε n, d dt ( n= x n(a)ε n = γ 1, n= x nε n ), d dt ( º ) n= x nε n ),ε d dt ( n= x n(a)ε n ) = γ. Æ ØÓÑØÓ Ñ Ø ÙÚ Ñ Ô Ð Ý Ùö Ø ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ Ò Ð Ö Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ º =, Ð Ö ÖÓÚÒ ÍÚ öù Ñ ÖÓÚÒ ØÚ ÖÙ 4 x = εln x, x >, ε 1 º¾µ Ò öñ Ò Ø ÔÖÓÜ Ñ Ó Ò Ó Ù ¾º Ó Ñ Ø Ý x(t,ε) = x + εx 1 + ε x + O ( ε 3)

49 º½º Ä Å ÆÌýÊÆ ÈÇÊÍ ÀÇÎý Ì ÇÊÁ ½ Ó º¾µ ( 1 4 x + ε x x + 3 ) x x 1 + ε ( x x 1 x 1 x ) 1 x x, Ñ ÚÝÙö Ð Ì ÝÐÓÖÓÚ ÖÓÞÚÓ Ô ÖÓÞ Ò Ó ÐÓ Ö ØÑÙ ln(1 + t) = t 1 t t3 + O ( t 4) º ÈÓ ÔÖ Ú Ó Ø Ò Ñ Ø Ý εln ( x + x 1 ε + x ε ) ( = ε x 1 x 3 ) + ε (x 1 x x 1 ) + O ( ε 3) =. ÆÝÒ ö Ñóö Ñ Ø Ú Ø ÓÙ Ø ÚÙ ÖÓÚÒ Þ Ò ö Ò Ó Ø Ú Ñ Ô ÐÙ Ò Ó ÒØݺ O ( ε ) : 4 x = x = O ( ε 1) 1 : x x + 3 x x 1 = x 1 = 1 8 O ( ε ) : x x 1 x 1 x 1 x x = x = 1 Æ Ð Ñ Ø Ý ÔÖÓÜ Ñ Ò º¾µ Ú ØÚ ÖÙ x(ε) = 1 8 ε ε. Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ Å Ñ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ẍ + εẋ + 1 = x() =, ẋ() = 1, º µ Ø Ö Ó ÔÓÚ ÔÓ Ý Ù ÑÓØÒ Ó Ó Ù ÚÖö Ò Ó ÓÐÑÓ ÚÞ óöù ÔÓ Ù Ö Ñ Ú Ú Ù Ø Ò ÚÞ Ù Ùº È Ö Ñ ØÖ ε = kv mg k ÓÒ Ø ÒØ Ø Ò v ÔÓ Ø Ò ÖÝ ÐÓ Ø m ÑÓØÒÓ Ø Ó Ù g Ö Ú Ø Ò ÞÖÝ Ð Ò º Í Ø ØÓ ÖÓÚÒ Ò Ò Ø ö ÔÓ Ø Ø Ô Ò Ò ÐÝØ Ò Ñ ØÓ Ñ ÙØÓÚ ÒÑ Ú Ó Ø Ú ¾º½µ x(t) = 1 + ε ε ( 1 e εt ) t ε. ÊÓÞÚ Ñ ØÓØÓ Ò Ó Ì ÝÐÓÖÓÚÝ Ý ( ) ( ) x(t) = t t + ε t + t3 t + ε t4 + O ( ε 3) º µ 4 Þ Ù Ñ ÔÓÖÓÚÒ Ø Ú Ð Ñ Ó ö ÒÑ Þ ÔÓÑÓ ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ º ÇÔ Ø Ó Ñ x(t,ε) = x + εx 1 + ε x + O ( ε 3) Ó º µ ÔÓ ØÖ Ú ÐÒ ÔÖ Ú Ó Ø Ú Ñ Ð ÒÝ ÚÝ ó Þ Ò Ú Ñ µ ẍ ε(ẍ 1 + ẋ ) + ε (ẍ + ẋ 1 ) = x () + εx 1 () + ε x () =, ẋ () + εẋ 1 () + ε ẋ () = 1. ËÒ ÒÓ Ø Ý Þ Ô Ñ ÓÙ Ø ÚÙ ÖÓÚÒ O ( ε ) : ẍ + 1 = x () =, ẋ = 1 O ( ε 1) : ẍ 1 + ẋ = x 1 () =, ẋ 1 = O ( ε ) : ẍ + ẋ 1 = x () =, ẋ =

50 ¾ à ÈÁÌÇÄ º ÈÇÊÍ ÀÇÎý Ì ÇÊÁ ö Ò Ñ Þ Ñ Ù Ó ÒØó Ø ö Ú Ð Þ Ð Ó Ù º µº x = t t, x 1 = t + t3 6, x = t3 6 t4 4, º½º ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÙÐ Ö Ø ö Ó Ù Ñ Þ Ú Ð ÔÓÙÞ Ô Ô Ý Ý ÔÓÖÙ ÓÚ Ý Ø º Ý ØÚ ÖÙ º½µµ Ñ ÐÝ Ò ÒÙÐÓÚ ÔÓÐÓÑ Ö ÓÒÚ Ö Ò Ú Ð Ñ Ø ε Ó ÒÝ Ð ö ÐÝ Ú Ð óñ ÖÓÚÒ Þ ÔÓÖÙ ÓÚ Ð Òóº Ì ÓÚ Ô Ô Ý Ò ÞÚ Ö ÙÐ ÖÒ º Åóö Ú Ò Ø Ø ØÙ ö ÓÚ Ò Ó Òó ÖÓÚÒ Ù Ñ ØÖ ÐÒ Ó Ð ÓÚ Ø Ú Ô Ô ε = 1 ε > º Ì ÓÚ ÔÓÖÙ Ý ÓÙ Ô Ò ÙÐ ÖÒ º ÈÓØÓÑ Ò Ñóö Ñ Ùö Ø Ñ ØÓ ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ Ô ÑÓ Ð ÑÙ Ñ Ò ÔÖÚ Ú Ó ÒÓÙ Ù Ø ØÙ Ô Ú Ø Ò ÙÐ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö ÙÐ ÖÒ º  ÒÓ Ù Ñ Ô Ô Ñ Ò Ô Ð Ú Ö Ø ÖÓÚÒ εx + x 1 =. º µ Ì ØÓ ÖÓÚÒ Ñ Þ ÔÓÖÙ ÓÚ Ó Ð ÒÙ ÔÓÙÞ ½ Ó Ò x = 1 Þ Ø ÑÓ Ô Ñ Ð ÞÑ Ò ε Ô Ú Ó Ò ÖÙ º È Ò Ò Ñ ØÚ Ö x 1 = ε ε, x = ε ε Ô Ñö Ò ö ÔÖÓ Ð Ñ ÞÔó Ó Ò Ó Ò Ñ x Ø Ö Ú Ð Ñ Ø ε º Æ Þ Ú Ø Ý Ò Ò Ó Ò ö ÔÓ Ù Ø Ò Ø Ù Ø ØÙ Ø Ö ÖÓÚÒ Ô Ú Ó Ö ÙÐ ÖÒ Ó ØÚ ÖÙº Ù Ñ ÚÓÐ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÚÞØ y = ε 1 xº Á Ò Ó Ø Ú Ñ ÖÓÚÒ Ú ØÚ ÖÙ, y + y ε =, º µ Ø Ö Ùö Þ Ñ Ú Ö ÙÐ ÖÒ Ñ ØÚ ÖÙº ÆÝÒ ö Ñóö Ñ Þ Ó Ú ÔÐ ÓÚ Ø ÔÓÖÙ ÓÚÓÙ Ø ÓÖ º Ó Ñ y = y + εy 1 + ε y Ó º µ Þ ÖÓÚÒ O ( ε ) : y + y = O ( ε 1) : y y 1 + y 1 1 = O ( ε ) : y 1 + y y + y = O ( ε 3) : y 1 y + y 3 = Ò Ð ÞÒ Ñ ¾ Ý Ó ÒØó Ô ÐÙ Ò Ú Ñ Ó ÒóÑ º µ y 1 = ε ε + ε 3, y = 1 ε + ε ε 3, ö Ò ÒÓ ÔÓÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ó ÚÞØ Ù ÞÔ Ø Ý Ô Ú Ñ Ò Ó ÒÝ º µ x 1 = 1 ε + ε, y = 1 ε 1 + ε ε.

51 º¾º à ÆÇÆÁ Ãý ÈÇÊÍ ÀÇÎý Ì ÇÊÁ º¾ à ÒÓÒ ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ ÆÝÒ Ù Ñ Þ Ú Ø ÚÝÙö Ø Ñ ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ Ô Ð Ò Ò Ñ ÐØÓÒÓÚ Ý Ø Ñóº È ØÓÑ Ò Ñ Ù ÓÙ Ó Ø ÔÓÞÒ Ø Ý Ó Ò ÐÓÚ ÔÖÓÑ ÒÒ Ø Ö Ñ ÔÖ Þ ÒØÓ¹ Ú Ð Ú º º¾º Î ÓÒÞ ÖÚ Ø ÚÒ Ý Ø Ñ Ó ÒÓÑ ØÙÔÒ ÚÓÐÒÓ Ø Ú ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ Ò Ò ÑÙ Ò Ú Ô Ú Ñ ØÙÔÒ ÚÓÐÒÓ Ø ÖÓÚÒ Ú ÐÑ ÞØ öù Óö ÓÙÚ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ú Ø Ð º ÈÖÓØÓ ÔÖÓÞ Ø Ñ ÓÑ Þ Ñ Ò ÓÙ Ø ÚÝ Ò Ñ ØÙÔÒ Ñ ÚÓÐÒÓ Ø º È ¹ ÔÓ Ð Ñ ö À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÙÒ Þ Ô Ø Ó ÓÙ Ø ÒØ Ö ÐÒ Ø ÔÓÖÙ ö Ó ÖÙ Ó Ù ö Ó Ñ ØÓÒ ÒÙ H ÝÐÝ Þ Ú ÒÝ ÒÓÚ ÔÖÓÑ ÒÒ Ð I θ Ø º H (I,θ) = H (I) + εh 1 (I,θ) + ε H (I,θ) + O ( ε 3). º µ Ð Ñ ÒÓÒ ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ ÒÝÒ Ò Ð ÞØ ÒÓÚ ÔÖÓÑ ÒÒ Ð J ϕ Ø ÓÚ ö Ñ ÐØÓÒ Ò H (I,θ) ØÖ Ò ÓÖÑÙ Ò K (J) ½ º ÈÓØÓÑ Þ Ñ Ý Ø Ñ Ø Ò ØÖ Ú ÐÒ ÒØ ÖÓ¹ Ú Ø ÐÒѺ º¾º½ ÈÓÖÙ ÓÚ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ¹Â Ó ÓÚ ÖÓÚÒ ËØ Ò Ó Ú º Ù Ñ Ò ö Ø Ú Ð Ù Ó ÒÓÙØ ÔÓÑÓ À Ñ ÐØÓÒÓÚÝ¹Â Ó ÓÚÝ ÖÓÚÒ º ÈÓ Ù Ñ Ñ Ñ ÐØÓÒ Ò ÚÝ Ò Ó Ú º µ Ñ ÐØÓÒÓÚÝ ÖÓÚÒ Ò Ú ØÚ ÖÙ I = H θ = ε H 1 θ ε H θ + O ( ε 3) θ = H I = ω + ε H 1 I + ε H I + O ( ε 3), Ò Óð I θ ÓÙ Ð Ô ÐÙ Ñ ÐØÓÒ ÒÙ H º ÇÔ Ø Ù Ñ Ð Ø ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ S(θ,J) Ý Ø Ö ÚÞØ Ý I = S(θ,J) θ, ϕ = S(θ,J) J ØÖ Ò ÓÖÑÙ Ñ ÐØÓÒ Ò H (I,θ) Ò K (J)º Ì Ò ÐÞ ÖÓÞÚ ÒÓÙØ Ó Ý ÌÓØ ö ÔÖÓÚ Ñ ÙÒ S K = K + εk 1 + ε K +. S = S + εs 1 + ε S + = Jθ + εs 1 + ε S +, ÔÖÓØÓö S ÑÙ Ô Ø ÚÓÚ Ø ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ º Ç ÖÓÞÚÓ Ô Ó ¹ Ñ Ó À Ñ ÐØÓÒÓÚÝ¹Â Ó ÓÚÝ ÖÓÚÒ ( ) ( ) ( ) S S S H + εh 1 θ θ,θ + ε H θ,θ + = K (J), Ñö ÚÞÒ Ò Ö Ð Ø ÚÒ ÓÑÔÐ ÓÚ Ò ÖÓÚÒ ö Ð ÒÝ Ò Ð Ú ØÖ Ò Þ Ô Ø Ó ( ) ( S ε n H n θ,θ = ε n H n J + ε S 1 θ + ε S ) θ +,θ = [ = ε n H n (J,θ) + ε n+1 H n S 1 J θ + 1 ( ) ] H n S1 εn+ J + H n S + O ( ε n+3), θ J θ ½ ÎÞ Ð Ñ ÓÞÒ Ò ÓÙÚ ÐÓ Ø Ñ Ò Ý ÓÚÓ Ó Ñ ÐØÓÒ ÒÙ º

52 à ÈÁÌÇÄ º ÈÇÊÍ ÀÇÎý Ì ÇÊÁ ÖÙ ÖÓÚÒÓ Ø ÔÐ Ø Ý Ì ÝÐÓÖÓÚÙ ÖÓÞÚÓ º Ð ÓÚ Ô Þ Ò Ò Ñ ÑÓÒ Ò ε ÚÝ Ò ö µ Ó Ø Ú Ñ À Ñ ÐØÓÒÓÚÙ¹Â Ó ÓÚÙ ÖÓÚÒ Ú ØÚ ÖÙ [ ] [ H S 1 H (J) + ε J θ + H 1 + ε = K + εk 1 + ε K. 1 H J ( S1 θ ) + H J S θ + H 1 S 1 J θ + H ÆÝÒ Ø Ò Ó Ú Ô ÓÞ Ñ Ñóö Ñ Ò º µ Ò Ð ö Ø Ó Ò ÓÙ Ø ÚÙ Ø ÖÓÚÒ Ó Ø Ò ÞÒ Ñ º ÈÓÖÓÚÒ Ò Ñ Ó ÒØó Ù ÑÓÒ Ò ε Ø Ó Ø Ú Ñ O ( ε ) : H = K ] = º µ O ( ε 1) : O ( ε ) : H S 1 J θ + H 1 = K 1 1 ( ) H S1 J + H θ J S θ + H 1 S 1 J θ + H = K. º µ º¾º¾ à Ò Ù O (ε) ÔÖÚÒ ÖÓÚÒ ÓÙ Ø ÚÝ º µ Ò ÒÓ Þ ðù Ñ ö Þ Ò ÒÓÚ Ó Ñ ÐØÓÒ ÒÙ ÒÙÐØ Ó Ù K Ø ÔÖÓ Ø Þ Ñ Ò Ø ÔÖÓÑ ÒÒÓÙ I Þ J Ú H º ÈÖÓØÓö Ô ÔÓ Ð Ñ ö K Þ Ú Ð ÔÓÙÞ Ò ÔÖÓÑ ÒÒ J Þ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÖÓÚÒ ÚÝÔÐÚ ö H (J) J = K (J) J = ω (J), Ø º Ö Ú Ò ÓÔ Ø Ò Þ Ú Ð Ò ÐÓÚ ÔÖÓÑ ÒÒ º ÊÓÚÒ ÔÖÚÒ Ó Ù Þ ÓÙ Ø ÚÝ º µ Ñóö Ñ Ô Ô Ø Ó ØÚ ÖÙ K 1 (J) = ω (J) θ S 1(θ,J) + H 1 (J,θ).  ÔÓØ ÙÖ Ø Ó ÒÓØÙ K 1 º à ØÓÑÙ ÚÝÙö Ñ Ô Ö Ó ØÙ ÔóÚÓ Ò ÐÓÚ ÔÖÓÑ ÒÒ θº Ý Ò ØÓØ ö ÙÒ S Ø Ý Ø S 1,S,...µ Ô Ö Ó º ÈÓ Ù Ø Ý ÔÓ Ð Ò Þ ÖÓÚÒ ÒØ ÖÙ Ñ Ô Ô Ö Ó Ù ÔÓ Ð θ Ó Ø Ò Ñ Ò Óð ÒØ Ö Ð π πk 1 = π H 1 dθ, S 1 θ dθ = [S 1] π = º ÈÓÐÓö Ñ ¹Ð ÒÝÒ Ĥ 1 = 1 π H 1 dθ = K 1, π Ñóö Ñ Ô Ø θ S 1(θ,J) = 1 [Ĥ1 (J) H 1 (J,θ)] = 1 ω (J) ω (J) H 1 (J,θ), Ñ ÓÞÒ Ð Ô Ö Ó ÓÙ Ø Ñ ÐØÓÒ ÒÙ H 1 = H 1 Ĥ1º

53 º º Ã Å Ì ÇÊ Å º Ã Å Ø ÓÖ Ñ ÔÓ Ñ Ò ÞÓÚ ØÓÖÙ Ý Ø ÑÙ ÔÓ ÖÓ Ò ÑÙ Ñ Ð ÔÓÖÙ Þ Ð ÓÖÑÙ Þ Ò Ò Ô ØÖÒ ÞÑ Ò ÌÓ Ú ÐÑ óð ö Ø ÓØ Þ Ø ÒÓÒ ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ Ò Ø ÖÓÙ Ó ÔÓÚ ØÞÚº Ã Å Ø ÓÖ Ñ ¾ º ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ÚÝ ÐÓÚ Ð Ú ÖÓ ½ Ð Ó Þ Ò ÝÐ ö Ò Þ Ø Ù Ø Ð Øº ÓÐ Ú Ø ÓÖ Ñ Þ ÓÖÑÙÐÓÚ Ø Ð Ñ ØÖÙ Ò Ó ÓÚ Ò Ú ÐÑ ÐÓö Ø Þ Ð ö ØÓ Ø Þ Ö Ñ Ò Ò Ø ØÓ ÔÖ Ð Ý Ó ÓÖÒ ÔÙ Ð Ò ÚÝ Ó ÖÓÚÒ º º º½ ÓÖÑÙÐ ÔÓ Ñ Ò Å Ñ Ò Ñ ÐØÓÒ Ò Ó Ø Ø Ò Ñ ÐÓÙ ÔÓÖÙ ÓÙ Ù ε Ú ØÚ ÖÙ H (I i,θ i ) = H (I i ) + εh 1 (I i,θ i ). È ÔÓ Ð Ñ ö ÔÖÓÑ ÒÒ Ò Ø Ö Þ Ú ÓÙ Ò ÐÓÚ Ú H Ø º H (I i,θ i +kπ) = H (I i,θ i ) Ø ö À Ñ ÐØÓÒÓÚÝ ÖÓÚÒ ÓÙ ÓÖÑÙÐÙ Ñ ÔÓ Ñ Ò Ý I i = ε H 1 θ i, θi = ω i + ε H 1 I i. ½º µ ËÝ Ø Ñ ÚÝÒ Ò Ñ ÔÓÖÙ Ò Ò ÖÓÚ Ò Ø º ÔÖÓ Ö Ú Ò ω i ÔÐ Ø ( ) n ( ωi ) n H det = det. I j I i I j i,j=1 µ ËÝ Ø Ñ Þ ÔÓÖÙ ÞÓ Ò Ö Ø Ý Ò Ò ÖÓÚ Ò Ø º ÔÖÓ Ö Ú Ò ÔÐ Ø ÔÓ Ñ Ò ) ) det ( ωi I j ω i ω j = det ( H i,j=1 I i I j H I i H I j ¾º Ö Ú Ò ω 1,...,ω n ÓÙ Ö ÓÒ ÐÒ Ò Þ Ú Ð Ø º m i N ÔÐ Ø n m i ω i. ÞÓÚ ØÓÖÝ Ø Ö ØÙØÓ ÔÓ Ñ Ò Ù ÔÐ Ù Ò ÞÚ Ò Ö ÞÓÒÙ º i=1. º ÈÓÖÙ Ó Ø Ø Ò Ð Ø º H 1 Ñ ÔÓ Ø Ö Ú ö Ó Ó Ø Ø Ò Ó Ùº º Ö Ú Ò ω 1,...,ω n ÓÙ Ó Ø Ø Ò Ö ÓÒ ÐÒ Ø º Ñ N n ÔÐ Ø n m i ω i γ Ñ τ, i=1 τ Þ Ú Ð Ò ÔÓ ØÙ ØÙÔ ó ÚÓÐÒÓ Ø Ð Ó Ø H 1 γ ÔÓ Ù ε º ÆÝÒ ö Ñóö Ñ Ô ØÓÙÔ Ø ÑÓØÒ ÓÖÑÙÐ Ã Å Ø ÓÖ ÑÙ ÈÓ Ù ÔÖÓ Ñ ÐØÓÒÓÚ Ú Þ Ô Ö Ó Ý Ø Ñ ÔÐ Ø ÔÓ Ñ Ò Ý ½ ¹ Ö Ôº ½ ¹ Ô Ø ÒØö Ý Ø Ñ Ó Ø Ø Ò Ñ ÐÓÙ ÔÓÖÙ ÓÙ Ñ Ò Ò Ñ ÐÓ Ó Ð Ò Ò Ú ÓÖÓ Ú ÒÝ Ò Ö ÞÓÒÙ ÒÚ Ö ÒØÒ ØÓÖÝ Ý Ø ÑÙ Þ ÔÓÖÙ Ý Ò ÞÑ Þ Ð Ò Ò Ô ØÖÒ ÓÖÑÙ º Ì ÖÑ Ò ÓÖÓ Ú ÒÝ Ñ Ò Ò Ú ØÓÑ ÑÝ ÐÙ ö Ä Ù ÓÚ µ Ñ Ö ÓÑÔÐ Ñ ÒØÙ ÑÒÓö ÒÝ ØÓÖó ÒÙÐ ÔÓÐ Ò εº ¾ Þ Ö Ø Ã Å Ô ÔÓÑ Ò Ò Ö Æ ÓÐ Ú ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ÎÐ Ñ Ö Á ÓÖ Ú ÖÒÓг Â Ö Ò ÅÓ Ö

54 à ÈÁÌÇÄ º ÈÇÊÍ ÀÇÎý Ì ÇÊÁ º º¾ ÈÓÞÒ Ñ Ý ÔÓ Ñ Ò Ñ ÈÓ Ñ Ò Ý ÚÝ ÐÓÚ Ò Ú Ô ÓÞ Ñ Ó Ø Ú ÓÙ Ú ÐÑ Ó Ò º È Ú Ñ Ý ÝÐÓ Ú Ó Ò ÙÔ ¹ Ò Ø Ý ÓÙ Ö Ú Ò Ó Ø Ø Ò Ö ÓÒ ÐÒ Ó ÞÒ Ñ Ò ÓÖÓ Ú ÒÝ º Æ ØÓÑØÓ Ñ Ø ÒÙØÒ ÙÚ ÓÑ Ø ö ÔÓ Ñ Ò Ö ÓÒ ÐÒ Ò Þ Ú ÐÓ Ø Ú ÐÑ ÞÙöÙ Ó Ð Ø ÔÐ ØÒÓ Ø Ø ÓÖ ÑÙº Ì Ò Ô ÔÐ Ø Ò ÔÖÓ Ú Ð Ñ ÐÓÙ ÑÒÓö ÒÙ Ú Þ Ô Ö Ó Ý Ø Ñóº ÍÚ öù Ñ ÒÝÒ ÔÖÓ ÒÓ¹ Ù Ó Ø Ý Ø Ñ Ú Ñ ØÙÔÒ ÚÓÐÒÓ Ø Ó Ö Ú Ò ω 1 ω º ÈÓ Ñ Ò Ó Ø Ø Ò Ö ÓÒ Ð ØÝ Ô Ô Ø Ú ØÚ ÖÙ ω 1 r ω s > γs (τ+1), º½¼µ r, s Nº Ì ØÓ ÔÓ Ñ Ò Ñ Ò ÞÓÖÒ ÓÑ ØÖ ÚÞÒ Ñº ÍÚ öù Ñ ¹Ð ÒÓØ ÓÚ ÒØ ÖÚ Ð Ò Ò Ñ Ú Ò Ö ÓÒ ÐÒ Ð r/s Ô ÚÖ Þ Ú ÓÐÙØÒ Ó ÒÓØ Ô Ø ÚÙ Ú Ð Ó Ø Ó ÓÐ ÓÒ Ö ØÒ Ó Ö ÓÒ ÐÒ Ó Ð º ÌÓÖÝ ÔÓÑ Ö Ñ Ö Ú Ò ÙÚÒ Ø Ú Ø ØÓ ÚÞÒ Ð Ó ÓÐ Ô ÔÓ Ñ Ò Ù Ó Ø Ø Ò Ö ÓÒ Ð ØÝ Ò ÔÐ Ù º Åóö Ñ Ò ÒÓ Ó ÒÓÙØ Ä Ù ÓÚÙ Ñ ÖÙ µ Ø ØÓ ÑÒÓö Òݺ ÜÙ Ñ ¹Ð s Ñ Ñ Ò ÒÓØ ÓÚ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÙ ÔÖ Ú s ÖóÞÒ Ö ÓÒ ÐÒ Ð ØÚ ÖÙ r/sº ÎÝÒ Ó Ò Ñ ÔÖ Ú ØÖ ÒÝ º½¼µ Ø Ò Ñ Ô Ú Ò Ô ÖÓÞ Ò Ð Ò ÒÓ Ó Ø Ú Ñ ÓÖÒ Ó µ < γ s τ. s=1 ÈÖÓ ÓÒÚ Ö Ò Ò ÓÒ Ò ÙÑÝ ÑÙ Ø Ý Ø τ > 1 ÔÓØÓÑ ÔÖÓØÓö γ = γ(ε) ε ÖÓÚÒ ö µ ε º Í ÞÙ ö ÙÚ Ò ÓÖÒ Ó Ñ ÖÝ µ Ù 1 48 Ú Ð ÓÚÓÐÒ ÒÓØ º Ì Ý ÓÑ ÑÓ Ð ÔØ Ø Ó Ó Ó Ø Ø Ò Ó Ù Ñ Ø ÔÓÖÙ Ö ÒÓÚ Ø ÐÒ º ÅÓ Ö Ô ÔÓ Ð Ð ö ÔÓØ ÔÓ Ø Ö Ú Ð Þ ÓÙÑ Ò ÓÚ Ñ ØÓØÓ ÐÓ Ö ÐÒ Ò ö ÐÓº

55 Ã Ô ØÓÐ Ä Ò ÖÒ Ø Ð Ø ÈÓ Ù Ñ Ñ Ø Ô Ø ÚÙ Ó ØÓÑ Ù Ñ ÐØÓÒÓÚ Ý Ø Ñ ÚÝÚ Ø Ú Ô ÖóÞÒ ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Ú Ð Ò ÞÓÖÒ Ø Ú Ø ØÞÚº ÞÓÚ ÔÓÖØÖ Øº È ÐÙ Ò ÞÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ Ñ Ñ ÒÞ n n ÔÓ Ø ØÙÔ ó ÚÓÐÒÓ Ø º Ä ÓÚÓÐÒ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ Ô Ø ÚÙ ÙÒ ØÒ Ø Ú Ø º ÓÑ Ò Ó ÒÓØ ÔÖÓÑ ÒÒ p i, q i Ú Ø Ö Ñ Ý Ø Ñ Ñóö Ò Þ Øº à Ò ÔÓ Ý¹ ÓÚ ÖÓÚÒ Ô Þ Ò ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Ô Ñóö Ñ Ú ØÓÑØÓ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÚÝ Ø Ó ÔÓ ØÓÙ Ú Ù ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ø Úóµ Ø Ö Ô Ø ÚÙ ÚÚÓ ÓÙ Ø ÚÝ Ú º Æ Ò Ñ ÑÓ¹ Þ Ñ Ò Ö Ò Ú ØÓÑ Ý ÓÑ Ú ÔÖÓ ØÓÖÙ ÞÒ ÞÓÖÒ Ð ØÓÐ Ø ÓÚ Ú ÓÐ Ò Ñ ÞÐ ½ º Î Ð Ó Ý Ò Ó Ø ÐÓö Ø ØÖÙ ØÙÖ µ ÔÓØÓÑ ÔÖ Ú ÞÑ ÓÚ Ò ÞÓÚ ÔÓÖØÖ Ø Ý Ø ÑÙº  ÓÚ Ñ óð ö Ø ÙÚ ÓÑ Ø ö Ó ÓÒ ØÖÙ Ø ÞÒ Ø ÓÑÔÐ ØÒ Ò ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Óö Ñóö Ø Ú ÑÒÓ Ô Ô Ð Ñ ÐÓö Ø ÔÖÓ Ð Ñº ÈÖÓØÓ Ó ÒÙØÒ ÓÑ Þ Ø ÔÓÙÞ Ò Ó ÓÐ ÖÓÚÒÓÚ öò Ó ó Ò Óð ÙÚ Ñ Ú Ò Ð Ù Ñ Ø ÜØÙ Ø ÑÓöÒ ÚÝØÚÓ¹ Ø Ô Ø ÚÙ Ð ÔÓ Ó ÐÓ ÐÒ Ñ ÓÚ Ò Ý Ø Ñóº Æ ÖÓÞ Ð Ó ÐÓ ÐÒ Ó ÓÚ Ò Ý Ø ÑÙ ÐÓ ÐÒ ÓÚ Ò Ý Ò ÐÞ ÖÓÚÒÓÚ öò Ó ó ÑÓöÒ Þ ÝØ Ø Úö ݺ º½ Ò ÐÞ ÖÓÚÒÓÚ öò Ó ó º½º½ Å Ø Ø Ð ØÝ Â ÝÐÓ ö ÝÐÓ Ù Þ ÒÓ ÔÓ Ý Ñ ÐØÓÒÓÚ ÓÙ Ø ÚÝ ÒÓÞÒ Ò ÙÖ Ò Ñ ÔÓ Ý ÓÚÑ ÖÓÚÒ Ñ º Ù Ñ ÒÝÒ Ô Ø Ú ØÚ ÖÙ ẋ i = f i (x j,t), i = 1,,...,n, n ÔÓ Ø ØÙÔ ó ÚÓÐÒÓ Ø ÔÖÓÑ ÒÒ (x 1,x,...,x n ) (p 1,...,p n,q 1,...,q n )º Å ¹Ð Ø Ý Ø Ñ Ú Ó (x j ) Ú ÖÓÚÒÓÚ öò ÔÓÐÓÞ ÑÙ Ø ÔÐÒ Ò ÔÓ Ñ Ò ẋ i = f(x j,t) =, º½µ ÔÖÓØÓö Ö Ú ÔÓ Ð Ù Ô Ø ÚÙ ÞÑ ÒÙ ÔÖÓÑ ÒÒ ÔÓÐÓ Ý ÒÓ Ø µ Ú º Ë ÑÓØÒ ÔÐÒ Ò ÔÓ Ñ Ò Ý º½µ Ò Ñ Ú Ò Ò Ó Ó ÔÓÚ Þ Ø º Ó Ø Ð Ø º ÈÖÓØÓ ÒÙØÒ Þ ÓÙÑ Ø ÓÚ Ò ÓÙ Ø ÚÝ Ú Ò Ò Ø Þ Ñ ÐÒ Ñ Ó ÓÐ ÖÓÚÒÓÚ öò Ó Ó Ùº ÎÝÙö Ñ ÒÝÒ Ì ÝÐÓÖóÚ ÖÓÞÚÓ ÙÒ f i Ó ÔÖÚÒ Ó Ù ÓÐ Ñ Ó Ù (x j ) ẋ i + dẋ i = f i (x j + dx j,t) = f i (x j,t) + f i x j (x j,t)dx j + O ( dx ) ½ Þ Ø ÖÑ Ò Ø ÒÓ Ø ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ ÓÚ Ñ Þ Ñ ö Ð ÓÚÓÐÒ Ú ÞÓÚ Ú Ý Ò Ý Ò ÑÓ ÓÙ ÔÖÓØÒÓÙØ

56 à ÈÁÌÇÄ º ÄÁÆ ýêæ ËÌ ÁÄÁÌ ÈÓ Ó Þ Ò ÔÓ Ñ Ò Ý º½µ Þ Ò Ò Ñ ÚÝ ó ÖÓÞÚÓ Ø Ý Þ Ñ ÔÖÓ ÞÑ ÒÝ dẋ i ÔÐ Ø dẋ i = f i x j (x j)dx j, Óö Ú Ú Ð ÒØÒ Ô Ô Ø Ó Ñ Ø ÓÚ Ó ØÚ ÖÙ Ó dx 1 f 1,x1 f 1,xn dx 1 d dt º = º º ºº º º, dx n f n,x1 f n,xn dx n º¾µ Ñ ÓÞÒ Ð f i,xj f i x j (x j,t)º Å Ø Ó ÖÓÞÑ ÖÙ n n ÙÔÖÓ Ø Ò ÞÚ Ñ Ø Ð ¹ Ò ÖÒ µ Ø Ð ØÝ Ù Ñ ÞÒ Ø Mº ÈÓ Ð Ò ÚÞØ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ý Ø Ñ n Ð Ò ÖÒ ¹ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ Ó ÒØÝ Óö ÞÔó Ó Ò Ñ Ò ÞÒ Ð Ú Ô ØÓÐ ¾º½º ÇÞÒ Ñ ¹Ð Ú ØÓÖ dü = (dx 1,..., dx n ) ÚÐ ØÒ Ð Ñ Ø M Ó λ i Ñ Ô ÐÙ Ò ÚÐ ØÒ Ú ØÓÖÝ Ú i Ñóö Ñ Ò Ô Ø Ú ØÚ ÖÙ dü = C 1 Ú 1 e λ 1t + C Ú e λ t + + C n Ú n e λ nt. º µ ÈÓ Ð ÔÓÚ Ý Ð λ i ÒÝÒ Ò ÒÓ ÖÓÞÐ Ñ ØÝÔ Ø Ð ØÝ Ô ÐÙ Ò ÖÓÚÒÓÚ öò Ó óº º½º¾ ÃÐ ÖÓÚÒÓÚ öò Ó ó Î Ò Ð Ù Ñ Ú ØÙ Þ Ó ÒÓØ Ñ 1 ØÝÔó ÖÓÚÒÓÚ öò Ó óº ÈÖÓ ÒÓ Ù Ó Ø Ô Ð ÒÓ Ø ÓÑ Þ Ñ Ò ÚÓÙÖÓÞÑ ÖÒ ÔÖÓ ØÓÖ Ó Ó x yº ÈÓ Ð Ô ÐÓö Ò Ó Ö Þ ó Ô Ó ÒÓع Ð Ú ØÝÔ Ñóö Ø Ò Ò ÒÓ ÚÝØÚÓ Ø Ô Ø ÚÙº ÊÓÚÒÓÚ öò Ó Ò Ò Úö Ý ÞÓ Ö Þ Ò Ú ÔÓ Ø Ù ÓÙ Ø ÚÝ ÓÙ Ò Þ Ø ÑÓ Ú Ý ÞÒ ÞÓÖ Ù ÞÓÚ ÔÓÖØÖ Ø ØÝÔ Ý Ù Ø Ó¹ Ú Ó ó Ñóö ÚÝÔ Øº â Ô Ý Ô Ò ÞÒ Ù Ñ Ö ÚÚÓ Ý Ø ÑÙº ÊÓÞ ÖÑ ÒÝÒ ÒÓØÐ Ú Ô Ô Ý ÖÓÚÒ º µ ÔÖÓ n = 1 µ λ 1 >, λ >. Î Ø ÓÚ Ñ Ô Ô Ù ÓÙ Ó ÐÓö Ý Ò Ñ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Öó Ø Ø Ý Ú ÝÐ Ù Ñ Ð Ø Ñ ÞÚ Ø ÓÚ Ø Ñ Ö Ñ Ø Ö ÙÖ Ù ÚÐ ØÒ Ú ØÓÖÝ v 1, v º Ì ÓÚ ÖÓÚÒÓÚ öò Ó Ò ÞÚ Ñ Ò Ø ÐÒ ÙÞ Ðº µ λ 1 <, λ <. ÆÝÒ ØÙ Þ Ð ÓÔ Ò º Ç ÐÓö Ý Ú Ð Ñ Ø t Ð ö ÒÙÐ Ø Ý Þ Ñ ö Ô Ñ Ð Ú ÝÐ Ñ Ý Ø Ñ Ø Ò Ò ÚÖ Ø Ó ÖÓÚÒÓÚ öò ÔÓÐÓ Ýº à Ñ ö Ò Ó Ø ÐÒ ÙÞÐÓÚ Ó º µ λ 1 <, λ >. Ì ÒØÓ Ó Ò ÞÚ ÐÓÚº  ÔÖÓ Ò Ö Ø Ö Ø ö Ú ÙÖ Ø Ñ Ö ÓÚ Ò Ø ÐÒ Þ Ø ÑÓ Ú Ò Ø ÐÒ º Â Ò Þ ÐÓö Ò ØÓØ ö ܹ ÔÓÒ Ò ÐÒ Ð ÖÙ ÖÓ Ø º µ λ 1 = iω, λ = iω. ÈÓ Ù Ò Ø Ò Ø ÓÚ ØÙ Ó Ö ÙÚ ÓÑ Ø ö Ý ÙÐ ÖÓÚ ÓÖÑÙÐ e ±iωt = cos ωt ±isin ωt ÐÞ ÜÔÓÒ Ò ÐÝ Ú ÚÞØ Ù º µ Ò Ö Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ Ñ ÙÒ Ñ ¾ º ÈÓØÓÑ Ó ÐÓö Ý Ô Ø ÚÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÚÞØ Ý Þ ÖØ Þ Ó ÔÓÐ ÖÒ ÓÙ Ò ÞÓÚ ÔÓÖØÖ Ø Ù ÐÓö Ò Þ ÓÙ Ø Ò Ð Ô º ÈÖÓØÓ Ø ÒØÓ ØÝÔ ÖÓÚÒÓÚ ö¹ Ò Ó Ó Ù Ò ÞÚ Ð ÔØ º Â Þ Ñ ö ÔÓ Ý Ù ÔÖÓ Ø Ó ÓÐÓ ØÓ ÓØÓ Ó Ù Ñóö Ñ Ø Ý Ó Ò Ñ ÓÚÓ Ø Ó Ó Ø Ùº ¾ ÝÞ ÐÒ ÚÞÒ Ñ Ñ ÑÓÞ Ñ ÔÓÙÞ Ö ÐÒ Ø Ò

57 º½º Æ Ä ÊÇÎÆÇÎýêÆ À Ç ç µ λ 1 = α + iβ, λ = α iβ, α,β >. ÓÚ Ò Ú Ð Þ Ó Ø Ó Ù Þ ÚÒ ÓÑ Ò Ô ÓÞ ØÝÔóº Ê ÐÒ Ø ÞÔó Ó Ù ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ô Ð öóú Ò Ñ Ö Ñ ÖÓÚÒÓÚ ö¹ Ò ÑÙ Ó Ù Þ Ø ÑÓ Ñ Ò ÖÒ Ø ÔÓ Ñ Ù ÖÓÙö Ò ÓÐ Ñ Ò º Ð Ñ Ø Ý ÚÞÒ Ô Ö Ð ÓÖ ÒØÓÚ Ò ÓÚÒ Ø º Ó Ø Ý Ô Ö ÐÓÚ Ø ÐÒ º µ λ 1 = α + iβ, λ = α iβ, α,β >. Ì Ú ØÓÑØÓ Ô Ô ÔÓ Ù ÚÐ ØÒÓ Ø ÚÓÙ ö ÔÓÔ Ò ØÝÔó Ó óº Â Ò ÞÑ Ò Ú ØÓÑ ö Ú ÝÐ Ñ ÜÔÓÒ ÐÒ ÞÚ Ø¹ Ù Ø Ý Ô Ö Ð Ù ÓÔ Ò ÓÖ ÒØÓÚ Ò Ñ Ö Ñ Ú Ò Ó Ó Ùº ÀÓÚÓ Ñ Ó Ô Ö ÐÓÚ Ñ Ò Ø ÐÒ Ñ Ó Ùº Í ÔÓ Ð Ò Ø Ô Ô ó Ñ ÑÝ Ð ÔØ Ø Þ Ð Ô Ö Ð Þ ØÓ Ò ÔÓ Ñ ÖÙ Ó ÒÓÚ ÖÙ Ö Ôº ÙÞ Ú Ò Ð Ô ÓÖ ÒØÓÚ Ò ÔÓ Ñ ÖÙ Ó ÒÓÚ ÖÙ º ÌÓ Þ Ø Ñ Ò ÒÓ Þ º¾µ Ó Þ Ò Ñ Þ dy = dx > º È ÔÓ Ù dẏ < Ú ÓÖ ÒØÓÚ Ò ÔÓ Ñ ÖÙ Ó ÒÓÚ ÖÙ Ú Ô Ô dẏ > ÔÖÓØ Ñ ÖÙº Î Ò Ð Ù Ô Ô ÙÚ öù Ñ Ò ÖÓÚ Ò Ó ÒÝ Ø º λ 1 = λ = λº ÈÓØÓÑ ¹ Ò º µ Ñ ØÚ Ö dü = C 1 Ú 1 e λt + C (Ú 1 t + Ú )e λt. µ λ >, Ú = (,). ÆÝÒ ÐÓö Ú Ñ ÖÙ Ò Þ Ó ÔÖÓ ØÑ Ò Ó Ñ ÖÙ ÐÓö ݺ ÞÓÚ ÔÓÖØÖ Ø Ø Ý ÒÙØÒ ÑÙ Ø ÐÓö Ò Þ Ô Ñ º  РÓö λ > Þ Ñ ö Ú ÒÝ ØÖ ØÓÖ Ñ Ù Ó ÖÓÚÒÓÚ öò Ó Ó Ùº ÎÞÒ Ò Ø ÐÒ Ú Þ º µ λ <, Ú = (,). ÇÔ Ø ÓÙ ÞÓÚ Ú Ý Ô Ñ Ñ ÓÚ Ñ ÚÞ Ð Ñ ÞÒ Ñ Ò Ù λ ÒÝÒ ÖÓÚÒÓÚ öò Ó Ò ÞÚ Ø ÐÒ Ú Þ º µ λ >, Ú (,). Î ØÓÑØÓ Ô Ô ö Ò ÐÞ ÚÝØ ÒÓÙØ Ú ØÓÖ Ú 1 ÞÓÚ Ú Ý Ù ÓÙ Ñ Ø Ø Ý Þ Ð Ó Ò ØÚ Öº Ì ØÓ ÔÓÐÓ Ò Ø ÐÒ º µ λ <, Ú (,). ÒÓÚÙ ÞÓÚ ÔÓÖØÖ Ø ØÚÓ Ò Ó ÒÑ Ú Ñ Ð ÖÓÚÒÓÚ öò Ó Ø ÐÒ º Æ Ó Ö Þ Ù º½ Ñ Ø Ý ÞÒ ÞÓÖÒ ÒÓ ÓÚ Ò Ú ÙÚ Ò ØÝÔó ÖÓÚÒÓÚ öò Ó óº º½º È Ð Ý ÍÚ öù Ñ Ò ÔÖÚ ØÐÙÑ Ò ÝÚ ÐÓ ÔÓ Ý ÓÚÓÙ ÖÓÚÒ ẍ + g l sin x + λẋ =, º µ g Ö Ú Ø Ò ÞÖÝ Ð Ò l Ð Þ Ú Ù λẋ ØÐÙÑ Ð Òº Ý ÓÑ Ó Ø Ð ÓÙ Ø ÚÙ ÚÓÙ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ½º Ù ÔÖÓÚ Ñ Ù Ø ØÙ ẋ = yº ÈÓ Ð Ô ÓÞ Ó Ý Ñ Ð ÖÙ ÔÖÓÑ ÒÒ y Ñ Ø ÚÞÒ Ñ Ý ÒÓ Ø p Ð ÔÖÓØÓö ÚÖ Þ ẋ Ú ØÓÑØÓ Ô Ô Ñ ÖÒ p = ml ẋµ ÑÓöÒÓ ÔÓ ØÙÔÓÚ Ø Ø ÑØÓ ÞÔó Ó Ñº ËÒ ÒÓ Þ Ø Ñ ö ÖÓÚÒÓÚ öò Ó Ý ÓÙ x n = (±nπ,)º Ä Ò Ö ÞÓÚ Ò Ñ Ó ÓÐÓ Ø ØÓ Ó ó Ô Ó Ø Ò Ñ ÖÓÚÒ Þ Ô Ò ÔÓÑÓ Ñ Ø Ø Ð ØÝ d dt ( ) ( dx = dy ) 1 g/l cos x n λ ( ) dx, dy ËÔÓ Ø Ñ ¹Ð ÚÐ ØÒ Ð Ñ Ø Ø Ð ØÝ Þ Ñ λ 1 = λ + 1 λ 4g cos x n, λ = λ l 1 λ 4g l cos x n.

58 ¼ à ÈÁÌÇÄ º ÄÁÆ ýêæ ËÌ ÁÄÁÌ y x µ y x µ y x µ y x µ y x µ y x µ y x µ y x µ y x µ y x µ Ç Ö Þ º½  ÒÓØÐ Ú ØÝÔÝ ÖÓÚÒÓÚ öò Ó ó

59 º½º Æ Ä ÊÇÎÆÇÎýêÆ À Ç ç ½ y 6 4 3π π π π π 3π 4 6 x Ç Ö Þ º¾ ÞÓÚ ÔÓÖØÖ Ø ØÐÙÑ Ò Ó ÝÚ Ð ÔÖÓ λ = 1,6 l = 1 ÆÝÒ ÔÓ Ù Ñ Ö Ø Ö ÞÓÚ Ø ÖÓÚÒÓÚ öò Ó Ý Ú Þ Ú ÐÓ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖÙ λº ÈÖÓ n Ð Þ Ñ λ 1 >, λ < Ø Ý Ò Ó ÝÔ Ö ÓÐ ØÝÔº ÈÓ Ù n Ð Þ Ð ö Ò ÚÖ ÞÙ ÔÓ Ó ÑÓÒ ÒÓÙº  ¹Ð λ < 4g/l ÚÐ ØÒ Ð ÓÙ ÓÑÔÐ ÜÒ Ò ÒÙÐÓÚÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ñ Ò ÖÒ Ø Ó Ø Ú Ñ Ø ÐÒ Ô Ö ÐÓÚ Ó º ÈÓ Ù λ > 4g/l Ñ Ñ Ø ÐÒ ÙÞ Ð ÓÒ Ò Ô λ = 4g/l Ó Ø Ú Ñ Ò ÖÓÚ Ò Ô Ô λ 1 = λ = λ/ Óö Ó ÔÓÚ ÔÓ Ð Ò ÑÙ ØÝÔÙ ÖÓÚÒÓÚ öò Ó Ó Ùº Â Ó Ð Ô Ð Ñóö ÔÓ ÐÓÙö Ø ÓÙ Ø Ú ÖÓÚÒ ÔÓÔ Ù ÚÚÓ ÔÓÔÙÐ Ð y Ö Ð ó xº Ä Ý ö ÖÓÙ Ö Ð Ý Ú ÔÓ Ù ÔÓ Ø ÚÞÖÓ Ø Ô Ð Ð Ò ÔÓÔÙÐ Ö Ð ó Ð Ý Þ ÒÓÙ ÚÝÑ Ö Ø ÔÖÓØÓö Ñ Ò Ó Ø Ø ÔÓØÖ Úݺ ÊÓÚÒ Þ Ô Ø Ú ØÚ ÖÙ ẋ = x xy ẏ = y + xy º µ Ñ Þ Ñ ÔÓ Ð º½µ Ú ÖÓÚÒÓÚ öò Ó Ý (,) (1,1)º Ú Ñ ÒÝÒ ÔÖÚÒ Ñ Þ Ò º Ä Ò Ö ÞÓÚ Ò ÖÓÚÒ ( ) ( ) ( ) d dx 1 dx = dt dy 1 dy Ñ ÚÐ ØÒ Ð 1, 1 Ø Ý Ó (,) ÐÓº ÈÖÓ ÖÙ Ó Ñ Ñ d dt ( ) dx = dy ( ) 1 1 ( ) dx, dy Ø ö ÚÐ ØÒ Ð ÓÙ λ 1, = ±i ÖÓÚÒÓÚ öò Ó Ð ÔØ º ÍÚ öù Ñ Ø ÓÙ Ø ÚÙ ÖÓÚÒ ẋ = x(4 x y) ẏ = y(x ), º µ

60 ¾ Ã ÈÁÌÇÄ º ÄÁÆ ýêæ ËÌ ÁÄÁÌ y x Ç Ö Þ º ÞÓÚ ÔÓÖØÖ Ø Ó ÔÓÚ ÓÙ Ø Ú º µ

61 º½º Æ Ä ÊÇÎÆÇÎýêÆ À Ç ç y x Ç Ö Þ º ÞÓÚ ÔÓÖØÖ Ø Ó ÔÓÚ ÓÙ Ø Ú º µ Ñ ö ÖÓÚÒÓÚ öòñ Ó Ý ÓÙ x 1 = (,) x = (1,1) x 3 = (4,)º Å Ø Ø Ð ØÝ Ñ ØÚ Ö ( ) 4 xi y M = i x i, i = 1,,3. y i x i Æ Ð Ù Ø ÙÐ Ù ÞÙ Ú Ð Ý Ò ÐÞÝ Ó ÎÐ ØÒ Ð ÌÝÔ x 1 = (,) λ 1 λ 4 ÐÓ x = (1,1) λ i 3 λ 1 i 3 Ø ÐÒ Ô Ö Ð x 3 = (4,) λ 1 4 λ ÐÓ

62 Ã ÈÁÌÇÄ º ÄÁÆ ýêæ ËÌ ÁÄÁÌ

63 Ã Ô ØÓÐ Ú Ö Î Ø ØÓ ÔÖ ÝÐÝ ÖÒÙØÝ Þ Ð Ò Ô ÖØ Ø ÓÖ Ø Ñ Ò Ý ØÞÒº Ñ ÐØÓÒÓÚ ÔÓÔ Ý¹ Þ ÐÒ Ý Ø Ñó Ø ÓÖ ÒÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ¹Â Ó ÓÚ ÖÓÚÒ º ÝÐÝ ÓÖ¹ ÑÙÐÓÚ ÒÝ ÔÓ ØÙÔÝ Þ Ò ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ ØÓ Ú Ä Ö Ò ÓÚ Ø Ú À Ñ ÐØÓÒÓÚ ØÚ ÖÙº ÈÖÓØÓö Ú Ð Ñ ÔÖ ÝÐÓ ÚÝØÚÓ Ø ÓÔÖ Ú Ù Ô ÚÒ Þ Ð Ý Ò Ø Ö Ù ÑÓöÒ Ú Ù ÓÙÒÙ Ø Ú Ø Ú ÚÓ Ò Ô ØÓÐ ÔÖÓ Ö Ò ÔÓØ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ô Ö Ø ÚÝÙö Ú Ò Ð Ú Ø ÜØÙ Þ ÖÒÙ Ð ÔØ ÒØ Ö ÐÝ Ð ÔØ ÙÒ Þ Ð Ý Ò Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ¾º Ùº Ð ÔÓ ÖÓ Ò ÔÓÔ Ò ÔÓÖÙ ÓÚ Ø ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ò Ø ÓÖ ÒÓÒ ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ º Î Þ ÚÖ ÒÓ ÓÖÑÙÐ Ã Å Ø ÓÖ ÑÙ Ø Ö ØÚÓ Ò Þ Þ Ð Ò Ô Ð ó Ø ÓÖ Ó Ùº Î Ð ÔÖ ÝÐ Ð Ò óö Þ Ò Ô Ð Ý ÓÒ Ö ØÒ ÔÓ ÖÓ Ò ÚÔÓ ØÝ Ó ÚÓÞ Ò ö Ú ÒÓÙ Ó Ñ Ø ÜØÙ ÔÓÒ Ù Ò ÖÓ ØÐ Ú Ñ Ú ö ØÓ Ò ÝÐÓ Ò Ó Ùº ÓÙ Ñ ö Ø ÔÖ Ð Ô ÖÓÞÙÑ Ø ÐÒ º Ð Ø ÜØ ÖÓÚÒ ö ÓÔÐÒ Ò Ó Ò ÞÓÖÒ Ö Ý Ñ Ø Ø Ö ÔÓ ÓÔ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ý Ø Ø Ú ÐÑ Ô Ô º Î ÒÝ Ó Ö Þ Ý Ú Ø ÜØÙ ÓÙ ÔóÚÓ Ò ÔÓ Ù Ò Ó Ö Ý ÞÓ Ö ÞÙ ÙØ Ò ÔÓ Ø Ò Ò Ò Ó ÔÖÓ Ð ÑÙº Ì ØÓ ÔÓÞÒ Ñ Ø Ô Ú Ñ ÞÓÚ ÔÓÖØÖ Øó ÝÞ ÐÒ Ý Ø Ñó ÙØÓÚ Ò Ú Ô ØÓÐ Ó Ð Ò ÖÒ Ø Ð Ø Ò Óð ØÝ Ú Ú ÑÒÓ Ð Ø Ö ØÙ Ò Þ ÖÙ Ò ØÖØÒÙØݺ à ØÚÓÖ ÝÐ ÔÓÙö Ø ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ Å ØÐ º ÓÐ Ú ÔÖ Ú Ó ÖÚ ÓÙ ÐÓÚ Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ú ÑÓØÒ Ñ Ø ÜØÙ Ú ÔÓ Ø Ø Ò Ò Ø º ÅÓ ÐÓ Ý Ø Ý Þ Ø ö Ô Ð Ò ÔÖ Þ Ú Ò Ñ ÒÑ Ò ö ÙÚ ÒÓ Ú Ñ Ò ÞÚÙº Â Ú Ø Ò Ò Ò Ð ö Ø Ú Ö ÓÙÚ ÐÓ Ø º ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ö Ø ÓÖ Ó Ù Ú ÐÑ ÖÓÞ Ð Ö Ð Ø ÚÒ ÐÓö Ø Ò ÐÞ ÑÙ ØÙ Ù Ô ØÓÙÔ Ø Ó Ñö Ø Ð ÒÙØÒ ÚÝ Ù ÓÚ Ø Þ Ð Ý Ø Ö Ú ØÓÑØÓ Ô Ô ÓÔ Ö ÔÖ Ú Ó Ð ÓÙ Ñ Ò Ù ÔÓÖÙ ÓÚÓÙ Ø ÓÖ Ø ÓÖ Ð Ò ÖÒ Ø Ð Øݺ Ë ÑÓØÒ Ã Å Ø ÓÖ Ñ Ùö Ô ÔÓ¹ Ú öóú Ø Þ ÓÙ Ø Ø ÓÖ Ó Ùº Á Ýö Ø Ý Ò ÓÒ Ú ÔÖ Ò ÝÐ ÔÐÒ Ò ÔÓ Ð Ò Ó Þ Ò ÝÐ ÚÝ Ù ÓÚ Ò ÖÓ ÓÑÔÐ ÜÒ Þ Ð Ò Ø ÓÖ Ø ÔÓÞÒ Ø ó Ø Ö Ó ÖÓÙ Ú ÓÞ ÔÓÞ ÔÖÓ Ð ØÙ ÙѺ È ÔÓ Ò Ó Ø Ò ÞÒ Ù Ñ Ñ Ö Ñ Ý Ø Ñ ÚÝ Øº Ò ¹ Ñ ÒÓ Ù Ñ ÐØÓÒÓÚ Ý Ø Ñó ÚÝØÚÓ Ò ÓÔ Ø Ú ÔÖÓ Ö ÑÙ Å ØÐ Ô Ø Ú Ò Ú Ó Ø Ù ÓÙ Ð ÒÓÙ Ù Þ ÓÙ ÚÝÙö Ø Ø ÓÖ Ú ÔÖ Ü º Æ Ò Ø Ö Ò Ñ ÐÞ Ó ÓÒ ÔÓ¹ ÞÓÖÓÚ Ø ÞÒ Ñ Ý Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ó Ù Ñ Ñ Ò ÑÝ Ð Ô Ú Ñ ÚÓ Ø ÝÚ ÐÓ ÚÓ Ø ÝÚ ÐÓ ÔÖÙö ÒÓÙº ÌÝØÓ Ú Ý Ø ÑÝ ÓÙ Ú ÐÑ ØÐ Ú Ò ÞÑ ÒÙ ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Óö Ú Ò ö ØÝÔ ÚÐ ØÒÓ Ø ÓØ Ý Ø Ñóº

64 Ã ÈÁÌÇÄ º ýî Ê

65 Ó Ø à Ò ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ ÚÝØÚ Ò Ò Ñ Â Ò Ô Ø Ø Þ Ú Ø ØÓÙ Ø ÓÖ ÔÓ Ù Ø Ò Ú Ð Ý ÓÚ Ø Ú ÔÖ Ü º ö ÓÔÓ Ù Ñ ÙÚ öóú Ð Ú ÐÑ Ó Ò º Æ Þ Ñ Ð Ò Ò Ø ÔÐÒ Ò ÔÖÓ Ð Ñó Ó Ô ÑÝ Ð Ò ÓÚ ÓÒ ØÖÙ Ò Ñ Ú ÓÙ º Ð Ñ Ø ØÓ Ô ØÓÐÝ Ó Ø Ø ÓÖ ÔÓ Ø Ô Ú Ú ó Þ Ó ÔÖ ÚÒÓ Ø º È Ú Ñ ÔÖÓ Ö Ñ ÚÝØÚÓ Ò Ú ÔÖÓ Ø Å ØÐ Ø Ö Ó ö Ø ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Ô ÐÙ ÒÓ Ù Ñ ÝÞ ÐÒ Ñ Ý Ø ÑóÑ ÑÙÐÓÚ Ø ÚÚÓ Ú º Ú Ú Ò ö Ô ØÓÙÔ Ñ ÑÓØÒ ÑÙ ÔÓÔ Ù ÔÖÓ Ö ÑÙ Ô Ø Ú Ñ ÒÙÑ Ö ÓÙ Ñ ØÓ Ù ö ÝÐÝ Ú ÒÝ ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Òݺ º½ Å ØÓ Ý ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Å Ñ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ØÚ ÖÙ d y dx = f(x,y(x)), x [a,b] ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò ÓÙ y(a) = α. Ý ÓÑ Ó Ø Ð Ô Ð öò ÒÙÑ Ö Ò Ø Ò Ú Ö Ø ÞÓÚ Ø ÒØ ÖÚ Ð [a,b]º ÚÓÐÑ Ø Ý ÖÓ h ÚÝØÚÓ Ñ ð n+1 Ó ó x n = a+ih i =,1,...,Nº ÆÝÒ Ò Ö Ñ Ö Ú ÓÔ ÒÓÙ Ö Ò Ó Ø Ò Ñ Ø ÖÓÚÒ d y dx = y(x + h) y(x) h y n+1 = y n + hf(x n,y n ), º½µ ÔÓ Ð Ò ö Ùö Ò Ò Ð Þغ Ì ØÓ Ò ÒÓ Ù ÒÙÑ Ö Ñ ØÓ Ò Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÙÐ ÖÓÚ º Î ÔÖ Ü Ú Ô Ð Ò ÔÓÙö Ú Ò Óð Ò Ò Ô Ð Ô Ò º ÈÓ Ù Ñ Ñ ØÓ Ù º½µ ÞÓ Ò Øº ÈÖÓ Ð Ñ Þ Ñ Ò ÔÖ Ú ØÖ Ò ÖÓÚÒ Ú ÚÖ ÞÙ f(x n,y n ) ÔÖÓØÓö Ø Ò Þ Ú Ò Ò Ú Ð Ò x n y n Ø Ý Ò Ô ÓÞ Ñ Ó º Ù Ñ Ø Ý ÙÒ f(x n,y n ) Ò Ö Ø Ò ÓÙ ÙÒ Φ(x n,y n,h) ØÞÒº Ô Ð Ñ Þ Ú ÐÓ Ø Ò ÒØ Ö Ò Ñ ÖÓ Ù hº Ó Ø Ò Ñ Ø ÖÓÚÒ y n+1 = y n + hφ(x n,y n,h), º¾µ

66 Ç Ì Ã º à â Æ ÈÇÀ ÇÎ À ÊÇÎÆÁ Î ÌÎýà Æ ÆÁÅ Óö ÚÞÓÖ Ó Ò ÒÓ ÖÓ ÓÚ Ñ ØÓ Ýº ÙÒ Φ Ñóö Ñ Ò Ô Ð ÞÚÓÐ Ø Ó Φ(x n,y n,h) = f(x n,y n ) + 1 hf(1) (x n,y n ) p! hp 1 f (p 1) (x n,y n ), º µ ÙÒ f (s) (x,y) ÒÓÚ Ò Ö ÙÖ ÒØÒ ÚÞÓÖ f () (x,y) = f(x,y), f (s) (x,y) = f(s 1) (x,y) x + f(s 1) (x,y) f(x,y). x Æ ÔÖ Ú ØÖ Ò ÔÓ Ð Ò Þ ÖÓÚÒ ÚÖ Þ f(x,y) Ý ØÓÑÙ ö y = y(x) ÑÙ Ñ Ø Ý ÔÓÙö Ø ÔÖ Ú ÐÓ Ó Ö Ú ÐÓö Ò ÙÒ º Ú Ñ Ø Ñ ØÓ Ù Ð ÓÚÓÐÒ Ó Ù p ØÞÒº ÔÓÙö Ø Ñ Ø ØÓ Ñ ØÓ Ý Ñóö Ñ ÙØ Ò ÑÙ Ò Ð ÓÚÓÐÒ Ô Ð ö غ Â Ú ÐÓö Ø ÔÓ Ø Ø ÚÝ Ó Ö Ú ÔÖÓØÓ Ò Ø ÓÚÓÙØÓ ÒÓ ÖÓ ÓÚÓÙ Ñ ØÓ Ù Ú ÔÖ Ü Ô Ð Ò Ùö Ú Ñ º ÈÓ ÐÓÙö Ò Ñ Ð Ó Þ Ð Ñ ØÓ ÊÙÒ ¹ÃÙØØ ÖÓÚÒ ö Ô ÐÒ Ô Ô ó ÒÓ ÖÓ ÓÚ Ñ ØÓ Ýº ÒÙ Ñ ÙÒ Φ Ô Ô Ñ Φ(x n,y n,h) = w 1 k w s k s, ÙÒ k 1,...,k s Þ Ô Ø Ú Ó Ò Ñ ØÚ ÖÙ º µ k 1 = f(x n,y n ), i 1 k i = f x n + α i h,y n + β ij k j, j=1 j =,...,s. º µ ÚÓÐ Ñ ¹Ð ÒÝÒ Ó ÒØÝ α i β ij w i Ø Ý Ì ÝÐÓÖóÚ ÖÓÞÚÓ º µ Ó ÓÚ Ð ö Ó p¹ø Ó Ù º µ ÚÝ Ò Ñ ÒÙØÒÓ Ø ÔÓ Ø Ø ÐÓö Ø Ö Ú Ó Ø Ò Ñ Ø Ò Ú Ð Ýº ÌÓ ÓÚ Ñ ÚÝ ÓÙÔ ÒÓ Ø Ñ ö ÔÓØ Ù Ñ ÔÖ ÚÓÙ ØÖ ÒÙ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÙÒ f ÚÝ Ð Ø Ú Ú Ó º ÇÞÒ Ñ Ñ Ü Ñ ÐÒ Ó ö Ø ÐÒ Ñ ØÓ Ý Ùö Ú s ÙÒ k 1,...,k s Ó p(s)º ÈÐ Ø ö lim s p(s) = º Ð ÔÖÓ s = 1,,3,4 p(s) = s p(5) = 4 p(6) = 5 p(7) = 5 Ø º ËØ Ò Ó Ùö Ø Ñ º µ Ñóö Ñ Þ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ø Ñ ØÓ Ù ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ú Ð ÓÚÓÐÒ Ñ Ùº Æ Ú ÞÔó Ó ó ÚÓÐ Ø Ó ÒØÝ α i β ij w i Ò ÓÒ Ò ÑÒÓ Óº ÍÚ Ñ Ó Ô Ð Ñ ØÓ Ù ¾º Ù ( y n+1 = y n + hf x n + 1 h,y n + 1 ) hf(x n,y n ), Ù Ø Ö Ò ÒÓ Ô Ú Ñ ö ÙØ Ò Ó ÖÙ Ó Ù Ó Ù º µº Æ Ùö Ú Ò ÊÙÒ ¹ÃÙØØÓÚÓÙ Ñ ØÓ ÓÙ Ñ ØÓ ØÚÖØ Ó Ù y n+1 = y n h(k 1 + k + k 3 + k 4 ), k 1 = f(x n,y n ), k = f (x n + 1/h,y n + 1/hk 1 ), k 3 = f (x n + 1/h,y n + 1/hk ), k 4 = f (x n + h,y n + hk 3 ), º µ Ø ÖÓÙ Ñ ÖÓÚÒ ö Ùö Ú Ð Ú ÞÑ ÓÚ Ò Ñ ÔÖÓ Ö ÑÙº

67 º¾º ÆÁÅ Â ÆÇ Í À À À ÅÁÄÌÇÆÇÎËà À Ë ËÌ Åç º¾ Ò Ñ ÒÓ Ù Ñ ÐØÓÒÓÚ Ý Ø Ñó Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÞÚ Ò Ú Ø öò Ò Ñ Ð Þ Ó Ñ Ñ¹ ÓÙ ÓÖó ÚÝØÚÓ Ò Ú ÒÙ¹ Ñ Ö Ñ Ý Ø ÑÙ Å ØÐ º ÀÐ ÚÒ Ñ ÓÙ ÓÖ Ñ Ò Ñ ºÑ Ó Ù ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ùö Ú Ø Ð Ó ÖÓÞ Ö Ò º Â Ó ÔÖÓ Ø Ò ØÚ Ñ ÔÓÙ Ø ÑÓØÒ Ò Ñ º ÈÖÓ ÔÙ Ø Ò ÔÖÓ Ö ÑÙ Þ ÔÖÓ Ø Å ØÐ Ù Ø ÔÖÓ Ø Ó Ô ÞÓÚ Ý Þ Ô Ø Ò Ñ º Ç Ø ØÒ ÓÙ ÓÖÝ Ó ¹ Ù ÓÒ Ö ØÒ ÚÝ Ò ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ Ô ÐÙ ÝÞ ÐÒ Ñ Ý Ø ÑóÑ ö Ó ÚÓÞ Ò Ñ Ñ Þ Ú Ð Ú Ô ØÓÐ º¾º º ÈÓÙö Ø ÖÓÚÒ ÓÙ Ú ÒÝ Ú À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÒÓÒ Ñ ØÚ ÖÙ ØÞÒº Ò Ó ÓÙ Ø ÚÝ ÖÓÚÒ ÔÖÚÒ Ó Ù ÔÖÓ ÓÙ Ò Ý ÒÓ Ø Ø Ý ÝÐÓ ÑÓöÒ Ùö Ø ÚÔÓ ØÙ Ñ ØÓ Ù ÊÙÒ ¹ÃÙØØ º Ù ÙØÓÚ ÒÓÙ Ú º  ÓÙ Ò Ñ ÚÝØÚÓ ÒÝ Ù ö Ñ Ò Ô Ð Ù ÝÚ Ð Ò ÔÖÙö Ò º Ë Ó Ø ØÒ Ñ Ý Ø ÑÝ Ø º ÖÑÓÒ Ñ Ó Ð ØÓ¹ Ö Ñ ÝÚ Ð Ñ ÚÓ ØÑ ÝÚ Ð Ñ ÚÓ ØÑ ÝÚ Ð Ñ ÔÖÙö ÒÓÙ Ô ö ÒÑ ÝÚ ÐÝ ÝÐÓ Ò Ð ÒÓ Ó Ó ÒÑ ÞÔó Ó Ñº ÙÒØ ÓÒ ÝÚÔÖÙÞ Ô ÑÑ ÕÕµ ÐÓ Ð Ñ ÐÓ Ð ÓÒ Ò Ö Ò ¼µ Ñ ¾¼ ±ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Ý Õ ¼ ¼ Ô» Ð Ñ ÑÑ Õ ÕÕ Ò º½ º ½ Û Ð ÓÒ µ ½ ÕÒ Õµ ¾ ÕÒ Õ ½»¾ ½µ ÕÒ Õ ½»¾ ¾µ ÕÒ Õ µ Õ Õ ½» ½ ¾ ¾ ¾ µ ÔÐÓØ Õ µ Ò Õ µµ ¹Õ µ Ó Õ µµ ³Ýº³ ³Ñ Ö Ö Þ ³ ¼µ ÓÐ ÓÒ ÔÜ ÔÝ ÔÖÙÞ Ò Õ µ Ò Õ µµ ¹Õ µ Ó Õ µµ ¼ ¼ µ ÔÐÓØ ÔÜ ÔÝ ³ ³ ³Ð Ò Û Ø ³ µ ÔÐÓØ ¹ ¼ ¼ ³Ö³ ³Ð Ò Û Ø ³ µ Ü ÕÙ Ð

68 ¼ Ç Ì Ã º à â Æ ÈÇÀ ÇÎ À ÊÇÎÆÁ Î ÌÎýà Æ ÆÁÅ Ü ¹ ¹ µ ÓÐ Ó Ò Ô Ù»¾µ ± ÙÒØ ÓÒ Ý ÕÒ Üµ ÐÓ Ð Ñ Ý ººº ¹ Ü µ¹ µ Ü ¾µ ¾» Ñ Ü µ µ Ñ Ó Ü µµ ººº ¹Ñ Ü µ Ò Ü µµ ººº Ü ½µ»Ñ ººº Ü ¾µ» Ñ Ü µ ¾µ ººº ± Ó ÙÒ Ú ØÙÔÙ Ô Ö Ñ ØÖÝ Ô ÔÖÓ ÓÒ Ö ØÒ Ò Ñ Ú ØÓÑØÓ Ô Ô ÓÙ ØÓ ÑÑ ÕÕ ÑÓØÒÓ Ø Þ Ú ö ØÙ Ó Ø ÔÖÙö ÒÝ Ð Þ Ú Ù ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Ý Ú ØÓÖµ Ð Ú ÔÓ Ñ Ò Ò Ö Ò ¼µ Ó Ø Ò Ô Ô ö ÙÒ Þ Þ ÔÓØ Ò Ô ¹ Ö Ñ ØÖó Ø Ñ ö Ò Ø Ú Ô Ö Ñ ØÖÝ ÑÔÐ ØÒ º ÈÓ ÚÝØÚÓ Ò Ò Þ ÝØÒ ÓÒ Ø ÒØ ÒØ Ö ¹ Ò Ó ÖÓ Ù Ö Ú Ø Ò Ó ÞÖÝ Ð Ò µ Ùö Ô Ò Ð Ù Ò óð ö Ø Ø Ð ÚÒ ÑÝ Û Ð ÓÒ µº ÈÖÓÑ ÒÒ ÓÒ ÐÓ ÐÒ Ñ Ò Þ Ð ÚÒ Ó ÔÖÓ Ö ÑÙ ÔÓÙÞ Ýö Ùö ¹ Ú Ø Ð Ò Ñ Ô ÖÙ Ø ÒÙØ Ñ ØÐ Ø ØÓÔ Ö Ôº ÔÙ Ø Ò Ñ ØÐ Ø Ñ Ø ÖØ º Ì ö Þ ÚÒ Ó Þ Ù Ò Ñ Ñóö ö Ø Ò ÓÑ Þ Ò ÐÓÙ Ó Ò Óð ÚÔÓ Ø ÚÝ Ö Ð Ò ÔÖÓ¹ Úö Ý ÔÓ ÒÓÑ ÖÓ Ùº Æ ÔÖÚ ÚÝ Ð ÙÒ ½ ¾ ÔÓ Ø Ó ÒÓØ ÔÖÓÑ ÒÒ Ú Ò Ð Ù Ñ Ó ÔÓ Ð ÚÞÓÖ º µ ÑÓØÒ ÔÖ Ú ØÖ ÒÝ ÔÓ Ý ÓÚ ÖÓÚÒ ÓÙ ÙÑ Ø ÒÝ Ò ÓÒ Ú ÔÓÑÓÒ ÙÒ ÕÒ Üµµº ÈÓØ Ùö Ò Þ Ò Ø ÔÓÑÓ ÙÒ ÔÐÓØ ÔÖÙÞ Ò ÚÝ Ö Ð º ÙÒ ÔÖÙÞ Ò Ü½ ݽ ܾ ݾ Ð µ ÒÓÙ Þ ÓÙ Ø ÔÖÓ ØÙ Ò Þ Ú Ò ÔÓÚ Þ ðù ÚÝ Ö Ð Ò ÔÖÙö Òݺ Â Ø ÐÒ ÔÓÔ Ú Ø Ò Ó ÔÓÔ Ù ÚÝØÚ Ó Ö Ùö Ú Ø Ð ÖÓÞ Ö Ò ÞÔÖÓ Ø Ò Ò ÓÙÚ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÙ ¹ ÒÓÙ Ú Ø ØÓ ÔÖ ÔÖÓØÓ Ñ Ò Ù Ñ Þ Ú Øº ÞÑ Ò Ù Ð ØÓ ÑÓöÒÓ Ø Ø Ö Ö ÖÓÞ Ö Ò Ùö Ú Ø Ð Ò Þ º Â Ú Ø Ò Ô ÐÓö Ò Ó Ö Þ Ó Ù Ú ÔÖ Ú Ñ ÓÖÒ Ñ ÖÓ Ù Ò Ù Ú Ø Ö Ô Ô Ò Ñ Þ Ò Ñ Ñ º ÈÓ Ò ÓÙ ÙÑ Ø Ò ØÐ Ø Ø ÖØ ØÓÔ ÐÓÙö ÓÚÐ Ò Ò Ñ º Ñ ÓÚ Ò ÓÚ Ò ÓÑ Þ ÒÓ Ø Ò Ñ Ò ÚÝÒÙÙ Ý Þ Ô Ò Ò ÚÝÔ Ò Ò Ô Ô Ò Ò Ñ Þ Ò Ñ Ñ ÔÖÓ ÐÓ Ú Ô Ò Ñ ÔÓ Ø ö ÒÓØÐ Ú ØÐ Ø ÓÙ ÞÔ ØÙÔÒ Ò Ò Ø Ý ÔÓ Ù ÞÑ ÒÙØ Ò Ñóö Ó ÖÓÞ Ø ÔÖÓ Ö ÑÙº Ø Ò Ó ó¹ ÚÓ Ù Ø Ô ÒÓ ØÐ Ø Ó ÓÒ Óö ÞÑ ÒÙØ Ò ÑÓöÒÓ Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ØÒ Ù ÓÒ Øº ÃÐ ö Ú ÔÖ Ú Ñ ÖÓ Ù Ó Ò ÑÝ ÐÒ ÚÝ Þ Ò Þ Öݺ Æ Þ Ñ Ú ÙÒ ÔÖÓ Ùö Ú Ø Ð Ô Ø Ô Ø ÚÙ Ø Ò Ó ÒÓ Ú ÓÐÒ Ñ ÔÖ Ú Ñ ÖÓ Ù Óö ÔÖÓ Ø Ò ØÚ Ñ ÓÒ Ö ØÒ Ô Ö Ñ ØÖÝ ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Ý Ò Ø Ú Ø Ð Ð Ó Ø º

69 º¾º ÆÁÅ Â ÆÇ Í À À À ÅÁÄÌÇÆÇÎËà À Ë ËÌ Åç ½ µ Ç Ö Þ º½ Ç Ö Þ Ý Þ ÔÖÓ Ö ÑÙ Ò Ñ