4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP

Podobné dokumenty
4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování

4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování

4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr

4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování

4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování

4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP

4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy

Ekonomická formulace. Matematický model

1. Úloha o optimálnom výrobnom pláne (optimálne využitie výrobných faktorov)

Simplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25

4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení

4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1

Parametrické programování

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech

1. července 2010

4EK201 Matematické modelování. 10. Teorie rozhodování

Matematický model. omezující podmínky. Tab. 2.1 Prvky ekonomického a matematického modelu

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

13. Lineární programování

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU

4EK201 Matematické modelování. 4. Typické úlohy lineárního programování

4EK201 Matematické modelování. 7. Modely zásob

Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování

Úvod do celočíselné optimalizace

4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM

4EK311 Operační výzkum. 7. Modely řízení zásob

Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování

Analýza obalu dat úvod

Příklady modelů lineárního programování

2.2 Grafické ešení úloh LP

4EK201 Matematické modelování. 11. Ekonometrie

4EK212 Kvantitativní management. 3. Typické úlohy LP

OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS

Lineární programování

JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH EKONOMICKÁ FAKULTA OPERAČNÍ ANALÝZA

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Otázky ke státní závěrečné zkoušce

Lineární programování

"Optimalizace krmných směsí"

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Karta předmětu prezenční studium

V této kapitole bude popsán software, který je možné využít pro řešení rozhodovacích problémů popisovaných v těchto skriptech.

opt [ ] Vyjádření subvektory (báz. a nebáz.) B,N Index bázových a nebázových proměnných β, ν Množina indexů veličin B,N

Operační výzkum. Teorie her. Řešení maticových her převodem na úlohu LP.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Kvantitativní metody v rozhodování

Optimalizace & soft omezení: algoritmy

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

4EK212 Kvantitativní management. 7.Řízení projektů

4EK201 Matematické modelování. 1. Úvod do matematického modelování

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice

Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta. programování. Vedoucí práce: Barbora Helešicová

4EK311 Operační výzkum. 6. Řízení projektů

Katedra matematiky OPERAČNÍ VÝZKUM Mgr. Andrea Kubišová

1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

6 Simplexová metoda: Principy

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.

Numerické metody a programování. Lekce 8

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat

Vyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 21.

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Programy pro ˇreˇsen ı ulohy line arn ıho programov an ı 18. dubna 2011

1.1 Typy úloh LP. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1. Formulace ekonomického modelu.

12. Lineární programování

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

Problém lineární komplementarity a kvadratické programování

Úvod do úloh plánování rozvozu (Vehicle Routing Problems)

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Kristýna Slabá, 1. července 2010

Systematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení

Grafické řešení úloh LP se dvěma neznámými

2 Spojité modely rozhodování

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Obecná úloha lineárního programování

f ( x) = 5x 1 + 8x 2 MAX, 3x x ,

1 Duální simplexová metoda

Zásady pro vypracování bakalářské práce

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

Jak se matematika poučila v biologii

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru

Základní poznatky o funkcích

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Otázky ke II. části písemné zkoušky Úvod do operačního výzkumu 1. Popište proces operačního výzkumu a uveďte typy rozhodovacích situací.

Vyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 12.

Nástroje pro analýzu dat

Transkript:

4EK311 Operační výzkum 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP

3.1 Příklad matematický model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x 1 + 0 x 2 110 [krabiček] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2

x 2 60 Grafické řešení úlohy LP 45 40 OPTIMUM 0 60 90 110 120 180 (2) x 1 (1) Z max -90 (3) (4) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3

3.2 Grafické řešení úlohy LP Optimální řešení zadané úlohy leží na průsečíku dvou hraničních přímek omezení (1) a (4): x 1 + 2x 2 = 120 x 1 = 110 Odtud je x 1 = 110, x 2 = 5 Bod optimálního řešení je tedy x = 110, 5 Hodnota účelové funkce je po dosazení z = 40x 1 + 60x 2 = 40 110 + 60 5 = 4700 Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x 1 + 0 x 2 110 [krabiček] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4

x 2 60 Řešení dle základní věty LP 45 D 0 A 90 110 C B 120 180 (2) x 1 (1) (3) (4) Množina Základní přípustných přípustná Základní řešení ESR řešení řešení úlohy LP -90 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5

3.3 Řešení dle základní věty LP Výpočet základních přípustných řešení: A = 90, 0, x = 90, 0, 30, 90, 0, 20 T B = 110, 0, x = 110, 0, 10, 70, 20, 0 T C = 110, 5, x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T D = 100, 10, x = 100, 10, 0, 40, 0, 10 T Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x 1 + 0 x 2 110 [krabiček] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: z = 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] z A = 40 x 1 + 60 x 2 = 40 90 + 60 0 = 3600 z B = 40 x 1 + 60 x 2 = 40 110 + 60 0 = 4400 z C = 40 x 1 + 60 x 2 = 40 110 + 60 5 = 4700 z D = 40 x 1 + 60 x 2 = 40 100 + 60 10 = 4600 Optimální řešení: x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T z = 4700 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6

3.4 Řešení pomocí softwaru Graficky lze řešit úlohy LP, které obsahují dvě (max. tři) proměnné Dle základní věty LP lze řešit i mnohem větší úlohy Tzv. metoda hrubé síly Vyčíslení všech ZŘ ESR (kolik jich je?) Redukce na ZPŘ úlohy LP Výpočet hodnoty účelové funkce pro všechna ZPŘ Výběr optimálního řešení I ZPŘ však může být opravdu mnoho m = 4, n = 2, ZŘ 14 ZPŘ 4 m = 100, n = 10, ZŘ téměř 47 bilionů ZPŘ cca 14 bilionů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7

V praxi se však používá efektivní prohledávání množiny základních přípustných řešení pomocí simplexové metody (či metody vnitřního bodu, apod.) Historické optimalizační softwary STORM DS Win Současné nástroje LINGO, MPL Řešitel pro MS Excel a další 3.4 Řešení pomocí softwaru Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8

3.4 LINGO Firma LINDO Systems, Inc. LINDO (Linear INteractive and Discrete Optimizer) www.lindo.com LINGO (verze 16.0, 17.0) Windows, Mac, Linux Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9

Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10

3.4 LINGO - model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krab. ] Šroubky: 1 x 1 + 0 x 2 110 [krab. ] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krab. ] Zisk: 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11

3.4 LINGO - řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12

3.4 LINGO výstup řešení Hodnota účelové funkce Proměnné Omezení Účelová funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13

3.4 LINGO - proměnné Názvy Hodnoty Redukované ceny Proměnné Proměnné Procesy Redukovaná cena Pokud se proces nerealizuje (hodnota strukturní Hodnoty Intenzity procesůco udávají? proměnné = 0), udává, o kolik se musí zlepšit cena, aby bylo výhodné proces realizovat. Pokud se proces realizuje (hodnota strukturní proměnné > 0), je redukovaná Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. cena nulová (není třeba cenu zlepšovat). 14

Předpokládejme nyní v příkladu zavedení výroby třetího výrobku (klíč na utahování šroubů) Lisování 5 minut Balení 5 minut Zisk 10 Kč Optimální řešení: x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T z = 4700 3.4 Redukovaná cena Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krab. ] Šroubky: 1 x 1 + 0 x 2 110 [krab. ] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krab. ] Zisk: 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15

3.4 Redukovaná cena Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16

Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17

Redukovaná cena Pokud se proces 3.4 realizuje Redukovaná (hodnota cena strukturní proměnné > 0), je redukovaná cena nulová (není třeba cenu zlepšovat). Pokud se proces nerealizuje (hodnota strukturní proměnné = 0), udává, o kolik se musí zlepšit cena, aby bylo výhodné proces realizovat. O kolik je třeba zlepšit současný cenový koeficient (10 Kč), aby byl příslušný proces realizován. O kolik se zhorší hodnota účelové funkce, když budeme nuceni realizovat příslušný proces s jednotkovou intenzitou. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18

Současná cena: c 3 = 10 Redukovaná cena: u = 140 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19

Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20 Současná cena: c 3 = 10 Současný zisk: z = 4700 Redukovaná cena: u = 140

Stínová cena (duální cena, duální proměnná) Pokud je omezení 3.4 LINGO splněno na - hraně, omezení tj. jako rovnost (hodnota přídatné proměnné = 0), udává, o kolik se zlepší z, pokud se kapacita uvolní o jednotku. Omezení Činitelé Pokud je omezení splněno s rezervou (hodnota přídatné proměnné > 0), je Hodnoty stínová cena přídatných nulová (malá proměnných změna kapacity Rezerva nezpůsobí změnu z). Hodnoty přídatných proměnných Názvy Stínové ceny Omezení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21

Stínová cena Pokud je omezení splněno s rezervou (hodnota přídatné proměnné > 0), je stínová cena nulová (malá změna kapacity nezpůsobí změnu z). Optimální řešení: x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T z = 4700 Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krab. ] Šroubky: 1 x 1 + 0 x 2 110 [krab. ] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krab. ] Zisk: 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22

Stínová cena Pokud je omezení splněno na hraně, tj. jako rovnost (hodnota přídatné proměnné = 0), udává, o kolik se zlepší z, pokud se kapacita uvolní o jednotku. Optimální řešení: x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T z = 4700 Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krab. ] Šroubky: 1 x 1 + 0 x 2 110 [krab. ] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krab. ] Zisk: 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23

Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24 Současná kapacita: b 1 = 120 Současný zisk: z = 4700 Stínová cena: u = 30

Stínové Stínová ceny cena O kolik se zlepší z, pokud se kapacita uvolní o jednotku. Omezení ve tvaru nerovnice typu : a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n b i Zvětšení pravé strany rozšiřuje množinu přípustných řešení Zlepšení řešení maximalizace zvýšení hodnoty účelové funkce minimalizace snížení hodnoty účelové funkce Omezení ve tvaru nerovnice typu : a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n b i Zvětšení pravé strany zmenšuje množinu přípustných řešení Zhoršení řešení maximalizace snížení hodnoty účelové funkce minimalizace zvýšení hodnoty účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25

3.4 Redukované a stínové ceny Interpretace pro redukované i stínové ceny platí jen při malých změnách CO JE MALÁ ZMĚNA? Interpretace pro redukované i stínové ceny platí jen při změnách v rámci intervalu stability Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26

3.5 LINGO - stabilita LINGO Options General Solver Dual Computations Prices & Ranges Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27

3.5 LINGO - stabilita Vyřešit úlohu (CTRL + U) Z okna s modelem (ne s řešením) zobrazit Range report (CTRL + R) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28

3.5 LINGO - stabilita Současná hodnota Povolený nárůst Povolený pokles Proměnné Omezení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29

3.5 Intervaly stability cenových koeficientů Účelová funkce: z = 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] c 1 40 10, c 2 60 60, 40 + c 1 30, 60 + 20 c 2 0, 80 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30

80 x 2 60 50 45 40 c 1 30, Změna cenového koeficientu OPTIMUM 0 60 90 110 120 180 (2) x 1 (1) Z max -90 (3) (4) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31

3.5 Intervaly stability pravých stran b 1 120 10, 120 + 25 b 1 110, 145 b 2 180 50, 180 + b 2 130, b 3 90, 90 + 15 b 3, 105 b 4 110 10, 110 + 10 b 4 100, 120 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32

Změna pravé strany b 4 100, 120 Z max OPTIMUM (2) (1) 90 95 100 105 110 (3) (4) x 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33

Celočíselné řešení Z max OPTIMUM (2) (1) 90 95 100 105 110 (3) (4) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34 x 1 Množina přípustných řešení

3.6 Celočíselnost v úlohách LP Množina přípustných řešení obsahuje jen celočíselné body (mřížka) Úlohu řešíme nejprve bez podmínek celočíselnosti Pokud vyjde řešení celočíselně, máme OŘ Pokud nevyjde celočíselně, použijeme některou z metod pro hledání celočíselného řešení (větve a meze, Gomoryho apod.) oříznutí množiny PŘ LINGO: funkce @gin(x1); Pozor: při použití podmínek celočíselnosti ztratíme informaci o redukovaných a stínových cenách Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35

3.6 LINGO - celočíselnost Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 36

3.6 LINGO - celočíselnost Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37

Detaily k přednášce: skripta, kapitola 4 a kapitoly 2.7 a 2.8 KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38