PRUŽNOST A PEVNOST 2: TEORETICKÝ ZÁKLAD

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST 2: TEORETICKÝ ZÁKLAD Richard Klučka, Karel Frydrýšek Ostrava 2013 TENTO STUDIJNÍ MATERIÁL VZNIKL ZA FINANČNÍ PODPORY EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU (ESF) A ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY V RÁMCI ŘEŠENÍ PROJEKTU:, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

2 OBSAH 1. GEOMETRIE POLOHOVÝCH ZMĚN V BODĚ TĚLESACHYBA! ZÁLOŽKA NENÍ DEFINOVÁNA. 1. PŘETVOŘENÍ V BODĚ TĚLESA... Chyba! Záložka není definována. 2. TENZOR PŘETVOŘENÍ... CHYBA! ZÁLOŽKA NENÍ DEFINOVÁNA. 3. SPOJITOST TĚLESA - PODMÍNKY KOMPATIBILITYCHYBA! ZÁLOŽKA NENÍ DEFINOVÁNA. 4. GEOMETRICKO-DEFORMAČNÍ VZTAHYCHYBA! ZÁLOŽKA NENÍ DEFINOVÁNA. 1. GEOMETRICKO-DEFORMAČNÍ VZTAHY V KŘIVOČARÝCH ORTOGONÁLNÍCH SOUŘADNICÍCH... Chyba! Záložka není definována. 1.1 GEOMETRICKO-DEFORMAČNÍ VZTAHY VE VÁLCOVÉM SOUŘADNÉM SYSTÉMU... Chyba! Záložka není definována. 1.2 GEOMETRICKO-DEFORMAČNÍ VZTAHY VE SFÉRICKÉM SOUŘADNÉM SYSTÉMU... Chyba! Záložka není definována. 2. ROVINNÝ STAV... Chyba! Záložka není definována. 2.1 POLÁRNÍ SOUŘADNÝ SYSTEM... Chyba! Záložka není definována. 5. FYZIKÁLNÍ ROVNICE... CHYBA! ZÁLOŽKA NENÍ DEFINOVÁNA. 1. STATICKÉ ROVNICE ROVNOVÁHY... Chyba! Záložka není definována. 1.1 STATICKÉ ROVNICE ROVNOVÁHY V KARTÉZSKÝCH SOUŘADNICÍCH... Chyba! Záložka není definována. 1.2 STATICKÉ ROVNICE ROVNOVÁHY V KŘIVOČARÝCH SOUŘADNICÍCH... Chyba! Záložka není definována. 1.3 ROVINNÝ STAV... Chyba! Záložka není definována. 6. FYZIKÁLNÍ ROVNICE... CHYBA! ZÁLOŽKA NENÍ DEFINOVÁNA. 1. ZOBECNĚNÝ HOOKEŮV ZÁKON... Chyba! Záložka není definována. 2. FYZIKÁLNÍ ROVNICE PRO IZOTROPNÍ MATERIALYChyba! Záložka není definována. 3. UVÁŽENÍ VLIVU TEPLOTY... Chyba! Záložka není definována. 7. HOOKEUV ZÁKON PRO ROVINNÝ STAV NAPJATOSTI A PRO ROVINNÝ STAV PŘETVOŘENÍ... CHYBA! ZÁLOŽKA NENÍ DEFINOVÁNA. 1. HOOKEUV ZÁKON PRO ROVINNÝ STAV NAPJATOSTIChyba! Záložka není definována.

3 2. HOOKEŮV ZÁKON PRO ROVINNý stav přetvořeníchyba! Záložka není definována. 8. ZÁKLADNÍ METODY ŘEŠENÍ ÚLOH PRUŽNOSTI A PEVNOSTI... CHYBA! ZÁLOŽKA NENÍ DEFINOVÁNA. 1. OKRAJOVÉ PODMÍNKY... Chyba! Záložka není definována. 1.1 STATICKÉ OKRAJOVÉ PODMÍNKY... Chyba! Záložka není definována. 1.2 GEOMETRICKÉ OKRAJOVÉ PODMÍNKY... Chyba! Záložka není definována. 9. POSTUPY ŘEŠENÍ ÚLOH TEORIE PRUŽNOSTICHYBA! ZÁLOŽKA NENÍ DEFINOVÁNA. 1. ŘEŠENÍ PROSTŘEDNICTVÍM SLOŽEK POSUNUTÍChyba! Záložka není definována. 2. ŘEŠENÍ PROSTŘEDNICTVÍM SLOŽEK TENZORU NAPjatosti... Chyba! Záložka není definována. 3. FUNKCE NAPĚTÍ... Chyba! Záložka není definována. 10. ROVINNÝ STAV NAMÁHÁNÍ... CHYBA! ZÁLOŽKA NENÍ DEFINOVÁNA. 1. FUNKCE NAPĚTÍ PRO ROVINNOU ÚLOHU. Chyba! Záložka není definována. 11. ANALÝZA TVARŮ AIRYHO FUNKCE PRO ROVINNOU ÚLOHU... CHYBA! ZÁLOŽKA NENÍ DEFINOVÁNA. 1. Polynom 2. a 3. Stupně... Chyba! Záložka není definována. 2. Polynom 4. Stupně... Chyba! Záložka není definována. 3. Polynom 5. Stupně... Chyba! Záložka není definována. 4. Ohyb vetknutého nosníku se silou na konci... Chyba! Záložka není definována.

OPAKOVÁNÍ 4 1. OPAKOVÁNÍ OBSAH KAPITOLY: způsoby zatěžování, napjatost v tělese, hlavní napětí, posunutí bodu tělesa, poměrná deformace, Hookův zákon pro izotropní, homogenní materiál. MOTIVACE: Nauka o pružnosti a pevnosti, jako součást fyzikálního vědního oboru Mechanika, je velmi náročná. Pro lepší pochopení všech jejich aspektů je vhodné jí rozdělit do několika částí, které se vzájemně prolínají. Z tohoto hlediska jsou poznatky z Pružnosti a pevnosti 1 nezbytné pro zvládnutí navazujících témat. Úvod do Pružnosti a pevnosti 2 je tedy zaměřen na opakování základních pojmů z Pružnosti a pevnosti 1. CÍL: metoda řezu, napjatost a hlavní napětí, Hookův zákon.

OPAKOVÁNÍ 5 1. ÚVOD Tato kapitola je věnována stručnému shrnutí základních poznatku z předmětu Pružnost a pevnost 1 vyučovanému na VŠB Technické univerzitě Ostrava. Úlohou předmětu Pružnost a Pevnost, z hlediska inženýra, je naučit a aplikovat základní poznatky a pojmy technické praxe, týkající se stanovení technického designu. Pružnost a Pevnost, která je přímou součástí fyzikálního vědního oboru Mechanika, je zaměřena na návrh či ověření rozměrů, zatížení, materiálových vlastností, posudku spolehlivosti části strojů a staveb či strojních nebo stavebních celků. Při řešení konkrétních úloh se využívá analytických, numerických a experimentálních přístupů či jejich kombinací. Toto skriptum je zaměřeno na získání teoretických znalostní a seznámení s analytickými metodami vhodnými pro řešení. 2. ZPŮSOBY ZATĚŽOVÁNÍ Tělesa (např. strojní součásti) jsou zatěžovány obecnými silami, které vznikají vzájemnými účinky těles či fyzikálních polí dle zákonů Mechaniky. Základní rozdělení způsobů zatížení: a) z hlediska časové závislosti (statické, kvazistatické, dynamické), b) z hlediska statistiky (determistické, stochastické), c) z hlediska polohy působení (osamělé, spojité), d) z hlediska veličin (skalární, vektorové), e) z hlediska působení (vnější, vnitřní). 3. METODA ŘEZU Vnitřní síly je možno určit pomocí metody řezu. Těleso se myšleným řezem ξ rozdělí na dvě části A a B (Obr. 1.1). Odstraní-li se např. část B a požadujeme-li se aby část A zůstala v rovnováze, musí se účinek části B nahradit vnitřními silami působícími v rovině řezu ξ. Vnitřní síly lze obecně vyřešit ze statických podmínek rovnováhy. Obdobná zákonitost platí i pro momenty vnějších zatížení; odpovídají jim momenty vnitřních sil. Souhrnně hovoříme o vnitřních statických účincích.

OPAKOVÁNÍ 6 Obr. 1.1 Metoda řezu Animace 01 chybí 4. NAPJATOST V TĚLESE A HLAVNÍ NAPĚTÍ Vnitřnímu bodu tělesa odpovídá v pevnostních výpočtech krychle o nekonečně malých rozměrech, tzv. elementární krychle (viz Obr. 1.2). Všech šest stěn omezujících krychli vzniklo provedením metody řezů. V libovolném bodě homogenního a izotropního tělesa, podrobeného účinku vnějších sil, je obecně prostorová napjatost. Tuto napjatost lze charakterizovat pomocí tři normálových napětí σ x, σ y, σ z ve směru souřadných os x, y, z a šesti smykovými napětími τ ij, pro které platí τ xy = τ yx, τ yz = τ zy, τ zx = τ xz. U smykových napětí značí první index směr normály plochy, na které napětí působí, druhý index směr napětí. Obr. 1.2 Elementární krychle

OPAKOVÁNÍ 7 Je tedy zřejmé, že pro popis napjatosti v tělese stačí jen šest složek napjatosti, které lze zapsat do vektoru {σ} kde horní index T značí transpozici. {σ} = [σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx] T, (1.1) Veličina určující stav napjatosti v bodě tělesa je tenzor napětí T σ, který je symetrickým tenzorem druhého řádu σ x τ xy τ xz T σ = τ yx τ zx σ y τ zy τ yz. σ z (1.2) V každém bodu tělesa lze pootočením nalézt takovou polohu elementární krychličky, na jejíchž stěnách jsou smyková napětí nulová, tj. τ xy = τ yz = τ zx = 0. Na stěnách této potočené elementární krychličky působí pouze normálová napětí. Roviny, na nichž je smykové napětí nulové, se nazývají hlavní roviny. Normálová napětí těchto hlavních rovin se nazývají hlavní napětí a značí se σ 1, σ 2, σ 3. Pro tenzor napjatosti pak platí σ 1 0 0 T σ = 0 σ 2 0. (1.3) 0 0 σ 3 Základní klasifikace stavu napjatosti jsou uvedeny v tabulce (viz Tab. 1.1). Tab. 1.1 Základní klasifikace stavu napjatosti Napjatost Charakteristika Příklad Jednoosá (přímková, 1D) Dvojosá (rovinná, 2D) Trojosá (prostorová, 3D) Dvě z hlavních napětí jsou nulová, např.: σ 1 0, σ 2 = 0, σ 3 = 0 Jedno z hlavních napětí je nulové, např.: σ 1 0, σ 2 0, σ 3 = 0 Všechna hlavní napětí jsou nenulová, tj. σ 1 σ 2 σ 3 0 Tah, tlak nebo rovinný ohyb Kroucení, jednoduché namáhání tenkostěnných nádob Prostorový ohyb, tlustostěnné nádoby se dnem, obecný způsob zatížení Velikost hlavních napětí lze v obecném případu nalézt vyřešením kubické rovnice σ x σ τ yx τ zx det τ xy τ xz σ y σ τ yz τ zy σ z σ = σ3 I 1 σ 2 + I 2 σ I 3 = 0. (1.4) Kde pro první až třetí invariant I 1, I 2 a I 3 tenzoru napětí platí I 1 = σ x + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3, (1.5)

OPAKOVÁNÍ 8 I 2 = σ x σ y + σ y σ z + σ z σ x τ 2 xy τ 2 yz τ 2 zx = σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 1 σ 3, (1.6) I 3 = σ x σ y σ z + 2τ xy τ yz τ zx σ x τ 2 yz σ y τ 2 zx σ z τ 2 xy = σ 1 σ 2 σ 3. (1.7) Na rovině ρ tělesa působí obecné napětí υ, které je dané složkami υ x, υ y a υ z (viz Obr. 1.3). Platí vztah υ = υ x 2 + υ y 2 + υ z 2. (1.8) Obr. 1.3 Řez elementární krychlí Pro složky obecného napětí υ x, υ y a υ z, lze určit ze statických podmínek rovnováhy elementárních sil vztahy υ x = σ x cos α + τ yx cos β + τ zx cos γ, (1.9) υ y = τ xy cos α + σ y cos β + τ zx cosγ, (1.10) υ z = τ xz cos α + τ yz cos β + σ z cosγ. (1.11) Kde α, β a γ jsou směrové úhly normály n, pro které platí podmínka cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. (1.12) Normálové napětí σ obecné roviny ρ je dané vztahem

OPAKOVÁNÍ 9 σ = υ x cos α + υ y cos β + υ z cos γ = σ 1 cos 2 α + σ 2 cos 2 β + σ 3 cos 2 γ = = σ x cos 2 α + σ y cos 2 β + σ z cos 2 γ + +2(τ xy cos α cos β + τ xz cos α cos γ + τ yz cos β cos γ) = = σ 1 cos 2 α + σ 2 cos 2 β + σ 3 cos 2 γ. (1.13) Smykové napětí τ obecné roviny ρ lze následně dopočítat z Pythagorovy věty τ = υ 2 σ 2 = (σ 1 σ 2 ) 2 cos 2 α cos 2 β + (σ 2 σ 3 ) 2 cos 2 β cos 2 γ + (σ 3 σ 1 ) 2 cos 2 γ cos 2 α. (1.14) 5. POSUNUTÍ A POMĚRNÁ DEFORMACE V TĚLESE Vlivem zatížení (vnějších sil) se těleso deformuje, tj. jeho jednotlivé body se přemístí do nových poloh o posunutí dané vektorem {u} {u} = [u v w] T (1.15) kde u, v a w jsou dílčí posunutí ve směru kartézských souřadnic x, y a z. Ke zkoumání míry deformací v tělesech jsou zavedeny poměrné deformace, (tj. intenzita přetvoření vektor {ε}) ε x ε y ε {ε} = z γ u xy x, γ yz γ zx v y, w z, v x + u y, w y + v z, w x + u T z, (1.16) kde ε x, ε y a ε z jsou poměrné prodloužení (poměrné změny délek) ve směru os x, y, z a γ xy, γ yz a γ zx poměrné zkosení (poměrné změny úhlů). Uvedené vztahy platí dostatečně přesně v teorii malých deformací (běžná inženýrská praxe). Obdobně jako u složek napětí, lze definovat také tenzor deformace ε x T ε = 2 2 γ yx γ zx γ xy 2 ε y γ zy 2 γ xz 2 γ yz. (1.17) 2 ε z Obdobným postupem, lze definovat také hlavní poměrné deformace ε 1, ε 2, ε 3 a hlavní roviny.

OPAKOVÁNÍ 10 6. HOOKEŮV ZÁKON PRO IZOTROPNÍ A HOMOGENNÍ MATERIÁL Pro pružný homogenní a izotropní materiál s lineární charakteristikou platí dostatečně přesně Hookeův zákon ε x ε y σ x σ εz y σ {ε} = γ = [C]{σ} = [C] z xy τ, (1.18) γ yz γ zx xy τ yz τ zx kde symetrická materiálová matice poddajnosti [C] je daná vztahem 1 μ μ 0 0 0 E E E μ 1 μ 0 0 0 E E E μ μ 1 0 0 0 [C] = E E E 1 0 0 0 G 0 0, (1.19) 1 0 0 0 0 G 0 1 0 0 0 0 0 G kde E je modul pružnosti materiálu v tahu (tlaku), G je modul pružnosti materiálu ve smyku a μ je Poissonovo číslo materiálu. Mezi parametry E, G a μ existuje vazba G = E 2(1 + μ) (1.20) Parametry některých materiálů jsou uvedeny v následující tabulce (viz Tab. 1.2).

OPAKOVÁNÍ 11 Tab. 1.2 Parametry některých materiálů Materiál Youngův Modul E [MPa] Poissonovo číslo μ [ ] Hliníkové slitiny 7.5 10 4 0.31 Mosaz 1.5 10 5 0.33 Bronz 1.17 10 5 0.31 Litina 9.65 10 4 0.18 Ocel 2 10 5 2.16 10 5 0.28 0.3

NOSNÍK, JEHO ULOŽENÍ A VNITŘNÍ STATICKÉ ÚČINKY A NAMÁHÁNÍ TAHEM A TLAKEM 12 2. NOSNÍK, JEHO ULOŽENÍ A VNITŘNÍ STATICKÉ ÚČINKY A NAMÁHÁNÍ TAHEM A TLAKEM OBSAH KAPITOLY: nosník, uložení nosníku, vazba, namáhání tahem, namáhání tlakem, normálová síla. MOTIVACE: Nosník patří mezi základní výpočtový model pro analytické nebo numerické řešení úloh. Jeho základní konstrukci lze různými modifikacemi upravit a využívat i při náročnějších výpočtech. Příkladem takto modifikovaného výpočtového modelu může být nosník uložený na pružném podloží, který se využívá při výpočtu kolejnic. Nosník jako základní prvek je tedy hojně využíván nejen ve strojírenství, ale také v dalších oborech, jako je například stavebnictví, aj. Jedním ze základních typů naháhání nosníku je namáhání tahem (tlakem). Tento stav namáhání je vyvozen normálovu sílou, která obecně způsobuje prodloužení (zkrácení) nosníku. Vliv na prodloužení (zkrácení) má také změna teploty. CÍL: staticky určitý a neurčitý nosník, znaménková dohoda, prodloužení tyče, deformační energie, vliv teploty na prodloužení (zkrácení) nosníku.

NOSNÍK, JEHO ULOŽENÍ A VNITŘNÍ STATICKÉ ÚČINKY A NAMÁHÁNÍ TAHEM A TLAKEM 13 1. NOSNÍK, JEHO ULOŽENÍ A VNITŘNÍ STATICKÉ ÚČINKY Nosník je podélný (přímý či zakřivený) konstrukční prvek, jehož délka L je mnohem menší než jeho výška h nebo šířka b (viz Obr. 2.1). Obr. 2.1 Nosník Příkladem nosníku jsou hřídele, trámy, atp. Základní dělení nosníků: a) dle popisu reality (ideální, reálné), b) dle křivosti (přímé, přímé lomené nosníky, křivé), c) dle rozložení v prostoru (rovinné, prostorové), d) dle způsobu uložení (s tuhými vazbami, s vloženými volnými klouby, s pružnými vazbami, na pružném podkladu a jiné) e) dle průřezu (s konstantním příčným průřezem, s proměnlivým příčným průřezem) Staticky určité a staticky neurčité nosníky jsou vždy uloženy v místech zvaných podpory. Ze statiky jsou známy tři základní typy podpor (viz Tab. 2.1)

NOSNÍK, JEHO ULOŽENÍ A VNITŘNÍ STATICKÉ ÚČINKY A NAMÁHÁNÍ TAHEM A TLAKEM 14 Tab. 2.1 Staticky určité a staticky neurčité nosníky Uložení Obvyklé grafické znázornění, nahrazení reakčními účinky Popis Posuvná (valivá) podpora Odebírá jeden stupeň volnosti, vzniká jedna reakční síla R Pevná (kloubová) podpora Odebírá dva stupně volnosti, vznikají dvě reakční síly R 1 a R 2 Vetknutí (konzola) Odebírá tři stupně volnosti, vznikají dvě reakční síly R 1 a R 2 a jeden reakční moment M R Pro výpočet reakčních účinků se využívá axiomu rovnováhy sil a momentů. Pro rovinné nosníky pak platí F xi = 0, F yi = 0 (silová rovnováha obvykle ve dvou vzájemně kolmých směrech), M Ai = 0 (momentová rovnováha ve zvoleném bodu A). V případech kdy ze tří výše uvedených rovnic statiky v rovině nelze určit reakční účinky, pak je nosník staticky neurčitý. Nalezení vnitřních účinků (normálových sil, posouvajících sil a ohybových momentů) je velmi důležité pro pevnostní i deformační analýzu nosníků a metoda řezu (viz Obr. 2.2) zmíněná již dříve.

NOSNÍK, JEHO ULOŽENÍ A VNITŘNÍ STATICKÉ ÚČINKY A NAMÁHÁNÍ TAHEM A TLAKEM 15 Obr. 2.2 Metoda řezu Animace 02 chybí Znaménková konvence vnitřních statických účinků je uvedena v Obr. 2.3. Znaménko vnitřních statických účinků se určí porovnáním s touto konvencí. Obr. 2.3 Znaménková dohoda

NOSNÍK, JEHO ULOŽENÍ A VNITŘNÍ STATICKÉ ÚČINKY A NAMÁHÁNÍ TAHEM A TLAKEM 16 Pro výpočet vnitřních statických momentů je někdy vhodné používat také Schwedlerovy- Žuravského věty dt dx = q, dm o dx = T + m. (2.1) 2. NAMÁHÁNÍ TAHEM A TLAKEM Na obrázku (viz Obr. 2.4) je znázorněn element vystavený přímému tahu nebo tlaku v podélném směru (jednoosá napjatost). Typické příklady zatížení tahem nebo tlakem jsou namáhání lan a zatížení sloupů. Obr. 2.4 Tah a tlak Pokud je nosník (tyč, součást) vystaven působení vnějších axiálních sil, pak se v něm indukují normálové síly. Normálovou sílu lze definovat jako vnitřní výslednou složkovou sílu působící kolmo na zkoumaný řez. Tahové normálové síly jsou kladné a tlakové normálové síly jsou záporné. Tahové normálové síly a napětí způsobují prodloužení délky příslušného úseku tyče, naopak tlakové normálové síly a napětí vyvolávají prodloužení délky úseku tyče. Jestliže je tyč podrobena normálovým silám (respektive napětím), pak se musí změnit její délka o hodnotu L (viz Obr. 2.5).

NOSNÍK, JEHO ULOŽENÍ A VNITŘNÍ STATICKÉ ÚČINKY A NAMÁHÁNÍ TAHEM A TLAKEM 17 Obr. 2.5 Prodloužení tyče Animace 03 - chybí Za předpokladu, že tyč má konstantní průřez S (nezávislý na souřadnici x), normálová síla a modul pružnosti nejsou po délce nosníku proměnlivé a platí teorie malých deformací, lze zapsat do prvního sloupce (viz Tab. 2.2) základní aplikační vztahy. V obecném případu platí druhý sloupec (viz Tab. 2.2). Tab. 2.2 Základní aplikační vztahy Plocha S, normálová síla N a modul pružnosti E jsou konstantní Plocha S, normálová síla N a modul pružnosti E nejsou konstantní Napětí σ = Normálová síla plocha σ = Eε = N S σ (x) = Normálová síla plocha σ (x) = E (x) ε (x) = N (x) S (x) Poměrná deformace ε = σ E = N ES ε = L L ε (x) = σ (x) E (x) = ε (x) = du (x) dx N (x) E (x) S (x) Celkové prodloužení úseku délky L L = εl = σl E = NL ES L = ε (x) dx = σ (x) L E dx = N (x) (x) L E dx (x) S (x) L

NOSNÍK, JEHO ULOŽENÍ A VNITŘNÍ STATICKÉ ÚČINKY A NAMÁHÁNÍ TAHEM A TLAKEM 18 Za předpokladu, že platí teorie malých deformací, lze psát pro celkové prodloužení osazené tyče s dílčími prodlouženími Li (viz Obr. 2.6) vztah n L = Li. (2.2) i=1 Obr. 2.6 Prodloužení tyče Pro deformační energii U (tj. potenciální energii deformace) akumulovanou v objemu V tělesa, platí při zatěžování tahem nebo tlakem U = U 0 dv = 1 σ2 2 E dv = 1 N2 2 ES 2 dv = 1 2 V V V N2 L ES dx. (2.3) Pomocí Castigliánovy věty, která patří mezi základní energetické principy mechaniky, může být (pro axiálně zatížené členy) odvozen alternativním způsobem také vztah pro podélné prodloužení u i nosníku a to v místě působiště síly F i (viz Obr. 2.7) u i = U F i = 1 F i 2 N2 ES L dx = N N dx, (2.4) ES F i L

NOSNÍK, JEHO ULOŽENÍ A VNITŘNÍ STATICKÉ ÚČINKY A NAMÁHÁNÍ TAHEM A TLAKEM 19 Obr. 2.7 Prodloužení tyče Nutno podotknout, že při aplikaci Castiglianovy věty musí být deformační energie vyjádřena jako funkce vnějšího zatížení. Jestliže se tyč konstantního průřezu, které není bráněno v podélné deformaci (viz Obr. 2.8), rovnoměrně ohřeje (ochladí) z počáteční teploty t 0 na konečnou teplotu t 1 (tj. došlo ke změně teploty ( t = t 1 t 0 ), pak pro prodloužení (zkrácení) L a osové napětí σ platí vztahy L = α t L t, σ = 0, (2.5) kde α t je lineární koeficient teplotní délkové roztažnosti (viz Tab. 2.3). Obr. 2.8 Prodloužení tyče

NOSNÍK, JEHO ULOŽENÍ A VNITŘNÍ STATICKÉ ÚČINKY A NAMÁHÁNÍ TAHEM A TLAKEM 20 Tab. 2.3 Koeficient teplotní délkové roztažnosti Materiál Součinitel teplotní roztažnosti α t [ C 1 ] Hliníkové slitiny Mosaz Bronz Litina Beton Měď a měděné slitiny Sklo Nikl Nylon Polyethylen Horniny Elastomery (guma) Ocel Titanové slitiny Wolfram 23 10 6 19.1 10 6 21.2 10 6 18 10 6 21 10 6 9.9 10 6 12 10 6 7 10 6 17.6 10 6 16.6 10 6 17.6 10 6 5 10 6 11 10 6 13 10 6 70 10 6 140 10 6 140 10 6 290 10 6 5 10 6 9 10 6 130 10 6 200 10 6 10 10 6 18 10 6 8.1 10 6 11 10 6 4.3 10 6 Pokud je tyči bráněno podélné deformaci absolutně tuhými (ideálními) podporami (viz Obr. 2.9) a nedojde k podélnému vybočení tyče, pak prodloužení tyče je nulové ( L = 0). t 0 = 0 t 0 = t Obr. 2.9 Nulové prodloužení tyče

NOSNÍK, JEHO ULOŽENÍ A VNITŘNÍ STATICKÉ ÚČINKY A NAMÁHÁNÍ TAHEM A TLAKEM 21 Prodloužení (zkrácení) tyče je tedy zabráněno, což v tyči indukuje tlakové (tahové) napětí. Pro poměrnou deformaci a napětí pak vyplyne ε = L L = α t t, σ = Eε = Eα t t. (2.6)

KVADRATICKÝ MOMENT A TĚŽIŠTĚ PRŮŘEZU NOSNÍKU 22 3. KVADRATICKÝ MOMENT A TĚŽIŠTĚ PRŮŘEZU NOSNÍKU OBSAH KAPITOLY: kvadratický moment a těžiště průřezu nosníku, Steinerova věta. MOTIVACE: Při řešení úloh, v nichž je potřeba stanovit například napětí vznikající při ohybu nosníku, je nutné uvažovat s plošnými charakteristikami průřezu. Pomocí těchto charakteristik lze stanovit ohybová napětí v obecném místě ohýbané součásti. Další možnou aplikací, kde je nezbytné uvažovat se znalostmi plošných charakteristik, konkrétně kvadratických momentů průřezů, je posouzení stability přímých prutů. CÍL: těžiště obecné plochy, kvadratický moment průžezu, kvadratický moment průřezu k posunutým osám, kvadratický moment průřezu k pootočeným osám, deviační moment, centrální moment plochy.

KVADRATICKÝ MOMENT A TĚŽIŠTĚ PRŮŘEZU NOSNÍKU 23 Polohu těžiště T obecné plochy se souřadnicemi y T a z T (viz Obr. 3.1), lze stanovit pomocí vztahů y T = S S yds ds, z T = S zds ds S. (3.1) Obr. 3.1 Těžiště T obecné plochy Při řešení ohybu nosníků se vyskytují kvadratické momenty ploch průřezů (dříve nazývané také jako momenty setrvačnosti). Kvadratické momenty J z a J y počítané k osám z a y jsou definované plošnými integrály J z = y 2 ds S, J y = z 2 ds S (3.2) Deviační moment J yz počítané k osám z a y je definovaný plošným integrálem J yz = yzds S (3.3) Kvadratické momenty nabývají vždy kladných hodnot, avšak deviační momenty mohou být kladné, záporné či nulové. Deviační momenty jsou nulové v případech, kdy alespoň jedna z os y, z je osou symetrie plochy. Při výpočtu výše uvedených plošných charakteristik lze použít také Steinerovu větu, která slouží k přepočtu k rovnoběžným osám, z nichž jedna prochází těžištěm (viz Obr. 3.2).

KVADRATICKÝ MOMENT A TĚŽIŠTĚ PRŮŘEZU NOSNÍKU 24 Obr. 3.2 Znázornění posunutých os Pak platí J y = J yt + Sz T 2, (3.4) J z = J zt + Sy T 2, (3.5) J yz = J ytzt + Sy T z T. (3.6) kde J yt, J zt a J ytzt značí kvadratické a deviační momenty počítané k osám y T, z T (tzv. centrální momenty ploch). Hlavní centrální kvadratické momenty (tj. maximum a minimum z hodnot počítaných k osám, které procházejí těžištěm) lze stanovit ze vztahů J Tmax,min = J yt + J zt 2 ± J yt J zt 2 4 θ T = 1 2 atan 2J ytzt J zt J yt, 2 + J ytzt, (3.7) (3.8) kde θ T značí polohu natočení hlavních os kolem středu v těžišti plochy.

KVADRATICKÝ MOMENT A TĚŽIŠTĚ PRŮŘEZU NOSNÍKU 25 Obr. 3.3 Znázornění pootočených os Kvadratické momenty, počítané k pootočeným osám souřadného systému roviny plochy (viz Obr. 3.3), lze určit pomocí výrazů J y1 = J y + J z 2 J z1 = J y + J z 2 + J y J z 2 J y J z 2 J y1z1 = J y J z 2 cos2θ J yz sin2θ, cos2θ + J yz sin2θ, sin2θ + J yz cos2θ. (3.9) (3.10) (3.11) Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů jsou uvedeny v následující tabulce (viz Tab. 3.1).

KVADRATICKÝ MOMENT A TĚŽIŠTĚ PRŮŘEZU NOSNÍKU 26 Tab. 3.1 Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů Tvar průřezu J zt [m 4 ] Tvar průřezu J zt [m 4 ] bh 3 12 BH 3 bh 3 12 πd 4 64 = πr4 4 bh 3 12 πd4 64 π(d 4 d 4 ) 64 π(d 4 d 4 ) 64 Pro a + d 2 D 2 πba 3 4 bh 3 48

KVADRATICKÝ MOMENT A TĚŽIŠTĚ PRŮŘEZU NOSNÍKU 27 h 3 (a 2 + b 2 + 4ab) 36(a + b) bh 3 48 h 3 (a 2 + b 2 + 4ab) 36(a + b) bh 3 48 π 128 1 D4 18π bh 3 36 π 128 1 D4 18π bh 3 36 bh 3 (b s)(h 2h 1 ) 3 12 a 4 12

KVADRATICKÝ MOMENT A TĚŽIŠTĚ PRŮŘEZU NOSNÍKU 28 2h 1 b 3 + (h 2h 1 )s 3 12 a 4 12 bh 3 + (H h)b 3 12 5 3D 4 256 r = D 2 bh 3 + (H h)b 3 12 H 4 h 4 12 πd 2 [4(H D) 2 + D 2 ] 64 + D(H D)[(H D)2 + 2D 2 ] 12 r = D 2 ; H D

KVADRATICKÝ MOMENT A TĚŽIŠTĚ PRŮŘEZU NOSNÍKU 29 BH 3 (B b)h 3 3 + [BH2 (B b)h 2 ] 2 [BH (B b)h] BH 3 (B b)h 3 3 + [BH2 (B b)h 2 ] 2 [BH (B b)h]

NAMÁHÁNÍ OHYBEM 30 4. NAMÁHÁNÍ OHYBEM OBSAH KAPITOLY: napětí při ohybu nosníku, průřezový modul v ohybu, posunutí při ohybu nosníku. MOTIVACE: Dalším ze základních způsobů namáhání nosníku je ohyb. V této přednášce budou probírány napěťové a deformační stavy přímého nosníku, vznikající při jeho ohybu. CÍL: maximální ohybové napětí, diferenciální rovnice průhybové čáry, určení integračních konstant.

NAMÁHÁNÍ OHYBEM 31 Ohyb patří mezi základní typy namáhání. Tato kapitola se zabývá pouze prostým rovinným ohybem ideálních přímých nosníků a uvedené vztahy platí pro teorii malých deformací a také za předpokladu, že materiál nosníku vyhovuje Hookeovu zákonu pro izotropní a homogenní materiál. Ohyb i veškerá zatížení leží v rovině, kterou prochází hlavní centrální osa kvadratických momentů průřezu. Teorie nosníků je již rozvedena v předchozích kapitolách. Střednice nosníku je definovaná křivkou, která prochází těžišti všech soumezných příčných průřezů nosníku. Jestliže na přímý nosník (viz Obr. 4.1) působí ohybový jen moment M o (tzv. čistý ohyb), dojde k zakřivení střednice nosníku na poloměr křivosti R a horní část nosníku je namáhána tahem a spodní část je namáhána tlakem. Je také zřejmé, že ve vzdálenosti y = 0 m od střednice nosníku je nulové napětí. Pro výpočet ohybového napětí lze použít vztah Obr. 4.1 Ohyb přímého nosníku σ = σ (x,y) = E R y = M o(x) J zt y, (4.1) kde J zt je hlavní centrální kvadratický moment. Průběh napětí je lineárně rozložený po výšce průřezu (viz Obr. 4.2).

NAMÁHÁNÍ OHYBEM 32 Obr. 4.2 Průběh napětí po výšce průřezu Maximální ohybové napětí σ max je tedy vždy v horní nebo spodní části průřezu nosníku. Pro symetrické průřezy pak platí σ max = ±M o J zt kde W o = J zt y max je průřezový modul v ohybu (viz Tab. 4.1). y max = ±M o W o, (4.2) Tab. 4.1 Průřezový modul v ohybu Tvar průřezu W o [m 3 ] Tvar průřezu W o [m 3 ] bh 2 6 BH 3 bh 3 6H πd 3 32 bh 2 6 πd4 32h

NAMÁHÁNÍ OHYBEM 33 π(d 4 d 4 ) 32D a 3 6 πba 2 4 a 3 6 2 bh 3 (b s)(h 2h 1 ) 3 6h 2(H 4 h 4 ) 12H 2h 1 b 3 + (h 2h 1 )s 3 6b Pro maximální ohybové napětí σ max1 a σ max2 nesymetrických průřezů platí σ max1 = M o J zt y 1 = M o W o1, σ max2 = M o J zt y 2 = M o W o2, (4.3) kde moduly odporu průřezu jsou dané vztahy W o1 = J zt y 1 a W o2 = J zt y 2. Vliv posouvajících sil na napjatost při ohybu není v této kapitole řešen. Pro deformační energii (tj. potenciální energii deformace) U akumulovanou v objemu V tělesa, platí při zatěžování ohybem vztah

NAMÁHÁNÍ OHYBEM 34 U = U 0 dv = 1 2 M o 2 y 2 dxdydz = 1 2 M o 2 dx. (4.4) V V 2 EJ zt Pro výpočet průhybu w a úhlu natočení nosníku φ (viz Obr. 4.3), existuje v technické praxi celá řada metod. V následujícím textu je uvedena jen Castiglianova metoda a analytická metoda řešení průhybové křivky. L EJ zt Obr. 4.3 Přetvoření elementu nosníku Pomocí Castiglianovy metody, lze vypočítat velikost průhybu w i v místě působiště bodové síly F i respektive úhlu natočení φ i v místě působiště vnějšího momentu M i (viz Obr. 4.4), podle vztahů w i = U F i = M o EJ zt M o L F i dx, φ i = U = M o M o dx. (4.5) M i EJ zt M i L Obr. 4.4 Průhybová křivka nosníku Animace 04 - chybí

NAMÁHÁNÍ OHYBEM 35 Při stanovení průhybové křivky analytickou metodou se řeší diferenciální rovnice průhybové křivky integrací. V případě, že není znám průběh ohybového momentu (staticky neurčitá úloha), pak se použijí vztahy (viz Tab. 4.2). Tab. 4.2 Obecné řešení diferenciální rovnice průhybové křivky Diferenciální rovnice: d4 v = 1 q dm, q = q(x), m = m(x) dx 4 EJ zt dx Obecné řešení v = 1 x 3 qdx dx dx dx dx mdx dx dx + A EJ 1 zt 6 + A 2 2 + A 3 x + A 4 dv dx = 1 x 2 qdx dx dx mdx dx + A EJ 1 zt 2 + +A 2x + A 3 x 2 d 2 v dx 2 = 1 qdx dx mdx + A EJ 1 x + A 2 zt d 3 v dx 3 = 1 qdx m + A EJ 1 zt M o = EJ zt d 2 v dx 2 = mdx qdx dx EJ zt (A 1 x + A 2 ) T = dm o dx m = EJ d 3 v zt dx 3 m = qdx EJ zta 1 A 1, A 2, A 3, A 4 jsou integrační konstanty, které se určí z okrajových podmínek. Jsou-li známy průběhy ohybových momentů (staticky určitá úloha), pak je řešení analytickou metodou jednodušší (viz Tab. 4.3). Tab. 4.3 Obecné řešení diferenciální rovnice průhybové křivky Diferenciální rovnice: d 2 v dx 2 = M o EJ zt, q = q(x), m = m(x), M o = M o (x) Obecné řešení v = A 3 x + A 4 M o EJ zt dx dx dv dx = A 3 M o EJ zt dx M o = EJ zt d 2 v dx 2 A 3 a A 4 jsou integrační konstanty, které se určí z okrajových podmínek. Vztahy uvedené v předchozích dvou tabulkách splňují také Schwedlerovy-Žuravského věty.

KROUCENÍ KRUHOVÉHO HŘÍDELE 36 5. KROUCENÍ KRUHOVÉHO HŘÍDELE OBSAH KAPITOLY: kroucení kruhového hřídele, kroucení mezikruhového hřídele, smykové napětí. MOTIVACE: Dosavadním studiem bylo probráno namáhání tahem (tlakem) a ohybem. V této přednášce bude vysvětlen další typ namáhání, kterým je krut. Přičemž výklad bude zaměřen pouze na kroucení kruhových a mezikruhových průřezů, neboť kroucení nekruhových průřezů je značně náročné a dalece svým rozsahem převyšuje požadavky pro Pružnost a pevnost 2. CÍL: krouticí moment, úhel zkroucení, průřezový modul v krutu.

KROUCENÍ KRUHOVÉHO HŘÍDELE 37 Kroucení patří mezi základní způsoby namáhání součástí. Uvedené vztahy jsou pro kruhové hřídele konstantního průřezu a platí za předpokladu teorie malých deformací a platnosti Hookeova zákona pro izotropní a homogenní materiál. Obr. 5.1 Kroucení kruhového hřídele Pro úhel zkroucení φ nosníku délky L (viz Obr. 5.1) platí vztah φ = M kl GJ p, (5.1) kde M k je krouticí moment (otáčí kolem osy hřídele), G je modul pružnosti ve smyku a pro polární kvadratický moment J p platí D/2 J p = 2πR 3 dr = J yt + J zt, (5.2) R min kde R (R min ; R max ) je poloměr hřídele. Je zřejmé, že u plného hřídele je R (0; D 2) a u dutého hřídele R (d 2 ; D 2). Vztahy pro J p jsou uvedeny v následující tabulce (viz Tab. 5.1)

KROUCENÍ KRUHOVÉHO HŘÍDELE 38 Tab. 5.1 Vztahy pro polární moment J p a průřezový modul v krutu W k Tvar průřezu J p [m 4 ] W k [m 3 ] πd 4 32 πd 3 16 π(d 4 d 4 ) 32 π(d 4 d 4 ) 16D Poměrná deformace ve smyku (viz Obr. 5.1) je daná vztahem Smykové napětí v hřídeli je dané vztahem γ = γ (R) = R φ L. (5.3) τ = τ (R) = Gγ = G φ L R = M k J p R. (5.4) Napětí má tedy lineární průběh v závislosti na poloměru R (viz Obr. 5.2). Obr. 5.2 Sdružené smykové napětí

KROUCENÍ KRUHOVÉHO HŘÍDELE 39 Pro maximální smykové napětí platí vztah τ max = M k J p R max = M k W k, (5.5) kde W k je modul odporu průřezu v kroucení (viz Tab. 5.1). Pro deformační energii U (tj. potenciální energii deformace) akumulovanou v objemu hřídele V, platí při zatěžování kroucením vztah U = τ2 V 4G = GJ pφ 2 = M k 2 L. (5.6) 2L 2GJ p

PODMÍNKY PEVNOSTI 40 6. PODMÍNKY PEVNOSTI OBSAH KAPITOLY: podmínky pevnosti, Heighova plocha. MOTIVACE: V praxi se při konstrukčním návrhu součástí nebo strojních celků (tj. jejich geometrie, zatížení a materiálů) využívá podmínek pevnosti (hypotéz pevnosti, kritérií pevnosti). Jejich znalost a aplikovatelnost je důležitou součástí základních znalostí inženýrů. V součástech strojů či konstrukcí vzniká v důsledku zatížení obecně víceosá napjatost, která může způsobit havarijní stavy. Aby nedocházelo k havarijním (či nepřípustným) stavům namáhání, je nutné již při návrhu zkoumat mezní stavy mechanických struktur. Pro stanovení mezních stavů, jejich zhodnocení a dimenzování strojů či konstrukcí je pak nutné využít hypotéz pevnosti. Hypotézy pevnosti jsou platné pro daný typ materiálu (houževnatý, křehký, atd.), daný způsob zatěžování (staticky, dynamicky, teplotně, atd.), velikost konstrukce (větší těleso má více vnitřních i vnějších vad) atp., přičemž se obvykle vztahují k limitnímu stavu dosažení meze kluzu či dosažení meze pevnosti. CÍL: Rankinova hypotéza, Saint-Vènantova hypotéza, Mohrova hypotéza, Guestova hypotéza, Hypotéza HMH, Beltramiho hypotéza.

PODMÍNKY PEVNOSTI 41 U běžně používaných hypotéz se setkáváme s pojmem redukované (ekvivalentní) napětí σ red. Redukované napětí lze tedy porovnat s dovoleným napětím σ dov v tahu nebo tlaku (tj. redukované napětí, dle příslušné hypotézy, které vyvolá stejný účinek jako prostý tah nebo tlak, viz Obr. 6.1) a následně je použít pro vyhodnocení napěťového stavu či návrhu rozměrů součásti nebo zatížení součásti. Dovolené napětí bývá obvykle menší nebo rovno mezi kluzu nebo menší než mez pevnosti materiálu. Obr. 6.1 Zjednodušení obecné napjatosti Pevnostní podmínka (testovací kritérium, designová nerovnice) dle libovolné hypotézy pak má tvar σ red = σ dov. (6.1) V následujícím textu jsou použita značení: σ 1, σ 2, σ 3 resp. σ i,j,k (hlavní napětí), ε i (hlavní poměrné deformace), μ (Poissonovo číslo), E (modul pružnosti). V dalším textu je zaměřena pozornost jen na izotropní a homogenní materiály pro statické způsoby zatěžování bez uvažování vlivu teploty. U hypotéz jsou také uvedeny další často používané názvy a to z důvodu nejednotnosti názvosloví v domácí i zahraniční literatuře. Z předchozích kapitol je zřejmé, že prostorová napjatost v tělese z izotropního a homogenního materiálu je daná buď šesti složkami napětí (σ x, σ y, σ z, τ xy, τ yz a τ zx ) ve zvoleném kartézském souřadném systému, anebo třemi hlavními napětími (σ 1, σ 2 a σ 3 ) v systému hlavních napětí (souřadné osy jsou normálami hlavních rovin, tzv. hlavní souřadnicový systém). Prostor určený hlavním souřadnicovým systémem (σ 1, σ 2 a σ 3 ) se nazývá Haighův prostor, pak je zřejmé, že každý bod tohoto prostoru jednoznačně definuje stav napjatosti (viz Obr. 6.2). Za předpokladu, že jsou při daném zatěžování známé hodnoty trojice hlavních napětí, při nichž došlo k meznímu stavu (např. k dosažení meze kluzu u tvárných materiálů nebo mezního stavu pevnosti u křehkých materiálů), pak tyto hlavní napětí určují bod A mezní Haighovy plochy (viz Obr. 6.2). Pokud se celý proces vícenásobně opakuje pro jiné trojice hlavních napětí, pak lze stanovit kompletní tvar Haighovy plochy (viz Obr. 6.2).

PODMÍNKY PEVNOSTI 42 Obr. 6.2 Haighova plocha 1. PŘEHLED PODMÍNEK PEVNOSTI V následujícím odstavci jsou uvedeny základní hypotézy pevnosti s jejich grafickým vyobrazením v souřadném systému hlavních napětí σ 1 a σ 2. 1.1 Rankinova hypotéza Hypotéza maximálních normálových napětí, vhodná pro materiály v křehkém stavu (viz Obr. 6.3). σ DOV_tlak σ 1 σ DOV_tah σ DOV_tlak σ 2 σ DOV_tah σ DOV_tlak σ 3 σ DOV_tah Obr. 6.3 Rankinova hypotéza 1.2 Saint-Vènantova hypotéza Hypotéza maximálních poměrných deformací (viz Obr. 6.4), tato hypotéza se již v současnosti téměř nepoužívá.

PODMÍNKY PEVNOSTI 43 σ DOV_tlak σ 1 μ(σ 2 + σ 3 ) σ DOV_tah σ DOV_tlak σ 2 μ(σ 3 + σ 1 ) σ DOV_tah σ DOV_tlak σ 3 μ(σ 1 + σ 2 ) σ DOV_tah Obr. 6.4 Saint-Vènantova hypotéza 1.3 Mohrova hypotéza V tomto případě je uvedena její lineární varianta, známá také jako Mohr-Coulomb hypotéza (viz Obr. 6.5). Používá se pro materiály v křehkém stavu, jejichž pevnost v tahu je obvykle menší než pevnost v tlaku. Není vhodná pro napjatosti blízké rovnoměrnému tahu. σ DOV_tlak σ 1 σ DOV_tah σ σ 2 DOV_tlak σ DOV_tah σ DOV_tlak σ 2 σ DOV_tah σ σ 3 DOV_tlak σ DOV_tah σ DOV_tlak σ 3 σ DOV_tah σ σ 1 DOV_tlak σ DOV_tah Obr. 6.5 Mohrova hypotéza

PODMÍNKY PEVNOSTI 44 1.4 Guestova hypotéza Hypotéza maximálních smykových napětí (viz Obr. 6.6), používá se pro materiály v tvárném stavu. σ DOV σ 1 σ 2 σ DOV σ DOV σ 2 σ 3 σ DOV σ DOV σ 3 σ 1 σ DOV Obr. 6.6 Guestova hypotéza 1.5 HMH hypotéza Hypotéza maximální hustoty deformační energie na změnu tvaru, známá také jako hypotéza Huber-Mises-Hencky, Maxwell, HMH, von Mises, hypotéza oktaedrických smykových napětí nebo Maxwell-Huber-Hencky-von Mises (viz Obr. 6.7). Používá se pro materiály v tvárném stavu. σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 σ 1 σ 2 σ 2 σ 3 σ 3 σ 1 σ DOV Obr. 6.7 HMH hypotéza

PODMÍNKY PEVNOSTI 45 1.6 Beltramiho hypotéza Hypotéza maximální hustoty celkové deformační energie (viz Obr. 6.8), tato hypotéza se dnes v praxi používá jen zřídka. σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 2μ(σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 ) σ DOV Obr. 6.8 Beltramiho hypotéza Na následujícím obrázku (viz Obr. 6.9) je znázorněno srovnání základních hypotéz vhodných pro tvárné materiály. Obr. 6.9 Srovnání základních hypotéz vhodných pro tvárné materiály

VZPĚR 46 7. VZPĚR OBSAH KAPITOLY: pojem stabilita, pružný vzpěr přímého nosníku. MOTIVACE: Následující přednáška se bude zabývat problematikou stability. Přičemž stabilitou se rozumí schopnost zachovat nebo obnovit původní rovnovážný stav soustavy bez samovolného narůstání deformací. Stabilitní úlohy obecně představujou velmi rozsáhlý problém, k jekož řešení se často přistupuje pomocí numerických metod. CÍL: základní příklady Eulerova vzpěru, stanovení kritické síly a kritického napětí.

VZPĚR 47 1. ÚVOD Následující text je zaměřen na základy řešení problematiky vzpěru (ztráty stability tvaru) přímých ideálních nosníků s konstantním průřezem. Materiál je homogenní a izotropní. Řešené úlohy jsou v souladu s běžně používanou teorií malých deformací 2. řádu. Při postupném růstu tlakových sil může dojít k náhlému zhroucení konstrukce nebo její části, na obrázku (viz Obr. 7.1) jsou znázorněny příklady ztráty stability tvaru (boulení) kolejnic, zdí a listu papíru. Obr. 7.1. Příklady ztráty stability tvaru Elastická stabilita (jako mezní stav součásti nebo konstrukce) patří do oblasti nelineární teorie pružnosti. Neplatí zde ani Kirhoffův zákon jednoznačnosti ani princip superpozice. 2. KRITICKÁ SÍLA, STABILITA A KRITICKÉ NAPĚTÍ Vlivem působení tlakové síly F, která indukuje v nosníku zápornou normálovou sílu, je zřejmé, že se štíhlý nosník prohýbá (tj. vychýlí v příčném směru, viz Obr. 7.2 a Obr. 7.1). Jestliže síla F < F krit, tak stav (průhyb) nosníku je stabilní. Pokud však síla F > F krit, tak stav nosníku je nestabilní (labilní) a nosník se samovolně stále více prohýbá a dojde k jeho poškození (zhroucení), viz Obr. 7.2 a Obr. 7.1. Indiferentní (mezilehlý) stav, kdy F = F krit, je rozhraním mezi oběma výše uvedenými stavy. Síla F krit se nazývá kritická síla. Nestabilní a indiferentní stavy nosníků jsou v reálných podmínkách nepřípustné, protože obvykle vedou ke zhroucení celé konstrukce.

VZPĚR 48 Nezatížený nosník (stabilní stav) F = 0 Zatížený nosník (stabilní stav) F < F krit Zatížený nosník (nestabilní stav) F > F krit Obr. 7.2 Stabilní a nestabilní tvary ideálního nosníku Stabilitu tvaru soustavy (odolnost vůči vzpěru), v tomto případě nosníku, je možno definovat jako schopnost této soustavy vracet se po nepatrném vychýlení zpátky do původního stavu, jakmile pomine příčina, jež toto vychýlení vyvolala. První práce týkající se ztráty tvarové stability nosníků poprvé řešil L. Euler v r. 1844. Proto se také kritická síla často také nazývá Eulerova síla. Stabilita tvaru je obecně velmi složitý fyzikální jev, který je ovlivněn celou řadou materiálových, geometrických a zátěžných faktorů. V dalším textu se uvažuje pouze nejjednodušší model ideálního nosníku, tzv. ideálně pružný přímý nosník bez tvarových imperfekcí, který je dokonale centricky (osově) zatížený (tzv. Eulerova elastická stabilita). Pokud by nosník nebyl idealizován, potom by řešení vzpěru nešlo jednoduchým způsobem odvodit (řešení pak lze získat pouze pomocí numerických metod mechaniky kontinua). Pro kritické napětí pak platí kde S je plocha příčného průřezu nosníku. σ krit = F krit S. (7.1) 3. EULERŮV (PRUŽNÝ) VZPĚR PŘÍMÝCH NOSNÍKŮ Z nauky o pružnosti a pevnosti víme, že ideální přímý osově tlačený nosník se nachází ve stabilní rovnováze, pokud vnější síla neosáhne své kritické hodnoty F krit, pak nastává tzv. kritický stav charakterizovaný bifurkací tj. větvením rovnováhy. Obecný postup řešení vzpěru je předveden v následujícím textu, kde je řešen dokonale přímý nosník stálého průřezu zatíženého osovými tlakovými silami působící v těžišti průřezu. Nosník délky L je uložen na jednom konci v kloubu a na druhém konci posuvně (viz Obr.

VZPĚR 49 7.3). Nosník se vlivem působení síly F deformuje (průhyb w = w(x)). Úkolem je stanovení F krit a tvar průhybové křivky. Obr. 7.3 Průhyb nosníku Pro diferenciální rovnici průhybové křivky platí w (x) = d2 w dx 2 = M o(x) E J Tmin. (7.2) kde J Tmin je minimální hodnota kvadratického momentu plochy průřezu a pro ohybový moment M o (x) platí Diferenciální rovnici pak lze psát ve tvaru kde M o (x) = Fw(x) = Fw. (7.3) w + α 2 w = 0. (7.4) α 2 = F E J Tmin. (7.5) Řešení diferenciální rovnice (7.4) lze hledat ve tvaru w = e ωx, pak platí w = ω 2 e ωx a po dosazení do rovnice (7.4) se získá charakteristická rovnice (ω 2 + α 2 )e ωx = 0 ω 2 + α 2 = 0. (7.6)

VZPĚR 50 Rovnice (7.6) má kořeny kde j značí imaginární jednotku, pro kterou platí j 2 = 1. Obecné řešení je pak dané rovnicemi ω 1,2 = ±jα, (7.7) w = A 1 sin(αx) + A 2 cos(αx), (7.8) kde A 1, A 2 jsou integrační konstanty. Z okrajových podmínek nulového průhybu na koncích nosníku (tj. w (x=0) = 0 a w (x=l) = 0), viz Obr. 7.3, vyplývá A 1 sin 0 + A 2 cos 0 = 0 A 2 = 0, (7.9) A 1 sin(αl) + A 2 cos(αl) = 0 A 1 sin(αl) = 0. (7.10) Z rozboru rovnice (7.10) vyplývá buď A 1 = 0, což vede k triviálnímu řešení (nulový průhyb a namáhání pouze tlakem, tj. nedojde ke ztrátě stability), anebo sin(αl) = 0, odkud vyplývá αl = 0; π; 2π; (tj. α = ±iπ/l, kde i je celé číslo). Pak pro kritickou sílu F = F krit podle rovnice (7.5) platí F krit = α 2 E J Tmin = i2 π 2 E J Tmin L 2. (7.11) Nejmenší kritická (nenulová) síla je pro i = 1. Pak platí, že F krit = α 2 E J Tmin = π2 E J Tmin L 2. (7.12) Při teoretické hodnotě rovnice (7.12) dojde k prvnímu vybočení řešeného nosníku. Tvar průhybové křivky je tedy určen w = A 1 sin(αx) = A 1 sin πx, (7.13) L avšak velikost amplitudy je neurčitá (tzv. indiferentní rovnováha prutu). Vyšší hodnoty kritických sil (tj. když i = 2, 3, a w = A 1 sin(iπx L )) mají smysl jen tehdy, je-li nosníku v místech, kde w = 0, zabráněno posuvům (viz Tab. 7.1).

VZPĚR 51 Tab. 7.1 Tvary průhybové křivky Tvary průhybové křivky i = 1 i = 2 i = 3 w = A 1 sin πx L w = A 1 sin 2πx L w = A 1 sin 3πx L F krit = π2 E J Tmin L 2 F krit = 4π2 E J Tmin L 2 F krit = 9π2 E J Tmin L 2 4. ZÁKLADNÍ PŘÍPADY EULEROVA VZPĚRU Z předchozího postupu řešení je zřejmé, že kritická síla závisí na geometrii, materiálu a uložení nosníku. Podle způsobu uložení nosníku rozeznáváme 6 základních případů (viz Tab. 7.2), které lze definovat pomocí redukované (efektivní) délky L red L red = nl, (7.14) kde n je koeficient typu uložení, který je definován jako teoretická hodnota nebo praktická hodnota (doporučení některých norem). Pro kritickou sílu pak platí vztah uvedený v následující tabulce (viz Tab. 7.2).

VZPĚR 52 Tab. 7.2 Základní případy vzpěru axiálně zatížených nosníků Základní případy vzpěru axiálně zatížených nosníků 1. případ 2. případ 3. případ 4. případ 5. případ 6. případ SCHÉMA A TVAR PRŮHYBU POPIS Vetknutí a volný konec Kloub a posuvný konec Vetknutí a posuvný konec Vetknutí a vertikálně posuvné vetknutí Kloub a horizontáln ě posuvné vetknutí Vetknutí a horizontáln ě posuvné vetknutí KOEFICIENT n Teoretický Praktický 2 1 2 2 0.5 2 1 2.1 1 0.8 0.65 2 1.2 REDUKOVANÁ DÉLKA KRITICKÁ SÍLA A NAPĚTÍ L red = nl F krit = π2 E J Tmin 2, σ L krit = F krit red S Platí pro λ λ mez = π2e J Tmin 2 L red S = π2 E n 2 λ 2

VZPĚR 53 5. OMEZENÍ EULEROVA VZPĚRU Z výše uvedených postupů řešení, při aplikaci lineární diferenciální rovnice průhybové křivky (7.2), je zřejmé, že vzorce platí jen v rozsahu platnosti Hookeová zákona, tj. pokud nedojde k překročení meze úměrnosti σ u (viz Obr. 7.4). Omezující podmínka je tedy σ krit σ u. (7.15) Pro kritické napětí pak platí σ krit = π2 EJ Tmin 2 L red S Obr. 7.4 Znázornění meze úměrnosti = π2 2 ESj min n 2 L 2 S = π2 2 Ej min n 2 L 2 = π 2 E n 2 L j min 2 = π2 E n 2 λ 2. (7.16) Pro minimální poloměr kvadratického momentu plochy j min a štíhlostní poměr (štíhlost) nosníku λ platí j min = J Tmin S, λ = L j min. (7.17) Pro hranici platnosti Eulerova vzpěru platí σ krit = σ u a λ = λ mez π2 E kde λ mez je mezní štíhlost (viz Obr. 7.5). σ u = n 2 2 λ λ mez = π mez n E, (7.18) σ u

VZPĚR 54 Obr. 7.5 Hranice Eulerova vzpěru Rovnice (7.16) je tzv. Eulerova hyperbola (hyperbola druhého řádu, jejímiž asymptotami jsou souřadné osy λ a σ krit ) (viz Obr. 7.5). Pružný (Eulerův) vzpěr je tedy dán podmínkou λ λ mez. (7.19) 6. NEPRUŽNÝ VZPĚR Doposud neexistuje uspokojivé obecně platné řešení nepružného vzpěru (tj. když σ krit σ u viz Obr. 7.5), jehož řešení se provádí na základě podkladů z experimentů. Mezi nejčastější metody řešení nepružného vzpěru patří numerické metody (např. MKP) nebo zjednodušené analytické postupy (např. pomocí redukovaného modulu pružnosti, energetických metod či podle Tetmajera-Jasinského aj.). Z Obr. 7.5 je zřejmé, že pro obecné řešení vzpěru je třeba nalézt také řešení pro situace, kdy σ u σ krit σ M (resp. λ λ mez ). Napětí σ M značí mezní tlakové napětí, σ u je mez kluzu materiálu (tvárné materiály) nebo mez pevnosti v tlaku (křehké materiály). V následujícím textu je věnována pozornost výpočtu podle Tetmajera-Jasinského, kde oblast nepružného vzpěru je aproximovaná přímkou nebo polynomem (viz Tab. 7.3), kde a, b a c jsou materiálové konstanty získané z experimentů.

VZPĚR 55 Tab. 7.3 Řešení nepružného vzpěru Řešení pro λ λ mez a [MPa] b [MPa] c [MPa] λ mez Ocel: 320 1.2 0 90 Materiál Litina: 776 12 0.053 80 Dřevo: 29.3 0.194 0 110 σ krit = a bλ + cλ 2 nebo v některých případech σ krit = σ M + σ u σ M λ λ mez

SLOŽENÉ NAMÁHÁNÍ 56 8. SLOŽENÉ NAMÁHÁNÍ OBSAH KAPITOLY: složené (kombinované) namáhání, prostorový ohyb. MOTIVACE: V této přednášce bude probráno složené (kombinované) namáhání. K tomuto namáhání dochází tehdy, jestliže na těleso působí současně alespoň dva druhy základního namáhání (tah (tlak), ohyb, krut, smyk). Pro řešení případů složeného namáhání se využívá principu superpozice. Princip superpozice lze však aplikovat pouze tehdy, jestliže platí Hookeův zákon a deformace nemají podstatný vliv na velikost statických veličin. CÍL: napjatost při prostorovém ohybu, průhyb nosníku při prostorovém ohybu, analytická metoda řešení průhybu nosníku, řešení průhybu nosníku pomocí Castiglianovy metody.

SLOŽENÉ NAMÁHÁNÍ 57 1. ÚVOD V průřezu obecně zatíženého prutu působí šest složek vnitřních účinků (viz Obr. 8.1). Obr. 8.1 Vyjádření složek vnitřních statických účinků obecně zatíženého prutu Při zatěžování součásti mohou vzniknout kombinace namáhání: a) s normálovými napětími (např. tah a ohyb), b) s tečnými napětími (např. smyk a krut), c) s normálovými a tečnými napětími (např. ohyb a krut). Výsledné napětí při působení jen normálových, nebo jen tečných napětí získáme prostým součtem. Při působení normálových i tečných napětí současně, je vhodné vypočíst výsledné napětí podle některé z pevnostních hypotéz. Dále budou probírány nejčastěji se vyskytující případy složených namáhání: a) prostorový ohyb, b) ohyb a tah (tlak), c) ohyb a kroucení, d) tah (tlak) a kroucení, e) ohyb a smyk. 2. PROSTOROVÝ OHYB Jestliže rovina zatěžujících sil a momentů obsahuje podélnou osu nosníku a neobsahuje žádnou z hlavních centrálních os, jedná se o prostorový (šikmý) ohyb. Rovněž se předpokládá, že těžiště příčného průřezu je totožné se střediskem smyku.

SLOŽENÉ NAMÁHÁNÍ 58 2.1 NAPJATOST PŘI PROSTOROVÉM OHYBU Napětí při prostorovém ohybu je vhodné určit rozložením výsledného ohybového momentu M o do složek M oy a M oz působících ve směrech hlavních centrálních os y a z (viz Obr. 8.2). Obr. 8.2 Napětí při prostorovém ohybu V případě působení samotných složek ohybového momentu se jedná o rovinný ohyb a v obecném bodě průřezu (například v bodě A) lze pak stanovit normálová napětí od složky momentu M oy σ oay = M oy J y z A (8.1) a od složky momentu M oz J y, J z osové momenty plochy příčného řezu k osám y a z Skalární složky ohybového momentu jsou σ oaz = M oz J z y A. (8.2) M oy = M o cos(α), (8.3) M oz = M o sin(α), (8.4) Celkové napětí v bodě A je pak dáno algebraickým součtem napětí od jednotlivých složek momentu

SLOŽENÉ NAMÁHÁNÍ 59 σ A = M oy J y Pro obecný bod průřezu lze tedy napětí stanovit z rovnice σ(y, z) = M oy J y z A + M oz J z y A. (8.5) z + M oz J z y. (8.6) Poloha neutrální osy se určí z podmínky, že je na ní normálové napětí nulové, tedy σ(y, z) = M oy J y Po dosazení a matematických úpravách získáme kde z + M oz J z y = 0. (8.7) z = J y J z sin (α) cos (α) y = J y J z tg(α)y, (8.8) J y J z tg(α) = tg(β). (8.9) Úhel β označuje úhel mezi neutrální osou a souřadnou osou y (viz Obr. 8.3). Pevnostní podmínka je analogická s podmínkou pro rovinný ohyb σ Dt je dovolené napětí pro tahové ohybové napětí σ Dd je dovolené napětí pro tlakové ohybové napětí σ max1 σ Dt, (8.10) σ max2 σ Dd. (8.11) Normálová ohybová napětí lze rovněž znázornit v grafu, který udává závislost napětí na kolmé vzdálenosti e od neutrální osy (viz Obr. 8.3).

SLOŽENÉ NAMÁHÁNÍ 60 Obr. 8.3 Napětí na kolmé vzdálenosti od neutrální osy 2.2 PRŮHYB NOSNÍKU PŘI PROSTOROVÉM OHYBU Průhyb nosníku namáhaného prostorovým ohybem se stanoví pomocí zákona superpozice deformací. V každém bodě střednice nosníku se vypočítají průhyby w y (x) a w z (x) od dílčích ohybových momentů M oy a M oz v rovinách obsahujících příslušnou hlavní centrální osu, čímž se získají dvě navzájem kolmé složky výsledného průhybu w(x) bodu střednice nosníku. Výsledný průhyb je pak dán geometrickým součtem těchto složek (viz Obr. 8.4). Obr. 8.4 Znázornění průhybů ve dvou směrech Směr průhybu v obecném bodě x lze určit například z tangenty úhlu β tg(β) = w y(x) w z (x) (8.12) a je vždy kolmý na neutrální osu. Pro výpočet průhybů od dílčích ohybových momentů je vhodné použít analytickou metodu nebo metodu Castiglianovu (v případech, kdy je potřeba znát průhyb v konkrétním místě nosníku). Princip obou metod je připomenut v kapitole dále.

SLOŽENÉ NAMÁHÁNÍ 61 Diferenciální rovnice průhybové čáry byla odvozena na základě analýzy křivosti ohýbaného nosníku v následujícím tvaru J osový moment plochy příčného řezu w (x) = ± M o(x) E J. (8.13) Znaménko v rovnici závisí na dodržení již definované znaménkové dohody pro určování průběhu ohybového momentu (viz Tab. 8.1). Tab. 8.1 Znaménková dohoda w (x) = M o(x) E J w (x) = + M o(x) E J ANALYTICKÁ METODA Postupnou integrací rovnice (8.13) dostáváme vztahy pro úhel natočení φ a průhyb w nosníku v rovině ohybu v obecném místě střednice x w (x) = φ(x) = ± M o(x) E J dx + C 1, (8.14) w(x) = ± M o(x) E J dx + C 1x + C 2. (8.15) Integrační konstanty C 1 a C 2 určíme z okrajových podmínek nebo podmínek spojitosti. Jedná se o podmínky kinematické (deformační). CASTIGLIANOVA METODA V řadě úloh je jako prostředek k řešení využívána deformační energie společně s předpokladem platnosti zákona zachování energie. Na základě Bernoulliho lineární teorie rozložení ohybových napětí byl odvozen vztah pro celkovou deformační energii akumulovanou v nosníku délky l.

SLOŽENÉ NAMÁHÁNÍ 62 U přímých nosníků lze uvažovat pouze potenciální energii deformace od ohybového momentu U M Současně platí Castiglianovy věty: U M = 1 2EJ M2 ds. (8.16) (l) 1. Parciální derivace deformační energie U M akumulované v libovolném tělese podle obecného silového účinku působícího v určitém bodě tohoto tělesa se rovná průhybu (úhlu natočení) v místě a směru působícího silového účinku w = U M F a φ = U M M. (8.17) Pokud je nutno vypočítat průhyb w, je obecným silovým účinkem síla. Je-li obecným silovým účinkem moment, tak se spočítá úhel natočení φ. 2. Staticky neurčitá veličina X i minimalizuje deformační energii U M akumulovanou v soustavě U M X i = 0 (platí pro soustavy neohřáté a nepředepjaté). (8.18)

OHYB A TAH (TLAK) 63 9. OHYB A TAH (TLAK) OBSAH KAPITOLY: kombinace ohybového a tahového (tlakového) namáhání. MOTIVACE: V návaznosti na předcházející přednášku o složeném namáhání bude podrobněji probráno nejjednodušší kombinované namáhání, kterým je namáhání ohybem a tahem (tlakem). Tento případ lze ještě dále rozdělit podle ohybového namáhání, které může být rovinné nebo prostorové. CÍL: kombinace rovinného ohybu a tahu (tlaku), kombinace prostorového ohybu a tahu (tlaku). jádro průřezu

OHYB A TAH (TLAK) 64 Kombinace ohybového a tahového (tlakového) namáhání vzniká při zatížení prutu ve vyšetřovaném řezu osovou silou a ohybovým momentem. Takový případ by mohl nastat, jestliže zatěžující síly nejsou kolmé k ose prutu. Ve vyšetřovaném řezu vznikají dvě normálová napětí. Jedná se o tahové (tlakové) normálové napětí σ t a ohybové normálové napětí σ o. Obě napětí působí v jedné rovině a lze je tedy algebraicky sčítat. Pevnostní podmínka má tvar podmínky pro jednoosý stav namáhání, do které se dosazuje v absolutní hodnotě největší superponované normálové napětí. V případě prutů namáhaných tlakem je navíc nutno provádět kontrolu na vzpěr. Speciální případ kombinace ohybu a tahu (tlaku) je tzv. mimostředný (excentrický) tah (tlak). Tento případ nastává, když výslednice osových sil působí mimo těžiště vyšetřovaného průřezu. Podle působiště výslednice osových sil lze rozlišit dva případy: a) výslednice osových sil F leží na jedné z hlavních centrálních os příčného průřezu (kombinace rovinného ohybu a tahu (tlaku)), b) výslednice osových sil F neleží na žádné z hlavních centrálních os (kombinace prostorového ohybu a tahu (tlaku)). 1. KOMBINACE ROVINNÉHO OHYBU A TAHU (TLAKU) Případ je znázorněn na obrázku (viz Obr. 9.1.). Vnější tahová síla F působí na příčný průřez ve vzdálenosti a od těžiště na ose z. Obr. 9.1 Rovinný ohyb a tah (tlak) Účinek této síly v jednotlivých bodech průřezu (po jejím přeložení do těžiště) se projeví tahovým napětím rovnoměrně rozloženým po průřezu σ t (z) = F S (9.1) a ohybovým napětím od ohybového momentu σ o (z) = M o J y z = F a J y z. (9.2)

OHYB A TAH (TLAK) 65 Výsledné napětí plyne ze superpozice obou napětí σ(z) = σ t (z) + σ o (z) = F S + F a J y z. (9.3) Z průběhu napětí (viz Obr. 9.1) je patrno, že dojde k posunutí neutrální osy z těžiště o vzdálenost a z (viz Obr. 9.2). Obr. 9.2 Posunutí neutrální osy Neutrální osa je rovnoběžná s hlavní osou y a posunutí a z se určí z podmínky Odkud plyne Kde F F a + a S J z = 0. (9.4) y a z = J y S a = i 2 y a. (9.5) i y = J y S (9.6) je poloměr příčného průřezu k ose y. Maximální napětí je v nejvzdálenějším vlákně od neutrální osy, takže podmínka pevnosti potom bude σ max σ D. (9.7)

OHYB A TAH (TLAK) 66 2. KOMBINACE PROSTOROVÉHO OHYBU A TAHU (TLAKU) Případ je znázorněn na obrázku (viz Obr. 9.3). Síla F působí v bodě o souřadnicích y F a z F, který neleží na žádné z hlavních centrálních os. Obr. 9.3 Kombinace prostorového ohybu a tahu (tlaku) Sílu lze nahradit ekvivalentní soustavou, plynoucí z přeložení síly F do těžiště. Průřez je potom namáhán silou a momentem dvojice Moment lze dále rozložit na dvě složky F = F (9.8) M o = F e. (9.9) M oy = F z F, (9.10) M oz = F y F. (9.11) Složky ohybového momentu vyvolají v obecném bodě příčného průřezu A (y, z) normálové napětí σ o (y, z) = M oy J y z + M oz J z y. (9.12)

OHYB A TAH (TLAK) 67 Obdobně jako v předchozím případě vyvolá osová síla přenesená do těžiště rovnoměrně rozložené napětí Výsledné napětí v obecném bodě potom bude σ(y, z) = σ o (y, z) + σ t = M oy J y σ t = F S. (9.13) z + M oz J z y + F S. (9.14) Po dosazení za M oy (9.10) a M oz (9.11) a využití definic pro poloměry příčných průřezů k ose y a k ose z bude platit i y = J y S (9.15) i z = J z S (9.16) Rovnice neutrální osy plyne z podmínky σ(y, z) = F S z F i2 z + y F y + 1. (9.17) y i2 z σ(y, z) = F S z F i2 z + y F y + 1 = 0. (9.18) y i2 z Odkud po matematických úpravách bude z y i2 + y i2 = 1, z z F y F (9.19) což je rovnice přímky vyjádřena v úsekovém tvaru, kde příslušné úseky na osách y a z jsou a y = i z 2, (9.20) y F a z = i y 2. (9.21) z F Úseky lze také vyhledat graficky pomocí Euklidovy věty.

OHYB A TAH (TLAK) 68 Maximální napětí je opět v nejvzdálenějším vlákně od neutrální osy, takže podmínka pevnosti potom bude σ max σ D. (9.22) 2.1 JÁDRO PRŮŘEZU Jádro průřezu se zjišťuje v případech, kdy se má zamezit vzniku tahového (tlakového) namáhání (obvykle vzniku tahového namáhání u materiálů, které mají malou hodnotu pevnosti v tahu). V tomto případě nemůže neutrální osa příčný průřez protínat, může se ho nanejvýše dotýkat. Jádro průřezu je tedy geometrické místo působišť excentrických sil, pro které se neutrální osy obrysu průřezu nanejvýše dotýkají. Jestliže je působiště excentrické síly uvnitř jádra průřezu, potom leží neutrální osa mimo obrys průřezu a v celém průřezu bude normálové napětí téhož smyslu - tahové pro tahovou sílu nebo tlakové pro tlakovou sílu. Jádro průřezu je tedy uzavřená křivka, která je závislá pouze na tvaru příčného průřezu a nezávisí na velikosti sil. Pro vzájemný vztah mezi tvarem jádra průřezu a obrysem průřezu platí: a) přímé části obrysu odpovídá vrchol (bod na obrysu) jádra průřezu, b) vrcholu obrysu průřezu odpovídá přímková část jádra průřezu, c) oblému obrysu odpovídá oblá část obrysu jádra průřezu. Pro analytické stanovení jádra průřezu se využívají vztahy y F = i z 2, (9.23) a y z F = i y 2, (9.24) a z do kterých se za a y a a z dosadí souřadnice obrysových bodů průřezu.

OHYB A KROUCENÍ 69 10. OHYB A KROUCENÍ OBSAH KAPITOLY: kombinace ohybového namáhání a kroucení. MOTIVACE: Dalším kombinovaným namáháním je namáhání složené z ohybu a kroucení. Přičemž budou uvažovány pouze nosníky s kruhovým nebo mezikruhovým průřezem, neboť nosníky s uvážením nekruhových průřezů převyšují svým rozsahem náplň předmětu Pružnost a pevnost 2. CÍL: Guestova hypotéza pevnosti, Beltramiho hypotéza pevnosti, HMH hypotéza pevnosti.

OHYB A KROUCENÍ 70 U namáhání složeného z ohybu a kroucení budou uvažovány pouze pruty s kruhovým průřezem. V praxi se toto kombinované namáhání vyskytuje hlavně u hřídelů převodových skříní a strojů. Ohyb a kroucení nastávají v případech, kdy ve vyšetřovaných řezech prutu působí moment, jehož vektor není k podélné ose kolmý, ani s ní není rovnoběžný. Tento moment lze rozložit na složku od ohybového momentu M o, která je kolmá k ose prutu a na složku od krouticího momentu M k, mající směr podélné osy prutu. V jednotlivých bodech potom vzniká rovinná napjatost daná normálovým napětím od složky ohybového momentu a smykovým napětím od složky krouticího momentu. Rozložení těchto napětí v průřezu je znázorněno na Obr. 10.1. Obr. 10.1 Rozložení napětí v průřezu Největší smykové napětí je na obrysu kruhového průřezu a plyne z rovnice kde τ k = τ max = M k W k = M k 2W o, (10.1) W k = π d3 16 (10.2) je odporový modul průřezu v kroucení a W o = π d3 32 (10.3) je odporový modul kruhového příčného průřezu v ohybu. Extrémní ohybová napětí jsou v krajních vláknech obrysu (body 1 a 2), kde rovina ohybového momentu kruhový obrys protíná (viz Obr. 10.1). Jsou dána vztahem σ o = σ max = M o W o, (10.4)

OHYB A KROUCENÍ 71 přičemž v bodě 1 je toto napětí tahové a v bodě 2 tlakové. Pro posouzení pevnosti je nutno vybrat vhodnou hypotézu pevnosti. Volba závisí především na vlastnostech materiálu, ze kterého je tyč konstruována. Hypotézy pevnosti již byly probrány v předmětu Pružnost a pevnost 1. V této kapitole je uvedeno pouze shrnutí již probrané látky o hypotézách pevnosti. Pro houževnaté materiály bylo pro Guestovu, Beltramiho a HMH hypotézu stanoveno redukované napětí plynoucí ze společné pevnostní podmínky ve tvaru kde hodnoty σ red = σ o 2 + α 2 τ k 2 σ D, (10.5) α 2 = σ 2 D 2 τ D (10.6) pro uvedené hypotézy udává následující tabulka (viz Tab. 10.1). Tab. 10.1 Hypotézy pevnosti Hypotéza α 2 = σ 2 D 2 τ D Guestova 4 Beltramiho 2(1 + μ) = E G HMH 3 Protože v podmínce pevnosti vystupují σ o a τ k v kvadrátu, platí uvedené závěry pro body 1 i 2 (viz. Obr. 10.1). Pro křehké materiály je k dispozici Rankinova, St. Venantova a Mohrova hypotéza. Jejich pevnostní podmínky jsou uvedeny v následující tabulce (viz Tab. 10.2).

OHYB A KROUCENÍ 72 Tab. 10.2 Hypotézy pevnosti Hypotéza Pevnostní podmínka Rankin Bod 1 σ red = σ 1 σ Dt σ o 2 + σ o 2 2 + τ k 2 = 1 2W o M o + M o 2 + M k 2 σ Dt σ 2 σ Dd Rankin Bod 2 σ o 2 σ o 2 2 + τ k 2 = 1 2W o M o + M o 2 + M k 2 σ Dd σ red = 1 2W o M o + M o 2 + M k 2 σ Dd St. Venant Bod 1 σ red = σ 1 μσ 2 σ Dt σ red = 1 μ 2 σ o + 1 + μ 2 σ o 2 + 4τ 2 k σ Dt σ red = 1 W o 1 μ 2 M o + 1 + μ 2 M o 2 + M k 2 σ Dt St. Venant Bod 2 σ 2 μσ 1 σ Dd σ red = 1 μ 2 σ o + 1 + μ 2 σ o 2 + 4τ 2 k σ Dd σ red = 1 W o 1 μ 2 M o + 1 + μ 2 M o 2 + M k 2 σ Dd Mohr Bod 1 κ = σ Dt σ Dd, σ red = σ 1 σ 2 κ σ Dt σ red = 1 κ 2 σ o + 1 + κ 2 σ o 2 + 4τ 2 k σ Dt σ red = 1 W o 1 κ 2 M o + 1 + κ 2 M o 2 + M k 2 σ Dt Mohr Bod 2 κ = σ Dt σ Dd, σ red = σ 2 σ 1 κ σ Dd σ red = 1 κ 2 σ o + 1 + κ 2 σ o 2 + 4τ 2 k σ Dd σ red = 1 W o 1 κ 2 M o + 1 + κ 2 M o 2 + M k 2 σ Dd

TAH (TLAK) A KRUT, OHYB A SMYK 73 11. TAH (TLAK) A KRUT, OHYB A SMYK OBSAH KAPITOLY: kombinace tahového (tlakového) namáhání a kroucení, kombinace ohybového a smykového namáhání. MOTIVACE: V poslední přednášce, která se bude týkat kombinovaného namáhání, bude probráno složené namáhání z tahu (tlaku) a krutu, a také složené namáhání z ohybu a smyku. Analýzou namáhání kombinovaného z tahu (tlaku) a krutu lze pozorovat určitou analogii s kombinací ohybu a krutu. CÍL: ohyb a smyk pro obdélníkový průřez, ohyb a smyk pro kruhový průřez.

TAH (TLAK) A KRUT, OHYB A SMYK 74 1. TAH (TLAK) A KRUT U složeného namáhání tahu (tlaku) a kroucení vzniká v jednotlivých bodech namáhané tyče s kruhovým průřezem rovinná napjatost, shodná s napjatostí u kombinace ohyb a kroucení. Osová síla F vyvolá v celém průřezu rovnoměrně rozložené napětí σ t. Největší smyková napětí od krouticího momentu M k jsou ve všech obrysových bodech průřezu (viz Obr. 11.1). Je zřejmé, že pro kruhový průřez platí vztahy Obr. 11.1 Rozložení napětí v průřezu σ t = F S = 4 F π d 2, (11.1) τ k = M k = 16 M k W k π d 3. (11.2) Obdobně, jak tomu bylo u ohybu a kroucení, je pro posouzení pevnosti nutno vybrat vhodnou hypotézu pevnosti. Ve vztazích pro redukovaná napětí je však nutno zaměnit ohybové napětí za tahové (tlakové). U tahového napětí se využijí vztahy pro bod 1, u tlakového napětí pro bod 2 (viz Obr. 11.1). 2. OHYB A SMYK Složené namáhání ohyb a smyk je u nosníků s proměnným průběhem ohybového momentu, tedy v místech, kde není posouvající síla nulová. Protože rozložení normálového napětí od ohybového momentu a smykového napětí od posouvající síly je závislé na tvaru průřezu, je třeba redukovaná napětí pro jednotlivé hypotézy stanovovat pro konkrétní průřez. Jako příklad bude uvedeno stanovení redukovaných napětí pro obdélníkový a kruhový průřez. 2.1 OBDÉLNÍKOVÝ PRŮŘEZ Průběh ohybových napětí σ o od ohybového momentu M o a smykových napětí τ xz od posouvající síly T pro obdélníkový průřez je uveden na obrázku (viz Obr. 11.2). Velikost těchto napětí se stanoví z rovnic σ o (z) = M o z, (11.3) J y

TAH (TLAK) A KRUT, OHYB A SMYK 75 τ xz (z) = 3 T 2 z 1 2 2 b h h. (11.4) Pro houževnaté materiály je redukované napětí a podmínka pevnosti dána obdobnou rovnicí jako v předchozích dvou případech kombinovaného namáhání σ red = σ o2 (z) + α 2 τ 2 xz (z) σ D. (11.5) Obr. 11.2 Průběhy napětí Podle vzájemné velikosti σ o a τ xz je nutno rozlišit dva průběhy σ red (viz Obr. 11.2). Z průběhu těchto napětí je zřejmé, že největší redukované napětí je u obdélníkového průřezu v krajních vláknech namáhaných tahovým normálovým napětím (bod 1) nebo ve vláknech na neutrální ose (bod 2). Je-li největší redukované napětí v bodě 1, je τ xz (h 2) = 0, takže σ red (h 2) = σ2 omax + 0 = σ omax = M o σ W D. (11.6) o Ve vláknech neutrální osy (bod 2) je σ o (0) = 0 a redukované napětí je σ red (0) = 0 + α 2 τ 2 xz (0) = ατ max = α 3 T 2 b h σ D. (11.7) Z těchto rovnic lze definovat vzájemný poměr ohybového momentu a posouvající síly. Hraniční hodnota plyne z podmínky, že se obě hodnoty navzájem v absolutní hodnotě rovnají M o = 3 T α W o 2 b h, (11.8) odkud Je-li M o = α 4 T h. (11.9) M o > α 4 T h (11.10) rozhoduje ohybové namáhání, naopak je-li M o < α 4 T h (11.11)

TAH (TLAK) A KRUT, OHYB A SMYK 76 rozhoduje smykové namáhání od posouvající síly. Pro křehké materiály se doporučuje vždy stanovit průběh redukovaného napětí v závislosti na souřadnici z. Například pro Mohrovu hypotézu jsou pro různé poměry M o a T a pro κ = σ Dt (11.12) σ Dd uvedeny průběhy dvou redukovaných napětí (viz Obr. 11.3) plynoucí z pevnostní podmínky σ red = 1 κ 2 σ o(z) + 1 + κ 2 σ o 2 (z) + 4τ 2 xz (z) σ D. (11.13) Obr. 11.3 Průběhy napětí Pro dostatečně velký ohybový moment jsou nejvíce namáhána krajní vlákna s tahovým normálovým napětím v místě z = h/2 (viz Obr. 11.3 průběh σ red2 ), kde je σ red (h 2) = 1 κ 2 σ omax + 1 + κ 2 σ 2 omax + 0 = σ omax = M o. (11.14) W o V případě převládajícího namáhání od posouvající síly se nachází σ redmax v intervalu (0, h 2) (viz Obr. 11.3 průběh σ red1 ). Pro získání názoru na průběh σ red (z) jsou dále stanoveny hodnoty σ red (0) a σ red ( h 2). Pro vlákno na neutrální ose je σ o (0) = 0, takže σ red (0) = 1 + κ 2 4τ xz 2 (0) = (1 + κ)τ max = (1 + κ) 3 T 2 b h. (11.15) Pro z = h/2 je τ xz ( h 2) = 0, potom σ red ( h 2) = 1 κ 2 M o + 1 + κ W o 2 Obdobně lze postupovat i u dalších hypotéz pevnosti. 2.2 KRUHOVÝ PRŮŘEZ Průběhy normálových a smykových napětí jsou vyjádřeny vztahy M o = κ M o. (11.16) W o W o σ o (z) = M o J y z, (11.17)

TAH (TLAK) A KRUT, OHYB A SMYK 77 τ xz (z) = 4 T 3 π r kde r je poloměr příčného průřezu. Z uvedených výrazů je zřejmé, že průběh redukovaného napětí má obdobný charakter jako u obdélníkového průřezu. Pro houževnaté materiály bude největší redukované napětí opět v krajních vláknech, nebo v neutrální ose. Proto se pevnostní podmínka stanoví pro obě místa. Pro dimenzování se potom volí větší hodnota průměru. Hraniční podmínka se stanoví opět porovnáním redukovaných napětí v krajním vlákně a v neutrální ose. Bude tedy platit M o odkud W o 2 1 2 z h 2, (11.18) = 4 T α 3 π r 2, (11.19) M o = α 3 T r. (11.20) Pro křehké materiály se doporučuje vždy stanovit průběh redukovaného napětí v závislosti na souřadnici z a kontrolu provádět pro místo s největším redukovaným napětím.

KŘIVÉ NOSNÍKY 78 12. KŘIVÉ NOSNÍKY OBSAH KAPITOLY: rozdělení křivých nosníků. MOTIVACE: V technické praxi se často setkáváme s případy, kdy při výpočtu pevnosti a tuhosti lze součásti (konstrukce) nahradit křivými nebo lomenými nosníky. Běžně se s těmito úlohami setkáváme ve stavitelství při výpočtech obloukových konstrukcí. Ve strojírenství můžeme mimo jiné považovat za křivé nosníky například jeřábové háky, řetězové články, pístní kroužky nebo také hodinová pera. CÍL: slabě zakřivené nosníky, silně zakřivené nosníky, nosníky vnitřně staticky neurčité.

KŘIVÉ NOSNÍKY 79 1. ÚVOD V konstrukci strojů je často zapotřebí vypočítat namáhání nosníků, jejichž osa není přímá, ale zakřivená. Tvar křivých nosníků je určen tvarem jejich střednice a tvary průřezů v jednotlivých bodech střednice. Ke křivým nosníkům lze počítat i lomené nosníky. Lomené nosníky jsou konstrukce složené ze dvou nebo více nosníků, které se vzájemně stýkají ve styčnících. Spojení ve styčníku se předpokládá dokonale tuhé, což umožňuje přenášet zatížení a ohybové momenty. 2. ROZDĚLENÍ KŘIVÝCH NOSNÍKŮ Křivé nosníky, v literatuře také označovány jako křivé pruty, rozdělujeme podle celkové geometrie na slabě zakřivené (tenké) a silně zakřivené (tlusté). Křivý nosník se pokládá za tenký, je-li výška jeho profilu h v rovině střednice poměrně malá vzhledem k poloměru zakřivení střednice R (R h 5). Pro poměr R/h < 5 budeme tedy předpokládat, že se jedná o tlustý křivý nosník. Bude-li poměr R/h < 1 nelze tělesa uvažovat jako silně (ani slabě) zakřivené nosníky (viz Obr. 12.1). Obr. 12.1 Přehled zakřivených nosníků Dále jsou rozdělovány podle uspořádání na rovinné a prostorové křivé nosníky (viz Obr. 12.2). Obr. 12.2 Rovinný (vlevo) a prostorový (vpravo) křivý nosník

KŘIVÉ NOSNÍKY 80 Nebo se dělí podle uložení na staticky určité a neurčité (viz Obr. 12.3). Staticky neurčité pruty mohou být dále vnitřně staticky neurčité (rámy), anebo neurčité vlivem uložení. Obr. 12.3 Staticky určitý (vlevo) a neurčitý (vpravo) křivý nosník 3. NOSNÍKY VNITŘNĚ STATICKY NEURČITÉ (RÁMY) Je-li střednice nosníku sestavena z přímých, případně zakřivených částí, které tvoří uzavřenou rovinnou křivku, jedná se o uzavřený křivý nosník, někdy nazýván rám. Rovinný rám má tři vnitřní neznámé účinky (F x, F y, a M z resp. N, T a M o ), je tedy obecně třikrát staticky neurčitý. Prostorový rám má šest vnitřních neznámých účinků (F x, F y, F z, M x, M y a M z ) a je obecně šestkrát staticky neurčitý. Vnitřní statická neurčitost se odstraňuje částečným uvolněním. U uzavřeného nosníku provádíme částečné uvolnění obecně tolika řezy, aby vznikl otevřený nosník. Vazbová podmínka pak vyjadřuje zachování spojitosti a hladkosti střednice prutu v řezech vedených mimo tuhé zlomy. Což znamená, že průhyby w a úhly natočení φ uvolněných konců střednice musí být nulové. Z těchto podmínek se určí složky výsledných vnitřních účinků vložené do uvolňovacího řezu. Volný uzavřený nosník je vhodné částečně uvolnit zavedením vetknutí (viz Obr. 12.4). Realizace vazbových podmínek, vyjadřujících nulovost průhybu resp. úhlu natočení střednice v místě řezu, je naprosto stejná. Obr. 12.4 Metoda řezu na volném uzavřeném nosníku Jednoduché namáhání se u zakřivených nosníků prakticky nevyskytuje a téměř vždy se jedná o kombinované namáhání. Řešit zakřivený nosník, který je namáhaný kombinovaně, jako případ jednoduchého namáhání je možné, pokud některá složka výsledných vnitřních účinků je dominantní a ostatní tedy nepodstatné.

KŘIVÉ NOSNÍKY 81 Často se setkáváme s nosníky, které jsou symetrické geometricky, materiálově nebo vazbově a jsou symetricky nebo antisymetricky zatíženy. Nutno poznamenat, že osa symetrie vzhledem k tvaru křivého nosníku a jeho zatížení snižuje statickou neurčitost o jeden stupeň.

SLABĚ ZAKŘIVENÉ NOSNÍKY 82 13. SLABĚ ZAKŘIVENÉ NOSNÍKY OBSAH KAPITOLY: slabě zakřivené nosníky. MOTIVACE: V návaznosti na předchozí výklad, který se týkal rozdělení křivých nosníků, se tato přednáška bude zabývat pouze slabě zakřivenými nosníky. Pro výpočet úlohy slabě zakřiveného nosníku lze uvážit zjednodušující předpoklady, vycházejí z teorie pro přímé nosníky. Proto je řešení úlohy tenkého nosníku výrazně jednodušší než řešení tlustého nosníku. CÍL: odvození vztahu pro výpočet ohybového napětí, řešení průhybu slabě zakřiveného nosníku analytickou metodou, řešení průhybu slabě zakřiveného nosníku pomocí Castiglianovy metody.

SLABĚ ZAKŘIVENÉ NOSNÍKY 83 Při výpočtu napětí slabě zakřivených nosníků postupujeme stejně jako při výpočtu nosníků přímých (viz Obr. 13.1), případně lomených. Obr. 13.1 Přímý nosník (nahoře) a slabě zakřivený nosník (dole) Pokud je totiž nosník tenký, lze s dostatečnou přesností předpokládat, že ohybové napětí je po výšce rozloženo lineárně (viz Obr. 13.2). Obr. 13.2 Lineární rozložení ohybového napětí Smykové napětí počítáme pomocí Žuravského věty a k výpočtu užíváme rovněž stejného postupu jako u nosníků přímých. Rovněž posuvy jednotlivých bodů slabě zakřivených nosníků lze stanovit na základě rovnic odvozených pro přímé nosníky. 1. ODVOZENÍ VZTAHU PRO VÝPOČET OHYBOVÉHO NAPĚTÍ Z podobnosti trojúhelníků (viz Obr. 13.1) vypočteme osovou deformaci ε r ds = z Δds Δds ds = z r = ε(z). (13.1)

SLABĚ ZAKŘIVENÉ NOSNÍKY 84 Za předpokladu platnosti Hookova zákona určíme ohybové napětí σ o jako funkci souřadnice z E modul pružnosti v tahu Dosazením za ε dostaneme σ o (z) = E ε(z). (13.2) σ o (z) = E z r. (13.3) V této rovnici neznáme poloměr křivosti r. Využijeme nyní statickou podmínku ekvivalence vnitřních sil v průřezu z σ o (z)ds = E r z2 ds = E r J = (S) (S) M o. (13.4) J osový moment plochy příčného řezu Z této rovnice získáme hledaný vztah mezi poloměrem křivosti a ohybovým momentem ve tvaru 1 r = M o E J. (13.5) Po dosazení do rovnice dostáváme výsledný vztah pro výpočet ohybového napětí σ o (z) = ± M o J z. (13.6) Maximální ohybové napětí σ omax vzniká v nejvzdálenějších místech od neutrální osy průřezu kde W o je modul průřezu v ohybu. σ omax = ± M o J z max = ± M o W o, (13.7) 2. PRŮHYB SLABĚ ZAKŘIVENÉHO NOSNÍKU 2.1 ANALYTICKÁ METODA Postupnou integrací diferenciální rovnice průhybové čáry w (x) = ± M o(x) E J (13.8) dostáváme vztahy pro úhel natočení φ a průhyb w nosníku v rovině ohybu v obecném místě střednice x

SLABĚ ZAKŘIVENÉ NOSNÍKY 85 w (x) = φ(x) = ± M o(x) E J dx + C 1, (13.9) w(x) = ± M o(x) E J dx + C 1x + C 2. (13.10) Integrační konstanty C 1 a C 2 určíme z okrajových podmínek nebo podmínek spojitosti. Jedná se o podmínky kinetické (deformační). 2.2 CASTIGLIANOVA METODA V řadě úloh je jako prostředek k řešení využívána deformační energie společně s předpokladem platnosti zákona zachování energie. Na základě Bernoulliho lineární teorie rozložení ohybových napětí byl odvozen vztah pro celkovou deformační energii akumulovanou v nosníku délky l. Celková deformační energie prvku slabě zakřiveného nosníku potom bude U = U M + U N + U T. (13.11) U M je potenciální energie deformace od ohybového momentu M o U N je potenciální energie deformace od normálové síly N U T je potenciální energie deformace od posouvající síly T Jednotlivé složky potenciální energie deformace jsou U M = 1 2EJ M o 2 ds, (13.12) (l) U N = 1 2ES N2 ds, (13.13) (l) U T = β 2GS T2 ds. (13.14) (l) β součinitel nerovnoměrného rozložení smykového napětí v příčném průřezu, pro čtvercový průřez je β = 6/5 a pro kruhový průřez je β = 32/27 S obsah plochy průřezu G modul pružnosti ve smyku U slabě zakřivených nosníků lze obdobně jako u přímých nosníků uvažovat pouze potenciální energii deformace od ohybového momentu U M. Současně platí Castiglianovy věty: 3. Parciální derivace deformační energie U M akumulované v libovolném tělese podle obecného silového účinku působícího v určitém bodě tohoto tělesa se rovná průhybu (úhlu natočení) v místě a směru působícího silového účinku

SLABĚ ZAKŘIVENÉ NOSNÍKY 86 w = U M F a φ = U M M. (13.15) Pokud je nutno vypočítat průhyb w, je obecným silovým účinkem síla. Je-li obecným silovým účinkem moment, tak se spočítá úhel natočení φ. 4. Staticky neurčitá veličina X i minimalizuje deformační energii U M akumulovanou v soustavě U M X i = 0 (platí pro soustavy neohřáté a nepředepjaté). (13.16)

SILNĚ ZAKŘIVENÉ NOSNÍKY 87 14. SILNĚ ZAKŘIVENÉ NOSNÍKY OBSAH KAPITOLY: silně zakřivené nosníky. MOTIVACE: Přednáška je zaměřena na problematiku silně zakřivených nosníků. Obecně lze říci, že řešení úlohy tlustého nosníku je náročnější než řešení tenkého nosníku. Avšak při zavedení určitých zjednodušení je možno řešit různorodé úlohy z technické praxe, jako je například hák jeřábu, oko zvedacího řetězu, atd. CÍL: odvození vztahu pro výpočet ohybového napětí, výpočet polohy neutrální osy pro kruhový průřez, výpočet polohy neutrální osy pro obdélníkový průřez, potenciální energie deformace, řešení průhybu silně zakřiveného nosníku Castiglianovou metodou.