Plasticita V / PLASIIA A REEP PLASIIA V Zbyněk k Hrubý zbynek.hruby hruby@fs.cvut.cz
Plasticita V / Čistá asticita vs. čistá asticita čistá asticita: čistá asticita: prou nestlačitné tekutiny, o osažení meze kluzu absolutně tuhé
Plasticita V / Hyperasticita H H H Lagrange H + H H H + H astigliano D ij ij D H U S H U S Hmholtzova (volná) energie vnitřní energie termoynamická teota entropie ormační energie je Hmholtzova funkce H komementární energie v lineární asticitě: H H
Plasticita V 4/ Postuláty (Drucker 95) (Iljušin 96)
Plasticita V 5/ Druckerův a Iljušinův postulát W Drucker ( ) : integrál je inován přes uzavřený cyklus napětí ) při přitěžování: : > ) práce vykonaná externími silami během uzavřeného cyklu napětí je nezáporná (nulová při čistě astických ormacích, nenulová při astoastických ormacích) neatí obecně (ne pro změkčující materiály, ) W Iljušin : integrál je inován přes uzavřený cyklus ormace atí obecně
Plasticita V 6/ Algoritmizace J -teorie
Plasticita V 7/ aticový zápis J -teorie vektorový zápis tenzorů napětí a ormace (Voigtova notace): zz [,,,,, ] [,,, γ, γ, γ ] xx yy zz xy yz xz xx yy xy yz xz xx yy zz xy yz xz γ γ γ poobně i astická a astická ormace, eviátory napětí a eviátory ormací (ckové, astické, astické) xx yy zz xy yz xz Pozor smykové složky ormace vyjářeny jako zkosy (vojnásobky komponenty tenzoru)
Plasticita Plasticita V 8/ ( )( ) ( ) ( ) ( ) + E zápis lze snano ovoit z tvaru Hookeova zákona: ij ij kk ij µ δ λ + ( ) Hookeův zákon v oblasti astoasticity (přírůstková pooba): aticový zápis J -teorie
Plasticita V 9/ aticový zápis J -teorie eviátor napětí: S [ S S, S, S, S, S ] xx, yy zz xy yz xz ruhý invariant eviátoru napětí: ( S + S + S + S + S S ) J + xx yy zz xy yz xz (,, ) iag,,, J S S
Plasticita V / aticový zápis J -teorie kombinované zpevnění pomínka asticity (von ises), kombinované zpevnění: ( S α' ) ( S α' ) ( ( ) ( S α' ) ( S α' ) ( ( ) k W k strain harening work harening Hookeův zákon: ( ) asociovaný zákon tečení: backstress např. pole Pragera: α' λ
Plasticita Plasticita V / ' ' + + + α α pomínka konzistence: + λ λ vyjáření astického multiikátoru z pomínky konzistence: aticový zápis J -teorie kombinované zpevnění
Plasticita Plasticita V / + λ aticový zápis J -teorie kombinované zpevnění ( ) ep + ep
Plasticita V / Řešení astoastické úlohy metoa konečných prvků
Plasticita V 4/ KP algoritmus výpočtu astoastické úlohy v čase t je známo u t, t, t, t (posuvy, ormace, napětí, vektor zátěžných sil) v čase t+ t je známo t+ t, neznámo u t+ t, t+ t, t+ t t vektor vnějších sil Ω B t Ω R vektor vnitřních sil t t R t rovnováha t + t Ω B t + t Ω R t + t R t + t t + t K u t K u astoasticita, statika (kvazistatika)
Plasticita V 5/ KP algoritmus výpočtu astoastické úlohy ) vstup t+ t, výpočet t+ t - t ) výpočet u n z K t u n ) výpočet u n u n +u t, poměrné ormace a přírůstku poměrné ormace n 4) výpočet n, je potřeba integrovat konstituční vztahy (k n určit n ), obvykle pomocí subinkrementace, aktualizace napětí n t + n 5) sestavení vektoru vnitřních sil Ω B n Ω R n 6) kontrola, za R n t+ t, poku jsou sněny pomínky konvergence, aktualizace vektoru posuvů u t+ t u n a vektor napětí t+ t n, poku nejsou sněny pomínky konvergence, počítá se alší u n+ v ) a cý cyklus se opakuje 7) poku ani po limitním počtu iterací proceura nezkonverguječi začne ivergovat, volí se menší krok (nižší t+ t ) a cý cyklus se o ) opakuje
Plasticita V 6/ volba t: t+ t (t+ t) výpočet u n z K t u n u n u t + u n DO IE,NNE NNE počet prvků v mou KP algoritmus vývojový iagram DO IG,NIG u n (IE, IG) n (IE, IG), n t, rozělení na m(ig) kroků, δ n n /m END IE DO I,m δ n ep δ n NUERIKÁ INEGRAE n n +δ n END I R n R n +[wb n ] IE,IG END IG kontrola R n t+ t kontrola limit iterací? NIG počet integračních boů aného prvku IE ano ano integrace konstitučních vztahů u t+ t u n, t+ t n jiná volba t: t+ t u n u n + u n+
Plasticita V 7/ KP algoritmus výpočtu astoastické úlohy síla ná Newtonova-Raphsonova metoa: moifikovaná Newtonova-Raphsonova metoa: síla t + t R () t + t t + t R () t + t t + t R () t + t t + t R () t + t t + t K K () t + t () t + t t + t K () t + t t t () u () u () u () u ut ut + t proloužení ut ut + t proloužení BGS (Broyen-letcher-Golfarb-Shanno) metoa Arc-length metoa (metoa élky oblouku) Bathe, K.-J. inite Element Proceures. Prentice Hall, 996.
Plasticita V 8/ Numerická integrace EXPLIINÍ pomíněně stabilní IPLIINÍ nepomíněně stabilní integrace pohybových rovnic: Ku && u+ u& + Ku imicitní ABAQUS Stanar exicitní ABAQUS Exicit integrace konstitučních vztahů: ep n n imicitní, exicitní, přípaně různě kombinované oba přístupy integrace vičin po ementu: (ani exicitní ani imicitní) u kažé úlohy (i astické statické) určení matice tuhosti, pravých stran o tlaku apo.
Plasticita V 9/ Příkla numerické metoy integrace konstitučních vztahů v oblasti astoasticity (uveeno ve Voigtově notaci) ( n ep n δ n ep δ n )
Plasticita Plasticita V / Exicitní numerická integrace isotropní zpevnění ( ) ( ) k strain harening pomínka asticity: + κ pomínka konzistence: astický multiikátor: + κ λ
Plasticita Plasticita V / Exicitní numerická integrace isotropní zpevnění + κ konstituční vztah v iferenciální poobě: m n n δ n n n δ κ δ + konstituční vztah v iferenční poobě:
Plasticita V / Exicitní numerická integrace isotropní zpevnění n n n n + δ n + δ n e facto opřená Eulerova integrace schéma je pomíněně stabilní přesnost je silně závislá na jemnosti inkrementace pomínka asticity je sněna pouze na začátku kroku, ne na jeho konci, což je vký zroj chyby praktické použití jen při vice jemné inkrementaci