Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Transkript

1 Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte integrál y d(, y), kde Ω Objekt Ω načrtněte do obrázku! Ω = { (, y) R 2 :, y y 4 1 ( 4 + y 4 ) y 4}. ➋ (10 bodů) Pro funkci u = u(, y, z) zadanou implicitně rovnicí u 4 + u 3 yu 2 + yzu = 2 nalezněte totální diferenciál v bodě a = (1, 1, 1). Nalezněte všechna řešení této úlohy! ➌ (5 bodů) Ukažte, že k integrandu n e n cos(n) neeistuje žádná integrabilní majoranta g() L (0, + ) nezávislá na indeu n N. Kterou větu lze k tomuto účelu s výhodou využít? ➍ (8 bodů) Nechť a, b, c > 0 jsou pevně zvolené parametry. Nalezněte lokální etrémy funkce na množině f (, y, z) = 2 a 2 + y2 b z c G = { (, y, z) E 3 : > 0 y > 0 2 y 2 + z = 0 }. ➎ (8 bodů) Na soustavě je zadána míra F(X) tak, že F({, }) = 9, F({ }) = 4, H = {, {, }; { }; {,, }; {, }; {,,,, } }, F(X) není na H úplná. Nechť D je minimální okruh generovaný soustavou H a m(x) je rozšíření míry F(X) z H na D. Jakou míru má prezident v D? Které množiny leží v D, ale neleží v H? Jakou mají míru? Na závěr vypočítejte vnitřní a vnější míru množiny {, } odvozenou od míry m(x) : D R. Jaké vlastnosti má soustava H? Vyberte ty nejzajímavější. Nalezněte Maclaurinovu řadu funkce h(, y) = y 4 2 y 2 a poté do obrázku pečlivě načrtněte příslušný obor konvergence.

2 Zkoušková písemná práce č. 2 z předmětu 01MAB4 pondělí 1. června 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte: n 2 2 sin(β) lim n 0 (1 + n 2 2 ) e d ➋ (7 bodů) Podle prvního konstrukčního kroku definice Lebesgueova integrálu vypočítejte (L ) + 2 dµ(), 2,2 je-li Lebesgueova míra µ(x) zadána vytvořující funkcí ϕ() = 2( 1)... > 2, Podrobně rozepište a specifikujte značení z definice. ➌ (3 body) Co je kritický bod (v teorii implicitních funkcí)? V čem je výhodné, když bod λ není kritickým bodem? ➍ (11 bodů) Vyšetřete lokální etrémy funkce z, jež je zadána rovnicí Omezte se na případ, kdy z > 0 a současně u > 0. z 3 + 3uz y u y + 2y 2 = 37. ➎ (9 bodů) Vypočítejte kde A ( + 2y 1) 2 e 2y d(, y), A = { (, y) R 2 : 2 + 4y 2 + 4y 2 + 8y 1 }. ➏ (10 bodů) Řešte parciální diferenciální rovnici 3 3 y 3 2 f 2 + y5 2 f y 2 2y4 2 2 f y + f ( 8y 8 3y 3 2) + f ( y 4 + 8y 9) = 0 y K řešení užijte transformace u = y/, v = y 3. Integrační konstanty ve výpočtech volte jako číselné.

3 Zkoušková písemná práce č. 3 z předmětu 01MAB4 pondělí 8. června 2015, 9:00 11:00 Nalezněte lokální etrémy funkce g(, y, z) = yz 2 9y na množině G = { (, y, z) E 3 :, y, z > y 2 z 4 = 0 }. ➋ (7 bodů) Nechť a, b, c > 0 jsou pevně zvolené parametry. Nalezněte obecnou rovnici tečné roviny k ploše 3 a 3 + y3 b 3 z3 c 3 = 1 v jejím bodě ( 0, y 0, z 0 ). Upravte do elegantního tvaru. Diskutujte rozsah platnosti výsledku. ➌ (5 bodů) Heineovou větou rozhodněte, zda má funkce 2( + 5) + y(+2)... (, y) ( 2, 0), y h(, y) = 2 +(+2) (, y) = ( 2, 0), limitu v bodě ( 2, 0). Své tvrzení podrobně komentujte! ➍ (12 bodů) Nechť a, b, c > 0 jsou parametry. Užitím věty o derivaci integrálu s parametrem vypočtěte určitý integrál 3 ) (arctg a 2 arctg d. b c 0 ➎ (8 bodů) Vypočítejte (L ) dµ(), je-li míra µ(x) zadána vytvořující funkcí R ( ϕ() = Θ( 1) 1 ) 1, Γ( + 1) kde Γ() je tzv. gamma-funkce, pro jejíž celočíselné hodnoty platí jednoduchý vztah Γ(n + 1) = n! ➏ (8 bodů) Nechť a > 0 je zvoleno pevně. Pro množinu W = { (, y, z) E 3 : y = a 2 + z 2 = 4az } vypočtěte integrál W z 2 y dµ c (, y, z).

4 Zkoušková písemná práce č. 4 z předmětu 01MAB4 úterý 16. června 2015, 9:00 11:00 ➊ (7 bodů) Vyšetřete globální etrémy funkce f (, y) = 2y(1 2) 2 5y 2. Čím je garantováno, že funkce globální etrémy jistě má? ➋ (10 bodů) Vypočtěte kde Ω = { (, y, z) E 3 :, y, z > y 4 + z 4 = 1 }. Ω (yz, z, y) dµ s (, y, z), ➌ (8 bodů) Pro a > 0 a b R vypočítejte: ( lim 1 b ) n e a2 d. n n ➍ (6 bodů) Nechť funkce z obrázku φ () je vytvořující funkcí míry µ σ (X) : S 1 R. Vypočtěte: µ σ ( 0, 2) ), µσ ( (0, 2) ), µσ ( {0} ) a µσ ( 0, 2 ). ➎ (9 bodů) Za pomocí substituce ξ = y, η = y řešte parciální diferenciální rovnici 2 2 u 2 y2 2 u y 2 + ( y 2) ( u ) y u = 0. y ➏ (10 bodů) Zapište konkrétní podobu Hessovy matice v bodě ( 0, y 0 ) = ( 17, 4) pro funkci z = z(, y) definovanou rovnicí y 2 + 5z 2 + 4yz 2 10y 4z = 3. Uvažujte pouze ta řešení, pro něž je funkční hodnota funkce z = z(, y) v bodě ( 0, y 0 ) = ( 17, 4) celočíselná.

5 Zkoušková písemná práce č. 5 z předmětu 01MAB4 pondělí 29. června 2015, 9:00 11:00 Nalezněte lokální etrémy funkce na množině f (, y, z) = 8 sin() sin(2y) sin(3z) M = { (, y, z) E 3 : > 0 y > 0 z > y + 6z = π }. ➋ (7 bodů) Vypočtěte je-li µ(x) generována vytvořující funkcí ϕ() = 1,3) {4,5} dµ(), ( 1) , > 4. ➌ (10 bodů) Nechť a, b > 0 jsou pevně zvolené parametry. Vypočtěte integrál yz dµ s (, y, z), S kde S = { (, y, z) E 3 : ( 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( 2 y 2 ) 0 < z < b }. ➍ (9 bodů) Transformujte parciální diferenciální výraz pro funkci g(, y, z) do sférických souřadnic. g ➎ (5 bodů) Vyslovte a dokažte větu o vzorci pro výpočet parciální směrové derivace. Vypočítejte první a poslední složku těžiště tělesa } E = {(, y, z, w) E 4 :, y, z, w > 0 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 + w2 d 2 1.

6 Zkoušková písemná práce č. 6 z předmětu 01MAB4 úterý 7. července 2015, 9:00 11:00 ➊ (9 bodů) Vypočtěte hodnotu integrálu H(β) = 0 e 2 cos(β) d v závislosti na hodnotě parametru β R. Návod: Zadaný integrál derivujte podle parametru (se všemi náležitostmi) a nově získaný integrál upravte metodou per partes tak, abyste získali diferenciální rovnici pro funkci H(β). ➋ (8 bodů) Vypočítejte integrál U a + y b + z c d(, y, z), kde U = { ( (, y, z) R 3 :, y, z 0 a + y b + z ) 2 c a y }. b ➌ (4 body) Dokažte, že do borelovského uzávěru soustavy D = {X R : X = X } patří množina W = 1, 7. ➍ (13 bodů) Pro funkci z = z(, y) zadanou implicitně rovnicemi 2 + y 2 + z u = 22, z 3 2z 2 y 4yz y 2 = 0 vypočítejte hodnotu div(grad(z)) v bodě a = (1, 1). Návod: výraz div(grad(z)) nejprve upravte do čitelnější podoby. ➎ (8 bodů) Vyšetřujte lokální etrémy funkce na množině R + R +. g(, y) = y y2 3 Transformujte parciální diferenciální výraz pro funkci g(, y, z) do souřadnic g y = ϱ cos(ϑ) cos 2 (ϕ), y = ϱ cos(ϑ) sin 2 (ϕ), z = ϱ sin(ϑ).

7 Zkoušková písemná práce č. 7 z předmětu 01MAB4 pondělí 10. srpna 2015, 9:00 11:00 ➊ (9 bodů) Vyšetřete lokální etrémy funkce z = z(, y), která je zadána implicitně rovnicí Numerické chyby se v tomto příkladě netolerují y + 4y + 5y 2 3z 2z 6yz + 3z 2 = 0. ➋ (5 bodů) Rozhodněte, zda má funkce g(, y) = 5( + 1) + limitu v bodě ( 3, 0). Užijte korektní symboliky! y( + 3) y 2 + ( + 3) 2. ➌ (8 bodů) Nechť je Lebesgueova míra generována vytvořující funkcí ϕ() = , > 2. Korektně vypočtěte µ σ (S ), kde S = 1, 3) \ {2}. Neopomeňte zdůvodnit, proč µ σ (S ) eistuje. ➍ (10 bodů) Užitím věty o derivaci integrálu s parametrem vyčíslete 0 e cos2 () cos 2 (β) Hodnoty všech pomocných integrálů vypočtěte! Kde se při řešení uplatňuje věta o měřitelnosti ekvivalentních funkcí? d. ➎ (9 bodů) Metodou Lagrangeových multiplikátorů stanovte všechny etrémy funkce f (, y, z) = 2y(z + 2) ležící na čtvrtině eliptického paraboloidu } P = {(, y, z) E 3 :, y > y z = 0. Vypočítejte třídimenzionální míru tělesa ( T = (, y, z) E3 : a 3/2 + y b 3/2 ) 7/3 < a 3/2 y b 3/2 0 < z < c. Přitom a, b, c > 0 nechť jsou pevně zvolené parametry.