7. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH A KVADRATICKÝCH ROVNIC 7.1. Řeš pro reálné neznámé a y soustavu lineárních rovnic: = 5 = 1 = 5 / 5 = 1 / 3 1 15y = 15 1+ 15y = 3 31 = 155 = 5 {[ ] K = 5; 5 = 5 / 7 = 1 / 14 1y = 175 14 1y = 31y = 155 y = 5 Soustavu lineárních rovnic můžeme algebraicky řešit dvěma základními způsoby. 1. způsob sčítací metoda. způsob dosazovací metoda V uvedeném řešení využíváme sčítací metodu. Rovnice v zadané soustavě násobíme tak, aby se po následném sečtení rovnic jedna neznámá vyrušila. 7.. Řeš pro reálné neznámé, y a z soustavu 3 lineárních rovnic: 3+ 5y 4z = 1 11 y z = 4 + 5z 3 + 5y 4z = 1 11 y z = 4 + 5z z = 11 y 4 3+ 5y 4 11 y 4 = 1 + 5 11 y 4 41+ y = 15 53 y = 7 41 15 y = 41 15 53 = 7 1= 1 = 1 41 15 y = y = z = 11 4 4 z = 3 {[ ] K = 1;;3 Při řešení tohoto příkladu důsledně uplatňujeme dosazovací metodu. Nejprve z. rovnice vyjádříme z. Dosadíme do 1. a 3. rovnice. Ty upravíme. Vyjádříme y, dosadíme do zbývající rovnice. Dostaneme výsledek pro neznámou a postupným zpětným dosazováním dopočítáme y a z. Obě metody lze kombinovat. Po dosazení za z a úpravě by bylo také možné (a šikovné) sečtením zbylých dvou rovnic přímo eliminovat y.
Strana 7.3. Řeš pro reálné neznámé a y soustavu 1 lineární a 1 kvadratické rovnice: + 3y + 5y 3= 5 y = 5 + 3y + 5y 3= 5 y = 5 y = 5+ 5 76 173 97 1, + 35 + 5 + 55 + 5 3= + 75 + 15 + 75 + 5 + 5 3 = + + = 97 15 y1 = 76 76 173± 1 = = 15 1 y = 97 15 K = ;, 1; 76 76 [ ] Je-li jedna z rovnic lineární a druhá kvadratická, postupujeme takto: z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme do rovnice kvadratické. Z kvadratické rovnice získáme výsledek pro jednu neznámou (počet těchto výsledků může být, 1 nebo žádný). Dosazením do lineární rovnice dopočteme zbývající neznámou. 7.4. Řeš pro reálné neznámé a y soustavu kvadratických rovnic: + y = 1 y + y = 1 y y = y =± 1 3 3 = 9 =± 3 K= 3; 1, 3;1,3; 1,3;1 {[ ] [ ] [ ] [ ] Při řešení soustavy, kterou tvoří samé kvadratické rovnice, musíme uplatnit sčítací metodu. Musíme eliminovat aspoň jeden kvadratický člen. V našem příkladu odečtením druhé rovnice od první eliminujeme. Pozor! Výsledkem jsou hned 4 uspořádané dvojice a y.
Strana 3 7.5. Řeš pro reálné neznámé a y soustavu kvadratických rovnic: + 3y + 5 y = + y + 5+ 3y 8= + 3y + 5 y = + + 5 + 3 8= y y + = = 3 y 5y 6 y1, 7 y = + = 1, = a) 5 14 y = + = 1, = b) 3 5 1 5 9 5+ 9 5 9 5+ 9 K = [ 7; ], ;3, ;3, [ ;] Odečtením zadaných rovnic eliminujeme jak kvadratický člen pro, tak lineární člen pro. Dostaneme jednoduchou kvadratickou rovnici pro y, najdeme dva kořeny y a po zpětném dosazení získáme ke každé hodnotě y kořeny. Konečným výsledkem jsou zase 4 uspořádané dvojice a y.
Strana 4 7.6. Řeš pro reálné neznámé a y soustavu kvadratických rovnic: 5 + y 1 = 5 ( ) ( y ) + 3 + = 169 ( ) ( y ) 5 + 1 = 5 ( ) ( y ) + 3 + = 169 1 + = 1 y y + 6 + 4 = 156 y y 16+ 16y = 56 y = + 16 ( ) ( ) 5 + + 16 1 = 5 ( ) ( ) 5 + 6 = 5 36 + = 11 + 18 = = 9 1, a) = y = 14, b) = 9 y {[ ] [ ] K = ;14, 9;7 Rovnice upravíme na tradiční kvadratický tvar. Odečtením eliminujeme kvadratické členy a získáme lineární rovnici s a y. Vyjádříme jednu neznámou a dosazením do libovolné ze dvou rovnic přejdeme ke kvadratické rovnici s jednou neznámou. Výsledkem jsou dvě uspořádané rovnice. Tato soustava v analytické geometrii vyjadřuje průsečík kružnic. Očekávaný počet výsledků je, 1 nebo. 7.7. Řeš pro reálné neznámé, y a z soustavu 3 lineárních rovnic: 3+ 5y 7z = 14 11 y z = 54 + 7y+ z = 1 7.8. Řeš pro reálné neznámé a y soustavu 1 lineární a 1 kvadratické rovnice: y + y+ 3+ 1= = 3y 8 7.9. Řeš pro reálné neznámé a y soustavu rovnic: + y = 14 y + y = 7.1. Řeš pro reálné neznámé a y soustavu rovnic: + y + + y = 4 3 + 3y + 4+ y = 8 84 y
Strana 5 7. K = {[ 5; 3;] 8. K = {[ 7,3;, ],[ 1;] 9. K = {[ ;8 ],[ 8;] 1. K = {[ ;1 ],[,8;1,6] Otázky, které mohou padnout při maturitní zkoušce: 1) Lze řešit soustavu rovnic, která má více neznámých než jaký je počet rovnic? ) Jaký je geometrický význam soustavy dvou lineárních rovnic? 3) Jaký je geometrický význam soustavy jedné lineární a jedné kvadratické rovnice? 4) Jaký je geometrický význam soustavy dvou kvadratických rovnic?