SA2 Přednáška 08 Symetriké konstruke Symetriké a anti(sy)metriké zatížení Silová metoda a symetrie Deformační metoda a symetrie Příklady Copyright () 2012 Vít Šmilauer Czeh Tehnial University in Prague, Faulty of Civil Engineering, Department of ehanis, Czeh Republi Permission is granted to opy, distribute and/or modify this doument under the terms of the GNU Free Doumentation Liense, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Setions, no Front-Cover Texts, and no Bak-Cover Texts. A opy of the liense is inluded in the setion entitled "GNU Free Doumentation Liense" found at http://www.gnu.org/lienses/ 1
Symetriké konstruke Většina stavebníh konstrukí a průřezů je symetrikýh Snadnější montáž, analýza, dokumentae Eliminae krouení na průřezeh Symetriká odezva při symetrikém zatížení (nesymetriky ztužené budovy během zemětřesení 2011 v Christhurh, NZ, dopadly výrazně hůře než symetriky ztužené) Zjednodušení výpočtu pro symetrikou konstruki Lze počítat pouze ½ konstruke Zatížení se musí rozložit na symetrikou a antimetrikou část, rozklad lze provést pro libovolné zatížení Používáme prinip superpozie. Superpozii výsledků lze použít pouze pro lineárně elastiký stav konstruke 2
Symetriká konstruke a zatížení Symetriká konstruke a symetriké zatížení Symetriká konstruke a antimetriké zatížení 1x SN nosník Reake symetriké Reake antim. N V S A S V S =0 Statiké okrajové podmínky na ose sym. N V A S A N S =0 S =0 u A S =0 w A S u S =0 Kinematiké okrajové podmínky na ose sym. u w S S A w S =0 3
Reduke konstruke na polovinu Na symetriké konstruki můžeme vždy předepsat okrajové podmínky na ose symetrie Symetriká konstruke a symetriké zatížení Symetriká konstruke a antimetriké zatížení V S =0, u S =0, S =0 N S =0, S =0, w S =0 0x KNK (typ prutu KK) 0x KNK 1x KNK (typ KV) 0x SNK = SUK 0x KNK (typ prutu KK) S A S =0 Posuvné vetknutí na Radotínském mostě, Praha. Zde bráníme svislému posunu a rotai, vodorovnému posunu není výrazně bráněno. http://ommons.wikimedia.org 4
Vazba na ose symetrie konstruke Symetriká konstruke a symetriké zatížení Symetriká konstruke a antimetriké zatížení V S =0, u S =0, S =0 N S =0, S =0, w S =0 2x SNK 1x KNK 2x SNK 1x KNK 2x SNK 0x KNK (pro typ prutu KV) = tabulkové řešení SUK 0x KNK (pro typ prutu KK) N N V V 5
Reduke symetriké konstruke na polovinu Vazba/zatížení Symetriké zatížení Antimetriké zatížení V S =0, u S =0, S =0 N S =0, S =0, w S =0 Kyvný prut s V==0 Svislý posun je shodný s koni prutu Prut nepůsobí F F/2 /2 I, A A/2 I/2, A/2 6
Příklad zjednodušte symetriké konstruke Symetriké zatížení V S =0,u S =0, ϕ S =0 Silová metoda ZD = = 4x SNK 3x SNK VV VV VV 3x KNK Antimetriké zatížení N S =0, S =0, w S =0 Silová metoda ZD VK = = VV 4x SNK 2x KNK 7
Příklad zjednodušte symetriky zatížený skelet Pro nekonečně dlouhý spojitý nosník jsou osy symetrie nad podporami (i uprostřed polí) 8x SNK pro ohyb 8x KNK (ZD) 2x SNK pro ohyb 0x KNK pro ohyb = tabulkové řešení 1 12 f L2 1 12 f L 2 1 24 f L2 [Demontáž pláště budovy A, Dejvie, 4.3.2013, foto autor] 8
Příklad symetriky zatížený hambalkový krov Za předpokladu EA Tíha krytiny Sníh 4x KNK (ZD) 1x KNK (ZD) pro ohyb 1x KNK (ZD) [http://bryza.raje.idnes.z/pelikan_krov] Symetriký průběh 9
Příklad antimetriky zatížený hambalkový krov Tlak větru Sání větru Hambalek nepůsobí 4x KNK (ZD) SUK 0x KNK [http://bryza.raje.idnes.z/pelikan_krov] Antimetriký průběh 10
Příklad porovnejte a vodorovný posun příčle S =0, N S =0, w S =0 5 kn 5 kn 3x SNK 5 kn 5 kn 15 m EI=200 Nm 2 Stejná konstruke, nyní jako dvoukloubový rám 19 m 5 kn 5 kn Z.S. 9,5 1 75 0 1 δ 10 = 1 EI [ 1 2 ( 75) 9,5 15 ] = 5343,75 EI δ 11 = 1 [ 1 EI 2 9,53 9,5 15] 2 = 1639,54 m/kn EI X 1 = 5343,75 1639,54 =3,26kN 44,04 m 30,96 3,26 5 kn 75 Poměr maximálníh momentů na obou konstrukíh 75/44,04=1,7 11
Příklad porovnejte a vodorovný posun příčle 1 5 kn 30,96 5 kn Z.S. využití redukční věty 75 1 15 44,04 15 u= 1 [ 1 EI 6 ( 15) ( 2 44.04 30,96) 15 ] = 2142 =10,7 mm EI u= 1 EI [ 1 3 75 15 (9,515) ] = 9187,5 EI Poměr vodorovnýh posunutí na obou konstrukíh 45,9/10,7=4,29 =45,9 mm Edubeam Gumový model 1:100 12
Příklad využití symetrie konstruke Určete a natočení pomoí ZD 20 kn 20 kn EI=20 000 knm 2 a b d e 1 3 m 3 m 1 20 kn a b EI=20 000 knm 2 1 3 m Řešení určíme přímo z tabulky pro ZD 13,125 18,281 1,719 ab = 20 1 3 2 4 2 (3 4 )=13,125 knm Průběh momentu antimetriky na 5,156 pravé části Natočení styčníku lze určit pomoí vzore pro oboustanně vetknutý prut (inverze statiké kondenzae) a =0= 20 12 3 2 20000 2ϕ 4 2 4, ϕ =1,875e-4 rad Také lze použít redukční větu a silovou metodu. Základní soustavu volím konzolu s vetknutím na levé straně. Virtuální moment zavedu stejně jako rotai. Průběh momentu je konstantní, proto stačí použít s výhodou Vereščaginovo pravidlo. ϕ = 1 [ 1 ( 13,1255,156) 1 5,156 3 1 20000 2 2 1] =1,875e-4 rad 13
Příklady dalšíh symetrikýh konstrukí b 10 kn/m d a 20 kn EI=20 000 knm 2 b 20 kn d e 3 m EI=20 000 knm 2 2 m 2 m 2 m 2 m a e 4 m EI=20 000 knm 2 8 kn/m 8 kn/m EI=20 000 knm 2 8 kn/m a b d e a b d e 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 5 kn 5 kn 5 kn 5 kn a a 2 m 2 m b d EI=10 Nm 2? 2 m 2 m b EI=10 Nm 2 d 4 m 4 m 14
Otázky 1. Nakreslete vazbu na ose symetrie konstruke pro průběžný prut a symetriké zatížení. 2. Jak podepřete prut příhradové konstruke na ose symetrie pro symetriké zatížení? Proč lze tento prut vyřadit pro antimetriké zatížení? 3. Vysvětete, jak spolu souvisí statiké a kinematiké podmínky na ose symetrie. Lze vhodným uspořádáním podpory na ose symetrie splnit jak statiké tak kinematiké podmínky? 4. Lze každé zatížení rozložit na symetrikou a antimetrikou část? 5. Vysvětlete, jak dojde k reduki stupně statiké neurčitost konstruke, pokud existuje osa symetrie. Redukuje stupeň neurčitosti víe zatížení symetriké či antimetriké? 6. Uvažujte oboustanně vetknutý prut, který je zatížen rovnoměrným ohřátím. Pomoí argumentae o symetrikém zatížení dokažte, že posouvajíí síla uprostřed rozpětí prutu je nulová a moment má nulový průběh. Platí stejná úvaha pro nerovnoměrné ohřátí oboustranně vetknutého prutu? 7. Uvažujte styčník příhradové konstruke na ose symetrie. Z podmínek rovnováhy a symetrie zatížení dokažte, že symetriké pruty jdouí z tohoto styčníku mají stejně veliké osové síly. Vytvořeno 03/2012 v OpenOffie 3.2, Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer 15