Obecná a zjednodušená deformační metoda

Transkript

1 SMA Přednášk 06 Oená zjednodušená deformční metod Pruty typu VV, KV, VK Sttiká kondenze Konové síly n prutu od ztížení Konové síly n prutu od teploty Příkldy Copyright ) 01 Vít Šmiluer Czeh Tehnil University in Prgue, Fulty of Civil Engineering, Deprtment of Mehnis, Czeh Repuli Permission is grnted to opy, distriute nd/or modify this doument under the terms of the GNU Free Doumenttion iense, Version 1. or ny lter version pulished y the Free Softwre Foundtion; with no Invrint Setions, no Front-Cover Texts, nd no Bk-Cover Texts. A opy of the liense is inluded in the setion entitled "GNU Free Doumenttion iense" found t 1

2 Oená zjednodušená deformční metod Kromě kyvnýh prutů nízkýh olouků lze deforme od normálovýh sil n prutu znedt, protože EA >> EIy. To je výhodné pro ruční výpočet, kdy řešíme menší počet neznámýh. Tento přístup nzýváme ZDM EA ). ϕ 1 knm 1=4 m u w ϕ 1 knm ODM 3 rovnie 0,3 m 1=4 m ZDM 1 rovnie =5 m =5 m ϕ =7,43e-4 rd ϕ =7,41e-4 rd u = 5,34e-6 m u 0 m w = 1,04e-5 m w 0 m Mximální reltivní hy n vnitřníh siláh je 0,7% mezi těmito dvěm polorámy. 0, m A=0,06 m I y =4,5e-4 m 4 E=30 GP EI y =13500 knm EA=1,e6 kn

3 Zjednodušená deformční metod Ntočení kone prutu nd klouem nás ovykle při ručním výpočtu nezjímá. Mtii tuhosti tkového prutu typu vetknutí klou V K) získáme sttikou kondenzí z prutu typu vetknutí vetknutí ): ϕ ϕ ϕ w Typ w w 4 okrjové podmínky {} [ Z M EI = Z M 6 / 3/ 6/ 3 / 3/ 6 / 3/ 6/ 3 / 1 3/ ϕ dopočítáme z w, ϕ, w M = 0= Typ V K w 4 1=3 okrjové podmínky 3 / 1 3/ Mtie tuhosti prutu KVV ]{ } w ϕ w ϕ ϕ = w w EI ϕ ϕ 3 ) ϕ 3 w w { } [ ]{ } Z / / / w 3 EI / / ϕ M = 4 / / / w Z Mtie tuhosti prutu KVK Pozn. Pruty typu V K K V se hodí pro ruční výpočet, protože vedou n menší soustvu rovni v ZDM. Nopk, v počítčovýh progrmeh se používá čsto oená deformční metod ODM) mtie typu. Mtie je nví rozšířen o vliv smyku uvžuje se zároveň i vliv normálovýh sil n stlčení střednie prutu. Výsledky z ručního výpočtu pomoí ZDM se logiky mohou mírně odlišovt od výsledků z počítče. 3

4 Oená zjednodušená deformční metod Posun elého ptr ptrová rovnie) Tkto může zvést neznámé počítč pro pruty typu Pruty typu 0 rovni F Pruty typu, K V 7 rovni ZDM Pruty typu, K V 4 rovnie F F e F e K V e K V e ZDM F K V F ODM Symetriká konstruke ztížení Reduke ztížení z konzol do styčníků Vhodné pro ruční výpočet 4

5 Konové síly n prutu od ztížení Neznámé u,w, jsou definovné pouze v uzleh. Ztížení n prutu musíme tedy převést n uzlové ztížení. K tomu využijeme prinip superpozie, který lze pro ZDM zpst: Výsledné konové síly n prutu skutečné ztížení, posuny styčníku) { }{ } { } Z Z M M = [K VV ] Z Z M M w ϕ w ϕ Konové síly n prutu ez ztížení. Neznámé hodnoty deformí určíme z podmínek rovnováhy n částeh konstruke. Reke pouze od ztížení n prutu s nulovými okrjovými posuny či ntočeními 5

6 Konové síly n prutu od spojitého ztížení Reke od ztížení prutu určíme npř. silovou metodou f f V K V K 5 f f / M0 f zs M1 3 f M f 1 f =, 11 = EI 3EI 3 11 X 1 10=0, X 1= f Hodnoty konovýh sil momentů jsou telovány pro různé ztížení pro různé typy prutů, V K K V. 6

7 7

8 Konové síly n prutu od nerovnoměrné teploty Reke od ztížení prutu určíme npř. silovou metodou 3EI T d T h h Th V K h Td V K M0 M1 EI α Δ T d Δ T h) h 3EI T d T h h 3EI T d T h h 1 Δ T d Δ T h 3 δ 10=α, δ11 = EI h 3 δ 11 X 1 δ10 =0, X 1 = 3 3EI T d T h h M Hodnoty konovýh sil momentů jsou telovány pro různé ztížení pro různé typy prutů, V K K V.

9 Příkld prinip superpozie pro ZDM 30 kn/m EI= knm 1=4 m 40 Přičteme opčný směr pomoného momentu. ϕ 5 60 kn/m ϕ =5 m f1 = kn/m M = 60 kn/m 15 EI EI ϕ ), M = ϕ) 1 M M 5=0, 15 EI EI ϕ) ϕ ) = ϕ )= 5 ϕ = 0,0035 rd 47, Mf M 3,61 37,7 M = MfM Pomoný moment 5 knm, který uvede do rovnováhy styčník Dříve se používlo pro přiližné řešení momentů Crossov metod) 1,9 16,39 143,9 7, 9

10 Příkld Určete průěhy M,N,V pomoí ZDM 30 kn 40 kn 1. Ptrová rovnie podmínk rovnováhy 0 kn/m Z = 3 / f 1 ZDM rovnie Z d Z d =5 m 3 EI u = 3063,15 u EI 6u 3 ϕ =506,5 ϕ 531,5 u 1 1 Z Z d =0 3164,065 u 506,5 ϕ =30 Z d = 1,5 ). Momentová rovnováh ve styčníku Reduke ztížení do styčníku 30 kn 40 kn u ϕ 60 M 60 M d K V V K 0 kn/m 1=4 m EI= knm 3 EI M = ϕ =100 ϕ 4 M d = EI 3u ϕ =13500 ϕ 506,5 u 1 1 ) M M d 60=0 506,5 u 1600 ϕ = 60 10

11 Příkld Určete průěhy M,N,V pomoí ZDM 64, Symetriká pozitivně definitní mtie tuhosti ] ) ) 3164, ,5 u 30 = 506, ϕ 60 4, 6,3 u=0,01 m ϕ = 0,00 rd M [ 60 96, EI u M = =40 531,5 u=96,4 knm ) M =100 ϕ = 64, knm 40 EI 3u ϕ =5, knm 1 1 ) 15,9 0,795 1,96 M d =13500 ϕ 506,5u= 4, knm M d = 5, V 15,9 64,1 15,9 0 17,04 N 15,9 Posouvjíí normálové konové síly n pruteh vypočteme z podmínek rovnováhy n příslušnýh pruteh. 5,96 11

12 Příkld Vykreslete průěh M od poklesu podpory u EI= knm d 50 mm =5 m Stejná mtie tuhosti konstruke [ ] ) ) 3164, ,5 u = 0 506, ϕ 1 u=9, m ϕ = rd Po doszení u, do rovni konovýh momentů: 3,4 4,3 M,1 3,4 Podoné rovnie jko v předešlém přípdě jiné je pouze ztížení) 1=4 m 1. Ptrová rovnie podmínk rovnováhy Z 3 EI u Z = =63,15 u Z d EI 6u 3 ϕ =506,5 ϕ 531,5 u 1 1 Z Z d =0 3164,065 u 506,5 ϕ =0 Z d = ). Momentová rovnováh ve styčníku M M d 3 EI 0,05 M = ϕ =100 ϕ 1 4 M d = ) EI u ϕ 3 =13500 ϕ 506,5 u 1 1 ) M M d =0 506,5u 1600 ϕ = 1 1

13 Přiřzení rovnoměrné teploty vyrným prutům v ZDM Při rovnoměrném ohřátí dohází k roztžení prutu. Změnu posunu je možno přiřdit n levý či prvý styčník prutu či komini oou). neznámé posuny ve styčnííh, které jsou závislé = 1 deformční neznámá u 1=4 m Alt. 1 neznámá u u u T=30 K =1e 6 K 1 EI= knm Δu Z = d =5 m Δ u=α Δ T =1e =0,001 m 3 EI u =63,15 u 1 1 u =u Δ u Z d =63,15 u 0,001) Z Z d =0 165,65 u = 1,139 u = 9e-4 m u = 9e-4 0,001= 9e-4 m Alt. neznámá u Δu Výsledky z oou lterntiv jsou stejné, nví se jedná o symetrikou konstruki ztíženou symetrikou změnou teploty. Stejné řešení y vyšlo, pokud yhom přiřdili polovinu protžení nlevo polovinu nprvo. Všimněte si, že mtie tuhosti konstruke zde je redukován n jedno číslo) je stejná, ť přiřdíte ztížení teplotou kmkoliv. u u =u Δ u Z d =63,15 u Z =63,15 u 0,001 )=63,15 u 0,001 ) Z Z d =0 165,65 u = 1,139 u =9e-4 m u =9e-4 0,001 = 9e-4 m 13

14 Tulk pro čsté konstruke ztížení Plná tulk ke stžení je n stránkáh SMA či n [ 14

15 Otázky 1. Vysvětlete rozdíl mezi oenou zjednodušenou deformční metodou. Kterou metodu použijete pro ruční výpočet?. N příkldu ukžte, jk se zvedou deformční neznámé n symetriké konstruki symetrikém ztížení. 3. ze prut typu V K nhrdit prutem typu? Kolik neznámýh deformčníh veličin je n kždém typu? 4. Odvoďte konové síly pro prut typu při ztížení nerovnoměrnou teplotou po výše prutu ukžte, že nedojde k deformi střednie prutu funke wx)=0). 5. Ve zjednodušené deformční metodě uvžujeme, že EA?. Vznikjí vůe n těhto pruteh normálové síly? ze je vypočítt ze vzájemného posunu konů prutu? K čemu tkovéto řešení povede? 6. Dokžte, že mtie tuhosti konstruke nezávisí n půsoíím ztížení, předepsné teplotě, ni předepsným přemístění podpor. Je mtie tuhosti konstruke singulární? Jk se z ní stne mtie regulární? Vytvořeno 04/01 v OpenOffie 3., Uuntu 10.04, Vít Šmiluer 15