UNIVERZIT PLCKÉHO V OLOMOUCI PŘÍROOVĚECKÁ FKULT KTER LGEBRY GEOMETRIE OSVĚTLENÍ VE STŘEOVÉM PROMÍTÁNÍ LINEÁRNÍ PERSPEKTIVĚ Bakalářká práce Vedoucí práce: RNr. Leka Juklová, Ph.. Rok odevdáí 202 Vypracovala: Martia Viklářová M-G, 3. ročík
Prohlašuji, že jem tuto bakalářkou práci vypracovala amotatě pod vedeím RNr. Leky Juklové, Ph.., a že jem uvedla všechu použitou literaturu. V Olomouci 26.rpa 202.
Na tomto mítě bych ráda poděkovala RNr. Lece Juklové, Ph.., a pečlivě vedeé předášky, ča, který mi věovala a a ceé rady, které připěly ke kvalitěí této práce.
Obah Obah... 4 Úvod... 5. Základí pojmy a potupy... 6 2. Ovětleí... 9 3. Rovoběžé ovětleí ve tředovém promítáí... 3.. Potupy kotrukce rovoběžého ovětleí ve tředovém promítáí... 3.2. Příklady rovoběžého ovětleí ve tředovém promítáí... 3 4. Rovoběžé ovětleí v lieárí perpektivě... 2 4.. Potupy kotrukce rovoběžého ovětleí v lieárí perpektivě... 2 4.2. Příklady rovoběžého ovětleí v lieárí perpektivě... 23 5. Zrcadleí... 32 5.. Zrcadleí ve vodí hladiě... 33 5.2. Zrcadleí ve vilém rcadle... 34 5.3. Zrcadleí v šikmém rcadle... 35 Závěr... 36 Literatura... 37 Přílohy... 38
Úvod Tato bakalářká práce e abývá rovoběžým ovětleím těle, obahuje áklady teorie a řešeé úlohy, ukauje ákladí potupy kotrukcí při řešeí úloh o rovoběžém ovětleí. Jedotlivé úlohy jou řešeé ve dvou obraovacích metodách, těmi jou tředové promítáí a lieárí perpektiva. U čteáře e předpokládá ákladí alot těchto obraovacích metod. Ve všech úlohách je tředové promítáí adáo pravoúhlým průmětem tředu promítáí a ditačí kružicí. Lieárí perpektiva je dáa horiotem, hlavím bodem, ditací a ákladicí. V příloe jou obažea adáí jedotlivých úloh. Práce je rodělea do pěti kapitol. Prví kapitola tručě hruje důležité pojmy a potupy kotrukcí obou promítacích metod, které jou použité v této práci a kterým je uté roumět. ruhá kapitola e abývá ovětleím v protoru a tručě hruje všechy obecé poatky o ovětleí. Třetí kapitola obahuje pricipy rovoběžého ovětleí těle ve tředovém promítáí a oubor ěkolika řešeých příkladů. Ve čtvrté kapitole jou popáy pricipy rovoběžého ovětleí těle v lieárí perpektivě a opět řešeé kokrétí příklady. Pátá kapitola obahuje ákladí poatky rcadleí ukákou rcadleí ve vilém i šikmém rcadle a ve vodí hladiě. Obráky a úlohy jou arýováy pomocí programu utoc. 5
. Základí pojmy a potupy Jak již bylo řečeo, tato práce e abývá poue rovoběžým ovětleím. Uvažujeme rošířeý euklidovký protor. Přeto, že u čteáře předpokládám ákladí alot těchto obraovacích metod, v této kapitole hruji ěkteré ákladí pojmy a potupy kotrukcí. Základí pojmy a potupy tředové promítáí je adáo průmětou, tředem promítáí ( a ditací pravoúhlý průmět tředu promítáí do průměty aýváme hlaví bod a ačíme úečka je kolmá a průmětu = ditace, většiou je určea ditačí kružicí e tředem v a poloměrem roviu rovoběžou průmětou a procháející tředem promítáí aýváme tředová rovia průečík přímky průmětou aveme topík přímky, ačíme ho tředový průmět evlatího bodu přímky aveme úběžík přímky, ačíme ho tředový průmět průečíku přímky e tředovou roviou je evlatí bod, aýváme ho protiúběžík a ačíme průečici roviy průmětou aýváme topa roviy, ačíme ji 6
tředový průmět evlatí přímky roviy aýváme úběžice roviy, ačíme ji tředový průmět průečice roviy e tředovou roviou je evlatí přímka, aýváme ji protiúběžice a ačíme poloha bodu v protoru, je určea, je-li dá jeho tředový obra a tředový obra jeho oitelky (adaé jejím topíkem a úběžíkem ) přímka leží v roviě, leží-li její úběžík a topík a úběžici a topě roviy přímka je rovoběžá roviou, leží-li úběžík přímky a úběžici roviy přímky jou růoběžé, jou-li pojice jejich úběžíků a topíků rovoběžé dvě přímky jou rovoběžé, mají-li polečý úběžík úběžík pádových přímek roviy aýváme hlaví úběžík roviy a ačíme úběžík přímek kolmých k roviě aýváme úběžík ormál a ačíme při určováí kutečé velikoti úečky ležící a přímce využijeme dělicí kružici, tou je kružice e tředem v bodě a poloměrem, a této kružici volíme bod [S], topíkem přímky vedeme rovoběžku přímkou a oačíme ji, bodu [S] promíteme a přímku body, vdáleot průmětů těchto bodů je kutečou velikotí úečky otáčeí roviy do průměty využijeme při etrojováí roviých útvarů, otočeé útvary budeme ačit idexem mei tředovým průmětem a otočeou polohou roviy kolem její topy do průměty exituje kolieace, oou této kolieace je topa roviy, tředem kolieace je otočeý třed promítáí do průměty kolem úběžice roviy topíky jou amodružé body pro protiúběžici klopeou do průměty platí = 7
Lieárí perpektiva je vlatě čátečě omeeé tředové promítáí a to především proto, aby byly obray áorější a vbuovaly předtavu kutečoti. průmětou je vilá rovia ákladí rovia je kolmá a průmětu, její topu aýváme ákladice, ačíme, její úběžici aýváme horiot a ačíme hlaví bod přeačíme a je určea ditačíky, průečíky ditačí kružice horiotem aýváme levý a pravý ditačík, ačíme, průečíky ditačí kružice kolmicí a horiot vtyčeou v hlavím bodě aýváme horí a dolí ditačík a ačíme je všechy vodorové roviy mají polečou úběžici kružice e tředem a poloměrem aýváme dělicí kružice přímky její průečík horiotem aýváme dělicí bod a ačíme ho dělicího bodu promíteme úečku (ležící v ákladí roviě) a ákladici a íkáme body, je kutečá velikot úečky 8
2. Ovětleí Při obraováí objektů e ažíme docílit jejich ejvěrějšího a ejáorějšího obraeí. Pro áorější obraeí a lepší protorový dojem využíváme ovětleí. íky ěmu a objektu dobře vidíme ovětleou čát, čát ve vlatím tíu a tí vržeý a okolí objekty. Pro jedodušeí kotrukce ovětleí ahraujeme větelé paprky přímkami a drojem větla je bod. Středové ovětleí má droj větla ve vlatím bodě, drojem větla rovoběžého ovětleí je bod evlatí. ále budeme předpokládat, že ovětlovaé objekty větelé paprky cela pohlcují, t., že tělea jou eprůhledá a eodrážejí větlo. Jak již bylo míěo, tato práce e abývá poue ovětleím rovoběžým. Průmět droje větla do průměty (evlatího bodu v protoru) budeme ačit jako úběžík větelých paprků. Ovětlujeme-li bod, vedeme jím větelý paprek měru, vržeým tíem bodu do roviy je průečík větelého paprku měru roviou. Ovětlujeme-li přímku, vedeme větelý paprek měru každým jejím bodem, tyto paprky tvoří větelou roviu. Vržeým tíem přímky do roviy je průečice této větelé roviy roviou Ovětlujeme-li úečku ležící a přímce, leží její vržeý tí a vržeém tíu této přímky. Při ovětlováí těle tvoří tyčé přímky měru ovětleí větelou plochu, vržeým tíem ovětlovaého tělea do roviy je křivka, která je průikem roviy e větelou plochou. Hraice vržeého tíu e aývá me vržeého tíu. Metodou pětých paprků určíme a ovětlovaém objektu jeho ovětleou a eovětleou čát, íkáme tak vlatí tí objektu, jeho hraicí je me vlatího tíu. Vedeme-li všemi body mee tíu vlatího daého objektu větelé paprky, jejich vržeými tíy do roviy jou body mee vržeého tíu tohoto objektu. Zpěté paprky využijeme také při určeí mee vržeého tíu jedoho objektu a druhý. Z průečíků vržeých tíů vedeme přímky měru ovětleí a a objektu ajdeme body, jejichž vržeé tíy plývají, potom bod, ležící blíže droji větla, vrhá tí a otatí. 9
Vržeý tí budeme áorňovat výraějším šrafováím ež tí vlatí, ovětleé čáti poecháme be šrafováí. Vržeý tí bodu a otatí objekty budeme ačit. B B Ā Obr. 2.. 0
3. Rovoběžé ovětleí ve tředovém promítáí 3.. Potupy kotrukce rovoběžého ovětleí ve tředovém promítáí Ovětleí je určeo měrem větelých paprků, kokrétě jejich úběžíkem, a je dáa rovia, do které ovětlujeme. Pravoúhlé průměty větelých paprků do roviy jou určey úběžíkem, te leží a úběžici roviy. Vržeý tí bodu do roviy ρ je průečíkem větelého paprku měru procháejícího bodem roviou. Světelá rovia je určeá větelým paprkem procháejícím bodem a další přímkou procháející tímto bodem. Bod leží a průečici větelé roviy roviou a a větelém paprku měru vedeém bodem. Setrojíme ho tedy jako průečík tohoto paprku průečicí roviy a větelé roviy procháející bodem. Při hledáí vržeého tíu bodu do roviy můžeme využít dvou růých potupů (úloha 3.2..). Prví e ejčatěji používá, je-li objekt, jehož tí hledáme, v obecé poloe ebo jeho hray ejou kolmé k roviě (Obr. 3...). ruhého potupu e využívá v případech, že hledáme vržeý tí kolmých hraolů, jehlaů, válců či kuželů podtavou rovoběžou roviou (Obr 3..2.). Tím, že áme pravoúhlý průmět bodu do roviy, e ám ačě jedoduší celý potup. Úběžík pravoúhlých průmětů větelých paprků leží a úběžici roviy a pojice procháí úběžíkem ormál roviy. Vržeý tí libovolého bodu tělea etrojím jako průečík přímky měru ovětleí, která procháí tímto bodem, jejím pravoúhlým průmětem do roviy
2 S S R R u r 2 Obr. 3... S S R R u 2 p p Obr. 3..2.
3.2. Příklady rovoběžého ovětleí ve tředovém promítáí Úloha 3.2.. Setrojte vržeý tí bodu do roviy. Rovoběžé ovětleí je určeo větelými paprky úběžíkem. Bod je adaý tředovým průmětem a oitelkou. Rovia je určea úběžicí a topou. u U a u N p a r N a p S 2 R Řešeí: Bodem vedeme větelý paprek a určíme jeho průečík roviou, což je vržeý tí bodu do roviy. Přímkami a je určea větelá rovia přímky, etrojíme její topu a úběžici. Vržeý tí bodu do roviy leží a průečici roviy roviou. Bod je tedy průečík větelého paprku průečicí. Středový průmět větelého paprku procháí body a. Pomocou větelou roviu určíme její úběžicí a topou. Úběžice procháí úběžíky a, topa procháí topíkem přímky a je rovoběžá úběžicí. Na topě roviy leží topík větelého paprku. Středový průmět bodu je průečíkem tředového průmětu větelého paprku průečice. 3
a U a R u N N a p S U 2 p r R u Jiý půob řešeí: Tetokrát etrojíme vržeý tí bodu jako průečík větelého paprku jeho pravoúhlým průmětem do roviy. Bodem vedeme ormálu roviy Setrojíme pomocou roviu určeou přímkou a ormálou roviy. Průečice rovi a je pravoúhlým průmětem roviy do roviy Pravoúhlý průmět úběžíku větelých paprků do roviy je úběžíkem pravoúhlých průmětů těchto větelých paprků do roviy a leží a úběžici roviy. Vržeý tí je průečíkem větelého paprku procháejícího bodem jeho pravoúhlým průmětem do roviy. Zámým půobem etrojíme úběžík ormál a tředový průmět ormály procháející bodem. Pomocou roviu obahující přímku a ormálu, určím úběžicí, která procháí úběžíky a, její topa je rovoběžá úběžicí. Setrojíme tředový průmět průečice rovi a, její průečík e tředovým průmětem ormály je pravoúhlý průmět bodu do roviy. Na úběžici leží úběžík pravoúhlých průmětů větelých paprků. Vržeý tí bodu do roviy je průečík přímek a. 4
Úloha 3.2.2. Setrojte rovoběžé ovětleí krychle podtavou v roviě. Ovětleí je dáo větelými paprky úběžíkem, ovětlujeme do roviy podtavy. Krychle je určeá bodem podtavy a tředem podtavy. S 0 u R O C C S2 R (S) C B B O B U O 0 Řešeí: Nejprve pomocí otočeí roviy a úběžíku ormál této roviy arýujeme krychli (bod v tomto případě eobrauji, protože jeho poloha eovlivňuje me vržeého tíu). ále a úběžici etrojíme úběžík pravoúhlých průmětů větelých paprků. Náledě etrojíme vržeé tíy jedotlivých hra krychle, vržeé tíy hra dolí podtavy plývají odpovídajícími hraami. Vržeé tíy bodů druhé podtavy etrojím a průečicích roviy e větelými roviami měru ovětleí, které procháejí jedotlivými hraami. Me vržeého tíu krychle do roviy je křivka. Nakoec ještě určíme vlatí tí této krychle, tím jou tray a. 5
Úloha 3.2.3. Setrojte rovoběžé ovětleí koého jehlau do roviy podtavy. Rovoběžé ovětleí je dáo úběžíkem větelých paprků. Jehla pětiúhelíkovou podtavou v roviě je adá bodem podtavy, jejím tředem a vrcholem oitelkou. S 0 v v U v N u u C S2 (S) V E O V R p B r O 0 Řešeí: Nejprve pomocí již ámých kotrukcí etrojíme jehla podtavou a vrcholem. Vržeé tíy bodů podtavy těmito body plývají, hledáme tedy poue vržeý tí vrcholu. Protože je jehla koý, bude výhodější využít pomocé větelé roviy měru ovětleí, která procháí vrcholem. Zíkáme tak vržeý tí ležící a větelém paprku bodu a a průečici rovi a. Náledě etrojíme vržeý tí a me tíu vlatího, vlatím tíem jou pobočé těy a. 6
Úloha 3.2.4. Setrojte rovoběžé ovětleí kolmého hraolu e čtvercovou podtavou v roviě. Ovětleí je dáo větelými paprky úběžíkem, ovětlujeme do roviy. Hraol je určeý tředem podtavy, jejím bodem a výškou, rovia je adaá vou topou a úběžicí. v u = u U G S 2 (S) E E EH r r H O 0 H F O B B F C G C U [S] u BC r R r FG Řešeí: Setrojíme hraol podtavou v roviě, rovia je roviou horí podtavy. Protože roviy a emají peciálí polohu (ejou rovoběžé ai vájemě kolmé), bude při řešeí výhodější využít pomocých větelých rovi měru ovětleí, které procháejí hraami obou podtav hraolu. Vržeé tíy jedotlivých hra leží a průečicích těchto větelých rovi roviou a jou určey paprky měru ovětleí, které procháí odpovídajícími vrcholy obou podtav. Zíkám vržeé tíy obou podtav, a áledě me vržeého tíu jako křivku, kde bod je průečík vržeých tíů obou podtav. Ve vlatím tíu leží těy a. 7
Úloha 3.2.5. Setrojte rovoběžé ovětleí dutého šetibokého jehlau do roviy. Jehla má vrchol v roviě, podtavu v roviě určeou tředem a bodem ( ). Ovětleí je dáo větelými paprky úběžíkem. S 0 S 2 (S) R B C 2 F E B 2 _ E _ F E u = u C V Řešeí: Nejprve etrojíme dutý jehla, jeho oa procháí bodem a je kolmá a roviu. ále využijeme prvího půobu kotrukce vržeého tíu a etrojíme pomocé větelé roviy, které procháejí hraami podtavy a jou určeé měrem ovětleí, a jejich průečicích roviou určíme vržeé tíy bodů podtavy. Vrchol je ároveň i vržeým tíem vrcholu. Meí vržeého tíu je křivka a vlatím tíem jou pobočé těy, a (kotrukce vržeých tíů do roviy de ejou áorěy, protože potup je tejý jako v předchoích příkladech). ále ovětlíme i vitří tray jeho tě, tedy etrojíme vržeé tíy hra podtavy a vitří těy. Stěy, a budou ve vlatím tíu. Te 8
etrojíme jako průečíky větelých rovi hra, a e těami, a. Průečice roviou jedé e větelých rovi je přímka, ta protíá vržeý tí podtavy v době ( ) a plášť jehlau v povrchové přímce, bod leží a této površce a a větelém paprku, který procháí bodem. Bod je vržeým tíem bodu a těu Stejým půobem etrojíme vržeé tíy bodů, a. áledě i vržeé tíy a a vitří těy. 9
Úloha 3.2.6. Setrojte rovoběžé ovětleí válce do roviy podtavy. Ovětleí je dáo větelými paprky úběžíkem. ále jou dáy tředy, obou podtav a bod dolí podtavy. Rovia je roviou dolí a rovia je roviou horí podtavy. u = u S2 T* (S) O* T* T O* t* R T t T* O r T O Řešeí: Setrojíme adaý válec, v tomto případě protiúběžice eprotíá kružici v otočeí, proto e podtava obraí jako elipa. ále pomocí větelé roviy měru ovětleí procháející tředem horí podtavy arýujeme vržeý tí bodu. Při etrojováí vržeých tíů otatích bodů využijeme oové afiity, je určea body a její oa odpovídá úběžici. Z bodu vedeme tečy k elipe podí podtavy ležící v roviě, tečé body aveme a, jim odpovídající body horí podtavy jou body a. Víme, že vržeý tí družeých průmětů elipy jou družeé průměty jejího tíu. Setrojíme tedy vržeý tí družeých průmětů elipy, její vržeý tí a áledě me tíu vržeého křivku. Povrchové přímky určují hraici mei ovětleou čátí tělea a čátí ve tíu, tyto přímky jou tečy tečých rovi měru ovětleí. Meí tíu vlatího je křivka. 20
4. Rovoběžé ovětleí v lieárí perpektivě 4.. Potupy kotrukce rovoběžého ovětleí v lieárí perpektivě Rovoběžé ovětleí v lieárí perpektivě je určeo měrem a jeho pravoúhlým průmětem a ákladí roviu. Protože jou všechy přímky měru avájem rovoběžé, mají polečý úběžík, jejich pravoúhlé průměty a ákladí roviu jou také rovoběžé a jejich polečým úběžíkem je bod h. Spojice je úběžicí větelých rovi kolmých k ákladí roviě, protože je to úběžice pravoúhle promítací roviy měru ovětleí a ákladí roviu a je kolmá a horiot Vržeý tí bodu a ákladí roviu oačíme jako. Určíme ho jako průečík větelého paprku procháejícího bodem e ákladí roviou, tedy průečík větelého paprku procháejícího bodem a jeho pravoúhlého průmětu a ákladí roviu. Při kotrukci bodu je třeba ejprve ajít kolmý průmět bodu a ákladí roviu. Přímka je perpektivou větelého paprku měru procháejícího bodem a přímka je perpektivou pravoúhlého průmětu tohoto paprku a ákladí roviu. Potom vržeý tí bodu etrojím jako průečík perpektivy přímky měru perpektivou jejího pravoúhlého průmětu a ákladí roviu, t., že pojice a protíají právě v perpektivě vržeého tíu. Mei perpektivou roviého útvaru a perpektivou vržeého tíu tohoto útvaru a ákladí roviu je kolieace e tředem ve tředu ovětleí a oou, která je průečicí roviy útvaru e ákladí roviou. Takže vržeým tíem kuželoečky je opět kuželoečka. V rovoběžém ovětleí je třed kolieace evlatí bod, vržeým tíem kružice je tedy elipa. 2
H h S R R Obr. 4.. 22
4.2. Příklady rovoběžého ovětleí v lieárí perpektivě Úloha 4.2.. Setrojte vržeý tí již etrojeé fotbalové braky a trávík (ákladí roviu). Rovoběžé ovětleí je dáo úběžíkem větelých paprků, perpektiva je adaá ákladicí, horiotem, hlavím bodem a dolím ditačíkem. U p H h R B B B p R d Řešeí: Na tomto příkladě i áorě ukážeme použití poatků kapitoly 4.. při kotrukci vržeého tíu. Perpektiva je adaá ákladicí, horiotem, hlavím bodem, dolím ditačíkem a ovětleí je dáo úběžíkem větelých paprků. Nejprve etrojíme úběžici větelých rovi, ta je kolmá a horiot, její průečík horiotem je úběžík pravoúhlých průmětů větelých paprků bod. Bodem vedeme větelý paprek. Perpektiva paprku je určea body a. Vržeý tí bodu je průečíkem větelého paprku a jeho pravoúhlého průmětu a ákladí roviu. Perpektivu vržeého tíu bodu určíme jako průečík přímky jejím pravoúhlým průmětem a ákladí roviu. Stejě potupujeme při hledáí vržeého tíu bodu. Vržeým tíem je tedy křivka. 23
Úloha 4.2.2. Setrojte rovoběžé ovětleí věže kotek tojící a ákladí roviě do této roviy, áte-li pravoúhlý průmět tředů podtav jedotlivých kotek bod, pravoúhlé průměty podtav v otočeí a jedotlivé výšky kotek. Ovětleí je určeo úběžíkem větelých paprků. Na ákladí roviě tojí kotka tvaru kvádru, podtavy a výšky, a í tojí kotka tvaru kvádru, podtavy a výšky, a í tojí krychle podtavy a a této krychli tojí pravidelý čtyřboký jehla výšky, jehož podtava je totožá horí podtavou krychle. l * E F E* F* B I I* J* J O M K H K* G* G C C* M I K 2 I* G E C v 4 v v R R 2 B* Řešeí: Nejdříve etrojíme průměty podtav a ákladí roviu a potupě aeeme jedotlivé výšky. ále etrojíme úběžici větelých rovi, jejíž průečík horiotem je úběžík pravoúhlých průmětů větelých paprků. Nyí ajdeme vržeé tíy vrcholů všech těle, ich určíme me vržeého tíu a ákladí roviu. Vržeé tíy hra a e protíají v bodě, a v bodě. Meí vržeého tíu je křivka a ve vlatím tíu leží těy,,,, a. Náledě určíme me tíu vržeého jedotlivých těle a otatí tělea. K tomu využijeme metodu pětých paprků. Nejprve ajdeme průečíky vržeých tíů hra tělea, de jou to body. Bodem vedeme paprek měru ovětleí a určíme jeho průečík odpovídajícími hraami. Průečík, který leží blíže droji větla, vrhá tí a druhý. V ašem případě větelý paprek vedeý bodem protíá hray a. Průečík tohoto větelého paprku hraou leží blíže droji větla. Hraa vrhá tedy tí a hrau. Stejým půobem ajdeme vržeý tí hray a hrau. 24
Úloha 4.2.3. Setrojte rovoběžé ovětleí koého šetibokého hraolu podtavou v ákladí roviě, tředem podtavy v bodě a poloměrem. Střed druhé podtavy leží v roviě, ta je rovoběžá e ákladí roviou a adaá topou. Ovětleí je určeo úběžíkem větelých paprků. r p H u R h = u L G H K O * J I F B O E O C 0 G L d K O * H Řešeí: Setrojíme šetiboký hraol a úběžici větelých rovi, jejíž průečík horiotem je úběžík pravoúhlých průmětů větelých paprků bod. Pomocí pomocých rovi, které jou kolmé a ákladí roviu a procháejí jedotlivými hraami horí podtavy, etrojíme pravoúhlý průmět horí podtavy a ákladí roviu. V obráku je etrojea pomocá rovia, která je určea kolmicí v bodě a přímkou (procháející body ). Pravoúhlé průměty bodů a ákladí roviu leží a průečici ákladí roviy roviou a a přímkách kolmých k ákladí roviě, které procháejí body. Stejým půobem etrojíme body. Nyí můžeme již ámým půobem etrojit vržeý tí horí podtavy a ákladí roviu, vržeý tí dolí podtavy je icidetí dolí podtavou. ále etrojíme me vržeého tíu, tou je křivka Ve vlatím tíu leží těy, a. K J I k r H J I R 25
Úloha 4.2.4. Setrojte rovoběžé ovětleí kolmého šetibokého jehlau podtavou v roviě. Jehla je urče jedím vrcholem podtavy, tředem podtavy a výškou. Ovětleí je určeo úběžíkem větelých paprků, ovětlujeme a ákladí roviu. Perpektiva je adaá ákladicí, horiotem, hlavím bodem a pravým ditačíkem. V u v C B R EF r H V E E B V C F E O F C F B V CB r r h r p u EF EF R Řešeí: Setrojíme jehla. ále ajdeme pravoúhlé průměty jeho vrcholů, při jejich hledáí použijeme pomocých rovi kolmých a ákladí roviu. Zvolíme roviu, která procháí hraou a je kolmá a ákladí roviu. Určíme ji topou a úběžicí. Na průečici této roviy e ákladí roviou a a přímkách kolmých k ákladí roviě, které procháejí body, leží pravoúhlé průměty. Stejým půobem ajdeme pravoúhlé průměty otatích bodů. Tak íkáme pravoúhlý průmět daého šetibokého jehlau a ákladí roviu. ále etrojím úběžík pravoúhlých průmětů větelých paprků a již ámým půobem vržeé tíy všech vrcholů jehlau a ákladí roviu. Me vržeého tíu je křivka. Ve vlatím tíu leží těy a. 26
Úloha 4.2.5. Setrojte rovoběžé ovětleí pravidelého dutého trojbokého hraolu a ákladí roviu. Hraol leží a jedé těě, obě jeho podtavy leží v roviách kolmých k ákladí roviě. Hraol je urče body ležícími v ákladí roviě. Ovětleí je určeo úběžíkem větelých paprků. R E H F h F C F E u R E d B Řešeí: Nejdříve etrojíme roviu, ta je kolmá a přímku ákladí roviy a procháí bodem. V otočeí roviy etrojím rovotraý trojúhelík. Trojúhelík je podtavou hraolu, druhá podtava je í rovoběžá a procháí bodem, perpektivy rovoběžých hra mají polečý úběžík. Narýujeme hraol. Potom etrojíme úběžík pravoúhlých průmětů větelých paprků a vržeé tíy bodů a ákladí roviu. Body plývají e vými vržeými tíy a ákladí roviu. Me vržeého tíu je křivka, ve vlatím tíu jou těy a. ále etrojíme vržeý tí ovětleé těy a těy a. Meí tohoto vržeého tíu bude vržeý tí hray. Proložím pomocou roviu procháející body ta protíá těy a v křivce, tato křivka je ároveň meí tíu vržeého a vitří tray tě hraolu. 27
Úloha 4.2.6. Setrojte me vlatího tíu a vržeý tí dovitř dutého válce ležícího a ákladí roviě. Podtavá kružice válce leží ve vilé roviě a je určea dvěma traami čtverce kružici opaého, úečkami. Povrchové přímky válce procháejí úběžíkem, vdáleot obou podtav určíme libovolě. Rovoběžé větleí je určeo úběžíkem větelých paprků. 2 U h H 2 T C C 0 U T _ B u B 0 d R 3 U Řešeí: Podtavou kružici určíme v otočeí do podle úečky, využijeme kolieace oou a tředem v dělicím bodě úečky. Povrchové přímky válce mají polečý úběžík. Jedotlivými povrchovými přímkami proložíme větelé roviy, jejich úběžice procháí úběžíky a. Průečice roviy podtavy a větelých rovi procháejí průečíkem úběžic a, úběžíkem. Me vržeého tíu a ákladí roviu v tomto případě eí vidět, proto e její kotrukcí ebudeme abývat. Nejprve určíme vlatí tí, me vlatího tíu je určea tečými roviami měru ovětleí. Setrojíme ejdříve tečy bodu ke kružici podtavy, 28
tečými body a proložíme povrchové přímky válce, ty určují me vlatího tíu. ále etrojíme tí vržeý dovitř válce. Proložíme-li povrchovou přímkou bodu větelou roviu, procháí tato rovia i povrchovou přímkou bodu, a této površce leží vržeý tí bodu do dutiy válce. Body, a leží v přímce. Bod etrojíme jako průečík površky bodu přímkou měru ovětleí vedeou bodem. Me vržeého tíu je oblouk elipy, vycháí bodů, a bodem. 29
Úloha 4.2.7. Setrojte rovoběžé ovětleí dutého kolmého kužele podtavou v roviě a vrcholem v ákladí roviě. Podtava kužele je určea tředem a bodem. Ovětleí je určeo úběžíkem větelých paprků. l 2 T _ 2 O T 2 u H h R u V R Řešeí: Nejprve etrojíme podtavu, ta e obraí jako elipa. Najdeme vrchol jako průečík ákladí roviy přímkou kolmou a roviu a vedeou bodem. Setrojíme kužel. Setrojíme pravoúhlý průmět bodů podtavy a ákladí roviu (je aače elipou a a í ležícím pravoúhlým průmětem bodu a ákladí roviu). Již ámým půobem etrojíme vržeý tí podtavy a určíme me vržeého tíu tohoto jehlau a ákladí roviu. Ke kuželu etrojíme tečé roviy měru ovětleí, tyto roviy e kužele dotýkají ve dvou povrchových přímkách procháejících vrcholem, body podtavy a leží a těchto přímkách. Z bodů a vycháí me tíu vržeého a vitřek kužele. ále etrojíme další body ležící a mei vržeého tíu a vitřek kužele. Podtavou prokládáme roviy měru ovětleí, každá rovi prote plášť kužele ve dvou površkách. Vedeme-li větelý paprek bodem podtavy té površky, která je blíže droji ovětleí, prote teto paprek druhou površku vycháející bodu v bodě. Bod je vržeým tíem bodu a vitřek kužele. Stejým půobem etrojíme vržeé tíy dalších bodů. 30
Úloha 4.2.8. Setrojte rovoběžé ovětleí lodžie. Ovětleí je určeo úběžíkem větelých paprků. U R H 2 U h R d Řešeí: Tato úloha je příkladem použití rovoběžého promítáí v lieárí perpektivě v praxi. Využijeme de všech poatků předchoích příkladů. Jak již víme bod vrhá tí a podlahu. Vržeý tí ábradlí leží čátečě v roviě podlahy a čátečě v roviě bočí těy. ále je v obráku aače vržeý tí bočí těy a tropu a roviu podlahy a a roviu druhé bočí těy. 3
5. Zrcadleí Chceme-li ještě více výšit áorot a přehledot perpektivího obraeí, můžeme využít rcadleí. Je to obraeí objektu v rovié ouměroti. Nejčatěji rcadlíme podle vodorové roviy (vodí hladia) ebo vilé roviy (rcadlo). Jelikož víme, že e velikot úhlu dopadu větelých paprků rová velikoti úhlu odrau těchto paprků, můžeme říci, že každým bodem vidíme ároveň i jeho ouměrě družeý obra. Body a jou ouměrě družeé podle roviy rcadla (vodí hladiy). Pro pravoúhlý průmět bodu do roviy rcadla platí =, je-li přímka vilá, pak také platí =. Je-li rovia rcadla rovoběžá e ákladí roviou, kolmice a roviu rcadla jou vilé, potom a ich můžeme rcadleé obray bodů etrojit přímým přeeeím velikotí úeček. Nemá-li však rovia rcadla tuto peciálí polohu, muíme etrojit úběžík přímek kolmých k roviě. Leží-li bod a kolmici k roviě, potom bod je průečík této kolmice roviou rcadla a bod je ouměrě družeý k bodu. Platí =. H h S S S Obr. 5. 32
5.. Zrcadleí ve vodí hladiě Úloha 5... Setrojte perpektivu domku tojícího a ábřeží a jeho rcadlový obra ve vodí hladiě. omek má tvar kvádru, jeho třechu tvoří hraol jedou těou icidetí horí podtavou kvádru, hřebeem třechy je úečka. Kvádr je urče body a tojí v roviě rovoběžé roviou, tato rovia je od vdáleá o velikot.. Vodí hladia je určea přímkami rovoběžými hraami tělea, které procháejí bodem roviy. U h l 2 Q V H U S R U 2 v * M Q N N R O N U a a = a Řešeí: Setrojíme domek (kvádr, hraol ), jeho vodorové těy mají úběžíky. Těmito úběžíky procháí též přímky. Setrojím bod ve vdáleoti od jeho pravoúhlého půdoryu. Nábřeží je ohraičeo přímkou, která je rovoběžá přímkou a procháí bodem. K bodu etrojíme bod ouměrě družeý podle přímky (podle bodu ), oačíme ho a aveme rcadlovým obraem bodu. Nyí můžeme využít úběžíku a etrojit rcadlový obra přímky Náledujícím půobem etrojíme rcadlový obra bodu. Nejdříve etrojíme pravoúhlý průmět bodu do roviy, bod je ouměrě družeý podle bodu bodem. Platí, že =. Při etrojováí bodů využijeme úběžíků a také toho, že vilé úečky mají tejou velikot jako jejich obray ve vodí hladiě (apř. = ). Některé obray bodů ejou ve vodí hladiě viditelé. 33
5.2. Zrcadleí ve vilém rcadle Úloha 5.2.. Setrojte rcadlový obra iteriéru ve vilém rcadle. U H U 2 h a * Řešeí: Na rodíl od úlohy 5... eí v tomto případě rovia rcadla kolmá a průmětu, při hledáí rcadlových obraů muíme etrojit úběžík kolmic a roviu rcadla. Při hledáí rcadlového obrau bodu etrojíme jeho pravoúhlý průmět a ákladí roviu a tímto bodem a úběžíkem vedeme přímku. Bod je průečíkem přímky roviou rcadla. Pomocí dějícího bodu přímky etrojíme rcadlový obra bodu bod, víme, že platí =. Bodem vedeme kolmici k ákladí roviě, její průečík přímkou je hledaý rcadlový obra bodu. Při etrojováí dalších bodů můžeme využít rovoběžoti přímek. 34
5.3. Zrcadleí v šikmém rcadle Úloha 5.3.. Setrojte rcadlový obra iteriéru v šikmém rcadle. Zrcadlo je opřeé o jedu e tě, ábytek je áhodě romítěý po pokoji. h H U d Řešeí: Při řešeí potupujeme obdobě jako v předchoím příkladu. Najdeme úběžík ormál roviy rcadla, ěho vedeme bodem kolmici a roviu rcadla, určíme její průečík roviou rcadla a pomocí dělicí kružice etrojíme bod ouměrě družeý bodem podle tohoto průečíku. Při hledáí rcadlových obraů bodů eležících v ákladí roviě ajdeme ejdříve rcadlové obray jejich pravoúhlých průmětů a ákladí roviu. Úběžík přímek, které ejou rovoběžé e ákladí roviou, eleží a horiotu. Při etrojováí dalších bodů je důležité i uvědomit, že úběžíky rovoběžých přímek e, a rodíl od předchoího příkladu, ehodují úběžíky rovoběžek ležících v ákladí roviě (a roviách í rovoběžých). 35
Závěr Cílem této práce bylo eámit čteáře jedotlivými potupy ovětlováí těle ve tředovém promítáí a lieárí perpektivě. Toto téma je v literatuře probráo poue okrajově. Protože ovětleí používáme ke lepšeí áoroti obraeí těle, etkáme e píše rovoběžým ovětleím v lieárí perpektivě ežli ve tředovém promítáí. Tato práce ukauje ákladí pricipy a potupy v obou těchto obraeích. Součátí této práce je příloha obahující oubor arýovaých adáí jedotlivých úloh. Proto by tato práce mohla loužit jako rošiřující materiál ke tudiu daého tématu. Ve většiě úloh bylo voleo peciálích poloh těle a to a účelem jedodušeí kotrukce rovoběžého ovětleí. 36
Literatura [] MCHL, F.: Středové promítáí a lieárí perpektiva.,. vyd., Olomouc, UPOL, 983 [2] RBEK, K.; et al.: ekriptiví geometrie II., dotik, Praha, SNTL, 964 [3] PISK, R.; MEEK, V.: ekriptiví geometrie I., Praha, SNTL/LF, 966 [4] URBN,.: ekriptiví geometrie I.,. vyd., Praha, SNTL/SVTL, 965 [5] KOUNOVSKÝ, J.; VYČICHLO, F.: ekriptiví geometrie pro amouky., 3. vyd., Praha, Nakladateltví Čekoloveké akademie věd, 953 [6] http://kag.upol.c/ [7] http://mat.fv.cvut.c/bakalari/kog/ov/ 37
Přílohy Úloha 3.2.. Setrojte vržeý tí bodu do roviy. Rovoběžé ovětleí je určeo větelými paprky úběžíkem. Bod je adaý tředovým průmětem a oitelkou. Rovia je určea úběžicí a topou. U a u N a S 2 R 38
Úloha 3.2.2. Setrojte rovoběžé ovětleí krychle podtavou v roviě. Ovětleí je dáo větelými paprky úběžíkem, ovětlujeme do roviy podtavy. Krychle je určeá bodem podtavy a tředem podtavy. u S 2 R O 39
Úloha 3.2.3. Setrojte rovoběžé ovětleí koého jehlau do roviy podtavy. Rovoběžé ovětleí je dáo úběžíkem větelých paprků. Jehla pětiúhelíkovou podtavou v roviě je adá bodem podtavy, jejím tředem a vrcholem oitelkou. v v U v N u S2 V O R 40
Úloha 3.2.4. Setrojte rovoběžé ovětleí kolmého hraolu e čtvercovou podtavou v roviě. Ovětleí je dáo větelými paprky úběžíkem, ovětlujeme do roviy. Hraol je určeý tředem podtavy, jejím bodem a výškou, rovia je adaá vou topou a úběžicí. v u S 2 O u R 4
Úloha 3.2.5. Setrojte rovoběžé ovětleí dutého šetibokého jehlau do roviy. Jehla má vrchol v roviě, podtavu v roviě určeou tředem a bodem ( ). Ovětleí je dáo větelými paprky úběžíkem. S 2 R u = u O V 42
Úloha 3.2.6. Setrojte rovoběžé ovětleí válce do roviy podtavy. Ovětleí je dáo větelými paprky úběžíkem. ále jou dáy tředy, obou podtav a bod dolí podtavy. Rovia je roviou dolí a rovia je roviou horí podtavy. u = u R S 2 O* O 43
Úloha 4.2.. Setrojte vržeý tí již etrojeé fotbalové braky a trávík (ákladí roviu). Rovoběžé ovětleí je dáo úběžíkem větelých paprků, perpektiva je adaá ákladicí, horiotem, hlavím bodem a dolím ditačíkem. U h H B B R d 44
l k k k O 0 0 3 0 H h v v 2 v R Úloha 4.2.2. Setrojte rovoběžé ovětleí věže kotek tojící a ákladí roviě do této roviy, áte-li pravoúhlý průmět tředů podtav jedotlivých kotek bod, pravoúhlé průměty podtav v otočeí a jedotlivé výšky kotek. Ovětleí je určeo úběžíkem větelých paprků. Na ákladí roviě tojí kotka podtavy a výšky, a í tojí kotka podtavy a výšky, a í tojí krychle podtavy a a této krychli tojí čtyřboký jehla výšky, jehož podtava je totožá horí podtavou krychle. O0 2 4 45
Úloha 4.2.3. Setrojte rovoběžé ovětleí koého šetibokého hraolu podtavou v ákladí roviě, tředem podtavy v bodě a poloměrem. Střed druhé podtavy leží v roviě, ta je rovoběžá e ákladí roviou a adaá topou. Ovětleí je určeo úběžíkem větelých paprků. r H h = u O * O R d 46
Úloha 4.2.4. Setrojte rovoběžé ovětleí kolmého šetibokého jehlau podtavou v roviě. Jehla je urče jedím vrcholem podtavy, tředem podtavy a výškou. Ovětleí je určeo úběžíkem větelých paprků, ovětlujeme a ákladí roviu. Perpektiva je adaá ákladicí, horiotem, hlavím bodem a pravým ditačíkem. u h H O d R v 47
Úloha 4.2.5. Setrojte rovoběžé ovětleí pravidelého dutého trojbokého hraolu a ákladí roviu. Hraol tojí a jedé těě, obě jeho podtavy leží v roviách kolmých k ákladí roviě. Hraol je urče body ležícími v ákladí roviě. Ovětleí je určeo úběžíkem větelých paprků. H h C R d B 48
Úloha 4.2.6. Setrojte rovoběžé ovětleí dutého kolmého kužele podtavou v roviě a vrcholem v ákladí roviě. Podtava kužele je určea tředem a bodem. Ovětleí je určeo úběžíkem větelých paprků. u l O H h R 49
Úloha 4.2.7. Setrojte me vlatího tíu a vržeý tí dovitř dutého válce ležícího a ákladí roviě. Podtavá kružice válce leží ve vilé roviě a je určea dvěma traami čtverce kružici opaého, úečkami. Povrchové přímky válce procháejí úběžíkem, vdáleot obou podtav určíme libovolě. Rovoběžé větleí je určeo úběžíkem větelých paprků. 2 U h H u B d R 50
Úloha 4.2.8. Setrojte rovoběžé ovětleí lodžie. Ovětleí je určeo úběžíkem větelých paprků. 2 U H U h R d 5
Úloha 5... Setrojte perpektivu domku tojícího a ábřeží a jeho rcadlový obra ve vodí hladiě. omek má tvar kvádru, jeho třechu tvoří hraol jedou těou icidetí horí podtavou kvádru, hřebeem třechy je úečka. Kvádr je urče body a tojí v roviě rovoběžé roviou, tato rovia je od vdáleá o velikot.. Vodí hladia je určea přímkami rovoběžými hraami tělea, které procháejí bodem roviy. V H U h v Q * M N O 52
Úloha 5.2.. Setrojte rcadlový obra iteriéru ve vilém rcadle. H h 53
Úloha 5.3.. Setrojte rcadlový obra iteriéru v šikmém rcadle. Zrcadlo je opřeé o jedu e tě, ábytek je áhodě romítěý po pokoji. h H d 54