Základy zpracování obrazu

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ Základy zpracování obrazu Ing. Miroslav Fribert, Dr Pardubice 006

. Operace s maticemi, program Mathematica. Matice ve zpracování obrazu Matematickým modelem digitalizovaného obrazu je matice s M øádky a N sloupci, pøièem jejími prvky jsou kvantované hodnoty jasu ve vzorkových bodech (pielech) tohoto obrazu. V dalším je uveden pøehled maticových operací pouívaných pøi zpracování obrazu. Vektory a matice N sloupcový vektor f je D vertikální struktura f f : f fj : fn (.) N øádkový vektor f T je D horizontální struktura vzniklá transpozicí vektoru f f T f f fj fn.... (.) MN matice je D struktura o M øádcích a N sloupcích F F.. F F F.. F F : : : F F.. F M M MN N N (.3) Nulová matice (symbol 0) má všechny prvky rovny nule. Diagonální matice je ètvercová (M=N) a všechny její prvky kromì diagonálních jsou nulové. Jednotková matice (symbol I) je diagonální matice se všemi diagonálními prvky rovnými. Souèet matic Souèet dvou matic C = A+B je definován pouze pro matice stejných velikostí. Výsledkem je MN matice s prvky Cmn (, ) Amn (, ) B(mn, ) (.4) Násobení vektorù a matic Souèin matic C = AB je definován pro matice, u kterých je poèet sloupcù matice A s rozmìrem MP rovný poètu øádkù matice B rozmìru PN. Výsledkem je matice MN s poètem øádkù matice A a poètem sloupcù matice B s prvky P AmPBPn Cmn (, ) Amp (, ) Bpn (, ) Am, B, n Am, B, n... p,, (.5) 3

Násobení matice skalárem C =ka Cmn (, ) k Amn (, ) (.6) Skalárním souèinem vektoru A s rozmìrem M a vektoru B s rozmìrem M je skalár M S A(, m) B( m,) m Vektorovým souèinem vektoru A rozmìru M a vektoru B rozmìru N je matice C o rozmìru MN s prvky Inverzní matice Pro inverzní matice A - k matici A platí (.7) C( m, n) A( m, ) B(, n) A( m) B( n) (.8) AA I, A A I, [ A ] A (.9) Jestlie eistuje k matici A inverzní matice A -, potom je matice A regulární, jinak je singulární. Pro regulární matice A, B potom platí AB B A (.0) Transponovaná matice Transpozicí matice A rozmìru MN je matice A T její øádky jsou sloupce a sloupce jsou øádky pùvodní matice A. Je to v podstatì zámìna øádkù za sloupce. Platí tedy [A T ] T = A. Je-li A T = A,je matice A symetrická. Pro dvì libovolné matice A, B platí AB T T T B A (.) Jestlie je matice A regulární (eistuje k ní matice inverzní) potom platí T A A T (.) Ortogonální a unitární matice Øíkáme, e ètvercová reálná matice A je ortogonální, jestlie platí AA T = I, tedy A - = A T (.3) Pokud o matici víme, e je ortogonální, inverzní matici vypoèítáme, kdy provedeme její transpozici. Determinant ortogonální matice je roven + nebo -. Unitární matice je analogický pojem k ortogonální pro pøípad kompleních matic. Platí pro ni AA T* = I, tedy A - =A T*, kde A T* je transponovaná a komplenì sdruená matice k A. Oznaèujeme ji také A H - Hermitovská matice. Potom A H = A T*, AA H =I (.4) 4

Stopa matice Stopou NN matice F nazýváme skalár, který je souètem diagonálních prvkù tr F N F( n, n) n0 Norma vektoru a matice Normou vektoru a matice nazýváme skaláry (.5) f f T f F F T, tr F (.6) Hodnost matice NN matice A má hodnost R (píšeme rank[a]=r), jestlie její nejvìtší regulární submatice je rozmìru RR. Hodnost souètu a souèinu matic A B A B rank rank rank rank rank AB ranka (.7) AB rankb Kronekerùv souèin Levý Kronekerùv souèin PQ matice A a MN matice B je matice C rozmìru PMQN B(,) A B(, ) A. B(, N) A B(,) A B(,) A. B(, N) A C AB... BM (, ) A BM (, ) A. BM (, N) A (.8) Pravý Kronekerùv souèin je potom A(,) B A(, ) B. A(, Q) B A(,) B A(,) B. A(, Q) B C BA... AP (, ) B AP (, ) B. APQ (, ) B (.9) Vlastní èísla a vlastní vektory Tyto pojmy se týkají pouze ètvercových matic. Vlastním èíslem matice A nazýváme takové èíslo, ke kterému eistuje aritmetický vektor u takový, e platí rovnice Au u (.0) kde u je vlastní vektor matice A pøíslušný k vlastnímu èíslu. 5

Mnoina všech vlastních èísel matice A se nazývá spektrum matice A. Kadá ètvercová matice rozmìru NN má N vlastních èísel, poèítáme-li jejich násobnost. Jestlie jsou vlastní èísla matice A navzájem rùzná, potom ke kadému vlastnímu èíslu eistuje jediný lineárnì nezávislý vlastní vektor.. Vzorkovací funkce Konvoluce dvou funkcí Konvoluce dvou funkcí v èasové oblasti f(t) a g(t) je definována pomocí konvoluèního integrálu f( t)* gt ( ) f( ) gt ( ) d f( t) gtd ( ) (.) Podobnì pro funkce dvou promìnných v prostorové oblasti (napø. dvì obrazové funkce) f(, y)* g(, y) f(, ) g(, y) dd f(, y) g(, ) dd (.) Konvoluci je moné chápat jako posunující se okno funkce g(,) v souøadnicích,y, kterým b b b a a a g( ab, ) b g( ab, ) g(- a,- b) b a a y g(- a,y- b) g( ab, )g(- a,y- b) Obr.. Grafické znázornìní konvoluce zkoumáme funkci f(,y) (obr..). Funkce g(,) se také nazývá jádrem konvoluce. Diracova funkce a vzorkování Jednorozmìrná Diracova funkce v bodì je definována pro 0 (.3) pro 6

d (.4) Protoe je () 0 pouze pro = je souèin funkcí y() a (-) (viz obr..) y ( ) ( ) y( ) ( ) (.5) Z této rovnice vyplývá vzorkovací vlastnost Diracova impulsu. Po integraci pøedchozího souèinu dostaneme y( ) ( ) d y( ) ( ) d y( ) (.6) Tedy vzorek v bodì = dostaneme, kdy v definièním intervalu Diracova impulsu integrujeme souèin vzorkované funkce a Diracovy funkce posunuté do bodu.3 Program Mathematica Obr.. Vzorkování pomocí Diracova impulsu Na jednoduchých pøíkladech zde bude podán velmi krátký popis pouívání programu Mathematica od Wolfram Research. Dále budou prezentovány nìkteré operace s maticemi, protoe jsou pouívány v oblasti analýzy obrazu. Pouití nadstavby Digital Image Processing programu Mathematica bude demonstrováno u jednotlivých kapitol tìchto pøednášek. Po spuštìní programu se objeví hlavní menu a okno zápisníku (notebook), do kterého se zapisují promìnné, operace a pøíkazy výpoètù, které chceme provádìt. Operace a pøíkazy lze psát pøímo z klávesnice a potom výbìrem z pomocných oken. Kadý notebook obsahující posloupnost operací lze uloit pod jménem a znovu ho naèíst. Na obrazovce si mùeme zviditelnit rùzná pomocná okna (File ->Palletes), napøíklad BasicInput, BasicCalculation, která usnadòují zadávání vstupù. Velmi dùleité a praktické je pouívání menu Help, kde jsou podrobnì popsány syntae všech operací pøístupných v programu. Pøíklady základních operací Pøepneme se do anglické klávesnice. Pokud chceme reálný výsledek, èísla zadáváme s desetinnou teèkou. Pøíklad. Vypoèítat výraz 97. 00 /3. Do notebooku napíšeme *9.7^00 /3 Shift Enter. 7

Pozn. Operace sèítání +, odeèítání -, násobení * (u matic teèka), dìlení /, mocnina ^. Ostatní operace z palety Basic Input. Pøíklad. Vypoèítejte hodnotu sin(/3) a potom inverzi výsledku. Do notebooku napíšeme y=sin[/3.0] a a=arcsin[y]. Pozn. Argumenty funkcí jsou v hranatých závorkách a jsou oddìleny èárkou. Výsledek se uloí do promìnných y,a.tyto pak mohou být pouity v dalších výrazech. Pøíklad.3 Vysázejte matematický výraz a Pouijeme šablony v paletì BasicInput zobrazené na ploše + Shift Enter. Pozn. Znak se v šablonì aktualizuje klikem do jeho ètvereèku. Pøíklad.4 Vypoèítejte primitivní funkci (neurèitý integrál) funkce tg a potom urèitý integrál tée funkce v mezích 0.0, /3. Pouijeme palety BasicInput na ploše jako pøi sazbì vzorcù, nebo pouijeme funkce Integrate. Do notebooku napíšeme Integrate[Tan[],] + Shift Enter. Pro urèitý integrál pouijeme paletu BasicInput. Pozn. Další palety (BasicTypesetting, BasicCalculation, AlgebraicManipulation, atd.) jsou k disposici pøes menu File Palletes. Pøíklad.5 Vytvoøte grafy D funkce sin a 3D funkce sin(y+sin3). Do notebooku napíšeme: y = Sin[^] + Shift Enter, Plot[y, {,-3, 3}] + Shift Enter z = Sin[y+Sin[3]] + Shift Enter, Plot3D[z, {, -3, 3}, {y, -3, 3}, PlotPoints 40]+ Shift Enter Pozn. Seznam hodnot se dává do sloených závorek. Zvìtšení zobrazení Format->Magnification. Pøíklady operací s maticemi Pøíklad.6 Definujte matici m rozmìru 34 s libovolnymi celoèíselnými prvky. Proveïte operace transpozice, násobení skalárem 33 a vypoèítejte normu této matice. Do notebooku napíšeme seznam m={{,58,,8},{8,5,73,3},{,4,86,66}}+ Shift Enter MatriForm[m] + Shift Enter Transponovaná matice mt = Transpose[m] + Shift Enter. MatriForm[mt] + Shift Enter Násobení skalárem naskal = 3.3m + Shift Enter. MatriForm[naskal] + Shift Enter. Norma matice norm = Tr[Transpose[m].m], nebo norm=tr[mt.m]. Pøíklad.7 Zadejte matici m rozmìru 44 s prvky hodnot -6. Vypoèítejte determinant této matice. Jestli bude jeho hodnota rovna nule, zámìnou dvou prvkù v rùzných øádcích bude nenulový. V zápisníku napíšeme dtm = Det[m] + Shift Enter. Proveïte souèin matice m z pøedchozího pøíkladu a matice m. Ovìøte ruèním výpoètem prvek m 00 výsledné matice. V zápisníku napíšeme souc = m.m + Shift Enter. Pøíklad.8. Zadejte dva vektory v={,,3,4}, v={,-j, -, }a vypoèítejte jejich skalární a vektorový souèin. Do notebooku zadejte oba vektory. Pro skalární souèet napište pøíkaz skal= v.v + Shift Enter., skal=v.v + Shift Enter. Oba výsledky jsou stejné. 8

Pro vektorový souèet napište pøíkaz vek=outer[times,v,v] + Shift Enter, vek=outer[times,v,v] + Shift Enter. Výsledkem jsou matice 44, které nejsou shodné. Proveïte souèin vek ruènì. Pøíklad.9. Proveïte výpoèet inverzní matice k matici 33 sloené z devíti prvních prvoèísel. Proveïte zkoušku. V zápisníku zapíšeme: m4={{,,3},{5,7,},{3,7,9}}+ Shift Enter. MatriForm[m4] + Shift Enter. invm4=inverse[m4] + Shift Enter. souc = m4.invm4 + Shift Enter. MatriForm[souc] + Shift Enter. Pøíklad.0. Vypoèítejte vlastní èísla a vlastní vektory ètvercové matice m5. Pro první vlastní èíslo ukate platnost definièního vzorce. Zadávejte reálná èísla (s desetinnou teèkou). Do zápisníku napíšeme seznam m5={{.,.,.},{.,5.,7.},{4.,3.,6.}}+ Shift Enter Eigenvalues[m5] + Shift Enter Eigenvectors[m5] + Shift Enter Správnost vypoètených vlastních èísel a vektorù ovìøíme s pouitím vzorce Au u. 9

. Úvod do zpracování obrazu. Proè chceme zpracovávat obrazy Se zpracováním obrazu souvisí tøi hlavní skupiny problémù: získání, digitalizace a kódování obrazu z dùvodu jeho ukládání, pøenosu a reprodukce vylepšování (image enhacement) a obnova (image restoration) obrazu z dùvodu odstranìní deformací a poruch a zvýrazòování detailù segmentace obrazu a popis jeho objektù jako nejniší úroveò strojního zpracování (machine vision).. Charakteristika obrazu Matematickým modelem D monochomatického obrazu (èernobílá fotografie, obraz na monochromatické obrazovce) je obrazová funkce dvou promìnných f(,y), kde a y jsou prostorové souøadnice v jednotlivých bodech obrazu a hodnota f je úmìrná jasu v tìchto bodech. U barevného obrazu jsou hodnoty funkce f(,y) vektory se tøemi jasovými slokami r, g, b, které odpovídají barevným pásmùm, na které rozdìlujeme kmitoètový rozsah viditelného svìtla. Pro manipulaci s obrazem (ukládání, modifikace, pøenos) je model obrazu ve tvaru analogové funkce dvou promìnných nevhodný. Proto obraz digitalizujeme, t.j. rozloíme ho na body, které nazýváme piely (picture elements) a kadému pielu pøidìlíme kvantovanou hodnotu, která odpovídá jasu bodu v pùvodní obrazové funkci. Modelem digitalizovaného obrazu je potom digitální funkce f(i,j), kde hodnoty promìnných f, i, j, jsou digitální. Výsledkem je digitalizovaný obraz, který je reprezentován dvojrozmìrným polem celoèíselného typu (u barevného obrazu tøemi poli), kde indey pole jsou souøadnice bodù a hodnoty prvkù pole odpovídají jasu pøedlohy v tìchto bodech. Toto pole mùeme v pøípadì ètvercového obrazu matematicky popsat maticí, která má tvar f(,) 00 f(,) 0.. f(, 0 N ) f(, 0) f(,).. f(, N ) f( ij, ).. f( N 0, ) f( N, ).. f( N, N ) (.) kde N je poèet øádkù a poèet sloupcù matice, který odpovídá poètu pielù v obraze, na který je tento digitalizací rozloen. Pro hodnoty kvantovaných úrovní jasu pielù platí vztahy 0 f(, i j) G G m (.) kde m je poèet bitù dvojkové hodnoty f(i,j).

Je nutné si ujasnit, co je to jas pielu digitalizovaného obrazu. Hodnoty jasu rùzných pielù mají význam pouze relativní, t.j. pouze ve vztahu jedna ke druhé. Kadé zaøízení sejme obraz jinak, hodnoty jasu pielù po vícenásobném sejmutí stejné oblasti se pak od sebe liší. Napøíklad pøi snímání obrazu kamerou ji mùeme napøed zkalibrovat na bílou barvu, co znamená pøi m=8hodnotu jasu pøiblinì 55. Jiná kamera bude interpretovat hodnotou 55 pøi jiném jasu snímané pøedlohy (zále- í na konstrukci kamery, vnìjším osvìtlení, pøípadnì na dalších faktorech). Poèet bitù, které musíme uloit do pamìti, pøípadnì pøenést komunikaèním kanálem (bez komprese obrazu) je pro obraz MN pielù s m bity na piel b M N m (.3) Napøíklad pro obraz 0000 pielù s 56 úrovni šedi na piel (m=8bitù) je b = 30 000 bitù..3 Rozlišení obrazu Pojem rozlišení obrazu vyjadøuje kolik detailù (nebo jak velké) mùeme v nasnímaném obraze vidìt a závisí pøímo na hodnotách N (prostorové rozlišení) a m (jasové rozlišení), které tak rozlišení obrazu charakterizují. Obecnì platí - èím vyšší je frekvence vzorkování, tedy vìtší N a èím vìtší rozsah kvantování, tedy vìtší m, tím více detailù mùeme v obraze rozlišit. Tedy hodnoty N a m charakterizují rozlišení obrazu. Pozor, nezamìòujme tuto charakteristiku s parametrem rozlišovací schopnosti zaøízení, která zpracovávají grafické objekty. Pøi velkých hodnotách N a m je èasto poèet bitù obrazu velký, co znamená velké datové soubory, a to zpùsobuje problémy pøi zpracování a pøenosech. Snahou je poèet bitù (tedy rozlišení obrazu) sniovat, co zase mùe pøinést neádoucí efekty. Pøi konstantním m a klesajícím N je výsledkem tzv. šachovnicový efekt. Pøi konstantním N a klesajícím m (malý poèet úrovní šedi) vznikají "tvrdé" pøechody mezi jednotlivými úrovnìmi šedi a výsledkem jsou tzv. falešné obrysy..4 Jak obraz zpracováváme? Model vzorkovaného obrazu Zpracování obrazu se provádí pomocí transformací obrazu, které jsou realizovány pomocí operátorù. Aplikací operátoru O na vstupní obraz f(,y) dostaneme výstupní obraz g(,y)=o[f(,y)]. Budeme se zabývat lineárními operátory. Pro lineární operátor O platí: O a f, y b f, y a O f, y b O f, y (.4) kde f a f jsou vstupní obrazové funkce, a, b konstanty vzhledem k, y. Abychom dostali model obrazu ve tvaru matice f(i,j), (i, j jsou celá èísla) a mohli jej digitálnì zpracovávat, musíme analogovou obrazovou funkci f(,y) vzorkovat a kvantovat. Pro teoretické úvahy provádíme tzv. ideální vzorkování, kdy se vyuívá vzorkovací vlastnosti Diracovy funkce. Pro úèely vzorkování D obrazu se pouívá dvojrozmìrná Diracova funkce. Definice dvojrozmìrné Diracovy funkce, y pro, y 0 0 0 pro 0 nebo y 0 (.5)

Dvojrozmìrná Diracova funkce posunutá do bodu [,] y pro y,, 0 pro nebo y (.6) Pro dvojrozmìrnou Diracovu funkci platí vztah y d dy, (.7) Spojité vzorkování Z rovnice dvojrozmìrné konvoluce (rov..), kdy druhou funkci nahradíme Diracovým impulsem ( -,y-) a ze vzorkovací vlastnosti Diracovy funkce (rov..6) vyplývá matematický model spojitì vzorkované obrazové funkce (vzdálenosti jednotlivých Diracových impulsù se blí- í k nule) fs, y f,, y d d (.8) Tento tvar spojitì vzorkované obrazové funkce budeme nadále pouívat. Diskrétní vzorkování Diracova funkce je ideální vzorkovací funkcí a pro vzorkování diskrétních bodù obrazu si mù- eme pøedstavit dvojrozmìrné pole Diracových impulsù (obr..), kdy kadý Diracùv impuls z tohoto pole odpovídá diskrétnímu bodu [,y] vzorkovacího pole. Vzorkovaný obraz je potom tvoøen polem tìchto impulsù váených v kadém bodì hodnotou obrazové funkce v tomto bodì. Obr.. Pole Diracových impulsù Pøi diskrétním vzorkování se posuvy a mìní po skocích =j, =ky ( a y jsou intervaly vzorkování) a integrál pøechází na sumu. Pro diskrétnì vzorkovanou obrazovou funkci mùeme potom psát fd, y f,, y (.9) 3

fd, y f j, ky j, yky (.0) j k Pøi reálném vzorkování pøedpokládáme, e vzorkovaný obraz má koneènou velikost MN.Potom je model reálného diskrétního navzorkovaného obrazu dán vztahy M N fd y f y,,, 0 0 (.) M N fd y f j ky j y ky,,, j 0 k 0 (.) Aplikace transformaèního operátoru Nejprve si znázorníme pøíklad aplikace tranformaèního operátoru (v našem pøíkladu operaci filtrace prùmìrováním se zvýšenou vahou centrálního pielu). Na obr.. je znázornìno prùmìrování v centrálním pielu pomocí konvoluèní masky velikosti 33 piely. Konvoluèní maska zde pøedstavuje transformaèní operátor. Pøedstavme si navzorkovaný obraz velikosti MN, který chceme vyhladit naznaèeným prùmìrováním. Prakticky tento proces probíhá ve smyslu definice konvoluce tak, e posouváme konvoluèní masku postupnì po jednom pielu v obraze a poèítáme prùmìr hodnot jasu pielù z maskovaného okolí vstupního obrazu. Výsledek pøiøazujeme pielu výstupního obrazu, který polohou koresponduje s centrálním pielem masky. 0 95 86 3 35 5 /0 /0 /0 8 44 58 /0 /0 /0 33 49 66 /0 /0 /0 Obr.. Konvoluèní maska filtrace prùmìrováním 4

V tomto konkrétním uspoøádání bude hodnota jasu centrálního pielu Jc 3 35 5 8 44 58 33 49 66 43 43, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Kdy aplikujeme transformaèní operátor na obraz f(,y) dostaneme výstupní obraz g(,y) gy (, ) O f( y, ) (.3) Aplikujeme lineární operátor O na model spojitého obrazu f(,y) popsaný rovnicí (.8). Potom mùeme psát gy (, ) O f(, ), y ) d d f(, ) O (, y ) dd (.4) Aplikujeme tedy transformaèní operátor pøímo na dvojrozmìrnou Diracovu funkci. Výsledkem je tzv. impulzní odezva (Point Spread Function - PSF) s oznaèením h(,,y,). Tato funkce vyjadøuje, jak hodnoty pielù vstupního obrazu na pozicích, v konvoluèní masce ovlivòují pøes operátor O hodnotu pielu výstupního obrazu na pozici, y. O, y h,, y, (.5) kde h(,,y,) je prostorová impulsní odezva PSF (v podstatì transformovaný obraz pole Diracových impulsù). Tedy,,,,, g y f h y d d (.6) Tento integrál se nazývá superpozièní integrál (shifting integral). Prodigitalizovaný obraz rozmìru MN dostaneme superpozièní sumu M N gy (, ) f(, ) h (,, y, ) 0 0 (.7) Uvaujme, e hodnoty jednotlivých operandù v masce nezávisí pøi posuvu na její poloze v poli Diracových impulsù. Tedy hodnoty PSF také nezávisí na pozici bodu [,y] (poloze masky), ale pouze na relativní poloze bodù [,y]a[]. Transformace je potom prostorovì invariantní a platí h (,, y, ) h (, y ) (.8) Rovnice superpozièní sumy (rov..7) pøejde na konvoluci M N gy (, ) f(, ) h (, y) 0 0 (.9) Pokud je transformaèní operátor navren tak, e se vzájemnì neovlivòují operace v øádcích a sloupcích, potom je transformace separabilní a platí h (,, y, ) hc(, ) hr( y, ) (.0) 5

V prai to znamená, e piely výstupního obrazu v urèitém øádku jsou pøes transformaèní operátor ovlivnìny pouze piely odpovídajícího tomuto øádku vstupního obrazu. Pøíkladem takového operátoru je Fourierova transformace. Potom mùeme rovnici.7 napsat jako dvì postupné D transformace, co znamená postupnou transformaci napøed ve smìru y a potom ve smìru. Potom platí M N gy (, ) hc(, ) f(, ) hr( y, ) 0 0 (.) Pokud je transformaèní operátor prostorovì invariantní a souèasnì separabilní potom pro výstupní obraz platí M N gy (, ) hc( ) f(, ) hr( y) 0 0 (.).5 Výsledek aplikování lineárního operátoru na obraz Pøedpokládejme obrazovou matici f(,y) s N øádky a N sloupci. Teoreticky mùeme pøedpokládat, e všechny piely vstupního obrazu f(,y) ovlivòují pøes operátor O hodnotu pielu na pozici [,y] výstupního obrazu g(,y). Rozepíšeme rovnici.7 superposièní sumy (rychleji se mìní ) gy (, ) f( 00, ) h (, 0, y, ) f( 0, ) h (,, y, 0)...... f( N 0, ) h(, N, y, 0) f(,) 0 h(,, 0 y, ) f(, ) h(,, y, )... f( N, ) hn (,, y, ) f(,) 0 h(,, 0 y,) f(,) h(,, y,).... f( N, ) h(, N, y, ) f(, 0 N ) h (, 0, yn, ) f(, N) h (,, yn, )... f( N, N) hn (,, yn, ) Rozepíšeme rovnici.7 pro N=3 Po provedení operace souètu gy (, ) f(, ) h (,, y, ) 0 0 (.4) g (, y) f(,) 00 h (,, 0 y,) f(,) 0 h (,, y,) 0 f(,) 0 h (,, y, 0) f(,) 0 h(,, 0 y,) f(,) h(,, y,) f(,) h (,, y,) (.5) f(,) 0 h(,, 0 y,) f(,) h(,, y,) f,) h(,, y,) Pro jednotlivé konkrétní body [,y] výstupního obrazu poèítáme hodnoty g(,y) postupným dosazováním = 0,,; y = 0,, a tak dostaneme postupnì hodnoty g(0,0), g(,0), g(,0), g(0,), g(,), g(,), g(0,), g(,),... g(,) z hodnot f(0,0) - f(,) pøes hodnoty h(,,y,). 6

Pøíklad.. Pro g(0,0), g(,0) dostaneme g(,) 00 f(,) 00 h(,,,) 000 f(,) 0 h(,,,) 000 f(,) 0 h(,,,) 000 f(,) 0 h(,,,) 000 f(,) h(,,,) 00 f(,) h(,,,) 00 f( 0, ) h( 000,,, ) f(, ) h( 00,,, ) f,) h(,,,) 00 g(,) 0 f(,) 00 h(,,,) 00 f(,) 0 h(,,,) 00 f(,) 0 h(,,, 00) f(,) 0 h(,,,) 00 f(,) h(,,,) 0 f(,) h(,,,) 0 f(,) 0 h(,,,) 00 f(,) h(,,,) 0 f,) h(,,,) 0 Hodnoty h(,,y,) uspoøádáme do matice tak, aby pro g(0,0) byly hodnoty h(,y) v prvním øádku matice, pro g(,0) v druhém øádku, g(,0) ve tøetím atd, a koneènì pro g(,) v posledním, devátém øádku. Dostaneme tak v pøípadì obrazu se tøemi øádky a tøemi sloupci následující matici koeficientù PSF s devíti øádky a devíti sloupci. H h( 0000) h( 000) h( 000) h( 000) h( 00) h( 00) h( 000) h( 00) h( 00) h( 000) h( 00) h( 00) h( 00) h( 0) h( 0) h( 00) h( 0) h( 0) h( 000) h( 00) h( 00 ) h( 00) h( 0) h( 0) h( 00) h( 0) h( 0) h( 000) h( 00) h( 00) h( 00) h( 0) h( 0) h( 00) h( 0) h( 0) h( 00) h( 0) h( 0) h( 0) h( ) h( ) h( 0) h( ) h( ) h( 00) h( 0) h( 0) h( 0) h( ) h( ) h( 0) h( ) h( ) h( 000) h( 00) h ( 00) h( 00) h( 0) h( 0) h( 00) h( 0) h( 0) h( 00) h( 0) h( 0) h( 0) h( ) h( ) h( 0) h( ) h( ) h( 00) h( 0) h( 0) h( 0) h( ) h( ) h( 0) h( ) h( ) Obr..3 Matice koeficientù PSF Uspoøádejme hodnoty f a g vstupního a výstupního obrazu z maticové formy 33 tzv. stohováním sloupcù do vektorové fomy 9 dostaneme f (,) 00 f (, 0) f (,) 0 f (,) 0 f f (,) f (,) f (,) 0 f (, ) f (,) g(,) 00 g(, 0) g( 0,) g(,) 0 g g(,) g(,) g(,) 0 g(, ) g(,) (.6) 7

Potom mùeme (po zobecnìní na matici MN) rovnici.7 napsat v maticovém tvaru g H f (.7) Tato maticová rovnice je fundamentální rovnicí lineárního zpracování obrazu. H je transformaèní matice koeficientù impulzní odezvy PSF o rozmìru M N na pole Diraciových impulzù. Vektory f a g jsou rozmìru MN vzniklé "stohováním" sloupcù matic f a g o rozmìru MN. Matice H je sloena ze submatic, kadá o rozmìru MN podle schéma na obr..4 ( pøíklad pro obraz rozmìru 33). y 0 0 y 0 y 0 y y 0 y y y 0 y y Obr..4 Schéma matice H Pøíklad. Ze schéma na obr..4 odvoïte submatici N (pro y=, =). Zkontrolujte s rozepsaným rozvojem na obr..3. Tato submatice je ve druhém øádku a tøetím sloupci ve schématu. Hodnoty y =, = se v ní nebudou mìnit, mìní se v øádcíchavesloupcích. N h(,,,) 00 h(,,,) 0 h(,,,) 0 h( 0,,, ) h(,,,) h(,,,) h(,,,) 0 h(,,,) h(,,,) Zkontrolujeme výsledek s rozpisem na obr..3..6 Stohovací operátor Tento operátor dovoluje prezentovat matici NN jako vektor N a obrácenì. Definujeme si vektor v n a matici N n následujícím zpùsobem: 8

v N n n 0 0 0 0 0 0 0 0 : :...... : : 0 : 0 0 0 (.8) Rozmìr v n je N a rozmìr N n je N N. Pøedpokládejme matici f rozmìru NN. Potom je vektor fs vzniklý stohováním z matice f vytvoøen vztahem fs = N f vn n n= N (.9) Rozmìr vektoru fs je N a prakticky vznikne stohováním jednotlivých sloupcù matice f rozmìru NN na sebe. Obrácenì matici f vytvoøíme z vektoru fs podle vztahu f= Nfsvn n n= N T (.30) Pøíklad.3 Vypoèítejte první sèítanec (n = ) nastohovaného vektoru fs matice f s pouitím rovnice.9 pro následující matici f 3 5 7 3 7 9. Podle rov.8 v N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 fv N fv 5 3 5 3 0 0 0 0 0 0 9

.7 Vliv separability na strukturu transformaèní matice Separabilita linearního operátoru znamená, e mùeme prostorovou impulsní funkci PSF vyjádøit souèinem dvou funkcí, kdy první je závislá pouze na promìnné (sloupcích navzorkovaného obrazu) druhá na promìnné y (øádcích navzorkovaného obrazu) (viz rov..0). Pokud pøedpokládáme separabilní operátor (napø. separabilní je Fourierova transformace) a aplikujeme souèin hc(, ) hr( y, ) v matici H, vidíme, e uvnitø kadé submatice MN jsou promìnné y, konstantní a mùeme èlen hr( y, ) vytknout pøed tuto submatici. Dostaneme následující tvar matice H (pøíklad pro obraz 33). hc00 hc0 hc0 hr00 hc0 hc hc hc0 hc hc hc hc hc 00 00 0 H hr0 hc0 hc hc hc0 hc hc hc00 hc0 hc0 hr0 hc0 hc hc hc0 hc hc hc00 hc0 hc0 hr0 hc0 hc hc hc0 hc hc hc00 hc0 hc0 hr hc0 hc hc hc0 hc hc hc00 hc0 hc0 hr hc0 hc hc hc0 hc hc hc00 hc0 hc0 hr0 hc0 hc hc hc0 hc hc hc00 hc0 hc0 hr hc0 hc hc hc0 hc hc hc00 hc0 hc0 hr hc0 hc hc hc0 hc hc (.3) Ze schématu je zøejmé, e matice H je vlastnì Kronekerùv souèin dvou matic hc(, ), hr( y, ) o rozmìrech 33. H hc(, ) hr( y, ) (.3) Na základì definièní rovnice (.) separabilní transformace je moné odvodit maticovou rovnici separabilní transformace obrazu f []. T g(, y) h (, ) f(, y) h ( y, ) (.33) c Budeme pouívat zkrácený zápis g h c f h T r. Všimnìme si, e operace násobení se provádìjí postupnì s maticemi o rozmìrech NN. To má za následek, e provádíme pøi transformaci N 3 operací oproti N 4 pøi násobení neseparabilní matice H a vektoru f. Pøíklad.4 Pøesvìdète se o správnosti vztahu g h c f h T r aplikováním separabilních matic h c a h r na matici f. r 3 9 8 7 hc 4 5 6, hr 4 5 6, f 7 8 9 3 3 5 7 3 7 9 0

Vypoèítáme matici H hchr(ruènì nebo pomocí funkce KroneckerProduct v modulu Image Processing programu Mathematica), vynásobíme ji vektorem matice f a tak dostaneme výsledný vektor g. Potom pomocí programu Mathematica vypoèítáme g pomocí g h c f h T r. Mìli bychom v obou pøípadech dostat stejný výsledek 560 07 366 g 3390 39 79 50 345 8 Pøíklad.5 Pro obraz z pøíkladu.3 zjistìte transformaèní matici H a výsledný filtrovaný obraz s maskou 33 pro prùmìrování se zvýšenou vahou støedního pielu (hodnota ). Pro okrajové piely pøedpokládejme rozšíøení obrazu, jako by se v obou smìrech periodicky opakoval. f f 0 f f f 0 f 0 f 00 f 0 f 0 f 00 f f 0 f f f 0 f f 0 f f f 0 f 0 f 00 f 0 f 0 f 00 Vyhlazený piel g 00 (odpovídá vstupnímu pielu f 00 ): g f f f f f f f f f 0 00 0 0 00 0 0 Vyhlazený piel g 00 g0 f 0 f 00 f 0 f f 0 f f f 0 f 0 První øádek matice H tedy bude (v poøadí f 00,f 0,f 0,f 0,... f ):,,,,,,,,, druhý øádek,,,,,,,,. Podobnì se odvodí další øádky pro g 0,g 0,... g. Výsledkem je následující maticová rovnice a vyhlazený obraz. g g g g g g g g g 00 0 0 0 0 0 5 3 7 7 3 9 79, 83, 9, 80, 85, 95, 8, 89, 97.

Na závìr tohoto tématu shrneme problémy, které øeší lineární metody zpracování obrazu: máme obraz f a hledáme matici h(,,y,) (pøípadnì h c a h r ) pro zdokonalení obrazu (image enhacement) máme obraz f a hledáme matici h(,,y,) (pøípadnì h c a h r ) takové, aby matice g byla reprezentována menším poètem bitù, ani se výraznì zhorší rozlišení (image compression) máme obraz g (degradovaný napø. procesem jeho získání) a hledáme matici h(,,y,) pro rekonstrukci obrazu f (image restoration) máme obraz f a hledáme matici h(,,y,) (pøípadnì h c a h r ) takovou, aby mìl výstupní obraz g zvýraznìny nìkteré rysy (napø. hrany) - úpravy pro machine vision).

3. Integrální transformace obrazu Integrální transformace dovolují vyjádøit obraz jako lineární superpozici (obvykle souèet) více tzv. elementárních obrazù. Tìmito transformacemi se obraz pøevádí z prostorové oblasti do frekvenèní oblasti (jedná se o prostorové frekvence s rozmìrem /m). Potom mùeme obrazy zpracovávat ve frekvenèní oblasti pomocí tzv. frekvenèních filtrù, co je v nìkterých pøípadech výhodnìjší. Po provedené filtraci se obraz pøevede zpìtnou transformací zpìt do prostorové oblasti. Na obr.3. je blokovì znázornìno zpracování v obou oblastech. Vstupní obraz Prostorový filtr Výstupní obraz Pøímá transformace F rekvenèní filtr Zpìtná transformace Zpracování v prostorové oblasti (prostorový filtr) se provádí pomocí lineárních kombinací hodnot jasu pielù vstupního obrazu s koeficienty h(-,y-) impulsní odezvy, kterou nazýváme lokálním prostorovým filtrem. Základním nástrojem v pøípadì prostorovì invariantní transformace je konvoluce gy (, ) f( y, )* h (, y ) (3.) Zpracování ve frekvenèní oblasti (frekvenèní filtr) se provádí omezováním frekvenèního rozsahu obrazu v rùzných oblastech (nízké, støední, vysoké frekvence). Základní operací je násobení transformovaného obrazu F(u,v) funkcí H(u,v), kterou nazýváme frekvenèní pøenos MTF (Modulation Transfer Function). Tím dostaneme transformovaný výstupní obraz G(u,v), který mùeme zpìtnou transformací pøevést do prostorové oblasti. Guv (, ) Fuv (, ) Huv (, ) (3.) Frekvenèní pøenos H(u,v) získáme Fourierovou transformací funkce PSF, v maticové formì koeficientù h(-,y-) do frekvenèní oblasti. 3. Základní teorie Obr.3. Zpracování obrazu v prostorové a frekvenèní oblasti Pøi transformaci obrazù do frekvenèní oblasti se budeme zabývat lineárními unitárními transformacemi. Unitární transformace je speciální pøípad lineární transformace a znamená, e její separabilní transformaèní matice h c, h r (obecnì komplení) jsou unitární. Matice U se nazývá unitární, pokud k ní inverzní matice U je komplenì sdruená k transponované matici U T. Potom platí T* T* U U, UU I (3.3) 3

U reálných matic platí U T* =U T a tedy za pøedpokladu unitárnosti platí U - =U T (inverzní matice je rovna transponované matici) øíkáme, e U je ortogonální matice. Odpovídající transformace se potom nazývají ortogonálními transformacemi. Pokud f a g oznaèují vektorové reprezentace vstupního a výstupního obrazu, potom platí následující vztahy pro dvojrozmìrnou unitární transformaci: T* g Af, f Bg, B A A (3.4) kde A je tranformaèní matice pøímé transformace, B je transformaèní matice inverzní transformace, A T* je transponovaná a konjugovaná matice A. Pro reálné transformaèní matice pak platí B=A T, matice inverzní transformace je rovna transponované matici pøímé transformace a tedy f=a T g. Rozvoj obrazu na vektorové souèiny Vektorový souèin dvou vektorù uv i j T ui ui : u in v v.. v j j jn uv i j uivj... uivjn uivj uivj... uivjn : : : uinvj uinvj... uinv jn (3.5) Z pøedchozí kapitoly víme, e lineární separabilní transformaci obrazu lze vyjádøit ve tvaru g T h c f h r (3.6) T Vyjádøíme matice hc, h pomocí jejich sloupcových a øádkových vektorù r hc u u un... (3.7) h r T v v : v T T N T (3.8) Potom dosazením do (3.6) g u u... u N v v f : v T T N T (3.9) 4

Matici f mùeme rozepsat jako souèet N matic rozmìru NN podle následujícího schéma f 0... 0 0 f... 0 0 0... 0 0 0... 0 0 0... 0 0 0... 0 f... : : : : : : : : : 0 0... 0 0 0... 0 0 0... fnn (3.0) Potom mùeme z rovnic 3.9 a 3.0 odvodit vztah pro transformovaný obraz [] g N N i j f ij uv i j T (3.) Èlen f ij mùeme pøesunout pøed vektorový souèin, protoe se jedná pro kadou kombinaci indeù i,j o násobení skalárem. Tato rovnice vyjadøuje rozvoj transformovaného obrazu g na èleny sloené z vektorových souèinù sloupce u i se sloupcem v j transformaèních matic h c a h r, váených koeficienty f ij. Tyto souèiny mohou být interpretovány jako elementární obrazy a tvoøí dekompozici transformovaného obrazu g na tyto elementární obrazy. Rozvoj pùvodního obrazu f na vektorové souèiny se odvodí podobným zpùsobem z rovnice T r f h g h Potom po odvození bude rozvoj pùvodního obrazu [] f c N N i j g (3.) ij uv i j T (3.3) kde u i a v j jsou sloupcové a øádkové vektory matic h c T hr a. Pøíklad 3.. Na základì zadání matic h c, h r a f z pøíkladu.3 vypoèítejte elementární obraz pro i=, j= s pouitím vztahu 3.. 3 9 4 3 f =, hc 4 5 6, hr T 8 5 7 8 9 7 6 T EO f u v 4 7 8 5 6 0 4 64 40 6 0 8 V programu Mathematica otevøete z výukových pøíkladù soubor Elemobr.nb a sledujte jednotlivé kroky výpoètu dalších sloek a zkoušku seètením tìchto sloek. 5

3. SVD rozklad matice obrazu Pøi pøenosech obrazù vzniká problém s velikostí datového souboru, který obraz reprezentuje. Obecnì lze tento problém øešit transformací matice pùvodního obrazu f s N elementy pouitím takových transformaèních matic h c a h r, e matice g takto transformovaného obrazu bude diagonální. Potom je pùvodní obraz f reprezentován pouze N nenulovými elementy matice g a pouitými transformaèními maticemi. Jak tedy takovou transformaci provést? Z teorie maticového poètu je známo, e reálnou matici f rozmìru NN, která má hodnost r mùeme rozloit na souèin f U T V (3.4) kde U,V jsou ortogonální matice rozmìru N r a je diagonální matice rozmìru r r. Pøi transformaci rozloíme matici f podle pøedchozího vztahu na diagonální matici násobenou zleva transformaèní maticí U a zprava transformaèní maticí V T. Tato transformace se nazývá SVD transformace (Singular Value Decomposition), kde je matice vlastních èísel a U, V matice vlastních vektorù. My budeme rozkládat matici f, která reprezentuje obrazovou funkci f(,y). Výpoèet matic U, V a pro rozklad matice f Vytvoøíme z rovnice 3.4 souèin ff T za pøedpokladu, e U a V jsou ortogonální matice ff T U V T V U T U U T UU T (3.5) Z pøedchozí rovnice vyplývá, e matice ff T je charakterizována diagonální maticí, která obsahuje r vlastních èísel matice ff T a maticí U tvoøené z vlastních vektorù matice ff T. Podobnì T T f f V V (3.6) Diagonální matice obsahuje r vlastních èísel matice f T f a matice V je sloena z vlastních vektorù matice f T f. Aproimace obrazu pomocí SVD SVD obrazu f je jeho rozvoj na vektorové souèiny, kdy tyto vektory jsou vlastní vektory matic ff T a f T f násobené koeficienty, co jsou vlastní èísla tìchto matic. S pouitím rovnice 3.3 se dá odvodit transformovaný obraz jako souèet elementárních obrazù []. f r i i uv i i T (3.7) Násobíme pouze vektory se stejnými indey, protoe koeficienty jsou nenulové pouze pro i=j (matice je diagonální). Pøi diagonalizaci matice f dochází k tomu, e nìkteré hodnoty vlastních èísel jsou malé (blíí se k nule). Pokud tyto èleny zanedbáme a vezmeme do zpracování jen k<rèlenù rozvoje, dostaneme pro aproimovaný obraz fk k i uv i i T (3.8) i 6

Dùsledkem je menší poèet elementárních obrazù a za urèitých podmínek i menší mnoství dat v souboru transformovaného obrazu oproti pùvodnímu obrazu f. Zanedbáním malých hodnot koeficietù rozvoje vzniká chyba aproimace. Tato chyba se poèítá jako norma matice Po odvození [] r T D f fk i uv i i ik (3.9) r D ik i (3.0) Tedy chyba aproimace je rovna souètu zanedbaných vlastních èísel matic ff T a f T f. Pøíklad 3. Vypoèítejte pomocí SVD elementární obrazy obrazu popsaného maticí. 0. 3..... 4. 0.. Pouijte program Mathematica pro výpoèet elementárních obrazù. Proveïte zkoušku výpoètu jejich seètením podle rovnice 3.8. (Otevøít SVDtest z výukových pøíkladù a sledovat jednotlivé kroky výpoètu). Vyuití SVD transformace ke kompresi obrazu pro efektivnìjší pøenos spoèívá v tom, e se pøenášejí pouze významná vlastní èísla a k nim náleející vlastní vektory matic ff T a f T f. Ty se potom na pøijímací stranì transformují na výsledný obraz (rov. 3.8). 3.3 Fourierova transformace obrazu Z teorie signálù je známo, e kadý spojitý periodický signál s peridou T, tedy s kruhovou frekvencí, lze s urèitou nepøesností vyjádøit koneèným souètem harmonických signálù (sinu- T sových a kosinusových sloek) rùzných amplitud s frekvencemi rovnými celistvým násobkùm základní frekvence f, tedy kruhovými frekvencemi T T, 4 T,... n n. T Na obr.3. je zobrazeno skládání obdélníkového signálu z harmonických signálù [5]. Protoe pro harmonické signály platí vztah e j cos jsin (3.) mùeme pro periodický signál napsat tento souèet ve tvaru jn t f t e T () F( n) Fn cosn t jsinn t n0 n0 T (3.) kde F( n ) jsou komplení èísla, která vyjadøují amplitudu a fázi jednotlivých harmonických sloek této sumy. Tento vztah vyjadøuje zpìtnou Fourierovu transformaci. 7

Obr.3. Skládání obdélníkového signálu z harmonických sloek Jednotlivé harmonické sloky poèítáme ze vztahu T jn t T T F( n) f( t) e dt f( t)(cos n t jsin n T T 0 T T tdt ) (3.3) 0 kde n = 0,,,...n pro F( 0 ), F( ), F( )...F( n ), tedy 0 =0, T, 4 T. n n. T Tento vztah vyjadøuje pøímou Fourierovu transformaci. Øíkáme, e FT pøevádí èasovou funkci f(t) do frekvenèní oblasti. Sloky F( n ) jsou komplení èísla. Mají tedy reálnou a imaginární èást F( n ) = Re( n )+jim( n ). Amplitudy a fáze tìchto sloek F( n) Re( n) Im( n) (3.4) Im( n) ( n) arctg (3.5) Re( n) 8

Obr.3.3 Amplitudové spektrum obdélníkového signálu Závislost F( n ) a ( n ) na frekvencích n se nazývá amplitudové spektrum a fázové spektrum. Druhá mocnina amplitudy P( n )= F( n ) se nazývá výkonová spektrální hustota. Na obr.3.3 je znázornìn pøíklad spektra amplitud obdélníkového signálu s periodou T, tedy =/T. Pokud chceme aplikovat Fourierovu transformaci v prostoru (nezávisle promìnná je prostorová souøadnice), nahradíme èas t prostorovou promìnnou, periodu T prostorovou periodou X a frekvenci n prostorovou frekvencí u n. Potom X F( u ) ( ) X f e jn X d n 0 (3.6) n kde n = 0,,,...n a un. X Pokud pracujeme s digitalizovaným obrazem, potom musíme aplikovat tzv. diskrétní Fourierovu transformaci - DFT. Pøedpokládejme napøíklad jednorozmìrný diskrétní (vzorkovaný) obdélníkový prostorový signál (obr.3.4) s N vzorky (ekvivalentní periodì X), který se periodicky opakuje v jednom rozmìru. Obr.3.4 Diskrétní jednorozmìrná obdélníková funkce Integrál nahradíme sumou a periodu X poètem vzorkù, oznaèení frekvencí u n pøímo promìnnou u, která nabývá postupnì hodnot 0,,,... N. Potom je jednorozmìrná DFT v prostoru definována rovnicí N F( u) f( ) e j N u N 0 (3.7) 9

Inverzní jednorozmìrná DFT F N f u e j N ( ) ( ) u (3.8) N u0 Sloka F(0) je tzv. stejnosmìrná sloka a je to v podstatì støední hodnota diskrétního signálu. N F( 0) f( ) ( 0) ( ) ( ) N 0 N f f f N (3.9) Sloka F() je tzv. první harmonická diskrétního signálu o frekvenci /N. N j F( ) f( ) e N ( 0) ( ) ( ) N 0 N f f e j N f e 4 ( N ) j j N N f( N ) e Pøíklad 3.3 Vypoèítejte frekvenèní sloky F(0), F(),... F(7) diskrétní impulsové funkce pro poèet vzorkù N=8. Do programu Mathematica zadáme vektor = {,,,,0,0,0,0}, který charakterizuje vstupní impulzovou funkci. Pomocí pøíkazu Fourier[] vypoèítáme výstupní vektor (zaokrouhleno na místa) V={.4+0i, 0.35+0.85i, 0+0i, 0.35+0.5i, 0+0i, 0.35-0.5i, 0+0i, 0.35-0.85i}, který charakterizuje frekvenèní sloky Fourierova rozvoje. Pomocí funkce ListPlot[v] zobrazíme výsledek graficky. Zadáme znovu zaokrouhlený vektor a pomocí funkce InverseFourier[v] získáme pùvodní impulsovou funkci (bude mírnì zkreslená kvùli zaokrouhlení). Na obr.3.6-3.8 je zobrazen výsledek v programu Mathematica. Obr. 3.6 Graf diskrétní impulzové funkce Obr.3.7 Graf DFT diskrétní impulzové funkce Obr.3.8 IDFT diskrétní impulzové funkce DFT digitálního obrazu Pro D digitální obraz f(,y) rozmìru MN je pøímá DFT definována rovnicí M N ju jv y f( u, v) f(, y) e M N MN 0 y0 MN M N 0 y0 f(, y) e j u vy ( ) M N (3.3) kde,y jsou prostorové souøadnice pùvodního obrazu, u,v prostorové frekvence diskrétních harmonických signálù, na které je pùvodní obraz rozloen. Z rovnice je zøejmá separabilita DFT. 30

Obr.3.9 DFT dvojrozmìrné funkce ve smìru Místo obvyklého oznaèení výstupního obrazu g volíme oznaèení f, protoe výstup z DFT není vlastnì obraz, my si jen jednotlivé sloky zobrazujeme v rovinì tak, e nejniší frekvence jsou uprostøed a smìrem k okrajùm se zvyšují. Pøedpokládáme pøitom, e se motiv obrazu periodicky opakuje v obou prostorových souøadnicích, abychom vyhovìli podmínkám definice obecné Fourierovy transformace. Pokud si zobrazíme jednotlivé sloky Fourierova obrazu ve frekvenèní rovinì, dostaneme obraz MN frekvenèních sloek. Tento obraz bude mít stejný poèet pielù jako originál, pouze tyto piely nebudou pøedstavovat hodnoty jasu, ale amplitudy prostorových frekvencí. Na obr. 3.9 je zobrazena impulzní funkce a její DFT ve smìru souøadnice její zmìny. Z obrázku je zøejmé, e obraz spektra obsahuje polovinu nadbyteèných hodnot (symetrie kolem støedu). Inverzní DFT zkonstruovaná z harmonických sloek f( u, v)je potom M N f(, y) f( u, v) e MN u0 v0 j u vy ( ) M N (3.3) Obr. 3.0 Jednoduché obrazy a "obrazy" jejich DFT 3

Na obr. 3.0 jsou obrazy se sinusovým a nesinusovým (impulzovým) motivem v jednom smìru a obrazy jejich DFT normované do rozsahu 0-56. Na obr. 3. je prezentován obraz DFT konkrétního monochromatického obrazu. Vyšším hodnotám amplitud jednotlivých frekvencí odpovídá tmavší odstín. Obr.3. DFT èernobílého obrazu DFT v maticové formì Vytvoøíme matici U pro NN obraz s prvky [] U, e j N (3.33) kde se mìní v rozmezí od 0 do N- ve sloupcích a v tom samém rozmezí v øádcích. Tato komplení matice reprezentuje jak matici h r tak i h c, protoe u Fourierovy transformace platí vztah h r = h c. Poloíme tedy h r =h c =U, matice U potom pøedstavuje jádro DFT. Víme, e platí vztah g h c f h T r, tedy g UfU T (3.34) Po zámìnì g a f _ mùeme psát f UfU T (3.35) Protoe je matice U symetrická, tedy platí U T =U, potom DFT obrazu f v maticové formì je f UfU (3.36) Zpìtná DFT transformace je potom (za pøedpokladu, e U je komplení) * * f U fu (3.37) 3

Pøíklad 3.4 Z rovnice 3.33 odvodíme matici DFT pro obraz velikosti 44: U j j j j 0 j 0 j 0 j 0 4 4 4 4 j 0 j 4 4 e j j 3 4 4 e e j 0 j j 4 j 6 4 4 4 4 e e e e e e e e e j 0 j 3 j 6 j 9 4 4 4 4 e e e e 6 4 3 Èlen U,3 bude roven e e e cos jsin. Podobnì vypoèítáme ostatní prvky matice. Výsledkem bude matice U j j j j Pøíklad 3.5 Pouijte matici DFT z pøíkladu 3.4 pro výpoèet transformace následujícího obrazu 0 0 0 0 0 0 f 0 0 0 0 0 0 Vypoèítáme souèin UfU, výsledkem je matice DFT j 0 j j 0 f 0 0 0 0 j j 0 Oddìlíme reálnou a imaginární sloku matice f Re( f ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 j Im( f ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 33

Elementární obrazy DFT Kadému prvku matice U odpovídá elementární obraz diskretní kosinusovky (reálná èást komplení sloky) a diskrétní sinusovky (imaginární èást komplení sloky) s prostorovou frekvencí závislou na poloze prvku v matici (nízké frekvence odpovídají prvku s nízkými indey, vysoké frekvence prvkùm s vysokými indey). Tyto elementární obrazy získáme jako vzájemné vektorové souèiny odpovídajících øádkù a sloupcù matice U. Kadý elementární obraz rozvoje DFT získáme také jako vektorový souèin dvou libovolných øádkù matice U (i stejných), protoe matice U je symetrická. Potom tedy bude poèet tìchto elementárních obrazù N jestli bude rozmìr matice NN (poèítají se i dvojice v opaèném poøadí). Na obr. 3. je zobrazen rozvoj DFT matice U (reálné a imaginární èásti) obrazu o rozmìru 44 na elementární obrazy. Hodnoty v kadém obraze jsou kvùli zobrazení z rozmezí -/4, +/4 rozšíøeny na interval 0-55. Obr. 3. Reálná a imaginární èást elementárních obrazù DFT Pøíklad 3.6. Vypoèítejte elementární kosinovou (reálnou) sloku I,0 obrazu z DFT rozvoje z pøíkladu 3.4. Provedeme vektorový souèin prvního øádku a nultého sloupce reálné sloky matice U. 0 0 4 4 4 4 0 0 0 0 4 4 4 4 0 0 0 0 Matice koresponduje s druhým vzorkem prvního sloupce kosinové sloky (levý obrázek) v obr.3.. Pokud pøehodíme v souèinu oba vektory, dostaneme sloku I 0,, která koresponduje s druhým vzorkem prvního øádku (symetrie kolem hlavní diagonály). Elementární obrazy vlastního transformovaného obrazu potom získáme násobením kadého vektorového souèinu rozvoje DFT odpovídající hodnotou f i,j matice pùvodního obrazu f podle rovnice 3.. 34

Konvoluèní teorém Dùvodem popularity DFT v prai je jednoduchý vztah mezi operací konvoluce dvou obrazù (obecnì D funkcí) a jejich Fourierovými rozvoji ve frekvenèní oblasti. Diskrétní konvoluce je definována vztahem N N g (, y) f(, y)* h (, y) f(, ) h (, y) (3.38) 0 0 Konvoluèní teorém øíká, e konvoluci obrazu s impulzní odezvou h mùeme vyjádøit jako zpìtnou Fourierovu transformací souèinu DFT obrazu a DFT impulzní odezvy h. V nìkterých pøípadech zpracování obrazu je tento postup jednodušší, ne pøímý výpoèet konvoluce. f(, y)* h(, y) F F( u, v) H( u, v) (3.39) Prakticky to znamená, e na vstupní obrazovou funkci a impulzní odezvu aplikujeme pøímou Fourierovu transformaci. Potom tyto transformované funkce vynásobíme, a tím získáme Fourierovu transformaci výstupního obrazu. Inverzní FT získáme obraz v prostorové oblasti. Pro H(u,v) potom tedy platí Huv (, ) F hy (, ) (3.40) Funkce H(u,v) se nazývá frekvenèní pøenos MTF (Modulation Transfer Function). Druhým dùvodem pouívání DFT je, e pøi aproimaci obrazu omezeným poètem elementárních obrazù se dopouštíme menší aproimaèní chyby ne u jiných transformací. Na základì konvoluèního teorému se provádí filtrace ve frekvenèní oblasti. Podrobnìji se tomuto tématu budeme vìnovat v kapitole 5. 3.4 Diskrétní kosinová transformace Z definice DCT je zøejmá základní odlišnost od Fourierovy transformace a to, e kosinová transformace je reálná, co je její výhodou. Tato transformace má uplatnìní pøedevším v oblasti kódování a komprese obrazu a pouívá se pøedevším pøi JPEG kompresi. Obecnì je Fourierova transformace komplení, dá se ale dokázat, e Fourierova trasformace sudé funkce je také reálná. Pokud provedeme sudé prodlouení transformované funkce (rozšíøení do záporných hodnot kolem bodu 0), mùeme odvodit DCT z Fourierovy transformace. Potom pøímá dvojrozmìrná DCT [,3] Fu v N KuKv N N f y, ( ) ( ), cos ( ) ( y ) u cos 0 y0 N N v (3.4) kde normovací koeficienty Ku ( ) Kv ( ) pro u0,v0 aku ( ) Kv ( ) pro u=v=0. N N 35

Inverzní DCT N N f, y KuKvFuv ( ) ( ), cos ( ) ( y ) u cos N u0 v0 N N Transformaèní matice DCT v (3.4) T pq pro p 00, q N N q p cos ( ) pro p N, 0 q N N N Potom pøímá DCT f T f T T Inverzní DCT f T T f T Pøi JPEG kompresi obrazu se po provedení DCT transformace provádí dìlení frekvenèních slo- ek transformovaného obrazu tzv. kvantizaèními koeficienty. Tím se èást tìchto sloek pøiblíí svojí velikostí nule a na nulu se následnì zaokrouhlí. Následuje CCITT komprese, která zmenšuje fyzickou velikost souboru reprezentujícího transformovaný obraz. Po pøenosu se frekvenèní obraz pomocí inverzní DCT pøevede do prostorové oblasti. 3.5 Haarova transformace Další funkce, které mùeme pouít pro transformaci obrazu do elementárních obrazù jsou Haarovy funkce. Tyto funkce nabývají hodnot 0,, p p 0,,, a jsou definovány vztahy H0() t pro0 t pro0 t H() t pro t (3.43) p n n pro p t p n05. H pn() t pro p t 0 jinde kde p =,,3, an =0,, p -. 05. p n p 36

Potom pøímá Haarova transformace v maticovém tvaru T g H f H (3.44) N Zpìtná Haarova transformace v maticovém tvaru f H N T g H (3.45) Pøíklad 3.7. Výpoèet Haarovy transformaèní matice 4 4 H0() t pro0 t pro0 t H() t pro t Prop=bude n nabývat hodnot 0 a. Pøípad p=,n=0: Pøípad p=,n=: pro 0 t 4 H() t pro 4 t 0 pro t 0 pro 0 t 3 H3() t pro t 4 3 pro 4 t Na obr.3.3 jsou graficky znázornìny Haarovy funkce pro obraz 44. Pokud uspoøádáme hodnoty Haarových funkcí po øádcích od H 0 po H 3 dostaneme výslednou Haarrovu transformaèní matici. H 0 0 0 0 (3.46) 37

Obr. 3.3 Haarovy funkce pro obraz 44 Podobnì mùeme vypoèítat Haarovu transformaèní matici pro obraz 88. 0 0 0 0 0 0 0 0 H 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (3.47) Elementární obrazy Haarovy transformace vytvoøíme pomocí vektorových souèinù øádkù transformaèní matice mezi sebou. Na obr.3.4 je zobrazen rozvoj 88 Haarových elementárních obrazù. Z uspoøádání pielù v Haarových elementárních obrazech vyplývá jedna dùleitá vlastnost. Vyšší øády elementárních obrazù obsahují stejný vzor hodnot pielù pro rùzné èásti obrazu. To je vidìt v obr.3.4 vpravo nahoøe. Pokud nás nezajímají detaily v nìkterých èástech obrazu mùeme odpovídající elementární obrazy zanedbat. Haarovy funkce nám umoòují rekonstruovat rùzná 38

místa pùvodního obrazu s rùznou úrovní detailù. To je vlastnost, která se vyuívá u tzv. wavelet (vlnkových) transformací. Obr.3.4 Haarovy elementární obrazy pro obraz 88 Elementární obraz EO,7 dostaneme jako vektorový souèin. a 7. øádku uspoøádané matice(poèítáno od indeu 0). EO, 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (3.48) Výsledná matice odpovídá elementárnímu obrazu v øádku a sloupci 7 rozvoje na obr.3.4. Bílá odpovídá hodnotì, èerná hodnotì - a šedá hodnotì 0. 39

3.6 Walsch-Hadamardova transformace Walsch-Hadamardova transformace pøedstavuje další neharmonickou transformaci obrazu. Transformace je zaloena na systému Hadamardových matic, jejich prvky nabývají pouze hodnot + a -. Hodnoty prvkù tìchto matic ze systému Walshových funkcí: W 0() t pro0 t j q jq j j W j q() t W t W t (3.49) kde q = 0 nebo, j =0,,, a j/ je nejvìtší celé èíslo, které je menší nebo rovné j/. Konstrukce Hadamardových matic (jádra transformace) vychází ze schématu H N H H N N H N H N (3.50) kde H N je matice øádu N vycházející z matice øádu N. Volíme H = H, H 4 (3.5) Potom pøímá Walsh-Hadamardova transformace v maticovém tvaru pro NN obraz W( uv, ) HN f(, y) HN (3.5) N Zpìtná Walsh-Hadamardova transformace má stejný tvar f(, y) HNW( uv, ) HN (3.53) N Øádky (neuspoøádané) a sloupce Hadamardovy matice mùeme chápat jako obdélníkové funkce o základní frekvenci odpovídající rozmìru obrazu N a jejích násobcích. Tyto obdélníkové prùbìhy tvoøí soubor Walshových funkcí. Na obr. 3.5 je zobrazen rozvoj elementárních obrazù jádra WHT pro obraz 44. Hodnotì - odpovídá èerná, hodnotì bílá. 40

Obr.3.5 Rozvoj elementárních obrazù WHT (Walshovy funkce) Pro výpoèet elementárních obrazù z matice H 4 musíme uspoøádat poøadí øádkù podle poètu znaménkových zmìn (dostaneme tzv. uspoøádanou Hadamardovu matici) H 0 3, 4 H4U (3.54) Potom kadý elementární obraz dostaneme jako vektorový souèin dvou øádkù, které pøíslušejí pozici elementárního obrazu v jejich rozvoji. Elementární obraz EO,3 dostaneme jako vektorový souèin. a 3. øádku uspoøádané matice (poèítáno od indeu 0). EO, 3 (3.55) Výsledná matice odpovídá elementárnímu obrazu ve 3. øádku a 4. sloupci rozvoje na obr.3.5. 4

4. Statistický popis obrazu 4. Charakteristiky náhodných velièin Hustota pravdìpodobnosti, distribuèní funkce O velièinì, která charakterizuje nìjakou mìøitelnou hodnotu øíkáme, e je náhodná, jestlie jsou hodnoty poruch, které ji ovlivòují srovnatelné s jejími vlastními hodnotami. Eistují dva typy náhodných velièin (NV) - spojité a diskrétní. Spojitá náhodná velièina nabývá nespoèetnì mnoha hodnot, diskrétní spoèetnì mnoha hodnot. Náhodnou velièinu mùeme pøesnì popsat velièinami hustoty pravdìpodobnosti nebo distribuèní funkce. Hustota pravdìpodobnosti pøiøazuje jednotlivé hodnoty pravdìpodobnosti hodnotám diskrétní NV a u spojité NV hodnoty pravdìpodobnosti intervalùm NV. Prùbìh hustoty pravdìpodobnosti od minus nekoneèna do plus nekoneèna definuje tzv. pravdìpodobnostní rozloení (rozdìlení) náhodné velièiny. Obr.4. Rozdìlení hustoty pravdìpodobnosti náhodné velièiny Na obr. 4. je nakreslen pøíklad pravdìpodobnostního rozdìlení náhodné velièiny, co je závislost mezi všemi jejími hodnotami a pravdìpodobnostmi jejího výskytu p(). Jako pøíklad je uveden matematický vztah tzv. normálního (Gaussova) rozdìlení hustoty pravdìpodobnosti: pro Pro spojitou NV platí vztahy p ( ) ep ( ) (4.) a kde je støední hodnota a smìrodatná odchylka normálního rozdìlení. b P( 0 ) 0, P( a, b) p( ) d, p( ) d (4.) Pro malé platí (viz obr.4.) a P ( ) p ( ) (4.3) 43