Akadmický rok 6/7 Připravil: Radim Farana Atomatizační tchnika Stabilita ytémů, řizování rglátorů Obah Stabilita ytémů Hrvitzowo kritérim tability Michajlovovo kritérim tability Nyqitovo kritérim tability Sřizování rglátorů Exprimntální mtody pok omyl Ziglrovy Nicholovy mtody Mtoda náobného dominantního pól Mtoda optimálního modl Mtoda požadovaného modl trana 3 Stabilita Stabilita (linárního) rglačního obvod j dfinována jako jho chopnot tálit všchny vličiny na končných hodnotách, pokd vtpní vličiny tálí na končných hodnotách. Vtpními vličinami rglačního obvod jo žádaná vličina w(t) a všchny porchové vličiny, njčatěji agrgované do jdiné porchové vličiny v(t). J zřjmé, ž náldjící dfinic j kvivalntní. Rglační obvod j tabilní, když omzným vtpům odpovídají omzné výtpy. Z obo dfinic vyplývá, ž tabilita j charaktritická vlatnot daného rglačního obvod, ktrá nzávií na konkrétních vtpch ani na konkrétních výtpch.
trana 4 Stabilita Vzhldm k tom, ž rglační obvod plně popij rovnic Y Gwy W Gvy V nbo E Gw( ) W Gv V j zřjmé, ž tabilita mí být dána výrazm, ktrý vytpj v všch základních přnoch, tj. přno řízní G wy () a přno porchy G vy () nbo odchylkovém přno řízní G w () a odchylkovém přno porchy G v (). Z vztahů pro základní přnoy vyplývá, ž tímto výrazm j jjich jmnovatl M o No M o N( ) GR Go No No No kd j G o () přno otvřného (rozpojného) rglačního obvod (obcně j dán očinm všch přnoů v myčc), N o () charaktritický mnohočln otvřného rglačního obvod (mnohočln v jmnovatli přno otvřného rglačního obvod), M o () mnohočln v čitatli přno otvřného rglačního obvod. trana 5 Stabilita Mnohočln N No M o nazývá charaktritický mnohočln rglačního obvod a po jho přirovnání nl obdrží charaktritická rovnic rglačního obvod N ntno a potačjící podmínko tability řšní linární difrnciální rovnic j, aby kořny,,..., n jjího charaktritického mnohočln (příp. jjí charaktritické rovnic) měly záporno rálno čát, tj. n N an a a an ( )( ) ( n ) R, pro i,, n i, J tdy zřjmé, ž podmínka zápornoti rálných čátí kořnů charaktritického mnohočln rglačního obvod nbo kvivalntně kořnů charaktritické rovnic rglačního obvod j ntno a potačjící podmínko (aymptotické) tability daného rglačního obvod. trana 6 Stabilita Dál j třba i vědomit, ž kořny,,..., n jo očaně póly všch základních přnoů (tj. přno řízní a porchy a odchylkových přnoů řízní a porchy, a tdy jo to póly clého rglačního obvod. Toto nplatí pro nly základních přnoů. Póly rglačního obvod jo pro dynamické vlatnoti rglačního obvod záadní. Im R
trana 7 Hrwitzovo kritérim tability Hrwitzovo kritérim tability j algbraické kritérim, a proto nní vhodné pro rglační obvody dopravním zpožděním (xponnciální fnkc nní algbraická). Můž však být požito pro přibližné ověřní tability v případě, ž dopravní zpoždění zatopí jho aproximací v tvar racionální lomné fnkc. Hrwitzovo kritérim tability můž být formlováno v tvar: Linární rglační obvod charaktritickým mnohočlnm N n an a a bd (aymptoticky) tabilní thdy a jn thdy, když: a) všchny koficinty a, a,..., a n xitjí a jo kladné (j to ntná podmínka tability zformlována lovnkým tchnikm A. Stodolo), Adolf Hrwitz 6. 3. 859 Hildhim, Grmany + 8.. 99 Zürich, Switzrland http://n.wikipdia.org/wiki/arl_stodola Arl Stodola. 5. 859 Liptovký Mikláš, Slovakia + 5.. 94 Zürich, Switzrland http://n.wikipdia.org/wiki/arl_stodola trana 8 Hrwitzovo kritérim tability b) hlavní rohové minory (bdtrminanty) Hrwitzovy matic an an H an3 an an an5 an4 an3, a an an3 H an, H,, H n H an an jo kladné. trana 9 Hrwitzovo kritérim tability Protož platí H = a n, H n = a H n, tačí kontrolovat kladnot poz H, H 3,..., H n. Nlovot něktrého z Hrwitzových bdtrminantů označj mz tability. Tak např. bd-li a =, pak jdn pól j nlový (počátk ořadnic v komplxní rovině ). Tnto případ charaktrizj nkmitavo mz tability. Když H n =, pak dva póly jo ryz imaginární (póly lží na imaginární o oměrně podl počátk ořadnic v komplxní rovině ). V tomto případě jd o kmitavo mz tability. 3
trana Michajlovovo kritérim tability A.V. Mikhailov Ria pblihd in 938 Michajlovovo kritérim tability j kmitočtové kritérim vlmi široko oblatí vyžití. Zd bd kázána jdnodchá formlac vhodná pro rglační obvody bz dopravního zpoždění. Michajlovovo kritérim tability vychází z charaktritického mnohočln rglačního obvod N(), z ktrého po doazní = jω dotan Michajlovova fnkc kd N(j) N( ) N P( ) jn Q( ) j 4 N P( ) R N (j) a a a4 j rálná čát 3 5 N Q( ) Im N(j) a a3 a5 j imaginární čát Michajlovovy fnkc. Jjí grafické vyjádřní j Michajlovova charaktritika (křivka, hodograf). trana a) Michajlovovo kritérim tability Nyní již můž být formlováno Michajlovovo kritérim v tvar: Linární rglační obvod j (aymptoticky) tabilní thdy a jn thdy, když jho Michajlovova charaktritika N(jω) pro ω začíná na kladné rálné poloo a potpně v kladném měr (proti pohyb hodinových rčičk) prochází n kvadranty. Stabilní rglační obvody b) Ntabilní rglační obvody ω n = Im N (j) ω n = Im N (j ω ) ω n = ω n = 3 a ω = ω n = 4 R ω = a R ω ω n = 3 n = 4 ω n = trana Nyqitovo kritérim tability Nyqitovo kritérim tability j kmitočtové, a na rozdíl od Hrwitzova a Michajlovova kritéria vychází z vlatnotí otvřného rglačního obvod a j vhodné i pro rglační obvody dopravním zpožděním. Můž být dokonc rozšířno i na něktré nlinární rglační obvody. W () t () E () t GR G S () V () Y () Harry Thodor Nyqit 7.. 889, Stora Kil, Swdn + 4. 4. 976 Harlign, Txa, USA http://n.wikipdia.org/wiki/harry_nyqit yt () t G (j ) o G o k Rglační obvod na kmitavé mzi tability 4
trana 3 Nyqitovo kritérim tability Obrázk vyjadřj t ktčnot, ž j-li linární rglační obvod na kmitavé mzi tability, pak amplitdofázová kmitočtová charaktritika tabilního otvřného rglačního obvod prochází bodm na záporné rálné poloo. od na záporné rálné poloo nazývá kritický bod. kritický bod Im Go(jω) q = ω = ω = tabilní na mzi tability ntabilní - R trana 4 Nyqitovo kritérim tability Nyní lz již zformlovat Nyqitovo kritérim tability: Linární rglační obvod j (aymptoticky) tabilní thdy a jn thdy, když amplitdofázová kmitočtová charaktritika tabilního otvřného rglačního obvod G o (jω) pro ω nobklopj kritický bod na záporné rálné poloo. Intgrační člny vytpjící v hlavní a zpětnovazbní větvi, tj. v myčc, z hldika Nyqitova kritéria tability npovažjí za ntabilní (jo to v podtatě ntrální člny). Jjich počt označj pímnm q a nazývá tpň atatim rglačního obvod (typ rglačního obvod). V tomto případě pro rozhodntí o tom, zda amplitdofázová kmitočtová charaktritika otvřného rglačního obvod G o (jω) obklopj či nobklopj kritický bod, j třba tto charaktritik pojit kladno rálno polooo kržnicí o nkončně vlikém poloměr (kázáno čárkovaně), trana 5 Nyqitovo kritérim tability Im Go(jω) q = ω - Stabilní rglační obvody ω = r r R r q = ω Pokd amplitdofázová kmitočtová charaktritika otvřného rglačního obvod G o (jω) má průběh kázaný pro q =, pak jd o podmíněno tabilit, kdy jak pokl, tak i vzrůt hodnoty A o (ω) pro fázi π můž způobit ntabilit rglačního obvod. 5
6 Sřizování rglátorů Syntéza rglačního obvod patří k njdůlžitějším činnotm při návrh rglačního obvod. Skládá z volby vhodného typ rglátor a jho náldného řízní z hldika zadaných požadavků na kvalit rglac. Vznik trvalých rglačních odchylk j většino nžádocí, a proto volí takový rglátor, aby tpň atatim rglačního obvod q =. Vyšší tpň atatim q zarčj ic nlovot trvalých rglačních odchylk vyvolaných i jinými kokovými změnami nž změnami polohy, al očaně způobj náchylnot rglačního obvod k ntabilitě a podtatným způobm znnadňj jho řízní. Stpň atatim q = lz požít poz vlmi jdnodchých rglačních obvodů nízkými požadavky na kvalit rglac. V případě rglac otav dopravním zpožděním by byly trvalé rglační odchylky npříptně vliké. Rglátor rovněž nmí způobit trktrální ntabilit. Všobcně platí, ž rglátor obahjící víc ložk zajití vyšší kvalit rglac. 7 Exprimntální mtody pok omyl Takové mtody jo v praxi čato požívané, protož pracjí ktčným zavřným rglačním obvodm, a tdy nvyžadjí v podtatě žádné znaloti o vlatnotch rglované otavy. Aplikjí na xitjící rglační obvody, ktré j ntno doladit nbo řídit po rkontrkci nbo opravě. Příklad:. U rglačního obvod zkontrolj clé zapojní a ověří fnkčnot všch jho člnů.. Nataví požadovaná hodnota žádané vličiny w a v rčním ržim nataví y w, vyřadí intgrační ložka (T I ) a drivační ložka (T D ), zílní rglátor k P níží a rglátor přpn do atomatického ržim. 3. Zílní rglátor k P potpně zvyšj tak dloho, až při kokové změně polohy žádané vličiny w dotan požadovaný průběh rglované vličiny y (v případě proporcionální rglované otavy zůtan trvalá rglační odchylka - nvadí). 8 Exprimntální mtody pok omyl 4. Zílní rglátor k P níží na ¾ přdchozí hodnoty a pomal začn nižovat intgrační čaová kontanta T I a to tak dloho až j odtraněna případná trvalá rglační odchylka a zíká při kokové změně polohy žádané vličiny w požadovaný průběh rglované vličiny y. J vhodné, aby tnto průběh byl mzní nkmitavý. 5. Končný požadovaný průběh rglované vličiny y zíká doladěním zílní rglátor k P. 6. V případě požití drivační ložky drivační čaová kontanta T D nataví na počátční hodnot /T I. Pokd npříznivě projví šmy nbo akční vličina bd příliš aktivní, pak požití drivační ložky nní vhodné a znov vyřadí. Pokd dojd k zlpšní rglačního proc, hodnota drivační čaové kontanty T D zvýší až na hodnot /4T I, zílní rglátor k P zvýší ai o /4 přdchozí hodnoty (tj. hodnoty zíkané v bodě 5) a hodnota intgrační čaové kontanty T I níží ai o /3 přdchozí hodnoty (tj. hodnoty zíkané v bodě 4). 6
9 Ziglrovy Nicholovy xprimntální mtody Ziglrovy Nicholovy mtody patří mzi klaické mtody xprimntálního řizování konvnčních rglátorů. Jo vhodné pro úvodní řízní rglátorů, protož dávají většino vliký přkmit v rozmzí od % do 6 %, v průměr pro různé rglované otavy ai 5 %. Sřízní Ziglrovými Nicholovými xprimntálními mtodami bývá vhodné pro tabilizjící rglaci v případě půobní porchové vličiny v na vtp rglované otavy. John G. Ziglr. 8. 99 + 9.. 997 Scottdal, Arizona, USA http://n.wikipdia.org/wiki/john_g._ziglr Nathanil. Nichol 94, Nottawa Townhip, Mich., USA + 7. 4. 997 http://i.ytimg.com/vi/r_mcgj7yly/hqdfalt.jpg Mtoda přchodové charaktritiky Mtoda přchodové charaktritiky (mtoda otvřného rglačního obvod) vychází z přchodové charaktritiky proporcionální rglované otavy, z ktré rčí doba průtah T, doba náběh T n a koficint přno k. hs (t) hs () Hodnoty tavitlných paramtrů rglátorů pro Ziglrov Nicholov mtod přchodové charaktritiky S T Tn Tp t Rglátor P PI PID k P Tn kt Tn,9 kt Tn, kt T I T D 3,33T T,5T Mtoda přchodové charaktritiky Typická přchodová charaktritika rglačního obvod řízného Ziglrovými Nicholovými xprimntálními mtodami 7
Mtoda kritických paramtrů Mtoda kritických paramtrů (mtoda zavřného rglačního obvod) vychází z ktčného rglačního obvod, ktrý při vyřazné intgrační činnoti (T I ) a drivační činnoti (T D ) zvyšováním zílní rglátor k P přivd na kmitavo mz tability. Pak z priodického průběh libovolné vličiny rglačního obvod odčt kritická prioda T k a z odpovídajícího natavní rglátor kritické zílní k Pk Hodnoty tavitlných paramtrů rglátorů pro Ziglrov Nicholov mtod kritických paramtrů Rglátor P PI PID k P T I T D,5k Pk,45k Pk,83Tk,6k k k Pk,5T,5T 3 Mtoda kritických paramtrů Mtoda kritických paramtrů j požitlná i pro rglátory typ I. V tomto případě rglační obvod přivd na kmitavo mz tability vhodným nížním intgrační čaové kontanty T I. Při vytopní kmitavé mz tability z natavní rglátor odčt kritická hodnota intgrační čaové kontanty T Ik a pak pro řízní požij hodnota TI TIk Pokd j požadován nkmitavý rglační pochod, pak volí T (4 5) I TIk 4 Mtoda čtvrtinového tlmní Mtoda čtvrtinového tlmní j modifikací Ziglrovy Nicholovy mtody kritických paramtrů. Na rozdíl od této mtody npřdpokládá rozkmitání rglačního obvod, co možňj pracovat v linární oblati a požití většího množtví rglovaných otav Hodnoty tavitlných paramtrů rglátorů pro mtod čtvrtinového tlmní Rglátor k P T I T D P k P/ 4 PI,9k P/ 4 T / 4 PID,k P/ 4,6T / 4,5T / 4 Sřízní rglačního obvod mtodo čtvrtinového tlmní 8
5 Mtoda náobného dominantního pól Mtoda náobného dominantního pól j jdnodchá analytická mtoda možňjící řídit rglátory intgrační ložko (I, PI, PID) pro proporcionální rglované otavy přnom k i ( Ti ) a rglátory bz intgrační ložky (P, PD) pro intgrační rglované otavy přnom k i ( Ti ) na nkmitavý rglační pochod. Zvolný rglátor řídí tak, aby byl zajištěn jdn dominantní rálný pól (amozřjmě tabilní) maximální možno náobnotí. O zbývajících pólch a příp. nlách přdpokládá, ž jo ndominantní a ž jjich vliv na výldno dynamik rglačního obvod lz zandbat. 6 Mtoda náobného dominantního pól Rglovaná otava Hodnoty tavitlných paramtrů rglátorů pro mtod náobného dominantního pól Typ k P Rglátor T I T D Poznámka k Ti i i I k Ti i i i PI i i k i Ti i 4i i PI 5i 4 i Ti 5i 4i Ti i i D ki i 7ii 5i 4 i i i 3 k Ti i P PD i i kti i i i i i 4i k Ti i i Ti i 4i i 7 Mtoda optimálního modl Mzi analytické mtody řizování rglátorů patří mtoda (kritérim) optimálního modl. Vychází z požadavk na přno řízní, rp. modl kmitočtového přno řízní Gwy Gwy (j) Awy ( ) Přdpokládá, ž požadovaný průběh A wy (ω) by měl být monotónně klající fnkcí J zřjmé, ž platí Awy ( ) A wy ( ) J to důlžité, protož drho mocnino lép pracj a navíc platí A wy A wy ( j)( j) j 9
8 Mtoda optimálního modl Má-li přno rglované otavy G S () něktrý z tvarů vdných v tablc, pak požitím doporčných rglátorů a odpovídajících hodnot tavitlných paramtrů (T = ) obdrží tzv. tandardní tvar přno řízní Gwy, w, Tw T i Tw wtw V tomto případě nní třba kontrolovat tabilit rglačního obvod, protož tnto tvar j rovněž tandardní tvar kritéria ITAE obcně při požití mtody optimálního modl j třba kontrolovat tabilit a njlép imlačně ověřit kvalit rglac. 9 Mtoda optimálního modl REGULOVANÁ SOUSTAVA k T k T k 3 T T Hodnoty tavitlných paramtrů rglátorů pro mtod optimálního modl T T k TYP REGULÁTOR < k P ANALOGOVÝ ČÍSLICOVÝ T I T = T > I kt, 5T P PI 4 PD T T k 5 T T T 3 PID T T T3 kt TI kt kt, 5T TI kt3,5t T D T, 5T T T T, 5T T TT T T T 4 3 Mtoda optimálního modl Při řizování rglátorů podl přdchozí tablky byla požita tzv. kompnzac čaových kontant, ktrá počívá v vzájmném vykrácní jdnoho nbo dvo tabilních dvojčlnů rglované otavy jdním dvojčlnm rglátorů PI a PD nbo dvěma dvojčlny rglátor PID. Dojd tím k zjdnodšní dynamiky rglačního obvod, al očaně můž dojít k pomaljším odzvám, protož tabilní nly čitatl přno řízní G wy () moho rglační pochod rychlit. Mtoda optimálního modl můž být požita jak pro analogové rglátory (T = ), tak i pro čílicové rglátory (T > ),
3 Mtoda požadovaného modl Mtoda požadovaného modl (dřív též nazývaná mtoda invrz dynamiky) j analyticko xprimntální mtoda řizování konvnčních rglátorů, ktrá vychází z požadovaného modl zavřného rglačního obvod, tj. z požadovaného přno řízní v tvar Y a Td Gwy Td W a Kd j a zílní otvřného rglačního obvod J to mtoda vlmi jdnodchá, ktrá vyžívá kompnzaci čaových kontant, zajišťj tpň atatim rglačního obvod q = (tj. nlové trvalé rglační odchylky způobné kokovými změnami polohy žádané vličiny w a porchové vličiny v půobící na výtp rglované otavy) a odpovídající volbo zílní otvřného rglačního obvod a možňj doáhnot požadovaného rlativního přkmit κ v rozmzí do,5 (5 %). 3 Mtoda požadovaného modl Závilot rlativního přkmit κ na zílní otvřného rglačního obvod a 33 Mtoda požadovaného modl Zílní otvřného rglačního obvod a lz zíkat analyticky pro nkmitavý rglační pochod a a pro kmitavo mz tability Td a Td pro jiné hodnoty rlativního přkmit κ byla imlačně rčna jho závilot na dopravním zpoždění T d a Td Závilot koficintů a na rlativním přkmit κ,5,,5,,5,3,35,4,45,5,8,984,884,83,763,697,669,64,68,599,577,78,944,7,56,437,337,48,7,4,45,99
34 Mtoda požadovaného modl Hodnoty tavitlných paramtrů rglátor pro mtod požadovaného modl REGULOVANÁ SOUSTAVA TYP REGULÁTOR < k P T I ANALOGOVÝ T = ČÍSLICOVÝ T > T D 3 4 5 T k k T k k Td Td T T k Td T,5 < P PI PD PID PID ( T Td ) k ( T Td ) k TI ( T Td ) k TI ( T Td ) k T T T T T T T T T TT T T T 4 T T 4 35 Mtoda požadovaného modl Přno doporčného rglátor G R () pro něktro z rglovaných otav přnom G S () pro požadovaný přno řízní zíká z vztah GR Gwy Gwy GR GR Gwy T Např. pro rglovano otav přnom k d T (viz řádk v tablc pro T = ) a Td T Td a a( T ) GR k P T d k a Td k TI Td a ati kp, TI T k příp. po važování TI kp, TI T k Td a Td 36 Dvo- a třípolohová rglac Dvo- a třípolohová (rléová) rglac patří mzi njjdnodšší drhy npojitého zpětnovazbního řízní (jd o npojitot v úrovni). Njčatěji jd např. o rglaci tploty vzdch v mítnoti, chladničc, mrazničc, lktrické trobě, dál o rglaci tploty a výšky hladiny vody v atomatické pračc, atd. Hlavním důvodm požívání dvo- a třípolohové rglac j vlmi nízká cna a poměrně vyoká polhlivot jak vlatního rglátor, tak i akčního čln. a) b) Charaktritiky dvopolohového rglátor: a) nymtrického bz hytrz (h = ) hytrzí (h > ), b) ymtrického bz hytrz (h = ) hytrzí (h > ) h h h h
Td 37 Dvo- a třípolohová rglac h a a a h h a Charaktritiky ymtrického třípolohového rglátor bz hytrz (h = ) hytrzí (h > ) kd j amplitda, h šířka hytrz, a ncitlivot. 38 Dvo- a třípolohová rglac Pokd charaktritika rglátor j bz hytrz (tj. bz paměti), jd o jho taticko charaktritik. V případě charaktritiky hytrzí (tj. pamětí), přně vzato njd o taticko charaktritik (proto také hovoří poz o charaktritikách). v v w T k y lokové chéma obvod nymtrické dvopolohové rglac hytrzí 39 Dvo- a třípolohová rglac y ( t ) y max k T T VYPNUTO h y h w y d T d T d T y Δ y ZAPNUTO y min ( t ) T d T t Průběh rglované y(t) a akční vličiny (t) v obvod dvopolohové rglac t 3